双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程第二课时第二课时

1. 进一步掌握双曲线的定义及其标准方程

的求法 , 特别是待定系数法、定义法 ;

2. 能运用双曲线的定义及标准方程解决实

际问题 .

知识回顾

1. 双曲线的定义及其注意点 ;

2. 双曲线的标准方程及 a,b,c 间的关系 ;

3. 椭圆与双曲线的比较 .

222 bac

定义定义

图象图象

方程方程

焦点焦点a.b.c a.b.c 的关的关

系系

| |MF1|-|MF2| | =2a （０ < 2a<|F1F2| ）

F ( ±c, 0) 　 F(0, ± c)

12

2

2

2

b

y

a

x12

2

2

2

b

x

a

y

y

xo F2F1

M

x

y

F2

F1

M

双曲线定义及标准方程双曲线定义及标准方程

定 义

方 程

焦 点

a.b.c的关系

F （ ±c ， 0 ） F （ ±c ， 0 ）

a>0 ， b>0 ，但 a 不一定大于 b ， c2=a2+b2

a>b>0 ， a2=b2+c2

双曲线与椭圆之间的区别与联系双曲线与椭圆之间的区别与联系

||MF1| － |MF2||=2a |MF1|+|MF2|=2a

椭 圆 双曲线

F （ 0 ， ±c ） F （ 0 ， ±c ）

2 2

2 21( 0)

x ya b

a b

2 2

2 21( 0)

y xa b

a b

2 2

2 21( 0, 0)

x ya b

a b

2 2

2 21( 0, 0)

y xa b

a b

1. 方程 mx2-my2=n 中 mn<0 ，则其表示焦点在 轴上 的 .

x 双曲线

2. 若方程 (k2+k-2)x2+(k+1)y2=1 的曲线是焦点在 y 轴上的

双曲线，则 k .(-1, 1)

3. 双曲线 的焦点坐标是 .14

22

ykx ),( k 40

4. 双曲线 的焦距是 6 ，则 k= . kyx 222 6

5. 若方程 表示双曲线，求实数 k 的

取值范围 .

152

22

k

ykx||

-2<k<2 或 k>5

巩固练习

例 1. 已知双曲线的焦点在 y 轴上 , 并且两点 P1 (3, ) 、P2 (9/4 ,5) 在双曲线上，求双曲线的标准方程。

4 2

变题：若去掉焦点在 y 轴上的条件，如何？

解 : 由题意可设双曲线方程为

把点 P1,P2 坐标代入得2

2 2

2

2 2

( 4 2) 91

a b9( )25 4 1

a b

2 2

2 2

y x1(a 0, b 0)

a b

2

2

a 16

b 1

所以所求双曲线的标准方程为2 2y x

116 9

1. 用待定系数法求双曲线的标准方程的步骤 :

(1) 定位 ( 确定焦点所在位置 )

(2) 定型 ( 求 a,b,c 的值 )

结 论

2. 已知双曲线过两点 , 而又不能确定其焦点位置时 , 可不讨论而设方程为 Ax2-By2=1(AB>0), 避免讨论 .

例 2. 已知 B(-5,0),C(5,0) 是 ΔABC 的两个顶点 ,且

sinB-sinC= sinA, 求顶点 A 的轨迹方程 .

变题 . 已知动圆与定圆 C1:(x+5)2+y2=49, C2: (x-5)2+y2=1 都外切 , 求动圆圆心的轨迹方程 .

35

解 : 根据条件 , 由正弦定理得 :∣AC∣-∣AB∣=3/5∣BC∣=6

所以 点 A 的轨迹为以 B,C 为焦点的双曲线的右支2a=6,c=5

∴a=3,c=5,b=4

所以 A 的轨迹方程为2 2x y

19 16

(x>0,y≠0)

例 3. 一炮弹在某处爆炸 , 在 A 处听到爆炸声的时间比在 B 处晚 2s.(1) 爆炸点应在什么样的曲线上 ?(2) 已知 A,B 两地相距 800m, 并且此时声速为 340m/s, 求曲线方程 .

A

P

B

思 考 如果 A,B 两处同时听到爆炸声 , 那么爆炸点应在什么样的曲线上 ?

练习 : 证明椭圆 与双曲线19

y

25

x 22

x2-15y2=15 的焦点相同 .

上题的椭圆与双曲线的一个交点为 P，焦点为 F1,F2, 求 |PF1|.

变式 :

|PF1|+|PF2|=10,

.152|PF||PF| 21

分析 :

1. 用待定系数法求双曲线标准方程的步骤 :

2. 用定义法求双曲线标准方程的注意事项 :

(1) 定位 : 确定焦点位置 , 若不能确定 , 应分类讨论 定型 : 求 a,b,c 的值 .

(2) 若过两点 , 无法判断焦点位置 , 这时可设为 AX2-BY2=1 (AB>0)

何时为双曲线一支 , 何时为双曲线两支 ?

作 业

3. 已知双曲线 的左、右焦点分别

为 F1 、 F2, 点 M 为双曲线上任意一点 , 并

且∠ F1MF2=θ, 求 ΔF1MF2 的面积 .

2 2

2 21

x y

a b

课本 108 页习题 8.3第 3(3), 4, 5, 6 题

平面内到两个定点的距离之积为定值的点的轨迹 （ 2 ）可以利用电脑研究； （ 3 ）可以利用文曲星自编 BASIC 语言进行研究； （ 4 ）合作探究、相互学习、相互交流。

建议：（ 1 ）可以进行理论研究；