双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程第二课时第二课时
1. 进一步掌握双曲线的定义及其标准方程
的求法 , 特别是待定系数法、定义法 ;
2. 能运用双曲线的定义及标准方程解决实
际问题 .
知识回顾
1. 双曲线的定义及其注意点 ;
2. 双曲线的标准方程及 a,b,c 间的关系 ;
3. 椭圆与双曲线的比较 .
222 bac
定义定义
图象图象
方程方程
焦点焦点a.b.c a.b.c 的关的关
系系
| |MF1|-|MF2| | =2a (0 < 2a<|F1F2| )
F ( ±c, 0) F(0, ± c)
12
2
2
2
b
y
a
x12
2
2
2
b
x
a
y
y
xo F2F1
M
x
y
F2
F1
M
双曲线定义及标准方程双曲线定义及标准方程
定 义
方 程
焦 点
a.b.c的关系
F ( ±c , 0 ) F ( ±c , 0 )
a>0 , b>0 ,但 a 不一定大于 b , c2=a2+b2
a>b>0 , a2=b2+c2
双曲线与椭圆之间的区别与联系双曲线与椭圆之间的区别与联系
||MF1| - |MF2||=2a |MF1|+|MF2|=2a
椭 圆 双曲线
F ( 0 , ±c ) F ( 0 , ±c )
2 2
2 21( 0)
x ya b
a b
2 2
2 21( 0)
y xa b
a b
2 2
2 21( 0, 0)
x ya b
a b
2 2
2 21( 0, 0)
y xa b
a b
1. 方程 mx2-my2=n 中 mn<0 ,则其表示焦点在 轴上 的 .
x 双曲线
2. 若方程 (k2+k-2)x2+(k+1)y2=1 的曲线是焦点在 y 轴上的
双曲线,则 k .(-1, 1)
3. 双曲线 的焦点坐标是 .14
22
ykx ),( k 40
4. 双曲线 的焦距是 6 ,则 k= . kyx 222 6
5. 若方程 表示双曲线,求实数 k 的
取值范围 .
152
22
k
ykx||
-2<k<2 或 k>5
巩固练习
例 1. 已知双曲线的焦点在 y 轴上 , 并且两点 P1 (3, ) 、P2 (9/4 ,5) 在双曲线上,求双曲线的标准方程。
4 2
变题:若去掉焦点在 y 轴上的条件,如何?
解 : 由题意可设双曲线方程为
把点 P1,P2 坐标代入得2
2 2
2
2 2
( 4 2) 91
a b9( )25 4 1
a b
2 2
2 2
y x1(a 0, b 0)
a b
2
2
a 16
b 1
所以所求双曲线的标准方程为2 2y x
116 9
1. 用待定系数法求双曲线的标准方程的步骤 :
(1) 定位 ( 确定焦点所在位置 )
(2) 定型 ( 求 a,b,c 的值 )
结 论
2. 已知双曲线过两点 , 而又不能确定其焦点位置时 , 可不讨论而设方程为 Ax2-By2=1(AB>0), 避免讨论 .
例 2. 已知 B(-5,0),C(5,0) 是 ΔABC 的两个顶点 ,且
sinB-sinC= sinA, 求顶点 A 的轨迹方程 .
变题 . 已知动圆与定圆 C1:(x+5)2+y2=49, C2: (x-5)2+y2=1 都外切 , 求动圆圆心的轨迹方程 .
35
解 : 根据条件 , 由正弦定理得 :∣AC∣-∣AB∣=3/5∣BC∣=6
所以 点 A 的轨迹为以 B,C 为焦点的双曲线的右支2a=6,c=5
∴a=3,c=5,b=4
所以 A 的轨迹方程为2 2x y
19 16
(x>0,y≠0)
例 3. 一炮弹在某处爆炸 , 在 A 处听到爆炸声的时间比在 B 处晚 2s.(1) 爆炸点应在什么样的曲线上 ?(2) 已知 A,B 两地相距 800m, 并且此时声速为 340m/s, 求曲线方程 .
A
P
B
思 考 如果 A,B 两处同时听到爆炸声 , 那么爆炸点应在什么样的曲线上 ?
练习 : 证明椭圆 与双曲线19
y
25
x 22
x2-15y2=15 的焦点相同 .
上题的椭圆与双曲线的一个交点为 P,焦点为 F1,F2, 求 |PF1|.
变式 :
|PF1|+|PF2|=10,
.152|PF||PF| 21
分析 :
1. 用待定系数法求双曲线标准方程的步骤 :
2. 用定义法求双曲线标准方程的注意事项 :
(1) 定位 : 确定焦点位置 , 若不能确定 , 应分类讨论 定型 : 求 a,b,c 的值 .
(2) 若过两点 , 无法判断焦点位置 , 这时可设为 AX2-BY2=1 (AB>0)
何时为双曲线一支 , 何时为双曲线两支 ?
作 业
3. 已知双曲线 的左、右焦点分别
为 F1 、 F2, 点 M 为双曲线上任意一点 , 并
且∠ F1MF2=θ, 求 ΔF1MF2 的面积 .
2 2
2 21
x y
a b
课本 108 页习题 8.3第 3(3), 4, 5, 6 题
平面内到两个定点的距离之积为定值的点的轨迹 ( 2 )可以利用电脑研究; ( 3 )可以利用文曲星自编 BASIC 语言进行研究; ( 4 )合作探究、相互学习、相互交流。
建议:( 1 )可以进行理论研究;