课题：平面向量

授课人：郝凤华

2014年 10月 14日

第 1 讲　平面向量的概念及其线性运算

高三理科一轮复习

1 ．了解向量的实际背景．2 ．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3 ．理解向量的几何表示．4 ．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5 ．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量

共线的含义．6 ．了解向量线性运算的性质及其几何意义 .

最新考纲

诊断 · 基础知识


突破 · 高频考点突破 · 高频考点培养 · 解题能力

培养 · 解题能力

最新高考真题

F1 　平面向量的概念及其线性运算 5． [2014• 辽宁卷 ] 设 a， b， c 是非零向量，已知命题 p ：若a•b＝ 0， b•c＝ 0 ，则 a•c＝ 0 ，命题 q ：若 a∥b ， b∥c ，则 a∥c ，则下列命题中真命题是 ( 　　 )A． p q B∨ ． p q C∧ ． (¬p) (¬q) D∧ ． p (¬q)∨

15． [2014• 新课标全国卷Ⅰ ] 已知 A， B， C 为圆 O 上的三点，若＝ 12( ＋ ) ，则与的夹角为 ____

7． [2014• 四川卷 ] 平面向量 a ＝ (1， 2)， b ＝ (4， 2)， c ＝ma ＋ b(m R)∈ ，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则 m＝ (　　 )

A ．－ 2 B ．－ 1 C． 1 D． 2 平面向量的概念及其线性运算

AO

AC

AB

AB

AC

F2 　平面向量基本定理及向量坐标运算4． [2014• 重庆卷 ] 已知向量 a ＝ (k， 3)， b ＝ (1， 4)， c ＝

(2， 1) ，且 (2a － 3b)⊥c ，则实数 k＝ ( 　　 )A ．－ 92 B． 0 C． 3 D.152

8． [2014• 福建卷 ] 在下列向量组中，可以把向量 a＝ (3， 2) 表示出来的是 ( 　　 )A． e1＝ (0， 0)， e2＝ (1， 2) B． e1＝ (－ 1， 2)， e2＝ (5 ，－ 2)C． e1＝ (3， 5)， e2＝ (6， 10) D． e1＝ (2 ，－ 3)， e2＝ (－ 2， 3)

16． [2014• 山东卷 ] 已知向量 a＝ (m， cos 2x)， b＝ (sin 2x， n) ，函数 f(x)＝ a•b ，且 y＝ f(x) 的图像过点 (π/12， 3) 和点 (2π/3 ，－ 2).(1)求m， n 的值；(2)将 y＝ f(x) 的图像向左平移 φ(0＜ φ＜ π) 个单位后得到函数 y＝ g(x) 的图像，若 y＝ g(x) 图像上各最高点到点 (0， 3)的距离的最小值为 1 ，求 y＝ g(x) 的单调递增区间．平面向量基本定理及向量坐标运算

最新高考真题

13． [2014• 陕西卷 ] 设 0<θ<π/2 ，向量 a＝ (sin 2θ， cos θ)， b＝ (cos θ， 1) ，若 a b∥ ，则 tan θ＝ ________ ．

18． [2014• 陕西卷 ] 在直角坐标系 xOy 中，已知点A(1， 1)， B(2， 3)， C(3， 2) ，点 P(x， y) 在△ ABC 三边围成的区域 ( 含边界 ) 上．(1) 若＋＋＝ 0 ，求 | | ；

(2) 设＝ m ＋ n (m， n R)∈ ，用 x， y 表示 m－ n ，并求 m－ n 的最大值．

PA

PB

PC

OP

OP

AB

AC

平面向量基本定理及向量坐标运算

最新高考真题

F3 　平面向量的数量积及应用10． [2014• 北京卷 ] 已知向量 a， b 满足 |a|＝ 1， b＝ (2， 1)

，且 λa＋ b＝ 0(λ R)∈ ，则 |λ|＝ ________ ．11． [2014• 湖北卷 ] 设向量 a＝ (3， 3)， b＝ (1 ，－ 1) ．若

(a＋ λb) (a⊥ － λb) ，则实数 λ＝ ________ ．14． [2014• 江西卷 ] 已知单位向量 e1与 e2 的夹角为 α ，且 cos

α＝ 13 ，向量 a＝ 3e1－ 2e2与 b＝ 3e1－ e2 的夹角为 β ，则cos β＝ ___ ．

4． [2014• 全国卷 ] 若向量 a， b 满足： |a|＝ 1， (a＋ b) a⊥， (2a＋ b) b⊥ ，则 |b|＝ ( 　　 )A． 2 B.2 C． 1 D.22　

3． [2014• 新课标全国卷Ⅱ ] 设向量 a， b 满足 |a＋ b|＝ 10， |a－ b|＝ 6 ，则 a•b ＝ ( 　　 )A． 1 B． 2 C． 3 D． 5 　

平面向量的数量积及应用

最新高考真题





12． [2014• 山东卷 ] 在△ ABC 中，已知 • ＝ tan A ，当 A＝ π/6 时，△ ABC 的面积为 ______ ．

8． [2014• 天津卷 ] 已知菱形 ABCD 的边长为 2 ，∠ BAD＝120° ，点 E， F 分别在边 BC， DC 上， BE＝ λBC， DF＝μDC. 若 • ＝ 1 ， • ＝－ 23 ，则 λ＋ μ＝ ( )

A.12 B.23 C.56 D.712

AB

AC

AE

AF

CE

CF

平面向量的数量积及应用

最新高考真题

F4 单元综合15． [2014• 安徽卷 ] 已知两个不相等的非零向量 a， b ，两组向量 x1， x2， x3， x4， x5和 y1， y2， y3， y4， y5 均由 2个 a和

3个 b 排列而成．记 S＝ x1•y1＋ x2•y2＋ x3•y3＋ x4•y4＋

x5•y5， Smin 表示 S 所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是 ________ ．① S有 5 个不同的值②若 a b⊥ ，则 Smin与 |a| 无关③若 a b∥ ，则 Smin与 |b| 无关④若 |b|＞ 4|a| ，则 Smin＞ 0

⑤若 |b|＝ 2|a|， Smin＝ 8|a|2 ，则 a与 b 的夹角为 π/4

16． [2014• 湖南卷 ] 在平面直角坐标系中， O 为原点， A(－1， 0)， B(0， 3)， C(3， 0) ，动点 D 满足 | |＝ 1 ，则 |

＋＋ | 的最大值是 ________ ．单元综合

CD

OA

OB

OD

最新高考真题

10． [2014• 四川卷 ] 已知 F 为抛物线 y2＝ x 的焦点，点 A， B

在该抛物线上且位于 x 轴的两侧， • ＝ 2( 其中 O 为坐标原点 ) ，则△ ABO 与△ AFO 面积之和的最小值是 ( 　　 )

A． 2 B． 3 C.1728 D.10

8． [2014• 浙江卷 ] 记max{x， y}＝x， x≥y， y， x<y，min{x， y}＝ y， x≥y， x， x<y.

设 a， b 为平面向量，则 ( 　　 )

A．min{|a＋ b|， |a－ b|}≤min{|a|， |b|}

B．min{|a＋ b|， |a－ b|}≥min{|a|， |b|}

C．max{|a＋ b|2， |a－ b|2}≤|a|2＋ |b|2

D．max{|a＋ b|2， |a－ b|2}≥|a|2＋ |b|2

　单元综合

OA

OB

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1 ．向量的有关概念名称定义备注

向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的 (或称 )

平面向量是自由向量

零向量长度为的向量；其方向是任意的

记作 0

单位向量

长度等于的向量非零向量 a的单位向量为

±a|a|

大小方向长度

模零

1 个单位

知识梳理

名称定义备注

平行向量方向或的非零向量 0 与任一向量或

共线共线向量的非零

向量又叫做共线向量

相等向量长度且方向的向量

两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量长度且方向的向量 0 的相反向量为 0

相同

相反平行

方向相同或相反

相等相同

相等相反

由浅入深，夯实基础由浅入深，夯实基础

2. 向量的线性运算向量运算

定义法则(或几何意义) 运算律

加法求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则

(1)交换律： a＋b＝ . (2)结合律： (a＋b)＋c＝

b＋ a

a＋ (b＋ c)


续表

减法

求 a与 b的相反向量－b的和的运算叫做 a与 b的差

法则

a－b＝a＋(－b)

数乘求实数 λ与向量 a的积的运算

(1)|λa|＝|λ||a|； (2)当 λ＞0时，λa的方向与 a的方向；当 λ＜0时，λa的方向与 a的方向；当 λ＝0时，λa＝ .

λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝； λ(a＋b)＝

三角形

相同

相反 0

λa＋ μa

λa＋ λb


3. 共线向量定理向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ ，使得 .b＝ λa


1．对共线向量的理解

(1)若向量 a，b共线，则向量 a，b的方向相同．

(2)若 a∥ b，b∥ c，则 a∥ c.

(3)(2013·郑州调研改编)设 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a

＋λb与 2a－b共线，则 λ＝－12.

(4)(2013·陕西卷改编)设 a，b 为向量，则“ |a·b|＝|a|·|b|” 是“ a

∥ b” 的充分必要条件．

辨析感悟

(×)

(×)

(√)

(√)

2．对向量线性运算的应用

(5)AB→ ＋BC→ ＋CD→ ＝AD→ .

(6)(教材习题改编)在△ ABC中，D是 BC的中点，则AD→

＝12(AC→ ＋AB→ )．

(√)

(√)

1 ．一个区别　两个向量共线与两条线段共线不同，

前者的起点可以不同，而后者必须在同一直线上．同样，两个平行向量与两条平行直线也是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上．

2 ．两个防范　一是两个向量共线，则它们的方向相

同或相反；如 (1)；二是注重零向量的特殊性，如(2).

感悟 • 提升

考点一平面向量的有关概念

【例 1】给出下列命题：

①若|a|＝|b|，则 a＝b；②若 A，B，C，D 是不共线的

四点，则AB→ ＝DC→ 是四边形 ABCD为平行四边形的充要

条件；③若 a＝b，b＝c，则 a＝c；④ a＝b的充要条件

是|a|＝|b|且 a∥ b.

其中真命题的序号是________．

高频考点

②③

【训练 1】设 a0 为单位向量，①若 a 为平面内

的某个向量，则 a ＝ |a|a0 ；②若 a 与 a0 平

行，则 a＝ |a|a0 ；③若 a与 a0 平行且 |a|＝

1 ，则 a＝ a0. 上述命题中，假命题的个数是

( 　　 ) ．　　　　　　　　　　　　　　　　　A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

答案　 D

以例求法，举一反三以例求法，举一反三

考点二平面向量的线性运算

【例 2】如图，在平行四边形 OADB中，设OA→ ＝a， OB→ ＝b，

BM→＝13 BC→ ， CN→ ＝

13 CD→ .试用 a，b表示OM→ ， O N→ 及MN→ .

高频考点

1 5

6 62 2

3 31 1

2 6

OM a b

ON a b

MN a b

(1) 进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．(2) 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．

规律方法

【训练 2】 (1) (2013·四川卷)如图，在平行四边形 ABCD中，

对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB→ ＋AD→ ＝λ AO→ ，则 λ＝

________.

(2)(2013·泉州模拟)已知 P，A，B，C是平面内四点，且PA→＋

PB→ ＋PC→ ＝AC→ ，那么一定有 ( )．

A.PB→ ＝2CP→ B.CP→ ＝2PB→ C.AP→ ＝2PB→ D.PB→ ＝2AP→


D

2

考点三向量共线定理及其应用

【例 3】 (2013·郑州一中月考)设两个非零向量 a与 b不共线．

(1)若AB→ ＝a＋b，BC→ ＝2a＋8b，CD→ ＝3(a－b)．求证：A，B，

D三点共线；

(2)试确定实数 k，使 ka＋b和 a＋kb共线．

高频考点

两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线

两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线

a,b不共线，当且仅当 λ1 ＝ λ2 ＝ 0时， λ1a ＋ λ2b ＝ 0成立

a,b不共线，当且仅当 λ1 ＝ λ2 ＝ 0时， λ1a ＋ λ2b ＝ 0成立

(1)证明 ∵ AB→ ＝a＋b，BC→ ＝2a＋8b，CD→ ＝3(a－b)．

∴ BD→ ＝BC→ ＋CD→ ＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB→ .

∴ AB→ ，BD→ 共线，又它们有公共点 B，

∴ A，B，D三点共线．

(2)解假设 ka＋b与 a＋kb共线，

则存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.

又 a，b是两不共线的非零向量，

∴ k－λ＝λk－1＝0.∴ k2－1＝0.∴ k＝±1.

规律方法(1) 证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

(2) 向量 a， b 共线是指存在不全为零的实数 λ1， λ2，

使 λ1a＋ λ2b＝ 0 成立，若 λ1a＋ λ2b＝ 0 ，当且仅当

λ1＝ λ2＝ 0 时成立，则向量 a， b 不共线 .

【训练 3】 (2014· 西安模拟 ) 已知向量 a， b

不共线，且 c＝ λa＋ b， d＝ a＋ (2λ－ 1)

b ，若 c与 d 同向，则实数 λ 的值为 _____ ．答案　 1


本节课你收获了什么？

小结与反思





仰望天空时，什么都比你高，你会自卑；俯视大地时，什么都比你低，你会自负；只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，才能在苍穹泛土之间找到你真正的位置。无须自卑，不要自负，坚持自信。

A.3 级混合满分练 P.291-292

课后作业

B.高频考点考点 12

C.预习创新设计第 2 讲，并完成作业





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