观察图 24 ． 3 ． 6 ，如果有一点 E 在边 AC 上，那么点 E 应该在什么位置才能使△ ADE 与△ ABC 相似呢？

图 24.3.6

3

1

AB

AD

图中两个三角形的一组对应边 AD与 AB的长度的比值为．将点 E由点 A开

始

=__________．

在 AC 上移动，可以发现当 AE ＝ ________AC 时，△ ADE 与△ ABC 相似．此时

如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？

3

1

3

1E

利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成比例，并且夹角相等．量一量第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等．另两个角是否对应相等？你能得出什么结论？

A

B

C D

E

F

如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．

例 3 证明图 24． 3． 7中△ AEB和△ FEC相似．

图 24.3.7

5.136

54

FE

AE

5.130

45

CE

BE

CE

BE

FE

AE

证明 　∵

， ∴

∴ △ AEB FEC∽△（如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两

个三角形相似）．

∵ ∠ AEB＝∠ FEC，

如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似吗？感觉上应该是能“相似”了．

依据下列各组条件，证明△ ABC和△ A′B′C′相似

∠A ＝ 40° ， AB ＝ 8 ， AC ＝ 15 ，∠A′ ＝ 40° ， A′B′ ＝ 16 ， A′C′ ＝ 30 ．

图 24.3.8

图 24.3.8

在图 24 ． 3 ． 8 的方格上任画一个三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？ 我们可以发现这两个

三角形相似．

如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．

例 4 在△ ABC和△ A′B′C′中，已知：　 AB＝ 6cm， BC＝ 8cm， AC＝ 10cm， A′B′＝ 18cm， B′C′＝ 24cm，A′C′＝ 30cm．试证明△ ABC与△ A′B′C′相似．

3

1

18

6

BAAB

3

1

24

8

CBBC

3

1

30

10

CAAC

CA

AC

CB

BC

BA

AB

证明 　∵

，

∴

∴ △ ABC A′B′C′∽△ （如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相

似）．

依据下列各组条件，证明△ ABC和△ A′B′C′相似

AB ＝ 10cm ， BC ＝ 8cm ， AC ＝ 16cm ， A′B′＝ 16cm ， B′C′ ＝ 12 ． 8cm ， A′C′

4 ．　依据下列各组条件，判断△ ABC 和△ A′B′C′ 是不是相似，如果相似，请给出证明过程．（ 1 ）　∠ A ＝ 70° ，∠ B ＝ 46° ，∠ A′ ＝ 70° ，∠ C′ ＝ 64° ；（ 2 ）　 AB ＝ 10 厘米， BC ＝ 12 厘米， AC ＝ 15 厘米， A′B′ ＝ 150 厘米， B′C′ ＝ 180 厘米， A′C′ ＝ 225 厘米；（ 3 ）　∠ B=35° ， BC=10 ， BC 上的高 AD=7 ，∠ B′=35° ，B′C′=5 ， B′C′ 上的高 A′D′=3 ． 5 ．

习题 24.3