理论力学（二）

哈密顿力学2011.10

拉格朗日方程的降阶• 拉格朗日函数是以广义坐标和广义速度描

述系统的。通过拉格朗日方程，可以得到二阶微分方程组。这与牛顿力学通过力的各个分量的分析，得到运动的加速度满足的方程具有类似的形式。

• 可以用广义速度为中间变量 vi ，把二阶微分方程变为一阶微分方程，代价是变量个数加倍。 ( , , )

, ( )i ii i

d L q v t Lq v

dt v q

广义动量作为中间变量• 这 2s 个方程中，计算 qi 的时间微商太简单，而

计算 vi 的时间微商太复杂。中间变量取 vi 并不合适。从拉格朗日方程看，直接可以计算广义动量 pi ，因而把它取为中间变量是合适的。

• 但是，拉格朗日函数中，自变量含有广义速度，而不含有广义动量。需要反解出广义速度用广义动量来表达。

• 哈密顿力学的理论研究了如何取自变量和系统函数来描述力学体系，使所得方程更加简单易解：

, ( , , ),i i i ii i

L Lp q q q p t p

q q

勒让德变换• 系统函数以谁为自变量，则它的全微分就

写成这些变量的微分之线性组合，系数就是该自变量的共轭变量，也即系统函数对该自变量的偏微分。

• 勒让德变换可以将系统函数的某个自变量（如下例的 x ）换为它的共轭变量（ u ），同时，系统函数也有相应变化。例如：( , ) ( )

( , ) ( )

f fdf x y dx dy udx vdy d ux xdu vdy

x y

dg u y d ux f xdu vdy

拉格朗日函数变换为哈密顿函数• 拉格朗日函数为系统函数时，广义速度和

广义动量是共轭坐标。

• 如果想以 pi 为自变量，则进行勒让德变换：1

( , , ) ( )s

i i ii i

L LdL q q t p dq dq dt

q t

1

1 1

( , , ) [ ( ) ]

[ ( , , )] [ ]

s

i i i i ii i

s s

i i i i ii i i

L LdL q q t dq d p q q dp dt

q t

L LdH p q L q q t dq q dp dt

q t

哈密顿函数• 定义哈密顿函数 H(p,q,t) ，数值上等于广义能量

积分，但必须以广义动量为自变量。

• 则对应有：

1

1

1

( , , ) ( , , ) ( , ( , , ), )

[ ]

[ ]

s

i ii

s

i i ii i

s

i ii i i

H p q t p q p q t L q q p q t t

L LdH dq q dp dt

q t

H H Hdq dp dt

q p t

, ,i ii i i

H L H L Hq p

p q q t t

哈密顿正则方程• 得到哈密顿正则方程（共 2s 个）：

• 方程给出了 2s 个变量随时间的变化率，可一步步积分求出以后各个时刻的值。其中前s 个给出广义速度和广义动量之间的关系，后 s 个等价于原来的 s 个拉格朗日方程。

• p 和 q 称为正则共轭变量，正则方程具有对称形式。

,i ii i

H Hq p

p q

哈密顿正则方程中的循环坐标• 从对应关系 得知，如

果拉格朗日函数不显含某个广义坐标，即存在某循环坐标，则哈密顿函数也不显含它，对应的广义动量守恒，因而可以将系统的自由度减少一维（可遗坐标）

• 2s 个正则变量只要其中一个在哈密顿函数中不显含，它对应的正则共轭变量就是常数，系统的自由度就可以减少一维（可遗）。

• 如果拉格朗日函数不显含时间，则哈密顿函数也不显含时间，广义能量积分或哈密顿量守恒。

,ii i

L H L Hp

q q t t

dH L H

dt t t

哈密顿正则方程与拉格朗日方程比较

• 拉格朗日函数及方程可以直接得到。而哈密顿函数需要通过广义动量代替广义速度之后，从拉格朗日函数经过变换得到。

• 拉格朗日方程是二阶的微分方程，而哈密顿方程是一阶的。但哈密顿方程的变量个数增大了一倍。

• 对于循环坐标，哈密顿正则方程处理起来方便很多，无论哈密顿函数缺少任意一个q ， p ， t ，都可以找到它相应的守恒量。

• 拉格朗日方程和哈密顿方程本质上是等价的。

劳斯函数• 经过对比得知，哈密顿正则方程擅长对循环

坐标处理，而拉格朗日方程对普通坐标处理较为简便。若只对循环坐标采用勒让德变换，使其处理用哈密顿正则方程，而对其余则不做变换，所得的为劳斯函数。设 q1~qm 是循环坐标，其余不是，则劳斯函数为

1 1 11

( ,..., ; ,..., , ,..., ; )m

s m m s i ii

R q q p p q q t p q L

劳斯方程• 同时，

• 对应可得

1

1 1

1 1

1 1

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

m

i ii

m s

i i i i i ii i i i

m s

i i i i ii i mi i i

m s

i i i ii i mi i i i

dR d p q L

L L Lq dp p dq dq dq dt

q q t

L L L Lq dp dq dq dq dt

q q q t

R R R R Rdp dq dq dq dt

p q q q t

, ( 1,..., ); , ( 1,..., )

, ( 1,..., ); 0 ( 1,..., )

ii i i i i i i

i ii i i i

R L R R L R Lq i m i m s

p q p q q q q

R R d R Rq p i m i m s

p p dt q q

哈密顿函数及正则方程举例• 弹簧谐振子问题。

• 相对论带电粒子。

2 2

2 2 2 2 2 2

1 1, ,

2 2

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

, 0

LL T V mq kq p mq

q

H pq L pq mq kq mq kq p kqm

H p Hq p kq mq kq

p m q

2 2 2

2 2 2 2 2 2

(1 1 / ) , ,

( )

LL mc v c q q m q

H L m c mc q c q m c mc q

A v p v Av

p v p A

哈密顿正则方程举例• 平方反比有心力场中的运动

• 不能因为 p 是恒量而直接替去 L 中的 ，而是应该用劳斯函数，其中 p 才能当常数处理。

2 2 2 2

222 2 2

2

2

3 2 2

2

3 2

1( ) , ,

2

1( )

2 2 2

, , ,

0 , 0

r

rr

rr

r

k L LL m r r p mr p mr

r r

ppk kH p r p L m r r

r m mr r

p ppH H k Hr p

p m r mr r p mr

pH kp p const mr

mr r

作业： 3.1, 3.2, 3.3 第 15 次课

哈密顿正则方程解题步骤• 用哈密顿正则方程解题的步骤大致有

– 确定系统的自由度，选取广义坐标。– 写出系统的拉格朗日函数。– 计算广义动量，并用广义动量来表示广义速度。– 通过勒让德变换计算哈密顿函数 H 。得到的 H

表达式中的广义速度用广义动量替换。– 列出哈密顿正则方程。– 求解方程，得到广义坐标随时间的变化关系。

并结合初始条件确定积分常数。

哈密顿正则方程举例• 相对论粒子在电磁场中运动（习题 3.5 ）

2 2 2

2 2

22 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

1 / ,1 /

( )1 /

,( )

[( ) ( ) ( ) ]( )

1 /

L mL mc c q q q

c

mcH L q c q m c q

cH q H

cq m c

cqq q q

q m c

q q q

d mq q q

dt tc

vv A v p A

v v

p v p Avp A

x v pp xp A

p A A p A Ap A

v B v A

v Av B

v

( )q E v B

由哈密顿原理推导哈密顿正则方程

• 由哈密顿原理出发，将 p ， q 都看成是独立变量，变分之后能得到哈密顿正则方程。

1

1

1

1

( )

[ ( ) ]

[ ( ) ]

[( ) ( ) ] 0

sB B

i iA Ai

s B

i i i i i iAi i i

s B B

i i i i i i i i AAi i i

s B

i i i iAi i i

S Ldt p dq Hdt

H Hp dq p d q q dt p dt

q p

H Hp q p q q p dt p q

q p

H Hp q q p dt

q p

正则变换• 通过对拉格朗日函数做勒让德变换，以广义

动量为自变量替换了广义速度，得到哈密顿正则方程。进一步，考虑用一组新的自变量 Qi(q,p,t) ， Pi(q,p,t) 和新的系统函数 K(Q,P,t) 和方程来描述力学体系的演化，有可能使得方程求解更加简便。

• 如果新的变量和函数之间仍然满足正则方程，则从 q ， p ， H 到 Q ， P ， K 的变换为正则变换。

( , , ) ( , , ),i i

i i

K Q P t K Q P tQ P

P Q

正则变换的等价条件• 如果到 Q ， P ， K 的变换为正则变换，则有

反之，将 Q ， P视为独立变量，也可以得到正则方程，因而是正则变换。

• 进一步，如果有

（其中 f 是任意函数），则显然也能满足积分的变分为 0 的条件，也即能判断是正则变换。这是因为真实运动过程的作用量最小，无论用新旧变量描述，只相差一个全微分。

1 1

( ) [( ) ( ) ] 0s sB B

i i i i i iA Ai i i i

K KPdQ Kdt P Q Q P dt

Q P

1 1

s s

i i i ii i

PdQ Kdt p dq Hdt df

正则变换的生成函数

• 虽然 f 任意，按照其全微分应该写为各个变量微分的线性组合的原则，这里 f 称为生成函数，它的自变量应该是 f1 = f(q,Q,t) 。因此

• 对应各项系数，有1 1 1, ,i ii i

f f fp P K H

q Q t

11 1

1 1 1

1

( , , ) ( )

( )

s s

i i i ii i

s

i ii i i

df q Q t p dq PdQ K H dt

f f fdq dQ dt

q Q t

正则变换的第 2种类型

• 还可以通过勒让德变换，用 p 或 P 作为 f 的自变量，能得到其他 3种类型的正则变换。

• 对应各项系数有 2 2 2, ,i ii i

f f fp Q K H

q P t

2 11

1 1

2 2 2

1

( , , ) [ ( , , ) ]

( )

( )

s

i ii

s s

i i i ii i

s

i ii i i

df q P t d f q Q t PQ

p dq Q dP K H dt

f f fdq dP dt

q P t

正则变换的 3 、 4种类型• 第 3种类型的正则变换的生成函数和系数对

应关系为：

• 第 4种类型的关系为：

3 11

3 3 3

( , , ) ( , , ) ,

, ,

s

i ii

i ii i

f p Q t f q Q t q p

f f fq P K H

p Q t

4 11 1

4 4 4

( , , ) ( , , ) ,

, ,

s s

i i i ii i

i ii i

f p P t f q Q t q p PQ

f f fq Q K H

p P t

几个简单的正则变换

• 广义坐标和广义动量互换，生成函数为

• 相空间平移

1 11

1

, ,s

i i i i i ii i i

f ff q Q p Q P q

q Q

21

2 2

( )( ),

,

s

i i i ii

i i i i i ii i

f q c P d

f fp P d Q q c

q P

作业： 3.4, 3.6, 3.7, 3.11 第 16 次课

正则变换实例

• 给定 P ， Q 表达式，求证为正则变换的问题， 通过化 为全微分即可（若没给 K 则取 K=H ）。• 例：证明 Q = ln(sin(p)/q) ， P = q cot(p) 为

正则变换。

1 1

( )s s

i i i ii i

p dq PdQ K H dt

2

cot ln(sin( ) / )

cot (cot / )

( cot ) cot [ ( cot )]

pdq PdQ pdq q p d p q

pdq q p pdp dq q

p p dq q pdp d q p p

正则变换实例

• 证明给定 P=P(p,q) ， Q=Q(p,q) 是正则变换的充分必要条件为雅克比行列式

• 证：

( , )1

( , )

P QJ

p q

( )

( ) ( )

1

Q Qpdq PdQ p P dq P dp

q p

Q Qp P P

p q q p

P Q P Q

p q q p

雅克比行列式• 考虑平面上使用正交曲线坐标 (q,p) ，另有正交曲线坐标为 u=u(q, p) ， v=v(q, p) ，面积元：

• 雅克比行列式是面积元变换时的系数。

( ) ( )

( , )( )( ) ( )

( , )

( , )

( , )

q p q pdS du dv dudv

u v q u p u q v p v

q p p q q pdudv dudv

q p u v u v q p u v

q pdS dqdp dqdp dudv

q p u v

r r r r r r

r r r r

r r

正则变换实例

• 给出变换求生成函数。• 已知有一变换 Q=qncos(mp) ， P=qnsin(mp) ，

其中 m,n 是常数。求 (1) 该变换为正则变换时 m,n 的值。 (2) 正则变换时的第 3 类生成函数。

• 证：( , ) 1

1, 2 1 0, 1 , 2( , ) 2

P Qn mn n m

p q

3

2 2

2

sin(2 )

tan(2 ) ( tan(2 ))cos (2 ) 2

df qdp PdQ qdp q p dQ

Q Qdp Q p dQ d p

p

正则变换实例• 给出生成函数求变换并求解。• 对于谐振子哈密顿函数 进行正

则变换 ，求解系统的运动。• 解：

22 21

2 2

pH m q

m

21 1

2

2 2 2 2 2

, cot2sin

1 1cot

2 2

2, 0 , sin

f fm qP p m q Q

Q Q q

K H m q Q m q P

PQ P Q t q Q

m

21

1cot

2f m q Q

正则变换实例• 给出生成函数求变换并求解。• 已知生成函数 给出相应的正则

变换，并求解抛体的运动问题。• 解： 21 1

2

22 2 2

212 2

, ( )2

1

2

1 1( )

2 2 2

1( ), ( )

2

f f gp mgQ P mg Q q

q Q

Pq gQ

mg

p PK mgq mg Q mg gQ P

m mg

Cp mg t C q g t C

mg

31

1( )6

f mg gQ qQ

泊松括号

• 泊松括号定义为

• 对于只含单个 p,q 的情况是雅克比行列式。• 利用正则方程，任意函数的全微分可表示为：

用以判断该物理量是否守恒。

1

[ , ] ( )s

i i i i i

f g g ff g

q p q p

[ , ] [ , ], [ , ]df f

f H q q H p p Hdt t

泊松括号基本性质• 反对称性• 是否配对 正则变换时• 微分

• 分配律• 结合律• 泊松恒等式• 正则不变性

,

,

, ,

[ , ] [ , ] [ , ] 0

[ , ] , [ , ] 0, [ , ] 0

[ , ]

[ , ] [ , ] [ , ]

[ , ] [ , ] [ , ]

[ , ] [ , ] [ , ]

[ ,[ , ]] [ ,[ , ]] [ ,[ , ]] 0

[ , ] [ , ]

i j i j i j i j

i j i j

p q P Q

f g g f f f

q p q q p p

Q P

f gf g g f

x x xf u v f u f v

f uv f u v u f v

f u v u v f v f u

f g f g

作业： 3.13, 3.14, 3.15, 3.18 第 17 次课

泊松定理• 如果 f(q,p,t) 和 g(q,p,t) 是守恒量，则由他们

组成的泊松括号也是守恒量。利用全微分算符和偏微分算符可交换的性质，有

• 即可得证。由泊松定理，可以从两个已知的守恒量推导出更多的守恒量，但大多得到的是常数或原来运动积分的线性组合。

[ , ] [ , ] [ , ] 0d df dg

f g g fdt dt dt

泊松括号的正则不变性• 进行了正则变换之后，用新的 P ， Q 作为泊松括号表达式中作偏导数的自变量，其泊松括号不变，即柏松括号的正则不变性。

• 对于自由度为 1 的情况，有

• 即可得证。多维的情况证明从略。

,

,

( , ) ( , ) ( ( , , ), ( , , ))[ , ]

( , ) ( , ) ( , )

( , )[ , ]

( , )

q p

Q P

f g f g Q q p t P q p tf g

q p Q P q p

f gf g

Q P

泊松括号例题• Jx ， Jy ， Jz 和 J 分别是相对原点的角动量的三

个分量和总角动量。求 [Jx ， Jy] ， [Jx ， J] ，说明 Jx ， Jy 不能同时成为广义动量，若他们两个都是运动积分，则 Jz 也是运动积分。证：

两个广义动量的泊松括号必为 0 而 [Jx， Jy]≠0 。

2 2 2

[ , ] [ , ]

[ , ] 0 0 [ , ]

[ , ] [ , ] [ , ] 2 [ , ] 2 [ , ]

2 2 0, [ , ] 0

x y z y x z

x z y z z

x x y x z y x y z x z

y z z y x

J J yp zp zp xp

yp p z xp z p J

J J J J J J J J J J J J

J J J J J J

泊松括号例题• 哈 密 顿 函 数 H=p1p2+q1q2 ，证明 p1

2+q22 和

p22+q1

2 是守恒量，并导出其他守恒量。证：

若前两个量守恒则此量也守恒。

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2

[ , ] [ , ]

0 2 [ , ] 2 [ , ] 2 2 0

p q H p q p p q q

p q p q p q q p p q p q

2 2 2 22 1 2 1 1 2 1 2

2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2

[ , ] [ , ]

0 2 [ , ] 2 [ , ] 2 2 0

p q H p q p p q q

p q p q q p q p p q q p

2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 1 1 1 2 2

1 1 2 2

[ , ] [ , ] [ , ]

2 2

p q p q p q q p

p q q p

哈密顿 -雅可比方程的由来• 取适当的生成函数，正则变换之后，有可能

使得系统函数特别简单，从而方程的求解也很简单。最简单的情况是，系统函数变为 0 。这时，由 P ， Q 满足的正则方程可得：

• 因此， P ， Q均为常数。同时，若是第 2 类生成函数，则有

0, 0i ii i

K KP Q

Q P

2 2 20, ,i ii i

f f fK H Q p

t P q

哈密顿 -雅可比方程• 这样，牛顿力学中求解方程的问题，转化

为如何寻找适合的生成函数的问题。设生成函数（主函数）是 S ，则有

这就是哈密顿 -雅可比方程。通过求解此方程，可以得到包含 s+1 个积分常数（记为P0 ， P1 ， ... ， PS ）的生成函数 S 。

11

( ,..., ; ,..., ; ) 0ss

S S SH q q t

q q t

1 1 0( ,..., ; ,..., , )s sS S q q P P t P

哈密顿主函数中的积分常数• 这 s+1 个积分常数，正是哈密顿 -雅可比方

程中 s+1 个自变量的偏微分经过积分得到的。其中， P0 不起任何作用，也没有物理意义，可以舍去或取为 0 。其余 s 个，取作生成函数中的 P ，即正则变换的新广义动量。

• 由正则变换，可以得到 s 个运动积分 Q ：1 1( ,..., ; ,..., , ), 1, 2,...,s s

ii

S q q P P tQ i s

P

哈密顿主函数的物理意义• 哈密顿主函数 S 其实正是作用量函数，这可

以从下式中看出：

• 哈密顿主函数 S 也被称为哈密顿作用量函数。• 哈密顿函数如果不显含时间 t ，则它为守恒

量，从而主函数可以积分得到如：

• 其中 W 不含时间，称为哈密顿特征函数。

1 1

s s

i i ii ii

dS S Sq p q H L

dt q t

1~ 1~ 0( , )s s

SH E S W q P Et P

t

哈密顿 -雅可比方程的解法• 求解偏微分的哈密顿 -雅可比方程，一般常

用分离变量法。如前面对哈密顿函数不含时间 t 的处理，即是分离变量 t 。

• 一般来说，如果哈密顿函数中只含有某个坐标 qk 和 pk 的组合 g(qk,pk) ，则在哈密顿 -雅可比方程中，可以令

而在哈密顿 -雅可比出现这个组合的地方用这个常数代替，使方程中减少了这个变量。

( , ) constantkk

Sg q

q

哈密顿 -雅可比方程实例• 用哈密顿 -雅可比方程求解一维简谐振荡。• 解：

22

2 2

2

12

1,

2 2

( ) , ( ) 2

2

sin ( )2 2

2sin( ( ))

p SH kq E

m tW

S W q Et mkq mEq

S W Et mE mkq dq Et

S m m kt dq t q

E E kq k E

E kq t

k m

第 18 次课

作业： 3.20, 3.21, 3.22, 3.24

哈密顿 -雅可比方程实例• 用哈密顿 -雅可比方程求解开普勒问题。• 解：

22

2

2 22

22

2

2

2

1( ) ,

21

( , ) , ( ) ( ) 2 ( )

, ( ), ( ) 2 ( )

, 2 ( )

r

rr

p a SH p E

m r r tW W a

S W r Et m Er r r

WW J aJ W J W r m E

r r r

a JS J dr Et m E

r r

1

1 2 2 2 2

2

, cos

2

J maS m S J r Jt dr drE J r m a

mEJ

哈密顿 -雅可比方程分离变量实例

• 用哈密顿 -雅可比方程求解哈密顿函数为

的问题。• 解：

• 其中， Di 是积分常数，加在 Wi 中无实际意义。

1 1

1

1

, ( ) ... ( )

( , ) ( , ) 0

( , ) ( , ) , 0

( , , , )

s s

si i

i i i ii i i

si i

i i i i i iii i

i i i i i

H E W W q W q

W Wf q Eg q

q q

W Wf q Eg q C C

q q

W W q E C D

1 1 1

1 1 1

( , ) ... ( , )

( , ) ... ( , )s s s

s s s

f q p f q pH

g q p g q p

哈密顿 -雅克比方法的相关讨论• 从哈密顿 -雅克比方程解出主函数 S ，取之为第 2 类

正则变换生成函数。其中的积分常数换为新广义动量P1,P2,…,Ps 。变换得到 K=0 。从而 P,Q均为常数。

• 这 s+1 个“积分常数”并不一定是在积分过程中产生的，反而常常是在分离变量中出现的。

• 这些积分常数经常是一些守恒量。它们的全微商为 0 ，但做正则变换时又被视为自变量来求偏导：

• 哈密顿 -雅克比主函数 S虽然就是作用量函数，但直接通过对 L 积分求出 S却缺乏 s 个积分常数 P ，不能用于正则变换。

• 哈密顿函数 H 描述了系统的性质，而哈密顿 -雅克比主函数 S 描述的系统进一步是具有相同的多个守恒量 P 的状态。

ii

SQ

P

分析力学的应用——连续体系• 连续体系：由无限多个相互关联的介质或场构成的、空间上连续变化的力学体系。如弹性固体，流体，甚至电磁场，都可以当作连续体系处理。

• 以一维弹性体为例，将连续体系看作是各个离散的质点，单位体积的拉格朗日函数为：

2 21

0 0

1 1( ) , lim , lim( ),

2 2i

i i ix x

mqL q E E k x x x x

x x

2 21

1 1( )

2 2i i i i i i iL L x T V m q k q q

连续体系的拉格朗日函数• 连续体系的特点是具有以时间和空间为自变

量的场量。• 在弹性力学中， E 是杨氏模量，代表物体的

弹性。是物体的线密度。偏离平衡位置的位移量作为连续体系的场量。

• 全空间的拉格朗日函数为：

• 其中，广义速度在保留一阶小量时可以写为q 对时间的偏微分。

2 21 1[ ( ) ]2 2V V

qL Ldx q E dx

x

连续体系的拉格朗日方程• 连续体系的特点是具有以时间和空间为自变

量的场量。拉格朗日密度函数一般含有场量对时间的偏微分和对空间的偏微分。从而可以运用哈密顿最小作用量原理求出场量所遵循的拉格朗日方程。

( , , , )

[ ]

B B

A AV

B

AV

q qLdt L q t dxdt

t x

L L Lq q q dxdt

q qq t xt x

连续体系的拉格朗日方程• 通过对时间和空间分部积分得到：

21[ ] [ ]

[ ] 0

0

B BB xA xA A

V

B

AV

L LLdt q dx q dt

q qt x

L L Lqdxdt

q qq t xt x

L L Lq qq t xt x

一维弹性体的拉格朗日方程• 对于一维弹性体，可得：

• 这是一个以速度 vs 传播震动的波动方程。其解为正向和反向传播的行波：

2 2

2 22

2 2

1 1( )

2 2

0,s s

qL q E

x

q q Ev v

t x

( , ) ( ) ( )s sq x t f x v t g x v t

第 19 次课

作业： 3.25, 3.26, 3.27

电磁场的拉格朗日函数• 对于作用量中电磁场本身贡献的部分，必须

是与坐标选取无关的标量（注意到 dVdt 是 4维时空的“体积”，是与坐标选取无关的量）： 2

2 20

,0 0

1 1 1( ) ( ) ,2 2 2

( , , , ), ( , , , )

0 /

0 /,

0 /

/ / / 0

f jii j

i i x y z

z y x

z x yjiji

y x zj i

x y z

BL E F

x x y z ict A A A A ic

B B iE c

B B iE cAAF F

B B iE cx x

iE c iE c iE c

电磁场的拉格朗日方程• 而带电粒子与场的相互作用部分为：

• 从而：

• 应用哈密顿原理得拉格朗日方程：

2

,0

1 1( ) ( ) ,2 2

f q

jik k

i j kj i

L L L

AAA j

x x

1( )

( , , , )

q i ii

i x y z

L q q A jV

j j j j ic

A v A j

0( )lk k lk

l ll l l k

F A Aj

x x x x

电磁场的麦克斯韦方程• 从而：

00

( )yx zEE Ei

icc x y z

E

0

0

0

0 2

( )

( )

( )

1

y xzx

yxzy

y x zz

B EB ij

y z c ict

EBB ij

x z c ict

B B Eij

x y c ict

c t

E

B j

电磁场的麦克斯韦方程• 也可以直接从电磁场计算：

22

00

1( )2

BL E

A j

00 0

0 0 20 0

0 0 0

0

, 0, , ,

1( ) ( ) ( )

, , , , 0

yzx x

x x x xx

y xzx x x x

x y z

BBL L L L Lj E

A A A AAx y z t

B EBj E j

y z t c t

L L L L LE E E

x y z t

B

E

电磁场的麦克斯韦方程• 加上本身具有的性质：

构成了麦克斯韦方程组。并且， 4 维空间的方程具有简洁的形式，在相对论的洛仑兹变换下方程的形式不变。爱因斯坦的相对论论文题目就是“论运动物体的电动力学”。在电动力学中，光在不同坐标系中的速度不变是一个基本的事实。真空中电磁波满足波动方程与坐标系无关：

( ) 0

( )t t t

B A

A A BE

22

2 2

10

c t

B

B

量子力学的建立• 经典物理学在描述微观世界时，遇到了很

大的困难。在新的观念和假设下，量子力学得以建立，能成功地描述很多微观物理现象。量子力学是研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科，它主要研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。量子力学不仅是近代物理学的基础理论之一，而且在化学、半导体器件、激光等有关学科和许多近代技术中也得到了广泛的应用。

旧量子论• 量子力学在旧量子论的基础上发展起来，旧量子论包括：– 普朗克的量子假说–爱因斯坦的光量子理论–玻尔的原子理论

• 1900年，普朗克提出辐射量子假说，假定电磁场和物质交换能量是以间断的形式 ( 能量子 )实现的，能量子的大小同辐射频率成正比，比例常数称为普朗克常数，从而得出黑体辐射能量分布公式，成功地解释了黑体辐射现象。

爱因斯坦的光量子理论• 1905年，爱因斯坦引进光量子 (光子 ) 的概念，并给出了光子的能量、动量与辐射的频率和波长的关系，成功地解释了光电效应。其后，他又提出固体的振动能量也是量子化的，从而解释了低温下固体比热问题。

• 爱因斯坦获得诺贝尔奖是因为他的光电效应理论，而不是因为他的狭义相对论和广义相对论的工作。

玻尔的原子理论• 1913年，玻尔在卢瑟福有核原子模型的基础上建立起原子的量子理论。按照这个理论，原子中的电子只能在分立的轨道上运动，原子具有确定的能量，它所处的这种状态叫“定态”，而且原子只有从一个定态到另一个定态，才能吸收或辐射能量。这个理论虽然有许多成功之处，但对于进一步解释实验现象还有许多困难。

第 20 次课

量子力学与经典理论• 从经典力学过渡到量子力学的过程中，需

要对旧量子论涉及的物理现象有理论解释。量子理论在宏观世界中应该与经典力学的描述一致。有关的工作有：– 德布罗意的波粒二象性的假说–薛定谔方程–海森伯的测不准关系–狭义相对论量子理论

德布罗意的波粒二象性的假说• 在人们认识到光具有波动和微粒的二象性之后，

为了解释一些经典理论无法解释的现象，法国物理学家德布罗意于 1923年提出微观粒子具有波粒二象性的假说。德布罗意认为：正如光具有波粒二象性一样，实体的微粒 ( 如电子、原子等 ) 也具有这种性质，即既具有粒子性也具有波动性。这一假说不久就为实验所证实。

• 由于微观粒子具有波粒二象性，微观粒子所遵循的运动规律就不同于宏观物体的运动规律，描述微观粒子运动规律的量子力学也就不同于描述宏观物体运动规律的经典力学。当粒子的大小由微观过渡到宏观时，它所遵循的规律也由量子力学过渡到经典力学。

薛定谔方程• 量子力学与经典力学的差别首先表现在对

粒子的状态和力学量的描述及其变化规律上。在量子力学中，粒子的状态用波函数描述，它是坐标和时间的复函数。为了描写微观粒子状态随时间变化的规律，就需要找出波函数所满足的运动方程。这个方程是薛定谔在 1926年首先找到的，被称为薛定谔方程。

• 这个方程，可以看作源自经典力学的哈密顿 -雅可比方程，经过一些转换获得。

海森伯的测不准关系• 当微观粒子处于某一状态时，它的力学量

( 如坐标、动量、角动量、能量等 ) 一般不具有确定的数值，而具有一系列可能值，每个可能值以一定的几率出现。当粒子所处的状态确定时，力学量具有某一可能值的几率也就完全确定。这就是 1927年，海森伯得出的测不准关系，同时玻尔提出了并协原理，对量子力学给出了进一步的阐释。

相对论量子力学• 量子力学和狭义相对论的结合产生了相对

论量子力学。经狄拉克、海森伯和泡利等人的工作发展了量子电动力学。 20世纪 30年代以后形成了描述各种粒子场的量子化理论——量子场论，它构成了描述基本粒子现象的理论基础。

新量子论• 1925年，海森堡基于物理理论只处理可观察量的认识，抛弃了不可观察的轨道概念，并从可观察的辐射频率及其强度出发，和玻恩、约尔丹一起建立起矩阵力学； 1926年，薛定谔基于量子性是微观体系波动性的反映这一认识，找到了微观体系的运动方程，从而建立起波动力学，其后不久还证明了波动力学和矩阵力学的数学等价性；狄拉克和约尔丹各自独立地发展了一种普遍的变换理论，给出量子力学简洁、完善的数学表达形式

量子力学的理论形式• 量子力学的三种形式：

–海森伯，矩阵描述。–狄拉克，费米，路径积分形式。–薛定谔，波动方程。

• 通过不同的假设和理论线路创建并完善量子力学理论，得到的结果在数学上是等价的。相当于经典力学中，正则变换将一种理论形式转变为另外一种理论形式。

薛定谔对作用量函数的代换• 薛定谔的波动量子力学从哈密顿 -雅可比方

程入手，对经典的作用量函数（特征函数）作变量代换：

• 这个代换，从数学上讲没有任何问题，但这里很自然地引入了普朗克常数作为作用量函数的单位，而这个常数与玻尔的氢原子理论中的量子化常数是相同的。

lnW

对氢原子模型的处理• 对于氢原子模型，实际上就是经典力学中的开普勒问题，用经典力学的结果解释不了实际的氢原子。以氢原子为例，可以让我们了解如何从经典力学过渡到量子力学的。哈密顿 -雅可比方程变为：

22 2 2 2

20

2( ) ( ) ( ) ( ) 0

4

m eE

x y z r

薛定谔对方程的假设• 事实上，薛定谔并不是直接求解此方程，而

是认为该方程左端的空间积分的变分为 0 ：

• 利用对于连续体系积分的变分处理，可得到：

22 2 2 2

20

2[( ) ( ) ( ) ( ) ] 0

4V

m eE dV

x y z r

2 2 2 2 2

2 2 20

( )2 4

eE

m x y z r

量子力学的物理量和算符• 方程可改写为：

• 与经典力学相比，哈密顿量成为算符，动量也成为算符：

• 从经典力学的哈密顿 -雅可比方程过渡到薛定谔方程，所产生的变化是：物理量成为算符，算符的次序不可交换性导致泊松括号的结果不为 0 ，每个物理量都对波函数作用。

22ˆ ˆ,

2H E H V

m

i p

波函数与哈密顿 -雅克比主函数• 量子力学和经典力学中，假设动量 px 相同，有

• 对于薛定谔方程中的动量平方，有

• 与经典力学相比，多了的一项在 时很小。• 对于单个自由质点， ，波函数写为波的形

式为 ，对比可知，德布罗意物质波有 。此波函数代表了具有一定动量和能量的质点，其初始位置未定，可能出现在空间任何地方。

ˆi

S

x x

Sp i p e

x x

2 2 22 2 2 2

2 2 2ˆ ( ) ( )

i i i iS S S S

x x

S S S Sp e i e e i e p i

x x x x x x

0

xS P x Et ( ) ( )x

iP x Et i kx te e

,xp k E

氢原子的能量量子化• 从氢原子方程求出的本征值 E 为：

• 这个结果与玻尔的氢原子模型所得的完全相同。这说明当初预先假设氢原子的能量是量子化的是不必要的，而只是因为本征值是量子化的结果。如果对于另外一些方程的本征值可以取连续的值，则能量也是连续的。

4

2 2 2 20

, 1, 2,...32

meE n

n

一维谐振子的解• 薛定谔方程示例：一维谐振子问题

若有解

2

2 2 2

22

2

1 22

2

20 1 2 0

2

1

1 1[ ( ) ]2 2

2( ) 0, ,

( ) ( ) , 2 ( 1) 0,

( ...), ( 0)

( 2)( 1) (2 2 1 )

0, 0, 2 1, ( 1/ 2), 1,2,3,...

s

n n

n

di m x E

m dx

d u m Eu x

d

d H dHu H e H

d d

H a a a a

s n s n a s n a

s a n E n n

第 21 次课

刘维尔定理• 相空间。由多个粒子构成的体系中，以广

义坐标和广义动量为自变量构成的空间。又称为空间，自变量 (q1,...,q3n;p1,...,p3n) 。

• 代表点。系统处于某个初始坐标和动量，可用在相空间中一个代表点来表示。

• 统计系综。对于相空间中的一群代表点作统计平均。

• 刘维尔定理：相空间的代表点的统计系综的分布密度在运动过程中保持不变。

相空间的连续性方程• 考虑在相空间的一个小的方体积元 V内，

单位时间内流出这个侧面和进入体积的一个侧面相对的另一个侧面的粒子个数之差为：

这些净流出的粒子使小体积元内密度减小，即得相空间的连续性方程

1

( ) ( )( ) 0

si i

i i i

q p

t q p

( ) ( )( ) ( )

i i i i i

i ii i i i i iq a q q a

i i

q qq S q S S q V

q q

刘维尔定理的证明• 由于相空间的内粒子满足正则方程，则：

• 即在相空间的代表点的密度在运动过程中不改变。

1

2 2

1

1

( )

( )

( ) 0

si i

i ii i i i i

s

i ii i i i i i i

s

i ii i i

q pq p

t q q p p

H Hq p

t q q p p q p

dq p

t q p dt

刘维尔定理的应用• 由于物理量 的变化可以表示为：

• 在系统达到了平衡时，各处的密度将不再随时间变化，即

• 因此有• 由此可推导各种平衡态的分布函数（即相空

间的密度 ），特别是当分布函数是以 H 为自变量的函数时，显然满足条件 [ , H ] = 0 ，可作为平衡时的分布函数。

[ , ] 0d

Hdt t

0t

[ , ] 0H

刘维尔定理的应用• 例如，平衡状态的气体的速度分布为：

• 描述等离子体状态的动力论方程，即为刘维尔定理的又一个应用

• 其中， f 是分布函数，也即相空间的粒子密度， F 是粒子受力， m 是粒子质量，二者相除得到加速度，是速度变量（代替广义动量）的时间全导数。

23 3

2 2 20 0( ) ( )2 2

mv H

T Tm m

f n e n eT T

0df f f

fdt t m

F

vv

位力定理• 如果一个系统，其中所有粒子所处的区域和

其动量都是有限的，可定义有限量：

它随着时间的变化为：

• 其中，右式的第二项称为系统的位力。对此式做长时间的平均，得：

i ii

S r p

( ) 2i i i i i ii i

dST

dt r p r p r F

0

2

1 ( ) (0)lim lim 0

i ii

dST

dt

dS S Sdt

dt

r F

位力定理• 这样可以求出动能的平均值： 当力为保守力时，

特别地，当保守力是距离的 n 次方时，有：

对于平方反比力 n= -2 ，有 这是对于椭圆轨道成立。对于双曲线和抛物

线，由于位置不是有限的，结果不成立。 对于谐振子 n=1 ，有

1

2 i ii

T r F

1

2 i ii

T V r

1

2

nT V

1

2T V

T V

理想气体状态方程• 位力定理应用于理想气体，假设气体局限在有限体积内，其边界面 S受到压力P

• 由此得到理想气体的状态方程。其中， 是波尔兹曼常数。 N 是系统的粒子个数。每个粒子的动能在三个自由度上均分。

3 1 1T ( )

2 2 2

3, T

2 2

i ii S

V

N T Pd

PdV PV PV N

r F r S

r

第 22 次课

对一些周期运动的处理• 在用哈密顿 -雅可比方程解力学问题的过程

中，我们常用分离变量法。• 若一个系统

– 哈密顿函数不显含时间– 广义坐标具有周期的性质– 哈密顿特征函数中，能将各坐标分离变量

则可应用作用变量和角变量的方法进行求解。此时，取第二类正则变换的母函数为不含时的特征函数：

21

( )s

i ii

f W W q

特征函数的方程解法• 此时，要求经过正则变换之后，系统函数

为常数：

• 相应的有

• 应用分离变量法，可以求出每个 Wi ，并产生相应的积分常数 ci ( i=2,3,...,s ) ，且

,ii i

i i i

WW Wp Q

q q P

11

( ,..., ; ,..., )ss

W W WK H H q q E

t q q

2( ; , ,..., )i i i sW W q E c c

作用变量• 分离变量法之后，对于每个广义坐标 qi 可以求出

相对应的特征函数 Wi(qi) 以及积分常数 ci ，但我们不用这些积分常数 E, c2,…, cs 作为广义动量 P1, P2,…, Ps ，而是重新定义

为新的广义动量 P 。该量又称为作用变量，原因是它具有作用量的量纲。这里的带圈积分符号的意义是做一个周期的积分。

2

2

( , , ,..., )

( , ,..., ) 1, 2,...,

i i si i i i

i

i s

W q E c cJ p dq dq

q

J E c c i s

作用变量和角变量• 反解积分常数 E, c2,…, cs 可得他们作为新

的广义动量 J1, J2,…, Js 的函数：

• 另外，新广义坐标 Qi 称为角变量，正则变换之后满足正则方程。

1 2 1 2( , ,..., ), ( , ,..., ), 2,3,...,

, 1, 2,...,

s i i s

ii

E E J J J c c J J J i s

WQ i s

J

1 2( , ,..., )0,

constant , 1, 2,...,

si i

i i i

i ii i

E J J JK HJ P

Q Q Q

K EQ i s

P J

作用变量的意义• 这说明新的广义动量（作用变量） Ji 是常

数，是守恒量。而它的意义是，当广义坐标qi 变化一周期时，若回到原来的值， Ji 就是相空间 ( qi, pi ) 所围成的面积；若增加到新的值，则是一个周期内相空间中的运动轨迹与 qi 坐标轴围成的面积。

qiqi

pipi

角变量的意义• 新的广义坐标（角变量） Qi 是随时间线性

变化的量，比例系数 i 是常数，其意义是频率：

• 即每经过一个周期，角变量 Qi 增加 1 ，因此比例系数 i 是频率。

0

2

( )

1( ), 1,2,...,

i i i

i ki k i k k k

k k i i

kk k

i i

Q t Q

Q pWQ dq dq dq

q q J J

Jp dq k i i s

J J

周期运动——一维谐振子• 一维谐振子的振动频率。这是周期的运动，仅是一维情况，不存在分离变量问题，满足条件。其哈密顿函数为

• 相空间中，轨迹构成一个椭圆，其组成的面积为常量：

• 其频率为

22 21

2 2

pH m q E

m

2

2 22

E EJ mE

m

,2 2

J EE

J

周期运动——氢原子能级• 氢原子的能级，经典解法结合量子化条件。

（具体积分过程见后一页）利用量子化条件：

2

1

22 2

20

22

20

22 2

20 0

2 2 4

, 2 , 22

2 2 22 2 2

r

r

r

r r

pp eH E

m mr r

cmeW c W dr mE J c

r r

cme e mJ dr mE c

r r E

4 4 4

2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0

,8 ( ) 8 32r n

r

me me meJ J nh E

J J n h n

周期运动——氢原子能级• 具体积分计算：

2 2

1 1

22 2 22 2

2 2 2 20 0 0

2 22

2 2 20 0

0 0 0

2

2 12 2 2 ( ) ( )

2 4 4

2 1( ) , , cos , tan ,4 4 2

cos2 sin ( ) 2 cos 2

cos

12

1

r r

r r r

r

cme mE me meJ dr mE c dr

r r c c c r

mE me me uA B B A u w

c c c r

uduJ c A udr u c A r udu c A

A u B

wc A

w

2 2 2 2 20 0

21 1

2 200

2 14 ( )

(1 ) (1 ) ( ) 1

4 [ tan ( ) tan ] 22 2

dw Bc dw

A w B w B A w A B w

B B A e mc w w c

B A EB A

微扰近似• 力学体系的哈密顿函数 H 可分为未扰动运动

的部分 H0 和微扰的部分 H1 ： H= H0+H1

• 对于未扰动时的系统运动，从哈密顿 -雅可比方程求出作用量函数 S0 ，以及以 S0 为母函数的正则变换得到的新的广义动量 Pi 和广义坐标 Qi (i=1,2,…,s) ，它们在未扰动时均是常量。

• 从而，从这些守恒量的表达式可反解出未扰动的运动：

1 1

1 1

( ,..., ; ,..., ; ),

( ,..., ; ,..., ; )

j j s s

j j s s

q q Q Q P P t

p p Q Q P P t

微扰近似• 存在扰动时，仍然用 S0 为母函数做同样的正则

变换，系统新的哈密顿量为

• 此时，新的广义动量 Pi 和广义坐标 Qi(i=1,2,…,s) 不再为常数，它们满足正则方程：

• 从这个正则方程中可以解出新广义变量随时间的变化：

00 1 1( ; ; ) ( ( ; ; ); ( ; ; ); )

SK Q P t H H H q Q P t p Q P t t

t

1, , ( ; ; ) ( ( ; ; ); ( ; ; ); )i ii i

K KQ P K Q P t H q Q P t p Q P t t

P Q

(0) (0) (0) (0)( ; ; ), ( ; ; )i i i iQ Q Q P t P P Q P t

微扰近似• 由于使用了同样的母函数做正则变换，用新的

广义变量表达原广义变量的公式依然成立。• 从而给出有存在扰动时，系统的运动有：

• 有时，对于复杂的系统还可以用微扰处理的方法逐级求解。如行星运行过程中受到其他行星的引力扰动，就可以用微扰法来处理。

(0) (0) (0) (0)

(0) (0) (0) (0)

( ( ; ; ); ( ; ; ); ),

( ( ; ; ); ( ; ; ); )

j j

j j

q q Q Q P t P Q P t t

p p Q Q P t P Q P t t

第 23 次课