带电粒子在“复合场”中的运动

（一）

莆田第二中学 郑少华

“ 复合场”： 电场、磁场和重力场并存或两种场并存，或分区域并存．粒子在复合场运动时要考虑________、 _________和重力作用．静电力 洛伦兹力

注： 分析带电粒子在复合场中的运动时，如果没有明确指出，则对于微观粒子如电子、质子、α粒子、离子等其重力可忽略不计；对于实际物体，如带电小球、液滴、金属块等一般应考虑重力．

带电粒子在匀强电场和匀强磁场中偏转的比较 分类项目 匀强电场中偏转 匀强磁场中偏转

偏转产生条件

带电粒子以速度 v0 垂直射入匀强电场

带电粒子以速度 v0 垂直射入匀强磁场

受力特征 F=qE( 恒力 ) F=qv0B( 变力 )

运动性质 匀变速曲线运动 匀速圆周运动

轨迹 抛物线 圆或圆弧

处理方法 运动的合成与分解 匀速圆周运动知识

运动规律vx=v0 vy=qE/mt

x=v0t y=qEt2/(2m)R=mv0/(qB) T=2πm/(qB)

偏转角 θ=arctanvy/v0 θ=ωt=v0t/R=qB/mt

动能变化 动能增大 动能不变

如图所示，在 xOy平面的第一象限有一匀强电场，电场的方向平行于 y轴向下；在 x轴和第四象限的射线 OC之间有一匀强磁场，磁感应强度的大小为 B，方向垂直于纸面向外．有一质量为 m，带有电荷量＋ q的质点由电场左侧平行于 x轴射入电场．质点到达 x轴上 A点时，速度方向与 x轴的夹角 φ， A点与原点 O的距离为 d，接着，质点进入磁场，并垂直于 OC飞离磁场．不计重力影响．若 OC与 x轴的夹角为 φ，求：

(1)粒子在磁场中运动速度的大小；(2)匀强电场的场强大小．

题型一 带电粒子在相互分离的电场和磁场中的运动

[ 思路点拨 ] 　 根据粒子在不同区域内的运动特点和受力特点画出轨迹，分别利用类平抛和圆周运动的分析方法列方程求解．

　

质点在磁场中的轨迹为一圆弧．由于质点飞离磁场时，速度垂直于 OC，故圆弧的圆心在 OC上．依题意，质点轨迹与 x轴的交点为 A，过 A点作与 A点的速度方向垂直的直线，与 OC交于 O′.由几何关系知， AO′垂直于 OC， O′是圆弧的圆心 .

设圆弧的半径为 R，则有 R＝dsin φ① 由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得

qvB＝mv2

R②

将①式代入②式，

得 v＝qBdm sin φ.③

[答案] (1)

qBdm sin φ (2)

qB2dm sin3φcos φ

点拨： 处理这类带电粒子在分区域的电场、磁场中的

运动问题，首先应分区域单独研究带电粒子在匀强电场中做类平抛运动、在匀强磁场中做匀速圆周运动，然后找出在两种场的分界线上的两种运动的联系即可解决问题。其中运动的合成与分解和几何关系的运用是解此类题的关键。

1．如图所示，有界匀强磁场的磁感应强度 B＝ 2×10 － 3 T；磁场右边是宽度 L＝ 0.2 m、场强 E＝ 40 V/m、方向向左的匀强电场．一带电粒子电荷量 q＝－ 3.2×10 － 19 C，质量 m

＝ 6.4×10 － 27 kg，以 v＝ 4×104 m/s的速度沿 OO′垂直射入磁场，在磁场中偏转后进入右侧的电场，最后从电场右边界射出．求：

(1)大致画出带电粒子的运动轨迹；(2)带电粒子在磁场中运动的轨道半径；(3)带电粒子飞出电场时的动能 Ek.

答案： (1) 见解析图　 (2)0.4 m 　 (3)7.68×10 － 18 J

解析：(1)轨迹如图中曲线所示． (2)带电粒子在磁场中运动时，由牛顿运动定

律，有

qvB＝mv2

R

R＝mvqB＝

6.4× 10－27× 4× 104

3.2× 10－19× 2× 10－3 m＝0.4 m.

(3)Ek＝EqL＋12mv

2

＝ 40× 3.2× 10 － 19× 0.2 J＋12 × 6.4× 10 －

27× (4× 104)2 J ＝7.68× 10－18 J.

题型二 带电粒子在相互叠加场中的运动 如图 3 所示，直角坐标系 xOy 位于竖直平面内，在水平的 x 轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度为 B ，方向垂直 xOy 平面向里，电场线平行于 y 轴．一质量为 m 、电荷量为 q的带正电的小球，从 y 轴上的 A 点水平向右抛出，经 x 轴上的 M点进入电场和磁场，恰能做匀速圆周运动，从 x 轴上的 N 点第一次离开电场和磁场， MN 之间的距离为 L ，小球过 M 点时的速度方向与 x 轴正方向夹角为 θ. 不计空气阻力，重力加速度为 g ，求： (1) 电场强度 E 的大小和方向；(2) 小球从 A 点抛出时初速度 v0 的大小；(3)A 点到 x 轴的高度 h.

1

qE mg

mgE

q

小球在电场、磁场中恰能做匀速圆周

运动，其所受电场力必须与重力平衡，有 ＝ ①

＝ ②

重力的方向是竖直向下的，电场力的方向则应为竖直向上，由于小球带正电，所以电场强度方向

解析：

竖直向上．

2

sin2

O MN

MO P

r

L

r

小球做匀速圆周运动， 为圆心， 为弦

长， ＝ ，如图所示． 设半径为 ，由几何关系知

＝ ③

0

2

0

cos

cot 2

v

mvqvB

rv

vqBL

vm

小球做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，设小球做圆周运动的速率为 ，有

＝ ④

由速度的合成与分解知 ＝ ⑤

由③④⑤式得 ＝ ⑥

0

2

2

2

2 2

3

tan

2

8

y

y

y

M v

v v

v

q B Lh

m g

gh

设小球到 点时的竖直分速度为 ，它与水

平分速度的关系为 ＝ ⑦

由匀变速直线运动规律 ＝ ⑧

由⑥⑦⑧式得 ＝

点评：本题中带电粒子先在重力场中做平抛运动，再进入复合场中做匀速圆周运动，对于这种不同空间的组合场导致的运动组合型问题要注重过程分析，要善于画出粒子的运动轨迹图分析问题，要抓住各个不同运动的衔接点——速度纽带来解题．

特别提醒：(1)全面正确地分析带电粒子的受力和运动特征是解题的前提，尤其是电场力和洛伦兹力的分析，特别要注意洛伦兹力要随带电粒子运动状态的变化而改变．(2)注意重力、电场力做功与路径无关，洛伦兹力始终和运动方向垂直、永不做功．

在如图 4 所示的空间中，存在场强为 E的匀强电场，同时存在沿 x轴负方向，磁感应强度为 B的匀强磁场。一质子 ( 电荷量为 e) 在该空间恰沿 y轴正方向以速度 v匀速运动。据此可以判断出 ( )A. 质子所受电场力大小等于 eE，运动中电势能减小；沿 z轴正方向电势升高B. 质子所受电场力大小等于 eB，运动中电势能增大；沿 z轴正方向电势降低C. 质子所受电场力大小等于 evB，运动中电势能不变；沿 z轴正方向电势升高D. 质子所受电场力大小等于 evB，运动中电势能不变；沿 z轴正方向电势降低

C

图 4

为零

带电粒子在复合场中的运动分类(1)静止或匀速直线运动 当带电粒子在复合场中所受合外力 ______时，将处于静止状态或做匀速直线运动．

(2)匀速圆周运动 当带电粒子所受的 _____与 ________大小相等、方向相反时，带电粒子在 _________的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动．

洛伦兹力重力 电场力

(3)非匀变速曲线运动 当带电粒子所受的合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线．

解决带电粒子在复合场中运动问题的基本思路1．弄清复合场的组成．一般有磁场、电场的复合；磁场、重力场的复合；磁场、电场、重力场三者的复合．2．正确受力分析，除重力、弹力、摩擦力外要特别注意静电力和磁场力的分析．3．确定带电粒子的运动状态，注意运动情况和受力情况的结合．4．对于粒子连续通过几个不同情况的场的问题，要分阶段进行处理．

5．画出粒子运动轨迹，灵活选择不同的运动规律．(1)当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时，根据受力平衡列方程求解．(2)当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，应用牛顿定律结合圆周运动规律求解．(3)当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解．(4)对于临界问题，注意挖掘隐含条件．

【点睛】 由于带电粒子在复合场中受力情况复杂，运动情况多变，往往出现临界问题，这时应以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，根据临界条件列出辅助方程，再与其他方程联立求解．分析带电质点在复合场中运动的方法归纳为四句话：受力分析是根本，运动分析是关键，把握规律是重点，临界挖掘破难点

题型三 带电粒子在交变场中的运动

【例 3】 两块足够大的平行金属极板水平放置，极板间加

有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场，

变化规律分别如图 10甲、乙所示(规定垂直纸面向里为

磁感应强度的正方向)．在 t＝0时由负极板释放一个初

速度为零的带负电的粒子(不计重力)．若电场强度 E0、

磁感应强度 B0、粒子的比荷qm均已知，且 t0＝

2π mqB0，两板

间距 h＝10π 2mE0

qB 20

.

图 10

(1)求粒子在 0～t0时间内的位移大小与极板间距 h的比

值．

(2)求粒子在极板间做圆周运动的最大半径(用 h表示)．

(3)若板间电场强度 E随时间的变化仍如图甲所示，磁场

的变化改为如图丙所示，试画出粒子在板间运动的轨迹图

(不必写计算过程)．

解析 (1)设粒子在 0～t0时间内运动的位移大小为 x1.

x1＝12at

20 ①

a＝qE0

m ②

又已知 t0＝2πmqB0，h＝

10π2mE0

qB 20

联立解得x1

h＝15 ③

(2)粒子在 t0～2t0时间内只受洛伦兹力作用，且速度与

磁场方向垂直，所以粒子做匀速圆周运动．设运动速度

大小为 v1，轨道半径为 R1，周期为 T，则

v1＝at0 ④

qv1B0＝mv 21

R1 ⑤

联立④⑤式得 R1＝h5π ⑥

又 T＝2πmqB0

⑦

即粒子在 t0～2t0时间内恰好完成一个周期的圆周运

动．在 2t0～3t0时间内，粒子做初速度为 v1的匀加速直

线运动，设位移大小为 x2

x2＝v1t0＋12at 20 ⑧

解得 x2＝35h ⑨

由于 x1＋x2<h，所以粒子在 3t0～4t0时间内继续做匀速圆周

运动，设速度大小为 v2，半径为 R2

v2= v1+at0

qv2B0＝mv 22

R2 ⑪

解得 R2＝2h5π ⑫

由于 x1＋x2＋R2<h，粒子恰好又完成一个周期的圆周运动．在

4t0～5t0时间内，粒子运动到正极板(如图所示)．因此粒子

在板间做圆周运动的最大半径 R2＝2h5π

.

⑩

答案 (1)15 (2)

2h5π

(3)见解析图

(3)粒子在板间运动的轨迹见下图所示．

答题技巧 交变场的处理

交变的电磁场问题，实际上就是按时间分立的电场和磁

场，即有电场时无磁场，有磁场时无电场．处理带电粒子

在这类场中的运动，关键是要熟悉带电粒子在电场和磁场

中运动的特征，抓住电场和磁场变换时粒子受力情况的变

化以及速度的关联．本题中粒子在电场中都是做匀加速直

线运动，在磁场中都是做匀速圆周运动，需注意的是电场

和磁场交换时间的限制以及两板间距离的限制．明确了这

些问题，本题应不难解决．