Θ ε Ω Ρ ι Α

Α Σ Κ η Σ Ε Ι Σ λ Υ μ Ε Ν Ες

αΝάλοΓαΑνΤιστρόΦως

ανάΛογΑΠοΣά

•ΤΑ ΚΙΛΑ ΜΗΛΑ ΚΑΙ ΤΑ ΧΡΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΚΟΣΤΙΖΟΥΝ

•ΤΟ ΜΗΚΟΣ ΕΝΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΟΥ

•Ο ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΩΝ ΕΡΓΑΤΩΝ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΠΟΥ ΚΑΝΟΥΝ ΣΕ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟ ΧΡΟΝΟ

•Η ΠΛΕΥΡΑ ΕΝΟΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ ΚΑΙ Η ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΤΟΥ

ΟΛΑ ΤΑ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΩΝ ΠΟΣΩΝ

Πως ελέγχω αν δυο ποσά είναι ανάλογα?

•Υπολογίζω όλα τα πηλίκα y:x και πρέπει να είναι ίσα μεταξύ τους .

•Πολλαπλασιάζω χιαστή και πρέπει πάντοτε να βρίσκω το ίδιο αποτέλεσμα

Παράδειγμα:

Χ 6 21 30 75

Υ 4 14 20 50

6∙14=84 4 21=84∙

Μέχρι εδώ είμαστε εντάξει ! Προχωράμε!

θεωρία

21∙20=42014 30=420∙

20 75=1500∙30 50=1500∙

ΕΠΟΜΕΝΩΣ ΤΑ ΠΟΣΑ ΕΙΝΑΙ ΑΝΑΛΟΓΑ!!!

Πως συμπληρώνω πίνακα με ανάλογα ποσά?

ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΕΙ Ο ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕ ΤΑ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ :

Χ 6 8 x

Υ y 20 25

ΝΑ ΒΡΩ ΔΗΛΑΔΗ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ y και xθεωρία

ΣΥΜΦΩΝΕΙΤΕ ΟΤΙ ΕΦΟΣΟΝ Η ΑΣΚΗΣΗ ΜΟΥ ΛΕΕΙ ΟΤΙ ΤΑ ΠΟΣΑ ΕΙΝΑΙ ΑΝΑΛΟΓΑ ΙΣΧΥΕΙ:

6 20=8 y ∙ ∙ επίσης 8 25=20∙ ∙x120=8 y 200=20 x∙ ∙y=120:8=15! x=200:20=10!!

Χ 6 8 10

Υ 15 20 25

ΠΩΣ ΛΥΝΩ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΩΝ ΠΟΣΩΝ??

1. Ελέγχω αν τα ποσά είναι ανάλογα 2. Φτιάχνω πίνακα με τα ποσά και τις αντίστοιχες τιμές τους3. Στην άγνωστη τιμή βάζω x4. Όλα τα πηλίκα y:x είναι ίσα φτιάχνω αναλογία την οποία λύνω

χιαστή

θεωρία

Χ 10 5 25 75

Υ 6 3 15 45

:2

: 2

∙ 5

·5

∙ 3

· 3

ΕΣΤΩ Χ , Y ΔΥΟ ΠΟΣΑ ΠΟΥ ΠΑΙΡΝΟΥΝ ΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΠΟΥΒΛΕΠΟΥΜΕ ΣΤΟΝ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΠΙΝΑΚΑ …ΠΑΡΑΤΗΡΕΙΤΕ ΠΩΣ ΜΕ ΟΠΟΙΟΝ ΑΡΙΘΜΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΖΟΝΤΑΙ Η ΔΙΑΡΟΥΝΤΑΙ ΟΙ ΤΙΜΕΣ ΤΟΥ ΕΝΟΣ ΠΟΣΟΥ ΜΕ ΤΟΝ ΙΔΙΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΖΟΝΤΑΙΗ ΔΙΑΙΡΟΥΝΤΑΙ ΟΙ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΙΜΕΣ ΤΟΥ ΑΛΛΟΥ?......

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΝΑΛΟΓΩΝ ΠΟΣΩΝ X , Y :

Σ Χ Ε Σ Η Α Ν Α ΛΟ Γ Ι Α Σ : y = a x

Χ 10 5 25 75

Υ 6 3 15 45

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕ ΟΛΑ ΤΑ ΠΗΛΙΚΑ Y:X ΕΙΝΑΙ ΟΛΑ ΙΣΑ ΜΕ 0,6 !!

Σ Υ Μ Π Ε ΡΑ Σ Μ Α : Σ ΤΑ Α Ν Α Λ Ο Γ Α Π Ο Σ Α Ο Λ Α ΤΑ Π Η Λ Ι Κ Α Υ: Χ Ε Ι Ν Α Ι Ι Σ Α Μ Ε Τ Ο Ν Ι Δ Ι Ο Α Ρ Ι Θ Μ Ο a ! ! !

ΤΑ ΠΟΣΑ Χ ΚΑΙ Υ ΤΟΥ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΠΙΝΑΚΑ ΣΥΝΔΕΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΗ ΣΧΕΣΗ Υ=0,6Χ

ΠΙΣΩ ΣΤΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ!!!

•Η ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΟΥ ΚΑΙ Ο ΧΡΟΝΟΣ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ ΓΙΑ ΝΑ ΦΤΑΣΕΙ ΣΤΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ•ΤΟ ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΤΟ ΠΛΑΤΟΣ ΕΝΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟ ΕΜΒΑΔΟΝ•Η ΠΑΡΟΧΗ ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ ΚΑΙ Ο ΧΡΟΝΟΣ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ ΓΙΑ ΝΑ ΓΕΜΙΣΕΙ Η ΜΠΑΝΙΕΡΑ•ΤΟ ΠΛΗΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΑ ΚΟΜΜΑΤΙΑ ΠΟΥ ΘΑ ΦΑΕΙ Ο ΚΑΘΕΝΑΣ ΑΠΟ ΜΙΑ ΠΙΤΣΑ.

ΟΛΑ ΤΑ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΩΝ ΠΟΣΩΝ

Χ 1 2 4 20

Υ 20 10 5 1

∙2

: 2

∙2

:2

·5

:5

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΩΝ ΠΟΣΩΝ

ΕΣΤΩ Χ , Y ΔΥΟ ΠΟΣΑ ΠΟΥ ΠΑΙΡΝΟΥΝ ΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΠΟΥΒΛΕΠΟΥΜΕ ΣΤΟΝ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΠΙΝΑΚΑ …ΠΑΡΑΤΗΡΕΙΤΕ ΠΩΣ ΜΕ ΟΠΟΙΟΝ ΑΡΙΘΜΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΖΟΝΤΑΙ ΟΙ ΤΙΜΕΣ ΤΟΥ ΕΝΟΣ ΠΟΣΟΥ ΜΕ ΤΟΝ ΙΔΙΟ ΑΡΙΘΜΟ ΔΙΑΙΡΟΥΝΤΑΙ ΟΙ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΙΜΕΣ ΤΟΥ ΑΛΛΟΥ ???

Χ 1 2 4 20

Υ 20 10 5 1

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕ ΟΛΑ ΤΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ Υ·Χ ΕΙΝΑΙ ΟΛΑ ΙΣΑ ΜΕ 20.

Σ Υ Μ Π Ε ΡΑ Σ Μ Α : Σ ΤΑ Α Ν Τ Ι Σ Τ Ρ Ο Φ Ω Σ Α Ν Α Λ Ο Γ Α Π Ο Σ Α Ο Λ Α ΤΑ Γ Ι Ν Ο Μ Ε Ν Α x · y Ε Ι Ν Α Ι Ι Σ Α ! !

ΤΑ ΠΟΣΑ Χ ,Υ ΤΟΥ ΠΙΝΑΚΑ ΣΥΝΔΕΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΗ ΣΧΕΣΗ Χ·Υ=20

Πορτοκάλια (κιλά) 8 11

Κόστος (ευρώ) 5 x

Να υπολογίσετε πόσο κοστίζουν τα 11 κιλά πορτοκάλια όταν τα 8 Κιλά κοστίζουν 5 ευρώ.

1. Όσο αυξάνονται τα κιλά τόσο αυξάνεται το κόστος τους(ανάλογα)2. 3.

4.

5 11=8 ∙ ∙x

55=8 ∙x

x=6,875

θεωρία

Απόσταση (km) 40 64

Χρόνος (min) 45 x

Να υπολογίσετε πόσο χρόνο χρειάζεται ένας ποδηλάτης για να διανύσει μια απόσταση 64 km αν με σταθερή ταχύτητα καλύπτει 40 km σε 45 min

1. Όσο αυξάνεται η απόσταση τόσο αυξάνεται και ο χρόνος που χρειάζεταιο ποδηλάτης για να τη διανύσει .(ανάλογα)2. 3.

4.

45∙64=40∙x 2880=40∙x x=72 min

θεωρία

Μια τραπεζαρία κοστίζει στις εκπτώσεις 1.400 ευρώ αν γίνει έκπτωση 30% να βρείτε πόσο κόστιζε πριν τις εκπτώσεις

1.Τα ποσοστά λύνονται με ποσά ανάλογα!!!2.3.

Αρχική τιμή(ευρώ)

x 100

Τελική τιμή(ευρώ)

1.400 70

ΠΡΟΣΟΧΗ Η 2Η ΣΤΗΛΗ ΣΥΜΠΛΗΡΩΝΕΤΑΙ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΤΙ ΙΣΧΥΕΙ ΣΤΟ 100.ΔΗΛΑΔΗ ΕΚΠΤΩΣΗ 30% ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΑΝ ΑΡΧΙΚΑ ΚΟΣΤΙΖΕ 100ΕΥΡΩ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΕΚΠΤΩΣΗ ΘΑ ΚΟΣΤΙΖΕΙ 100-30=70.

4.

1400∙100=70∙x→ 140000=70∙x→ x=2000 ευρώ� θεωρία

Μισθός πριν την αύξηση

880 100

Μισθός μετά την αύξηση

x 105

‘Ένας υπάλληλος έχει μισθό 880 ευρώ το μήνα και παίρνει αύξηση 5%Να βρείτε πόσα χρήματα θα πάρει τον επόμενο μήνα

1. Ποσοστά – Ανάλογα ποσά . 2. 3.

4.

100∙x=880∙105

100∙x=92400 x=924 ευρώ� θεωρία

Να συμπληρώσετε τον πίνακα αν γνωρίζεται ότι τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα

x 4 2 8

y 3 6

Αφού γνωρίζω ότι τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα όλα τα γινόμεναx y∙ θα είναι ίσα .

Από τη συμπληρωμένη στήλη του πίνακα βγάζω συμπέρασμα ότι :x·y=48 άρα συμπληρώνω κατάλληλα ώστε κάθε γινόμενο να είναι

ίσο με 48!!!

x 4 16 2 8

y 12 3 24 6

θεωρία

Προβλήματα αντιστρόφως ανάλογων ποσών

1.Μια οικογένεια μπορεί να κάνει 15 μέρες διακοπές ξοδεύοντας καθημερινά 200 ευρώ. Αν θέλει να κάνει διακοπές 20 μέρες πόσα χρήματα πρέπει να ξοδεύει τη μέρα?

Μέρες διακοπών 15 20

Ημερήσια έξοδα 200 x

Τα ποσά μέρες διακοπών και ημερήσια έξοδα είναι αντιστρόφως ανάλογα! Επομένως όλα τα γινόμενα των αντίστοιχων τιμώνθα είναι ίσα

15 200=∙ 20·x3000= 20·xx=3000:20=150 ευρώ

Η ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΟΔΕΥΕΙ 150 ΕΥΡΩ ΗΜΕΡΗΣΙΩΣ

θεωρία

2.Σε ένα στρατόπεδο βρίσκονται 2000 στρατιώτες και έχουν τρόφιμα για 50 ημέρες.Καταφθάνουν όμως άλλοι 500 .Για πόσες μέρες φτάνουν τα τρόφιμα που έχουν?

στρατιώτες 2000 2500

μέρες 50 x

Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα εφόσον όσο αυξάνονται οι στρατιώτες τόσο θα Μειώνονται οι μέρες που θα έχουν φαγητό.

Άρα 2000 50 ∙ = x 2500∙ 100000= x 2500∙ x=100000:2500=40 μέρες !!!

Επιμέλεια :Βιδάλη Αγγελική Μαθηματικός