Γ ! Tο ηλεκτρικό πεδίο εντός της ύλης 36. Hλεκτρικό δίπολο - Hλεκτρική ροπή διπόλου Oρίζουµε ως ηλεκτρικό δίπολο, ένα σύστηµα δύο αντίθετων σηµειακών ηλεκτρι κών φορτίων ±q, που βρίσκονται σε µια ορισµένη απόσταση µεταξύ τους. Xαρακτηριστικό στοιχείο του ηλεκτρικού διπόλου είναι η ηλεκτρική του ροπή, η οποία εξ ορισµού είναι ένα διανυσµατικό µέγεθος

! p µε φορέα την ευθεία που

συνδέει τα φορτία ±q του διπόλου, η φορά του είναι από το αρνητικό προς το θετικό φορτίο, το δε µέτρο του είναι ίσο µε το γινόµενο του θετικού φορτίου επί την απόσταση L που χωρίζει τα δύο φορτία του διπόλου, δηλαδή ισχύει:

! p = q

!

L όπου

�

! L το διάνυσµα µε αρχή το –q και πέρας το +q. Aπό τον πιο πάνω ορισµό

της ηλεκτρικής ροπής γίνεται φανερό ότι, αυτή καθορίζει τον προσανατολισµό του διπόλου στον χώρο. Aς δεχθούµε ότι το δίπολο τοποθετείται µέσα σε οµογε νές ηλεκτρικό πεδίο, ώστε η ηλεκτρική του ροπή

! p να σχηµατίζει γωνία φ µε

την ένταση !

E του πεδίου. Tο πεδίο θα εξασκεί πάνω στα ηλεκτρικά φορτία +q και -q του διπόλου τις αντίστοιχες ηλεκτρικές δυνάµεις

!

F + και

!

F -, από τις οποί

Σχήµα 53 ες η µεν πρώτη είναι οµόρροπη της

!

E , ενώ η άλλη είναι αντίρροπη αυτής. Eπί πλέον οι δυνάµεις αυτές έχουν το ίδιο µέτρο F=qE, που σηµαίνει ότι αποτε λούν ένα ζεύγος δυνάµεων. H µηχανική ροπή του ζεύγους αυτού είναι ένα δια νυσµατικό µέγεθος, του οποίου το διάνυσµα

! ! είναι κάθετο στο επίπεδο των

δυνάµεων, έχει φορά που ανταποκρίνεται στον κανόνα του δεξιόστροφου κοχ λία, το δε µέτρο του είναι ίσο µε το γινόµενο Fx, όπου x η απόσταση των φορέ ων των δύο δυνάµεων, δηλαδή ισχύει η σχέση:

τ = Fx ! τ = EqLηµφ = Epηµφ (1)

Kάτω από την επίδραση της µηχανικής αυτής ροπής το ηλεκτρικό δίπολο τείνει να περιστραφεί, ώστε η ηλεκτρική του ροπή να γίνει οµοπαράλληλη προς την ένταση του πεδίου. Στην θέση αυτή η γωνία φ γίνεται µηδέν, δηλαδή η µηχα νική ροπή µηδενίζεται, που σηµαίνει ότι στην θέση αυτή το δίπολο ισορροπεί* µε την προϋπόθεση φυσικά ότι, αυτό είναι ελεύθερο άλλων δυνάµεων. Eξάλ λου, αν το ηλεκτρικό δίπολο τοποθετηθεί µέσα στο ηλεκτρικό πεδίο, ώστε η ηλεκτρική του ροπή να είναι κάθετη στην έντασή του πεδίου (φ=π/2), τότε θα δέχεται την µέγιστη µηχανική ροπή τmax =Ep. 37. Δυναµική ενέργεια ηλεκτρικού διπόλου H δυναµική ενέργεια ενός ηλεκτρικού διπόλου σχετίζεται µε τον προσανατο λισµό του µέσα σε εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο και ορίζεται ως η ενέργεια που ανταλλάσει το δίπολο µε το περιβάλλον του, όταν φέρεται από µια θέση αναφο ράς, όπου η δυναµική του ενέργεια θεωρείται συµβατικά µηδενική, σε µια οποιαδήποτε θέση µέσα στο ηλεκτρικό πεδίο. Aς εξετάσουµε την ειδική περί πτωση που το ηλεκτρικό δίπολο βρίσκεται µέσα σε οµογενές ηλεκτρικό πεδίο έντασης

!

E , θεωρώντας ως θέση µηδενικής δυναµικής ενέργειας εκείνη για την οποία η διπολική του ροπή

! p ειναι κάθετη στην ένταση

!

E . H δυναµική ενέρ γεια του διπόλου στην τυχαία θέση του είναι: U = qV(+) + (-q)V(-) = q [V(+) - V(-) ] (1)

όπου V(+) , V(-) τα δυναµικά του πεδίου στις θέσεις των φορτίων +q και –q αντι στοίχως του διπόλου. Όµως η µεταβολή V(+) -V(-) του δυναµικού από την θέση

του αρνητικού στην θέση του θετικού φορτίου είναι ίση µε -(

!

E !

!

L ), οπότε η σχέ ση (1) γράφεται:

�

U = -q (! E !! L ) = - (q

! L !! E ) !

U = -(! p !!

E ) (2) H σχέση (2) είναι συµβιβαστή µε την σύµβαση µηδενικής δυναµικής ενέργειας του διπόλου, όταν τα διανύσµατα

! p και

!

E είναι κάθετα, διότι τότε θα ισχύει

(! p !!

E ) =!

0 . H σχέση (2) ισχύει και στην περίπτωση που το δίπολο βρίσκεται µέσα σε ανοµοιογενές ηλεκτρικό πεδίο, αρκεί όµως το δίπολο να είναι ιδανικό, δηλαδή η απόσταση L των φορτίων του +q και –q να τείνει στο µηδέν. Πράγ µατι για ένα τέτοιο δίπολο η σχέση (1) τροποποιείται στην µορφή: U = qdV (3) όπου dV η στοιχειώδης µεταβολή του δυναµικού από την θέση του αρνητικού ----------------------------------- * H ισορροπία αυτή χαρακτηρίζεται ως ευσταθής, διότι το δίπολο αποµακρυνόµενο λίγο από την θέση αυτή δέχεται µηχανική ροπή που τείνει να το επαναφέρει στην αρχική του θέση. Tο ηλεκτρικό δίπολο ισορροπεί µέσα στο ηλεκτρικό πεδίο και όταν η ηλεκτρική του ροπή είναι αντίρροπη προς την ένταση του πεδίου (φ=π), αλλά τότε η ισορροπία του χαρακτηρίζεται ασταθής, διότι αν το δίπολο αποµακ ρυνθεί λίγο από την θέση αυτή δέχεται µηχανική ροπή που τείνει να το αποµακρύ νει ακόµη περισσότερο.

στην θέση του θετικού φορτίου του διπόλου. Όµως η µεταβολή αυτή συµβαίνει κατα την κατεύθυνση του στοιχειώδους διανύσµατος

!

L , οπότε σύµφωνα µε τον ορισµό της κλίσεως µιας µονόµετρης συνάρτησης (εδώ της συνάρτησης δυναµι κού) θα ισχύει:

�

dV = (! ! V"

!

L ) (4) όπου

!

! V η κλίση του δύναµικού στην θέση του διπόλου µέσα στο πεδίο. Συν δυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε:

�

U = q (! ! V"

!

L ) = (! ! V"q

!

L ) = (! ! V"! p ) (5)

Όµως ισχύει και η σχέση

�

!

E = -! ! V οπότε η (5) γράφεται:

U = -(! p !!

E ) 38. Tο ηλεκτρικό δίπολο σε ανοµοιογένες ηλεκτρικό πεδίο Όταν ένα ηλεκτρικό δίπολο βρίσκεται µέσα σε ανοµοιογενές ηλεκτρικό πεδίο, οι δυνάµεις

!

F + και

!

F - που δέχονται τα φορτία του +q και –q αντιστοίχως δεν

είναι αντίθετες, αναγόµενες δε στο κέντρο του O παρέχουν συνισταµένη δύνα µη !

F και συνισταµένη ροπή ! ! . H µεν συνισταµένη ροπή τείνει να προσανατο

λίσει το δίπολο, η δε συνισταµένη δύναµη τείνει να το µετακινήσει προς θέσεις ισχυροτέρου πεδίου, όταν η διπολική του ροπή είναι οµόρροπα προσανατολισ µένη προς το πεδίο, ή σε θέσεις ασθενέστερου πεδίου, όταν η διπολική του ροπή είναι αντίρροπη µε το πεδίο. Στην περίπτωση ιδάνικού διπόλου (L→0) η ροπή

! !

που δέχεται το δίπολο, όταν βρεθεί σε µια θέση όπου η ένταση του πεδίου ειναι

!

E , υπολογίζεται από την γνωστή σχέση:

! ! = (! p !!

E ) (1)

Σχήµα 54

όπου

! p η ηλεκτρική ροπή του διπόλου. Eάν το δίπολο δεν είναι ιδανικό, τότε η

ρόπη ! ! είναι ίση µε το διανυσµατικό άθροισµα των ροπών των δύο ζευγών που

θα προκύψουν από την αναγωγή των δυνάµεων

!

F + και

!

F - στο κέντρο O του

διπόλου. Eξάλλου για την συνισταµένη δύναµη !

F ισχύει η σχέση:

!

F =!

F + +!

F - = q!

E (+) + (-q)!

E (-) = q(!

E (+) -!

E (-) ) (2)

όπου

!

E (+),

!

E (-) οι έντασεις του πεδίου στις θέσεις των φορτίων +q και –q αντισ

τοίχως. Για ιδανικό δίπολο η µεταβολή

!

E (+)-

!

E (-) είναι στοιχειώδης και η σχέση (2) γράφεται:

�

! F = qd

! E = q(dEx

! i + dEy

! j + dEz

! k ) (3)

όπου dEx, dEy, dEz οι µεταβολές των τριών συνιστωσών της έντασης κατα την

κατεύθυνση του διανύσµατος !

L . Όµως για τις µεταβολές αυτές ισχύουν οι σχέ σεις:

�

dEx = (! ! Ex"

!

L ) ,

�

dEy = (! ! Ey"

! L ) ,

�

dEz = (! ! Ez"

!

L ) οπότε η σχέση (3) γράφεται:

�

! F = (

! ! Ex"q

! L )! i + (! ! Ey"q

! L )! j + (! ! Ez"q

! L )! k !

�

! F = (

! ! Ex"

! p )! i + (! ! Ey"

! p )! j + (! ! Ez"

! p )! k (4)

Eάν αναπτύξουµε τα τρία εσωτερικά γινόµενα σε Kαρτεσιανές συντεταγµένες και εκτελέσουµε κάµποσες πράξεις, θα καταλήξουµε στην σχέση:

�

! F = px

!! E

!x+ py

!! E

!y+ pz

!! E

!z= (! p "! # )! E (5)

όπου px, py, pz οι συνιστώσες της ηλεκτρικής ροπής

! p του διπόλου κατά τις

διευθύνσεις των αξόνων Ox, Oy, Oz αντιστοίχως. Στο οµογενές ηλεκτρικό πε δίο ισχύει:

�

!! E

!x=!! E

!y=!! E

!z=! 0

και η (5) δίνει

!

E =

!

0 . 39. Πολικά και µη πολικά µόρια Ένα µόριο θα λέγεται πολικό, όταν τα κέντρα βάρους των θετικών και αρνητι κών του φορτίων δεν συµπίπτουν. Στην περίπτωση αυτή το µόριο θα παρου σιάζει ηλεκτρική ροπή και εποµένως, όταν βρεθεί µέσα σε οµογενές ηλεκτρικό πεδίο, θα συµπεριφέρεται ακριβώς όπως και το ηλεκτρικό δίπολο. Tυπικό παρά δειγµα πολικού µόριου είναι το µόριο του νερού, του υδροχλωρίου, της αιθυλι κής αλκοόλης κ.λ.π. Aντίθετα, όταν σ’ ένα µόριο τα κέντρα βάρους των θετικών και αρνητικών του φορτίων συµπίπτουν, τότε αυτό δεν παρουσιάζει ηλεκτρική ροπή και χαρακτηρίζεται ως µη πολικό µόριο. Ένα τέτοιο µόριο όταν βρεθεί µέσα σε ηλεκτρικό πεδίο, θα µετατραπεί σε πολικό µόριο, διότι τα κέντρα βά ρους των θετικών καί αρνητικών του φορτίων θα µετατοπιστούν αντίθετα, υπό την επίδραση του πεδίου και θα ισορροπήσουν σε νέες θέσεις που δεν συµπί πτουν. Kλασσικό παράδειγµα µη πολικού µορίου είναι το µόριο του υδρογό νου, του βενζόλιου κ.λ.π.

40. Διηλεκτρική αντοχή διηλεκτρικού υλικού Kάθε υλικό σώµα που στο εσωτερικό του δεν υπάρχουν ελεύθεροι ηλεκτρικοί φορείς καλείται διηλεκτρικό υλικό ή µονωτής. Σ’ ένα τέτοιο υλικό τα ηλεκτρό νια των ατόµων του είναι δέσµια γύρω από τους πυρήνες τους, µε αποτέλεσµα το διηλεκτρικό υλικό να µη παρουσιάζει ηλεκτρική αγωγιµότητα, δηλαδή δεν είναι δυνατή η διέλευση ηλεκτρικών φορέων από την µάζα του. Όταν όµως το διηλεκτρικό υλικό τοποθετηθεί µέσα σ’ ένα αρκετά ισχυρό ηλεκτρικό πεδίο, είναι δυνατόν οι ηλεκτρικές δυνάµεις που το πεδίο θα εξασκήσει πάνω στα εξω τερικά* δέσµια ηλεκτρόνια των ατόµων του υλικού να προκαλέσουν βίαιη απόσπασή τους από τα µητρικά άτοµα, οπότε τα ηλεκτρόνια αυτά γίνονται ελεύ θερα µέσα στο διηλεκτρικό υλικό. Mε τον τρόπο αυτό το υλικό αποκτά ηλεκτρι κή αγωγιµότητα, δηλαδή µετατρέπεται σε αγωγό, αφού πλέον στο εσωτερικό του υπάρχουν ελεύθερα ηλεκτρόνια. Για να µη µετατρέπεται εποµένως ένα διηλεκτρικό υλικό σε αγωγό, όταν τοποθετείται µέσα σε ηλεκτρικό πεδίο, πρέ πει η ένταση του πεδίου να µη υπερβαίνει µια ορισµένη τιµή, που ονοµάζεται διηλεκτρική αντοχή του διηλεκτρικού. Δηλαδή η διηλεκτρική αντοχή ενός διηλεκτρικού υλικού είναι η µέγιστη ένταση του ηλεκτρικού πεδίου για την οποία επίκειται η µετατροπή του σε αγωγό, όταν αυτό τοποθετείται µέσα στο ηλεκτρικό πεδίο. Eξάλλου, όταν το διηλεκτρικό υλικό είναι εκτός ηλεκτρικού πεδίου τα διπολικά του µόρια, λόγω της άτακτης θερµικής κίνησής τους έχουν τυχαίο προσανατολισµό στον χώρο που κατέχει το διηλεκτρικό υλικό, µε αποτέ

Σχήµα 55

λεσµα ένα οποιοδήποτε τµήµα του να µη παρουσιάζει ηλεκτρική ροπή, διότι οι ηλεκτρικές ροπές των διπολικών µορίων που υπάρχουν µέσα σ’ αυτό, κατά µέσο όρο αλληλοαναιρούνται. Όταν όµως το υλικό τοποθετηθεί µέσα σε ηλεκτρι κό πεδίο, τότε τα διπολικά µόρια µιας περιοχής του προσανατολίζονται, ώστε οι ηλεκτρικές τους ροπές να γίνουν οµόρροπες προς την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου της περιοχής αυτής. Έτσι κάθε περιοχή του διηλεκτρικού υλικού απο κτά ηλεκτρική ροπή. Bέβαια πλήρης προσανατολισµός των διπολικών µορίων µιας περιοχής δεν συµβαίνει, διότι στην διαδικασία αυτή αντιδρά η θερµική κί νηση των µορίων. Όσο πιο µικρή είναι η θερµοκρασία του διηλεκτρικού, τόσο ευκολώτερα προσανατολίζονται τα µόρια του από το ηλεκτρικό πεδίο και στην θερµοκρασία του απόλυτου µηδενός ο προσανατολισµός τους είναι πλήρης. --------------------------- * Tα εξωτερικά ηλεκτρόνια των ατόµων ενός διηλεκτρικού υλικού συγκρατούνται χαλαρώτερα από τους πυρήνες των ατόµων, γεγονός που σηµαίνει ότι έχουν µεγαλύ τερη πιθανότητα ν’ αποσπαστούν από τα άτοµα και να γίνουν ελεύθερα ηλεκτρόνια.

41. Πόλωση διηλεκτρικού υλικού Για να καθορίσουµε τον βαθµό προσανατολισµού των διπολικών µορίων ενός δι ηλεκτρικού υλικού, ορίζουµε σε κάθε σηµείο του την λεγόµενη πόλωση του διη λεκτρικού. Mε τον όρο αυτό εννοούµε ένα διανυσµατικό µέγεθος

�

!

P , συγραµµι κό και οµόρροπο της ηλεκτρικής ροπής d

! p που παρουσιάζει ένα στοιχειώδες

τµήµα του υλικού, όγκου dV, θεωρούµενο στην περιοχή του σηµείου, του οποί ου το µέτρο είναι ίσο προς το πηλίκο dp/dV. Δηλαδή ισχύει:

�

!

P = d! p /dV

Eάν τα διπολικά µόρια του διηλεκτρικού υλικού είναι οµοιόµορφα προσανατο λισµένα, τότε σε κάθε σηµείο του η πόλωση θα είναι η ίδια και θα ισχύει:

�

!

P =! p /V

όπου

! p η ολική ηλεκτρική ροπή του διηλεκτρικού υλικού και V ο όγκος του.

42. Δέσµια φορτία ή φορτία πόλωσης Θεωρούµε το οµογενές ηλεκτρικό πεδίο που σχηµατίζεται ανάµεσα στους οπλισ µούς ενός επιπέδου πυκνωτή κενού, οι οποίοι φέρουν ηλεκτρικά φορτία ±Q που είναι σταθερά*. Eισάγουµε στο πεδίο αυτό µια διηλεκτρική πλάκα, της οποίας οι έδρες είναι παράλληλες προς τους οπλισµούς του πυκνωτή και έχουν το ίδιο εµβαδόν µε αυτούς. Tα δίπολα µόρια του διλεκτρικού υλικού υπό την επίδραση του οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή προσανατολίζονται οµοιόµορφα κατά την διεύθυνση των δυναµικών γραµµών του πεδίου µε τις ηλεκτρικές του ροπές οµόρροπες προς την ένταση του

!

E 0. Aποτέλεσµα αυτού

Σχηµα 56.α Σχήµα 56.β του προσανατολισµού των διπολικών µορίων είναι η αµοιβαία εξουδετέρωση των ηλεκτρικών φορτίων των διπόλων στο εσωτερικό του διηλεκτρικού υλι κού, ενώ στις περατωτικές του επιφάνειες (έδρες) εµφανίζονται τα ηλεκτρικά ------------------------------ * Tα φορτία ±Q των οπλισµών του πυκνωτή διατηρούνται σταθερά, όταν οι οπλισµοί έχουν αποσυνδεθεί από την γεννήτρια που προκάλεσε την φόρτισή τους.

φορτία ±Q΄, που είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένα (σχ. 56.α). Tο φαινόµενο αυτό, δηλαδή η εµφάνιση των φορτίων ±Q’ πάνω στις έδρες της διηλεκτρικής πλάκας ονοµάζεται πόλωση του διηλεκτρικού, τα δε φορτία ±Q΄ ονοµάζονται δέσµια φορτία ή φορτία πόλωσης του διηλεκτρικού. Tα φορτία αυτά δεν µπορούν ν’ αποµακρυνθούν από τις έδρες της διηλεκτρικής πλάκας, κατ’ αντίθεση µε τα φορτία ±Q των οπλισµών του πυκνωτή, που µπορούν να µετακινηθούν από τον ένα οπλισµό στον άλλο και για τον λόγο αυτό ονοµάζονται ελεύθερα φορτία. Tα δέσµια φορτία ±Q΄ δηµιουργούν στο εσωτερικό της διηλεκτρικής πλάκας ένα οµογενές ηλεκτρικό πεδίο έντασης

!

E 0', που οι δυναµικές του γραµµές εί

ναι αντίρροπες προς τις δυναµικές γραµµές του πεδίου

!

E 0 των ελεύθερων φο

ρτίων ±Q. Eξάλλου, εάν σ' είναι η επιφανειακή πυκνότητα των δέσµιων φορ τίων της διηλεκτρικής πλάκας, τότε το µέτρο της έντασης

!

E 0' θα είναι:

E'0 = σ'/ε0 (1) Έτσι στο εσωτερικό του διηλεκτρικού υλικού υπάρχουν δύο αντίρροπα οµογε νή ηλεκτρικά πεδία, εντάσεων

!

E 0 και

!

E 0', τα οποία συντιθέµενα δίνουν ένα

οµογενές ηλεκτρικό πεδίο έντασης !

E , για την οποία ισχύει:

�

! E =! E

0+! E

0

' Όµως έχει βεβαιωθεί πειραµατικά ότι, το ηλεκτρικό πεδίο που τελικά αποκαθί σταται µέσα στην διηλεκτρική πλάκα είναι οµόρροπο προς το αρχικό πεδίο, που σηµαίνει ότι E'0 <E0 οπότε θα ισχύει: E = E0 - E'0 (2) Δηλαδή το τελικό ηλεκτρικό πεδίο στο εσωτερικό του διηλεκτρικού υλικού πα ρουσιάζεται εξασθενηµένο έναντι του αρχικού ηλεκτρικού πεδίου, γεγονός που δηλώνεται µε την αραίωση των δυναµικών γραµµών στο εσωτερικό του (σχ. 56.β). Tο πηλίκο E0/E αποτελεί καθαρό αριθµό, χαρακτηριστικό του διηλεκτρι κού υλικού, που δηλώνει πόσες φορές εξασθενίζει το µέτρο της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου στην περιοχή του διηλεκτρικού, λόγω της πόλωσής του. O καθαρός αυτός αριθµός, που είναι µεγαλύτερος της µονάδας ονοµάζεται διηλεκ τρική σταθερά του υλικού και συµβολίζεται µε ε, δηλαδή ισχύει: ! = E0/E (3)

H σχέση (3), σε συνδυασµό µε το γεγονός ότι τα διανύσµατα

!

E και

!

E 0 είναι

οµόρροπα, µας επιτρέπει να γράψουµε την διανυσµατική σχέση:

!

E =!

E 0/! !

!

E 0= !

!

E (4) 43. Σχέση µεταξύ του πεδίου πόλωσης

�

! E '

0 και της

πόλωσης

�

!

P του διηλεκτρικού Aπό τα προηγούµενα έγινε φανερό, ότι µε την εισαγωγή της διηλεκτρικής πλά κας στο οµογενές ηλεκτρικό πεδίο του φορτισµένου πυκνωτή, παρουσιάζονται,

στις περατωτικές έδρες της πλάκας, λόγω προσανατολισµού των διπόλων µορί ων της, τα δέσµια φορτία ±Q΄, που δηµιουργούν στο εσωτερικό της ένα οµογε νές ηλεκτρικό πεδίο (πεδίο πόλωσης). Aς εξετάσουµε τώρα, ποια σχέση υπάρχει ανάµεσα στην ένταση

!

E 0' του πεδίου αυτού και στην πόλωση

�

!

P που αποκτά σε καθε σηµείο της η διηλεκτρική πλάκα. Προς τούτο θεωρούµε µια πολύ λεπτή λωρίδα της πλάκας (σχ. 57) όγκου dV, που είναι παράλληλη προς την διεύ θυνση του εσωτερικού ηλεκτρικού πεδίου και ονοµάζουµε ±dQ΄ τα δέσµια ηλεκτρικά φορτία που υπάρχουν στις άκρες της λωρίδας αυτής. H στοιχειώδης αυτή λωρίδα της πλάκας συµπεριφέρεται ως ηλεκτρικό δίπολο, που η ηλεκτρι κή του ροπή d

! p είναι αντίρροπη προς την ένταση

!

E 0' του εσωτερικού ηλεκ

τρικού πεδίου πόλωσης της πλάκας και το µέτρο της είναι:

dp = L dQ΄ (1)

Σχήµα 57 όπου L το πάχος της πλάκας. Όµως το διάνυσµα

�

!

P της πόλωσης της διηλεκτ ρικής πλάκας είναι οµόρροπο προς το διάνυσµα d

! p και το µέτρο του δίνεται

από την σχέση:

�

P =dp

dV=

LdQ'

LdS=

dQ'

dS !

�

P =!' (2)

όπου dS το εµβαδόν διατοµής της στοιχειώδους λωρίδας, που θεωρήσαµε και σ' η επιφανειακή πυκνότητα των δέσµιων φορτίων ±Q΄ της διηλεκτρικής πλάκας. Όµως ισχύει η σχέση E'0=σ'/ε0, οπότε η (2) γράφεται:

�

P = !0E'

0 !

�

E'0= P/!

0 (3)

H σχέση (3), σε συνδυασµό µε το γεγονός ότι τα διανύσµατα

�

! E '

0 και

�

!

P είναι αντίρροπα, µας επιτρέπει να γράψουµε την διανυσµατική σχέση:

�

! E '

0= -!

P /!0 (4)

Πρέπει να τονίσουµε ότι η σχέση (4) είναι γενική, δηλαδή ισχύει και στην περί πτωση που το διηλεκτρικό υλικό έχει τυχαίο σχήµα και φέρεται µέσα σε οποιο δήποτε ηλεκτροστατικό πεδίο. Tότε τα διανύσµατα

�

!

P και

�

! E '

0 θα µεταβάλλον

ται τοπικά, δηλαδή σε κάθε σηµείο του διηλεκτρικού υλικού δεν θα είναι ίδια, αλλά όµως για κάθε σηµείο θα ισχύει η σχέση (4).

44. Ηλεκτρική µετατόπιση ηλεκτρικού πεδίου Aς θεωρήσουµε και πάλι την διηλεκτρική πλάκα της προηγούµενης παραγρά φου και ας ξαναθυµηθούµε ότι, στο εσωτερικό της υπάρχουν δύο αντίρροπα οµογενή ηλεκτρικά πεδία, εντάσεων

!

E 0 και

�

! E '

0, που οφείλονται αντιστοίχως

στα ελεύθερα (κινητά) φορτία ±Q των οπλισµών του πυκνωτή και στα δέσµια φορτία ±Q΄ των περατωτικών εδρών της πλάκας. H επαλληλία των δύο αυτών πεδίων δίνει στο εσωτερικό της πλάκας ένα οµογενές ηλεκτρικό πεδίο, οµόρ ροπο προς το ηλεκτρικό πεδίο

!

E 0, που η έντασή του

!

E είναι:

�

! E =! E

0+! E '

0=! E

0-!

P /!0 (1)

όπου

�

!

P η πόλωση της διηλεκτρικής πλάκας (βλέπε προηγούµενο εδάφιο). H (1) παίρνει την µορφή:

�

!0

!

E = !0

!

E 0-

!

P !

�

!0

!

E +

!

P = !0

!

E 0 (2)

από την οποία φαίνεται ότι, το διάνυσµα

�

!0

!

E +

!

P είναι συγγραµικό και οµόρρο

πο προς το διάνυσµα

!

E 0 και ακόµη ότι, το διάνυσµα αυτό οφείλεται στα ελεύ

θερα φορτία ±Q των οπλισµών του πυκνωτή, διότι το ίσο του διάνυσµα !0

!

E 0

εξαρτάται από τα φορτία αυτά. Tο διάνυσµα αυτό ορίζεται ως ηλεκτρική µετατόπιση του ηλεκτρικού πεδίου στο εσωτερικό της διηλεκτρικής πλάκας και συµβολίζεται µε

!

D , δηλαδή εξ' ορισµού ισχύει η διανυσµατική σχέση:

�

!

D = !0

!

E +

!

P (3) Tο µέτρο του διανύσµατος

!

D θα είναι, σύµφωνα µε τις σχέσεις (2) και (3) ίσο προς το µέτρο του διανύσµατος

!0

!

E 0, δηλαδή ισχύει:

D = ε0E0 ! D = ε0σ/ε0 = σ (4) όπου σ η επιφανειακή πυκνότητα των ελεύθερων ηλεκτρικών φορτίων ±Q των οπλισµών του πυκνωτή. Eξάλλου η διανυσµατική σχέση

!

D = !0

!

E 0 συνδυαζόµε

νη µε την

!

E =

!

E 0/!, παίρνει την µορφή:

!

D = !0!

"

E (5) και δηλώνει ότι, σε κάθε σηµείο της διηλεκτρικής πλάκας τα διανύσµατα

!

D και

!

E είναι οµόρροπα. Πρέπει να τονίσουµε ότι, η σχέση (4) είναι γενική, δηλαδή ισχύει και στην περίπτωση που το διηλεκτρικό υλικό έχει οποιαδήποτε µορφή και βρίσκεται µέσα σ’ ένα τυχαίο ηλεκτροστατικό πεδίο. Tότε τα διανύσ µατα

!

D και !

E θα µεταβάλλονται τοπικά, αλλά σε κάθε σηµείο του διηλεκτρι κού υλικού θα ικανοποιούν την σχέση (5).

45. Tα τρία χαρακτηριστικά διανύσµατα !

E ,

�

!

P και !

D Mε βάση τα όσα αναφέρθηκαν στα προηγούµενα εδάφια µπορούµε να κάνουµε τα παρακάτω σηµαντικά σχόλια για τα τρία χαρακτηριστικά διανύσµατα

!

E ,

�

!

P και

!

D ενός ηλεκτροστατικού πεδίου. i) H ένταση

!

E ηλεκτροστατικού πεδίου εξαρτάται σε κάθε σηµείο του από τα ελεύθερα ηλεκτρικά φορτία και από τα ηλεκτρικά φορτία πόλωσης του διηλεκ τρικού υλικού, µέσα στο οποίο εκτείνεται το πεδίο. Δηλαδή η ένταση

!

E περιγ ράφει σε κάθε σηµείο την ηλεκτρική κατάσταση του χώρου, όπως αυτή διαµορ φώνεται από την παρουσία των ελεύθερων ηλεκτρικών φορτίων και των φορ τίων πόλωσης του διηλεκτρικού υλικού, που συµµετέχουν στην δηµιουργία του ηλεκτρικού πεδίου. ii) Tο διάνυσµα

!

D της ηλεκτρικής µετατόπισης εξαρτάται µόνο από τα ελεύθε ρα ηλεκτρικά φορτία που µετέχουν στην δηµιουργία του ηλεκτρικού πεδίου. Δηλαδή το διάνυσµα αυτό περιγράφει σε κάθε σηµείο του πεδίου την ηλεκτρι κή κατάσταση που διαµορφώνεται από την παρουσία των ελεύθερων ηλεκτρι κών φορτίων. Aυτό ακόµη σηµαίνει ότι το διάνυσµα

!

D είναι ανεξάρτητο από το διηλεκτρικό υλικό, µέσα στο οποίο έχει δηµιουργηθεί το πεδίο. Έτσι, αν ένα

Σχήµα 58 ηλεκτρικό πεδίο έχει δηµιουργηθεί στον κενό χώρο από ορισµένα ελεύθερα ηλεκτρικά φορτία που βρίσκονται στον χώρο αυτό, τότε αν ο χώρος πληρωθεί µε κάποιο διηλεκτρικό υλικό χωρίς να θιγούν τα ελεύθερα ηλεκτρικά φορτία, η ηλεκτρική µετατόπιση θα παραµείνει αναλλοίωτη σε κάθε σηµείο του πεδίου. iii) Tο διάνυσµα

�

!

P της πόλωσης εξαρτάται µόνο από τα φορτία πόλωσης του διηλεκτρικού υλικού, µέσα στο οποίο εκτείνεται το ηλεκτρικό πεδίο. Δηλαδή το διάνυσµα αυτό περιγράφει σε κάθε σηµείο την ηλεκτρική κατάσταση που δια µορφώνεται από την παρουσία µέσα στο πεδίο των φορτίων πόλωσης του διη λεκτρικού. iv) Σε κάθε σηµείο ηλεκτροστατικού πεδίου, που έχει δηµιουργηθεί µέσα σ’ ένα οµογενές και ηλεκτρικά ισότροπο διηλεκτρικό µέσο, τα τρία χαρακτηριστικά διανύσµατα

!

E ,

�

!

P και !

D συνδέονται µεταξύ τους µε την σχέση:

�

!

D = !0

!

E +

!

P

Για ηλεκτροστατικά πεδία στο κενό ή κατά προσέγγιση στον ατµοσφαιρικό αέρα το διάνυσµα της πόλωσης είναι µηδενικό σε κάθε σηµείο του πεδίου, οπότε η προηγούµενη σχέση παίρνει την µορφή:

!

D = !0

!

E 46. Γενικευµένη µορφή του νόµου του Gauss Aπό την µέχρι στιγµής µελέτη µας έγινε φανερό ότι, ένα ηλεκτρικό πεδίο που εκτείνεται µέσα σ’ ένα οµογενές και ηλεκτρικά ισότροπο διηλεκτρικό υλικό, οφείλει την δηµιουργία του σε ελεύθερα ηλεκτρικά φορτία και σε δέσµια φορ τία πόλωσης, που παρουσιάζονται στο διηλεκτρικό υλικό από τον προσανατο λισµό των διπολικών µορίων του. Έτσι σε µια τέτοια περίπτωση µπορούµε να θεωρούµε το ηλεκτρικό πεδίο στον κενό χώρο, λαµβάνοντας όµως σαν “πηγές” δηµιουργίας του όλα τα ηλεκτρικά φορτία, δηλαδή και τα ελεύθερα και τα δέσ µια. Eάν τώρα µέσα στο πεδίο αυτό θεωρήσουµε µια τυχαία κλειστή επιφάνεια (S), που περικλείει ελεύθερα φορτία Q και δέσµια φορτία Q΄, τότε ο νόµος του Gauss, δίνει για την επιφάνεια αυτή την σχέση:

�

(!

E !d!

S ) = (Q + Q')/!0

(S)

"" (1)

όπου το ολοκλήρωµα του πρώτου µέλους της (1) εκτείνεται πάνω στα σηµεία της επιφάνειας (S). H σχέση αυτή µε βάση την γνωστή διανυσµατική σχέση

�

!

D = !0

!

E +

!

P µπορεί να πάρει την µορφή:

�

1

!0

(!

D -!

P )!d!

S =Q + Q'

!0(S)

"" !

�

(!

D !d!

S ) -(S)

"" (!

P !d!

S ) = Q + Q'(S)

"" !

�

(!

D !d!

S ) =(S)

"" (!

P !d!

S ) + Q + Q'(S)

"" (2)

Όµως αποδεικνύεται* ότι ισχύει:

�

(!

P !d!

S ) = -Q'(S)

""

οπότε η (2) γράφεται:

�

(!

D !d!

S ) = Q(S)

"" (3)

----------------------------- * H απόδειξη της σχέσεως αυτής θα δοθεί σε επόµενο εδάφιο, όπου το θέµα της πό λωσης του διηλεκτρικού θα εξετασθεί πιο γενικά.

H πιό πάνω σχέση (3) εκφράζει τον γενικευµένο νόµο του Gauss, που είναι ανεξάρτητος από την παρουσία του διηλεκτρικού υλικού µέσα στο οποίο εκτεί νεται το ηλεκτρικό πεδίο που εξετάζουµε. Στην σχέση αυτή το ολοκλήρωµα

�

(! D !d! S )

(S)

"" αποτελεί την ροή του διανύσµατος !

D της ηλεκτρικής µετατόπισης, δια

µέσου της κλειστής επιφάνειας (S), είναι δε αριθµητικά ίσο µε τα ελεύθερα φορ τία Q, που περικλείει η επιφάνεια. Mε βάση τον γενικευµένο νόµο του Gauss µπορούµε να ισχυριστούµε ότι, το διάνυσµα

!

D της ηλεκτρικής µετατόπισης του ηλεκτρικού πεδίου έχει δυναµικές γραµµές* που πηγάζουν από ελεύθερα φορτία και καταλήγουν πάλι σε ελεύθερα φορτία. Oι δυναµικές αυτές γραµµές διέρχονται δια µέσου των διηλεκτρικών υλικών, χωρίς να διακόπτωνται στα όρια διαχωρισµού τους.(σχ. 58) Aντίθετα ένα µέρος των δυναµικών γραµµών του διανύσµατος

!

E της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου διακόπτεται στα όρια διαχωρισµού του διηλεκτρικού υλικού, λόγω της εµφάνισης των δεσµίων φορ τίων πόλωσης στα όρια αυτά. 47. Σχέση ανάµεσα στα διανύσµατα

�

!

P και !

E Aς θεωρήσουµε ηλεκτρικό πεδίο, που αρχικά εκτείνεται µέσα στον κενό χώρο. Eάν ο χώρος αυτός πληρωθεί µε κάποιο οµογενές και ηλεκτρικά ισότροπο διη λεκτρικό υλικό, αυτό θα πολωθεί από το ηλεκτρικό πεδίο, µε αποτέλεσµα η ένταση του πεδίου σε κάθε σηµείο του να µεταβληθεί, ενώ η ηλεκτρική µετατό πιση θα παραµείνει αναλλοίωτη. Eάν

!

E είναι η ένταση του πεδίου σ’ ένα τυχαίο σηµείο του διηλεκτρικού υλικού,

!

D η ηλεκτρική µετατόπιση του σηµείου αυτού,

�

!

P η πόλωσή του και ε η διηλεκτρική σταθερά του υλικού, τότε ισχύουν οι διανυσµατικές σχέσεις:

�

!

D = !0

!

E +

!

P !

D = !0!

!

E

!

"

#

!

�

!0

!

E +

!

P = !0!

!

E !

�

!

P = !0!

!

E - !0

!

E !

�

!

P = !0(! - 1)!

E (1) Eπειδή ε>1, η διαφορά ε-1 είναι θετική και αποτελεί ένα καθαρό αριθµό, χαρακ τηριστικό του διηλεκτρικού υλικού που εξετάζουµε. O αριθµός αυτός συµβολί ζεται µε k και ονοµάζεται διηλεκτρική επιδεκτικότητα του υλικού. Έτσι η σχέση (1) παίρνει την µορφή:

�

!

P = !0k

!

E (2) H σχέση (2) εκφράζει ότι, η πόλωση σε κάθε σηµείο ενός διηλεκτρικού υλικού είναι ανάλογη προς την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο σηµείο αυτό. -------------------------- * Oρίζουµε ως δυναµική γραµµή του πεδίου

! D , κάθε νοητή γραµµή που βρίσκεται

µέσα στο ηλεκτρικό πεδίο, σε οποιοδήποτε σηµείο της οποίας το διάνυσµα ! D είναι

εφαπτόµενο αυτής.

48. Eισαγωγή διηλεκτρικού υλικού σε φορτισµένο πυκνωτή, υπό σταθερό φορτίο Θεωρούµε επίπεδο πυκνωτή αέρος χωρητικότητας C0 που η οπλισµοί του έχουν σταθερά* ηλεκτρικά φορτία ±Q. Eάν στο χώρο ανάµεσα στους δύο οπλισµούς εισαχθεί µια διηλεκτρική πλάκα που καλύπτει όλο τον χώρο, τότε µε την βοή θεια ενός ηλεκτρόµετρου θα διαπιστώσουµε ελάττωση της τάσεως στους οπλισ µούς του πυκνωτή. H ελάττωση αυτή εξηγείται εύκολα αν παρατηρήσουµε ότι, µε την εισαγωγή του διηλεκτρικού υλικού τα δίπολα µόρια του προσανατο λίζονται µέσα στο οµογενές ηλεκτρικό πεδίο του πυκνωτή, µε αποτέλεσµα να εµφανίζονται πάνω τις επιφάνειες επαφής του διηλεκτρικού µε τους οπλισ µούς, τα δέσµια φορτία πόλωσης ±Q'. Tα φορτία αυτά δηµιουργούν µέσα στην διηλεκτρική πλάκα οµογενές ηλεκτρικό πεδίο, αντίρροπο προς το αρχικό ηλεκ τρικό πεδίο του πυκνωτή, οπότε η τελική ένταση

!

E του ηλεκτρικού πεδίου έχει µικρότερο µέτρο από την αρχική ένταση

!

E 0. H ελάττωση όµως αυτή του

µέτρου της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου προκαλεί αντίστοιχη µείωση της τάσεως στους οπλισµούς του πυκνωτή, χωρίς βέβαια να µεταβάλλεται το ηλεκτρικό του φορτίο. Aυτό σηµαίνει ότι, µε την εισαγωγή του διηλεκτρικού υλικού στον πυκνωτή η χωρητικότητά του αυξάνει. Έτσι αν C, V είναι η χωρητικότητα και η τάση αντιστοίχως του πυκνωτή µετά την εισαγωγή της διηλεκτρικής πλάκας και C0, V0 η χωρητικότητα του αντιστοίχως η τάση του πριν από την εισαγωγή της, τότε θα έχουµε:

Q = C0V0

Q = CV

! " # ! CV = C

0V

0 ! C = C

0V

0/V (1)

Όµως ισχύουν και οι σχέσεις:

E0= V

0/ L

E = V/ L

! " #

!(:)

E

E0

=V

V0

οπότε η (1) παίρνει την µορφή: C = C

0E

0/E (2)

Aλλά το πηλίκο E/E0 εκφράζει την διηλεκτρική σταθερά ε της πλάκας, οπότε η σχέση (2) γράφεται: C = εC0 (3) Eξάλλου είναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότι, µε την εισαγωγή της διηλεκτρι κής πλάκας µέσα στον πυκνωτή, η ηλεκτρική µετατόπιση

!

D του ηλεκτρικού πεδίου παραµένει αναλλοίωτη, αφού τα ελεύθερα φορτία ±Q των οπλισµών δεν µεταβλήθηκαν. Tέλος είναι χρήσιµο να παρατηρήσουµε ότι, η ηλεκτροστατική ενέργεια, που είναι αποθηκευµένη στο ηλεκτρικό πεδίο του πυκνωτή, µεταβάλ ---------------------------------- * Tα ηλεκτρικά φορτία των οπλισµών ενός πυκνωτή παραµένουν σταθερά, όταν οι οπλισµοί του είναι ελεύθεροι, δηλαδή δεν παρουσιάζουν αγώγιµη σύνδεση µε άλλους φορτισµένους αγωγούς.

λεται µε την εισαγωγή του διηλεκτρικού υλικού από την τιµή W0 στην τιµή W και µάλιστα ισχύουν οι σχέσεις:

W0 = QV0/2

W = QV/2

! " #

!(:)

W

W0

=V

V0

!(1)

W

W0

=C

0

C !

W

W0

=C

0

!C0

=1

!

< 1 ! W < W0 (4)

Aπό την (4) προκύπτει ότι η ηλεκτροστατική ενέργεια του πυκνωτή ελαττώ νεται µε την εισαγωγή της διηλεκτρικής πλάκας, υπό σταθερό φορτίο. H ελάτ τωση αυτή βρίσκεται σε συµφωνία µε την αρχή διατήρησης της ενέργειας, διότι κατά την εισαγωγή της διηλεκτρικής πλάκας παρατηρείται πάνω σ΄ αυτήν ελκτική δύναµη από το ηλεκτρικό πεδίο του πυκνωτή, η οποία παράγει έργο, ίσο µε την παρατηρούµενη ελάττωση της ηλεκτροστατικής ενέργειας του πυκ νωτή. Tο έργο αυτό µετατρέπεται σε αύξηση της κινητικής ενέργειας της διη λεκτρικής πλάκας κατά την ελεύθερη εισαγωγή της µέσα στον πυκνωτή. 49. Eισαγωγή διηλεκτρικού υλικού σε φορτισµένο πυκνωτή, υπό σταθερή τάση Θεωρούµε επίπεδο πυκνωτή αέρος χωρητικότητας C0, που οι οπλισµοί του συν δέονται µόνιµα µε τους πόλους ηλεκτρικής γεννήτριας, σταθερής πολικής τάσεως V. Eάν στον χώρο µεταξύ των οπλισµών του πυκνωτή εισαχθεί µια διη λεκτρική πλάκα που καλύπτει όλο τον χώρο, τότε θα διαπιστώσουµε ότι στην διάρκεια που η πλάκα εισάγεται µέσα στον πυκνωτή, διέρχεται ηλεκτρικό φορτίο από το βαλλιστικό γαλβανόµετρο που έχουµε παρεµβάλει ανάµεσα στην γεννήτρια και τον πυκνωτή. Aυτό σηµαίνει ότι µε την εισαγωγή του διηλεκ τρικού υλικού στον χώρο των οπλισµών µεταφέρονται ηλεκτρόνια από τον ένα οπλισµό στον άλλο, µε αποτέλεσµα να µεταβάλλεται το ηλεκτρικό του φορτίο. H µεταβολή αυτή του φορτίου του πυκνωτή µπορεί να εξηγηθεί µε βάση τα δέσµια φορτία πόλωσης ±Q΄ που δηµιουργούνται πάνω στις επιφάνειες της διηλεκτρικής πλάκας, οι οποίες εφάπτονται των οπλισµών του πυκνωτή. Πράγ µατι, τα φορτία αυτά δηµιουργούν µέσα στο διηλεκτρικό υλικό ηλεκτρικό πεδίο, αντίρροπο προς το αρχικό πεδίο του πυκνωτή, το οποίο όµως συντιθέµε νο µε το ηλεκτρικό πεδίο που δηµιουργούν τα ελεύθερα φορτία των οπλισµών, παρέχει ηλεκτρικό πεδίο της ίδιας έντασης µε το αρχικό, αφού η ηλεκτρική τάση του πυκνωτή έµεινε σταθερή. Tούτο όµως είναι δυνατό µόνο µε αύξηση των ελεύθερων φορτίων ±Q των οπλισµών, ώστε να εξουδετερωθεί το ηλεκτρι κό πεδίο που δηµιουργούν τα δέσµια φορτία πόλωσης ±Q΄ της διηλεκτρικής πλάκας. Eπακόλουθο της αύξησης των ελεύθερων φορτίων του πυκνωτή µε την εισαγωγή της διηλεκτρικής πλάκας, είναι η αύξηση της χωρητικότητάς του από την αρχική τιµή C0 στην τελική τιµή C, που υπολογίζεται ως εξής. Eάν

!

D 0

είναι η ηλεκτρική µετατόπιση του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή πριν την εισαγωγή της διηλεκτρικής πλάκας και

!

D η ηλεκτρική µετατόπιση µετά την εισαγωγή της, θα ισχύουν οι σχέσεις:

D0= !

0E

D = !0!E

! " #

!(:)

D0

D=

1

!

! D = !D0 (1)

όπου E το µέτρο της σταθερής έντασης του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή. Eξάλλου εάν σ0, σ είναι οι επιφανειακές πυκνότητες των ελεύθερων φορτίων Q0 και Q του πυκνωτή, θα έχουµε τις σχέσεις:

D0 =!0 = Q0/S

D =! = Q/S

! " # !

(:)

D0

D=Q0

Q !

(1)

D0

!D0

=Q0

Q ! Q = εQ0 (2)

Όµως ισχύουν ακόµη οι σχέσεις Q0 =C0V και Q=CV, οπότε η (2) γράφεται: CV = εC0V ! C = εC0 (3) Tέλος αν αναφερθούµε στην ηλεκτροστατική ενέργεια του φορτισµένου πυκνω τή αυτή µεταβάλλεται µε την εισαγωγή της διηλεκτρικής πλάκας από την αρχική τιµή W0 στην τελική τιµή W και µάλιστα ισχύουν οι σχέσεις:

W0 = Q0V/2

W = QV/2

! " # !

(:)

W0

W=

Q0

Q !

(2)

W0

W=

Q0

!Q0

!

W = εW0 ! W > W0 διότι ε>1. Δηλαδή µε την εισαγωγή της διηλεκτρικής πλάκας µέσα στον πυκνω τή, υπό σταθερή τάση, αυξάνει η ηλεκτροστατική του ενέργεια. H επιπρόσθετη αυτή ενέργεια παρέχεται από την ηλεκτρική γεννήτρια, στην διάρκεια της διέλευσης του ηλεκτρικού φορτίου Q-Q0 από το εσωτερικό της. 50. Γενικότερη θεώρηση του ηλεκτρικού πεδίου που παράγει ένα πολωµένο διηλεκτρικό υλικό. Eξετάζοντας στα προηγούµενα εδάφια την ειδική περίπτωση διηλεκτρικού υλι κού που καλύπτει µερικώς τον χώρο µεταξύ των οπλισµών ενός επιπέδου φορ τισµένου πυκνωτή καταλήξαµε στο συµπέρασµα ότι, επί των επιφανειών του διηλεκτρικού που είναι αντικρυστές µε τους οπλισµούς αναπτύσσονται δέσµια φορτία πόλωσης, τα οποία οφείλονται στον προσανατολισµό των διπολικών µορίων του διηλεκτρικού υλικού που προκαλεί το οµογενές ηλεκτρικό πεδίο του πυκνωτή. Tα δέσµια αυτά φορτία αποτελούν υπαρκτές κατανοµές ηλεκτρι κών φορτίων οι οποίες δηµιουργούν ένα γνήσιο ηλεκτροστατικό πεδίο, που ακο λουθεί όλους τους νόµους που αφορούν την έντασή του και το δυναµικό του. Στο παρόν εδάφιο θα γενικεύσουµε τις γνώσεις µας για το ηλεκτρικό πεδίο ενός πολωµένου διηλεκτρικού υλικού χωρίς να µας δεσµεύσει η γεωµετρική του µορφή. Προς τούτο θεωρούµε ένα διηλεκτρικό υλικό τυχαίου σχήµατος µε επίπεδες βάσεις και δεχόµαστε ότι έχει παγιωθεί µια σταθερή πόλωση

�

!

P σε όλη του την έκταση, χωρίς να µας ενδιαφέρει η αιτία που την προκάλεσε. Aς αποµονώσουµε ένα στοιχείο του υλικού αυτού σχήµατος κυλίνδρου, του οποίου ο άξονας έχει την διεύθυνση της πόλωσης

�

!

P και οι µικρές βάσεις dS και dS’ βρίσκονται στην επάνω και στην κάτω ελεύθερη επιφάνεια αντιστοίχως του

υλικού. Mπορούµε να παρατηρήσουµε ότι ο κύλινδρος αυτός αποτελείται από στοιχειώδη προσανατολισµένα δίπολα, που οι ηλεκτρικές τους ροπές έχουν την κατεύθυνση της πόλωσης

�

!

P , τα δε ηλεκτρικά φορτία που φέρει το καθένα στις άκρες του εξουδετερώνονται από τα ετερώνυµα φορτία του προηγούµενου και του επόµενού του, ενώ παραµένουν ανεξουδετέρωτα το φορτίο –dQ’ της κάτω βάσεώς του dS’ και το φορτίο dQ’ της άνω βάσεως του dS (σχ. 59).

Σχήµα 59 Δηλαδή το κυλινδρικό αυτό στοιχείο του υλικού λειτουργεί για το περιβάλλον του ως ηλεκτρικό δίπολο. Η ηλεκτρική ροπή d

! p του δίπολου αυτού είναι οµόρ

ροπη της

�

!

P και δίνεται από την σχέση:

d! p = dQ'!h

!

k όπου h το ύψος του κυλίνδρου και

!

k το µοναδιαίο διάνυσµα που δείχνει την κατεύθυνση της πόλωσης

�

!

P . Εξάλλου το ηλεκτροστατικό πεδίο που παράγει το στοιχείο αυτό έχει όλα τα χαρακτηριστικά του αντίστοιχου πεδίου ενός διπό λου µε ηλεκτρική ροπή d

! p . Aς συζητήσουµε λίγο για τα δέσµια φορτία ±Q’

που είναι προσκολληµένα στις βάσεις του κυλίνδρου. H επιφανειακή πυκνότη τα σ’ του δέσµιου φορτίου στην θέση της βάσεως dS’ είναι:

!'=

-dQ'

dS'=

-dQ'h

dS'h=

-dp

dV !

�

!'= -P = (!

P !! n ')

όπου

! n ' το µοναδιαίο επιφανειακό διάνυσµα στην θέση της βάσεως dS’ και dV ο

όγκος του κυλίνδρου. Eξάλλου η επιφανειακή πυκνότητα σ στην θέση της βά σεως dS είναι:

!=

dQ'

dS=

dQ'

dS'/!"#$=

dQ'h!"#$

dS'h=

dp

dV!"#$ !

�

! = P!"#$ = (!

P !! n )

όπου

! n το µοναδιαίο επιφανειακό διάνυσµα στην θέση dS και φ η γωνία των

διανυσµάτων ! n και

�

!

P . Γενικώς η σχέση:

�

!s = (!

P !! n ) (1)

δίνει την επιφανειακή πυκνότητα του δέσµιου φορτίου σε οποιοδήποτε σηµείο

της εξωτερικής επιφάνειας του διηλεκτρικού υλικού. H διαµέριση του διηλεκ τρικού υλικού σε κυλινδρικά στοιχεία, όπως εκείνο που θεωρήσαµε προηγουµέ νως, θα µας οδηγήσει στην εµφάνιση δέσµιων φορτίων ±Q’ στις βάσεις του (S) και (S’) (σχ. 60) που οι κατανοµές τους καθορίζονται από την σχέση (1). Tα φορ τία αυτά αποτελούν πηγές δηµιουργίας ενός ηλεκτροστατικού πεδίου, που οφείλεται αποκλειστικά στην πόλωση του διηλεκτρικού και εκτείνεται στον

Σχήµα 60 εσωτερικό και εξωτερικό του χώρο, στις δε οριακές του επιφάνειες δεσµεύεται µε τις συνθήκες που επικρατούν σ’ αυτές. Στην περίπτωση που η πόλωση του διηλεκτρικού υλικού µεταβάλλεται τοπικά, τότε τα φορτία των στοιχειωδών του διπόλων δεν αλληλοεξουδετερώνονται στο εσωτερικό του µε αποτέλεσµα να εµφανίζεται εντός αυτού δέσµιο φορτίο, του οποίου η χωρική πυκνότητα !V

εξαρτάται από την συνάρτηση που καθορίζει την πόλωσή

�

!

P του διηλεκτρικού. Όµως το δέσµιο χωρικό φορτίο QV εντός του διηλεκτρικού και το δέσµιο επιφα νειακό φορτίο QS στην εξωτερική του επιφάνεια υπακούουν στην αρχή διατήρη σης του ηλεκτρικού φορτίου, δηλαδή το άθροισµά τους είναι µηδενικό, οπότε θα ισχύει η σχέση: QV +QS = 0 !

�

!VdV +(V)

!!! !SdS(S)

!! = 0 !

�

!VdV +(V)

!!! (!

P "! n )dS

(S)

!! = 0 !

�

!VdV +(V)

!!! (!

P "d!

S )(S)

!! = 0 (2)

όπου V ο όγκος του διηλεκτρικού και (S) η κλειστή επιφάνεια που αποτελεί τα όρια του όγκου αυτού. Όµως σύµφωνα µε το θεώρηµα της απόκλισης (θεώρηµα του Gauss) ισχύει:

�

(!

P !d!

S )(S)

"" = (! # !!

P )dV(V)

"""

όπότε η σχέση (2) γράφεται:

�

!VdV +(V)

!!! (! " #!

P )dV = 0(V)

!!! !

�

[!V + (! ! "!

P )]dV = 0(V)

### !

�

!V + (! ! "!

P ) = 0 !

�

!V = - (! ! "!

P ) (3) H σχέση (3) καθορίζει την χωρική πυκνότητα του δέσµιου φορτίου σε κάθε σηµείο του διηλεκτρικού υλικού, είναι δε ανεξάρτητη της γεωµετρικής του µορ φής. Xρησιµοποιώντας την σχέση (3) µπορούµε να ορίσουµε µε γενικό τρόπο

την ηλεκτρική µετατόπιση !

D ηλεκτρικού πεδίου, στην δηµιουργία του οποίου συµµετέχει και πολωµένο διηλεκτρικό υλικό οιουδήποτε σχήµατος. Προς τούτο θεωρούµε ένα ηλεκτρικό πεδίο που δηµιουργείται από ελεύθερα και δέσµια χω ρικά φορτία που οι κατανοµές τους στον χώρο καθορίζονται από τις χωρικές πυκνότητες ρ και ρV αντιστοίχως. Σύµφωνα µε τον νόµο του Gauss υπό δια φορική µορφή, σε κάθε σηµείο του πεδίου αυτού θα ισχύει:

�

!0(! ! "! E ) = "+"V

!

�

!0(! ! "! E ) = " - (

! ! "!

P ) !

�

(! ! "!0

! E ) + (

! ! "!

P ) = " !

�

[! ! "(!0

! E +

! P )] = " (4)

Tο διανυσµατικό µέγεθος

!

D που ορίζεται µέσω της σχέσεως:

�

!

D = !0

!

E +

!

P (5) είναι η ηλεκτρική µετατόπιση του θεωρούµενου ηλεκτρικού πεδίου και ικανο ποιεί σε κάθε σηµείο του την σχέση:

�

(! ! "! D ) = ! (6)

δηλαδή η απόκλιση του διανύσµατος

!

D εξαρτάται από την συνάρτηση κατανο µής των ελεύθερων φορτίων που µετέχουν στην δηµιουργία του πεδίου. Όµως η γνώση της απόκλισης µιας διανυσµατικής συνάρτησης δεν την προσδιορίζει πλήρως, αλλά απαιτείται να γνωρίζουµε και τον στροβιλισµό της, που σηµαίνει ότι στην περίπτωσή µας δεν αρκεί µόνο η χωρική πυκνότητα των ελεύθερων φορτίων για να προσδιορίσουµε το διάνυσµα

!

D . Eξάλλου από την σχέση (5) θεωρώντας τους στροβιλισµούς των δύο µελών της έχουµε:

�

(! ! "!

D ) = !0(! ! "!

E ) + (! ! "!

P ) !

�

(! ! "!

D ) = !0#!

0 + (! ! "!

P ) !

�

(! ! "!

D ) = (! ! "!

P ) Eάν η γεωµετρία του πολωµένου σώµατος που συµµετέχει στην δηµιουργία του ηλεκτρικού πεδίου επιβάλλει σε κάθε σηµείο του την σχέση

�

(! ! "!

P ) =!

0 , τότε η ηλεκτρική µετατόπιση µπορεί να υπολογισθεί µόνο µε την βοήθεια της συνάρτησης της χωρικής πυκνότητας του ελεύθερου φορτίου, χωρίς να δηµι ουργούνται αντιφάσεις. Eάν όµως ισχύει

�

(! ! "!

P ) #!

0 , τότε ο υπολογισµός της

ηλεκτρικής µετατόπισης

!

D µε την βοήθεια της (6) µπορεί να προκαλέσει εσ φαλµένα συµπεράσµατα σε ότι αφορά την σχέση της µε τα άλλα δύο διανύσµα τα !

E και

�

!

P . Για να γίνει αυτό κατανοητό θεωρούµε ένα πολωµένο κυλινδρικό διηλεκτρικό πεπερασµένου µήκους και δεχόµαστε ότι παρουσιάζει σταθερή πό λωση

�

!

P σε όλη του την έκταση, η οποία διευθύνεται κατά τον άξονα του κυλίν δρου. Aς εξετάσουµε το πεδίο που δηµιουργεί το πολωµένο υλικό κοντά στο άκρο του θετικού δέσµιου φορτίου, θεωρώντας ότι τα τρία χαρακτηριστικά διανύσµατα είναι κάθετα στην βάση του στην µικρή αυτή περιοχή. Λαµβάνον τας κλειστή γραµµή (C) σχήµατος µικρού ορθογωνίου (σχ. 61), του οποίου η µια πλευρά βρίσκεται µέσα στον κύλινδρο και είναι κάθετη στην βάση του και η απέναντί της πλευρά εκτός του κυλίνδρου, έχουµε για την κυκλοφορία της πόλωσης κατά µήκος της (C) την σχέση:

�

(!

P !d! L )

(C)

" =!

P !"dL!" -!

P !#dL!# =!

P !"dL!" - 0 =!

P !"dL!" # 0

Δηλαδή στην εγγύς περιοχή του θετικού άκρου του κυλίνδρου ισχύει η σχέση

�

(! ! "!

P ) #!

0 , που σηµαίνει ότι η ηλεκτρική µετατόπιση δεν µπορεί να καθορι στεί µε βάση µόνο τα ελεύθερα φορτία, διότι τότε θα έπρεπε λόγω της έλλειψης

Σχήµα 61 Σχήµα 62 ελεύθερων φορτίων να ισχύει παντού

!

D =0. Aυτό όµως για τα εξωτερικά σηµεί α του κυλίνδρου σύµφωνα µε την σχέση (5) θα έδινε

!

E !" =

!

0 πράγµα που δεν ισχύει. Eφαρµόζοντας εξάλλου τον νόµο του Gauss για την ροή του διανύσµα τος

!

D διαµέσου της επιφάνειας του µικρού κυλίνδρου K του σχήµατος (61) παίρνουµε την σχέση:

�

(!

D !d!

S )(K)

"" = 0 !

�

[! D !"! (-

! n dS)]+ (

! D !#!! n dS) = 0 !

�

dS[-(! D !"!

! n )+ (

! D !#!! n )] = 0 !

�

(! D !"!

! n )= (

! D !#!! n ) !

�

! D !" =

! D !# (7)

δηλαδή κατά την διάβαση της οριακής επιφάνειας του άκρου η ηλεκτρική µε τατόπιση εγγύς του άκρου δεν µεταβάλλεται. Aυτό σηµαίνει ότι οι γραµµές του

!

D διατηρούν την φορά τους, καθώς εξέρχονται του κυλίνδρου (σχ. 62). Σε ότι αφορά την ένταση

!

E του πεδίου πόλωσης του διηλεκτρικού κυλίνδρου έχουµε να παρατηρήσουµε τα έξης: Aν θεωρήσουµε κλειστή γραµµή (C) που αποτελείται από το τµήµα αβ δυνα µικής γραµµής που βρίσκεται εντός του κυλίνδρου και από το τµήµα βγα δυναµικής γραµµής που βρίσκεται εκτός του κυλίνδρου (σχ. 63) και λάβουµε την κυκλοφορία της έντασης

!

E κατά µήκος της γραµµής αυτής, η τιµή αυτής είναι µηδέν, λόγω της ιδιότητας του αστροβίλου της έντασης

!

E , δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

(!

E !d!

L ) = 0(C)

" !

�

(!

E !"!d!

L !" ) + (!

E !#!d!

L !#)$%&

" = 0&$

" !

�

(!

E !"!d!

L !" ) = - (!

E !#!d!

L !# )$%&

"&$

" !

�

(E!"!dL!" ) = - (E!#!dL!# )$%&

"&$

" (8)

H σχέση (8) εγγυάται ότι, η φορά της δυναµικής γραµµής εντός του κυλίνδρου είναι αντίθετη της φοράς εκτός του κυλίνδρου, δηλαδή κατά την έξοδο τους από τον κύλινδρο οι δυναµικές γραµµές του πεδίου

!

E αλλάζουν φορά (σχ. 64)

Tέλος εφαρµόζοντας τον νόµο του Gauss για την ροή της έντασης !

E δια µέσου της επιφάνειας του ίδιου κυλίνδρου K έχουµε την σχέση:

�

(!

E !d!

S )(K)

"" = dQ'/!0 !

�

(! E !" !! n dS)+ [(

! E !# !(-

! n dS)] = dQ'/!0 !

�

dS[(! E !" !! n )- (

! E !# !! n )] = dQ'/!0 !

�

dS(E!" + E!# ) = dS#S/!0 ! E!" +E!# =#

S/!

0 (9) όπου σS η επιφανειακή πυκνότητα του δέσµιου φορτίου, που υπάρχει στην βάση

του κυλίνδρου. H πιο πάνω σχέση δηλώνει ότι η ένταση !

E παρουσιάζει ασυνέ

Σχήµα 63 Σχήµα 64 χεια κατά την µετάβαση από το εσωτερικό προς το εξωτερικό του κυλίνδρου διαµέσου του άκρου του. Aπό την ανάλυση που προηγήθηκε προκύπτουν τα ακόλουθα συµπεράσµατα: i) Όταν ένα υλικό σώµα παρουσιάζει παγιωµένη πόλωση, τότε δηµιουργεί ηλεκτροστατικό πεδίο, του οποίου η φυσιογνωµία καθορίζεται από την συνάρτη ση

�

!V = - (! ! "!

P ) της χωρικής πυκνότητας ρV του δέσµιου φορτίου του και από

την συνάρτηση

�

!s = (!

P !! n ) της επιφανειακής πυκνότητας σS του δέσµιου φορ

τίου που υπάρχει στην εξωτερική περατωτική του επιφάνεια. ii) Eάν το πολωµένο σώµα παρουσιάζει σταθερή πόλωση σε όλη του την έκτα ση, τότε η χωρική πυκνότητα του δέσµιου φορτίου του είναι παντού µηδενική, παρουσιάζονται όµως δέσµια φορτία στην εξωτερική του επιφάνεια των οποίων η κατανοµή καθορίζεται από την επιφανειακή τους πυκνότητα σΣ, για την

οποία ισχύει η σχέση

�

!s = (!

P !! n ). Tα επιφανειακά αυτά φορτία δηµιουργούν το

ηλεκτροστατικό πεδίο του πολωµένου διηλεκτρικού σώµατος. iii) Tο ηλεκτροστατικό πεδίο που οφείλεται σε ελεύθερα φορτία και σε δέσµια φορτία ενός πολωµένου διηλεκτρικού σώµατος περιγράφεται εντός και εκτός αυτού πλήρως από την συνάρτηση της έντασής του

!

E , η οποία έχει πηγές και δύο αυτά είδη φορτίων. Στις περιπτώσεις όµως που η γεωµετρία του διηλεκ τρικού υλικού επιβάλλει τον µηδενισµό του στροβιλισµού της πόλωσής του, τότε µπορούµε να καταφύγουµε στα ελεύθερα φορτία και να υπολογίσουµε την συνάρτηση της ηλεκτρικής µετατόπισης

!

D του πεδίου και στην συνέχεια µέσω της σχέσεως

�

!

D = !0

!

E +

!

P να υπολογίσουµε την ένταση !

E του πεδίου.

51. Tο ηλεκτρικό πεδίο στα όρια πολωµένου διηλεκτρικού σώµατος. Θα εξετάσουµε ποια µεταβολή παθαίνει η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου ενός διηλεκτρικού σώµατος που παρουσιάζει παγιωµένη πόλωση, κατά το πέρασµα από το εσωτερικό του προς το εξωτερικό του περιβάλλον δια µέσου της διαχω ριστικής επιφάνειας µε αυτό. Για τον σκοπό αυτό θεωρούµε στην περιοχή ενός σηµείου A της διαχωριστικής επιφάνειας ένα µικρό κύλινδρο, του οποίου οι δύο βάσεις είναι παράλληλες προς την επιφάνεια και βρίσκονται εκατέρωθεν αυτής (σχ. 65). Eφαρµόζοντας τον νόµο του Gauss για την ροή της έντασης

!

E διαµέσου της επιφάνειας του κυλίνδρου θα έχουµε την σχέση:

�

-E1,!dS + E2,!dS =QS/"0 !

�

E2,! - E1,!= !S/"0 (1) όπου

!

E 1,!,

!

E 2,! οι κάθετες προς την επιφάνεια συνιστώσες της έντασης λίγο πά νω και λίγο κάτω από αυτήν αντιστοίχως και σS η επιφανειιακή πυκνότητα του δέσµιου φορτίου στο θεωρούµενο σηµείο. Kατά την παραγωγή της σχέσεως (1) θεωρήσαµε αµελητέα την ροή της έντασης διαµέσου της παράπλευρης επιφά νειας του κυλίνδρου, αφού το ύψος του dh τείνει στο µηδέν. Aπό την (1) προκύ πτει ότι η κάθετη προς την διαχωριστική επιφάνεια συνιστώσα της έντασης

!

E είναι ασυνεχής στα σηµεία της επιφάνειας αυτής. Aς θεωρήσουµε τώρα ένα πολύ µικρό ορθογωνιακό βρόχο, που οι δύο πλευρές του είναι κάθετες στην διαχωριστική επιφάνεια, ενώ οι άλλες δύο πλευρές είναι εκατέρωθεν της επιφά νειας και παράλληλες προς την διεύθυνση της εφαπτοµενικής συνιστώσας της

Σχήµα 65 Σχήµα 66 έντασης. Eπειδή η κυκλοφορία της έντασης

!

E κατά µήκος του βρόχου αυτού είναι µηδενική, θα έχουµε την σχέση:

�

-E1,!dL+ E2,!dL =0 ! E1,! = E2,! (2) όπου

!

E 1,!,

!

E 2,! οι εφαπτοµενικές συνιστώσες της έντασης λίγο πάνω και λίγο κάτω αντιστοίχως, από την διαχωριστική επιφάνεια.. Aπό την σχέση (2) παρατη ρούµε ότι η εφαπτοµενική προς την επιφάνεια συνιστώσα της έντασης είναι συνεχής στα σηµεία αυτής, δηλαδή δεν µεταβάλλεται κατά το πέρασµα από το το εσωτερικό του πολωµένου διηλεκτρικού σώµατος προς το εξωτερικό του περιβάλλον. Eξάλλου από τις (1) και (2) εύκολα συνάγουµε τις σχέσεις:

!

E 1,! -!

E 2,! =! n "S/#0!

E 1,$ =!

E 2,$

!

"

#

όπου

! n το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στο σηµείο A της διαχωριστικής επιφά

νειας. Προσθέτοντας κατά µέλη τις δύο προηγούµενες σχέσεις παίρνουµε:

!

E 1,! +!

E 1," =!

E 2,! +!

E 2," +! n #S/$0 !

!

E 1=!

E 2+! n !

S/ "

0 !

!

E 1-!

E 2=! n !

S/ "

0 (3)

όπου

!

E 1,

!

E 2, η ένταση του πεδίου στο A λίγο πάνω και λίγο κάτω αντιστοίχως

από την επιφάνεια. Παρατήρηση: H σχέση (3) ισχύει και στην περίπτωση σώµατος που φέρει στην διαχωριστική επιφάνεια µε το περιβάλλον του µόνο ελεύθερα φορτία (π.χ. φορ τισµένος µεταλικός αγωγός) αρκεί να θεωρούµε στην σχέση αυτή την επιφα νειακή πυκνότητα σ του ελεύθερου φορτίου.

P.M. fysikos