直线、平面平行的判定及性质

• 【例 2】 将正三棱柱截去三个角 (如图 1所示 )，A，B，C分别是△GHI三边的中

点得到几何体如图 2，则该几何体按图 2所示方向的侧视图 (或称左视图 )为 ( 　 　 )

• 【例1】 (2009·宁夏、海南 )一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的全面积

(单位： cm2)为 ( 　 　 )

• 思维点拨：根据三视图分析三棱锥的各个面的三角形的形状．

• 【例 3】 (2009·山东 )一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( 　 　 )

• 变式3.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底

长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 ( 　 　 )

基础自测1. 若平面 α∥ 平面 β ，直线 a∥ 平面 α ，点 B∈β, 则在平面 β 内且过 B 点的所有直线中 ( ) A. 不一定存在与 a 平行的直线 B. 只有两条与 a 平行的直线 C. 存在无数条与 a 平行的直线 D. 存在唯一与 a 平行的直线

A

2. 下列条件中，能判断两个平面平行的是 ( ) A. 一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B. 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C. 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D. 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

D

• 3．已知平面 α外不共线的三点 A， B， C到 α的距离都相等，则正确的结论

是 ( 　 　 )

• 　　　　　　A．平面ABC必不垂直于 α

• 　　　　　　B．平面ABC必平行于 α

• 　　　　　　C．平面ABC必与 α相交

• 　　　　　　D．存在△ABC的一条中位线平行于 α或在 α内

4. 下列命题中正确的个数是 ( ) ① 若直线 a 不在 α 内，则 a∥α; ② 若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内 , 则 l∥α ； ③ 若直线 l 与平面 α 平行，则 l 与 α 内的任意一条 直线都平行； ④ 如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那 么另一条也与这个平面平行； ⑤ 若 l 与平面 α 平行，则 l 与 α 内任何一条直线都 没有公共点； ⑥ 平行于同一平面的两直线可以相交 . A.1 B.2 C.3 D.4

• 5． (2009·江西 )如图，在四面体 ABCD中，若截面 PQMN是正方形，

则下列命题中错误的为 ( 　 　 )

• 　　　　　　A．AC⊥BD

• 　　　　　　B．AC∥截面 PQMN

• 　　　　　C．AC＝BD

• 　　　　　　D．异面直线 PM与BD所成角为 45°

　　　　　

题型一 直线与平面平行的判定与性质 如图所示 , 正方体 ABCD—A1B1

C1D1 中，侧面对角线 AB1 ， BC1 上分别

有两点 E ， F ，且 B1E=C1F.

求证： EF∥ 平面 ABCD.

【例1】

• 【例 2 】 如图，在棱长为 2的正方体 ABCD － A1B1C1D1中，

O 是底面 ABCD 的中心， E 、 F 分别是 CC1、 AD 的中点，

那么异面直线 OE 和 FD1所成的角的余弦值等于 (　　 )

变式 3.如图 ABC—A1B1C1是各棱长均为 a的正三棱柱，

D 　是侧棱 CC1的中点．

若 O为△ ABC的中心， P为 BB1上一点，当 OP ∥

平面 AB1D时，试确定点 P的位置．

【例 2】 正方形 ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，M、N分别是

　对角线 AC和BF上的点，且AM＝FN.

　　 (1)求证：MN∥平面BEC；

　　 (2)设正方形的边长为 a，AM＝FN＝ b，求MN的长；

　　 (3)若 α和 β分别表示直线MN和AC及MN和BF所成的锐角，当线段M

N的长度最短时，计算 α和 β的度数．

题型二 平面与平面平行的判定与性质

5. 已知平面 α∥ 平面 β ， P 是 α 、 β 外一点，过点P 的直线 m 与 α 、 β 分别交于 A 、 C ，过点 P 的直线 n 与 α 、 β 分别交于 B 、 D 且 PA=6,AC=9 ， PD=8 ，则 BD 的长为 ( ) A.16 B. C.14 D.20

解析 根据题意可出现以下如图两种情况：

可求出 BD 的长分别为 .

524

24或

524

24或

B