运筹学作业

设计者 : 丘麟 . 杨丰创作人 : 张建明

其他组员：刘育中 . 魏晋虎 . 唐云峰 . 潘耿俊 . 湛大柱

习题 7.9 （ 3 ） 运用逆序解法： 问题可分为三个阶段 , 状态变量 sk 为第 k 阶段

xk 第三阶段可能的最大取值范围 , 决策变量 uk

为第 k 阶段 xk 的取值 , 状态转移方程 sk+1=sk-uk

=sk-xk ；最优指标函数 fk(sk) 表示第 k 阶段，初始状态为 sk 时，从第 k 到第三阶段所得的最大值， f1(s1) 即为所求的最大值。

递推方程为：

fk(sk) = max {gk(xk)+fk+1(sk+1)} 0≤xk≤sk

f4(s4) =12 K=3 时， f3(s3) = max {2x3

2+f4(s4)} 0≤x3≤s3

当 x3*=s3 时，取得极大值 2s3

2, 即 f3(s3) = max {2x3

2+f4(s4)}=2s32+12

0≤x3≤s3 K=2 时，

f2(s2) = max {-x22+f3(s3)}

0≤2x2≤s2

= max {-x22+2s3

2+12} 0≤2x2≤s2

= max {-x22+2 （ s2-2x2 ） 2 +12}

0≤2x2≤s2

令 h2(s2,x2)=-x22+2(s2-2x2)2+12

=2s22-8s2x2+7x2

2+12 dh2/dx2=14x2-8x2=0(0≤x2≤s2)→x2=4/7s2

dh2/dx2=14>0 当 x2*=0, 取得极大值 f2(0)=2s2

2

+12 当 k=1 时，

f1(s1) = max {4x12+f2(s2)}

0≤3x1≤s1

= max {4x12+2s2

2+12} 0≤3x1≤s1

= max {4x12+2(s1-3x1)2+12}

0≤3x1≤s1

解得当 x1*=0 时 f1(9)=2•92+12=184

当 x1=0,x2=0,x3=9 函数最大值为 maxZ=184

习题 7.9 （ 4 ） 运用逆序解法： 将问题分成三个阶段 , 状态变量 Sk 为第 K 阶段

到第 3 阶段的最大可能的取值 , 决策变量 Uk 为第 K 阶段 Xk 的取值 , 状态转移方程为 Sk+1 ＝ Sk

－ Xk 最优指标函数 fk （ Sk ）表示第 K 阶段 ,初始状态为 Sk 时，从第 K 到第三个阶段的最大值 ,f1 （ S1 ）即为所求最大值 .

递推方程： fk(Sk) ＝ MAX { gk(xk)+fk+1(sk+!)} 0 ≤Xk≤Sk

f4 （ S4 ）＝ 0

k ＝ 3 时 ,f3(S3) ＝ MAX {2x 3

2 }=2S32/9

0 ≤Xk≤Sk

k ＝ 2 时， f2(S2) ＝ MAX { 9x2+ f3(S3) }

0 ≤4X2≤S2

令 h2(s2,x2)=9x2+2/9(s2-x2) 2

dh2/dx2=9+4/9(s2-x2)(-1)=0 x2=s2-81/4 d2h2/dx2

2=4/9>0 x2=s2-81/4 是极小点

极大值只可能在 [0,s/4] 端点取得 f2 (0) ＝ 2s2

2/9, f(s2/4)=9s2/4

S2>81/8 时 ,f(0)>f2 (s2/4), x*2 =0.

S2<81/8 时 ,f(0)<f2 (s2/4), x*2

=s2/4 K=1 时 ,f1(s1)=MAX {4x1+f2 (s2) } 0 ≤2X1≤S1

当 f2 (s2)=9s2/4 时 , f1 (10)= MAX {4x1+9(s1-2x1)/4 }=9s1/4=90/4 0 ≤2X1≤10

*

当 f2 (s2)=2s22/9 时，

f1(10)=MAX {4x1=2(s1-2x1) 2} 0 ≤2X1≤10 极值在 [0,5] 两个端点 . x1=0 时 ,f1 (10)=2s1/9=200/9<90/4. x1=5 时 ,f1 (10)=40. 得到 x1

* =0.

s2 =s1-x1*

=10-0=10, x2*

=10/4=5/2, x3*

=0 当 x1=0,x2=5/2,x3=0 时 , MAX f ＝ 90/4.