AUTODESK ROBOT STRUCTURAL ANALYSIS PODSTAWY OBLICZEŃ

Autorzy: dr inż. Andrzej Ambroziak prof. dr hab. inż. Paweł Kłosowski

Gdańsk, 2010

Spis treści 3

SPIS TREŚCI

1  PRZEDMOWA ............................................................................................................. 4 

2  ZAGADNIENIA WSTĘPNE ........................................................................................ 5 

2.4  Wybór typu projektowanej konstrukcji ................................................................. 5 

2.5  Podstawowe wiadomości o definiowaniu konstrukcji .......................................... 5 

3  PRZYKŁADY ANALIZY UKŁADÓW PRĘTOWYCH ............................................. 9 

3.1  Przykład nr 1 – Pręt wspornikowy analiza statyczna i dynamiczna ...................... 9 

3.2  Przykład nr 2 – Belka wolnopodparta ................................................................. 33 

3.3  Przykład nr 3 – Układ ramowo-cięgnowy ........................................................... 63 

3.4  Przykład nr 4 – Układ ramowo-kratowy ............................................................. 75 

4  PRZYKŁADY ANALIZY UKŁADÓW POWIERZCHNIOWYCH ......................... 89 

4.1  Przykład nr 5 – Analiza stanu naprężeń w rurze grubościennej .......................... 89 

4.2  Przykład nr 6 – Płyta ......................................................................................... 106 

4.3  Przykład nr 7 – Tarcza ...................................................................................... 121 

4.4  Przykład nr 8 – Układ płytowy z prętami ......................................................... 137 

4.5  Przykład nr 9 – Powłoka sferyczna ................................................................... 151 

5  PIŚMIENNICTWO ................................................................................................... 167 

4 Przedmowa

1 PRZEDMOWA

Program Autodesk Robot Structural Analysis jest programem służącym do analizy statycz-nej i dynamicznej szerokiego zakresu konstrukcji prętowych, powierzchniowych i bryłowych. Oprócz tego umożliwia on wymiarowanie konstrukcji za pomocą norm narodowych (w tym norm polskich) jak i za pomocą Eurokodów. Dodatkowo producent stworzył całą serię nakładek i programów współpracujących z programem Robot, które umożliwiają integrację całego proce-su projektowania w jednym programie. Program jest produkowany w wielu wersjach języko-wych i jest bardzo chętnie stosowany w wielu biurach projektów nie tylko w kraju, ale również zagranicą. W części dotyczącej analizy statycznej i dynamicznej, będącej głównym przedmio-tem tej publikacji, wykorzystuje on metodę elementów skończonych (MES). Przed przystąpie-niem do korzystania z programu użytkownik winien zapoznać się z podstawami tej metody, gdyż brak tej wiedzy może prowadzić do poważnych błędów niezawinionych przez autorów programu. Istnieje wiele opracowań dotyczących MES. Za podstawową publikację można tu uznać dzieło O.C. Zienkiewicza, który jest uznawany za jednego z twórców tej metody, wydane oryginalnie w Wielkiej Brytanii w roku 1968, ale już w roku 1972 przetłumaczone na język polski [1]. Praca ta doczekała się już sześciu wydań w języku angielskim i rozrosła się do kilku tomów [2]. Innymi pracami dotyczącymi metody elementów dostępnymi w Polsce są wydaw-nictwa [3] i [4]. Jeśli chodzi o opis działania programu Robot, to najpełniejsze informacje moż-na znaleźć w instrukcjach programu Robot v. 21.0 [5] (brak jest natomiast instrukcji programu do wersji Robot Structural 2009 i 2010).

Celem niniejszej pracy jest zapoznanie czytelnika z podstawowymi funkcjami programu na przykładach analizy statycznej i dynamicznej prostych elementów konstrukcyjnych. Zalecane jest czytanie opisanych tu przykładów i jednoczesne wykonywanie ich w programie. Autorzy starali się rozwiązanie każdego problemu opisać tak aby powtórzenie krok po kroku czynności opisanych w pracy doprowadziło do wygenerowania modelu i uzyskania wyników analizy w programie. Należy też sobie zdawać sprawę, że pokazane rozwiązania nie są jedyną metodą uzyskania poprawnego modelu. Pokazane zostaną też tylko niektóre, najprostsze funkcje pro-gramu, gdyż książka ta jest przeznaczona głównie dla początkujących jego użytkowników.

Zagadnienia wstępne 5

2 ZAGADNIENIA WSTĘPNE

2.4 Wybór typu projektowanej konstrukcji

Pierwszym etapem analizy numerycznej jest poprawny wybór typu projektowanej kon-strukcji. Przed dokonaniem wyboru należy zastanowić się nie tylko nad typem konstrukcji, któ-ra zostanie wybrana, ale także nad konsekwencjami tego wyboru. Wybór typu konstrukcji de-cyduje o rodzaju elementu skończonego, liczbie i rodzaju stopni swobody w węźle konstrukcji, a co za tym idzie także o rodzaju wyników jakie zostaną uzyskane w wyniku obliczeń. Ogólnie w węźle możemy mieć 6 stopni swobody: trzy translacyjne (przemieszczenia wzdłuż osi X, Y, Z globalnego układu współrzędnych oznaczone UX, UY, UZ) oraz trzy obroty, których wektory są zgodne z osiami globalnego układu współrzędnych, a które oznaczamy RX, RY, RZ. Z okna dialogowego, możemy wybrać następujące typy projektowanej konstrukcji: rama płaska (UX, UZ, RY), kratownica płaska (UX, UZ), ruszt (UZ, RX, RY), kratownica przestrzenna (UX, UY, UZ), rama przestrzenna (UX, UY, UZ, RX, RY, RZ), płyta (UZ, RX, RY), powłoka (UX, UY, UZ, RX, RY, RZ), konstrukcja pracująca w płaskim stanie naprężenia (UX, UZ), konstrukcja pracują-ca w płaskim stanie odkształcenia (UX, UZ), konstrukcja osiowosymetryczna (UX, UZ) i objęto-ściowa (UX, UY, UZ)1) (Rys. 2.1). Dwa ostatnie wiersze ikon widoczne na Rys. 2.1 są pomocne w wymiarowaniu konstrukcji żelbetowych i stalowych.

Rys. 2.1. Okno wyboru typu konstrukcji

2.5 Podstawowe wiadomości o definiowaniu konstrukcji

Okno wyboru typu konstrukcji uruchamia się automatycznie po uruchomieniu programu lub jest dostępne z menu tekstowego poprzez wybranie komendy: Geometria - Typ konstrukcji... Po wybraniu typu konstrukcji pojawia się główne okno programu Rys. 2.2. Jego wygląd zależy od rodzaju wybranej konstrukcji. Na Rys. 2.2a pokazano wygląd okna dla konstrukcji ramowej 2D, a na Rys. 2.2b wygląd tego okna dla konstrukcji powłokowej. Najważniejsze elementy okna zostały zaznaczone na Rys. 2.2a. Są nimi:

1) Oznaczenia stopni swobody podano w przypadku definicji modelu w standardowo przyjętym

układzie współrzędnych. Zmiana płaszczyzny definicji modelu skutkuje zmianą odpowiednich stopni swobody, które model uwzględnia.

6 Zagadnienia wstępne

b)

Rys. 2.2. Główne okno programu Robot a) dla konstrukcji prętowej 2D, b) dla konstrukcji powłokowej

menu tekstowe – rozwijalne menu pozwalające wybrać większość poleceń; pasek ikon podstawowych (górny pasek ikon) – pasek najważniejszych ikon służących do

obsługi programu, z których większość nie zależy od rodzaju konstrukcji; menu definicji modelu – menu pozwalające wygodnie przechodzić do kolejnych etapów

definicji konstrukcji i analizy wyników; boczny pasek ikon – pasek najpotrzebniejszych ikon potrzebnych do definiowania na da-

nym etapie konstrukcji (zmienia się w zależności od wybranego etapu w menu definicji modelu);

okno Widok – podstawowe okna w którym definiujemy konstrukcje albo ją rysując, albo definiując jej elementy w innych oknach;

okno inspektora – okno pozwalające na bieżącą kontrole zdefiniowanych elementów kon-strukcji;

ikona i kostka widoku – elementy pozwalające na zmianę kierunku, z którego oglądamy konstrukcję w oknie Widok lub dodatkowych oknach, w których prezentowana jest kon-strukcja;

Zagadnienia wstępne 7

ikony płaszczyzn pracy – ikony pozwalające na wizualizację elementów konstrukcji po-przez określenie szczególnych płaszczyzn widokowych w przestrzeni trójwymiarowej;

ikona płaszczyzn tnących – ikona pozwalająca na wykonywanie przekrojów przez kon-strukcje trójwymiarowe;

ikony widoku atrybutów – ikony pozwalające na uwidocznienie w bieżącym oknie wido-ku opisów elementów konstrukcji;

ikony wyboru i atrybutów – ikony pozwalające na wyświetlanie w oknach widoku opi-sów i atrybutów konstrukcji.

a) b)

Rys. 2.3. Menu rozwijalne definicji modelu a) konstrukcja ramowa 2D; b) konstrukcja powłokowa

Wprowadzanie do programu modelu nowej konstrukcji najłatwiej zrobić wykorzystując menu definicji modelu. Po kliknięciu w odpowiednią ikonę (Rys. 2.2a) pokazuje się rozwijalne menu pokazane na Rys. 2.3

Wybieranie kolejnych poleceń z tego menu pozwala na systematyczne zdefiniowanie po-trzebnego modelu konstrukcji. Po wybraniu odpowiedniej pozycji z tego menu zmienia się też odpowiednio wygląd okna głównego programu. Pojawiają się dodatkowe okna pozwalające zdefiniować odpowiednie elementy konstrukcji oraz okna z listą zdefiniowanych elementów. Na Rys. 2.4 pokazano główne okno programu, na którym oprócz okna Widok widać również okno Pręt służące do definiowania nowych prętów i okno Pręty w którym pojawia się lista (edytowalna!) lista już zdefiniowanych prętów. Zwraca również uwagę inna postać menu bocz-nego. Ikony, które są teraz dostępne służą głównie do definiowania elementów prętowych. Wy-branie odpowiedniej pozycji w menu definicji modelu lub w pasku bocznym ikon może także spowodować zmianę sposobu wizualizacji konstrukcji w oknie Widok

Warto też zwrócić uwagę, że użytkownik ma możliwość otwierania dodatkowych okien

typu Widok. Służy do tego ikona w pasku selekcji. Okna te są szczególnie przydatne przy definiowaniu konstrukcji trójwymiarowych, gdyż umożliwiają jednoczesne oglądanie modelo-wanej konstrukcji (lub najbardziej interesujących fragmentów) z kilku stron jednocześnie.

Przed przystąpieniem do wykonywania ćwiczeń należy sprawdzić, czy zainstalowano na komputerze najbardziej aktualną wersję programu (czy wczytano wszystkie uaktualnie-nia – Service Packs). Korzystanie z wersji nieuaktualnionej wersji programu powoduje w wielu miejscach niezgodność zachowania się programu z opisem w niniejszym podręczniku. Autorzy w trakcie pisania podręcznika zasadniczo korzystali z programu Autodesk Robot Structural Analysis Professional 2010 ver. 23.0.4.3128 (z Service Pack 4) zainstalowanym na komputerze z systemem operacyjnym Windows Vista Enterprise x64.

8 Zagadnienia wstępne

Rys. 2.4. Okno główne programu po wyborze opcji Pręty z menu definicji modelu

Przykład nr 1 9

3 PRZYKŁADY ANALIZY UKŁADÓW PRĘTOWYCH

3.1 Przykład nr 1 – Pręt wspornikowy analiza statyczna i dynamiczna

Tematem zadania jest analiza statyczna i dynamiczna słupa wspornikowego wykonanego

ze stalowego dwuteownika zwykłego IN300 ( 49800 cmxI ), którego wysokość wynosi

l = 1,5m. Należy przyjąć, że współczynnik sprężystości podłużnej (moduł Younga) stali wynosi E = 210,0 GPa. Słup w najwyższym punkcie obciążony jest pionową siłą skupioną Q = 200 kN (ciężar masy skupionej) oraz siłą poziomą o wartości Pk = 20 kN (maksymalna wartość dyna-micznie działającej siły P(t)), przyłożoną w tym samym miejscu (Rys. 3.1). Należy wyznaczyć: przemieszczenie statyczne końca słupa wspornikowego, sporządzić wykresy sił wewnętrznych, ustalić wartości momentu zginającego dla punktów położonych dla Z = 0,5 m i Z = 1 m, prze-analizować wartości naprężeń normalnych i ścinających w najbardziej wytężonym przekroju. Sporządzić wykresy przemieszczeń i sił normalnych od obciążenia ciężarem Q.

Następnie w ramach analizy dynamicznej wyznaczyć wartość trzech częstości drgań wła-snych oraz odpowiadającą pierwszej częstości postać drgań własnych, przy założeniu że masa pręta jest zastąpiona dwoma masami skupionymi (na obu końcach pręta) oraz że masa na gór-nym końcu jest zwiększona o masę odpowiadającą ciężarowi Q. Następnie należy wyznaczyć amplitudę drgań nietłumionych końca wspornika pod wpływem przyłożonego obciążenia P(t), która przyłożona jest w czasie t w funkcji impulsu pokazanego na Rys. 3.1.

Rys. 3.1. Geometria słupa i wykres funkcji P(t)

Rozwiązanie analityczne problemu dynamicznego

Układ ten w teoretycznych obliczeniach możemy uprościć do układu o jednym dynamicz-nym stopniu swobody. W związku z tym korzystając z metody jednostkowych stanów obciążeń (Rys. 3.2) wyznaczymy podatność a następnie sztywność k układu z równań

3

30

1 3; 18293,33 kN/m

3

lM M l EI

ds kEI EI l

(2.1)

10 Przykład nr 1

Rys. 3.2. Wykres momentów zginających od obciążenia wirtualnego

Następnie do siły skupionej Q na końcu wspornika dodajemy połowę ciężaru wspornika:

300

1,5 54,240,65 kg 0,4 kN

2INQ

(2.2)

Częstość drgań poprzecznych można wyznaczyć ze wzoru:

300

129,92

sIN

k k g

m Q Q

(2.3)

gdzie g jest przyśpieszeniem ziemskim.

W celu wyznaczenia amplitudy drgań końca wspornika obciążonego dynamicznym oddzia-ływaniem przyjmijmy na wstępnie ogólną funkcje siły P(t) w formie przedstawionej na Rys. 3.3, dla której wykres siły możemy zapisać w formie

0k

kk

k

Pt t t

tP t

P t

(2.4)

P t( )

tk

t

Pk

Rys. 3.3. Wykres siły wymuszającej w czasie

Zgodnie z przyjętym schematem statycznym układ ten można uprościć do układu drgają-cego o jednym stopniu swobody, patrz Rys. 3.4.

Przykład nr 1 11

P t( )

m

k EI l = 3 / 3

Rys. 3.4. Układ o jednym stopniu swobody

Dla układu z pominięciem wpływu tłumienia możemy zapisać następujące równanie ruchu

( )mq k q P t (2.5)

w którym oznaczmy

2 k

m (2.6)

Następnie rozwiązania dokonamy z wykorzystaniem całki Duhamela ([9], [10]) gdzie w przy-padku ogólnym funkcja przemieszczeń q(t) może być zapisana jako

0

0 10 cos sin sin

tqq t q t t P t t d

m

(2.7)

W rozpatrywanym przypadku warunki początkowe można określić jako

(0) 0

0(0) 0

qt

q

(2.8)

zatem z wykorzystaniem (2.6) otrzymujemy

0 0

sin sint t

k k

k k

P Pq t t d t d

k t t k

(2.9)

Stosujemy teraz całkowanie przez części przyjmując:

sin

1 1cos cos

u dv t d

du d v t t

(2.10)

co w rezultacie daje

0 0

2 20

1sin cos cos

1 1 1 1cos sin cos sin sin

t t

t

t d t t d

tt t t t t t

(2.11)

Dla czasu 0 kt t otrzymujemy następujące zależności:

12 Przykład nr 1

2

1 1 1sin 1 sin

1 1 1 11 sin cos sin 1 cos

k k

o

o o

P Pst st

k k

PP P st

st stk k k

tq t t t t

t t t

tq t t t t t

t t t t tt

(2.12)

zaś dla kt t

11

11 cos

o

o

Pk st

k

Pk st k

k

q tt

q t tt

(2.13)

Analizując powyższe równania możemy stwierdzić że w przypadku gdy kt maksymalne

przemieszczenie przy monotonicznie rosnącej sile będzie wynosić

max

kPst k stq q t t . (2.14)

Zgodnie z przyjętymi założeniami dla przedziału czasowego kt t siła wymuszająca

kP t P const . Rozwiązania poszukujemy w dwóch krokach:

1ocałka ogólna równania jednorodnego (drgania swobodne z warunkami początkowymi)

0

0k

kk

q t q t tt t t

q t q t t

(2.15)

możemy zapisać jako

0( )

( )

00 cos sin

1 11 sin cos 1 cos sin

1cos sin cos sin cos sin

k

k

PPst k st k

k k

Pst k k

k

qq t q t t

q t t t t tt t

t t t t t tt

(2.16)

Następnie korzystając z zależności

1

sin cos sin sin2

2 2k kt t

t

(2.17)

otrzymujemy

2cos sin cos

2 2kP k k

stk

t tq t t t

t

(2.18)

2o całka szczególna równania niejednorodnego

2kq q P (2.19)

Przykład nr 1 13

Z całki Duhamela kP P const otrzymujemy

00

1sin cos

1 cos

k

k

ttP

k st

Pst

q t P t d tk

t

(2.20)

Zatem ostatecznie dla przypadku kt t otrzymujemy (po zsumowaniu (2.18) i (2.20))

21 sin cos

2 2kP k k

stk

t tq t t

t

(2.21)

Zatem dla 0kt możemy wyznaczyć maksymalne przemieszczenie końca wspornika ze wzoru

max max 1 cos 2k kP P

st stq t (2.22)

Dla przyjętych danych geometryczno materiałowych otrzymujemy amplitudę drgań

3 3

max

20 1502 2 2 2 0,109 0,218

3 3 21000 9800P k kst

P lq cm

EI

(2.23)

Rozwiązanie numeryczne

Krok 1 – wybór typu projektowanej konstrukcji

Ze względu na charakter analizowanego przykładu z dostępnych typów analizy konstrukcji wybrano Projektowanie ramy płaskiej (Rys. 3.5).

Rys. 3.5. Wybór typu konstrukcji

14 Przykład nr 1

Rys. 3.6. Definicja węzłów

Krok 2 – definicja węzłów

Z menu definicji modelu wybieramy opcję Węzły Rys. 3.6 i w oknie Widok za pomocą kur-sora i myszy wprowadzamy współrzędne węzłów poprzez wskazywanie odpowiedniego punktu na ekranie. Czynność tę można też wykonać przechodząc do okna Węzeł, w którym w wierszu Współrzędne: wpisujemy współrzędne węzłów konstrukcji odpowiednio 0;0 dla węzła nr 1 oraz 0;1.5 dla węzła nr 2. Dane wprowadzamy z klawiatury i potwierdzamy przyciskiem Dodaj. W oknie Węzły możemy dokonać korekty błędnie przyjętych współrzędnych w kolumnach X(m) i Z(m).

Krok 3 – wprowadzenie prętów

Z menu definicji modelu wybieramy teraz opcję Pręty, i w oknie Widok za pomocą kursora, wskazujemy na ekranie węzły (początkowy i końcowy) definiujemy położenie elementu pręto-wego, Rys. 3.7. Opcja Typ pręta widoczna w tym oknie służy do zdefiniowania właściwości wyboczeniowych pręta, koniecznych do wymiarowania. W przypadku gdy wymiarowanie nie będzie wykonywane ustawienia tych właściwości jako nieistotne można pominąć. Definicja pręta może odbywać się także w oknie Pręty, w którym podajemy w odpowiednich komórkach numery węzłów (Węzeł 1 – węzeł początkowy; Węzeł 2 – węzeł końcowy). W przypadku braku odpowiedniego przekroju w oknie Pręt (Rys. 3.8) przechodzimy do definicji nowego przekroju wybierając przycisk w linii Przekrój:. Spowoduje to otwarcie okna Nowy przekrój, w któ-rym pobieramy z bazy profili odpowiedni przekrój pręta stalowego ustawiając poszczególne opcje tak jak pokazano na Rys. 3.9 Rodzina: IN, Przekrój: IN 300 oraz Typ profilu: Stalowy. Naciskamy teraz przycisk Dodaj (należy to zrobić jeden raz, niestety naciśnięcie nie będzie po-twierdzone żadnym komunikatem o zdefiniowaniu nowego przekroju), potem zamykamy okno przyciskiem Zamknij.

Przykład nr 1 15

Rys. 3.7. Definicja pręta

Rys. 3.8. Okno definicji pręta

16 Przykład nr 1

Rys. 3.9. Okno definicji nowego przekroju

Krok 4 – definicja cech geometrycznych prętów

W przypadku błędu w definicji lub braku zdefiniowanego przekroju poprzecznego pręto-wego elementu belkowego definicję nowego przekroju lub jego modyfikację można wykonać po przejściu w menu definicji modelu do opcji Przekroje i materiały (Rys. 3.10). Definicję no-

wego przekroju w oknie Przekroje przeprowadzamy naciskając ikonę Definicja nowego przekroju, po czym uaktywnia się okno Nowy przekrój (Rys. 3.9). Należy teraz postępować podobnie jak to opisano w Kroku 3. Po zamknięciu okna Nowy przekrój w oknie Przekroje po-winien pojawić się opis IN 300. Po wpisaniu w wierszu Linie/pręty wartości 1 naciskamy przy-cisk Zastosuj.

Rys. 3.10. Definicja materiału i przekroju

Przykład nr 1 17

Rys. 3.11. Definicja właściwości stali

Rys. 3.12. Przyjęcie podpór

W przypadku naszego zadania wymagane jest przyjęcie stali o module sprężystości E = 210 GPa. Ponieważ standardowy moduł sprężystości dla stali jest przyjmowany E = 205 GPa, musimy zdefiniować nowy materiał w oknie Definicja materiału, które otwieramy wybierając z górnego menu tekstowego Narzędzia >> Preferencje zadania. W oknie Preferencje zadania wybieramy zakładkę Materiały następnie naciskamy przycisk Modyfikacja przechodzimy do okna Definicja materiału (Rys. 3.11). W zakładce Inne definiujemy nowy materiał Nazwa: Uzytkownik (należy wpisać tę nazwę) o potrzebnej wartości modułu sprężystości. Zmianie mo-

18 Przykład nr 1

dułu sprężystości musi towarzyszyć zmiana wartości współczynnika Kirchhoffa G. Naciskamy teraz przycisk Dodaj, OK oraz przycisk OK w oknie Definicja materiału. W oknie Materiał należy teraz wskazać przekrój IN300 w części okna Przypisz profilom i z zakładki rozwijalnej Materiał: wybrać typ materiału Uzytkownik, patrz Rys. 3.102) potwierdzając dokonany wybór przycisk Zastosuj.

Krok 5 – przyjęcie warunków brzegowych

Definicja podpór odbywa się po przejściu w menu definicji modelu do opcji Podpory Rys. 3.12. Uaktywniając w oknie wyboru Podpory warunek brzegowy Utwierdzenie wskazujemy na węzeł, do którego ma być przypisana podpora. W układzie ramowym 2D w węźle znajdują się trzy stopnie swobody (dwie translacje UX i UZ oraz kąt obrotu RY), które blokujemy celem zdefiniowania podpory utwierdzonej. W przypadku gdy chcemy zdefiniować inny rodzaj pod-

pory niż jest dostępny na liście w oknie Podpory wybieramy ikonę Definicja nowej podpo-ry , co spowoduje otwarcie okna Definicja podpory. Na Rys. 3.12 przedstawiono zablokowane stopnie swobody w węźle dla podpory Utwierdzenie.

Krok 6 – przyjęcie obciążeń

Deklaracja schematów, typu i wartości obciążeń odbywa się po wskazaniu w menu defini-cji modelu opcji Obciążenia. Pierwszym obciążeniem, które na ogół jest definiowane jest ciężar własny. Po pierwszym wejściu do okna Przypadki obciążeń istnieje możliwość wygenerowania automatycznego obciążeń dla tego przypadku na podstawie zadanych przekrojów i materiałów z których wykonana jest konstrukcja. Jeśli tak utworzone obciążenia przypadkowo zostało ska-sowane lub zachodzi konieczność jego zmiany musimy tę czynność wykonać ręcznie, tak jak dla każdego innego typu obciążenia. Przed utworzeniem każdego przypadku obciążenia powin-niśmy ustalić naturę obciążenia. Natura obciążenia decyduje jaki współczynnik zostanie dobra-ny przy zamianie obciążeń charakterystycznych na obliczeniowe (np. przy tworzeniu kombina-cji obciążeń lub w czasie wymiarowania) Czynność tę wykonujemy wybierając z menu rozwi-jalnego Natura odpowiednią opcję. Przed utworzeniem nowego przypadku obciążenia możemy jeszcze zmienić jago nazwę w opcji Nazwa. W naszym przykładzie użyto nazwy cw. Po naci-śnięciu klawisza Nowy nowozdefiniowany przypadek zostanie dodany w części Lista zdefinio-wanych przypadków (Rys. 3.13). Ponieważ obciążenie ciężarem własny jest generowane auto-matycznie w oknie Obciążenia pojawi się linia ze zdefiniowanymi parametrami tego obciążenia (Rys. 3.13).

W podobny sposób możemy teraz zdefiniować dwa następne przypadki obciążeń. Nazy-wamy je odpowiednio Q oraz Pt. W trakcie ich definiowania wybieramy jako naturę: stałe, oraz wprowadzamy odpowiednie nazwy. Zatwierdzamy każdy nowo utworzony przypadek naciśnię-ciem przycisku Nowy. Stwierdzamy, że podobnie jak to było dla ciężaru własnego na Liście zdefiniowanych przypadków pojawia się odpowiedni zapis, jednak nie towarzyszy mu wygene-rowanie wielkości obciążeń w oknie Obciążenia. Zapisy w tym oknie musimy uzupełnić ręcznie

poprzez dodanie konkretnych obciążeń za pomocą ikony Definicja obciążeń na bocznym pasku ikon. Aby zdefiniować obciążenia dla przypadku Q czerwoną strzałkę wskazującą na Liście zdefiniowanych przypadków przy tym przypadku wskazując jego numer myszą.

2) Jeśli definiowaliśmy nowy materiał, a nie modyfikowaliśmy już istniejący, to aby nowy materiał

pokazał się na liście dostępnych materiałów konieczne jest zamknięcie i ponowne otwarcie programu Robot.

Przykład nr 1 19

Rys. 3.13. Definicja ciężaru własnego konstrukcji

Rys. 3.14. Definicja statycznego obciążenia skupionego

Potem wybieramy ikonę , co spowoduje otwarcie okna Obciążenie, w którym wybie-

ramy zakładkę Węzeł a widocznym zestawie ikon ikonę Siła węzłowa . Zostanie otwarte okno Siła węzłowa, w którym wpisujemy wartość obciążenia Q w pozycji Z:/F [kN] -200 (Rys. 3.14). Podana w ten sposób wartość jest zdefiniowana w globalnym układzie współrzędnych.

20 Przykład nr 1

Po naciśnięciu przycisku Dodaj okno się zamknie i w oknie Obciążenie w pasku Zastosuj do możemy podać teraz numer węzła do którego ma być przyłożone obciążenia. W naszym przy-padku będzie to 2, po czym naciskamy przycisk Zastosuj. Alternatywną metodą jest wskazanie odpowiedniego węzła w oknie Widok. Po zdefiniowaniu wielkości obciążenia odpowiedni zapis potwierdzający jego parametry pojawi się w oknie Obciążenia. Przypadek Q wykorzystamy jeszcze dla zdefiniowania mas skupionych dla potrzeb analizy dynamicznej. W oknie Obciąże-

nie wybieramy teraz zakładkę Ciężar i masa, a w nim ikonę Masy dodane – węzłowe , w którym wprowadzamy żądaną wartość masy skupionej (składowe dotyczące kierunków w glo-balnym układzie współrzędnych X i Z) oraz zaznaczamy opcje Zastosuj do wszystkich przypad-ków obliczeń dynamicznych (Rys. 3.15). W oknie tym musimy zwrócić uwagę na jednostki kg (w oknie dialogowym błędnie podano kG). W naszym przypadku ze względu na wartość cięża-ru równą Q=200000 N otrzymujemy

2

200000 N20387,36 kg

m9,81 s

m . (2.24)

Rys. 3.15. Definicja masy skupionej w węźle

Przykład nr 1 21

Rys. 3.16. Tabela mas dodanych

Masę węzłową dodajemy do węzła nr 2. Zmianę błędnie wprowadzonej wartości lub usu-

nięcie masy skupionej można przeprowadzić w tabeli mas, którą można wyświetlić wykonując sekwencję instrukcji pokazanych na Rys. 3.16. Należy jeszcze zaznaczyć, że mimo iż wybrali-śmy dodawania mas do wszystkich przypadków obciążenia, będą one uwzględniane tylko w przypadkach analizy dynamicznej, a będą ignorowane w obliczeniach statycznych.

Przechodzimy teraz do zdefiniowania parametrów obciążenia dla przypadku Pt. Przypadek ten wskazujemy podobnie jak opisano powyżej na Liście zdefiniowanych przypadków. Dalszy proces definicji parametrów dla tego przypadku przebiega podobnie jak dla przypadku po-przedniego, z tą różnicą że zmieniamy kierunek i wartość obciążenia na X/F [kN] 20.

Definicja dynamicznych przypadków obciążenia przebiega nieco inaczej. W programie pierwszym dynamicznym przypadkiem obciążenia musi być analiza modalna, dopiero po zdefi-niowaniu tego przypadku możliwe jest definiowanie innych przypadków dynamicznych. Utwo-rzenie przypadku obciążenia dla analizy modalnej jest możliwe po wybraniu z paska ikon pod-

stawowych ikony Parametry analizy konstrukcji. Spowoduje to otwarcie okna Opcje obliczeniowe (Rys. 3.17a), w którym naciskamy na przycisk Nowy.

22 Przykład nr 1

a) b)

Rys. 3.17. Okno a) Opcje obliczeniowe; b) Definicja nowego przypadku

Teraz otworzy się okno Definicja nowego przypadku (Rys. 3.17b) w którym wybieramy opcję Modalna (można też zmodyfikować nazwę przypadku w polu Nazwa). Naciśnięcie przy-cisku OK spowoduje otwarcie okna Parametry analizy modalnej.

Rys. 3.18. Okno Parametry analizy modalnej

Analizowany układ ma trzy stopnie swobody, z których jeden jest stopniem rotacyjnym, dlatego chcąc obliczyć trzy częstości drgań własnych wstawiamy Liczbę postaci: 3 oraz zazna-czamy, że macierz mas ma być Skupiona z rotacjami, a ponieważ zagadnienie jest zdefiniowane jako płaskie w płaszczyźnie XZ odznaczmy Aktywny kierunek mas na kierunku osi Y (Rys. 3.18). Okno zamykamy przyciskiem OK.

Definicję przypadku drgań wymuszonych wspornika rozpoczynamy także od wywołania okna Opcje obliczeniowe. Po wybraniu przycisku Nowy w oknie Definicja nowego przypadku będzie można teraz już wybrać opcję Całkowanie równań ruchu (nie jest to możliwe bez prze-prowadzenia analizy modalnej) (Rys. 3.19). Naciśnięcie przycisku OK spowoduje otwarcie okna Analiza równań ruchu (Rys. 3.20a). W oknie tym wybieramy metodę całkowania (tu zde-

Przykład nr 1 23

cydowano się na metodę Newmarka [13]), zadajemy krok zapisu wyników obliczeń (tu przyjęto 0,001 s) oraz parametr Podział, który wskazuje ile razy krok całkowania jest mniejszy od kroku zapisu (w przykładzie przyjęto, że oba kroki są równe stąd wartość Podziału wynosi 1). Musi-my też zdecydować jak długi odcinek czasowy będzie analizowany (parametr Koniec – tu przy-jęto 1 s). Ponieważ w przeprowadzanej analizie pomijamy tłumienie drgań, możemy opuścić definiowanie parametrów tłumienia do których uzyskujemy dostęp po naciśnięciu przycisku Tłumienie.

Rys. 3.19. Okno Definicja nowego przypadku z przypadkiem obciążeń Całkowanie równań ruchu

a) b)

Rys. 3.20. Ustawienia opcji analizy czasowej: a) okno Analiza równań ruch; b) okno Definicja funkcji czasu (zakładka Punkty)

Rozmieszczenie obciążenia dynamicznego na belce uzyskujemy wiążąc bieżący przypadek ze wcześniej zdefiniowanym przypadkiem analizy statycznej (tutaj przypadek Pt) w polu Przy-padek. Musimy teraz zdefiniować rozkład obciążenia dynamicznego w czasie w postaci funkcji która będzie przemnożona przez wartości obciążenia z przypadku statycznego wybranego w

24 Przykład nr 1

polu Przypadek. W tym celu naciskamy przycisk Definicja funkcji (Rys. 3.20b). Definicję funk-cji czasowej rozpoczynamy od wybrania jej nazwy w zakładce Funkcja w polu Nazwa funkcji (tu wybrano nazwę impuls). Po naciśnięciu przycisku Dodaj pojawią się zakładki Punkty (Rys. 3.20b) i Dodawanie funkcji. Wykorzystując pierwszą z nich możemy zdefiniować potrzebną funkcję zmiany obciążenia w czasie. Najprostszym sposobem uzyskania potrzebnej funkcje jest podanie punktów (czas, wartość obciążenia), między którymi program przeprowadzi interpola-cję liniową potrzebnych wartości. Należy pamiętać, że ostateczna wartość obciążenia zostanie uzyskana poprzez pomnożenie funkcji czasowej przez wartość obciążenia zdefiniowaną w przypadku statycznym (tu Pt) dlatego do definicji funkcji czasowej używamy tylko mnożników obciążenia. Każdorazowo chwilę czasową definiowanego punktu wpisujemy w polu T, a war-tość mnożnika w polu F(t).

0,0 0

( ) 0,0001 1,0

1,0 1,0

t P

P t t P

t P

(2.25)

Każdą parę wartości zatwierdzamy przyciskiem Dodaj. Wartość czasu dla drugiego punktu została dobrana tak aby obciążenie osiągnęło zadaną wartość P(t) = 20 kN jeszcze przed czasem odpowiadającym pierwszej chwili uwzględnianej w całkowaniu (podany czas musi być mniej-szy od długości kroku całkowania) – w ten sposób modelujemy obciążenie nagle przyłożone. Zerowa wartość czasu w punkcie 2 pokazywana na Rys. 3.20b wynika z przyjęcia małej do-kładności prezentacji wyników, którą można zmieniać w Preferencjach zadania... (patrz Krok 8). Po zdefiniowaniu trzeciego punktu przyciskiem Zamknij kończymy definicję funkcji. Aby zakończyć definicję przypadku obciążenia w oknie Analiza równań ruch naciskamy w nim ko-lejno przyciski Dodaj i OK.

Krok 7 – analiza numeryczna

Po zakończeniu definiowania przypadków obciążenia wykonujemy obliczenia wszystkich zdefiniowanych przypadków wybierając na pasku ikon podstawowych ikonę Rozpoczęcie obli-

czeń lub w oknie Opcje obliczeniowe używając przycisku Obliczenia. Zakończenie obli-czeń zostanie potwierdzone na górnej krawędzi okna programu zmianą statusu zdania na Wyniki MES: Aktualne

Krok 8 – wyniki analizy statycznej

Program Autodesk Robot Structural ma dwie formy przedstawiania wyników obliczeń: formę graficzną i tabelaryczną. W celu przedstawienia graficznego wyników analizy statycznej (np. wyniki przemieszczeń) przechodzimy w menu definicji modelu do pozycji Rezultaty >> Rezultaty. W otwartym oknie Wykresy przechodzimy do zakładki Parametry, w której aktywu-jemy opcję Opisy wykresów >> karteczki (Rys. 3.21a), następnie w zakładce Deformacja akty-wujemy opcję Deformacja dokładna (oznacza to deformację z uwzględnieniem wpływu obcią-żeń przęsłowych, w odróżnieniu od opcji Deformacja, która uwzględnia tylko deformację uzy-skiwaną na podstawie przemieszczeń węzłów i interpolacji wielomianem trzeciego stopnia) oraz otwórz nowe okno (Rys. 3.21b). Ta ostatnia opcja spowoduje otwarcie osobnego okna, w któ-rym będą prezentowane wyniki. Dzięki temu unikniemy sytuacji w której wyniki pokazywane w oknie Widok utrudniają ewentualną korektę danych wejściowych do obliczeń. Aby otworzyć okno z nowym wykresem deformacji używamy opcji Zastosuj. Ponieważ okno Wykresy... otwo-rzy się dla pierwszego przypadku obciążenia (cw) musimy jeszcze wybrać przypadek obciąże-nia Pt na pasku selekcji (ikona rozwijalna Przypadki) (Rys. 3.22). Na wykresie linii ugięcia w oknie sterującym Wykresy pojawiają się charakterystyczne i maksymalne wartości ugięć. Jeśli zachodzi konieczność zmiany dokładności pokazywanych wartości liczbowych przemieszczeń możemy to uzyskać wybierając z menu tekstowego Narzędzia >> Preferencje zadnia... w za-

Przykład nr 1 25

kładce Jednostki i formaty, można regulować dokładność prezentowanych wyników jak również dobierać jednostki używane do wprowadzania poszczególnych elementów danych i wyników (Rys. 3.23).

a) b)

Rys. 3.21. Okno wykresy – zakładka a) Parametry i b) Deformacja

Rys. 3.22. Krzywa deformacji dokładnej dla przypadku Pt

Aby uzyskać wizualizację wykresu sił normalnych w oknie Wykresy wyłączmy pokazywa-nie deformacji dokładnej, przechodzimy do zakładki NTM, aktywujemy opcję Siła Fx oraz używając przycisku Zastosuj zmieniamy wykres prezentowany wykres deformacji na wykres sił normalnych. Wyniki uzyskane w ten sposób są odniesione do lokalnego układu współrzędnych pręta. W przypadku Pt siły normalne nie występują, więc zmieniamy przypadek obciążenia na pasku selekcji na przypadek Q. Otrzymany wykres sił normalnych nie będzie mieścił się w oknie Wykresy... więc dodatkowo w oknie sterującym Wykresy naciskamy przycisk Normalizuj Rys. 3.24. Warto zwrócić uwagę na konwencję znakową zastosowaną w tym programie. Dodat-nie siły normalne są siłami ściskającymi (francuska konwencja oznaczania sił normalnych!) (Rys. 3.25).Wykresy pozostałych sił wewnętrznych wykonywane są zgodnie z typową konwen-cją znaków.

26 Przykład nr 1

Rys. 3.23. Okno Preferencje zadania

Rys. 3.24. Wykres sił normalnych Fx

Rys. 3.25. Okno pomocy z konwencją znaków sił w prętach

Przykład nr 1 27

Rys. 3.26. Analiza szczegółowa

W przypadku gdy chcemy dokonać szczegółowej analizy sił wewnętrznych lub przemie-szeń w pojedynczym pręcie lub ich grupie należy przejść w menu definicji modelu do opcji Analiza szczegółowa. Następnie w oknie Widok wskazujemy pręt (lub ich grupę), dla którego chcemy przeprowadzić analizę szczegółową. Zmieniamy przypadek obciążenia na pasku selek-cji na przypadek Pt, a w oknie Analiza szczegółowa zaznaczamy w zakładce NTM interesujące na sił wewnętrzne (Fx, Fz, My). Po naciśnięciu przycisku Zastosuj otworzy się okno Analiza szczegółowa z żądanymi wykresami. Na dole tego okna będzie widoczna tabela z wartościami charakterystycznymi sił wewnętrznych. Pole w punkcie jest w tej tabeli wyróżnione. Wskazanie go spowoduje pokazanie się w części z wykresami dodatkowej niebieskiej linii (Rys. 3.26), którą możemy myszą przesuwać wzdłuż osi pręta. Aktualne położenie tej linii skutkuje poja-wieniem się wartości sił wewnętrznych w tym punkcie dla badanego pręta w części tabelarycz-nej okna (pole Wartość aktualna).

Kolejnym typem analizy, którą można przeprowadzić w programie Robot jest analiza na-prężeń. W tym celu w menu definicji modelu wybieramy opcję Analiza naprężeń pręta, która umożliwia wizualizację rozkładu w różnych przekrojach pręta. Po wybraniu Analizy naprężeń pręta układ okien na ekranie zmieni się do podobnego do pokazanego na Rys. 3.27, Rys. 3.28. Zostaną otwarte trzy nowe okna, każde w innej płaszczyźnie, w których będą prezentowane rozkłady naprężeń3) oraz okno Analiza naprężeń, w którym ustawiamy parametry pokazywa-nych wykresów. Po wpisaniu w polu Pręt nr: numeru analizowanego pręta (w przykładzie pręt nr 1) naciskamy przycisk Zastosuj i teraz ustawiamy pozostałe parametry potrzebnego rozkładu jak: Przypadek: (Pt), punkt, dla którego mają być obliczone naprężenia, zestaw sił wewnętrz-nych, które mają być brane pod uwagę przy wykonywaniu rozkładu itp. Aktualizacja wykresu następuje po naciśnięciu przycisku Zastosuj.

3) Często w wyniku błędu w programie rozkład prezentowany jest tylko w płaszczyźnie poprzecznej

pręta

28 Przykład nr 1

Rys. 3.27. Analiza naprężeń – naprężenia normalne

Rys. 3.28. Analiza naprężeń – naprężenia ścinające xz

Przykład nr 1 29

Rys. 3.29. Tabele sił wewnętrznych i przemieszczeń ekstremalnych dla przypadków prostych

Innym sposobem prezentacji wyników jest tworzenie tabel z wartościami liczbowymi sił wewnętrznych, przemieszczeń, naprężeń itp. Wybieramy w tym celu z menu tekstowego Rezul-taty, a potem tabelę interesujących nas wielkości (np. >> Siły lub >> Przemieszczenia). Chcąc uzyskać wartości dla odpowiedniego przypadku obciążenia należy ten przypadek wybrać ikoną rozwijalną Przypadki na pasku selekcji. Gdy chcemy uzyskać tabelę dla wszystkich przypad-ków statycznych wybieramy Przypadki proste. Przykład takiej tabeli dla sił wewnętrznych po-kazano na Rys. 3.29. Wartości ekstremalne można uzyskać naciskając zakładkę Ekstrema glo-balne na dolnej krawędzi okna tabeli. Na Rys. 3.29 pokazano zestawienie ekstremalnych prze-mieszczeń węzłowych dla przypadków statycznych obciążenia.

Krok 9 – wyniki analizy modalnej

Wybierając z paska menu tekstowego Rezultaty >> Zaawansowane >> Drgania własne otwieramy tabelę z wartościami liczbowymi analizy modalnej. Aby uzyskać w tej tabeli zesta-wienie wartości typowych w projektowaniu (wartość własna, częstość drgań własnych (pulsa-cja), okres drgań i częstotliwość musimy zmodyfikować układ kolumn prezentowanej tabeli. W obszarze okna Wyniki dynamiki naciskamy PRAWY klawisz myszy i w otwartym menu kontek-stowym wybieramy opcję Kolumny.... Otworzy się okno Wybór wielkości dynamicznych, w któ-rym w zakładce Wartości własne wskazujemy wymienione powyżej wartości (Rys. 3.30) oraz w zakładce Sumy mas odznaczamy wszystkie wartości. Naciśnięcie przycisku OK spowoduje wy-generowanie tabeli pokazanej na (Rys. 3.31). Uzyskaną wartość pierwszej częstości drgań wła-snych (w programie jest to Pulsacja) MES =29,92 s-1 możemy porównać z wynikiem obliczeń

analitycznych (2.3). Odpowiadającą tej wartości częstości drgań własnych postać przedstawioną na Rys. 3.32 uzyskujemy w następujący sposób. Z menu definicji modelu wybieramy Rezultaty >> Rezultaty. W oknie Wykresy w zakładce Deformacja zaznaczmy opcję Deformacja oraz otwórz nowe okno. W pasku selekcji wybieramy przypadek analizy modalnej (ikona Przypadki >> 4 Modalna) oraz za pomocą ikony rozwijalnej Postacie – Postać 1. Po wykonaniu tych ustawień w oknie o wykonaniu tych ustawień w oknie Wykresy naciskamy kolejno Zastosuj i Normalizuj.

30 Przykład nr 1

Rys. 3.30. Okno Wybór wielkości dynamicznych

Rys. 3.31. Wyniki analizy modalnej

Przykład nr 1 31

Rys. 3.32. Wyniki analizy modalnej – 1 postać drgań własnych

Krok 10 – analiza drgań wymuszonych

Wyniki analizy drgań wymuszonych mogą być prezentowane w sposób tabelaryczny lub graficzny. Ze względu na znaczne rozmiary generowanych tabeli sposób tabelaryczny nie jest zalecany i będzie tu pominięty. Dostęp do prezentacji graficznej wyników uzyskujemy po wy-braniu z menu tekstowego opcji Rezultaty >> Zaawansowane >> Analiza czasowa... – Wykresy. W otwartym oknie Równania ruchu wybieramy przycisk Dodaj w celu zdefiniowania nowego wykresu. Spowoduje to otwarcie okna Definicja wykresu, w którym wybieramy zakładkę od-powiadającą charakterowi funkcji, którą chcemy zbudować (tu Węzły – do zdefiniowania wy-kresu wielkości węzłowych) teraz wskazujemy w polu Przypadek właściwy przypadek obciąże-nia, w polu Punkt: numer interesującego nas węzła (tu nr 2), a w górnej części okna wskazuje-my że interesuje nas Przemieszczenie i jego składowa UX. Przed naciśnięciem przycisku Dodaj można jeszcze zmienić kolor wykresu wskazując pole Kolor (Rys. 3.33a). Po zamknięciu okna definicja wykresu w oknie Równania ruchu w części okna Dostępne wykresy zaznaczmy utwo-

rzoną definicję wykresu i naciskamy przycisk w środku okna, przenosząc definicję wy-kresu do części Prezentowane wykres. Jeśli jest to pierwszy wykres analizy równań ruchu au-tomatycznie zaznaczy się opcja otwórz nowe okno, więc po naciśnięciu przycisku Zastosuj zo-stanie wygenerowany wykres pokazany na Rys. 3.34.

32 Przykład nr 1

a) b)

Rys. 3.33. Okno a) Definicja wykresu b) Równanie ruchu

Rys. 3.34. Wykres amplitud drgań wymuszonych

Przykład nr 2 33

3.2 Przykład nr 2 – Belka wolnopodparta

Na belce stalowej o długości l = 4,0 m wykonanej z dwu dwuteowników IN200 (patrz Rys. 3.35) ustawiono w połowie rozpiętości maszynę o ciężarze Q = 35,0 kN, której wirnik wykonu-je n = 500 obr/min. Ciężar wirnika pracującego na mimośrodzie e = 0,002 m wynosi G = 6 kN. Należy wyznaczyć amplitudę drgań wymuszonych oraz maksymalne przemieszczenia i naprę-żenia normalne występujące w belce. Przyjąć moduł sprężystości E = 210 GPa. Pominąć ciężar własny belki w obliczeniach. Przeprowadzić analizę przejazdu po belce samochodu Opel Insignia posiadającego następu-jące dane techniczne: wymiary pojazdu: dł./szer.: 4,83/1,858 m; rozstaw osi/połowa rozstawu: 2,737/1,3685 m; rozstaw kół przednich/tylnych 1,585/1,587 m; odległość osi przedniej od przo-du pojazdu 1,0 m; odległość osi tylnej od tyłu pojazdu 1,093 m; maksymalny nacisk na oś przednią/tylną 11,9/11,25 kN. Wykonać wykresy linii wpływu i obwiedni od przyjętego wcze-śniej obciążenia pojazdem.

Q

l =4 m

IN200

IN200

Rys. 3.35. Geometria belki

Rozwiązanie analityczne problemu dynamicznego

Po włączeniu maszyny pojawią się drgania wokół położenia równowagi. Częstość wymu-szenia możemy wyznaczyć z zależności

15002 2 52,36 s

60 sw n (2.26)

Siłę odśrodkową wyznaczamy z zależności

20 wP m e (2.27)

P0

e

P t( )=P0sinf

f a f= +t 0

Rys. 3.36. Siła odśrodkowa

Rozpatrujemy rzut siły P0 na kierunek pionowy, gdyż rozpatrujemy drgania tylko na tym

kierunku. Przyjmując 0 0 , otrzymujemy 0 sin wP t P t . Ostatecznie

34 Przykład nr 2

2 2 20

2

6000 N52,36 s 0,2 cm=3354 N

cm981

s

w

GP e

g (2.28)

13354 N sin 52,36

sP t t

(2.29)

Ugięcie statyczne Qst belki od ciężaru Q wyznaczamy z zależności

11Qst

QQ

k (2.30)

gdzie k jest współczynnikiem sztywności belki (tu nie będzie wyliczany),

1

l d11

l /4 M1

Rys. 3.37. Moment w belce od siły jednostkowej

Przemieszczenie 11 obliczamy z zależności

2 3 3

1 511 7

0

400 cm1,563 10

48 N48 2,1 10 4061

l M lds

EI EI

(2.31)

czyli ugięcie statyczne wynosi

511

cm35000 N 1,563 10 0,5472 cm

NQst Q (2.32)

Częstość drgań własnych układu wynosi

2

1

11

981cm s42,34 s

0,5472 cmQst

k g g

m Q

(2.33)

Amplituda drgań wymuszonych wyznaczana jest z zależności

00

PstA (2.34)

gdzie

0 50 11

2 2

cm3354 N 1,563 10 0,0524cm

N1 1

1,952,36

1 142,34

Pst

w

P

(2.35)

zatem

Przykład nr 2 35

0 0,0524cm 1,9 0,1cmA (2.36)

Całkowite ekstremalne ugięcie belki, liczone od jej nieodkształconej osi

0 0,547 0,1=0,647cmQst A (2.37)

Zastępcza siła statyczna powodująca to ekstremalne ugięcie może być wyznaczona z zależności

0 0

1Q zastst

PA Q P

k k (2.38)

zatem

0 35 3,354 1,9 41,4 kNzastP Q P (2.39)

Wynikający z tego maksymalny moment zginający

max

44,4 kN 400 cm4140 kNcm

4 4zastP l

M

(2.40)

Oraz ekstremalne naprężenia normalne

maxmax 2

kN18,3 183 MPa

cm

M

W (2.41)

Bazując na uproszczonym modelu dynamicznym o jednym dynamicznym stopniu swobody oszacowano wartości amplitudy drgań oraz ekstremalne wartości naprężeń.

Rozwiązanie numeryczne

Krok 1 – wybór typu konstrukcji i definicja przekroju złożonego

Z dostępnych typów projektowania konstrukcji po otwarciu programu wybieramy: Projek-towanie ramy płaskiej. W pierwszym kroku przystępujemy do zdefiniowania złożonego prze-kroju poprzecznego.

Celem zdefiniowania nietypowego przekroju poprzecznego belki przechodzimy do opcji Projektowanie profili (wybierając z paska menu tekstowego Narzędzia >> Definicja przekroju lub wybierając w menu definicja modelu opcję Narzędzia >> Projektowanie profili, Rys. 3.38). Następnie wykorzystujemy opcję wczytywania przekroju standartowego IN200 z bazy profili za

pomocą ikony Otwórz z bazy znajdującej się w pasku ikon podstawowych. Naciśnięcie tej ikony aktywuje okno Selekcja profilu (Rys. 3.39). W wierszu Baza wybieramy Rpln_pro, w wierszu Rodzina – IN oraz w wierszu Profil – 200.

Po naciśnięciu przycisku OK wybrany profil poprzeczny zostaje wygenerowany w oknie Widok (Rys. 3.40). Następnie ponownie aktywujemy okno Selekcja profilu i ponownie wczytu-jemy z bazy profil IN200, gdyż budowany w zadaniu przekrój poprzeczny składa się z dwóch IN200. W następnym kroku wskazujemy profil IN200 (aktywny profil podświetla się po naci-

śnięciu na kolor czerwony) oraz wykorzystując z bocznego paska ikon polecenie Rotacja (lub z górnego menu tekstowego Edycja >> Obróć) aktywujemy okno Rotacja (Rys. 3.41). Jako Środek obrotu przyjmujemy punkt 0;0 (domyślny punkt wstawienia przekroju IN200), podaje-my wartość kąta obrotu w opcji Kąt 90 oraz naciskamy przycisk Wykonaj. Zamykamy okno

naciskając ikonę w górnym lewym narożniku okna. Po wykonaniu tej czynności jeden z profili obrócił się o zadany kąt (Rys. 3.42).

36 Przykład nr 2

Rys. 3.38. Opcja Projektowanie profili

Rys. 3.39. Okno Selekcja profilu

Ponownie aktywujemy profil poziomy (najeżdżamy kursorem muszki na profil i naciskamy lewy klawisz myszki – profil podświetla się na czerwono) i dokonujemy jego przesunięcia z

wykorzystaniem ikony Przesuń z bocznego paska ikon. Uruchamiając tę ikonę aktywu-jemy okno Translacja (Rys. 3.43), w którym wiersz Początek podświetli się na zielono. Wska-zujemy teraz w oknie Widok początek i koniec wektora przesunięcia. Jako początek wektora przesunięcia wskazujemy środek górnej krawędzi poziomego środnika, natomiast jako punkt końcowy wskazujemy dolny środkowy punkt stopki profilu pionowego. Po wykonaniu tej czynności poziomy dwuteownik przesunie się we wskazane miejsce (Rys. 3.44). Okno Transla-

cja zamykamy naciskając ikonę .

Przykład nr 2 37

Rys. 3.40. Okno definicja profili

Rys. 3.41. Okno Rotacja

Rys. 3.42. Definiowanie złożonego przekroju

38 Przykład nr 2

Wykorzystując ikonę Rezultaty z bocznego paska narzędziowego aktywujemy okno Rezultaty, w którym program poda wyliczone charakterystyki geometryczne dla zdefiniowane-go przekroju pręta (Rys. 3.44). Przechodząc pomiędzy poszczególnymi zakładkami możemy zapoznać się ze szczegółami obliczeń geometrycznych. Po zamknięciu okna Rezultaty przyci-skiem Zamknij przechodzimy do zapamiętania w bazie profili nowo stworzonego przekroju

poprzecznego. Z górnego paska ikon wybieramy ikonę Zapisz w bazie . Po aktywacji okna Zapis profilu do bazy (Rys. 3.45) podajemy nazwę np. ININ oraz w wierszach Wymiar 1, Wymiar 2, Wymiar 3 wpisujemy 200. Po naciśnięciu przycisku OK profil został zapisany w bazie profili UZYTKOWNIK.

Rys. 3.43. Okno Translacja

Rys. 3.44. Zdefiniowany przekrój poprzeczny

Przykład nr 2 39

Rys. 3.45. Okno Zapis profilu do bazy

Rys. 3.46. Opcja Przekroje i materiały

Po przejściu do opcji Przekroje i materiały w menu definicji modelu (Rys. 3.46) w oknie

Przekroje uruchamiamy opcję Definicja nowego przekroju . Aktywujemy w ten sposób okno Nowy przekrój (Rys. 3.47). Wybierając w wierszu Typ profilu – Stalowy i w wierszu Baza danych : UZYTKOWNIK w wierszu Rodzina pojawia się zadana nazwa ININ z przyjętą nazwą w wierszu Przekrój : ININ200x200x200. Naciskając klawisz Dodaj i Zamknij zamykamy okno Nowy przekrój, a w oknie Przekroje pojawia się wygenerowany wcześniej złożony przekrój (znajdzie się w tzw. podręcznej bazie profili).

W tym kroku określimy także właściwości stali o E = 210 GPa. Wybieramy z menu tek-stowego Narzędzia >> Preferencje zadania. W uruchomionym oknie Preferencje zadania (Rys. 3.48) w lewej kolumnie wybieramy Materiały następnie naciskamy przycisk Modyfikuj, który aktywuje okno Definicja materiału. Przechodzimy do zakładki Inne w wierszu Nazwa zmie-niamy nazwę na Uzytkownik. W pozostałych wierszach zmieniamy wartość moduł Younga, E: 210000 oraz w wierszy współczynnik Kirchhoffa, G: 80800, (Rys. 3.49). Naciskamy klawisz Dodaj i OK oraz dodatkowo OK w oknie Preferencje zadania celem zamknięcia okienek. Będąc w opcji Przekroje i materiały w oknie Materiał w kolumnie Etykieta wybieramy profil ININ200x200x200 oraz w wierszu Materiał: wybieramy Uzytkownik. Po naciśnięciu przycisku Zastosuj w oknie Materiał w kolumnie Materiał domyślny przy nazwie profilu ININ200x200x200 pojawi się nazwa Uzytkownik.

40 Przykład nr 2

Rys. 3.47. Wprowadzenie złożonego przekroju do podręcznej listy przekrojów

Rys. 3.48. Okno Preferencje zadania

Rys. 3.49. Okno Definicja materiału

Krok 2 – definicja pręta i wizualizacja konstrukcji

W kolejnym kroku przechodzimy za pomocą menu definicji modelu do opcji Pręty, a w oknie Pręt w wierszu Typ pręta wybieramy Belka, w wierszu Przekrój wybieramy: ININ200x200x200 (lub pobieramy z bazy danych profili UZYTKOWNIK zadany przekrój po-przeczny). Następnie definiujemy współrzędne węzłów elementu belkowego w wierszu począ-tek wpisujemy 0;0 a w wierszu koniec 4;0. Po naciśnięciu klawisza Dodaj w oknie Widok poja-wia się element prętowy o zadanych cechach geometrycznych i materiałowych, (Rys. 3.50).

Niezbędne może być wybranie z górnego paska ikon podstawowych ikony Widok , która aktywuje pasek narzędziowy o tej samej nazwie, z którego wybieramy ikonę Widok początkowy

celem przedstawienia całego widoku konstrukcji. Dostęp do często używanej ikony Wi-dok początkowy można też uzyskać naciskając w obszarze okna Widok prawy klawisz myszy i

Przykład nr 2 41

wybierając z menu kontekstowego opcję Widok początkowy. Celem wizualizacji elementu konstrukcji wraz z zadanym przekrojem poprzecznym prze-

kroju wybieramy ikonę Szkice profili z ikon na dolnej części okna Widok oraz naciskając

ikonę widok uruchamiamy okno Widok, w którym zmieniamy układ na 2D/3D oraz naci-skamy przycisk Zamknij. Dodatkowo aktywując okno Wyświetlania atrybutów (Rys. 3.51), wy-bierając z górnego menu tekstowego Widok >> Wyświetl) przechodząc do zakładki Profile ak-tywujemy opcję Profile – legenda według kolorów, Symbole, Szkice4). Po naciśnięciu przyci-sków Zastosuj i OK w oknie Widoku pojawia się wizualizacja z kolorem i opisem pręta,(Rys. 3.52). Powiększenie końca elementu dokonujemy z wykorzystaniem opcji z górnego menu tek-

stowego Widok >> Widok dynamiczny >> Obrót 3D . Wciskając lewy klawisz myszy i zmieniając położenie kursora możemy zmienić kąt ustawienia elementu. Dodatkowo wciskając środkowy klawisz myszy i zmieniając położenie kursora możemy przesunąć element. Obracając rolką w myszce możemy zbliżyć lub oddalić konstrukcję w oknie Widok.

Po tych czynnościach dezaktywujemy wizualizację ponownie wybierając ikonę Szkice (wskazujemy kursorem i wciskamy lewy klawisz myszy) na pasku ikon widoku atrybutów oraz

wracamy do widoku 2D konstrukcji (wybieramy ikonę widoku i uruchamiamy okno Wi-dok, w którym zmieniamy układ na 2D).

Rys. 3.50. Definicja belki w zakładce Pręty

4) Podana sekwencja zakładek jest właściwa pod warunkiem wybrania szablonu Klasyczny w górnej

części okna.

42 Przykład nr 2

a) b)

Rys. 3.51. Okno Wyświetlanie atrybutów a) w Robot Structural 2009 b) w Robot Structural 2010

Rys. 3.52. Wizualizacja elementu z zadanym przekrojem – okno Widok

Przykład nr 2 43

Rys. 3.53. Definicja podpory przegubowej nieprzesuwnej

Krok 3 – definicja podpór

Podpory definiujemy wybierając z menu definicji modelu opcję Podpory. Z listy zdefinio-

wanych podpór w oknie Podpory wybieramy podporę nazwaną Przegub , która odpowiada podporze przegubowej nieprzesuwnej (warto sprawdzić jakie stopnie swobody są zablokowane w tabeli podpór zdefiniowanych Podpory!). Następnie wskazujemy kursorem my-szy w oknie Widok na węzeł nr 1. Po naciśnięciu lewego klawisz myszy w węźle pojawia się symbol podpory przegubowej nieprzesuwnej, patrz Rys. 3.53.

44 Przykład nr 2

Rys. 3.54. Definicja podpory przegubowej przesuwnej

Rys. 3.55. Zdefiniowane podpory

W węźle nr 2 należy wprowadzić podporę przegubową przesuwną. W przypadku braku ta-

kiej podpory w oknie Podpory wybieramy w tym oknie ikonę Definicja nowej podpory . Po aktywacji okna Definicja podpory w oknie tworzenia nowej podpory w wierszu Etykieta: wpisujemy przegub-przesuwna, oraz w kolumnie Zablokowane kierunki: blokujemy kierunek

Przykład nr 2 45

UZ (Rys. 3.54). Po naciśnięciu przycisku Dodaj i Zamknij przechodzimy do wskazania węzła nr 2, któremu zostaje przypisana nowo zdefiniowana podpora (Rys. 3.55).

Po wykonaniu tych czynności w tablicy Podpory możemy dokonać korekty numerów wę-złów, w których dane podpory są zdefiniowane (w kolumnie Lista węzłów) lub dokonać korekty zablokowanych kierunków swobody UX, UY lub RY w odpowiednich kolumnach tablicy Pod-pory.

Krok 4 – definicja obciążeń statycznych

Przed przyłożeniem obciążeń dokonano wprowadzenia dodatkowego węzła w miejscu przyłożenia obciążenia. W oknie Widok wybieramy pręt (zostanie zaznaczony na czerwono) i z paska menu tekstowego wybieramy opcję Edycja >> Podział... (Rys. 3.56). W oknie Podział użyto standartowych ustawień (Podział: na N części oraz liczba odcinków: 2 z aktywną opcją Generuj węzły bez dzielenia prętów/krawędzi). Po naciśnięciu klawisza Wykonaj w środku ele-mentu wygenerowano węzeł. W przypadku gdy numery węzłów są niewidoczne należy akty-

wować ikonę Numery węzłów z paska ikon widoku atrybutów. Następnie przechodzimy w menu definicji modelu do opcji Obciążenia. W tym zadaniu

mamy pominąć ciężar własny konstrukcji, ale program przy pierwszym wejściu do definicji obciążeń definiuje ten przypadek automatycznie po naciśnięciu przycisku Nowy w oknie Przy-padki obciążeń. Dlatego po wykonaniu tej niechcianej w tym przypadku czynności usuwamy ten przypadek obciążenia naciskając przycisk Usuń w tym samym oknie.

Teraz w oknie Przypadki obciążeń definiujemy nowy przypadek obciążenia o nazwie Q=35kN. Wybieramy w wiersza Natura : opcję stałe oraz w wierszu Nazwa : Q=35kN. Po naci-śnięciu przycisku Nowy na Liście zdefiniowanych przypadków pojawia się wygenerowana na-zwa przypadku. Korzystając z paska menu tekstowego Obciążenia >> Definicja obciążeń lub z

bocznego paska ikon wybieramy ikonę Definicja obciążeń aktywujemy okno Obciążenie.

W oknie tym w zakładce Węzeł wybieramy ikonę Siła węzłowa . W oknie Siła węzłowa wprowadzamy na kierunku Z w kolumnie F (kN) wartość -35 (siła opisana w globalnym ukła-dzie współrzędnych działająca przeciwnie do osi Z tego układu). Po naciśnięciu klawisza Dodaj znajdujemy się ponownie w oknie Obciążenie, w którym w wierszu Zastosuj do wpisujemy numer węzła 3, do którego ma być przyłożone obciążenie oraz naciskamy klawisz Zastosuj. W oknie Widoku (Rys. 3.57) pojawia się wizualizacja siły skupionej o zadanej wartości i kierunku określonym w oknie Siła węzłowa. Aby w oknie Widoku pojawiła się wartość siły FZ=-35.00

należy wybrać ikonę Opisy wartości obciążenia z paska ikon widoku atrybutów. Z uwagi na prowadzoną analizę dynamiczną należy wprowadzić jeszcze obciążenie masą

węzłową odpowiadającą wartości obciążenia Q (Rys. 3.58). Ponieważ okno Obciążenie nie zo-stało poprzednio zamknięte przechodzimy w nim do zakładki Ciężar i masa i wybieramy ikonę

Masy dodane - węzłowe . W aktywowanym oknie Masa węzłowa wprowadzamy na kie-runku Z w kolumnie m(kg) wartość 3567 oraz aktywujemy opcję Zastosuj do wszystkich przy-padków. Po naciśnięciu przycisku Dodaj w oknie Masa węzłowa przechodzimy do okna Obcią-żenie, w którym w wierszu Zastosuj do wpisujemy numer węzła 3, do którego ma być przyło-żone obciążenie masą skupioną oraz naciskamy przyciski Zastosuj i Zamknij. W tabeli Masy dodane – ciężary (dostępna z górnego menu tekstowego Obciążenia >> Tabela mas) możemy dokonać kontroli wartości i kierunków obciążenia.

Aby wyznaczyć amplitudy drgań pracującej maszyny należy zdefiniować obciążenie (Rys. 3.59) odpowiadające sile P0 określonej równaniem (2.28).

46 Przykład nr 2

Rys. 3.56. Wprowadzenie dodatkowego węzła

Rys. 3.57. Definicja nowego przypadku obciążenia

Przykład nr 2 47

Rys. 3.58. Definicja masy węzłowej

Rys. 3.59. Definicja obciążenia Po

W oknie Przypadki obciążeń definiujemy nowy przypadek obciążenia o nazwie Po. Wy-bieramy w oknie Przypadki obciążeń w wierszu Natura: stałe, w wierszu Numer: 2, oraz w wierszu Nazwa: Po. Po naciśnięciu przycisku Nowy utworzony przypadek pojawi się na Liście zdefiniowanych przypadków. Następnie postępując jak w poprzednim przypadku obciążenia w

oknie Obciążenie w zakładce Węzeł wybieramy ikonę Siła węzłowa . W oknie Siła wę-złowa wprowadzamy teraz na kierunku Z w kolumnie F (kN) wartość -3.354 (w globalnym układzie współrzędnych) i ponownie przykładamy ją do węzła nr 3 postępując podobnie jak w poprzednim przypadku obciążenia.

48 Przykład nr 2

Krok 5 – definicja obciążenia pojazdem

Celem definicji nowego przypadku obciążenia – obciążenia ruchomego, z górnego paska menu tekstowego wybrano Obciążenia >> Obciążenia specjalne >> Ruchome, (Rys. 3.60). W

tak otwartym oknie Obciążenia ruchome naciskamy ikonę Nowy pojazd , która aktywuje okno Obciążenia ruchome. W oknie tym naciskamy przycisk Nowy, w uruchomionym oknie Nowy pojazd deklarujemy nazwę pojazdu np. Opel_Insignia i naciskamy przycisk OK. Otwiera się nowe okno Obciążenia ruchome (niestety to ta sam nazwa co okno wcześniej otwarte w celu definicji tego przypadku obciążenia) w wierszu Nazwa pojazdu wyświetla się podana wcześniej nazwa, patrz Rys. 3.61. Z uwagi na fakt deklaracji pojazdu symetrycznego pozostajemy w za-kładce Pojazdy symetryczne, w której w kolumnie Typ obciążenia wybieramy siła skupiona, w kolejnych kolumnach określamy wartość siły skupionej (nacisk na koło jest połową nacisku na oś, stąd F = 5,95 kN dla kół przednich i F = 5,625 kN dla kół tylnych), wartość współrzędnej punktu przyłożenia siły wzdłuż osi pojazdu (zakładamy, że referencyjny punkt pojazdu znajduje się w środku między osiami, stąd X = ± 1,369m) oraz szerokość rozstawu sił (podajemy rozstaw kół osi tylnej S = 1,587 m dla ujemnej wartości x i rozstaw kól osi przedniej S = 1,585 m dla dodatniej wartości X). Poszczególne wartości wprowadzamy posługując się danymi zadania i Rys. 3.61. W wierszu dotyczącym wymiarów pojazdu podajemy szerokość pojazdu (b), odle-głość obciążenia od obrysu z przodu pojazdu (d1) oraz odległość obciążenia od obrysu z tyłu pojazdu (d2). Po określeniu parametrów pojazdu naciskamy klawisz Dodaj i Zamknij. W oknie przypadku obciążenia Obciążenia ruchome pojawi się nowy pojazd z określonymi cechami od-powiadający parametrom samochodu osobowego Opel Insignia.

Rys. 3.60. Okno definicja obciążenia ruchomego

Po zdefiniowaniu nowego pojazdu i ustaleniu w tym oknie nazwy przypadku (Przejazd po-jazdu) oraz numeru przypadku (3) określamy drogę przejazdu pojazdu ruchomego (Rys. 3.62a). W wierszu Droga – polilinia naciskamy klawisz Definiuj, który aktywuje okno Polilinia – kon-tur. W oknie tym jako metodę tworzenia wybieramy Linię. Współrzędne dwu punktów w za-kładce Geometria muszą być tak dobrane aby oś kół przednich (w położeniu początkowym) i oś kół tylnych w położeniu końcowym znalazła się poza zdefiniowaną belką. Warunek ten spełnia-

Przykład nr 2 49

ją punkty PunktP1 (-1,4; 0) i PunktP2 (5,4; 0). Po zamknięciu okna Polilinia – kontur w oknie Obciążenia ruchome określamy Krok (0, 1) z jakim obciążenie ruchome będzie przykładane na konstrukcje ((Rys. 3.62b). Ostatecznie po naciśnięciu klawiszy Zastosuj i Zamknij zdefiniowali-śmy obciążenie ruchome.

Rys. 3.61. Okno definicji nowego pojazdu

a) b)

Rys. 3.62. Okno a) Polilinia – kontur; b) Obciążenia ruchome w trakcie definiowania ruchu pojazdu

Krok 6 – definicja analizy modalnej

W następnym kroku zdefiniujemy nowy typ analizy o nazwie Modalna. Wybieramy z gór-nego paska menu tekstowego Analiza >> Rodzaje analizy. W ten sposób aktywujemy okno Opcje obliczeniowe, w którym naciskamy przycisk Nowy, który uruchamia okno Definicja no-wego przypadku. Po naciśnięciu OK w oknie Definicja nowego przypadku znajdziemy się w oknie Parametry analizy modalnej (Rys. 3.63). Po naciśnięciu klawisza Parametry zaawanso-

50 Przykład nr 2

wane możemy dokonać korekty ustawień standartowych. W oknie Parametry analizy modalnej wybrano w wierszu Liczba postaci: 1, przyjęto Macierz mas skupioną bez rotacji oraz aktywo-wano opcję pomiń gęstość (z uwagi na pominięcie ciężaru belki w obliczeniach – patrz dane do zadania). Po wykonaniu tej czynności naciskamy przycisk OK wracamy do okna Opcje oblicze-niowe (Rys. 3.64), gdzie na liście pojawiła się nowa analiza.

Rys. 3.63. Okna służące definicji analizy modalnej

Rys. 3.64. Okno Parametrów analizy modalnej i Opcji obliczeniowych

Krok 7 – definicja analizy dynamicznej

W oknie Opcje obliczeniowe naciskamy klawisz Nowy, który aktywuje okno Definicja no-wego przypadku, które tym razem ze względu na wykonaną wcześniej analizę modalną umożli-wi wybranie wszystkich przypadków dynamicznych możliwych w programie (Rys. 3.65). W oknie tym aktywujemy opcję Całkowanie równań ruchu. Naciskając przycisk OK przechodzi-my do okna Analiza równań ruchu,(Rys. 3.66), w którym wybieramy jedną z metod całkowania równań ruchu (np. Met. Newmarka) ustalając krok całkowania 0,001 st (poprzez podanie Kroku zapisu 0,001 s i jego Podziału 1 oraz długość prowadzonej analizy Koniec 1 s. W oknie Analizy równań ruchu wybieramy Przypadek (obciążenia) Po oraz przechodzimy po naciśnięciu przycisku Definicji funkcji do okna Definicji funkcji czasu (Rys. 3.67). W za-kładce Funkcja nadajemy nazwę funkcji w wierszu Nazwa funkcji wpisując P(t) i naciskając przycisk Dodaj. Przechodzimy do zakładki Punkty, gdzie za pomocą opcji Dodaj wyrażenie definiujemy człon funkcji z równania (2.29). W wierszu wyrażenie wpisujemy sin(52,36*t) w pozostałych wierszach definiujemy Czas początkowy: 0 s; Czas końcowy: 1 s oraz Krok czaso-

Przykład nr 2 51

wy:5) 0,001 s. Zmieniamy też Miarę kąta na Radiany. Naciskając przycisk OK powracamy do okna Definicji funkcji czasu, gdzie naciskamy przycisk Zamknij. W oknie Analizy równań ruchu naciskamy Dodaj, aby wybrać w analizie określoną funkcją zmienność w czasie obciążenia dla przypadku Po, (Rys. 3.67).

Rys. 3.65. Definicja nowego przypadku analizy - analizy czasowej

Rys. 3.66. Definicja analizy czasowej

5) Zdefiniowany tu krok czasowy dotyczy kroku z jakim generowana będzie funkcja obciążenia i nie

ma nic wspólnego z krokiem czasowym całkowania. W wersji 2009 programu w tym oknie przy pisaniu liczb zamiast przecinków należy używać kropek (błąd programu).

52 Przykład nr 2

Rys. 3.67. Definicja funkcji czasu w analizie czasowej

Krok 8 – Obliczenia numeryczne

Będąc w oknie Opcje obliczeniowe (Rys. 3.68) naciskamy przycisk Obliczenia lub w przy-padku zamknięcia tegoż okna przyciskiem Zamknij z górnego paska ikon podstawowych wybie-

ramy Rozpoczęcie obliczeń . Po przeprowadzeniu obliczeń na górnym pasku informacyj-nym na krawędzi okna programu winna znaleźć się informacja Wyniki MES: aktualne.

Rys. 3.68. Zdefiniowane rodzaje analiz widoczne w oknie Opcje obliczeniowe

Krok 9 – wyniki obliczeń statycznych

Otrzymane wyniki statycznych przemieszczeń węzła nr 3 od obciążenia siłą Q = 35 kN możemy sprawdzić po wybraniu w menu deklaracji modelu opcji Rezultaty >> Rezultaty. Naj-pierw w oknie Widok wskazujemy pręt, dla którego chcemy obejrzeć deformację (zostanie wy-świetlony na czerwono). W oknie Wykresy w zakładce Deformacja aktywujemy opcję Defor-macja dokładna dla prętów i otwórz nowe okno, a w zakładce Parametry, w części Opisy wy-kresów opcję karteczki. Potem naciskamy klawisz Zastosuj, (Rys. 3.69). Niezbędne jest także w

Przykład nr 2 53

pasku selekcji wybranie przypadku obciążenia Q = 35 kN. Celem zwiększenia precyzji wyświe-tlanych wyników uruchamiamy okno Preferencje zadania (Rys. 3.48) (menu tekstowe: Narzę-dzia >> Preferencje zadania). W lewej kolumnie rozwijamy opis Jednostki i formaty. Przecho-

dzimy do wiersza Inne, następnie w wierszu Przemieszczenie liniowe naciskamy ikonę , celem zwiększenia lub zmniejszenia dokładności wyświetlanych wyników. Po naciśnięciu przy-cisku OK zamykamy okno. Przed sporządzeniem następnego wykresu w oknie Wykresy w zakładce Deformacje dezak-tywujemy opcję Deformacja dokładna wyników oraz naciskamy klawisz Zastosuj. Alternatywną metodą może być tworzenie nowych wykresów w nowych oknach (zaznaczanie każdorazowe opcji otwórz nowe okno). Przechodzimy do zakładki Naprężenia aktywujemy opcję maksymal-ne – Smax i minimalne – Smin oraz naciskając klawisz Zastosuj otrzymujemy wykres naprężeń normalnych w belce od obciążenia Q = 35 kN (Rys. 3.71). Następnie zmieniając w pasku selek-cji przypadek obciążenia na Analiza czasowa + otrzymamy wykres obwiedni górnej naprężeń wywołany działaniem obciążenia dynamicznego, patrz Rys. 3.72. Po zakończeniu analizy tego

wyniku otrzymane wykresy można zlikwidować naciskając ikonę w prawym dolnym na-rożniku okna lub odznaczając prezentowane wielkości w oknie selekcyjnym Wykresy.

Rys. 3.69. Wyniki deformacji konstrukcji

Rys. 3.70. Ustalenie precyzji przedstawiania wyników przemieszczeń

54 Przykład nr 2

Rys. 3.71. Wyniki naprężeń od przypadku Q=35 kN

Rys. 3.72. Wyniki naprężeń od przypadku Analiza czasowa + (obwiednia górna)

Przed analizą obciążeń ruchomych warto uaktywnić pokazywanie aktualnej pozycji pojazdu.

Wykonujemy to wybierając ikonę spośród ikon wyboru i atrybutów na dolnej krawędzi okna programu. W oknie Wybór atrybutów wybieramy zakładkę Obciążenia i zaznaczamy trzy opcje dotyczące obciążeń ruchomych: Obciążenia ruchome – trasa; Obciążenia ruchome – po-jazd; Obciążenia ruchome – elementy (Rys. 3.73). Aby otrzymać wykres sił wewnętrznych dla ustalonej pozycji pojazdu, po wyborze przypadku obciążenia Przejazd pojazdu w pasku selekcji

Przykład nr 2 55

należy otworzyć okno Składowa przypadku wybierając ikonę Wybór składowej z paska selekcji. W otwartym oknie (Rys. 3.74) wybieramy pozycje obciążenia, która odnosi się do punktu referencyjnego pojazdu. Składową można wybrać bądź przez podanie jej numeru, bądź przez podanie współrzędnej na osi ruchu pojazdu, albo przesuwając suwak w środkowej części okna. Celem otrzymania wykresu sił wewnętrznych w pasku selekcji wybieramy przypadek obciążenia Przejazd pojazdu a następnie w oknie Rezultaty wskazujemy żądaną wielkość. Na Rys. 3.75 pokazano wykres momentów My ( w układzie lokalnym pręta) w pozycji nr 32 pojazdu. Obwiednię zadanej wielkości statycznej uzyskujemy przez wybranie przypadku dodat-kowego do przypadku obciążenia ruchomego oznaczonego znakiem „+” – obwiednia górna lub znakiem „-” – obwiednia dolna z paska selekcji z ikony rozwijalnej Przypadki. Przykładowo na Rys. 3.76 i Rys. 3.77 pokazano obwiednie górne (przypadek Przejazd pojazdu +) dla momentu My i siły tnącej Fz. Każdorazowo po zmianie typu wykresu w zakładce NTM w oknie wyboru Wykresy naciskamy przycisk Zastosuj. W przypadku gdy proporcje otrzymanego wykresu nie są właściwe naciskamy przyciski Normalizuj i Zastosuj lub jeśli brak opisu charakterystycznych wartości, to w zakładce Parametry aktywujemy odpowiednie opcje potwierdzając to przyci-skiem Zastosuj. Zaznaczmy jeszcze, że w momencie sporządzania wykresu obwiedni okno Składowa przypadku oczywiście nie działa.

Rys. 3.73. Okno Wyświetlanie atrybutów z wyborem opcji wizualizacji obciążeń ruchomych

Rys. 3.74. Okno Składowa przypadku

56 Przykład nr 2

Rys. 3.75. Wykres momentów My dla ustalonej pozycji pojazdu

Rys. 3.76. Obwiednia momentów My dla obciążenia ruchomego

Przykład nr 2 57

Rys. 3.77. Obwiednia sił tnących Fz dla obciążenia ruchomego

W analizie przypadku obciążenia ruchomego dostępna jest również opcja linii wpływu. W pasku selekcji za pomocą ikony Przypadek powracamy do przypadku Przejazd pojazdu. Z gór-nego paska menu tekstowego wybieramy Rezultaty >> Zaawansowane >> Linia wpływu (Rys. 3.78). W oknie Linie wpływu z dostępnych zakładek wybieramy NTM lub Węzły. W zakładce NTM określamy wybieramy parametry: Fz (siłą tnąca) i My (moment zginający); w wierszach Element numer elementu (1) i Pozycja (pozycja w środku belki określona względnie – 0,5). Po naciśnięciu przycisku Wszystko wskazujemy chęć uwzględnienia wszystkich położeń pojazdu. Przycisk Zastosuj z aktywowaną opcją otwórz nowe okno powoduje otwarcie okna widokowego Linia wpływu w jej wykresem i wartości linii podane w sposób tabelaryczny (Rys. 3.79).W po-dobny sposób można skonstruować wykres linii wpływu przemieszczenia UZ. Wybranie odpo-wiedniej pozycji w oknie Linie wpływu spowoduje wygenerowanie wykresu widocznego na Rys. 3.80. Linie wpływowe wartości węzłowych są dostępne w oknie Linie wpływu w zakładce Węzły. Określamy tam interesującą nas wielkość statyczną (np. Fz – reakcja pionowa) w wier-szu Węzeł określamy numer węzła dla którego chcemy otrzymać żądaną linię wpływu (tu 1). Po naciśnięciu klawisza Zastosuj otrzymujemy wykres pokazany na Rys. 3.81.

58 Przykład nr 2

Rys. 3.78. Okno Linie wpływu

Rys. 3.79. Linie wpływu My i Fz dla przekroju w środku belki

Przykład nr 2 59

Rys. 3.80. Linia wpływu przemieszczenia UZ dla przekroju w środku belki

Rys. 3.81. Linia wpływu reakcji FZ lewej podpory (węzeł nr 1)

60 Przykład nr 2

Krok 10 – wyniki obliczeń dynamicznych

Wyniki częstości drgań własnych sprawdzamy w oknie Wyniki dynamiki (Rys. 3.82) Wy-nik ten możemy uzyskać postępując analogicznie jak opisano w poprzednim przykładzie na str. 29. Warto porównać uzyskaną wartość pulsacji z wartością we wzorze (2.33).

Rys. 3.82. Wyniki analizy modalnej

Postać drgań własnych odpowiadająca obliczonej wartości częstości drgań własnych mo-żemy przedstawić po przejściu do opcji Rezultaty w oknie Wykresy przechodzimy do zakładki Deformacja oraz z paska selekcji wybieramy przypadek obciążenia Modalna i składową Postać 1. Po wybraniu opcji otwórz nowe okno i naciśnięciu przycisku Zastosuj oraz Normalizuj w oknie Wykresy otrzymujemy wizualizacje postaci drgań w oknie Wykresy – Deformacja. Został

on jeszcze wzbogacony o numery węzłów poprzez naciśnięcie ikony w dolnym lewym narożniku okna (Rys. 3.83)

Rys. 3.83. Wyniki analizy modalnej – postać 1 drgań własnych

Przykład nr 2 61

Rys. 3.84. Definicja wykresu analizy czasowej

Aby przedstawić wykres amplitud drgań dowolnego punktu konstrukcji z górnego menu tekstowego wybieramy Rezultaty >> Zaawansowane >> Analiza czasowa – Wykresy. Po akty-wacji okna Równania ruchu wybieramy opcję Dodaj wykres, gdzie określamy zmienną i kieru-nek, która będzie wyświetlana na wykresie, patrz Rys. 3.84. Po ustaleniu parametrów w oknie Definicja wykresu (np. przemieszczenie, Uz, węzeł 3) naciskamy klawisz Dodaj i Zamknij. Na-stępnie z lewej kolumny Dostępnych wykresów w oknie Równania ruchu za pomocą strzałki

przenosimy dany wykres do kolumny Prezentowane wykresy. Po aktywacji opcji otwórz nowe okno naciskamy przycisk Zastosuj, który aktywuje okno Wykresy równań ruchu, gdzie prezentowane są w formie graficznej wykresy analizy dynamicznej. Wyniki analizy czasowej w formie przemieszczeń węzła nr 3 w funkcji czasu przedstawione są na Rys. 3.85.

62 Przykład nr 2

Rys. 3.85. Wyniki analizy czasowej

Przykład nr 3 63

3.3 Przykład nr 3 – Układ ramowo-cięgnowy

Wyznaczyć strzałkę zwisu cięgna f oraz poziomą wartość naciągu H konstrukcji ramowo-cięgnowej przedstawionej na Rys. 3.86. Dane: l = 30 m, h = 5 m. Długość początkowa cięgna L0 = 30,2 m wykonanego z liny stalowej o średnicy 20 mm (A = 238 mm2). W obliczeniach należy pominąć ciężar własny cięgna. Przyjąć słupy wykonane są z dwuteowników zwykłych IN300 (I1 = 9800 cm4) i IN360 (I2 = 19610 cm4). Założyć w obliczeniach Es = 205 GPa dla słupów i El = 160 GPa dla liny. Rozpatrzyć dwa przypadki obciążenia: w pierwszym uwzględnić rozłożone obciążenia trójkątne i końcowej intensywności q = 10 kN/m; w drugim do tego obciążenia do-dać siłę skupioną P = 100 kN (Rys. 3.86). Obliczenia przeprowadzić w zakresie nieliniowości wynikającej z wprowadzenia elementu kablowego (wariant 1) i w zakresie w pełni geometrycz-nie nieliniowym (wariant 2).

l

h

q

f

1 2

P

l/2

Rys. 3.86. Schemat statyczny konstrukcji cięgnowej

Rozwiązanie analityczne.

Wyznaczenie sztywności konstrukcji wsporczej wyraża się jako [11]

3

3 sE Ik

h

, (2.42)

zatem dla poszczególnych słupów otrzymujemy następujące wartości sztywności

11 3 3

22 3 3

3 3 20500 98004,8216kN/cm

5003 3 20500 19610

9,64812kN/cm500

s

s

E Ik

hE I

kh

(2.43)

Sztywność cięgna na rozciąganie wynosi 38080kNlE A .

64 Przykład nr 3

H Hd1 d2

Rys. 3.87. Wpływ podatności konstrukcji wsporczej

Sumaryczne przemieszczenie 1 2l konstrukcji (skrócenie cięciwy cięgna) możemy

wyznaczyć jako

1 2

1 1 1 10,31105

4,8216 9,64812l H H H

k k

(2.44)

Następnie korzystając z przybliżonego równania cięgna (patrz m.in. [12])

3 2 2

0 0 0

12

ll

l

E Al lH H E A T dx

L L

, (2.45)

gdzie wartość całki dla rozpatrywanego przypadku 2 3

2

045

lq l

T dx

, otrzymujemy końcową

postać równania

2 3

3 2 3000 0,31105 38080 0,1 300038080 1

3020 2 3020 45

HH H

(2.46)

z którego wyznaczamy wartość rozporu poziomego H = 181,66 kN. Maksymalną wartość strzałki zwisu cięgna obliczamy z zależności

2 2

maxmax

10 30 577,353,18m

9 3 9 3

M q lf

H HH H

(2.47)

Uzyskane w ten sposób rozwiązanie będzie porównywalne z rozwiązaniem numerycznym w wariancie 1.

Rozwiązanie numeryczne

Krok 1 – definicja geometrii układu i nadanie cech materiałowych

Po wyborze w oknie początkowym programu typu konstrukcji: Projektowanie ramy pła-

skiej , przechodzimy korzystając z menu definicji modelu do opcji Pręty. W oknie tym wy-bieramy odpowiedni przekrój pręta oraz podając współrzędne początku i końca słupa (Rys. 3.88) definiujemy elementy pionowe konstrukcji. W przypadku braku w bazie podstawowej

dwuteowników w wierszu Przekrój w oknie Pręt naciskamy ikonę aktywującą okno Nowy

Przykład nr 3 65

Przekrój, gdzie pobieramy z bazy profili IN300 dla lewego słupa i IN360 dla prawego słupa (Rys. 3.89). Dodatkowo definiujemy poziomy element wybierając przy tym dowolny jego prze-krój poprzeczny.

Następnie przechodzimy do określenia materiału z jakiego wykonane są elementy słupów. Po wybraniu w menu definicji modelu opcji Przekroje i Materiały przechodzimy do okna Mate-riał, w którym zaznaczmy profil IN300. Następnie z wiersza Materiał: po rozwinięciu bazy

materiałów (przycisk ), wybieramy STAL St0S. Dokonany wybór potwierdzamy przyciskiem Zastosuj. Analogicznie postępujemy z drugim profilem IN360. Niezbędna jest także definicja nowego materiału, z którego wykonany jest kabel, o założonym w obliczeniach module spręży-stości E = 160 GPa. Z górnego paska tekstowego wybieramy Narzędzia >> Preferencje zada-nia. Po aktywacji okna Preferencje zadania w lewej kolumnie naciskamy Materiał oraz po prawej stronie wciskamy przycisk Modyfikacja, co uruchamia okno Definicja materiału (Rys. 3.90) służące zmianom wartości parametrów materiałowych. W zakładce Stal w wierszu Na-zwa: wpisujemy ciegno. Następnie zmieniamy wartość modułu sprężystości na 160000 (wartość w MPa!) oraz współczynnika Kirchhoffa na 61500. Po naciśnięciu przycisku Dodaj i OK oraz OK w oknie Preferencje zadania kończymy definiowanie nowego materiału.

Rys. 3.88. Definicja elementów

66 Przykład nr 3

Rys. 3.89. Definicja nowych przekrojów

Następnie nadajemy poziomemu elementowi cechy geometryczno-materiałowe założonego na wstępie cięgna. Wybierając z menu tekstowego opcję Geometria >> Charakterystyki >> Ka-

ble aktywujemy okno Kable, w którym po naciśnięciu ikony przechodzimy do okna Nowy kabel. W wierszu Etykieta podajemy nazwę np. Cięgno, w wierszu Przekrój AX określa-my przekrój poprzeczny (2,38 (cm2) – wielkość zadana w przykładzie), jako Materiał – ciegno oraz w Parametrach montażu określamy długość L cięgna (30,2 (m)) (Rys. 3.91). Po naciśnię-ciu klawisza Dodaj wracamy do okna Kable, w którym w wierszu Pręty podajemy numer ele-mentu (3), któremu nadajemy cechy konstrukcji cięgnowej, Rys. 3.92.

W kolejnym etapie należy zdefiniować podpory. Przechodzimy w tym celu w menu defini-cji modelu do opcji Podpory otwierającej okno Podpory, gdzie z listy podpór wybieramy Utwierdzenie. Aktywujemy ten typ podpory i wskazujemy węzły, w których mają się one znaj-dować (Rys. 3.93). Dokonany wybór węzła potwierdzamy lewym kliknięciem myszy.

Rys. 3.90. Definicja materiału cięgno o E=160 GPa

Przykład nr 3 67

Rys. 3.91. Określenie cech cięgna

Rys. 3.92. Nadanie prętowi nr 3 właściwości kabla

68 Przykład nr 3

Rys. 3.93. Definicja podpór

Krok 2 – definicja obciążeń

Przechodząc w menu definicji modelu do opcji Obciążenia określamy w oknie Przypadki obciążeń nowy przypadek obciążenia o nazwie q i naturze stałe. Ponieważ program automa-tycznie doda do tego przypadku obciążenie ciężarem własnym, a w zadaniu ciężaru własnego konstrukcji nie mamy uwzględniać, musimy je usunąć. Zaznaczamy w oknie Obciążenia wiersz z definicją tego obciążenia i naciskamy na klawiaturze klawisz Del (Delete). Następnie wybie-rając z górnego paska menu tekstowego opcję Obciążenia >> Definicja obciążenia lub boczne-

go paska ikony Definicja obciążeń przechodzimy do okna Obciążenie.

Przykład nr 3 69

Rys. 3.94. Przyjęcie obciążenia q

W zakładce Pręt wybieramy typ obciążenia Obciążenie trapezowe . Podajemy w oknie Obciążenie trapezowe: Typ: Obciążenia trapezowe (2p) i odpowiednie wartości obciąże-nia (p1 = 0.00 oraz p2 = -10.00), sprawdzamy definicję punktu początkowego i końcowego obciążenia oraz kierunek jego działania, a następnie naciskamy klawisz Dodaj (Rys. 3.94). Po powrocie do okna Obciążenie aktywujemy wiersz Zastosuj do wpisując numer pręta, do którego ma być przyłożone obciążenie. Można też wskazać dany pręt w oknie Widok. Należy wtedy zwrócić uwagę na niebieskie strzałki wskazujące, od którego węzła program rozpoczyna defini-cję współrzędnych dla definicji tego obciążenia. Przesuwając się wzdłuż osi pręta poszukujemy położenia, w którym strzałki skierowane są od węzła nr 2 do węzła nr 4.

Definicję drugiego przypadku obciążenia zaczynamy w oknie Przypadki obciążenia defi-niując Naturę – stałe, Nazwę – P i wskazując przycisk Nowy. Program Robot Structural w przy-padku wykonywania analizy nieliniowej pierwszy przypadek obciążenia traktuje jako przypa-dek początkowy. Oznacza to, że wszystkie obciążenia z tego przypadku zostaną automatycznie dodane do wszystkich następnych przypadków obciążenia. Dlatego teraz dla przypadku P mu-simy zdefiniować tylko siłę skupioną w środku cięgna. Robimy to w sposób typowy wybierając

z menu bocznego ikonę Definicja obciążeń , a w oknie Obciążenie ikony Siła prętowa

. Teraz w oknie Siła prętowa kierując się rysunkiem 3.95 definiujemy parametry tego obciążenia.

70 Przykład nr 3

Rys. 3.95. Okno Siła prętowa w czasie definiowania siły skupionej na cięgnie

Krok 3 – wybór opcji obliczeniowych i obliczenia wariant 1

W przypadku konstrukcji z elementem kablowym analiza musi być przeprowadzana w za-kresie geometrycznie nieliniowym. W momencie nadania prętowi 3 cech kable program sam zmieni typ analizy na Statyka NL. Można to stwierdzić wybierając z paska ikon podstawowych

ikonę Parametry analizy konstrukcji w oknie Opcje obliczeniowe (Rys. 3.96). Wykonanie przy takich ustawieniach obliczeń odpowiada wymaganiom wariantu 1. Wykonanie obliczeń nastąpi po naciśnięcie przycisku Obliczenia w tym oknie.

Rys. 3.96. Parametry analizy nieliniowej – wariant 1

Przykład nr 3 71

Rys. 3.97. Przemieszczenia układu cięgnowo-ramowego (strzałka zwisu cięgna) wariant 1

Rys. 3.98. Siły tnące w słupach (wartość rozporu H) wariant 1

Krok 4 – prezentacja rezultatów analizy numerycznej wariant 1

Po przejściu w menu definicji modelu do opcji Rezultaty w oknie Wykresy w zakładce De-

72 Przykład nr 3

formacje aktywujemy opcję Deformacja dokładna dla prętów. Po zaznaczeniu otwórz nowe okno i wybraniu Zastosuj w nowo otwartym oknie Wykresy otrzymujemy wykres deformacji, Rys. 3.97 (sprawdzić w pasku selekcji, czy mamy ustawiony przypadek obciążenia q). Łatwo sprawdzić, że otrzymana wartość ugięcia odpowiada wartości z równania (2.47). Różnica wyni-ka z różnic w zastosowanej w programie teorii cięgien. Teraz po wyłączeniu wykresu deforma-cji i wybraniu w zakładce NTM opcji Siła Fz i po naciśnięciu klawisza Zastosuj otrzymujemy wykresy sił tnących, Rys. 3.98. Wartość siły tnącej odpowiada rozporowi H cięgna wyliczona z (2.46).

Warto jeszcze wyprowadzić tabelę sił wewnętrznych dla obu przypadków obciążenia. Po-trzebną tabelę wygenerujemy wybierając z menu tekstowego Rezultaty >> Siły. Ponieważ zale-ży nam na uporządkowaniu wyników w zależności od przypadku obciążenia, w oknie tabeli naciskamy prawy klawisz myszy, z menu kontekstowego wybieramy Kolumny i po otwarciu okna Wybór wielkości dla prętów wskazujemy zakładkę Przypadki obciążeniowe. Teraz w czę-ści Kolejność wybieramy opcję Przypadek, obiekt.

Rys. 3.99. Tabela sił wewnętrznych wariant 1

Możemy stwierdzić, że mimo iż w przypadku obciążeniowym 2 zdefiniowaliśmy tylko siłę skupioną o wielkości P = 100 kN suma sił normalnych w obu słupach wynosi 250 kN (w pręcie 1 siła FX = 100 kN, w pręcie 2 – FX = 150 kN, Rys. 3.99), czyli że zostało w obliczeniach uwzględnione obciążenia z przypadku 1.

Krok 5 – wybór opcji obliczeniowych i obliczenia wariant 2

W drugim wariancie obliczeń uwzględnimy efekty nieliniowe wynikające z zmiany sztyw-ności na zginanie w zależności od sił podłużnych (efekty drugiego rzędu) i dodatkową sztyw-ność poprzeczną i naprężenia powstałe przy odkształceniu (efekty trzeciego rzędu). Będzie to więc analiza w pełni geometrycznie nieliniowa.

Wybieramy z menu tekstowego Analiza >> Rodzaje analizy . W oknie Opcje oblicze-niowe naciskamy przycisk Parametry, który aktywuje okno Parametry analizy nieliniowej. W oknie tym aktywujemy opcję Analiza P-delta. Naciskając klawisz OK zamykamy okno Parame-

Przykład nr 3 73

try analizy nieliniowej i wskazujemy na następny przypadek obciążenia. Po jego wybraniu ope-rację powtarzamy (Rys. 3.100). Teraz w oknie Opcje obliczeniowe naciskamy klawisz Oblicze-nia co w przypadku poprawnego wprowadzenia danych doprowadzi do ukazania się na górnej krawędzi okna programu Robot informacji Wyniki MES: aktualne.

Rys. 3.100. Parametry analizy nieliniowej – wariant 2

Krok 6 – prezentacja rezultatów analizy numerycznej wariant 2

Czynności potrzebne do przedstawienia wyników dla wariantu 2 są takie same jak opisano w Kroku 4 przykładu. Uzyskane wyniki pokazano na Rys. 3.101 – Rys. 3.103.

Rys. 3.101. Przemieszczenia układu cięgnowo-ramowego (strzałka zwisu cięgna) wariant 2

74 Przykład nr 3

Rys. 3.102. Siły tnące w słupach (wartość rozporu H) wariant 2

Rys. 3.103. Tabela sił wewnętrznych wariant 2

Przykład nr 4 75

3.4 Przykład nr 4 – Układ ramowo-kratowy

Dla zadanego układu ramowo-kratowego (Rys. 3.104 według [8]) zaproponuj stalowe przekroje poprzeczne spełniające wymagania PN-90/B-03200 (skorzystaj z opcji wymiarowanie konstrukcji stalowych w programie Robot). Uwzględnij ciężar własny konstrukcji i jako osobny przypadek obciążenia obciążenie siłą skupioną traktując je jako zmienne eksploatacyjne. W ramach rozwiązania należy:

1. Przyjąć wstępne stalowe przekroje poprzeczne, 2. Stworzyć odpowiednie kombinacje SGN (stanu granicznego nośności) i SGU (stanu

granicznego użytkowania), 3. Zwymiarować konstrukcje ze względu na kombinację SGN, zakładając że wszystkie

węzły układy mają zablokowaną możliwość przemieszczania się w kierunku prostopa-dłym do płaszczyzny układu.

4. Po zwymiarowaniu konstrukcji przedstawić wyniki obliczeń numerycznych konstruk-cji: a) wykresy sił wewnętrznych N, T, M od kombinacji SGN; b) wykresy ekstremalnych naprężeń w elementach konstrukcji od kombinacji SGN, c) wykresy deformacji układu od kombinacji SGU.

P=80kN

4 4 m 2

Rys. 3.104. Układ ramowo-kratowy

Rozwiązanie numeryczne.

Krok 1 - definicja geometrii układu i nadanie wstępnych przekrojów

Po dokonaniu w oknie początkowym programu wyboru typu projektowanej konstrukcji (Projektowanie ramy płaskiej) przechodzimy poprzez menu definicji modelu do opcji Pręty. W oknie Pręt przyjmujemy Typ pręta i Przekrój. Ze względu na fakt, iż w dalszej części zadania będziemy wymiarowali konstrukcje z uwagi na SGN przyjmujemy dowolnie wstępne przekroje poprzeczne np. IPE100 (można tak zrobić dla układów statycznie wyznaczalnych, w przeciw-nym przypadku należy wybrać przekrój zbliżony do oczekiwanego). Określenie typu pręta wią-że się z analizą możliwości jego wyboczenia. Wykonamy ją zgodnie z normą wg PN-90/B-03200. Ponieważ założyliśmy, że nie ma możliwości przemieszczania się węzłów konstrukcji w kierunku prostopadłym do płaszczyzny układu, więc współczynnik długości wyboczeniowej w tym kierunku dla wszystkich prętów powinien wynosić 1,0. W płaszczyźnie układu pręty po-ziome powinny mieć współczynnik o wartości 2.0 (rama jest przesuwna w kierunku piono-wym), pręt pionowy może mieć współczynnik o wartości 1.0, natomiast dla pręta kratowego możemy założyć brak możliwości wyboczenia, gdyż w obu schematach obciążenia analiza ob-ciążeń wskazuje w nim na rozciąganie. W związku z tym definiujemy nowe typu prętów naci-

skając w oknie Pręt w linii Typ pręta na ikonę . Otworzy się okno Definicji pręta..., w któ-rym musimy zdefiniować potrzebne typy prętów.

76 Przykład nr 4

a) b)

Rys. 3.105. Definicja a) parametrów wyboczeniowych; b) parametrów ugięć i przemieszczeń dla pręta typu Poziomy

a) b)

Rys. 3.106. Definicja a) parametrów wyboczeniowych; b) parametrów ugięć i przemieszczeń dla pręta typu Pionowy

Przykład nr 4 77

Definiujemy najpierw typ pręta o nazwie Poziomy podając nazwę typu w polu Typ pręta, oraz dwa parametry wyboczeniowe (Wsp. długości wyboczeniowej mi y: i mi z:) wybierając myszą ikonę widoczną w tym polu (z otwartego okna Schematy obliczeniowe należy teraz wy-brać schemat odpowiadający potrzebnemu mechanizmowi wyboczenia) lub wpisując wartość współczynnika ręcznie (Rys. 3.105a) należy też zdefiniować parametry użytkowania poprzez wybranie przycisku Użytkowanie i ustawienie odpowiednich parametrów w oknie Użytkowanie (Rys. 3.105b). Po zamknięciu okna Użytkowanie przyciskiem OK w oknie Definicja pręta naci-skamy przycisk Zapisz. Następnie bez zamykania tego okna można w analogiczny sposób, jak pokazano na Rys. 3.106, zdefiniować typ Pionowy. Dla pręta kratowego będzie można użyć typu predefiniowanego Pręt. Przyjęte dla tego typu długości wyboczeniowe nie będą miały wpływu na wymiarowanie tego pręta, gdyż dla wszystkich schematów obciążenia występuje w nim rozciąganie.

Możemy teraz przystąpić do definiowania poszczególnych prętów, zmieniając odpowied-nie parametry prętów w oknie Pręt i wskazując położenie poszczególnych węzłów w oknie

Widok. Pomocny tu będzie Rys. 3.107, w którym za pomocą ikony z paska ikon wyboru i atrybutów ustawiono pokazywanie numerów węzłów i prętów, lokalnych układów współrzęd-nych i typów prętów.

Rys. 3.107. Definicja prętów układu ramowo-kratowego

Następnie przechodzimy do określenia cech dodatkowych (Rys. 3.108) tak aby elementu nr 4 przenosił tylko siły normalne – element kratowy. Dokonujemy tego z wykorzystaniem z menu tekstowego opcji Geometria >> Cechy dodatkowe >> Charakterystyki zaawansowane prętów. W oknie Charakterystyki zaawansowane prętów aktywujemy opcję pręty kratownicowe – dzia-łają tylko siły podłużne oraz podajemy w wierszu Lista prętów element (4) który otrzymuje możliwość przenoszenia tylko sił normalnych. Po naciśnięciu przycisku Zastosuj w oknie Wi-dok pojawi się pod elementem opis Krata.

78 Przykład nr 4

Rys. 3.108. Zamiana elementu belkowego na kratowy

Rys. 3.109. Wprowadzenie przegubu wewnętrznego

W następnym kroku przechodzimy do definicji przegubu wewnętrznego, (Rys. 3.109).

Wybieramy z menu tekstowego opcję Geometria >> Zwolnienia , w oknie Zwolnienie wy-bieramy typ zwolnienia Utwierdzenie-Przegub oraz numer elementu (1) wpisując go w wiersz Aktualna selekcja. Potwierdzając przyciskiem Zastosuj w oknie Widoku pojawi się schemat

Przykład nr 4 79

przegubu wewnętrznego z opisem bbw. Należy pamiętać, że do każdego węzła musi dochodzić przynajmniej jeden pręt, w którym zablokowane są możliwości obrotu! W przykładzie ten wa-runek spełnia pręt nr 2.

W kolejnym etapie przechodząc za pomocą menu definicji modelu do opcji Podpory (Rys. 3.110). W oknie Podpory wybierając odpowiednie typy podpór i wskazując na węzły, które otrzymują określone warunki podporowe. W węźle nr 1 definiujemy podporę przegubową prze-suwną (UZ) natomiast w węźle nr 4 podporę przegubową nieprzesuwną (przegub). W przypad-ku braku w oknie Podpory odpowiedniego typu podpory należy zdefiniować nową podporę w

oknie Definicja nowej podpory dostępnego po naciśnięciu ikony . W oknie tym w wierszu etykieta nadajemy nazwę podpory natomiast w kolumnie Zablokowane kierunki: blokujemy

przykładowo dla podpory przegubowo przesuwnej kierunek UZ (stopnie swobody UX i

RY winny być odblokowane )

Rys. 3.110. Definicja podpór węzłowych

Krok 2 – definicja obciążeń i kombinacji obciążeń dla stanów granicznych

Po przejściu do opcji Obciążenia poprzez menu definicji modelu, definiujemy nowy sche-mat obciążenia w oknie Przypadki obciążeń. Wybieramy w tym oknie naturę obciążenia: ciężar własny określamy nazwę cw i po naciśnięciu klawisza Nowy w tablicy Obciążenia pojawi się przypadek obciążenia ciężarem własnym. Program automatycznie wylicza ciężar własny kon-strukcji na podstawie zdefiniowanych wcześniej cech geometryczno materiałowych elementów konstrukcji (Rys. 3.111). Następnie w oknie Przypadki obciążeń definiujemy nową nazwę przy-padku obciążenia wybierając w wierszu Natura: eksploatacyjne oraz w wierszu Nazwa: P (Rys. 3.112). Przechodzimy następnie do okna Definicja obciążeń poprzez wybranie z menu boczne-

go ikony Definicja obciążeń . W oknie tym, w zakładce Pręt wybieramy opcję Siła pręto-

wa . W oknie tym określamy wartość obciążenia wpisując w kolumnie F (kN) i wierszu

80 Przykład nr 4

X: wartość -80 kN. Następnie w wierszu W układzie: zaznaczamy opcję globalny (układ, w któ-rym ma być zdefiniowane obciążenie) oraz współrzędne określające położenie siły współrzędna absolutna wpisujemy liczbę 2. Wartość 2 oznacza oddalenie o 2 m od węzła początkowego elementu. Po naciśnięciu przycisku Dodaj przechodzimy do okna Widok. Wskazujemy w nim pręt, do którego ma być przyłożone obciążenie. W momencie gdy wskaźnik na ekranie znajdzie się nad prętem pojawią się na nim niebieskie strzałki, wskazujące od którego węzła liczone są współrzędne lokalne (położenie węzła początkowego pręta). Należy tak przesunąć mysz aby wskaźnik w oknie Widok wskazywał pręt nr 2 a niebieskie strzałki były skierowane w dół. Po naciśnięciu w tym położeniu lewego przycisku myszy w oknie Widok pokazuje się symbol siły, a w tabeli Pręty zapis wprowadzanego obciążenia (Rys. 3.113).

Rys. 3.111. Definicja obciążenia – ciężar własny

Rys. 3.112. Definicja nowego przypadku obciążenia – P w oknie Przypadki obciążeń

Przykład nr 4 81

Rys. 3.113. Definicja obciążenia – P w oknie Widok

Następnie przechodzimy do definicji kombinacji SGN (Rys. 3.114) i SGU (Rys. 3.115). Wykonujemy to za pomocą okna Definicja/zmiana kombinacji, które otwieramy z menu teksto-

wego przez wybranie opcji Obciążenia >> Kombinacje ręczne lub wskazując tę samą ikonę na bocznym pasku ikon. Po określeniu w oknie Definicja/zmiana kombinacji nazwy kom-binacji SGN1(cw+P) i typu kombinacji SGN, po naciśnięciu przycisku OK przechodzimy do okna Kombinacje, w którym wybieramy numery przypadków obciążenia, mających tworzyć daną kombinację.

Rys. 3.114. Definicja kombinacji SGN

W lewym oknie wskazujemy przypadek obciążenia (w kolumnie Numer naciskamy na od-

powiednią liczbę), następnie za pomocą klawisza przenosimy przypadek obciążenia do prawego okna Lista przypadków w kombinacji. W kombinacji SGN1(cw+P) przenosimy oby-dwa obciążenia do prawego okna. Po zaznaczeniu obciążenia w lewym oknie przed przeniesie-niem obciążenia do prawego okna możemy w wierszu Współczynnik ustalić wartość współczyn-nika inną niż zadaną w opcji auto. Po przeniesieniu obciążeń do prawego okna naciskamy przy-

82 Przykład nr 4

cisk Zastosuj. Następnie naciskamy przycisk Nowa, który uruchamia ponownie okno Defini-cja/zmiana kombinacji. W oknie tym ustalamy nową nazwę kombinacji typu SGU1(cw + P) i typu kombinacji SGU po naciśnięciu przycisku OK przechodzimy do okna Kombinacje. Dalsze kroki postępowania należy wykonać jak opisano powyżej. Po zdefiniowaniu kombinacji zamy-kamy okno przyciskiem Zamknij.

W analizowanym przypadku stworzono jedną kombinację typu SGN i jedną kombinacje typu SGU, w których uwzględniono obciążenie ciężarem własnym (cw) i siłą skupioną (P).

Rys. 3.115. Definicja kombinacji SGU

Krok 3 – wstępna analiza statyczna

Po zdefiniowaniu obciążeń możemy dokonać wstępnej analizy statycznej ustroju. Otrzy-mane wyniki nie będą ostateczne ze względu na konieczność dobrania przekrojów poprzecz-nych prętów, co w przypadku ustrojów statycznie niewyznaczalnych prowadzi do zmiany rezul-

tatów statycznych. Analizę wykonujemy wybierając z paska ikon podstawowych ikonę Rozpoczęcie obliczeń. Poprawne wykonanie obliczeń statycznych będzie potwierdzone zmianą statusu zadania z Wyniki MES: brak na Wyniki MES: aktualne (na górnej krawędzi okna pro-gramu). Krok ten jest niezbędny do rozpoczęcia wymiarowania konstrukcji.

Krok 4 – wymiarowanie konstrukcji stalowej

Przechodzimy poprzez menu definicji modelu do opcji Wymiarowanie – Wymiarowanie

stali/aluminium >> Definicje , do okna Definicje–PN-90/B-03200. W zakładce Pręty mo-żemy zweryfikować przyjęty typ pręta (Rys. 3.116).

Rys. 3.116. Sprawdzenie parametrów pręta przed wymiarowaniem w oknie Definicje

Przykład nr 4 83

W wierszu Numer: wybieramy kolejno numery elementów rozwijając ikonę natomiast w wierszu Typ pręta: ukazuje się aktualnie przyjęty typ pręta. W przypadku korekty niezbędne

jest naciśnięcie ikony w wierszu Typ pręta: oraz wybór stosownego typu pręta. Dokonany wybór akceptujemy poprzez naciśnięcie przycisku Zapisz.

Po wykonaniu tych czynności przechodzimy w oknie Definicje–PN-90/B-03200 do za-kładki Grupy. Opcja ta służy do grupowania elementów, którym w procesie wymiarowania zo-staną przypisane te same przekroje poprzeczne. Niepraktyczne byłoby zaprojektowanie kon-strukcji składającej się z wielu elementów o różnych przekrojów poprzecznych. W zadanym przykładzie przyjęto podział konstrukcji na 3 grupy elementów. Po naciśnięciu klawisza Nowy w zakładce Grupy wpisujemy w wierszu Lista prętów: 1 oraz w wierszu Nazwa: B1. W wierszu

Materiał: po naciśnięciu ikony rozwijamy listę materiałów z której przykładowo wybiera-my STAL 18G2 Niskostop.fd=305, (Rys. 3.117). Ostatnim elementem jest określenie rodziny profili, z których w procesie wymiarowania program będzie dokonać wyboru przekroju po-przecznego spełniającego wymagania normowe. Odbywa się to po naciśnięciu okienka Przekro-

je , co otworzy okno Selekcja przekrojów (patrz Rys. 3.118). W oknie tym wybie-

ramy z Bazy danych: np. Rpln_pro . Po dokonaniu wyboru w oknie Rodziny profili

ukazuje się cała gama profili dostępna w tej bazie. Po naciśnięciu ikony Symetryczny I w oknie Rodziny profili pozostają tylko przekroje symetryczne. Z okna Rodziny profili wybieramy

IN . Po naciśnięciu przycisku OK potwierdzamy dokonany wybór i zamykamy okno. Na-stępnie aby zapisać dokonane wybory w grupie należy nacisnąć przycisk Zapisz.

Po naciśnięciu klawisza Nowy w zakładce Grupy przystępujemy do tworzenia drugiej gru-py elementów. Na tym etapie zmieniamy nazwę podając np. B2 oraz listę prętów wpisując nu-mery 2 3. Po naciśnięciu przycisku Zapisz stworzyliśmy kolejną grupę, dla której w procesie wymiarowania będą przyjmowane te same przekroje poprzeczne (rodzina IN) z określonym materiałem dla grupy B1, (Rys. 3.117).

Przy tworzeniu trzeciej grupy postępujemy analogicznie, dokonując zmiany listy prętów i nazwy grupy. Do tej grupy należy tylko pręt nr 4. Zdecydowano się tu zmienić rodzinę profili na PO (pręty okrągłe), zatem po uruchomieniu okna Selekcji przekrojów naciskamy w pierwszej kolejności przycisk Usuń wszystkie celem usunięcia z okna Wybrane profile poprzedniej rodzi-

ny przekrojów poprzecznych. Następnie wybieramy z okna Bazy danych: Rpln_pro .

Po dokonanym wyborze wciskamy ikonę Rurowy w oknie Rodziny profili zaznaczamy

PO . Po naciśnięciu przycisku OK potwierdzamy dokonany wybór i zamykamy okno, (Rys. 3.118).

Po stworzeniu grup elementów, przechodzimy do okna Obliczenia – PN-90/B-03200, w którym przystępujemy do wymiarowania grup (Rys. 3.119). W wierszu Wymiarowanie grup wpisujemy numery grup 1do3, dokonaliśmy tym samym wyboru grup, dla których będą przyj-mowane przekroje poprzeczne. Po naciśnięciu przycisku Obliczenia w oknie Obliczenia-PN-90/B-03200 program przeprowadza proces wymiarowania i dobiera przekroje poprzeczne speł-niające wymagania normy (Rys. 3.120). Po naciśnięciu w tym oknie przycisku Zmień wszystkie następuje zmiana przekrojów poprzecznych.

Następnie wykonujemy ponownie obliczenia numeryczne wybierając z paska ikon podsta-

wowych ikonę Rozpoczęcie obliczeń celem uzyskania aktualnych wartości sił wewnętrz-nych (nastąpiła zmiana ciężaru własnego konstrukcji). W kolejnym kroku ponownie naciskamy przycisk Obliczenia w oknie Obliczenia-PN-90/B-03200. Kroki te należy powtarzać tak długo

84 Przykład nr 4

aż program w procesie wymiarowania nie będzie zmieniał przekrojów poprzecznych prętów, pamiętając o przeprowadzaniu obliczeń numerycznych po każdym kroku wymiarowania.

W oknie PN-90/B-03200 – wymiarowanie grup prętów po naciśnięciu proponowanego przekroju poprzecznego możemy zapoznać się ze szczegółowymi wynikami wymiarowania. W

zakładce Rezultaty dokonując wyboru profilu opisanego jako OK . aktywujemy okno WYNIKI – norma - PN-90/B-03200 (Rys. 3.121). Używając przycisków Zamknij zamykamy okna służące wymiarowania.

Jeśli znamy przekroje prętów (a nie chcemy aby program dokonał ich wyboru) możemy przejść do okna weryfikacji prętów (Rys. 3.122), gdzie dla poszczególnych elementów przed-stawione są wyniki wytężeń (stopnia wykorzystania przekroju porzecznego, kolumna Wytęż.). W oknie Obliczenia-PN-90/B-03200 w wierszu Weryfikacja prętów wpisujemy 1do4 oraz naci-skamy przycisk Obliczenia, który uruchamia okno PN-90/B-03200 – Weryfikacja prętów.

Rys. 3.117. Tworzenie grup profili

Rys. 3.118. Okno selekcji przekrojów

Przykład nr 4 85

Rys. 3.119. Okno Obliczenia – PN-90/przekrojów-03200

Rys. 3.120. Okno wymiarowania grup prętów

Rys. 3.121. Okno wyników wymiarowania dla poszczególnych grup elementów

86 Przykład nr 4

Rys. 3.122. Okno weryfikacji prętów

Krok 4 – ostateczne wyniki obliczeń statycznych

Aby przedstawić wykresy sił wewnętrznych dla kombinacji SGN, przechodzimy w menu de-finicji modelu do opcji Rezultaty >> Rezultaty. Niezbędne jest teraz dokonanie wyboru przy-padku obciążenia SGN1(cw+P) na pasku selekcji (rozwijalna ikona Przypadki). W zakładce NTM w oknie Wykresy wybieramy kolejno Siła Fx, Siła Fz, Moment My oraz naciskając każdo-razowo przycisk Zastosuj generując poszczególne wykresy (Rys. 3.123, Rys. 3.124 i Rys. 3.125).

Rys. 3.123. Wykresy sił normalnych Fx dla kombinacji SGN

Przykład nr 4 87

Rys. 3.124. Wykresy sił tnących Fz dla kombinacji SGN

Rys. 3.125. Wykresy momentów zginających My dla kombinacji SGN

Tworząc pierwszy wykres wybieramy dodatkowo opcję otwórz nowe okno. Aby otrzymać na wykresach charakterystyczne wartości należy w zakładce Parametry w oknie Wykresy ustawić opcję wyświetlania opisów (karteczki). Niezbędne może być także skalowanie wykresu, co wy-konujemy uruchamiając w oknie Wykresy opcję Normalizuj. Tabelaryczne zestawienie wartości

sił wewnętrznych przestawione na Rys. 3.126 uzyskujemy po naciśnięciu ikony Siły z bocznego paska ikon. W pasku selekcji wybieramy obciążenia SGN1(cw+P). Po zamknięciu

okna z tabelarycznym zestawieniem sił w zakładce NTM okna Wykresy dezaktywujemy aktualne wybory. Przechodzimy do zakładki Naprężenia w której aktywujemy wiersze maksy-malne - Smax i minimalne – Smin. Po naciśnięciu przycisku Zastosuj w oknie widokowym Wy-kresy otrzymujemy wykresy naprężeń od kombinacji SGN (Rys. 3.127). Aby otrzymać wykres w nowym oknie Widok należy przed zastosowaniem przycisku Zastosuj aktywować opcję otwórz nowe okno.

Po dezaktywacji opcji w wierszach naprężeń w zakładce Naprężenia i naciśnięciu przyci-sku Zastosuj przechodzimy do zakładki Deformacja w oknie Wykresy. W pasku selekcji przy-padków obciążania zmieniamy na SGU1(cw+P) oraz aktywujemy opcję Deformacja dokładna

88 Przykład nr 4

dla prętów. Po użyciu przycisku Zastosuj wykres deformacji układu od kombinacji SGU otrzy-mujemy w nowym oknie widokowym Wykresy (Rys. 3.128).

Rys. 3.126. Siły wewnętrzne w elementach dla kombinacji SGN

Rys. 3.127. Wykresy naprężeń dla kombinacji SGN

Rys. 3.128. Deformacja układu dla kombinacji SGU

Przykład nr 5 89

4 PRZYKŁADY ANALIZY UKŁADÓW POWIERZCHNIOWYCH

4.1 Przykład nr 5 – Analiza stanu naprężeń w rurze grubościennej

Wyznacz wartości maksymalnych naprężeń obwodowych i radialnych rr w ściance

grubościennej rury obciążonej równomiernym obciążeniem p = 200 kPa. Rura o wymiarach a = 2 m, b = 3 m, wykonana z betonu B30 (Rys. 4.1).

a

p=const

b

rf

srr

sff

Rys. 4.1. Geometria układu

Rozwiązanie analityczne

Dla przyjętego układu warunki brzegowe można określić w następujący sposób

0

rr

rr

r b p

r a

(4.1)

Naprężenia w ściance obliczamy z następujących relacji (patrz m.in. [14], [15])

2 2

2 22 2

2

2 2 2 2

2 2

12 2 02

rr

p a bA AAC C p

b ar rA A p bC C Cr r b a

(4.2)

otrzymujemy zatem

2 2 2 2

2 2 2 2 2 21 , 1rr

p b a p b a

b a r b a r

(4.3)

Dla przyjętej geometrii otrzymujemy następujące wyniki (Rys. 4.2)

2 2 2

2 2 2 2

0 0,2 MPa

20,72 MPa 0,52 MPa

rr rrr a r b p

p b a br a r b p

a b a b

(4.4)

90 Przykład nr 5

p a +b a -b( )/( )2 2 2 2

p

srr

sff

0

2 /( )pb a -b2 2 2

Rys. 4.2. Wykresy naprężeń

Rozwiązanie numeryczne

Krok 1 – wybór typu projektowanej konstrukcji

Z dostępnych typów wyboru projektowanej konstrukcji w oknie początkowym wybieramy Projektowanie konstrukcji w płaskim stanie odkształcenia (Rys. 4.3). Warto zwrócić uwagę na fakt, iż po wyborze tej opcji projektowania konstrukcji w programie poprzeczny wymiar jest zawsze założony jako 1 m, niezależnie od ustawienia jednostki długości w oknie Preferencje zadania. Informuje o tym też odpowiedni komunikat programu.

Rys. 4.3. Okno wyboru typu konstrukcji

Krok 2 – definicja geometrii układu i nadanie cech materiałowych

Geometrie układu definiujemy za pomocą polecenia Okrąg (Rys. 4.4) dostępnego z górne-

go menu tekstowego Geometria >> Obiekty >> Okrąg lub z bocznego paska ikon. Po uruchomieniu okna Okrąg naciskamy przyciski Geometria i Parametry , które spowodują rozwinięcie dodatkowych okien pomocnych w definicji modelu konstrukcji.

Następnie wybieramy w podoknie Metoda tworzenia opcję środek-promień . W podoknie Geometria wyświetlają się wiersze Punkt P i Promień, w których podajemy odpo-wiednio 0;0 (w odniesieniu do środka okręgu) i 3 (jako promień okręgu). W podoknie Parame-

Przykład nr 5 91

try aktywujemy opcje Dyskretyzacja i w wierszu Liczna krawędzi

ustalamy liczbę podziału okręgu na odcinki proste na 60 (Rys. 4.5a). Aktywu-

jemy opcję Panel i po naciśnięciu przycisku Zastosuj na ekranie pojawi się nam okrą-gły panel o zdefiniowanych cechach. Następnie przechodzimy do wycięcia otworu w zdefinio-wanym panelu. W tym celu używamy tej samej opcji Okrąg, w której podajemy w wierszu Punkt P 0;0 a w wierszu Promień 2. Liczbę podziału okręgu wewnętrznego na odcinki proste ustalamy na 40 (liczba krawędzi okręgu wewnętrznego została dopasowana do przyjętego ze-wnętrznego podziału tak aby długości krawędzi były w przybliżeniu równe) i aktywujemy opcję

Kontur/otwór (Rys. 4.5b). Po naciśnięciu przycisku Zastosuj i Zamknij w oknie Widoku otrzymaliśmy wizualizację rury grubościennej. Celem powiększenia widoku konstrukcji

możemy użyć ikony Widok początkowy dostępnej z paska ikon podstawowych.

Rys. 4.4. Definicja okrągłego panelu o określonej geometrii

Przechodząc w menu definicji modelu do opcji Właściwości nadajemy panelowi cechy ma-teriałowe (Rys. 4.6). W oknie Charakterystyki brył wybieramy z listy zadany materiał

. W przypadku braku wymaganego materiału w oknie Charakterystyki brył przecho-dzimy do zdefiniowania nowego materiału naciskając ikonę Definicja nowej charakterystyki

bryły . W uruchomionym oknie Definicja charakterystyk brył naciskamy przycisk Pobierz z

bazy (Rys. 4.7). W oknie Dostępne materiały w wierszu Materiał rozwijamy listę

dostępnych materiałów w bazie . Dokonujemy wyboru materiału oznaczonego jako B30 potwierdzając dokonany wybór przyciskiem OK. Następnie w oknie Definicja charakterystyk brył naciskamy przycisk Dodaj i Zamknij. Po tych czynnościach w oknie Charakterystyki brył

pojawia się oznaczenie materiału . W części Selekcja okna Charakterystyki brył wpi-sujemy 1 potwierdzając dokonany wybór przyciskiem Zastosuj.

92 Przykład nr 5

Rys. 4.5. Okno definicji Okrąg: a) definicja panelu, b) definicja otworu wewnętrznego

Rys. 4.6. Określenie właściwości materiałowych

Przykład nr 5 93

Rys. 4.7. Definicja materiału

Krok 3 – definicja podpór układu

Analizowany układ jest obrotowo symetryczny i jest obciążony obciążeniem obrotowo symetrycznym. Musimy jednak zadać mu podpory, które zapobiegną geometrycznej zmienności układu. W pierwszym etapie przechodzimy w menu definicji modelu do opcji Węzły, w której na krawędziach zewnętrznych definiujemy 3 węzły (Rys. 4.8). Wpisujemy w oknie Węzeł w wier-szu Współrzędne: kolejno 0;3 , -3;0 , 3;0 każdorazowo potwierdzając przyciskiem Dodaj.

Rys. 4.8. Definicja węzłów

94 Przykład nr 5

Rys. 4.9. Definicja podpór

Rys. 4.10. Definicja nowych podpór

Po przejściu z pomocą menu definicji modelu do opcji Podpory (Rys. 4.9) definiujemy

(ikona ) podpory przegubowe przesuwne oznaczone jako ux i uz (Rys. 4.10). W oknie

Podpory w zakładce Węzłowe wybieramy podporę ux i wskazujemy węzeł 1 w oknie Widoku (lub w wierszu Aktualna selekcja wpisujemy 1 i potwierdzamy przyciskiem Zastosuj),

następnie wybierając podporę uz wskazujemy na węzły 2 i 3. Przy określaniu podpór należy zwrócić uwagę na fakt iż zablokowane stopnie swobody nie mogą ograniczać możliwych kierunków deformacji z uwagi na przyjęty model rury grubościennej swobodnej.

Przykład nr 5 95

Krok 4 – definicja obciążenia

Obciążenie o wartości 200 kN/m2 definiujemy na krawędzi zewnętrznej rury. W tym celu konieczne jest wprowadzenie dodatkowych dwóch polilinii w kształcie półokręgów na ze-

wnętrznej krawędzi rury (Rys. 4.11). Wykorzystujemy w tym celu opcję Polilinia-Kontur (dostępną z menu tekstowego Geometria >> Obiekty >> Polilinia-Kontur), w której metodę

tworzenia określamy jako Polilinia . Należy też rozwinąć pozostałą część okna naci-skając przyciski Geometria i Parametry. W podoknie Parametry po aktywacji opcji Dyskrety-

zacja łuku w wierszu Liczba krawędzi: wpisujemy 30. W podoknie Geome-

tria wciskamy ikonę Łuk początek-środek-koniec i w oknie Widoku wskazujemy trzy punkty definiujące półokrąg pokrywające się z utworzonymi węzłami nr: 2, 1 i 3. Po tej czyn-

ności w podoknie Geometria powinien pojawić się wskazane współrzędne . Doko-nany wybór punktów potwierdzamy przyciskiem Zastosuj. Celem wizualizacji wprowadzonej polilinii niezbędne jest wybranie z paska menu tekstowego polecenia Widok >> Wyświetl … . W uruchomionym oknie Wyświetlanie atrybutów przechodzimy do zakładki ES gdzie aktywujemy opcje Numery i opisy krawędzi. Dokonany wybór potwierdzamy przyciskami Zastosuj i OK. Wprowadzona polilinia posiada opis 3_Kraw(1). Analogicznie postępujemy z wprowadzeniem drugiej polilini oznaczonej 4_Kraw(1), która wymaga wskazania w oknie Widoku punktów (-3;0;0) , (0;0;3) oraz (3;0;0).

W opcji Obciążenia dostępnej z menu definicji modelu definiujemy przypadek obciążenia o nazwie p = 200kPa. W oknie Przypadki obciążeń wybieramy w wierszu Natura: stałe oraz w wierszu Nazwa: wpisujemy p=200kPa. Po naciśnięciu przycisku Nowy na Liście zdefiniowa-nych przypadków pojawia się zadana nazwa przypadku. Konieczne może być usunięcie z tabeli Obciążenia automatycznie wygenerowanego ciężaru własnego. Po zaznaczeniu wiersza do usu-nięcia w tabeli Obciążenia naciskamy klawisz Del na klawiaturze.

Rys. 4.11. Definicja polinii na zewnętrznej krawędzi rury

96 Przykład nr 5

Rys. 4.12. Wprowadzanie obciążenia liniowego na krawędzi

Następnie wybieramy z menu bocznego ikonę Definicja obciążeń . W nowo otwar-tym oknie Obciążenie przechodzimy do zakładki Powierzchnia i wybieramy typ obciążenia

Obciążenie liniowe na krawędziach . W oknie Obciążenie liniowe na krawędziach usta-lamy wartość obciążenia na kierunku Z podając 200 i aktywujemy opcje W układzie: lokalnym

. Po naciśnięciu przycisku Dodaj w oknie Obciążenie wpisujemy w wierszu Zastosuj do liczbę 4 i naciskamy przycisk Zastosuj (Rys. 4.12). Następnie wracamy do okna Obciążenie

liniowe na krawędziach w którym dokonujemy korekty wartości obciążenia wpisując -200 (minus) potwierdzając przyciskiem Dodaj. Po powrocie do okna Obciążenie wpisujemy w wierszu Zastosuj do liczbę 3 i naciskamy przycisk Zastosuj i Zamknij.

Krok 5 – wybór opcji siatkowania i obliczenia

Przechodzony w menu definicji modelu do opcji Geometria. Uruchamiamy okno Opcje

siatkowania dostępne z górnego menu tekstowego Analiza >> Model obliczeniowy >> Opcje siatkowania (Rys. 4.13). Okno to możemy otworzyć także z paska ikon podstawowych po

naciśnięciu ikony Opcje generacji siatki ES uruchamia się nowy pasek ikon przydatny w trakcie generacji siatek elementów skończonych.

W oknie Opcje siatkowania naciskamy przycisk Opcje zaawansowane, który uruchamia okno Zaawansowane opcje siatkowania. Do wyboru mamy dwie opcje siatkowania: siatkowa-nie regularne Coonsa i nieregularne Delaunay, (Rys. 4.14). W dalszej analizie wykorzystano

opcje siatkowania Coonsa, w której aktywowano opcje Rozmiar elementu , dla której przyjęto 0.314 i jako Parametry metody Coonsa – Kwadraty w obszarze prostokąt-nym. W siatkowaniu wykorzystano czterowęzłowe czworokątne elementy powierzchniowe. Po

naciśnięciu przycisku OK wybieramy ikonę Generacja w pasku ikon dodatkowych Opcje

Przykład nr 5 97

generacji siatki ES wygenerowano siatkę elementów skończonych przedstawioną na Rys. 4.15.

Po wykonaniu tych czynności naciskamy ikonę Rozpoczęcie obliczeń na pasku ikon pod-stawowych.

Rys. 4.13. Wybór opcji siatkowania

Rys. 4.14. Okno opcji siatkowania

98 Przykład nr 5

Rys. 4.15. Podział łuku 60/40 - siatkowanie Coonsa rozmiar elementu 0,31

Krok 6 – wstępne wyniki obliczeń

Dla przyjętego w poprzednim kroku podziału konstrukcji na elementy skończone przed-stawimy wykresy naprężeń obwodowych i radialnych z wykorzystaniem opcji Przecięcia pane-li.

Po wybraniu w menu definicji modelu opcji Rezultaty >> Rezultaty mapy z bocznego pa-

ska ikon wybieramy: ikonę Wykresy w przecięciach paneli lub z górnego menu tekstowe-go Rezultaty >> Przecięcia paneli. W oknie Przecięcia paneli (Rys. 4.16) w zakładce Definicja określamy współrzędne dwóch punktów (-3;0;0) i (3;0;0), przez które przebiegać będzie prze-

cięcie (aktywna opcja ). W zakładce Szczegółowe określamy interesującą nas war-tość, która ma być pokazana na wykresie (np. Naprężenia – s/xx). Dodatkowo naciskamy przy-

cisk Kierunek X , który uruchamia okno Wybór kierunku w którym aktywujemy

opcje biegunowy . Następnie uruchamiamy opcje punkcie: dotyczącą początku promienia wodzącego podając współrzędne X = 0 i Z = 0 (Rys. 4.19). Potwierdzamy dokonany wybór przyciskiem OK. W zakładce Wykresy okna Przecięcia paneli aktywujemy

opcje , która pozwoli na przedstawienie opisów charakterystycznych wartości na wykresie. Ostatecznie po wykonaniu tych czynności naciskamy w tym oknie opcję otwórz nowe

okno i wciskamy przycisk Zastosuj, po naciśnięciu którego w nowym oknie Widok:1 zaprezentowany zostanie wykres naprężeń radialnych w zadanym przekroju (Rys. 4.17). Aby otrzymać wykres naprężeń obwodowych w zakładce Szczegółowe w oknie Przecię-cia paneli aktywujemy w wierszu Naprężenia – s kolumnę yy. Po naciśnięciu przycisku Zasto-suj w oknie Widok:1 pojawi się żądany wykres (Rys. 4.18). Porównując otrzymane wyniki z rozwiązaniem analitycznym trzeba pamiętać, że wartości pokazane na wykresach przekrojo-wych są obliczane dla punktów całkowania elementów i są interpolowane liniowo do krawędzi elementów. Stąd dość duża różnica w stosunku do rozwiązania ścisłego szczególnie w przypad-ku naprężeń radialnych.

Przykład nr 5 99

Dużo lepsze będzie tu porównanie wartości analitycznych z wartościami dla map rozkładów naprężeń. Ustawienia poszczególnych wykresów przyjmujemy tak jak to opisano powyżej dla przecięcia paneli. Wykonujemy je w oknie Mapy (Rys. 4.19). Uzyskaną mapę naprężeń radial-nych pokazano na Rys. 4.20. Podane w legendzie wartości maksymalnych i minimalnych na-prężeń są zbliżone do wartości z rozwiązania analitycznego.

Rys. 4.16. Okno Przecięcia paneli

Rys. 4.17. Naprężenia radialne – podział łuku 60/40, Coons, rozmiar elementu 0,314m

100 Przykład nr 5

Rys. 4.18. Naprężenia obwodowe – podział łuku 60/40, Coons, rozmiar elementu 0,314 m

Rys. 4.19. Przyjęcie biegunowego układu współrzędnych

Krok 7 – dobór podziału konstrukcji na elementy skończone

W następnym etapie obliczeń należy przeprowadzić analizę zbieżności rozwiązania ze względu na podział konstrukcji na elementy skończone. Metoda elementów skończonych jest metodą przybliżoną, w której w przypadku przyjęcia nieodpowiedniego podziału konstrukcji na elementy skończone (wielkości elementu skończonego) otrzymujemy błędne wyniki. Aby wy-kluczyć wpływ przyjętej wielkości elementu skończonego na otrzymane wyniki obliczeń prze-prowadzimy szereg obliczeń, w których będziemy dokonywali zagęszczenia podziału siatki

Przykład nr 5 101

MES. W przypadku analizowanej konstrukcji określenie odpowiedniej gęstości siatki MES jest związane bezpośrednio z aproksymacją okręgów zewnętrznego i wewnętrznego, które przybli-żane są odcinkami prostymi. Należy unikać przypadku w którym dzielimy ten odcinek na mniejsze elementy bez zmiany podziału łuku.

Rys. 4.20. Mapa rozkładu naprężeń radialnych – podział łuku 60/40, Coons, rozmiar elementu 0,314 m

Dla przyjętego na wstępnie podziału okręgów na 60 i 40 odcinków długość krawędzi okrę-gu wewnętrznego i zewnętrznego wynosi ok. 0,314 m. W drugim kroku obliczeń zmieniono podział okręgów na: 40 i 26, 120 i 80 oraz 240 i 160 odcinków, co odpowiadało odpowiednio długości krawędzi ok. 0,47 m, 0,15 m i ok. 0,08 m. Kolejne podziały okręgu na krawędzie roz-

poczynamy od usunięcia siatki ES (należy użyć opcji Lokalne usunięcie siatki dostępnej z górnego menu tekstowego Analiza >> Model obliczeniowy >> Lokalne usunięcie siatki). Po wskazaniu kursorem wewnętrznego okręgu naciskamy prawy klawisz myszy. W otwartym oknie wybieramy polecenie Właściwości obiektu które uruchamia okno Okrąg. W oknie Okrąg zmieniamy liczbę w wierszu Liczba krawędzi i naciskamy przyciski Zastosuj i Zamknij. W oknie Widoku winna nastąpić zmiana ‘zaokrąglenia’ okręgu. Analogicznie wykonujemy zada-nie dla okręgu zewnętrznego. Dodatkowo niezbędna jest zmiana podziału łuków (dodatkowych polilinii do których przykładane było obciążenie) tak aby odpowiadało ono przyjętemu nowemu podziałowi okręgu na krawędzie. W tym celu po wskazaniu kursorem znacznika danego łuku (3_Kraw(1) lub 4_Kraw(1)) naciskamy prawy klawisz myszy i w aktywowanym oknie wybie-ramy polecenie Właściwości obiektu które uruchamia okno Polilinia-Kontur. W parametrach dyskretyzacji łuku wpisujemy odpowiednią liczbę krawędzi. Następnie w podoknie Geometria aktywujemy wiersz w którym oprócz współrzędnych podana jest liczba podziału. Naciskając przycisk Modyfikuj i Zastosuj dopasujemy podział polilinii do podziału okręgu.

W tabeli 1 dokonano porównania otrzymanych wyników dla poszczególnych podziałów z rozwiązaniem analitycznym. Prezentowane wyniki naprężeń z analizy numerycznej zamiesz-czone w tabeli otrzymano z przecięcia panelu uzyskanego tak jak pokazano powyżej. Dodatko-wo na kolejnych rysunkach Rys. 4.21 – Rys. 4.26 przedstawiono mapy naprężeń obwodowych i radialnych dla analizowanych podziałów i wielkości elementów. Warto zwrócić uwagę że przy małych podziałach np. 60/40 i 40/26 na Rys. 4.20 i na Rys. 4.23 brak regularności w izoliniach naprężeń.

102 Przykład nr 5

Tabela 1. Wyniki analizy MES

Podział okręgów //wielkość elementu

skończonego

rr

MPa

MPa

Wynik ścisły -0,20 0,00 -0,52 -0,72 40x26//0,47 -0,20 -0,08 -0,51 -0,73 60x40//0,31 -0,18 -0,05 -0,51 -0,74

120x80//0,15 -0,19 -0,02 -0,52 -0,73 240x160//0,08 -0,20 -0,01 -0,52 -0,72

Rys. 4.21. Wykres naprężenia radialnych – podział łuku 120x80, Coons, rozmiar elementu 0,15

Rys. 4.22. Wykres naprężeń obwodowych – podział łuku 120x80, Coons, rozmiar elementu 0,15

Przykład nr 5 103

Rys. 4.23. Mapy naprężeń radialnych i obwodowych – podział łuku 40x26, rozmiar elementu 0,47

Rys. 4.24. Mapy naprężeń radialnych i obwodowych – podział łuku 60x40, rozmiar elementu 0,31

Rys. 4.25. Mapy naprężeń radialnych i obwodowych – podział łuku 120x80, rozmiar elementu 0,15

104 Przykład nr 5

Rys. 4.26. Mapy naprężeń radialnych i obwodowych – podział łuku 240x160, rozmiar elementu 0,08

Krok 8 – końcowe wyniki analizy MES

Po przeprowadzeniu analizy zbieżności rozwiązania przyjęto jako miarodajne rozwiązanie dla podziału 240x160 (rozwiązanie z najgęstszą siatką – dalsze zagęszczanie siatki nie prowadzi już do znaczącej zmiany rezultatów). Końcowe mapy naprężeń wraz z wykresami naprężeń w przecięciach panelu przedstawiono na Rys. 4.27 i Rys. 4.28.

Rys. 4.27. Rozkład naprężeń w ściance rury grubościennej – podział łuku 240x160, rozmiar ele-

mentu 0,08

Przykład nr 5 105

Rys. 4.28. Rozkład naprężeń rr w ściance rury grubościennej – podział łuku 240x160, rozmiar elemen-

tu 0,08

106 Przykład nr 6

4.2 Przykład nr 6 – Płyta

Wyznacz wartości maksymalnych przemieszczeń oraz wykresy momentów zginających dla wolnopodpartej płyty kwadratowej od obciążenia równomiernie rozłożonego na całej po-wierzchni płyty q = 2 kN/m2. Płyta ma wymiar boku a = 4,2 m i jest wykonana z betonu B30 o grubości 15 cm.

Rozwiązanie analityczne

W rozwiązaniu analitycznym płyty skorzystamy z rozwiązania typu Naviera za pomocą podwójnego szeregu Fouriera (patrz m.in. [16], [17]). Dla dowolnej prostokątnej płyty o wy-miarach a b i dla dowolnego obciążenia 1 2,q x x (Rys. 4.29) możemy je opisać następującą

funkcją

1 21 2

1 1

, sin sinmnm n

m x n xq x x a

a b

(4.5)

gdzie 1 21 2 1 2

0 0

4, sin sin

a b

mn

m x n xa q x x dx dx

a b a b

.

Rys. 4.29 Geometria płyty

Zakładamy w ogólnym przypadku rozwiązanie równania

1 241 2

,,

q x xw x x

D (4.6)

gdzie 3

212 (1 )

E hD

(sztywność płytowa),

w postaci

1 21 2

1 1

, sin sinmnm n

m x n xw x x w

a b

(4.7)

spełniające warunki brzegowe swobodnego podparcia. Podstawiając do równania różniczkowe-go otrzymujemy związek

Przykład nr 6 107

22 2

mn mn

m nD w a

a b

(4.8)

Dokonując przekształceń i podstawień otrzymujemy

1 2 22 2

1 21 2 4 22 2

1 1

,

1, sin sin

mnmn

mnmn

m n

aw x x

m nD

a b

a m x n xw x x

a bD m n

a b

(4.9)

Przyjmując stałą wartość obciążenia 1 2,q x x q otrzymujemy

1 21 2 6 22 2

1 1

16 1, sin sinmn

m n

m x n xqw x x

a bD m nm n

a b

(4.10)

dla , 1,3,5,7,m n .

Wyznaczamy zatem maksymalne przemieszczenie 1 2,2 2

a bw x x

1

2

1 2 6 22 21 1

116,

2 2

m n

m n

a b qw x x

D m nm n

a b

(4.11)

Przyjmując dodatkowo, że a = b, oraz m = n = 1 otrzymujemy

4 4

max 1 2 6

16 1, 0,00416

2 2 4

a b q a q aw w x x

DD

(4.12)

W pracy [18] można znaleźć inne rozwiązanie(zapisane w osiach x3, x2 Rys. 4.29)

3 2

4

2 2 2 35 5

( , )

4 1 11 2 tgh cosh sinh sin

2 22cosh2

n nn n n n

nn

w x x

b bqax x x x

bD n

(4.13)

gdzie:

1,3,5 n

nn

a

108 Przykład nr 6

Dla płyty kwadratowej (a = b) przyjmując jeden wyraz szeregu (n = 1) daje on wartość ugięcia

w środku płyty ( 3 21 ; 02x a x ) otrzymuje się z niego wartość ugięcia

4

max 0,00406qa

wD

(4.14)

Z rozwiązania tego wartości momentów zginających

3

2

3 2

2

2 2 2 33 3

2

2 2 2 33 3

4 1 1 21 tgh cosh sinh sin

1 2 22cosh2

4 1 1 2tgh cosh sinh sin

1 2 22cosh2

2

x

n nn n n n

nn

x

n nn n n n

nn

x x

m

b bqa vx x x x

bn

m

b bqa vx x x x

bn

m

2

32 2 23 3

cos11 1 tgh sinh cosh

2 2cosh2

n n nn n n

nn

x b bqax x x

bn

(4.15)

Dla płyty kwadratowej obciążonej równomiernym obciążeniem q wartość przęsłowego momen-tu zginającego wynosi

3 2

2max max 0,0475x xm m qa (4.16)

Główne momenty zginające można obliczyć ze wzoru

3 2 3 2 3 2

2 2

11,221 1 42 2x x x x x xm m m m m m (4.17)

Dla punktów na przekątnej płyty kwadratowej gdzie 3 2x xm m otrzymujemy

3 3 211,22 x x xm m m (4.18)

Wykres momentów zginających otrzymanych z powyższego rozwiązania przedstawiono na Rys. 4.30.

Przykład nr 6 109

Rys. 4.30. Momenty zginające w płycie kwadratowej obciążonej równomiernie

Dla przyjętego betonu B30 i grubości płyty h = 0,15 cm sztywność płytowa wynosi

33

2 2

31000000 kPa 0,15 m 104625 kNm9082 kNm

11,5212 (1 ) 12 1 0,2

E hD

(4.19)

Dla przyjętych wymiarów płyty i obciążenia otrzymujemy wyniki

3

4 44

max

2 2max

2 211

2 4,20,00406 0,00406 2,78 10 m

9082

0,0475 0,0475 2 4,2 1,68 kNm

0,0297 0,0297 2 4,2 1,05 kNm

x

q aw

D

m q a

m q a

(4.20)

W publikacji [6] dla sześciu różnych schematów podparcia płyt prostokątnych znajdziemy w tabelach wyniki dla momentów zginających i przemieszczeń w charakterystycznych punktach płyty.

Rozwiązanie numeryczne

Krok 1 - definicja geometrii

Z dostępnych typów analizy konstrukcji w oknie początkowym programu wybrano Projek-towanie płyty (Rys. 4.31). Po dokonaniu wyboru typu projektowania konstrukcji program auto-matycznie przechodzi do opcji Geometria dostępnego z menu definicji modelu. Wybierając iko-

nę Obrót, powiększenie, przesunięcie (wybraną z menu ikon podstawowych) wciskamy środkowy klawisz myszy (aktywuje się opcja przesuń) i przesuwamy kursor myszy tak aby w

110 Przykład nr 6

lewym prawym roku widoczny był opis podziałki 0.00 dla osi X globalnego układu współrzęd-nych i 0.00 osi Y. Następnie kręcąc rolką myszki (po aktywacji opcji Powiększe-nie/pomniejszenie) tak aby na osi Y widoczny był zakres od 0.00 do 4.2. Gdy mysz nie ma rolki można ten sam efekt uzyskać zmieniając powiększenie. Dokonujemy korekty ustawienia po-działki opcją Przesuń. Alternatywnym rozwiązaniem może być określenie osi konstrukcji.

Rys. 4.31. Wybór typu konstrukcji

Uruchamiając ikonę Polilinia-Kontur z bocznego paska ikon (lub wybierając z gór-nego menu tekstowego Geometria >> Obiekty >> Polilinia–kontur) aktywujemy okno Polilinia-Kontur (Rys. 4.32), w którym rozwijamy dodatkowe okno przyciskiem Geometria .

W oknie Polilinia-Kontur winna być wybrana opcja i w części Geometria opcja Od-

cinek . Wskazujemy następnie kursorem myszy w oknie Widok współrzędne punktów narożnych płyty (potwierdzając wybrany punkt lewym klawiszem myszy). Po wskazaniu czte-rech punktów narożnych aby stworzyć kontur wskazujemy ponownie punkt początkowy, (Rys. 4.33).

Wprowadzenie konturu może odbywać się także w oknie Polilinia–kontur (Rys. 4.32) w którym wpisujemy z klawiatury kolejno współrzędne narożników płyty 0;0 , 4.2;0 , 4.2;4.2 , 0;4.2 każdorazowo potwierdzając parę wartości przyciskiem Dodaj. Po wprowadzeniu współ-rzędnych wciskamy przycisk Zastosuj i Zamknij. W oknie Widok pojawi się obrys płyty.

Rys. 4.32. Okno Polilinia-Kontur

Przykład nr 6 111

Rys. 4.33. Definicja konturu

Krok 2 - definicja właściwości materiałowych i cech geometrycznych

Stworzonemu obszarowi (konturowi) nadajemy cechy materiałowe i geometryczne, (Rys. 4.34). Uruchamiając okno Panel (dostępne z menu tekstowego po wybraniu Geometria >> Pa-

nele lub bocznego paska ikon ikona Panele ) wybierajmy przycisk w linii Grubość:. Pozwala nam to na aktywacje okna Nowa grubość. W oknie tym ustalamy grubość płyty na 15 cm (wiersz Gr= wpisujemy 15) oraz przyjmujemy materiał z którego wykonana jest płyta B30

(w wierszu Materiał: naciskamy przycisk , który rozwija nam dostępną bazę materiałów, z której wybieramy B30). Po zmianie nazwy (GR15_B30) w wierszu Etykieta: naciskamy w oknie Nowa grubość przyciski Dodaj oraz Zamknij i przechodzimy ponownie do okna Panel. W linii Grubość pojawiła się nam nazwa ustalonych cech panelu (GR15_B30). Opcję Zbrojenie pomijamy, gdyż nie przewidujemy wyliczania zbrojenia. Jeśli korzystamy z programu Robot Millenium w wersji 2010 to musimy jeszcze ustalić właściwy model generowanego panelu. W wierszu Model: zmieniamy domyślą opcję na powłoka. W następnym etapie nadajemy cechy geometryczno-materiałowe obszarowi poprzez wykorzystanie w oknie Panel opcji punkt we-wnętrzny , wskazując myszą dowolny punkt w obrębie zadanego konturu w oknie Widok (Rys. 4.35). Naciskając przycisk Zamknij zamykamy okno Panel.

112 Przykład nr 6

Rys. 4.34. Definicja panelu

Rys. 4.35. Nadanie cech geometryczno-materiałowych

Krok 3 – przyjęcie warunków brzegowych

Po przejściu do opcji Podpory w menu definicji modelu uruchamiamy ikonę Definicja no-

wej podpory ,która otwiera okno Definicja podpory. W wierszu Etykieta: wpisujemy uz oraz

w kolumnie Zablokowane kierunki aktywujemy UZ . Naciskając przyciski Dodaj i Za-

Przykład nr 6 113

mknij wracamy do okna Podpory (Rys. 4.36). Mając aktywną podporę w zakładce Liniowe wskazujemy w oknie Widok kolejno wszystkie krawędzie płyty.

Rys. 4.36. Definicja podpory

Krok 4 – podział konstrukcji na elementy skończone

Na tym etapie obliczeń niezbędne jest dokonanie podziału konstrukcji na elementy skoń-

czone. Uruchamiamy okno Opcje siatkowania dostępne z górnego menu tekstowego Ana-liza >> Model obliczeniowy >> Opcje siatkowania. W oknie Opcje siatkowania naciskamy przycisk Opcje zaawansowane, który uruchamia okno Zaawansowane opcje siatkowania. W programie użytkownik ma do dyspozycji dwie metody siatkowania Coonsa (generacja siatek regularnych) i Delaunay’a (generacja siatek nieregularnych). W przypadku analizowanej kon-strukcji wybieramy opcję siatkowania Coonsa (Rys. 4.37), w której aktywowano wariant Użyt-

kownika i przyjęto Podział 1: i Podział 2: równy 2. Wybrano typ podziału obsza-ru jako Kwadraty w obszarze prostokątnym. W siatkowaniu wykorzystano czterowęzłowe

czworokątne elementy powierzchniowe. Wykorzystując opcję Generacja (wybierając z menu tekstowego Analiza >> Model obliczeniowy >> Generacja), generujemy siatkę MES o zadanych parametrach metody (Rys. 4.38).

114 Przykład nr 6

Rys. 4.37. Okno - Zaawansowane opcje siatkowania

Rys. 4.38. Generacja siatki metody elementów skończonych

Krok 5 – przyjęcie obciążeń

Deklaracja typu i wartości obciążeń odbywa się po wybraniu opcji Obciążenia w menu de-finicji modelu. W oknie Przypadki obciążeń definiujemy nowy typ obciążenia, wybierając Na-tura: stałe, Numer: 1, Nazwa: q. Po naciśnięciu Nowy na liście zdefiniowanych przypadków obciążenia pojawi się nowy zdefiniowany przypadek. (Niezbędne będzie z tabeli Obciążenia usunięcie automatycznie wygenerowanego typu obciążenia ciężarem własnym. Wskazując wiersz w tablicy Obciążenia naciskamy klawisz Del na klawiaturze). Następnie przechodzimy

do menu tekstowego i wybieramy Obciążenia >> Definicja obciążeń . Z okna Obciążenie

Przykład nr 6 115

wybieramy następnie zakładkę Powierzchnia oraz ikonę Obciążenie powierzchniowe jednorod-

ne . W uruchomionym oknie Obciążenie jednorodne wprowadzamy żądaną wartość ob-ciążenia -2 (znak minus ze względu na zwrot globalnej osi Z) w wierszu Z: oraz naciskamy klawisz Dodaj. (Rys. 4.39) Po powrocie do okna Obciążenie wskazujemy kursorem w oknie Widok panel do którego ma być przyłożona zadana wartość obciążenia lub w oknie Obciążenie, w wierszy Zastosuj do wpisujemy numer panelu 1 i naciskamy klawisz Zastosuj. Po wykonaniu tych czynności przechodzimy poprzez menu definicji modelu do opcji Geometria.

Rys. 4.39. Przyjęcie obciążenia statycznego

Krok 6 – wybór typu analizy i obliczenia

Ponieważ mamy wykonać standardowe obliczenia liniowe z górnego paska ikon podsta-

wowych wybieramy ikonę Obliczenia/parametry analizy . Na górnej krawędzi okna pro-gramu pojawi się opis Wyniki MES: aktualne.

Krok 7 – wstępne wyniki obliczeń

Wybieramy w menu definicji modelu opcję Rezultaty >> Rezultaty mapy. W oknie Mapy w zakładce Szczegółowe w wierszu Przemieszczenia u,w aktywujemy kolumnę z lub w wierszu Momenty – M kolumnę xx. Sporządzając pierwszą mapę zaznaczmy opcję otwórz nowe okno z pokazaną skalą. Po naciśnięciu przycisku Zastosuj w nowym oknie pojawiają się mapy prze-mieszczeń lub w drugim przypadku momentów zginających. W przypadku przemieszczeń, z uwagi na ich małe wartości, należy jeszcze zwiększyć dokładność pokazywania wyników. Wy-konujemy to wybierając z menu tekstowego opcję Narzędzia >> Preferencje zadania.... Na-stępnie w oknie Preferencje zadania rozwijamy zakładkę Jednostki i formaty, wybieramy Inne i

ikoną w linii Przemieszczenia liniowe zmieniamy dokładność do czterech cyfr po przecin-ku.

116 Przykład nr 6

Rys. 4.40. Okno przecięcia paneli – wykorzystywane zakładki

Rys. 4.41. Mapa i wykres przemieszczeń pionowych – Coons, podział 2x2

Przykład nr 6 117

Dodatkowo wykorzystując opcje Przecięcia paneli (dostępna z bocznego paska ikon

) definiujemy nowe przecięcie przez panel. W oknie Przecięcia paneli (Rys. 4.40) w za-kładce Definicja określamy współrzędne dwóch punktów, przez które przebiegać będzie prze-

cięcie (aktywna opcja , punkty: 0; 2.1 , 4.2; 2.1). W zakładce Szczegółowe określamy interesującą nas wartość, która ma być pokazana na wykresie. W zakładce Wykresy aktywujemy opcje , która pozwoli na przedstawienie opisów charakterystycznych wartości na wykresie. Potwierdzamy dokonany wybór przyciskiem OK. (Rys. 4.41 i Rys. 4.42)

Rys. 4.42. Mapa i wykres momentów zginających Mxx – Coons, podział 2x2

Krok 8 - dobór podziału konstrukcji na elementy skończone

Celem ustalenia końcowych wyników obliczeń należy przeprowadzić analizę zbieżności wyników ze względu na podział konstrukcji na elementy skończone. Obliczenia numeryczne przeprowadzono dla siedmiu wariantów (Tabela 2), różniących się między sobą stopniem po-działu krawędzi, który był związany bezpośrednio z liczbą elementów skończonych. W oknie Zaawansowane opcje siatkowania (Rys. 4.37) zmieniamy kolejno wartości podziałów w wier-

118 Przykład nr 6

szach Podział 1: i Podział 2: po czym generujemy nową siatkę ES ( Generacja) i wykonu-

jemy obliczenia ( Obliczenia/parametry analizy). Ostateczne wyniki analiz zebrano w tabeli 2. Graficzną interpretację krzywych zbieżności

rozwiązania przedstawiono na Rys. 4.43 i Rys. 4.44. Liczbę elementów skończonych możemy odczytać po uruchomieniu opcji z menu tekstowego Analiza >> Raport z obliczeń >> Notka skrócona gdzie w podpunkcie Opis struktury w wierszu Elementy skończone powierzchniowe: odczytujemy liczbę elementów.

Tabela 2. Wyniki analizy MES – Metoda siatkowania Coonsa

Podział konstrukcji na elementy skończone

wmax [cm]

3 maxxm

[kNm]

m11

[kNm]

Wynik analityczny 0,0278 -1,68 1,05 2x2 0,0260 -2,02 0,55 4x4 0,0278 -1,64 0,94 8x8 0,0280 -1,59 1,07

16x16 0,0282 -1,58 1,12 32x32 0,0286 -1,59 1,26 64x64 0,0289 -1,60 1,24

128x128 0,0290 -1,60 1,23

liczba elementów skończonych0 4000 8000 12000 16000

prze

mie

szcz

enie

w [

cm]

0,022

0,024

0,026

0,028

0,030

krzywa zbieżnościrozwiązanie teoretyczne

Rys. 4.43. Analiza zbieżności rozwiązania – przemieszczenia

Przykład nr 6 119

liczba elementów skończonych0 4000 8000 12000 16000

mom

ent M

[kN

m]

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

krzywa zbieżnościrozwiązanie teoretyczne

Rys. 4.44. Analiza zbieżności rozwiązania – maksymalny moment przęsłowy

Krok 9 - rezultaty

Na podstawie przeprowadzonej analizy zbieżności podziału konstrukcji na elementy skoń-czone przyjęto jako miarodajny podział krawędzi na 64x64. Ostateczne wyniki analizy nume-rycznej przedstawiono na Rys. 4.45 i Rys. 4.46. Wyniki prezentowane są z aktywną opcją Re-dukcja sił nad słupami i ścianami, patrz Rys. 4.47.

Rys. 4.45. Mapa i wykres momentów zginających 3xm i m11 – Coons, podział 64x64

120 Przykład nr 6

Rys. 4.46. Mapa i wykres przemieszczeń pionowych – Coons, podział 64x64

Rys. 4.47. Okno Mapy –zakładka Parametry

Wybranie tej opcji powoduje spowoduje zmniejszenie wartości momentu nad podporą do wartości momentu na krawędzi sąsiadującego elementu.

Przykład nr 7 121

4.3 Przykład nr 7 – Tarcza

Dane jest pasmo tarczowe o schemacie statycznym przedstawionym na Rys. 4.48. Tarcza wykonana z betonu B30. Przyjmij grubość tarczy t = 20 cm, szerokości i wysokości l = h = 4 m oraz szerokość podpór c = 0,4 m. Wartość obciążenia równomiernie rozłożonego przyłożonego na dolnej krawędzi wynosi p = 500 kN/m.

Należy wyznaczyć od zadanego obciążenia p wykresy i mapy naprężeń normalnych po-ziomych x i pionowych y w strefie podporowej i przęsłowej. Generując siatki MES wyko-

rzystana zostanie metoda siatkowania Coonsa i Delaunay’a.

l c

h

c

p

Rys. 4.48. Pasmo płytowe – schemat statyczny

Rozwiązanie numeryczne.

Krok 1 – definicja geometrii i cech geometryczno materiałowych

Na wstępie dokonujemy wyboru typu projektowanej konstrukcji. W oknie wyboru typu konstrukcji widocznym po uruchomieniu programu zaznaczamy: Projektowanie konstrukcji w

płaskim stanie naprężenia . Program automatycznie przechodzi w menu definicji modelu do

opcji Geometria. Z bocznego paska ikon wybieramy ikonę Polilinia-Kontur , która otwiera okno Polilinia-Kontur. Po rozwinięciu dodatkowego okna przyciskiem Geometria

sprawdzamy, czy aktywowana jest opcja Odcinek oraz opcja Kontur . W rozpa-trywanym przypadku mamy do czynienia z pasmem tarczowym, które ograniczamy do 4 seg-mentów o wymiarach 4 m x 4 m (l x h) każdy. Po ustawieniu opisanych powyżej opcji w oknie Polilinia-Kontur wskazujemy w oknie Widoku poszczególne punkty narożne stanowiące obrysu poszczególnych krawędzi tarczy (Rys. 4.49). Używając dodatkowo środkowego klawisza my-szy (wciśnięcie klawisza umożliwia przesunięcie zakresu podziałki, natomiast obrót rolką muszki powoduje przybliżenie lub oddalenie podziałki) możemy ustawić odpowiednie zakresy widoczności w oknie Widok. Można też alternatywnie zdefiniować odpowiednie osie konstruk-cyjne, które ułatwią narysowanie konturu. Użytkownik na bieżąco winien kontrolować wskaza-ne współrzędne w oknie Polilinia-Kontur. W przypadku błędne wskazanej współrzędnej należy zaznaczyć wiersz z tymi współrzędnymi i nacisnąć przycisk Usuń.

W kolejnym kroku przechodzimy do nadawania cech geometryczno-materiałowych wyod-

rębnionym konturami obszarom. Wykorzystujemy w tym celu ikonę Panel dostępną na bocznym pasku ikon. W wersji programu Robot 2010 zaczynamy od przyjęcia modelu panelu.

Należy przyjąć w wierszu Model opcję powłoka . W wersji niższej programu ta opcja jest

122 Przykład nr 7

przyjęta automatycznie. Otwieramy teraz okno Nowa grubość (wybierajmy przycisk w wierszu Grubość:), w którym ustalamy nazwę schematu grubości w wierszu Etykieta: GR20_B30, grubość panelu ma mieć 20cm co podajemy w wierszu Gr= i materiał B30 (w wierszu Materiał:), (Rys. 4.50). Po ustaleniu nowej grubości naciskamy przycisk Dodaj i Za-mknij. Po przejściu do okna Panel aktywowana jest opcja tworzenia poprzez punkt wewnętrzny (Rys. 4.50). Wskazując następnie dowolny punkt wewnętrzny w obrębie konturu nadajemy po-szczególnym obszarom przypisane cechy geometryczno-materiałowe, (Rys. 4.51).

Rys. 4.49. Definiowanie konturu

Rys. 4.50. Okno Panel (Robot wersja 2010) i Nowa grubość

Przykład nr 7 123

Rys. 4.51. Nadawanie cech geometryczno – materiałowych

Krok 2 – definicja podpór i obciążenia

Pozostając w opcji Geometria w menu definicji modelu uruchamiamy okno Polilinia-

Kontur (ikona z bocznego paska ikon), w której aktywujemy opcję Linia (Rys. 4.52). Tworzymy dodatkowe linie, odcinki w miejscach w których znajdować się będą podpory linio-we. W podoknie Geometria podajemy kolejno współrzędne w wierszach Punkt P1 i Punkt P2 wszystkich pięciu dodatkowych krawędzi liniowych potwierdzając każdorazowo wprowadzone współrzędne przyciskiem Zastosuj. Celem wizualizacji wprowadzonych linii uruchamiamy okno Wyświetlanie atrybutów (wybierając z górnego menu tekstowego Widok >> Wyświetl…), w którym po przejściu do zakładki ES uruchamiamy opcję Numery i opisy krawędzi. W oknie Widok pojawią się opisy dodatkowych linii 5_Kraw(1), 6_Kraw(1), 7_Kraw(1), 8_Kraw(1), 9_Kraw(1).

Przechodzimy do definicji podpór wybierając z menu definicji modelu opcję Podpory. W oknie Podpory w zakładce Liniowe wybieramy podporę przegubową nieprzesuwną oznaczoną jako Przegub . W wierszu Aktualna selekcja wpisujemy 5do9 oraz potwierdzamy wybór przyciskiem Zastosuj (Rys. 4.53) lub w oknie Widok wskazujemy zdefiniowane linie, które mają służyć do umiejscowienia podpór.

W następnym kroku przechodzimy przez menu definicji modelu do opcji Obciążenia. W oknie Przypadki obciążeń definiujemy nową nazwę przypadku wybierając odpowiednio Natu-ra: stałe, Nazwa: p. Potwierdzamy dokonany wybór przyciskiem Nowy (jeżeli to konieczne z tabeli Obciążenia usuwamy wygenerowany automatycznie przypadek obciążenia ciężarem wła-

snym). Po aktywacji przypadku obciążenia p w oknie zdefiniowanych przypadków

uruchamiamy okno Obciążenie (ikona Definicja obciążeń w prawym pasku ikon). Prze-chodzimy do zakładki Powierzchnia i wybieramy opcję Obciążenie liniowe na krawędziach

, gdzie w kolumnie P na kierunku Z: wpisujemy wartość obciążenia -500 (Rys. 4.54). Po

124 Przykład nr 7

naciśnięciu przycisku Dodaj przechodzimy w oknie Widoku do wskazywania wszystkich dol-nych krawędzi tarcz, na które ma być przyłożone obciążenie (Rys. 4.55). Po wykonaniu tych czynności przechodzimy w menu definicji modelu do opcji Geometria.

Rys. 4.52. Tworzenie linii w miejscach podpór

Rys. 4.53. Definicja podpór liniowych

Przykład nr 7 125

Rys. 4.54. Definicja obciążenia liniowego na krawędzi

Rys. 4.55. Przykładanie obciążenia na dolne krawędzie tarcz

Krok 3 – dobór podziału konstrukcji na ES

Następnym etapem tworzenia modelu jest odpowiednia dyskretyzacja tarcz na elementy skończone. Będziemy testowali dwie dostępne metody tworzenia siatek Coonsa i Delaunay’a. Przed przystąpieniem do obliczeń należy sprawdzić kierunki lokalnych układów współrzędnych

w panelach, Rys. 4.56. Wybieramy z paska ikon widoku atrybutów ikonę Układy lokalne

lub w po wybraniu ikony w pasku ikon i atrybutów w oknie Wyświetlanie atrybutów, w zakładce Konstrukcja aktywujemy opcję Układ lokalny paneli i okładzin. W przypadku, gdy kierunki lokalnych układów nie są zgodne, należy dokonać korekty orientacji układu lokalnego Rys. 4.57. Uruchamiamy z górnego menu tekstowego Geometria >> Charakterystyki >> Kieru-

nek lokalny paneli okno Orientacja układu lokalnego. W oknie tym aktywujemy opcje Definicja kierunku lokalnej osi X, w kartezjańskim układzie współrzędnych. Następnie podając wektor kierunkowy nowej osi X (wpisać współrzędne: 1; 0) i numery paneli lub słowo wszy, w

126 Przykład nr 7

celu zmiany dla wszystkich paneli (w wierszu Panele: wszy), których ma dotyczyć zmiana, na-ciskamy przycisk Zastosuj. Spowoduje to, że w oknie Widok nastąpi zmiana kierunku układów lokalnych.

W pierwszej kolejności testowana będzie metoda siatkowania Coonsa. Po wybraniu z gór-

nego paska ikon podstawowych ikony Opcje generacji siatki ES uruchamia się nowy pa-sek ikon, który wykorzystywany będzie w trakcie generacji siatek ES. Z tego paska wybieramy

ikonę , która aktywuje okno Opcje siatkowania. Wciskając przycisk Opcje zaawansowane, który uruchamiamy okno Zaawansowane opcje siatkowania. W oknie tym ustalamy parametry

podziału (Rys. 4.58). Aktywujemy opcję siatkowania Coons , zmieniamy opcje gene-

racji siatki na Użytkownika i wpisujemy w wierszach Podział 1 i Podział 2 liczby 20 (przyjęty podział dla pierwszego wariantu obliczeń). Wybieramy także opcje Kwadraty w

obszarze prostokątnym oraz opcje Wygładzanie

. W siatkowaniu wykorzystano czterowęzłowe czworokątne elementy po-wierzchniowe. Po naciśnięciu przycisku OK wybieramy z paska ikon Opcje generacji siatki ES

ikonę Generacja .

Rys. 4.56. Sprawdzenie kierunków lokalnych układów współrzędnych

Przykład nr 7 127

Rys. 4.57. Okno zmiany kierunku lokalnego układu współrzędnych

Rys. 4.58. Okno zaawansowanych opcji siatkowania

Rys. 4.59. Siatkowanie Coons podział 20x20

Z zastosowaniem tych opcji wygenerowano regularną siatkę przedstawioną na Rys. 4.59. W kolejnych krokach obliczeń zwiększano podział krawędzi każdorazowo przeprowadza-

jąc obliczenia (ikona Rozpoczęcie obliczeń w pasku ikon podstawowych). Aby otrzymać wykres naprężeń w dowolnym przekroju, po wybraniu w menu definicji

modelu opcji Rezultaty mapy, z bocznego paska ikon wybieramy ikonę Wykresy w przecięciach

paneli . W uruchomionym oknie Przecięcia paneli (Rys. 4.16) w zakładce Definicja okre-ślamy współrzędne dwóch punktów, przez które będzie przebiegać przecięcie (można określić

128 Przykład nr 7

więcej niż jeden przekrój – ich zestawienie będzie widoczne w zakładce Przecięcia). W zakład-ce Szczegółowe określamy interesującą nas wartość, która ma być pokazana na wykresie (należy zwrócić uwagę w jakim układzie współrzędnych będą pokazywane wykresy). W zakładce Wy-kresy aktywujemy opcję , która pozwoli na przedstawienie opisów charakterystycz-nych wartości na wykresie, oznaczmy, że wykres ma być generowany w płaszczyźnie paneli –

Położenie wykresu – oraz że wygenerowane wykresy mają być wypełnione

(Wypełnienie – ). Po wybraniu dla pierwszego tworzonego wykresu opcji otwórz no-we okno tworzymy wykres przyciskiem OK. Aby wykresy były dobrze widoczne likwidujemy pokazywanie siatki elementów skończonych wybierając z ikon widoku atrybutów nowego okna

Widok:1 opcję . Mapę naprężeń wygenerujemy w tym samym oknie aktywując w oknie Mapy w wierszu Naprężenia – s opcję xx lub yy – zależnie od tego który wykres był wybrany przy budowaniu wykresu na przekroju. Wciskamy przycisk Zastosuj, co spowoduje dodanie w oknie Widok:1 mapy naprężeń. Szczegółowe mapy i wykresy dla podziału 20x20 przestawiono na Rys. 4.60, Rys. 4.61 i Rys. 4.62.

Rys. 4.60. Naprężenia x – Coons podział 20x20

Rys. 4.61. Naprężenia y – Coons podział 20x20

Przykład nr 7 129

Rys. 4.62. Przemieszczenia pionowe – Coons podział 20x20

Wyniki ekstremalnych wartości otrzymanych z wykresów w przecięciach podporowym i przęsłowym przedstawiono w tabeli 3.

Tabela 3. Metoda siatkowania Coons’a

Podział (liczba el.)

Wartość podporowa [MPa] Wartość przęsłowa [MPa] Uz [cm]

x y x y Wart. pod-porowa

Wart. przęsłowa

20x20 (1600)

-2,07/0,89 -10,34 2,21/-0,67 2,58 -0,0313 -0,0461/-0,0322

40x40 (6400)

-3,33/1,03 -12,34 2,21/-0,68 2,54 -0,0333 -0,0481/-0,0342

60x60 (14400)

-3,78/1,07 -13,03 2,21/-0,68 2,53 -0,0340 -0,0488/-0,0349

80x80 (25600)

-3,84/1,09 -13,43 2,21/-0,69 2,52 -0,0343 -0,0492/-0,0353

Warto zwrócić uwagę na zgodność wszystkich wyników dla różnych podziałów z wyjąt-

kiem naprężeń w rejonie podpór. Naprężenia te nie mogą być jednak brane pod uwagę przy ocenie siatki, gdyż w punktach gdzie są przyłożone siły skupione (a takimi punktami są też podpory) następuje koncentracja naprężeń, które o otoczeniu sił skupionych dążą do nieskoń-czoności. Zmniejszanie rozmiaru elementów powoduje stopniowe zbliżanie się punktów, w których są liczone naprężenia do punktów w których teoretyczna wartość naprężenia wynosi nieskończoność. Dlatego pojawia się zjawisko wzrostu naprężenia przy zmniejszaniu oczka siatki elementów.

Dla porównania przeprowadzono podobny zestaw obliczeń generując siatkę metodą De-launay+Kang. Tym razem jako parametr decydujący o wielkości elementów przyjęto długość boku elementu najbliższego emiterowi H0 i zmieniano ją zakresie od 0.2 do 0.01 m. Dostęp do opcji generacji siatki uzyskujemy w sposób opisany powyżej. W oknie Zaawansowanych opcji

siatkowania aktywujemy opcję . W wierszach Podział 1 i Podział 2 wpisujemy 1 i wybieramy w zakładce Parametry metody Delaunay’a opcję Delaunay+Kang

. Aktywujemy opcję automatycznego wstawiania emiterów (W punktach cha-rakterystycznych paneli i W węzłach podporowych). Przyjmujemy początkową wartość długości boku elementu H0 = 0.2 m, H max = 0.5 m (maksymalna długość boku elementu) i Q = 1.2 (współczynnik zwiększający rozmiar kolejnych elementów skończonych) (Rys. 4.63). Po naci-

130 Przykład nr 7

śnięciu przycisku OK, z górnego menu tekstowego wybieramy Analiza >> Model obliczeniowy

>> Generacja . Wygenerowaną siatkę dla H0 = 0.2 m przedstawiono na Rys. 4.64.

Rys. 4.63. Parametry metody Delaunay+Kang

Rys. 4.64. Siatkowanie Delaunay’a H0 = 0.2 m

Tabelaryczne zestawianie wyników ekstremalnych wartości odczytanych z wykresów przedstawiono w tabeli 4. Szczegółowe mapy i wykresy dla H0 = 0,01 m przestawiono na Rys. 4.65, Rys. 4.66 i Rys. 4.67. Porównanie wyników dla metody Coonsa w tabeli 3 i dla metody Delaunay’a-Kanga wskazuje, że lepsza dokładność została osiągnięta dla pierwszej metody. Spowodowane jest to faktem przyjęcia dużej wartości maksymalnego boku elementu H max w tej drugiej metodzie.

Przykład nr 7 131

Tabela 4. Metoda siatkowania Delaunay+Kang

Ho (liczba el.)

Wartość podporowa [MPa] Wartość przęsłowa [MPa] Uz [cm]

x y x x Wart. pod-porowa

Wart. przęsłowa

0,20 (452)

-2,05/0,85 -10,21 2,11/-0,58 2,61 -0,0299 -0,0307/-0,0443

0,1 (788)

-3,14/1,01 -11,80 2,11/-0,64 2,61 -0,0317 -0,0326/-0,0462

0,05 (1244)

-3,56/1,05 -13,00 2,17/-0,64 2,60 -0,0331 -0,0349/-0,0477

0,01 (2440)

-3,85/1,14 -13,76 2,14/-0,67 2,61 -0,0334 -0,0485/-0,0348

Rys. 4.65. Naprężenie x – siatkowanie Delaunay+Kang H0 = 0,01 m

Rys. 4.66. Naprężenie y – siatkowanie Delaunay+Kang H0 = 0,01 m

132 Przykład nr 7

Rys. 4.67. Przemieszczenia pionowe – siatkowanie Delaunay+Kang H0 = 0,01 m

Krok 4 – końcowe wyniki obliczeń

Z uwagi na opisane powyżej niedokładności wyników dla zastosowanej siatki Delaunay’a–Kanga postanowiono zmniejszyć maksymalną długość elementu H max do wartości 0,1 m i zmniejszyć parametr prędkości zmiany długości boku elementu Q na 1,1. Zrezygnowano także z emiterów w charakterystycznych punktach paneli, a w zamian wprowadzono emitery na koń-cach odcinków podporowych. Rozpocząć należy od usunięcia dotychczasowego siatkowanie

ikoną Lokalne usunięcie siatki z paska Opcji generacji siatki ES. Zmiany musimy rozpo-

cząć od ikony Opcje siatkowania z tego samego paska, która aktywuje okno Opcje siat-kowania. Wciskając przycisk Opcje zaawansowane, który uruchamiamy okno Zaawansowane opcje siatkowania. Następnie korygujemy Parametry metody Delaunay’a zgodnie z Rys. 4.68. Wykonanie tych korekt musi być przed zdefiniowaniem emiterów użytkownika, gdyż niektóre parametry (Q, H max) zostaną użyte w definicji emeiterów. Po zamknięciu okna przyciskiem

OK z paska Opcji generacji siatki ES wybieramy ikonę Definiowanie emiterów . Po uru-

chomieniu okna Emitery wybieramy opcję (węzły, w których mają powstać emitery powstały w trakcie budowania odcinków definiujących podpory), okre-ślamy także wielkość początkowego elementu H0= 0.01. Rys. 4.68 Po aktywacji wiersza wprowadzania współrzędnych (Współrzędne) zaznaczmy w oknie Widok skrajne punkty podpór liniowych. Następnie naciskamy przycisk Zastosuj i potem przyciskiem Zakończ. Aby w oknie

Widok wyświetlić wprowadzone emitery wybieramy ikonę na pasku ikon i atrybutów i w oknie Wyświetlanie atrybutów w zakładce ES aktywujemy opcję Emitery. Po naciśnięciu przy-cisku Zastosuj i OK w oknie widoku pojawią się opisy w miejscach wprowadzonych emiterów Rys. 4.69. Wygenerowaną siatkę ES przedstawiono na Rys. 4.70.

Końcowe wyniki obliczeń przedstawiono na Rys. 4.71, Rys. 4.72 i Rys. 4.73. Uzyskane wartości przemieszczeń i naprężeń (z wyjątkiem naprężeń w punktach podporowych) są porów-nywalne z uzyskanymi w metodzie Coonsa.

Celem przedstawienia trajektorii naprężeń głównych wykorzystujemy w oknie Mapy za-kładkę Krzyże. Aby krzyże były lepiej widoczne przed wykonaniem operacji zaznaczmy jeden z

paneli konstrukcji. Po aktywacji opcji włączone i otwórz nowe okno

wciskamy przycisk Zastosuj. Wygenerowane krzyże naprężeń przedstawiono

Przykład nr 7 133

na Rys. 4.74.

Rys. 4.68. Ustawienie parametrów siatkowania i parametrów emiterów użytkownika

Rys. 4.69. Położenie emiterów

134 Przykład nr 7

Rys. 4.70. Wygenerowana siatka elementów dla poprawionych ustawień metody Delaunay’a–Kanga

Rys. 4.71. Naprężenia x

Przykład nr 7 135

Rys. 4.72. Naprężenia y

Rys. 4.73. Przemieszczenia pionowe

136 Przykład nr 7

Rys. 4.74. Krzyże naprężeń

Przykład nr 8 137

4.4 Przykład nr 8 – Układ płytowy z prętami

Przedmiotem analizy statycznej będzie układ płytowy podparty na dwóch słupach. Geome-tria układu wraz z obciążeniami przedstawiona jest na Rys. 4.75.

Rys. 4.75. Geometria układu tarczowo płytowego

Układ stanowią pionowa płyta wykonana z betonu B30 o grubości 15 cm oraz płyta pozioma o tej samej grubości i wykonana z takiego samego materiału. W płycie poziomej znajduje się otwór o wymiarach 1x1 m. Płyta pionowa jest podparta wzdłuż dolnej krawędzi na podporze przegubowej nieprzesuwnej, natomiast pozioma z jednej strony jest połączona z płytą pionową, a z drugiej na wsparta na dwóch słupach stalowych wykonanych z dwuteowników zwykłych IN200, których osie skierowane są wzdłuż przekątnych płyty. Słupy także są podparte przegu-bowo.

W analizie należy uwzględnić cztery schematy:

a) ciężar własny,

b) obciążenie płyty poziomej pasmem obciążenia równomiernie rozłożonego o inten-sywności q1 = 10 kN/m2,

c) obciążenie płyty pionowej naporem gruntu o końcowej intensywności q2 = 5 kN/m2 do wysokości 2,5 m,

d) obciążenie płyty pionowej siłą skupioną P = 200 kN w punkcie środkowym płyty.

Do dyskretyzacji płyty pionowej należy zastosować siatkę Delauney’a-Kanga czworokąt-nych (czterowęzłowych) i trójkątnych (trzywęzłowych) elementów skończonych. Płyta pozioma powinna być podzielana na czterowęzłowe elementy czworokątne siatką Coonsa.

Dla tego złożonego układu brak jest rozwiązań analitycznych, dlatego aby mieć pewność poprawności rozwiązania należałoby i w tym przypadku zastosować analizę gęstości siatki jaką pokazano w poprzednim rozdziale. Tu, ten fragment analizy zostanie pominięty gdyż meryto-rycznie nie wnosi nowych wiadomości poza już przedstawionymi.

Rozwiązanie numeryczne

138 Przykład nr 8

Krok 1 – wybór typu projektowanej konstrukcji

Mimo tego, że w skład analizowanego układu wchodzą tylko płyty i pręty, jako typ kon-

strukcji w początkowym oknie programu musimy wybrać Projektowanie powłoki . Są dwie przyczyny takiego postępowania: a) element płytowy ma trzy stopnie swobody w węźle (translację w kierunku prostopa-

dłym do płaszczyzny środkowej i dwa obroty w kierunkach prostopadłych do siebie, leżących w płaszczyźnie środkowej płyty). W tej sytuacji nie byłoby by możliwości połączenia ze sobą dwóch wzajemnie prostopadłych płyt, gdyż nie byłoby możliwości zdefiniowania właściwych stopni swobody we wspólnych węzłach.

b) Słupy układu muszą być zdefiniowane jako elementy prętowe typu ramowego, zdefi-niowane w przestrzeni 3D, posiadające sześć stopni swobody w węźle (trzy translacje i trzy obroty). Nie byłoby więc możliwości połączenia takich elementów z elementami płytowymi.

Zastosowanie elementu powłokowego pozwala na uniknięcie tych obu trudności, gdyż w takim elemencie mamy zdefiniowane wszystkie sześć stopni swobody w każdym węźle.

Krok 2 – definicja płyty poziomej i pionowej

Definiowanie konstrukcji rozpoczynamy od właściwego ustawienia parametrów widoku w stosunku do globalnego układu współrzędnych, tak aby kierunek pionowy na ekranie odpowia-dał osi Z (standardowy kierunek działania sił grawitacji). Po otwarciu programu okno widok ustawi się w płaszczyźnie XZ, natomiast do narysowania płyty poziomej najdogodniejszy jest

widok płaszczyzny XY. W celu zmiany płaszczyzny wybieramy w ikonę dostępną w lewym dolnym rogu ekranu, a po otwarciu okna Widok ustawiamy w nim pracę 2D na płasz-czyźnie XY o wysokości 3 m (Rys. 4.76).

Rys. 4.76. Okno Widok po ustawieniu parametrów do rysowania płyty poziomej

Po zmianie parametrów widoku okno Widok zamykamy przyciskiem . Przed narysowa-niem konturu dostosowujemy jeszcze siatkę i jej skok. Z górnego tekstowego menu wybieramy Widok – Siatka – Definiuj krok. W oknie Definicja kroku siatki ustawiamy oba parametry siat-kowania Dx i Dy na wartość 0,25 m. Po zamknięciu okna definicji skok siatki przyciskami Za-

stosuj i Zamknij niezbędne jest wykorzystanie ikony Obrót, powiększenie, przesunięcie z paska ikon podstawowych celem ustawienia zakresu prezentowanego podziału w oknie Widok.

Po wybraniu ikony Kontur z paska bocznego przechodzimy do rysowania kontur płyty poziomej i otworu. W tym celu w oknie Polilinia – Kontur wybieramy opcję rysowania Kontur (warto aktywować także podokno Geometria, w którym na bieżąco można kontrolować wpro-wadzane współrzędne) i w oknie Widok kolejno wskazujemy wierzchołki odpowiednich prosto-kątów, pamiętając że rysowanie prostokąta kończymy wskazując ponownie jego pierwszy wierzchołek (w podoknie Geometria winny pojawić się kolejno współrzędne 0;0;3 , 5;0;3 , 5;4;3 , 0;5;3). Po zamknięciu okna Polilinia – Kontur przyciskiem Zamknij przechodzimy do określenia cech geometryczno-materiałowych wprowadzonego konturu poprzez definicje pane-

Przykład nr 8 139

lu. Wybieramy z paska bocznego ikonę Panel , a w otwartym oknie Panel (Rys. 4.77a) zmieniamy opcję Model: na powłoka6). Parametru Zbrojenie: można nie ustawiać, gdyż nie przewidujemy wymiarowania. W końcu definiujemy nową grubość panelu wybierając ikonę

przy opcji Grubość:.

a) b)

Rys. 4.77. a) Okno Panel po dostosowaniu parametrów; b) okno Nowa grubość

W oknie Nowa grubość ustawiamy opcje: Materiał: na B30; Gr = na 15 cm, Etykieta na GR15_B30 (Rys. 4.77b), po czym zamykamy to okno wracając do okna Panel. Jeśli w oknie tym jest podświetlona na zielono opcja Tworzenie poprzez – punkt wewnętrzny, to wystarczy wskazać w oknie Widok dowolny punkt płyty poziomej (poza otworem widocznym na Rys. 4.75!). Wygenerowany zostanie panel, dla którego określono cechy geometryczno-materiałowe, wraz z otworem.

Rys. 4.78. Alternatywna metoda zmiany płaszczyzny pracy

Zmieniamy teraz widok i płaszczyznę roboczą na YZ dla X = 0 (m). W przypadku wybrania innego punktu początkowego dla płyty poziomej wartość płaszczyzny roboczej należy ustalić indywidualnie. Można zrobić to tak jak to opisano powyżej dla płaszczyzny XY lub na środku dolnej krawędzi okna Widok ustawić parametry zgodnie z Rys. 4.78.

6) Uwaga w wersji programu Robot Structural 2009 brak jest tej opcji i wszystkie panele są rozu-

miane jako powłokowe

140 Przykład nr 8

Postępując analogicznie jak w przypadku płyty poziomej definiujemy najpierw kontur a następnie panel płyty pionowej.

Przed przystąpieniem do dalszej definicji konstrukcji warto na tym etapie zadbać o kierun-ki osi lokalnych układów współrzędnych paneli (ich pierwotne kierunki i zwroty zależą od ko-lejności definiowania punków konturów). Ustalenie zgodnych kierunków lokalnych układów współrzędnych pozwoli uniknąć błędów związanych z interpretacją wyników. W tym celu zmieniamy widok w oknie Widok na naciskamy prawy przycisk myszy (gdy kursor znajduje się

w oknie Widok) i z menu kontekstowego wybieramy . Możemy teraz odpowiednio operując myszą, przy wciśniętym lewym przycisku doprowadzić widok do zbliżonego na Rys. 4.79.

Rys. 4.79. Widok 3D po ustawieniu osi lokalnych paneli

Ikony lokalnych układów współrzędnych staną się widoczne, gdy na pasku dolnym po wy-

braniu ikony w oknie Wyświetlanie atrybutów zostanie uaktywniona opcja pokazywania lokalnych układów współrzędnych (Model – Układy lokalne). Jeśli kierunki i zwroty układów nie porywają się z tymi z Rys. 4.79 (osie Y zgodne z osią Y układu globalnego), możemy je

zmienić wybierając z paska bocznego ikonę Kierunek lokalny paneli . Teraz wybierając opcje zmiany kierunku osi Z (lub ustalając kierunek osi X układu lokalnego w stosunku do osi układu globalnego poprzez podanie odpowiedniego wektora) doprowadzamy osi lokalne do pozycji z Rys. 4.79. Przykładowo, aby ustawiać oś X płyty pionowej zgodnie z osią Z układu globalnego należy podać wektor kierunkowy 0;0;1.

Krok 3 – definicja słupów i podpór

W celu zdefiniowania słupów ustawiamy widok na płaszczyznę YZ dla X = 5,0 (m) (po-dobnie jak na Rys. 4.78), a w menu definicji modelu przechodzimy do sekcji Pręty. Przekrój pręta (I200) definiujemy tak jak w ćwiczeniach dotyczących układów prętowych, a punkty po-czątkowe i końcowe prętów wskazujemy w oknie Widok. Ze względy na pominięcie wymiaro-wania prętów Typ pręta: można wybrać dowolnie. Właściwe kierunki przekroi prętów w sto-sunku do płyty górnej ustawiamy w oknie Pręty w kolumnie Gamma (okno z tabelą edycji cech elementów prętowych). Znając stosunek długości boków płyty, możemy wyznaczyć kąt o który należy obrócić profile:

04 m0,8 arctan 0,8 38,66

5 m

Przykład nr 8 141

Uzyskaną wartość kąta wpisujemy jako dodatnią lub ujemną do odpowiednich komórek kolumny Gamma, sprawdzając poprawność wstawienia w oknie Widok za pomocą widocznych tam przekroi prętów (przed tą operacją warto przejść do widoku 3D). Końcowy widok kon-strukcji na tym etapie definicji pokazano na Rys. 4.80.

Rys. 4.80. Konstrukcja po zdefiniowaniu prętów

Rys. 4.81. Konstrukcja po zdefiniowaniu podpór

Za pomocą menu definicji modelu przechodzimy teraz do definicji podpór. Przed przystą-pieniem do definicji podpór wyłączamy pokazywanie lokalnych układów współrzędnych (naci-

skając ikonę w pasku ikon selekcji atrybutów). W oknie Podpory wybieramy zakładkę Li-niowe, rodzaj podpory Przegub i wskazujemy dolną krawędź płyty pionowej. Następnie wska-zujemy zakładkę Węzłowe i po wybraniu rodzaju podpory Przegub zadajemy podpory w obu dolnych węzłach słupów. Widok konstrukcji po zdefiniowaniu podpór pokazano na Rys. 4.81.

142 Przykład nr 8

Krok 4 – definicja siatek elementów dla paneli

Z menu definicji modelu wybieramy opcję Geometria i rozpoczynamy definicję siatki ele-mentów skończonych rozpoczynamy od płyty poziomej (należy dokonać wyboru poprzez wskazanie w oknie Widok tej płyty - wybrana płyta zostanie wyróżniona innym kolorem), przyjmując, że będzie ona zdyskretyzowana regularną siatką elementów o wielkości 0,125m. Z

górnego paska ikon wybieramy ikonę Opcje generacji siatki ES . Pojawi się pasek ikon o

tej samej nazwie. Z paska tego wybieramy ikonę Opcje siatkowania . Pojawi się okno o tej samej nazwie, w którym wybieramy Opcje zaawansowane Spowoduje to otwarcie okna Za-awansowane opcje siatkowania (Rys. 4.82), w którym ustawiamy Dopuszczalne metody siatko-wania – Coons; Generacja siatki – Rozmiar elementu – 0,125 m; Parametry metody Coons’a – Kwadraty w obszarze prostokątnym.

Rys. 4.82. Okno Zaawansowane opcje siatkowania po ustawieniu parametrów dla płyty poziomej

Po zamknięciu okna z paska Opcje generacji siatki ES wybieramy ikonę Lokalna genera-

cja siatki , co spowoduje wygenerowanie siatki elementów o zadanych parametrach dla

płyty poziomej. W przypadku użycia ikony Generacja (ikony różnią się kolorem!) po-działowi na ES poddana będzie cała konstrukcja.

Generację siatki dla płyty pionowej rozpoczynamy od zdefiniowania emitera w punkcie, w

którym będzie przyłożona siła skupiona za pomocą ikony Definiowanie emiterów . Wy-branie tej ikony powoduje otwarcie okna Emitery (Rys. 4.83).

Przykład nr 8 143

Rys. 4.83. Okno Emitery

W oknie tym wybieramy wstawienie węzła z emiterem; Współrzędne 0;2;1,5 oraz parametr (minimalna wielkość generowanego elementu) H0 = 0,1m. Należy teraz wybrać opcję Zastosuj i zamknąć okno przyciskiem Zakończ. Wybieramy teraz w oknie Widok płytę pionową i powra-

camy do ikony Opcje siatkowania – opcja Zaawansowane opcje siatkowania.

Rys. 4.84. Okno Zaawansowane opcje siatkowania po ustawieniu parametrów dla płyty pionowej

W oknie Zaawansowane opcje siatkowania ustawiamy parametry dla siatkowania płyty pionowej: Dopuszczalne metody siatkowania – Delaunay; Generacja siatki – Użytkownika – Podział 1: 1; Podział 2: 1; Parametry metody Delauney’a – Delauney + Kang; H0 = 0,125; H max = 0,5 (Rys. 4.84). Należy zwrócić uwagę, na to, że przy opcjach siatkowania jak na Rys. 4.84 emitery będą przyjęte w narożach płyty, w tym także w narożach górnych, gdzie obie pły-ty mają wspólną krawędź. W tym miejscu algorytm generowania siatki musi uzgodnić siatki dla

144 Przykład nr 8

obu płyt. Ponieważ dla płyty poziomej wielkość siatki wynosi 0,125m, więc dlatego w płycie pionowej wielkość najmniejszego elementu powinna być zbliżona.

Konstrukcję z wygenerowanymi siatkami elementów skończonych pokazano na Rys. 4.85.

Rys. 4.85. Konstrukcja po wygenerowaniu siatek elementów skończonych

Krok 5 – definicja obciążeń

Definicję obciążeń rozpoczynamy od zmiany opcji Geometria w menu definicji modeli na opcję Obciążenia. Definicja obciążenia ciężarem własnym przebiega tak jak w poprzednich ćwiczeniach (etykieta obciążenia STA1). Przystępując do definicji drugiego schematu obciąże-nia (etykieta obciążenia EKSP1) w oknie Przypadki obciążeń zmieniamy opcje: Natura: – eks-ploatacyjne; Etykieta: – EKSP1; potem wybieramy przycisk Nowy, co spowoduje pojawienie się tego przypadku na Liście zdefiniowanych przypadków. Aby zdefiniować obciążenie dla tego

przypadku wybieramy z bocznego paska ikon ikonę Definicja obciążeń co spowoduje pojawienie się okna Obciążenie. W oknie tym (Rys. 4.86a) wybieramy zakładkę Powierzchnia. Spośród dostępnych w tej zakładce ikon wybieramy Obciążenie powierzchniowe jednorodne

co spowoduje otwarcie okna Obciążenie jednorodne (Rys. 4.86b). Wpisujemy wartość obciążenia Z: -10 (kPa) w globalnym układzie współrzędnych i uaktywniamy opcję Ogranicze-nia geometryczne (Rys. 4.86c). Jej wybranie umożliwi zdefiniowanie pasma, na którym ma działać obciążenie. Płaszczyzny ograniczające pasma są równoległe do płaszczyzny YZ global-nego układu współrzędnych co uzyskujemy wybierając odpowiednią opcję w części okna Wy-bór płaszczyzny:. W tym momencie musimy zdefiniować tylko dwa punkty będące Parametra-mi płaszczyzny cięcia. Pierwszy (Punkt 1:) definiuje początek pasma – można tu podać dowolny punkt którego współrzędna X wynosi 1 m (np. 1;0;0). Drugi punkt (Punkt 4:) określa w którą stronę jest zdefiniowane pasmo i można tu postać współrzędną dowolnego punku o X > 1 m (np. 2;0;0). Musimy jeszcze uaktywnić Grubość d: pasma i podać jego wartość 1 m.

Przykład nr 8 145

b) c)

Rys. 4.86. a) Okno Obciążenie z zakładką Powierzchnia; b) Okno Obciążenie jednorodne; c) Okno Ograniczenia geometryczne

Naciskamy przycisk Zastosuj potem zamykamy oba okna poprzez przyciski Zamknij i za-dajemy tak zdefiniowane obciążenie dla płyty poziomej (można wpisać w wierszu Zastosuj do numer panelu 1). Znowu wybieramy przyciski Zastosuj i Zamknij. W oknie Widok i Obciążenia będziemy mogli sprawdzić poprawność definicji (pasmo działania obciążenia jest zaznaczone kolorem różowym, podczas gdy nieaktywna część obciążenia kolorem czarnym).

Rys. 4.87. Okno programu po zdefiniowaniu przypadku obciążenia EKSP1

Aby przejść do następnego przypadku obciążenia wystarczy teraz w oknie Przypadki ob-ciążeń wybrać przycisk Nowy, a oknie Widok wskazać panel odpowiadający płycie pionowej.

Teraz ponownie wybieramy z bocznego paska ikon ikonę Definicja obciążeń , a w oknie Obciążenie zakładkę Powierzchnia. Jednak teraz w celu zdefiniowania obciążenia gruntem

146 Przykład nr 8

wskazujemy ikonę Ciśnienie hydrostatyczne .Podanie właściwej rzędnej końcowej obcią-żenia gruntem wymaga przeliczenia wielkości tego obciążenia na słup cieczy o potrzebnej wy-sokości. W naszym przypadku poziomem zerowym cieczy ma być poziom Z = 2,5 m , a na rzędnej Z = 0,0 m obciążenie ma osiągać wartość q2 = 5 kPa. Musimy na tej podstawie obliczyć ciężar właściwy hipotetycznej cieczy, która spełni ten warunek. Należy zwrócić uwagę, że cię-żar właściwy cieczy musi być podany w kG/m3, wynika stąd, że ciężar ten wynosi:

22

1 0

5981 981 1962 kG/m

2,5 (0)

q

h h

gdzie: h1 – to rzędna płyty dla którego obciążenie wynosi q2 = 5 KN/m2, h0 – to rzędna płyty na poziomie zwierciadła cieczy, 981 – liczba wynikająca z przeliczenia kN na kG (przy uwzględnieniu, że przyśpieszenie

ziemskie wynosi 9,81 m/s2).

Rys. 4.88. Okno Ciśnienie

Rys. 4.89. Niedokładność przyłożenia obciążenia hydrostatycznego

Tak zdefiniowane obciążenie zadajemy teraz na panel płyty pionowej. Jeśli okaże się, że zwrot obciążenia jest przeciwny do zadanego w danych zadania, to możemy go zmienić w oknie Obciążenia zmieniając w wierszu dotyczącym tego obciążenia na przeciwną GA = -1962 KG/m3. Należy też pamiętać, że obciążenie jest przykładane na całą powierzchnię każdego ele-mentu skończonego, którego chociaż minimalny fragment wchodzi w zakres podanej wysokości górnej krawędzi obciążenia, dlatego przy nieregularnej siatce elementów jaką mamy na płycie pionowej w niektórych miejscach (na górnej zerowej krawędzi obciążenia) obciążenie zmienia

Przykład nr 8 147

znak. Tym niemniej niedokładność tego typu zazwyczaj nie powoduje znaczącego zniekształce-nia uzyskanych wyników. W celu uniknięcia tego efektu należy stosować regularną siatkę ele-mentów skończonych, dobraną tak aby krawędź elementów była zgodna z krawędzią obciąże-nia.

Definicję ostatniego przypadku obciążenia rozpoczynamy jak poprzednio w oknie Przy-padki obciążeń wybierając opcje: Natura: – eksploatacyjne; Etykieta: – EKSP3, Nowy; po czym

z paska bocznego ikon wybieramy Definicję obciążeń . Teraz jednak w oknie Obciążenie

wybieramy zakładkę Węzeł i ikonę Siła węzłowa .

Rys. 4.90. Okno siła węzłowa

Rys. 4.91. Okno Widok po zdefiniowaniu przypadku obciążenia EKSP3

Ponieważ siła działa przeciwnie do zwrotu osi X globalnego układu współrzędnych, zada-jemy w tym oknie wartość X: (kolumna F [kN]) wartość -200. Następnie zamykamy otwarte okno przyciskiem Dodaj, wskazujemy myszą pole Zastosuj do w oknie Obciążenie, potem w oknie Widok wybieramy zdefiniowany przy zadawaniu emitera środkowy węzeł płyty pionowej i kończymy czynność zadawania obciążenia przyciskiem Zastosuj w oknie Obciążenie. Potem okno to zamykamy i sprawdzamy poprawność zadanego obciążenia w oknie Widok (Rys. 4.91). W celu łatwiejszego wskazania środkowego węzła płyty pionowej możemy użyć ikony Granice

148 Przykład nr 8

powiększenia w pasku ikon podstawowych. Po wskazaniu tej ikony w oknie Widoku za-znaczamy obszar powiększenia. Warto też po zdefiniowaniu wszystkich obciążeń sprawdzić ich poprawność w oknie Obciążenia (edytowalna tabela z przypadkami, typami obciążenia i warto-ściami), gdzie każdą zdefiniowaną wartość można modyfikować. W przypadku wymiarowania rzeczywistej konstrukcji niezbędne byłoby stworzenie odpowiednich kombinacji stanów gra-

nicznych nośności i użytkowania, wykorzystując ikony Kombinacje lub Kombina-cje normowe z bocznego paska ikon.

Krok 6 – obliczenia i analiza wyników

Obliczenia układu wykonujemy poprzez wybranie ikony Rozpoczęcie obliczeń z górnego paska ikon (warto przed tą czynnością zapamiętać wprowadzone dane zadania!).

Analizę wyników tego zadania ograniczymy tylko do pokazania tych, które są istotne ze względu na przestrzenny charakter konstrukcji i specyfikę powłokowych elementów skończo-nych. Do analizy wyników przechodzimy zmieniając menu definicji modelu na Rezultaty >> Rezultaty – Mapy. Następnie wybieramy zakładkę Szczegółowe.

Dla konstrukcji płytowo-powłokowych wielkościami dobrze charakteryzującymi rozkłady sił wewnętrznych są momenty i ścinające siły przekrojowe (płyty i powłoki) i normalne siły przekrojowe (powłoki). W naszym zadaniu ze względu na zastosowanie elementów powłoko-wych możemy sporządzi wykresy wszystkich tych wielkości. W rozważaniach wyników ogra-niczymy się do przypadku obciążenia EKSP3. Przy sporządzaniu map wykorzystamy fakt wcześniejszego uzgodnienia lokalnych układów współrzędnych paneli. Ponieważ osie X i Y lokalnych układów są ze sobą zgodne, więc możemy zdecydować się na prezentację wyników w kierunku zdefiniowanym automatycznie przez te lokalne układy (Kierunek automatyczny). Dodatkowo warto zapoznać się z konwencją znakową przyjętą w programie celem poprawnego interpretowania prezentowanych wyników (Rys. 4.92)

Rys. 4.92. Konwencja znakowa w elementach powierzchniowych

Zaprezentowana tu zostanie analiza momentów zginających Mxx i Myy. W celu otrzymania rozkładu Mxx zaznaczmy tę opcję i opcję otwórz nowe okno z pokazaną skalą (w ten sposób unikniemy nakładania się wykresów na pokazywane w oknie Widok parametry konstrukcji, gdyby zaszła konieczność ich modyfikacji). Naciśnięcie przycisku Zastosuj spowoduje otwarcie nowego okna z oczekiwanym rozkładem i skalą (Rys. 4.93).

Przykład nr 8 149

Rys. 4.93. Rozkład momentów Mxx dla przypadku EKSP3

Jeśli rozkład momentów Myy chcemy otrzymać w tym samym oknie, to wystarczy teraz zmienić w oknie Mapy zaznaczenie z Mxx na Myy. Jeśli chcemy ten wykres otrzymać w nowym oknie to dodatkowo musimy zaznaczyć otwórz nowe okno z pokazaną skalą. W obu przypad-kach czynność kończymy naciskając przycisk Zastosuj (Rys. 4.94).

Rys. 4.94. Rozkład momentów Myy dla przypadku EKSP3

-

150 Przykład nr 8

Rys. 4.95. Zmodyfikowany rozkład momentów Mxx dla przypadku EKSP3

Rys. 4.96. Zmodyfikowany rozkład momentów Myy dla przypadku EKSP3

Łatwo zauważyć, że oba otrzymane wykresy ze względu na koncentracje sił wewnętrznych w punkcie przyłażenia sił skupionych (punkt środkowy płyty pionowej i punkty, w których do płyty poziomej dochodzą słupy) są mało czytelne. W punktach tych prezentowane siły we-wnętrzne dążą do nieskończoności i automatycznie dobrana skala rozkładów nie oddaje rozkła-du sił w pozostałych częściach płyt. Możemy temu zapobiec rezygnując z odwzorowywania skrajnych wartości sił i zmieniając skalę rozkładu w zakładce Skala. W przypadku wykresów Mxx ograniczono prezentowane wartości do przedziału (Max: 100; Min: -100) kNm/m, a w przypadku wykresu Myy do przedziału (Max: 50, Min: -50) kN/m. Aby rozkład dostosował się do przyjętej skali musimy koniecznie przed naciśnięciem przycisku Zastosuj wyłączyć opcję z normalizacją (Rys. 4.95 i Rys. 4.96).

Przykład nr 9 151

4.5 Przykład nr 9 – Powłoka sferyczna

Przedmiotem analizy statycznej jest kopuła w postaci połówki sfery pokazana na Rys. 4.97. Kopuła o promieniu R = 25 m ma zmienną grubość:

do kąta 300 wynosi ona h = 60 cm,

między kątem 300 i 600 grubość powłoki zmniejsza się proporcjonalnie do wysokości od h = 60 cm, do h = 20 cm

natomiast górna część powyżej 600 ma grubość h = 20 cm.

Przyjęto że powłoka jest wykonana z betonu B37.

Rys. 4.97. Geometria kopuły

Powłokę poza ciężarem własnym należy obciążyć obciążeniem śniegiem i wiatrem zgodnie z polskimi normami zakładając lokalizację kopuły w Gdańsku.

Krok 1 – geometria układu

Po ustaleniu typu konstrukcji na Powłoka, analizę kopuły rozpoczynamy od ustalenia gę-stości siatki MES. Przyjęto, że w kierunku równoleżnikowym będzie ona podzielona na 144 części (podział co 2,50). Podobny podział stosujemy dla większości powłoki w kierunku połu-dnikowym. Dlatego część powłoki do kąta 750 będzie podzielona na 60 części co 2,50 (część o grubości h = 60 cm i zmiennej grubości po 24 elementy oraz część o grubości h = 20 cm do kąta 750 na 12 elementów). Dla części biegunowej powłoki (powyżej kąta 750) zastosowano podział dwa razy gęstszy, co 1,250 – 36 elementów. Jest to spowodowane koniecznością zastosowania odpowiedniej proporcji stosunku najdłuższego i najkrótszego boku elementu. Nie powinna ona przekraczać wartości 3, co wymaga skrócenia długości boku elementu w kierunku południko-wym7).

Budowanie geometrii powłoki rozpoczynamy od narysowania 4 południkowych łuków

7) Mimo skrócenia długości boku elementu, wymaganego stosunku długości boku nie uda się za-

chować dla 4 pierścieni elementów najbliżej bieguna powłoki. Obszar ten jest jednak już niewielki i nie spodziewamy się tam koncentracji naprężeń.

152 Przykład nr 9

tworzących prawą część tworzonej powłoki. Z bocznego paska ikon wybieramy ikonę

Obiekty, a w pasku ikon Obiekty ikonę Łuk, służącą do definiowania łuków. Spowoduje to otwarcie okna Łuk, w którym rozwijamy część dotyczącą Geometrii i Parametrów naciskając na

odpowiednie przyciski. Jako metodę definicji łuku wybieramy . Teraz w

części Parametry uaktywniamy parametr podziału łuku , umożliwi to zdefi-niowanie odpowiedniej gęstości siatki. Cztery łuki tworzące prawą część geometrii kopuły defi-niujemy podając w części Geometria i współrzędne trzech punktów i w części Parametry od-powiednią liczbę krawędzi (patrz tabela) Współrzędne punktów należy wyliczyć ze wzorów:

sin

cos

z R

x R

(4.21)

Tabela 5. Współrzędne punktów do rysowania łuków powłoki

Łuk Kąt dla P3 Współ. P1 Współ. P2 Współ. P3 Liczba krawędzi

1 00 - 300 0;0;0 25;0;0 21,65;0;12,5 24

2 300 - 600 0;0;0 21,65;0;12,5 12,5;0;21,65 24

3 600 - 750 0;0;0 12,5;0;21,65 6,47;0;24,15 12

4 750 - 900 0;0;0 6,47;0;24,15 0;0;25 36

Rys. 4.98. Okno Łuk

Na Rys. 4.98 pokazano okno Łuk w trakcie definiowania poszczególnych łuków powłoki. Łuki tworzące lewą część geometrii powłoki tworzymy przez odbicie narysowanych już łuków

Przykład nr 9 153

przez symetrię względem płaszczyzny YZ. W tym celu w oknie Widok zaznaczmy wszystkie narysowane łuki (będą wyświetlone w kolorze czerwonym). Następnie z górne paska ikon wy-

bieramy ikonę Edycja. Po otwarciu okna Edycja wybieramy w nim ikonę Lustro pionowe. W otwartym oknie Symetria pionowa zaznaczmy, że łuki mają być kopiowe

i określamy położenie płaszczyzny symetrii

. Naciśnięcie przycisku Wykonaj spowoduje wygenero-wanie łuków. Zamykamy teraz okno Symetria pionowa. Panele tworzące powłokę tworzymy

wybierając w oknie Widok wszystkie utworzone łuki i z paska ikon Edycje ikonę Przekrę-canie. W oknie Przekręcanie definiujemy za pomocą dwu punktów oś obrotu (np.(0;0;0) i (0;0;25)); kąt obrotu (1800) oraz liczbę podziału nowotworzonego obiektu (144/2=72). Prawi-dłowo ustawione parametry obrotu i otrzymane w efekcie operacji panele pokazano na Rys. 4.99.

Rys. 4.99. Okno Przekręcanie i powstałe w wyniku operacji w oknie Widok panele

Na rysunku tym pokazano także lokalne układy współrzędnych paneli, które stają się wi-

doczne po naciśnięciu ikony na dolnej krawędzi okna Widok. Poprawnie wykonana in-strukcja rysowania łuków i tworzenia paneli prowadzi do wygenerowania paneli, których wszystkie osie lokalnych układów z są skierowane na zewnątrz kopuły, a osie y skierowane są południkowo ku górnemu biegunowi. Jeśli tak nie jest możemy układy uporządkować wybiera-

jąc z bocznego paska ikon ikonę Kierunek lokalny paneli.

Krok 2. – określenie cech geometryczno materiałowych

Utworzonym w ten sposób panelom nadajemy odpowiednie grubości i określamy materiał,

z którego są zbudowane. Wybieramy w tym celu z bocznego paska ikon ikonę Grubość.

Otworzy się okno Grubości ES, w którym wybieramy ikonę tworzenia nowego przekroju . To z kolei spowoduje otwarcie okna Nowa grubość. Na pokazano jak ustawić w tym oknie pa-

154 Przykład nr 9

rametry dla określenia panelu o stałej grubości (h = 60 lub 20 cm) Rys. 4.100a oraz dla panelu o zmiennej grubości Rys. 4.100b

a) b)

c)

Rys. 4.100. a) okno Nowa grubość w trakcie definiowania przekroju o stałej grubości; b) okno Nowa grubość w trakcie definiowania przekroju o zmiennej grubości c) okno Grubości ES w trakcie nadawania

grubości panelom o h = 20 cm

Po zdefiniowaniu potrzebnych grubości zamykamy okno Nowa grubość, w oknie Widok zaznaczmy cztery najwyższe panele i nadajemy im grubość GR20 w oknie Grubości ES (lub w wierszu Panele wprowadzamy numery wybranych paneli i potwierdzamy dokonany wybór przyciskiem Zastosuj i Zamknij), potem w podobny sposób nadajemy odpowiednie grubości pozostałym panelom.

Krok 3 – generacja siatki MES

Aby przystąpić do zdefiniowania siatki elementów otwieramy pasek ikon Operacje gene-

racji siatki ES wybierając z górnego paska ikon ikonę o tej samej nazwie. Przed wygenerowanie siatki elementów musimy wszystkim panelom nadać model oblicze-

niowy powłoka zamiast domyślnego strop diafragma podatny. W tym celu wybieramy ikonę

Model obliczeniowy panelu i w oknie o tej samej nazwie wybieramy opcję powłoka i czę-

Przykład nr 9 155

ści Panele wpisujemy słowo wszy co oznacza wykonanie operacji dla wszystkich paneli8). Ze względu na to, że wszystkie parametry siatkowania zostały już zdefiniowane w trakcie definio-

wania łuków i w trakcie operacji Przekręć po wybraniu ikony Opcje siatkowania może-my w oknie o tej samej nazwie ograniczyć się jedynie do wskazania wartości parametrów jak na Rys. 4.101. Istotne aby Podział 1: wynosił 1, tak aby nie spowodować zagęszczenia siatki we-wnątrz już zaproksymowanych krawędzi kopuły.

Rys. 4.101. Opcje siatkowania dla kopuły

Po wybraniu teraz wszystkich paneli w oknie Widok wskazujemy ikonę Generacja, która spowoduje wygenerowania żądanej siatki elementów skończonych we wszystkich pane-

lach. Model na tym etapie tworzenia z zaznaczonymi oznaczeniami paneli ( ikona na dolnej krawędzi okna Widok) pokazano na Rys. 4.102.

Krok 4 – podpory

Kolejnym etapem definicji modelu będzie zadanie warunków podporowych. Przed zdefi-niowaniem podpór można wyłączyć pokazywanie lokalnych układów współrzędnych oraz

oznaczeń paneli wybierając na dolnej krawędzi okna Widok ikony i . Zaleca się też ustawienie wygenerowanego modelu w oknie Widok w widoku PRZÓD wybierając odpowied-nią ściankę na kostce widocznej w prawym górnym rogu okna. Teraz w menu definicji modelu wybieram opcję Podpory, co spowoduje wyświetlenie okien dotyczących definicji podpór. W oknie Podpory (służącym do definicji podpór, a nie w oknie o tej samej nazwie z listą już zdefi-niowanych podpór) wybieramy podporę Utwierdzenie, sprawdzamy czy rzeczywiście spowodu-je ona zablokowanie wszystkich sześciu stopni swobody, wskazujemy pole Aktualna selekcja i w oknie Widok zaznaczmy oknem najniższe pasmo węzłów powłoki (Rys. 4.103).

8) Czynności tej nie trzeba wykonywać w Robot Structural 2009, gdyż wszystkie zdefiniowane w

nim panele są traktowane jako powłokowe.

156 Przykład nr 9

Rys. 4.102. Kopuła po wygenerowaniu siatki ES

Rys. 4.103. Wybieranie oknem węzłów do definicji podpór

Po naciśnięciu w oknie Podpory przycisku Zastosuj podpory zostaną zdefiniowane.

Krok 5 – definicja obciążeń

Obciążenie ciężarem własnym

Obciążenie ciężarem własnym zadajemy w sposób typowy, jak dla wszystkich innych ro-dzajów konstrukcji. Sposób wykonania tej czynności można znaleźć w poprzednich rozdziałach i dlatego tu zostanie on pominięty

Obciążenie śniegiem

Obciążenie śniegiem wykonujemy zgodnie z normą PN-80/B-02010/Az1:2006. Ze wzglę-

Przykład nr 9 157

du na lokalizację kopuły w okolicach Gdańska charakterystyczna wartość obciążenia śniegiem

wynosi 21,2 kN/mkQ (trzecia strefa obciążenia śniegiem). Charakterystyczną wartość obcią-

żenia na rzut dachu S oblicz się ze wzoru (pkt. 2.1 (1))

kS Q C (4.22)

gdzie współczynnik C należy przyjąć zgodnie z załącznikiem Z1-3. Norma przewiduje koniecz-ność rozpatrzenia dwu wariantów tego obciążenia:

obciążenie równomierne,

obciążenie nierównomierne.

W obu przypadkach zgodnie z normą śnieg będzie zalegał na przekryciu tylko jeśli kąt między normalną do powierzchni przekrycia a osią pionową będzie mniejszy od 600, co odpo-

wiada zmienności kąta 0 030 ,150 Rys. 4.97), czyli jeśli wysokość analizowanego punktu

przekrycia przekracza Z = 12,5 m. W przypadku obciążenia równomiernego śniegiem wartość współczynnika wynosi 0,8C i otrzymujemy wartość obciążenia na rzut dachu

21,2 0,8 0,96 kN/mS (4.23)

W przypadku nierównomiernego obciążenia śniegiem, ze względu na obrotową symetrię konstrukcji, możemy przyjąć arbitralnie kierunek występowania wartości ekstremalnych obcią-żenia (pod warunkiem uwzględnienia tak otrzymanych wyników ekstremalnych sił wewnętrz-nych dla wszystkich punktów położonych na tym samym równoleżniku powłoki). Zgodnie z załącznikiem Z1-3 normy obciążenie w tym przypadku ma charakter dwu obciążeń typu linio-wo zmiennych o ekstremalnych wartościach

21 2

22 2

1,2 2,3 2,76 kN/m

1 11,2 2,3 1,38 kN/m

2 2

k

k

S Q C

S Q C

(4.24)

Tworzymy teraz oba przypadki obciążenia nadając im nazwę odpowiednio Śnieg1 i Śnieg2 (natura obciążenia śnieg). Ustawiamy teraz czerwoną strzałkę wskazującą w oknie Przypadki obciążenia aktualny przypadek obciążenia na przypadek Śnieg1 i z bocznego paska ikon wybie-

ramy ikonę Definicja obciążeń . W oknie Obciążenie wybieramy zakładkę Powierzchnio-

we i ikonę Obciążenie powierzchniowe jednorodne. W oknie Obciążenie jednorodne (Rys. 4.104) podajemy teraz wartość obciążenia (Z = -0,96 kPa) zaznaczmy, że działa ono w układzie globalnym i jest rzutowane. Ponieważ układ paneli w naszym zadaniu był tak dobrany (zalecane!) aby granica między panelami wypadała dla miejsca gdzie kończy się obciążenie śniegiem, można na tym zakończyć definicję tego obciążenia i wskazać numery paneli do któ-rych ma być przyłożone (tu: 2 3 5 7 8 10 – Rys. 4.102). Jednak gdy tak nie jest to należy jeszcze zdefiniować ograniczenia takie aby obciążenie było przyłożone tylko do żądanej części panel. Z naszym przypadku chodzi o części paneli, których rzędna Z jest większa od 12,5 m. Można to zrobić uaktywniając w oknie Obciążenie jednorodne opcję Ograniczenia geometryczne (Rys. 4.104). Po wybraniu przycisku o tej samej nazwie i otwarciu odpowiedniego okna, zaznaczmy że płaszczyzna ograniczająca ma być równoległa do płaszczyzny XY i ma przechodzić przez punkt (Punkt 1) o współrzędnych (0;0;12,5). O wzięciu po uwagę odpowiedniej półprzestrzeni zadecyduje współrzędna Z Punktu 4, która w tym przypadku może mieć dowolną wartość więk-

158 Przykład nr 9

szą od 12,5 (np. 25). Po takim zdefiniowaniu płaszczyzny ograniczającej nawet po wybraniu na liście paneli, do których ma być przykładane obciążenie wszystkich paneli, obciążenie zostanie przyłożone w sposób poprawny (Rys. 4.105).

Rys. 4.104.Okno Obciążenie jednorodne i Ograniczenia geometryczne w czasie definiowania obciążenia równomiernego śniegiem

Rys. 4.105. Zdefiniowane obciążenie Śnieg1

Przykład nr 9 159

Rys. 4.106. Definiowanie obciążeń w schemacie Śnieg2

Rys. 4.107. Nierównomierne obciążenie śniegiem (Śnieg2)

Ustawiamy teraz czerwoną strzałkę wskazującą aktualny przypadek obciążenia w oknie Przy-padki obciążenia na przypadek Śnieg2 i w podobny sposób definiujemy nierównomierne obcią-żenie śniegiem. Różnica będzie polegać na wybraniu w oknie Obciążenie – Powierzchniowe

ikony Obciążenie powierzchniowe (3p). Po otwarciu okna Obciążenie powierzchnio... definiujemy trzy punkty, w których znane są wartości obciążenia, tak aby otrzymać potrzebną zmienność obciążenia. Tu zdecydowano się na punkty o współrzędnych P1 (0;21,65;12,5) z wartością obciążenia Z = -2,76 kPa= S1; P2 (25;0;12,5) z wartością obciążenia Z = 0 kPa i P3 (-25;0;12,5) z wartością obciążenia Z = 0 kPa (Rys. 4.106). Po zaznaczeniu, że obciążenie jest

160 Przykład nr 9

zdefiniowane w układzie globalnym i że jest rzutowane możemy je dodać do paneli nr 2, 3 i 5 – panele powyżej wysokości 12,5 m po dodatniej stronie osi Y na Rys. 4.102. W przypadku gdy obciążenie jest przyłożone do części paneli należy zastosować dodatkowo ograniczenia zdefi-niowane podobnie jak w przypadku obciążenia równomiernego śniegiem. W analogiczny spo-sób definiujemy teraz obciążenie S2 = 1,38 kPa dla paneli 7, 8 i 10, zmieniając jedynie wartość obciążenia w punkcie P1 i jego współrzędne (0;-21,65;12,5). Konstrukcję po zdefiniowaniu nierównomiernego obciążenia śniegiem pokazano na Rys. 4.107.

Obciążenie wiatrem

Obliczenia statyczne od obciążenia wiatrem przeprowadzono na podstawie normy PN-B-02011:1977/Az1:2009, zgodnie z którą charakterystyczną wartość obciążenia wywołanego działaniem wiatru pk można wyliczyć ze wzoru (pkt. 2.2 (1))

k k ep q C C (4.25)

gdzie:

20,42kN/mkq – charakterystyczne ciśnienie prędkości wiatru (przyjęta strefa II obciąże-

nia wiatrem)

eC – współczynnik ekspozycji, którego wartość zależy od charakterystyki otoczenia kon-

strukcji (założono teren A – odkryty) i od wysokości konstrukcji. Zgodnie z Tablicą 4 normy wartość tego współczynnika powinna się zmieniać od 0,6 dla wysokości 2 m do 1,275 na wysokości 25 m. Dla uproszczenia przyjęto stałą, maksymalną wartość współczynnika

1,275eC .

– współczynnik porywów wiatru. Ponieważ analizowana konstrukcja jest masywną kon-

strukcją żelbetową można przyjąć zgodnie z normą, że jest ona niepodatna i współczynnik 1,8 .

C – współczynnik aerodynamiczny zależny od kierunku działania wiatru. W przypadku powłoki sferycznej wartości tego współczynnika określa załącznik normy Z1-14. Zgodnie z nim wartość współczynnika zależy w tym przypadku od kąta między kierunkiem działania wiatru, a kierunkiem normalnej do powierzchni środkowej powłoki. Jeśli założymy że wiatr będzie wiał z dodatniego kierunku osi Y to będzie to ten sam kąt jak pokazany na Rys. 4.97. Zgodnie z załącznikiem Z1-14 współczynnik zC C można wtedy wyliczyć ze wzoru:

5

0

cosn

z nn

C a n

(4.26)

0 1 2

3 4 5

0,2275; 0,1301; 0,9826;

0,1602; 0,0562; 0,0108;

a a a

a a a

Wartości współczynnika C i odpowiadającą mu wartość obciążenia pk wyliczmy dla wartości kąta zmieniających się co 100 dla kątów z przedziału <00, 1800>. Otrzymane wartości zapisano w Tabeli 6. W tabeli tej podano też współrzędną Y na której ma się zaczynać i kończyć dane pasmo obciążenia, szerokość tego pasma d oraz numery paneli, których dane pasmo obciążenia dotyczy.

Przykład nr 9 161

Tabela 6 Wartości obciążenia wiatrem

Nr Kąt [0] C (wg (4.26)

) pk (wg (4.25))

[kN/m2] Y [m] d =Yi – Yi+1

[m] Nr

panelu

1 0 1,09 1,05 25 0,38 1

2 10 1,00 0,96 24,62 1,13 1

3 20 0,74 0,71 23,49 1,84 1

4 30 0,36 0,34 21,65 2,45 1, 2

5 40 -0,08 -0,08 19,15 3,08 1, 2

6 50 -0,50 -0,48 16,07 3,57 1, 2

7 60 -0,85 -0,82 12,50 3,95 1, 2, 3

8 70 -1,08 -1,04 8,55 4,21 1, 2, 3, 5

9 80 -1,17 -1,13 4,34 4,34 1, 2, 3, 5

10 90 -1,15 -1,11 0 4,34 6, 7, 8, 10

11 100 -1,04 -1,00 -4,34 4,21 6, 7, 8, 10

12 110 -0,87 -0,83 -8,55 3,95 6, 7, 8

13 120 -0,65 -0,62 -12,50 3,57 6, 7

14 130 -0,40 -0,39 -16,07 3,08 6, 7

15 140 -0,14 -0,13 -19,15 2,45 6, 7

16 150 0,11 0,11 -21,65 1,84 6

17 160 0,33 0,32 -23,49 1,13 6

18 170 0,48 0,46 -24,62 0,38 6

19 180 0,53 0,51 -25

Definicję obciążenia wiatrem zaczynamy od definicji nowego przypadku obciążenia o nazwie Wiatr (Natura: wiatr) w oknie Przypadki obciążeń. Następnie z bocznego paska ikon wybiera-

my ikonę Definicja obciążeń . W oknie Obciążenie wybieramy zakładkę Powierzchniowe

i ikonę Obciążenie powierzchniowe (3p). W oknie Obciążenia powierzchnio... definiuje-

162 Przykład nr 9

my parametry poszczególnych pasm obciążenia przyjmując następujące zasady:

Wartość obciążenia w kierunku Z w punkcie P1 pasma i jest wartością -pki z Tabeli 6. Wartość Z w punktach P2 i P3 to wartości -pki+1 z tej samej tabeli.

Współrzędna punktu A to współrzędna punktu leżącego na globalnej osi Y rozpoczynają-cego pasmo Yi w Tabeli 6

Współrzędne punktów B i C mają współrzędną Yi+1 z Tabeli 6, współrzędne X przyjmu-jemy zawsze jako ± 25, a współrzędną Z zawsze jako zerową.

Zaznaczmy, że obciążenia mają charakter lokalny i że wystąpią ograniczenia geometryczne.

Wybieramy przycisk Ograniczenia geometryczne w celu zdefiniowania pasma, w którym będzie działało obciążenie

Rys. 4.108. Okno Obciążenie powierzchnio... i Ograniczenia geometryc... w trakcie definiowania pierw-szego pasma obciążenia wiatrem.

W oknie Ograniczenia geometryc... wskazujemy, że płaszczyzna ograniczająca jest równoległa do płaszczyzny XZ. Współrzędną Y Punktu 1 określa wartość Yi+1 z Tabeli 6. Punkt 4 ma zawsze te same współrzędne (0; 25; 0) natomiast Grubość d: (tę wartość należy aktywować) odpowiada wartości di w Tabeli 6. Definicję ograniczeń kończymy naciskając przycisk Zastosuj, potem zamykamy okno Ograniczenia geometryc..., a w oknie Obciążenie powierzchnio... wybieramy przycisk Dodaj, w oknie Obciążenia w polu Zastosuj do wpisujemy numery obciążanych paneli (na podstawie Tabeli 6) i wybieramy przycisk Zastosuj. Przykład okien definiujących obciąże-nia dla pierwszego pasma obciążenia wiatrem pokazano na Rys. 4.108. Teraz powracamy do

definicji obciążenia dla kolejnego pasma wybierając ponownie ikonę Obciążenie po-wierzchniowe (3p). Czynność powtarzamy dla wszystkich osiemnastu pasm obciążenia. Wyge-nerowane obciążenie pokazano na Rys. 4.109, do którego wygenerowania, w celu zwiększenia czytelności zastosowano płaszczyznę tnącą równoległą do osi X i zwiększono poziom przezro-czystości części niewidocznej posługując się suwakami widocznymi w prawym dolnym naroż-

Przykład nr 9 163

niku okna Widok.

Rys. 4.109. Wygenerowane obciążenie wiatrem

Krok 6 – obliczenia i analiza wyników

Obliczenia kopuły wykonujemy poprzez wybranie ikony Rozpoczęcie obliczeń z górnego paska ikon (warto przed tą czynnością zapamiętać wprowadzone dane zadania!). Po-prawnie wykonane obliczenia zostaną potwierdzone komunikatem Wyniki MES: aktualne na górnej krawędzi okna programu. Za pomocą menu definicji modelu wybieramy Rezultaty >> Rezultaty mapy. Kopuła jest konstrukcją obrotowo symetryczną, dlatego do prezentacji naprę-żeń najlepiej wybrać biegunowy układ współrzędnych, wtedy naprężenia południkowe będą dostępne jako Sxx, a naprężenia równoleżnikowe jako Syy. Zmiany układu współrzędnych do prezentacji wyników dokonujemy w oknie Mapy w zakładce Szczegółowe wybierając przycisk oznaczony w tym momencie jako Kierunek automatyczny. Spowoduje to otwarcie okna Wybór kierunku, w którym zaznaczmy Układ lokalnych osi: jako biegunowy i wskazujemy początek układu w punkcie (0;0;0) wpisując poszczególne składowe w polach widocznych na Rys. 4.110. Po zamknięciu okna Wybór kierunku w oknie Mapy zmieni się tekst widoczny na przycisku służącym do zmiany układu współrzędnych na Radialny (współrzędne) x=0, y=0, z=0. Wskazu-je to na obowiązujący obecnie układ współrzędnych. Zaznaczamy teraz w oknie Mapy w za-kładce Szczegółowe opcję Naprężenia sxx oraz otwórz nowe okno z pokazaną skalą. Spowoduje to, że mapa będzie pokazywana w nowo otwartym oknie (Rys. 4.110). Przy tworzeniu kolej-nych map możemy tę opcję zaznaczać, jeśli chcemy aby każdy kolejny wykres był tworzony w nowym oknie lub odznaczać jeśli chcemy aby nowy wykres zastąpił utworzony wcześniej. Ge-neracja wykresu nastąpi po każdorazowym wybraniu przycisku Zastosuj.

164 Przykład nr 9

Rys. 4.110. Okno Wybór kierunku i Mapy w trakcie definiowania map naprężeń dla powłoki

Przykładowo wygenerowane mapy naprężeń Sxx i Syy w środkowej warstwie powłoki dla poszczególnych schematów obciążeń pokazano na Rys. 4.111 i Rys. 4.112.

Przykład nr 9 165

a)

b)

Rys. 4.111. Mapy naprężeń dla a) ciężaru własnego; b) schematu Śnieg1

166 Przykład nr 9

c)

d)

Rys. 4.112. Mapy naprężeń dla a)schematu Śnieg2; b) schematu Wiatr

Piśmiennictwo 167

5 PIŚMIENNICTWO

[1] Zienkiewicz O. C.: Metoda elementów skończonych. Arkady, Warszawa 1972.

[2] Zienkiewicz O. C., R.L. Taylor: The Finite Element Method. Sixth Edition. Elsevier, Oxford 2005

[3] Rakowski G., Kacprzyk Z.: Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, wyd. 2, Warszawa 2005.

[4] Dacko M., Borkowski W., Dobrociński S., Niezgoda T. Wieczorek M.: Metoda elemen-tów skończonych w mechanice konstrukcji. Arkady, Warszawa 1994.

[5] Robot Millenium 21.0 Podręcznik Użytkownika. Tom I i II, Autodesk 2008

[6] Starosolski W.: Konstrukcje żelbetowe. Tom II, PWN, Warszawa 1998.

[7] Starosolski W.: Konstrukcje żelbetowe. Tom I, PWN, Warszawa 1998.

[8] Branicki Cz.: Zadania z Mechaniki Budowli Tom 1, Układy statycznie wyznaczalne. Poli-technika Gdańska Gdańsk 1975.

[9] Chmielewski T., Zębaty Z.: Podstawy dynamiki budowli. Arkady 1998.

[10] Rucka M., Wilde K.: Dynamika budowli z przykładami w środowisku MATLAB. Wydaw-nictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 2008.

[11] Branicki Cz., Ciesielski R., Kacprzyk Z., Kączkowski Z., Rakowski G.: Mechanika Bu-dowli. Ujęcie komputerowe. Tom 1-3, Arkady, Warszawa 1997.

[12] Hajduk J., Osiecki J.: Ustroje cięgnowe. Teoria i obliczanie. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1970.

[13] Newmark N.M., A Method of Computation for Structural Dynamics, Journal of the Engi-neering Mechanics Division, 85 (1959), pp. 67-94

[14] Walczak J.: Wytrzymałość materiałów oraz podstawy teorii sprężystości i plastyczności. Tom 1. PWN, Warszawa-Kraków 1978.

[15] Bodaszewski W.: Wytrzymałość materiałów z elementami mechaniki konstrukcji T.1, Wy-dawnictwo Politechniki Świętokrzyskiej, Kielce 2005.

[16] Kączkowski Z.: Płyty. Obliczenia statyczne, Arkady, Warszawa 2001.

[17] Timoszenko S., Woinowsky-Krieger S.: Teoria płyt i powłok, Arkady, Warszawa 1962.

[18] Girkmann K.: Dźwigary powierzchniowe, Arkady, Warszawa 1956