มทรกซรบบมกรชงน · 2019. 12. 20. · เอกสารประกอบการสอน ðรายวิชา ðSC402101 พีชคณิตเชิงเส้น

บทท 1

เมทรกซและระบบสมการเชงเสน

Matrices and System of Linear Equations

1.1 เมทรกซและการดำเนนการ

1.1.1 ความหมายของเมทรกซ

เมทรกซ (matrix) คอ กลมของจำนวนซงนำมาจดเรยงกนเปนรป

สเหลยมมมฉาก และบรรจภายในเครองหมาย [ ] เขยนในรปทวไป ไดดงน

A =

a a ⋯ aa a ⋯ a⋮ ⋮ ⋱ ⋮

a a ⋯ a หรอ a

×

ในบางตำราอาจใชเครองหมายทแตกตางออกไป เชน ( ) แทน

[ ] เปนตน

← l! I can . .- a..

. เอกสารประกอบการสอน รายวชา SC402101 พชคณตเชงเสน 1 .

บทท 1 เมทรกซและระบบสมการเชงเสน หนา 2

x เรยก a วา สมาชก (element หรอ entry) ในแถวท i และหลกท j ของเมทรกซ A

x เมทรกซ A ม m แถว และ n หลก จะกลาววา เมทรกซ A ม

อนดบ (order) m × n

x จะเรยกสมาชก a โดยท i = 1,2,3, … , k =min {m, n} วา สมาชกในแนวทแยงมมหลก (main

diagonal entries) ของเมทรกซ A

x เรยก เมทรกซ

aa⋮

a เมอ j = 1,2,3,… , n ซงมอนดบเปน

m × 1 วา เมทรกซหลก (column matrix) ของเมทรกซ A

x เรยก เมทรกซ

[a a ⋯ a ]

เมอ i = 1,2,3, … ,m ซงมอนดบเปน 1 × n วา เมทรกซ

แถว (row matrix) ของเมทรกซ A



ตวอยาง 1.1.1 กำหนดให

A =

5 3 −50 9 47 −2 121 −4 8

เมทรกซหลกของเมทรกซ A มดงน

เมทรกซแถวของเมทรกซ A มดงน

และม a = 5, a = 9 และ a = 12 เปน

สมาชกในแนวทแยงมมหลกของเมทรกซ A

in÷n÷,[ 5 3 - 5T

,[ 0 947 ,

[ 7 -212 ],[ I - 48 ]



1.1.2 เมทรกซแบบตางๆ

เมทรกซศนย (zero or null matrix)

คอ เมทรกซทมสมาชกทกตวเปนศนย เขยนแทนดวยสญลกษณ

0 ถาตองการเจาะจงเมทรกซศนยทมอนดบเปน m × n จะเขยน

แทนดวย 0 × เชน

0 = 0 × =

0 0 00 0 00 0 00 0 0

เมทรกซจตรส (square matrix)

คอ เมทรกซทมจำนวนของแถวเทากบจำนวนของหลก ถาเมท

รกซจตรสม n แถว จะเรยกวา เมทรกซจตรสอนดบ n (square

matrix of order n) เชน

3 1 2 7

−1 4 3 40 49 12 0

0.1 9 −0.6 −5



เมทรกซแบบสามเหลยมบน (upper triangular matrix)

คอ เมทรกซจตรสทมสมาชกใตเสนแนวทแยงมมหลกเปนศนยทก

ตว เชน

4 0 5 40 −6 5 −30 0 0 10 0 0 7

นนคอ

ถา i > j แลว a = 0

(a = a = a = a = a = a = 0)



เมทรกซแบบสามเหลยมลาง (lower triangular matrix)

คอ เมทรกซจตรสทมสมาชกเหนอเสนแนวทแยงมมหลกเทากบ 0

ทกตว เชน

1 0 0 04 9 0 05 −1 0 09 5 0 4

นนคอ

ถา i < j แลว a = 0

(a = a = a = a = a = a = 0)

เมทรกซทแยงมม (diagonal matrix)

คอ เมทรกซจตรสทเปนทงเมทรกซแบบสามเหลยมบน และเมท

รกซแบบสามเหลยมลาง เชน

3 0 0 00 0 0 00 0 12 00 0 0 −5

นนคอ ถา i ≠ j แลว a = 0



เมทรกซเอกลกษณ (identity or unit matrix)

คอ เมทรกซทแยงมมทมสมาชกในแนวทแยงมมหลกเปนหนงทก

ตว เราจะใช I แทนเมทรกซเอกลกษณอนดบ n เชน

I =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

เมทรกซสมมาตร (symmetric matrix)

คอ เมทรกซจตรส a×

โดยท a = a สำหรบทกคา

i, j ∈ {1,2,3, … , n} เชน

1 2 4 62 −1 5 34 5 0 −46 3 −4 7

Ay z -

-Az, 913 = 931

a

a... .



1.1.3 การดำเนนการบนเมทรกซ (Matrix operations)

บทนยาม 1.1.1 ให A = a×

และ B = b×

A เทากบ B กตอเมอ a = b สำหรบทก i ∈{1,2,3,… ,m} และ j ∈ {1,2,3, … , n}

และเขยน A = B แทน A เทากบ B


และ B = b×

และ c เปนจำนวนจรงใดๆ

1. การบวก ลบ เมทรกซ และการคณเมทรกซดวยจำนวนจรง

1.1 A + B = a + b×

1.2 cA = ca×

1.3 A − B = A + (−1)B = a − b×

2. เมทรกซสลบเปลยน ของเมทรกซ A (transpose of a matrix A)

นยามโดย

A = c×

เมอ c = a สำหรบทก i ∈ {1,2,3,… , n} และ j ∈{1,2,3,… ,m}



ตวอยาง 1.1.2

กำหนดให A = w 1 2 yy 4 3 4

และ B = z 1 2v wx u 3 z

ถา A − B = 0 × แลว u, v,w, x, y, z มคาเทาไร

วธทำ

2×4

A - B=fw- Z O 2-a Y - w ) = o

Y - X 4-u O 4-z2×4

W - 7=0 ⇒ w - t w=z=y=X=42- 2V=0 ⇒ D= 1

a- I

'i:÷÷:} . .4 -u =0 ⇒ u = 4

4-7=0 ⇒ 2- = 4 #



ทฤษฎบท 1.1.1 กำหนดให A, B, C เปนเมทรกซอนดบ m × n

และ c, d เปนจำนวนจรง จะไดวา

1. A ± B และ cA มอนดบ m × n

2. A + B = B + A

3. A + (B + C) = (A + B) + C

4. A + 0 × = A

5. สำหรบทกเมทรกซ A ทมอนดบ m × n จะมเมทรกซ B ทม

อนดบ m × n ททำให

A + B = 0 ×

เราจะเรยกเมทรกซ B วา อนเวอรสการบวก ของเมทรกซ A

เขยนแทนดวย B = −A

6. −A = (−1)A และ (cd)A = c(dA)

7. c(A + B) = cA + cB

8. (c + d)A = cA + dA

9. 0A = 0 × และ 1A = A



ตวอยาง 1.1.3 กำหนดให

A = 3 1 2 7−1 4 3 4

และ B = 7 1 −4 61/2 0 3 9

(i) จงหา A + B

วธทำ

ATB - f !?2 -2 13 )

z4 6 13



(ii) จงหา 5A − 2B

วธทำ

SA - 29=115-145-2 101-8 35 - 12 )-5 - I 20 - O 15-6 20 - 18

=L: : : :L*



(iii) จงหา A + B

วธทำ

ii. if:¥H÷=/!!

"

! ) = Heist

④ ( ATT - A ,@AIT -

-AAT

② (A TBT = At + BT



(iv) จงหา (A + B)

วธทำ

✓



ทฤษฎบท 1.1.2 ให A, B เปนเมทรกซอนดบ m × n และ a

เปนจำนวนจรง จะไดวา

1. (A ) = A และ (aA) = aA

2. (A + B) = A + B


และ B = b×

ผลคณของเมทรกซ A และ B เขยนแทนดวย

AB = c×

โดยท c = ผลคณของเมทรกซแถวท i ของเมทรกซ A กบเมทรกซ

หลกท j ของเมทรกซ B นนคอ

c = a b

สำหรบทก i = 1,2,3,… ,m และ j = 1,2,3, … , p

= =

O




กำหนดให C =3 1 −2 7

−1 4 3 4

และ D =

[

4 2

−1 0

5 1

8 3 ]

(i) จงหา CD

วธทำ

2×4

CD = [ 12×24×2

(D= [12+(-1141-10) -156 6-101-(-27-121)-4 - 4-115-132 - 2+01-31-12

=L ;: :3.



(ii) จงหา DC

วธทำ

Del 74×2 ,C -- l 12×4

= I ]4x4

Ba

"i.÷: :÷:"

÷,21 20 -7 68

iii. ÷.

"

*




กำหนดให A = [3 1 −2 7] และ B =

[ 2

0

1

3 ]

(i) จงหา AB

วธทำ AB =

1×4

4×7

[ Taxi

BA = [ ]4x4



(ii) จงหา BA

วธทำ

BA =



ทฤษฎบท 1.1.3 กำหนดให A, B, C, D เปนเมทรกซ จะไดวา

1. A(BC) = (AB)C

2. A(B + C) = AB + AC

3. (B + C)D = BD + CD



1.2 ตวผกผนของเมทรกซ (Inverse of matrix)

ให A เปนเมทรกซจตรสอนดบ n และ I เปนเมทรกซเอกลกษณ จะ

ไดวา

AI = I A = A

และจะเรยก เมทรกซ I วาเปนเอกลกษณการคณ (multiplicative

identity)

i:÷÷÷i.



บทนยาม 1.2.1.

1. สำหรบเมทรกซจตรส A อนดบ n ใดๆ ถามเมทรกซ B ซงทำ

ใหผลคณ AB = BA = I

แลว จะเรยก B วา ตวผกผน (inverse) ของเมทรกซ A

2. ถาเมทรกซ A มตวผกผน จะเรยก A วา เมทรกซไมเอกฐาน

(non-singular matrix) และจะใชสญลกษณ A แทนตว

ผกผนของเมทรกซ A นนคอ AA = A A = I

3. ถาเมทรกซ A ไมมตวผกผน จะเรยก A วา เมทรกซเอกฐาน

(singular matrix)



ตวอยาง(เพมเตม) ให A = 3 15 2 และ B =

2 −1−5 3

จงแสดงวา B เปนตวผกผนของ A

วธทำ

Mr

D=

-

AB = BA = Iz

AB -- [to f ) = Iz

BA = [g g y = q } AB -- BA - Iz

*



1.2.1 การหาตวผกผนของเมทรกซอนดบ ퟐ × ퟐ

ในการหาตวผกผนของเมทรกซจตรสอนดบ 2 นน เราไดศกษา

มาแลวในระดบมธยมศกษา ซงมวธการหาตวผกผนทไมซบซอนมาก

พจารณาไดจาก

กำหนดให A = a bc d จะไดวา

1. ถา ad − bc ≠ 0 แลว A เปนเมทรกซไมเอกฐาน และตว

ผกผนของเมทรกซ A คอ

A =1

ad − bcd −b

−c a

2. ถา ad − bc = 0 แลว A เปนเมทรกซเอกฐาน

¥



ตวอยาง 1.2.1 จงหา A โดยท

A = 2 34 7

วธทำ

e

④

① check (2) (7) - (4) 137 = 14 - 12 = 2

A"

-

- it:-

it- t:#



ตวอยาง 1.2.2 จงหา A โดยท

A = 2 34 6

วธทำ

⑦ check (2) 16) - 147137 = 0

.

'

.

A rafrisrnrhrionow (singular matrix)

#



บทประยกตหนงทสำคญของเมทรกซคอการประยกตใชเมทรกซ

ผกผนกบการแกระบบสมการเชงเสน ซง ณ ทนจะพจารณาระบบ

สมการเชงเสนอยางงาย ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง 1.2.3 จงแกระบบสมการเชงเสนตอไปน

2x + 3y = 12

4x + 7y = 20

วธทำ

AX = B - M

A -- f : ; I , xf; I ,is .- I :/

A"

A X -- A"

B

Iz X -- A

-'

B

X = A' '

B

on a-'

y÷. ' r x -- f: I:/e::::it

.

.

.X -- I2

,y = -4 #



1.3 ดเทอรมแนนต (Determinant)

ให A เปนเมทรกซจตรสอนดบ n

ดเทอรมแนนต (determinant) ของ A เขยนแทนดวย det A หรอ

|A| เปนสเกลาร(จำนวนจรง)ซงสามารถหาคาไดโดยวธการตอไปน

x กรณ n = 1

A = [a] เมอ a ∈ ℝ

ดเทอรมแนนตของเมทรกซจะกำหนดใหเปนสมาชกของเมทรกซนน

x กรณ n = 2

A = a bc d

ดเทอรมแนนตของเมทรกซหาไดจากสตร

det ( CST) = 5

xdet A = ad - bc



ตวอยาง 1.3.3 จงหา det 2 34 7

วธทำ

det ( I, I ] =(27171-14113)

= 14 - 12 = 2



x กรณ n = 3

A = a a aa a a a a a

ดเทอรมแนนตของเมทรกซหาไดจากสตร

det A = (a a a + a a a+ a a a )

−(a a a + a a a +a a a )

จะอธบายเปนแผนภาพดงน

a a a a aa a a a aa a a a a

+ + +

− − −

①

Any 912

921 922

Ay , 932

④



ตวอยาง 1.3.4 กำหนดให A = −1 5 8

2 3 7 1 2 3

จงหา det A

วธทำ

-0

' iii. it: : .④ 35

32

det A = f- 9) t 35 -132 - 24 -114- 30 yy

④④= 18 1

92430

①-0



ตวอยาง(เพมเตม) กำหนดให A = 0 1 53 −6 9 2 6 1

จงหา det A

วธทำ



1.3.2 สมบตของดเทอรมแนนต

กำหนดให A, B เปนเมทรกซจตรสอนดบ n จะไดวา

1. ถาสมาชกทกตวในแถวใดแถวหนง หรอ หลกใดหลกหนง ของ A

เปนศนยหมดทกตวแลว det A = 0

2. det A = det (A )

A -- f ! ! ! ) ,A=f ! ! ! ) ,

-DotA -- o



3. ถาเมทรกซ B เกดจากการสลบสองแถวใดๆ หรอ การสลบสอง

หลกใดๆ ของเมทรกซ A แลว det B = −det A

4. ถาสมาชกในสองแถว หรอ สองหลก ใดๆ ของเมทรกซ A

เหมอนกน แลว det A = 0

A- f; ; ).BY:1/.c=l:iIdetB---detA,detC---det-A

f-'

i''il I



5. ถาเมทรกซ B เกดจากการคณแถวใดแถวหนง หรอ หลกใดหลก

หนงของเมทรกซ A ดวยจำนวนจรง k แลว det B =kdet A

6. คาของดเทอรมแนนตจะไมเปลยนแปลง ถานำ k เทาของแถวท

r ไปบวกกบแถวท s ของเมทรกซ (หรอ นำ k เทาของหลกท r ไปบวกกบหลกท s ของเมทรกซ)

* I'

: : :D .. -- II :

.:L

det B = 2 def A

d. = ( ¥ ¥ ! ) ,

dit C =3 At A

at'

: :'

:L . :÷i÷÷÷÷f: : 'mdef A = det B



7. คาของดเทอรมแนนตของเมทรกซแบบสามเหลยมบน หรอ เมทรกซแบบสามเหลยมลาง จะเทากบผลคณของสมาชกในแนวทแยง

มมหลกของเมทรกซ

8. det(AB) = (det A)(det B)

[I

was --

at: : I .. at :

At A = KHA) = it ,det B = (27177/8)--16

Atc = 4147121



9. det(kA) = k det A

A -- f! ! ) , 2A -- f : 4g) Aetna) -- 2?detA



ตวอยาง 1.3.5 พจารณาดเทอรมแนนตของเมทรกซตอไปน

1. A =1 2 34 5 60 0 0

det A =

ใชสมบตขอ…………

2. A =1 2 35 −5 15 −5 1

,

B =1 2 24 0 07 4 4

det A = det B =


3. A =−1 5 1

2 3 21 2 1

,

B =1 2 12 3 2

−1 5 1 ,

C =−1 1 5

2 2 31 1 2

det B = −det A det C = −det A


O

1

O

O

4

3



4. A =−1 5 0

2 3 71 2 1

,

A =−1 2 1

5 3 20 7 1

det A = det A


5. A =−1 5 1

2 3 21 2 1

,

B =−2 10 2

2 3 21 2 1

,

C =−1 5 3

2 3 61 2 3

det B = 2det A det C = 3det A


2

5



6. A =1 2 30 5 60 0 9

,

B =1 0 04 5 07 8 9

,

C =1 0 00 5 00 0 9

det A = det B = det C = 1 ⋅ 5 ⋅ 9


7



จากสมบตดงทไดกลาวมา สามารถประยกตเพอหาดเทอรมแน

นตของเมทรกซไดดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง 1.3.6 จงหาดเทอรมแนนตของเมทรกซ A ตอไปน

A =

1 3 0 20 2 1 32 2 1 3

0 0 3 −2

วธทำ

ata =/ ! ! ! :/"

= " l : : : Il2 2 I 3

⇐ " f : : : :/'Ii :: : ::"

O -4 I - I

''' /'

g ! ! } ,i :*: yin;

x

O O 3 5

en f : : :p . .:*: : : ::O O O -4

= C- I) ( 17127 G ) f-47

= 8



ตวอยาง 1.3.7 จงหา det A โดยท

A =

99 0 198 02 2 −4 01 2 1 21 −3 6 1

วธทำ

delay ! ! ÷: :/i. ÷ : :÷ :L ÷::::::

(- 4 ) x srna 3 t ring 2

=/ :&. I:": :/ ''

÷ " o-3 8 - H O

2 - 3 6 7

easy : : : :/77- z g - ll O

Z - 3 6 I

nay :÷i÷ : :L "

÷ :"

:'

- s 8 -11 O

z -z 6 7

¥4 O O O

'" I :i÷÷÷t÷t : : : :/

2 - 3 6 I

⇐ ) x lira 2 1- "m 12 I

=f,

If-Htt ¥4- ' boo tf;

✓ It 16 4

48-- a" . i '

.÷:



1.4 การดำเนนการตามแถวมลฐาน

1.4.1 การดำเนนการตามแถวมลฐาน

การดำเนนการตามแถวมลฐาน คอ การดำเนนการอกรปแบบหนงของ

เมทรกซ ซงในหวขอนจะนำไปใชประโยชนในการคำนวณหาเมทรกซ

ผกผน และการหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนในหวขอถดไป

บทนยาม 1.4.1 การดำเนนการตามแถวมลฐาน (elementary

row operation) ของเมทรกซ คอ การดำเนนการแบบใดแบบหนง ใน

3 แบบตอไปน

1. การสลบทระหวางแถวท i และ j ใชสญลกษณ R ⟺ R

2. การนำคาคงตว k ทไมเทากบศนยคณแถวท i (ใชสญลกษณ

kR ⇒ R ) 3. การนำคาคงตว k ทไมเทากบศนยคณแถวท i แลวนำไปบวกกบแถวท j โดยท i ≠ j ใชสญลกษณ R + kR ⇒ R

การดำเนนการตามแถวทจะกลาวตอไปตลอดทงเอกสาร เราพจารณา

เฉพาะการดำเนนการตามแถวมลฐานเทานน ดงนนเพอความสะดวกจะ

เรยก การดำเนนการตามแถว แทน การดำเนนการตามแถวมลฐาน



ตวอยาง 1.4.1 กำหนดให A =1 2 42 −1 04 2 1

ถา C และ D เปนเมทรกซซงไดจากการดำเนนการตามแถวของ

เมทรกซ A โดย −2R ⇒ R และ R + 3R ⇒ R

ตามลำดบ จงหาเมทรกซ C และ D

วธทำ

C - f.& § § ) -2Rz⇒Rz

I 2 4

D= (5 5 12 ) Rg -1312,-7kg4 27

Arc,

A - D



บทนยาม 1.4.2 ถา A และ B เปนเมทรกซอนดบ m × n จะ

กลาววา

เมทรกซ A สมมลตามแถว (row equivalent) กบเมทรกซ B

ถาเมทรกซ B ไดจากการดำเนนการตามแถวบนเมทรกซ A

ตอเนองกน จำนวน k ครง จะใชสญลกษณ A ∼ B

จากตวอยาง 1.4.1 จะไดวา เมทรกซ A สมมลตามแถวกบเมท

รกซ C และ D

นนคอ A ∼ C และ A ∼ D

บทนยาม 1.4.3 เมทรกซมลฐาน (elementary matrix) คอ เมท

รกซทไดจากการดำเนนการตามแถวของเมทรกซเอกลกษณเพยงครง

เดยว

•

=



ตวอยาง 1.4.2 จงสรางเมทรกซมลฐานจากเมทรกซเอกลกษณ

I =1 0 00 1 00 0 1

มาอยางนอย 3 เมทรกซ

วธทำ

การดำเนนการตามแถวของเมทรกซ I โดย R ⇔ R

การดำเนนการตามแถวของเมทรกซ I โดย 3R +R ⟹ R

c: : :L

is :"



การดำเนนการตามแถวของเมทรกซ I โดย 2R

so:*



ทฤษฎบท 1.4.1 กำหนดให A เปนเมทรกซอนดบ m × n และ B เปนเมทรกซทไดจากการดำเนนการตามแถวบนเมทรกซ A หนง

ครง กตอเมอมเมทรกซมลฐาน E ทไดจากการดำเนนการตามแถวบน

เมทรกซ I แบบเดยวกนกบการดำเนนการบนเมทรกซ A ททำ

ให B = EA



ตวอยาง 1.4.3 กำหนดให A =1 42 53 6

ถา E , E และ

E เกดจากการดำเนนการตามแถวของ I โดย

R ⇔ R และ R + 3R ⟹ R และ 2R

ตามลำดบ

1) จงหา E A , E A , E A

2) จงหาเมทรกซซงไดจากการดำเนนการตามแถวบนเมทรกซ A

โดย R ⇔ R , 3R + R ⟹ R และ 2R

วธทำ จากตวอยาง 1.4.2 จะไดวา

E =

E =

E =

3×2

c:* ,Eat

'

II

f's :& ) early:{HIM1%1 '

EA - f : K¥71414



ทฤษฎบท 1.4.2 กำหนดใหเมทรกซ A และ B มอนดบ

m × n จะไดวาเมทรกซ A สมมลตามแถวกบเมทรกซ B ก

ตอเมอ B = E E ��E E A เมอ E , E , … , E , E เปนเมทรกซมลฐาน

ทฤษฎบท 1.4.3 กำหนดให A เปนเมทรกซจตรสอนดบ n

A เปนเมทรกซไมเอกฐาน กตอเมอ A สมมลตามแถวกบเมทรกซ

เอกลกษณ I

หมายเหต

1) เมทรกซมลฐานทกเมทรกซเปนเมทรกซไมเอกฐาน (เมทรกซท

หาตวผกผนได)

2) ถา A สมมลตามแถวกบ I นนคอ

I = E E ⋯E E A

โดยท E , E , … , E เปนเมทรกซมลฐาน ดงนน

A = E E ⋯E E

A = E E ⋯E E I

นนคอ I สมมลตามแถวกบ A

An B

- 1

In AA



สรปการหาตวผกผนของเมทรกซจตรสอนดบ 𝐧 โดยใชการ

ดำเนนการตามแถว

1. กำหนดให A เปนเมทรกซจตรสอนดบ n

2. สรางเมทรกซ [A: I ] 3. ใชการดำเนนการตามแถวบนเมทรกซ [A: I ] จนไดผลลพธเปนเมทรกซ [I : B] (ถาหาได) ดงนน

[A: I ] ∼ ⋯ ∼ [I : B] 4. จะได A = B



ตวอยาง 1.4.4 จงหาเมทรกซผกผนของเมทรกซ A =2 1 3

1 0 1

3 1 1

วธทำ

[A: I ] =

2 1 3 : 1 0 0

1 0 1 : 0 1 0

3 1 1 : 0 0 1

i1

:

f: : : ! : : :fRi→ 's3 I 7 0 0 I

- 2 O- 2 O -20

FAR,tRjeRzf ; ; ; : : .io/i-nrie.er,O l - 2 : O -31

→ o - so -30

is : : : : :%::"÷÷:O O -3 ; - 7 - I 7

f: : : : : ::] rim.

o O 1 : Yg 'b-Yg

1 O O i - kg kg 73 f-1) RztRtR ,~ (o y o : 73 -73 § c-DRytRg*Rzo o n : 'G 'f

- Ys oo - i -t- '

g 's→13

= [ Is : A' '

]

i. a:c:÷÷÷÷t*



ทฤษฎบท 1.4.4 กำหนดให A เปนเมทรกซจตรสอนดบ n จะไดวา

A จะเปนเมทรกซเอกฐาน กตอเมอ A สมมลกบเมทรกซ B ซงม

สมาชกเปนศนยหมดอยางนอย 1 แถว

ตวอยาง 1.4.5 จงแสดงวา A =1 2 −31 −2 15 −2 −3

เปน

เมทรกซเอกฐาน

วธทำ

* =L! !. .

- z '

n 2 - 3

~ (O - 4 4) C-1) R,+ Roger,

O - 12 12C-5) Rgt Rgt Rg- T - to 15

I 2- 3

~ ( o - 4 -4 ) C-3) Rgt Rst RzO O O O 12 - 12

.

'

.A oalriunrnsohonagv #



ตวอยาง(เพมเตม) จงหาเมทรกซผกผนของเมทรกซ A =3 −1 2

2 1 1

1 −3 0

วธทำ

[A: I ] =

3 −1 2 : 1 0 0

2 1 1 : 0 1 0

1 −3 0 : 0 0 1

HW # 1

£9948 18 8. A.

62

I go

÷= ( Iz : A

' ' )



1.5 ระบบสมการเชงเสน

1.5.1 ทบทวนระบบสมการเชงเสน 2 สมการ 2 ตวแปร

เราจะเรยก

A x + B y = CA x + B y = C

เมอ A , A , B , B , C , C เปนคาคงท

วาระบบสมการเชงเสน (2 สมการ 2 ตวแปร)

และ

จะเรยก (x , y ) วาเปนผลเฉลย (solution) ของระบบสมการเชง

เสน ถาแทน 푥 = 푥 และ 푦 = 푦 ในระบบสมการแลว

สอดคลองทกสมการ

นนคอ

A x + B y = CA x + B y = C

l : Axt By -- CTex

, y)

l,:

lz :



ตวอยาง

1. x − y = 1 3x + 2y = 8

2. x − y = 1 2x − 2y = 15

-①

- @

① x2 ; 2x - ay -

- 2 -③

⑧ +③ ; 5X = 10 .

'

.

4=2

②" n : y it

( 2,1 )

- ①

-@

① ×2 ; 2x - ay =L- ③

② -⑤ ; 0=13

TO



3. x − y = 1 2x − 2y = 2

หมายเหต เสนตรงสองเสนในระนาบสองมต จะมดวยกนสามลกษณะ

ดงน

¥① x2 : 2x - ay = 2

⑦



กรณท 1

เสนตรง 2 เสนขนานกนจะไมเกด

จดตด

กรณท 2

เสนตรง 2 เสนไมขนานกนจะตด

กนทจดๆ หนง

กรณท 3

เสนตรงทงสองเปนเสนตรง

เดยวกน

푙

푙 푙

푙

푙 푙

X X X

Y Y Y

9 99kid ⑧



1.5.2 ระบบสมการเชงเสน m สมการ n ตวแปร

รปทวไปของระบบสมการเชงเสนทม m สมการ และ n ตวแปร คอ

a x + a x + a x + ⋯+ a x = ba x + a x + a x + ⋯+ a x = b

⋮ ⋮ ⋮a x + a x + a x + ⋯+ a x = b

(1)

เมอ a คอ สมประสทธ (coefficient) ของระบบสมการ

b คอ คาคงตว (constant) และ

x คอ ตวไมทราบคา

ถาแทนคา x = s , x = s ,⋯ , x = s

แลวทำใหระบบสมการ (1) เปนจรง แลวจะเรยก

(s , s , … , s ) วาเปนผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน ซงโดยทวไประบบสมการเชง

เสนอาจจะมผลเฉลยหรอไมมผลเฉลยกได

x ระบบสมการเชงเสนทไมมผลเฉลยจะเรยกวา ระบบทมความขดแยง (inconsistent system)

x ระบบสมการเชงเสนทมผลเฉลยจะเรยกวา ระบบทไมมความขดแยง (consistent system)

tI



หมายเหต‘ ระบบทไมมความขดแยง อาจจะมผลเฉลยของระบบ

สมการ 1 ผลเฉลย หรอ มหลายผลเฉลยกได ซงจะสรปไดดงน

ระบบสมการเชงเสน

System of Linear Equation

ระบบทไมมความขดแยง

Inconsistent system

ระบบทมความขดแยง

Consistent system

ม ퟏ ผลเฉลย

มจำนวนผลเฉลยเปนอนนต

ไมมผลเฉลย



1.5.3 ระบบสมการเชงเสนเอกพนธ (system of homogeneous

equations)

ระบบสมการเชงเสนทมคาคงตว b = 0 ทกคา i = 1,2,3, …

กลาวคอ

a x + a x + a x + ⋯+ a x = 0a x + a x + a x + ⋯+ a x = 0

⋮ ⋮ ⋮a x + a x + a x + ⋯+ a x = 0

(2)

x จะเรยกวา ระบบสมการเช งเสน เอกพ นธ (homogeneous

system of linear equations) และ

x เรยกระบบสมการเชงเสนทไมเปนระบบสมการเชงเสนเอกพนธวา ระบบสมการเชงเสนไมเอกพนธ (non-homogeneous system of

linear equations)



ระบบสมการเชงเสนเอกพนธเปนระบบสมการทไมมความขดแยง

เพราะวาม (0,0,0,… ,0) เปนผลเฉลยของระบบสมการอยแลว

กลาวคอ

a 0 + a 0 + a 0 + ⋯+ a 0 = 0a 0 + a 0 + a 0 + ⋯+ a 0 = 0

⋮ ⋮ ⋮a 0 + a 0 + a 0 + ⋯+ a 0 = 0

และจะเรยก (0,0,0,⋯ ,0) วา ผลเฉลยชด (trivial solution)

ในการหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน นอกจากจะใชวธการ

แทนคา (method of substitution) และวธกำจดตวแปร (method

of elimination) แลวยงมวธทประยกตใชเมทรกซในการหาผลเฉลยได

โดยเฉพาะอยางยงในกรณทระบบสมการมขนาดใหญ



จากระบบสมการเชงเสนในรปแบบทวไป

a x + a x + ⋯+ a x = ba x + a x + ⋯+ a x = b

⋮ ⋮ ⋮a x + a x + ⋯+ a x = b

สามารถเขยนใหเปนสมการในรปเมทรกซไดดงน

โดยท

A =

a a ⋯ aa a ⋯ a⋮ ⋮ ⋱ ⋮

a a ⋯ a,

X =

xx⋮x

, B =

bb⋮

b

AX = B



และจะเรยก A, X และ B วา เมทรกซสมประสทธ เมทรกซตวแปร

และ เมทรกซคาคงตว ตามลำดบ

และสามารถเขยนแทนไดดวยเมทรกซตอไปน

[A|B] =

a a ⋯ a ⋮ ba a ⋯ a ⋮ b⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮

a a ⋯ a ⋮ b

ซงจะเรยกวาเมทรกซแตงเตม (augmented matrix)



ตวอยาง 1.5.1.

(1) จงเขยนระบบสมการเชงเสนตอไปน 2x + y = 5

−4x + 6y = −2 ใหอยในรปเมทรกซแตงเตม

วธทำ

canst- f ! ! ! :/



(2) จงเขยนระบบสมการเชงเสนตอไปน x + y + z = 6

2x + 2z = 4 y + z = 2 x = 4

ใหอยในรปเมทรกซแตงเตม

วธทำ

*" f: : : ::



1.5.4 การดำเนนการตามแถวบนเมทรกซแตงเตม

(Row operations on an augmented matrix)

การดำเนนการตามแถวบนเมทรกซแตงเตมในการแกระบบ

สมการเชงเสนใชในการแกระบบสมการเชงเสนทเขยนแทนดวยเมท

รกซแตงเตม โดยทการดำเนนการตามแถวบนเมทรกซจะกระทำแบบใด

แบบหนง ใน 3 แบบตอไปน

1. การสลบทระหวางแถวท i และ j 2. การนำคาคงตวทไมใชศนยคณแถวท i 3. การนำคาคงตวทไมใชศนยคณแถวท i แลวนำไปบวกกบแถวท j โดยท i ≠ j

ซงจะแทนดวยสญลกษณ

1. R ⟺ R หมายถง การสลบทระหวางแถว

i และ j 2. kR หมายถง การนำคาคงตว k (k ≠ 0)

คณแถว ท i 3. kR + R ⇒ R หมายถง การนำคาคงตว

k (k ≠ 0) คณแถวท i แลวนำไปบวกกบแถวท j ตามลำดบ

⇒Ri



ในการแกระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซ จะดำเนนการตาม

แถวบนเมทรกซแตงเตมทใชแทนระบบสมการ จนกระทงเมทรกซอยใน

รปแบบขนบนไดตามแถว (row echelon form)

บทนยาม 1.5.1 เรยกเมทรกซ 퐴 วาเมทรกซขนบนไดตามแถว (row

echelon matrix) ถา 퐴 สอดคลองกบเงอนไขตอไปน

(R1) แถวทมสมาชกเปนศนยหมด (ถาม) จะตองอยสวนลางสด

ของเมทรกซ

(R2) สมาชกทไมเปนศนยตวแรกในแตละแถวตองเปน 1 เรยก

สมาชก 1 นวาสมาชก 1ตวแรก(leading 1)

(R3) สมาชก 1 ตวแรกของแตละแถวจะปรากฏอยในหลก

ทางดานขวาของสมาชก 1 ตวแรกในแถวถดขนไปทอยตดกน



ตวอยาง 1.5.3 จงพจารณาเมทรกซแตงเตมตอไปน

(1)

1 3 1 ⋮ 20 0 1 ⋮ 40 0 0 ⋮ 50 0 0 ⋮ 0

� เปน � ไมเปน เมทรกซในรปแบบขนบนไดตามแถว

เนองจาก…………………………………………………………………………………..

(2)

1 3 1 ⋮ 20 1 1 ⋮ 40 0 0 ⋮ 00 0 1 ⋮ 0


เนองจาก……………………………………………………………………………………..

O

✓

R2

✓

Rl



(3)

1 3 1 ⋮ 20 1 1 ⋮ 40 1 1 ⋮ 00 0 1 ⋮ 1


เนองจาก…………………………………………………………………………………

(4)

0 1 3 4 ⋮ 20 0 1 3 ⋮ 40 0 0 0 ⋮ 00 0 0 0 ⋮ 0


เนองจาก........................................................................................

o

✓

123

✓



จากขอ (1), (2), (3) และ (4) มขอใดบางทไมอยในรปแบบขนบนไดตามแถว และ

ใหดำเนนการตามแถวใหอยในรปแบบขนบนไดตามแถว

(1)

1 3 1 ⋮ 20 0 1 ⋮ 40 0 0 ⋮ 50 0 0 ⋮ 0

∼

⋮⋮⋮⋮

(2)

1 3 1 ⋮ 20 1 1 ⋮ 40 0 0 ⋮ 00 0 1 ⋮ 0

∼

⋮⋮⋮⋮

(3)

1 3 1 ⋮ 20 1 1 ⋮ 40 1 1 ⋮ 00 0 1 ⋮ 1

∼

⋮⋮⋮⋮

I 3 7200 I 4

O O o yRs

O O O obR3

I 3 720I 1 4 Rfk,O O 7 O

O O O O

B1 3 I 2

O 7 I 4 GIR,-1139

O O O - 4

O O 7 7

Y ': : : : per.( o o o : -4

is:÷÷÷:le:*.



ตวอยาง 1.5.4 จงแกระบบสมการเชงเสนตอไปนโดยใชเมทรกซใน

รปแบบขนบนไดตามแถว

2x + 2y = 6 x + y + z = 1

3x + 4y − z = 13 วธทำ

ขนตอนท 1 : เขยนเมทรกซแตงเตมทใชแทนระบบสมการเชงเสน

ขนตอนท 2 : ดำเนนการตามแถวบนเมทรกซแตงเตม จนกระทงเมท

รกซอยในรปแบบขนบนไดตามแถว

a-"" f ! ! ! ! ! )



l ! ! ! Iii: :p #

er.

3 4 -I '. 73

- n - I O - 3

I 7 O :3

~ ( O O g : -z) (4) Rt- Rz→ Rz0 I - i : 4

C- 3) R,+ Rz → Rz

- 3 - 3 O - 9

of ! ; ? ! ! ) MrsO O 7 : - 2

Moinx + y =3

y- Z = 4

2- =- 2

.

.

. y = 2 bro : x -- I

www.v.osroovvdwmrndo ( 1,2,-2 ) #



ขนตอนท 3: เปลยนเมทรกซแตงเตมใหอยในรประบบสมการไดดงน



ขนตอนในการแกระบบสมการทกลาวมาในตวอยาง 1.5.4 จะ

เรยกวา ระเบยบวธการกำจดแบบเกาส (Gaussian elimination

method) ซงผลเฉลยของระบบสมการทกำหนดให สามารถหาได

จากระบบสมการทสมมลกน ดงทฤษฎตอไปน

ทฤษฎบท 1.5.1 ให AX = B และ CX = D เปนระบบ

สมการเชงเสนทม m สมการและ n ตวตวแปร

ถา [A ∶ B] สมมลตามแถวกบ [C ∶ D] แลว ระบบสมการเชงเสน AX = B และ CX = D จะมเซตของผล

เฉลยเปนเซตเดยวกน

ประโยชนจากการใชการดำเนนการตามแถว บนเมทรกซแตงเตม

ทใชแทนระบบสมการเชงเสนจนกระทงเมทรกซอยในรปแบบขนบนได

ตามแถว คอ

1. กระบวนการหาผลเฉลยจะเปนขนตอนวธ (algorithm)

และสามารถนำมาเขยนโปรแกรมได

2. กระบวนการหาผลเฉลยสามารถประยกตใชกบระบบสมการ

เชงเสนทมขนาดใหญ และสามารถแกปญหากรณทจำนวน

สมการและตวแปรทไมเทากนได



ตวอยาง 1.5.5 จงแกระบบสมการเชงเสนตอไปนโดยใชระเบยบ

วธการกำจดแบบเกาส

x − y + 푧 = 82x + 3y − z = −23x − 2y − 9z = 9

วธทำ

ขนตอนท 1 : เขยนเมทรกซแตงเตมทใชแทนระบบสมการเชงเสน

[A ⋮ B] =⋮⋮⋮

ขนตอนท 2 : ดำเนนการตามแถวบนเมทรกซแตงเตม จนกระทงเมท

รกซอยในรปแบบขนบนไดตามแถว

1 −1 1 ⋮ 82 3 −1 ⋮ −23 −2 −9 ⋮ 9

7 - I 7 8

2 3 - I -2

3 -2 -9 9

1 - I 1 : g- 2 2 - 2 : -16

"(O 5 -3 : -18 ) C-2) RgtRg→R,

0 I -12 : -75 C- 3) R,1- Rz → Rg

- 3 3 - 3 : - 24



go : : : :pO 1 - 12 : - 75

nff ? Is ! :S ) Rs # RsO 5 - 3 : -18

~ ('

o

'

! Is ! Is) th Re tr , → RsO O 57 : 57 O - 5 60 : 75

iii.is : :f⇐⇒r.- r.

O O 7 : I

Ioi -X - y t Z = 8 gdvoio ( 4 , -3,1 )

Y - 127= - is

688 No www.wawmr

d. or y . - s ,}.I,

' / #



ขนตอนท 3: เปลยนเมทรกซแตงเตมใหอยในรประบบสมการไดดงน

Stg

my::÷÷÷:L. .

." .

I - I 0 : 7 C- 1) RztRzeRg~ ( o y 0 : -3 ) 42)RztRgbB

O O 7 : Io O 12:12

~[ ! ! ! ! ) " Rather ,

dash 9=4, y =-3, 2=1



นอกจากการดำเนนการตามแถวบนเมทรกซแตงเตม จนกระทง

เมทรกซอยในรปแบบขนบนไดตามแถวในการแกระบบสมการเชงเสน

ดงตวอยางขางตนแลว ยงสามารถดำเนนการตามแถวเพมเตมไดอก

จนกระทงเมทรกซอยในรปแบบเมทรกซขนบนไดลดรปตามแถว (row-

reduced echelon matrix) ดงบทนยามตอไปน

บทนยาม 1.5.2 เรยกเมทรกซ 퐴 วาเมทรกซขนบนไดลดรปตามแถว

(row-reduced echelon matrix) ถา 퐴 สอดคลองกบเงอนไขตอไปน

(R1) แถวทมสมาชกเปนศนยหมด (ถาม) จะตองอยสวนลางสด

ของเมทรกซ

(R2) สมาชกทไมเปนศนยตวแรกในแตละแถวตองเปน 1 เรยก

สมาชก 1 นวาสมาชก 1

ตวแรก(leading 1)

(R3) สมาชก 1 ตวแรกของแตละแถวจะปรากฏอยในหลก

ทางดานขวาของสมาชก 1

ตวแรกในแถวถดขนไปทอยตดกน

(R4) สมาชกทอยในหลกเดยวกนกบสมาชกทเปน 1 ตวแรกในแต

ละแถวตองเปนศนย



ตวอยาง 1.5.5 (ตอ)

จากเมทรกซในรปแบบขนบนไดตามแถวในตวอยาง 1.5.5

สามารถดำเนนการตามแถวบนเมทรกซตอไป จนกระทงเมทรกซอยใน

รปแบบขนบนไดลดรปตามแถว ดงน

1 −1 1 ⋮ 80 1 −12 ⋮ −150 0 1 ⋮ 1

∼

∼

จะไดวา



จะเหนวา ถาดำเนนการตามแถวบนเมทรกซแตงเตม จนกระทง

เมทรกซอยในรปแบบขนบนไดลดรปตามแถวแลว จะไดคาของตว

แปรแตละตวเทากบคาคงตวในหลกทางขวามอตามลำดบ ซงเปนการ

ลดขนตอนการแทนคายอนกลบลงได

ทฤษฎบท 1.5.2 ทก ๆ เมทรกซขนาด m × n สมมลตามแถวกบ

เมทรกซทอยในรปแบบขนบนไดลดรปตามแถว




x − 2y + z = 02x + 2y − 3z = −3

y − z = −1−x + 4y + 2z = 13

วธทำ

[A: B] =::::

I -2 I 0

2 2 - 3 - 3

O l - I - I- I 4 2 13

rufo,-

! ÷ ! REB- I 4 2 i 13

- 2 4- 2 :O

1 - 2 1 : O

" ( ° I - , :-, ) EHR, ther,O 6 -5 : -3(1) R

,

+Rye RyO 2 3 : s3 n - 2 1 : O



i::÷÷÷sO 2 3 : 73

Y: : : : :] iii.i'r.

O O 1 : 3 C-2) R2 -1K,→ Ry

O O 5 i 15o - 2 2 : 2

~('

g

-

I ÷"

: ! ) c-rirztk.orgO o - 5 :- 15

O-O O : O

Toi x - ay + z =o

y - z = - I

2- =3

orator y e- 2,X =L

Judo ( 2,2 , 3) safvwoisovarnd :wound #




x + y + z = 62x − y − z = 3x + 2y + 2z = 0

วธทำ

[A: B] =

iii. ÷ : "I 7 1 ! 6 - 2 - 2

- 2 .

'-12

~ (o - z - s i -g) 'ftp.tRIB.O n 1 : - 6 C- DR,tRzoRz

- l - I - 1 : -6

f: : : : :) roar,O - 3 - z i -9

nfb ! ! ! ! ) Rather,I 0 33 : -18

O O O : -27

ft i t ! : ) i RiosO O O : y

Id'd× +y t t = 6

y c- t = - 6

0 = 1 Crichlow )

ahhh rivuowmofdgdwobcov #



1.5.5 ระบบสมการเชงเสนทมจำนวนผลเฉลยเปนอนนต


6x − y − 푧 = 4−12x + 2y + 2z = −8

12x + y + z = 3

วธทำ

[A: B] =

ii. iii. ÷ 'tf:

- "

s

' "

: : Erin12 l l :3

I - 1/6- Yg : %

12 - 2- 2 is

" (O O o ; g) "HR, + Roster,O 3 3 : -5

C-IHR,+ Rgt Rz

-12 2 2 : - 8

- fo- "g

- "s ! :') racer,

O O O '

.O



i: ": ÷: error.IoT x - toy

- t 't= F

y t 2- = - 5/3

96 z =L ; t c-R

Tory = - t - Mz

bro : x = If f- t- th ) -11ft + Ez

=-

Fg t + Z,

= FgKroto ( Ig ,

- t - 54 , t) for t EIRwww.ioovaooriwosrmr #



ผลเฉลยในตวอยางขางตน จะมตวแปร t ทมคาเปนจำนวนจรงใดๆ เรยก ตวแปรนวา พารามเตอร (parameter) และเรยกผลเฉลยทมตว

พารามเตอร วา ผลเฉลยบรบรณ (complete solution) ถา

กำหนดคาจำนวนจรงใหกบพารามเตอรในผลเฉลยบรบรณ แลว เรยก

ผลเฉลยนนๆวา ผลเฉลยเฉพาะ (particular solution) เชน



ขอสงเกต

กำหนดระบบสมการเชงเสน AX = B โดยท A เปนเมทรกซขนาด

m × n จะไดวา

x ถา [A: B]~[C: D] เมอ [C: D] เปนเมทรกซขนบนได(ลดรป)ตามแถว แลวโดยทฤษฎบท 1.5.1 จะไดวา

AX = B และ CX = D จะมเซตของผลเฉลยเปนเซตเดยวกน

x ระบบสมการนมสมการ m สมการ และมตวไมทราบคา n ตว

x ถาจำนวนแถวทไมเปนศนยของเมทรกซแตงเตม [C: D] มากกวาจำนวนแถวทไมเปนศนยของเมทรกซ C แลวระบบ

สมการ AX = B ไมมผลเฉลย

x ถาจำนวนแถวทไมเปนศนยของเมทรกซแตงเตม [C: D] เทากบจำนวนแถวทไมเปนศนยของเมทรกซ C ซงเทากบ r

j ถา r = n แลวระบบสมการ AX = B มผลเฉลย

เพยงตวเดยว

j ถา r < n แลวระบบสมการ AX = B มผลเฉลย

เปนจำนวนอนนต



กลาวคอ

จะมตวไมทราบคาของระบบสมการ AX = B จำนวน r ตว

ซงสามารถเขยนในรปของตวไมทราบคาจำนวน n − r ตวทเหลอได

ซงเราจะกำหนดใหตวไมทราบคาจำนวน n − r ตวนเปนพารามเตอร

สวนตวไมทราบคาจำนวน r ตว จะสมนยกบหลกทมสมาชกนำ 1 ของ

เมทรกซ C

Documents

มทรกซรบบมกรชงน · 2019. 12. 20. · เอกสารประกอบการสอน ðรายวิชา ðSC402101 พีชคณิตเชิงเส้น