เฉลยแบบฝึกหัดที่ 1kroosuntorn.com/torntutor/attachments/article/9/เฉลยแบบฝึก1.1... · เฉลยแบบฝึกหัดที่

เฉลยแบบฝกหดท 1 ก ำหนดให n เปนจ ำนวนเตมบวกใด ๆ จงพสจนวำ 1. 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2n–1 = 2n – 1

พสจน ให P(n) แทนขอควำม 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2n–1 = 2n – 1 ถำ n = 1 P(1) แทนขอควำม 21-1= 21-1 ซงเปนจรงเพรำะตำงกเทำกบ 1 ให k เปนจ ำนวนเตมบวกใด ๆ สมมตให P(k) เปนจรง แลวพสจนวำ P(k+1) เปนจรง กลำวคอ สมมตให 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2k–1 = 2k – 1 แลวตองพสจนวำ 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2(k+1)–1 = 2(k+1) – 1 เนองจำก 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2(k+1)–1 = 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2k–1+ 2(k+1)–1

= 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2k–1+ 2k

= 2k – 1+ 2k

= 2.(2k) – 1 = 2k+1-1 เพรำะฉะนน P(k+1) เปนจรง ดงนน โดยหลกกำรของอปนยเชงคณตศำสตร สรปไดวำ P(n) เปนจรง ส ำหรบทก ๆ จ ำนวนเตม

บวก n

อ. น ฐดายสม น

2

2. 2.11 + 3.2

1 + 4.31 + ... + )1n(n

1

= 1nn

พสจน ให P(n) แทนขอควำม 2.11 + 3.2

1 + 4.31 + ... + )1n(n

1

= 1n

n

ถำ n = 1

P(1) แทนขอควำม )11(1

1

= 111

ซงเปนจรงเพรำะตำงกเทำกบ21

ให k เปนจ ำนวนเตมบวกใด ๆ สมมตให P(k) เปนจรง แลวพสจนวำ P(k+1) เปนจรง

กลำวคอ สมมตให 2.11 + 3.2

1 + 4.31 + ... +

)1k(k1

= 1kk

แลวตองพสจนวำ

2.11 + 3.2

1 + 4.31 + ... +

]1)1k)[(1k(1

=

1)1k(1k

เนองจำก 2.11 + 3.2

1 + 4.31 + ... +

]1)1k)[(1k(1

= 2.1

1 + 3.21 + 4.3

1 +...+)1k(k

1

+]1)1k)[(1k(

1

= 1kk

+ ]1)1k)[(1k(

1

= ]1)1k)[(1k(

1]1)1k[(k

= ]1)1k)[(1k(

1)2k(k

= ]1)1k)[(1k(

1k2k 2

= ]1)1k)[(1k(

)1k( 2

= 1)1k(

1k

เพรำะฉะนน P(k+1) เปนจรง ดงนน โดยหลกกำรของอปนยเชงคณตศำสตร สรปไดวำ P(n) เปนจรง ส ำหรบทก ๆ จ ำนวนเตมบวก n


3

3. a + ar + ar2 + ... + arn–1 = r1)r1(a n

, r 1

พสจน ให P(n) แทนขอควำม a + ar + ar2 + ... + arn–1 = r1)r1(a n

, r 1

ถำ n = 1

P(1) แทนขอควำม ar1-1= r1)r1(a 1

ซงเปนจรงเพรำะตำงกเทำกบ a


กลำวคอ สมมตให a + ar + ar2 + ... + ark–1 = r1)r1(a k

, r 1


a + ar + ar2 + ... + ar(k+1)–1 = r1)r1(a )1k(

, r 1

เนองจำก a + ar + ar2 + ... + ar(k+1)–1 = a + ar + ar2 + ... + ark–1 + ar(k+1)–1 , r 1

=r1)r1(a k

+ ar(k+1)–1 , r 1

= r1

)ar)(r1()r1(a 1)1k(k

, r 1

= r1

ar)r1()r1(a kk

, r 1

= r1

)]rr()r1[(a 1kkk

, r 1

= r1)r1(a )1k(

, r 1

เพรำะฉะนน P(k+1) เปนจรง ดงนน โดยหลกกำรของอปนยเชงคณตศำสตร สรปไดวำ P(n) เปนจรง ส ำหรบทก ๆ จ ำนวนเตม

บวก n


4

4. 13 + 23 + 33 + ... + n3 = 4)1n(n 22

พสจน ให P(n) แทนขอควำม 13 + 23 + 33 + ... + n3 = 4)1n(n 22

ถำ n = 1

P(1) แทนขอควำม 13= 4)11(1 22

ซงเปนจรงเพรำะตำงกเทำกบ 1


กลำวคอ สมมตให 13 + 23 + 33 + ... + k3 = 4)1k(k 22


13 + 23 + 33 + ... + (k+1)3 = 4

]1)1k[()1k( 22

เนองจำก 13 + 23 + 33 + ... + (k+1)3 = 13 + 23 + 33 + ... + k3 + (k+1)3

= 4)1k(k 22

+ (k+1)3

= 4

)1k(4)1k(k 322

= 4

)]1k(4k[)1k( 22

= 4

)]4k4k[)1k( 22

= 4

)2k()1k( 22

= 4

]1)1k[()1k( 22


บวก n


5

5. 12 + 32 + 52 + ... + (2n–1)2 = 3)nn4( 3

พสจน ให P(n) แทนขอควำม 12 + 32 + 52 + ... + (2n–1)2 = 3)nn4( 3

ถำ n = 1

P(1) แทนขอควำม (2(1)–1)2 = 3)1)1(4( 3

ซงเปนจรงเพรำะตำงกเทำกบ 1


กลำวคอ สมมตให 12 + 32 + 52 + ... + (2k–1)2 = 3)kk4( 3


12 + 32 + 52 + ... + (2(k+1)–1)2 = 3

)]1k)1k(4[ (3

เนองจำก 12 + 32 + 52 + ... + (2(k+1)–1)2 = 12 + 32 + 52 + ... + (2k–1)2 + (2(k+1)–1)2 =

3)kk4( 3

+ (2(k+1)–1)2

= 3)kk4( 3

+ (2k+1)2

= 3

3k12k12kk4 23

= 3

3k11k12k4 23

= 3

)1k()1k3kk(4 23 3

= 3

)1k()1k(4 3



6

6. 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + n(n+2) = 6)7n2)(1n(n

พสจน ให P(n) แทนขอควำม 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + n(n+2) = 6)7n2)(1n(n

ถำ n = 1

P(1) แทนขอควำม 1(1+2) = 6

)7)1(2)(11(1 ซงเปนจรงเพรำะตำงกเทำกบ 3


กลำวคอ สมมตให 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + k(k+2) = 6

)7k2)(1k(k


1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + (k+1)((k+1)+2) = 6

]7)1k(2][1)1k)[(1k(

เนองจำก 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + (k+1)[(k+1)+2] = 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + k(k+2) + (k+1)[(k+1)+2]

= 6

)7k2)(1k(k + (k+1)[(k+1)+2]

= 6

)7k2)(1k(k + (k+1)(k+3)

= (k+1)[ )3k(6)7k2(k

]

= ]18k6k7k2[6)1k( 2

= ]18k13k2[6)1k( 2

= )9k2)(2k(6)1k(

= ]7)1k(2][1)1k[(6)1k(


บวก n


7

7. 132 + 23

2 + … + n32 = 1 – n3

1

พสจน ให P(n) แทนขอควำม 132 + 23

2 + … + n32 = 1 – n3

1

ถำ n = 1

P(1) แทนขอควำม 132 = 1 – 13

1 ซงเปนจรงเพรำะตำงกเทำกบ32


กลำวคอ สมมตให 132 + 23

2 + … + k32 = 1 – k3

1


132 + 23

2 + … + 1k32 = 1 – 1k3

1

เนองจำก 132 + 23

2 + … + 1k32 = 13

2 + 232 + … + k3

2 + 1k32

= 1 – k31 + 1k3

2

= 1+ 1k3)23(

= 1 – 1k31

เพรำะฉะนน P(k+1) เปนจรง

ดงนน โดยหลกกำรของอปนยเชงคณตศำสตร สรปไดวำ P(n) เปนจรง ส ำหรบทก ๆ จ ำนวนเตมบวก n


8

8. (23)3n – 1 หำรดวย 7 ลงตว พสจน ให P(n) แทนขอควำม (23)3n – 1 หำรดวย 7 ลงตว ถำ n = 1 P(1) แทนขอควำม (23)3(1) – 1 หำรดวย 7 ลงตว

ซงเปนจรงเพรำะ (23)3(1) – 1 = 12,166 = 1,738 7 ดงนนหำรดวย 7 ลงตว ให k เปนจ ำนวนเตมบวกใด ๆ สมมตให P(k) เปนจรง แลวพสจนวำ P(k+1) เปนจรง กลำวคอ สมมตให (23)3k – 1 หำรดวย 7 ลงตว แลวตองพสจนวำ (23)3(k+1) – 1 หำรดวย 7 ลงตว เนองจำก (23)3(k+1) – 1 = 233k.233 – 1 = 233k.233 – 1 + 233k – 233k = ( 233k – 1) + ( 233k.233 – 233k )

= ( 233k – 1) + (233 – 1 )233k

จำกทสมมตให P(k) เปนจรง เรำไดวำ ( 233k – 1) หำรดวย 7 ลงตว และเพรำะวำ (233 – 1 )233k ม (233 – 1 ) เปนตวประกอบ ซงหำรดวย 7 ลงตว จำก P(1) จงไดวำ ( 233k – 1) + (233 – 1 )233k หำรดวย 7 ลงตว ดงนน (23)3(k+1) – 1 หำรดวย 7 ลงตว เพรำะฉะนน P(k+1) เปนจรง นนคอ ถำ P(k) เปนจรง แลว P(k+1) เปนจรงดวย ดงนน โดยหลกกำรของอปนยเชงคณตศำสตร สรปไดวำ P(n) เปนจรง ส ำหรบ ทก ๆ จ ำนวนเตมบวก n


9

9. 32n+2 – 8n – 9 หำรดวย 64 ลงตว

พสจน ให P(n) แทนขอควำม 32n+2 – 8n – 9 หำรดวย 64 ลงตว ถำ n = 1 P(1) แทนขอควำม 32(1)+2 – 8(1) – 9 หำรดวย 64 ลงตว

ซงเปนจรงเพรำะ 32(1)+2 – 8(1) – 9 = 64 หำรดวย 64 ลงตว ให k เปนจ ำนวนเตมบวกใด ๆ สมมตให P(k) เปนจรง แลวพสจนวำ P(k+1) เปนจรง กลำวคอ สมมตให 32k+2 – 8k – 9 หำรดวย 64 ลงตว แลวตองพสจนวำ 32(k+1)+2 – 8(k+1) – 9 หำรดวย 64 ลงตว เนองจำก 32(k+1)+2 – 8(k+1) – 9 = 32k+4 – 8k – 8 – 9

= [9.32k+2 – 9.8k – 9(9)] – 8 – 9 + 8.8k + 81 = 9( 32k+2 – 8k – 9 ) + 64k – 64 = 9( 32k+2 – 8k – 9 ) + 64(k – 1)

จำกทสมมตให P(k) เปนจรง เรำไดวำ ( 32k+2 – 8k – 9 ) หำรดวย 64 ลงตว และเพรำะวำ 64(k – 1) ม 64 เปนตวประกอบ จงไดวำ 64(k – 1) หำรดวย 64 ลงตว ดงนนจงไดวำ 9( 32k+2 – 8k – 9 ) + 64(k – 1) หำรดวย 64 ลงตว ดงนน 32(k+1)+2 – 8(k+1) – 9 หำรดวย 64 ลงตว เพรำะฉะนน P(k+1) เปนจรง นนคอ ถำ P(k) เปนจรง แลว P(k+1) เปนจรงดวย ดงนน โดยหลกกำรของอปนยเชงคณตศำสตร สรปไดวำ P(n) เปนจรง ส ำหรบ ทก ๆ จ ำนวนเตมบวก n


10

10. 2n + (–1)n+1 หำรดวย 3 ลงตว พสจน ให P(n) แทนขอควำม 2n + (–1)n+1 หำรดวย 3 ลงตว ถำ n = 1 P(1) แทนขอควำม 21 + (–1)(1+1) หำรดวย 3 ลงตว ซงเปนจรงเพรำะ 21 + (–1)(1+1) = 3 ซงหำรดวย 3 ลงตว

ให k เปนจ ำนวนเตมบวกใด ๆ สมมตให P(k) เปนจรง แลวพสจนวำ P(k+1) เปนจรง กลำวคอ สมมตให 2k + (–1)(k+1) หำรดวย 3 ลงตว แลวตองพสจนวำ 2(k+1) + (–1)[(k+1)+1] หำรดวย 3 ลงตว เนองจำก 2(k+1) + (–1)[(k+1)+1] = 2.2k – (–1)(k+1) + 2k – 2k = 3.2k – (2k + (–1)(k+1))

จำกทสมมตให P(k) เปนจรง เรำไดวำ (2k + (–1)(k+1)) หำรดวย 3 ลงตว และเพรำะวำ 3.2k ม 3 เปนตวประกอบ จงไดวำ 3.2k หำรดวย 3 ลงตว จงไดวำ 3.2k – (2k + (–1)(k+1)) หำรดวย 3 ลงตว เพรำะฉะนน P(k+1) เปนจรง นนคอ ถำ P(k) เปนจรง แลว P(k+1) เปนจรงดวย ดงนน โดยหลกกำรของอปนยเชงคณตศำสตร สรปไดวำ P(n) เปนจรง ส ำหรบทก ๆ จ ำนวน เตมบวก n


11

11. x2n – y2n หำรดวย x – y ลงตว พสจน ให P(n) แทนขอควำม x2n – y2n หำรดวย x – y ลงตว ถำ n = 1 P(1) แทนขอควำม x2(1) – y2(1) หำรดวย x – y ลงตว พจำรณำ x2 – y2 = (x – y )(x + y) ซงม x – y เปนตวประกอบ ดงนนขอควำม P(1) เปนจรง ให k เปนจ ำนวนเตมบวกใด ๆ สมมตให P(k) เปนจรง แลวพสจนวำ P(k+1) เปนจรง กลำวคอ สมมตให x2k – y2k หำรดวย x – y ลงตว แลวตองพสจนวำ x2(k+1) – y2(k+1) หำรดวย x – y ลงตว เนองจำก x2(k+1) – y2(k+1) = x2k+2 – y2k+2

= x2k+2 – y2k+2 + x2ky2 – x2ky2 = ( x2k+2 – x2ky2 ) + ( x2ky2 – y2k+2 ) = x2k ( x2 – y2 ) + y2 ( x2k – y2k ) = x2k ( x – y ) ( x + y ) + y2 ( x2k – y2k )

จำกทสมมตให P(k) เปนจรง เรำไดวำ ( x – y ) หำร ( x2k – y2k )ลงตว และเพรำะวำ x2k ( x – y ) ( x + y ) ม ( x – y ) เปนตวประกอบ จงไดวำ ( x – y ) หำร x2k ( x – y ) ( x + y ) ลงตว ดงนน ( x – y ) หำร x2(k+1) – y2(k+1) ลงตว เพรำะฉะนน P(k+1) เปนจรง นนคอ ถำ P(k) เปนจรง แลว P(k+1) เปนจรงดวย ดงนน โดยหลกกำรของอปนยเชงคณตศำสตร สรปไดวำ P(n) เปนจรง ส ำหรบ ทก ๆ จ ำนวนเตมบวก n


12

12. 2n > n ; n > 0 พสจน ให P(n) แทนขอควำม 2n > n ; n > 0 ขนท 1 ถำ n = 0 P(0) แทนขอควำม 20 > 0 ซงเปนจรง เพรำะวำ 20 = 1 ซงมคำมำกกวำ 0 ถำ n = 1 P(1) แทนขอควำม 21 > 1 ซงเปนจรง เพรำะวำ 21 = 2 ซงมคำมำกกวำ 1 ขนท 2 ให k เปนจ ำนวนเตมบวกใด ๆ และ k > 2 สมมตให P(k) เปนจรง นนคอ 2k > k จะพสจนวำ P(k+1) เปนจรง นนคอ จะพสจนวำ 2(k+1) > (k + 1) เนองจำก 2(k+1) = 2k + 2k

> k + 2k (จำกทสมมตให P(k) เปนจรง) > k + 1 ( เพรำะ 2k > 1 ส ำหรบทก k > 1 ) เพรำะฉะนน 2(k+1) > k + 1 ดงนนจะไดวำ P(k+1) เปนจรง นนคอ ถำ P(k) เปนจรง แลว P(k+1) เปนจรง ดงนน โดยหลกกำรของอปนยเชงคณตศำสตร สรปไดวำ P(n) เปนจรง ;n > 0


13

13. n! > 2n ; n > 4 (เมอ n! = n(n–1)(n–2) ...3.2.1) พสจน ให P(n) แทนขอควำม n! > 2n ; n > 4 ขนท 1 ถำ n = 4 P(4) แทนขอควำม 4! > 24 ; n > 4 ซงเปนจรง เพรำะวำ 4! = 24 และ 24 = 16 ขนท 2 ให k เปนจ ำนวนเตมบวกใด ๆ และ k > 4 สมมตให P(k) เปนจรง นนคอ k! > 2k จะพสจนวำ P(k+1) เปนจรง นนคอ จะพสจนวำ (k+1)! > 2(k+1) เนองจำก ( k + 1 )! = ( k + 1 ) k!

> ( k + 1 ).2k (จำกทสมมตให P(k) เปนจรง) > 2.2k ( เพรำะ k+1 > 2 ; k > 4 ) = 2(k+1) เพรำะฉะนน ( k + 1 )! > 2(k+1) ดงนนจะไดวำ P(k+1) เปนจรง นนคอ ถำ P(k) เปนจรง แลว P(k+1) เปนจรง ดงนน โดยหลกกำรของอปนยเชงคณตศำสตร สรปไดวำ P(n) เปนจรง ;n > 4


14

14. 2n–1 < n! พสจน ให P(n) แทนขอควำม 2n–1 < n! ขนท 1 ถำ n = 1 P(1) แทนขอควำม 21–1 < 1! ซงเปนจรง เพรำะวำตำงกเทำกบ 1 ขนท 2 ให k เปนจ ำนวนเตมบวกใด ๆ สมมตให P(k) เปนจรง นนคอ 2k–1 < k! จะพสจนวำ P(k+1) เปนจรง นนคอ จะพสจนวำ 2(k+1) – 1 < ( k + 1 )! เนองจำก 2(k+1) – 1 = 2(k - 1) + 1

= 2.2(k - 1) < 2.k ! (จำกทสมมตให P(k) เปนจรง) < (k+1)(k!) (เพรำะวำ 2 < k+1 ; k > 1) = (k+1)! ดงนน 2(k+1) – 1 < ( k + 1 )! ดงนนจะไดวำ P(k+1) เปนจรง นนคอ ถำ P(k) เปนจรง แลว P(k+1) เปนจรง ดงนน โดยหลกกำรของอปนยเชงคณตศำสตร สรปไดวำ P(n) เปนจรง


15

15. 2n > n3 n > 10 พสจน ให P(n) แทนขอควำม 2n > n3 ; n > 10 ขนท 1 ถำ n = 10 P(10) แทนขอควำม 210 > 103 ซงเปนจรง เพรำะวำ 210 = 1024 และ 103 = 1000 ขนท 2 ให k เปนจ ำนวนเตมบวกใด ๆ และ k > 10 สมมตให P(k) เปนจรง นนคอ 2k > k3 ; k > 10 จะพสจนวำ P(k+1) เปนจรง นนคอ จะพสจนวำ 2(k+1) > ( k + 1 )3 ; k > 10 เนองจำก 2(k+1) = 2.2k

> 2.k3 (จำกทสมมตให P(k) เปนจรง) = k3+ k3 = k3+ k.k2 > k3+ 4k2 (เพรำะ k > 4 ; k > 10 ) = k3+ 3k2 + k.k > k3+ 3k2 + 4k (เพรำะ k > 4 ; k > 10 ) = k3+ 3k2 + 3k + k > k3+ 3k2 + 3k + 1 (เพรำะ k > 1 ; k > 10 ) = (k+1)3 เพรำะฉะนน 2(k+1) > ( k + 1 )3 ดงนนจะไดวำ P(k+1) เปนจรง นนคอ ถำ P(k) เปนจรง แลว P(k+1) เปนจรง ดงนน โดยหลกกำรของอปนยเชงคณตศำสตร สรปไดวำ P(n) เปนจรง ;n > 10


16

16. (1+x)n > 1 + nx เมอ n > 2 , x > –1 และ x 0 พสจน ให P(n) แทนขอควำม (1+x)n > 1 + nx เมอ n > 2 , x > –1 และ x 0 ถำ n = 2 P(2) แทนขอควำม (1+x)2 > 1 + 2x ซงเปนจรง เพรำะวำ (1+x)2 = 1 + 2x + x2 ซงมคำมำกกวำ 1 + 2x เมอ x > –1 และ x 0 ให k เปนจ ำนวนเตมบวกใด ๆ และ k > 2 , x > –1 และ x 0 สมมตให P(k) เปนจรง นนคอ (1+x)k > 1 + kx เมอ k > 2 , x > –1 และ x 0 จะพสจนวำ P(k+1) เปนจรง นนคอ จะพสจนวำ (1+x)(k+1) > 1 + (k+1)x เมอ k > 2 , x > –1 และ x 0 เนองจำก (1+x)(k+1) = (1+x)k(1+x) > (1+kx)(1+x) (จำกทสมมตให P(k) เปนจรง และ 1+x > 0) = 1 + x + kx + kx2 > 1 + x + kx (เพรำะ kx2 > 0 ; k > 2) = 1 + (k+1)x เพรำะฉะนน (1+x)(k+1) > 1 + (k+1)x ดงนนจะไดวำ P(k+1) เปนจรง นนคอ ถำ P(k) เปนจรง แลว P(k+1) เปนจรง ดงนน โดยหลกกำรของอปนยเชงคณตศำสตร สรปไดวำ P(n) เปนจรง เมอ k > 2 , x > –1 และ x 0


17

17. 2n > 1 + n พสจน ให P(n) แทนขอควำม 2n > 1 + n ขนท 1 ถำ n = 1 P(1) แทนขอควำม 21 > 1+1 ซงเปนจรง เพรำะวำ 2 = 2 ดงนน P(1) เปนจรง ขนท 2 ให k เปนจ ำนวนเตมบวกใด ๆ สมมตให P(k) เปนจรง นนคอ 2k > 1 + k จะพสจนวำ P(k+1) เปนจรง นนคอ จะพสจนวำ 2(k+1) > 1 + (k+1) เนองจำก 2(k+1) = 2.2k

> 2(1 + k) (จำกทสมมตให P(k) เปนจรง) = 2 + 2.k > 2 + k ( เพรำะ 2k > k ; k > 1) = 1 + (1 + k) เพรำะฉะนน 2(k+1) > 1 + (k+1) ดงนนจะไดวำ P(k+1) เปนจรง นนคอ ถำ P(k) เปนจรง แลว P(k+1) เปนจรง ดงนน โดยหลกกำรของอปนยเชงคณตศำสตร สรปไดวำ P(n) เปนจรง


18

18. 2n + 1 < 3n

พสจน ให P(n) แทนขอควำม 2n + 1 < 3n ขนท 1 ถำ n = 1 P(1) แทนขอควำม 2(1) + 1 < 31 ซงเปนจรง เพรำะวำ 3 = 3 ดงนน P(1) เปนจรง ขนท 2 ให k เปนจ ำนวนเตมบวกใด ๆ สมมตให P(k) เปนจรง นนคอ 2k + 1 < 3k จะพสจนวำ P(k+1) เปนจรง นนคอ จะพสจนวำ 2(k+1) + 1 < 3k เนองจำก 2(k+1) + 1 = 2k + 3 < 6k + 3 ( 2k < 6k ; k > 1)

= 3(2k + 1) < 3.3k (จำกทสมมตให P(k) เปนจรง) = 3(k+1) เพรำะฉะนน 2(k+1) + 1 < 3(k+1) ดงนนจะไดวำ P(k+1) เปนจรง นนคอ ถำ P(k) เปนจรง แลว P(k+1) เปนจรง ดงนน โดยหลกกำรของอปนยเชงคณตศำสตร สรปไดวำ P(n) เปนจรง


19

19. 2n > 2+n ทก n > 3 พสจน ให P(n) แทนขอควำม 2n > 2+n ทก n > 3 ขนท 1 ถำ n = 3 P(3) แทนขอควำม 2(3) > 2 + 3 ซงเปนจรง เพรำะวำ 6 > 5 ดงนน P(3) เปนจรง ขนท 2 ให k เปนจ ำนวนเตมบวกใด ๆ สมมตให P(k) เปนจรง นนคอ 2k > 2+k ทก k > 3 จะพสจนวำ P(k+1) เปนจรง นนคอ จะพสจนวำ 2(k+1) > 2+(k+1) ทก k > 3 เนองจำก 2(k+1) = 2k + 2 > (2 + k) + 2 (จำกทสมมตให P(k) เปนจรง)

= k + 4 > k + 3 ( เพรำะ 4 > 3) = 2 + (k + 1) เพรำะฉะนน 2(k+1) > 2+(k+1) ทก k > 3 ดงนนจะไดวำ P(k+1) เปนจรง นนคอ ถำ P(k) เปนจรง แลว P(k+1) เปนจรง ดงนน โดยหลกกำรของอปนยเชงคณตศำสตร สรปไดวำ P(n) เปนจรง


20

20. 1 + 41 + 9

1 + … + 2n1 < 2 – n

1

พสจน ให P(n) แทนขอควำม 1 + 41 + 9

1 + … + 2n1 < 2 – n

1

ขนท 1 ถำ n = 1

P(1) แทนขอควำม 211 < 2 –

11 ซงเปนจรงเพรำะ 1 = 1

ดงนน P(1) เปนจรง ขนท 2 ให k เปนจ ำนวนเตมบวกใด ๆ

สมมตให P(k) เปนจรง นนคอ 1 + 41 + 9

1 + … + 2k1 < 2 –

k1

จะพสจนวำ P(k+1) เปนจรง นนคอ จะพสจนวำ 1 + 41 + 9

1 + … + 2)1k(1

< 2 – )1k(

1

เนองจำก 1 + 41 + 9

1 + … + 2)1k(1

= 1 + 41 + 9

1 + … + 2k1 + 2)1k(

1

< ( 2 – k1 ) + 2)1k(

1

(จำกทสมมตให P(k) เปนจรง)

= 2 – [k1 + 2)1k(

1

]

= 2 – [ 2

2

)1k(k1)1k(

]

= 2 – ])1k(k11k2k

[1k1 2

= 2 – ])1k(k)2k(k

[1k1

= 2 – ])1k()2k(

[1k1

< 2 – 1k1

(เพรำะวำ)1k()2k(

> 1 ; k > 1 )

เพรำะฉะนน 1 + 41 + 9

1 + … + 2)1k(1

< 2 – )1k(

1

ดงนนจะไดวำ P(k+1) เปนจรง นนคอ ถำ P(k) เปนจรง แลว P(k+1) เปนจรง ดงนน โดยหลกกำรของอปนยเชงคณตศำสตร สรปไดวำ P(n) เปนจรง


21

21. n(n+1) เปนจ ำนวนค พสจน ให P(n) แทนขอควำม n(n+1) เปนจ ำนวนค

ถำ n = 1 P(1) แทนขอควำม 1(1+1) เปนจ ำนวนค ซงเปนจรงเพรำะ 1(1+1) = 2 หำรดวย 2 ลงตว ให k เปนจ ำนวนเตมบวกใด ๆ สมมตให P(k) เปนจรง แลวพสจนวำ P(k+1) เปนจรง

กลำวคอ สมมตให k(k+1) เปนจ ำนวนค แลวตองพสจนวำ (k+1)[(k+1)+1] เปนจ ำนวนค เนองจำก (k+1)[(k+1)+1] = [(k+1)(k+1)] + (k+1)

= k(k+1) + (k+1) + (k+1) = k(k+1) + 2(k+1)

จำกทสมมตให P(k) เปนจรง เรำไดวำ k(k+1) เปนจ ำนวนค และเพรำะวำ 2(k+1) ม 2 เปนตวประกอบ จงไดวำ 2(k+1) เปนจ ำนวนค จงไดวำ k(k+1) + 2(k+1) เปนจ ำนวนค

ดงนน (k+1)[(k+1)+1] เปนจ ำนวนค เพรำะฉะนน P(k+1) เปนจรง ดงนน โดยหลกกำรของอปนยเชงคณตศำสตร สรปไดวำ P(n) เปนจรง ส ำหรบทก ๆ จ ำนวนเตม

บวก n


22

22. 2n2 + 4n + 1 เปนจ ำนวนค พสจน ให P(n) แทนขอควำม 2n2 + 4n + 1 เปนจ ำนวนค

ถำ n = 1 P(1) แทนขอควำม 2(1)2 + 4(1) + 1 เปนจ ำนวนค ซงเปนจรงเพรำะ 2(1)2 + 4(1) + 1 = 7 เปนจ ำนวนค ให k เปนจ ำนวนเตมบวกใด ๆ สมมตให P(k) เปนจรง แลวพสจนวำ P(k+1) เปนจรง

กลำวคอ สมมตให 2k2 + 4k + 1 เปนจ ำนวนค แลวตองพสจนวำ 2(k+1)2 + 4(k+1) + 1 เปนจ ำนวนค เนองจำก 2(k+1)2 + 4(k+1) + 1 = 2(k2+2k+1) + 4k + 4 + 1

= 2k2+4k+2 + 4k + 4 + 1

= (2k2+4k+1) + 4k + 6 = (2k2+4k+1) + 2(2k + 3)

จำกทสมมตให P(k) เปนจรง เรำไดวำ (2k2+4k+1) เปนจ ำนวนค และเพรำะวำ 2(2k + 3) ม 2 เปนตวประกอบ จงไดวำ 2(2k + 3) เปนจ ำนวนค

จงไดวำ (2k2+4k+1) + 2(2k + 3) เปนจ ำนวนค ดงนน 2(k+1)2 + 4(k+1) + 1 เปนจ ำนวนค เพรำะฉะนน P(k+1) เปนจรง ดงนน โดยหลกกำรของอปนยเชงคณตศำสตร สรปไดวำ P(n) เปนจรง ส ำหรบทก ๆ จ ำนวนเตม

บวก n


23

24. ก ำหนดให a1 = 3 และ an = 3an–1 จงพสจนวำ an = 3n

พสจน ให P(n) แทนขอควำม an = 3n P(2) แทนขอควำม a2 = 32 = 9 ซงเปนจรงเพรำะ a2 = 3a2–1 = 3a1 = 3(3) = 9 ให k เปนจ ำนวนเตมบวกใด ๆ สมมตให P(k) เปนจรง แลวพสจนวำ P(k+1) เปนจรง

กลำวคอ สมมตให ak = 3k

แลวตองพสจนวำ ak+1 = 3(k+1) เนองจำก ak+1 = 3ak = 3.3k = 3(k+1)


25. จงแสดงวำถำ 1 + 2 + 3 + ... + n =

221n

2

เปนจรง

ส ำหรบ n = k > 1 แลวขอควำมนจะเปนจรง ส ำหรบ n = k + 1 ดวย ถำมวำ ขอควำมนจะเปนจรงส ำหรบทกคำ n หรอไม

พสจน ให P(n) แทนขอควำม 1 + 2 + 3 + ... + n =

221n

2

เปนจรง

ถำ n = 1

P(1) แทนขอควำม 1 =221

12

ซงไมเปนจรงเพรำะ221

12

= 89


กลำวคอ สมมตให 1 + 2 + 3 + ... + k = 221

k2


1 + 2 + 3 + ... + (k+1) = 221

)1k(2


24

เนองจำก 1 + 2 + 3 + ... + (k+1) = 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1)

= 221

k2

+ (k+1)

2

2k241

kk 2

2

29

k3k 2

= 223

k2

= 221

)1k(2

เพรำะฉะนน P(k+1) เปนจรง

แตขอควำมนไมเปนจรงส ำหรบทกจ ำนวนเตมบวก เพรำะ ท n = 1 P(1) ไมเปนจรง


25

26. ก ำหนดให 1. a1 = a 2. an+1 = (an)a จงพสจนวำ anbn = (ab)n เมอ a และ b เปนจ ำนวนจรง

พสจน ให P(n) แทนขอควำม anbn = (ab)n เมอ a และ b เปนจ ำนวนจรง ถำ n = 1 P(1) แทนขอควำม a1b1 = (ab)1 ซงเปนจรงเพรำะตำงกเทำกบ ab ให k เปนจ ำนวนเตมบวกใด ๆ สมมตให P(k) เปนจรง แลวพสจนวำ P(k+1) เปนจรง กลำวคอ สมมตให akbk = (ab)k เมอ a และ b เปนจ ำนวนจรง แลวตองพสจนวำ a(k+1)b(k+1) = (ab)(k+1) เมอ a และ b เปนจ ำนวนจรง เนองจำก a(k+1)b(k+1) = a.ak .b.bk

= ak bk.a.b

= (a b)k.(ab)

= (a b)k+1 เพรำะฉะนน P(k+1) เปนจรง ดงนน โดยหลกกำรของอปนยเชงคณตศำสตร สรปไดวำ P(n) เปนจรง ส ำหรบทก ๆ จ ำนวนเตม

บวก n


26

27. |xn| = |x|n เมอ x เปนจ ำนวนจรง พสจน ให P(n) แทนขอควำม |xn| = |x|n เมอ x เปนจ ำนวนจรง ถำ n = 1 P(1) แทนขอควำม |x1| = |x|1 ซงเปนจรงเพรำะตำงกเทำกบ x ให k เปนจ ำนวนเตมบวกใด ๆ สมมตให P(k) เปนจรง แลวพสจนวำ P(k+1) เปนจรง กลำวคอ สมมตให |xk| = |x|k แลวตองพสจนวำ |xk+1| = |x|k+1 เนองจำก |xk+1| = |x.xk| = |x||xk| = |x||x|k = |x|k+1



27

28.

n

1iii )ba( =

n

1iia +

n

1iib

พสจน ให P(n) แทนขอควำม

n

1iii )ba( =

n

1iia +

n

1iib

ถำ n = 1

P(1) แทนขอควำม

n

1iii )ba( =

n

1iia +

n

1iib ซงเปนจรงเพรำะตำงกเทำกบ ai + bi


กลำวคอ สมมตให

k

1iii )ba( =

k

1iia +

k

1iib


1k

1iii )ba( =

1k

1iia +

1k

1iib

เนองจำก

1k

1iii )ba( =

k

1iii )ba( + ( ai + bi )

=

k

1iia +

k

1iib + ai + bi

=

1k

1iia +

1k

1iib

เพรำะฉะนน P(k+1) เปนจรง ดงนน โดยหลกกำรของอปนยเชงคณตศำสตร สรปไดวำ P(n) เปนจรง


28

29. ถำให |a+b| < |a| + |b| เปนจรงทกจ ำนวนจรงใด ๆ จงพสจนวำ |x1+x2+…+xn| < |x1| + |x2| + … + |xn| พสจน ให P(n) แทนขอควำม |x1+x2+…+xn| < |x1| + |x2| + … + |xn| ถำ n = 1 P(1) แทนขอควำม |x1| < |x1| ซงเปนจรงเพรำะตำงกเทำกบ |x1| ให k เปนจ ำนวนเตมบวกใด ๆ สมมตให P(k) เปนจรง แลวพสจนวำ P(k+1) เปนจรง กลำวคอ สมมตให |x1+x2+…+xk| < |x1| + |x2| + … + |xk| แลวตองพสจนวำ |x1+x2+…+xk+1| < |x1| + |x2| + … + |xk+1| เนองจำก |x1+x2+…+xk+1| < |x1+x2+…+xk|+ |xk+1| < |x1| + |x2| + … + |xk|+ |xk+1|



29

30. จงหำจ ำนวนเตมบวก n ทท ำให 8n – 3n หำรดวย 5 ลงตว จำกนนพสจนวำค ำตอบทหำมำไดเปนจรง (ถกตอง) ตอบ ทกจ ำนวนเตมบวก n พสจน ให P(n) แทนขอควำม 8n – 3n หำรดวย 5 ลงตว ถำ n = 1 P(1) แทนขอควำม 81 – 31 หำรดวย 5 ลงตว

ซงเปนจรงเพรำะ 81 – 31 = 5 ซงหำรดวย 5 ลงตว ให k เปนจ ำนวนเตมบวกใด ๆ สมมตให P(k) เปนจรง แลวพสจนวำ P(k+1) เปนจรง กลำวคอ สมมตให 8k – 3k หำรดวย 5 ลงตว แลวตองพสจนวำ 8k+1 – 3k+1 หำรดวย 5 ลงตว เนองจำก 8k+1 – 3k+1 = 8.8k – 8.3k + 5.3k

= 8(8k – 3k) + 5.3k

จำกทสมมตให P(k) เปนจรง เรำไดวำ 8(8k – 3k) หำรดวย 5 ลงตว และเพรำะวำ 5.3k ม 5 เปนตวประกอบ ดงนน 5.3k จงหำรดวย 5 ลงตว จงไดวำ 8(8k – 3k) + 5.3k หำรดวย 5 ลงตว เพรำะฉะนน P(k+1) เปนจรง นนคอ ถำ P(k) เปนจรง แลว P(k+1) เปนจรงดวย ดงนน โดยหลกกำรของอปนยเชงคณตศำสตร สรปไดวำ P(n) เปนจรง ส ำหรบ ทก ๆ จ ำนวนเตมบวก n

หรอ www.math.psu.ac.th

Documents

เฉลยแบบฝึกหัดที่ 1kroosuntorn.com/torntutor/attachments/article/9/เฉลยแบบฝึก1.1... · เฉลยแบบฝึกหัดที่