Upload
others
View
10
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
สรปแกนคณตศาสตรม.ปลาย
Math Kit Ebook Karmins Book
สรปแกนคณตศาสตรม.ปลาย
คณน องศนตย เขยน
ภาพประกอบ
พมพครงแรก ธนวาคม พ.ศ. 2555
ปรบปรงเมอ กรกฎาคม พ.ศ.2557
เจาของลขสทธ ขมนหนงสอ (เครอขมนธรกจ)
เผยแพรโดย ขมนศรพฒนาการ
รหสหนงสอ KRM-MATH-56-12-B1-8
สงวนลขสทธ ตามพระราชบญญตลขสทธ พ.ศ. 2537
เรอง © 2014 คณน องศนตย หามลอกเลยนไมวาสวนหนงสวนใดของหนงสอเลมน
ภาพประกอบ © 2014 คณน องศนตย หามลอกเลยนไมวาสวนหนงสวนใดของหนงสอเลมน
แผนภาพ © 2014 คณน องศนตย หามลอกเลยนไมวาสวนหนงสวนใดของหนงสอเลมน
Math Kit Ebook Karmins Book
หนงสอประกอบการเรยน ทางคณะผจดท า ไดจดท าขนเพอ นกเรยนใน
ระดบชน ม.ปลายทตองการเตรยมพรอมส าหรบ สอบแขงขน และการสอบเขา
มหาวทยาลย และการเพมคะแนนในโรงเรยน ในเอกสารชดนจะประกอบไปดวย
สตรตางๆ ทจ าเปน พรอมทงค าแนะน า ความรเพมเตมทนกเรยนควรทราบในการ
เรยน และวธใชงานพรอมค าอธบายอยางละเอยด เนอหาในเอกสารชดนไดรวบรวม
เนอหาทออกสอบ
การจดวางเนอหา
ของผเขยน
ดวยความปรารถนาด
คณน องศนตย
Math Kit Ebook Karmins Book
Math Kit Ebook Karmins Book
เซต ... 7
ตรรกศาสตร ...16
จ านวนจรง ...28 ฟงกชน ... 40
ภาคตดกรวย
... 53
เมตรกซ ... 67
เอกชโพเนนเชยลและลอการทม
… 76
ตรโกณมต … 83
เวกเตอร … 96
จ านวนเชงซอน ... 105
ความนาจะเปน
... 114
ทฤษฎกราฟ ...
134
สถต ... 143 ล าดบและ
อนกรม ... 162
แคลคลส …174
ก าหนดการเชงเสน … 190
เนอหาภายในเลม
Math Kit Ebook Karmins Book
การเรยนคณตศาสตรในระดบชนม.ปลายหรอ อนปรญญา มความส าคญอยางมาก เพราะ
จะเปนพนฐานในการเรยนตอในระดบอดมศกษา ส าหรบผทมความประสงคทจะเรยนตอในระดบ
ทสงขน เพราะคณตศาสตรสามารถน าไปประยกตไดในหลากหลายสาขา ส าหรบสาขาทาง
วทยาศาสตร จะเนนเรองแคลคลส เวกเตอร ตรโกณมต จ านวนเชงซอน ความนาจะเปน ทฤษฎ
กราฟ ส าหรบสาขาทางดานสงคมศาสตรหรอศลปะศาสตร จะใชเรองเซต จ านวนจรง สถต
ก าหนดการเชงเสน ความนาจะเปน
ดงนนการปพนฐานกอนทจะศกษาในระดบทสงยงขนจงเปนปจจยส าคญ ในการเรยนตอ
ในระดบทสงยงขน ซงในชวตประจ าวนของเราจะตองใชคณตศาสตร คงหนไมพนเรองการใชจาย
การคดราคาสนคา การเปรยบราคาสนคาตอหนวย หรอ ความนาจะเปนในโอกาสตางๆ ทจะ
เกดขน
คณตศาสตรเปนวชาทกษะ ไมใชวชาทองจ า ดงนนเราจะตองพฒนาตวเองอยเสมอ เพราะ
แนวโนมของขอสอบคดเลอกโดยเฉลยจะยากขนทกป ตงแตการปรบเปลยนระดบในการคดเลอก
บคคลเขาศกษาในระดบอดมศกษา มทงสอบขอสอบกลาง มทงขอสอบตรง มทงโควตา ฯลฯ เรา
จงตองศกษาในแนวทางในการเรยนตอในระดบทสงขนไป ในบางสาขาวชาอาจจะใชเพยง
คณตศาสตรพนฐาน ซงในบางครงกออกนยาม ซงเราจะตองเขาใจถงนยามเหลานนดวย พบมาก
ในบทจ านวนจรง และทฤษฎจ านวน ผมขอใหทกทานไดศกษาบทเรยนจากหนงสอเลมนใหเกด
ประโยชนสงสด เพราะในการสรางสรรคงานเขยนใชเวลาไมนอยในการจดท า เพราะเราตองกลน
ถงแกนเนอหาของบทเรยน พรอมทงบทเรยนทตวผเขยนเองเคยผดพลาดมากอน เราจงย าเตอน
เพอใหทกทานทไดอานหนงสอเลมน
หนงสอเลมนไมไดถกผลตขนมาเหมอนกบหนงสอโดยทวไป แตเราใชทงหวใจในการ
ประดษฐและสรางสรรคผลงานวรรณกรรมทเปนประโยชนตอสงคม ถาหากหนงสอเลมนม
ขอผดพลาดประการใดตองขออภยมา ณ ทนดวย
เกยวกบการเรยนคณตศาสตร
Math Kit EBook ห น า 7
บทท 1 เซต
ขอควรระวง หากไมก าหนดเอกภพสมพทธ เอกภพสมพทธ จะเปนจ านวนจรง
เราใชเซตในการศกษากลมสงตางๆทเราสนใจ เชน เซต
ชอเดอน เซตจ านวนท 6 เปนพหคณ เซตจ านวนนบ ฯลฯ เซต
ถกใชงานในการแกปญหาจ านวนสมาชกในชวตประจ าวน
พนฐาน Set
การด าเนนการทาง Set
การหาจ านวนสมาชก
การประยกตเซต
ประเภทของเซต
การเทากนของเซต
เอกภพสมพทธ
สบเซตและเพาเวอรเซต
ยเนยน
อนเตอรเซกชน
ผลตาง
คอมพลเมนต
วาดแผนภาพเวนนออยเลอร
ใชสตร
เซตจ ากด
เซตอนนต
Math Kit EBook ห น า 8
เซต (Set) เปนอนยาม แตเราใชเซตในการศกษากลมสงตางๆทเราสนใจ สงทอยในเซต
คอสมาชก (Element) การเขยนสญลกษณเซตคอ { } โดยการเขยนแจกแจงสมาชกจะตองม
จลภาค (,) คนกลางหรออาจจะกลาวไดวาเซตคอสญลกษณทางคณตศาสตร เพอใชแทนกลมสง
ตางๆทเราสนใจซงเขยนภายในเครองหมายปกกา { }
เครองหมาย คอเครองหมายเปนสมาชก
คอเครองหมายไมเปนสมาชก
เอกภพสมพทธ (Relative Universe) คอเซตทก าหนดขอบเขตของสมาชกเซตทเรา
ตองการศกษา เราเขยนดวยสญลกษณ ถาเซตไมไดก าหนดเอกภพสมพทธ ใหถอวา เอกภพ
สมพทธ คอเซตของจ านวนจรง
ค าแนะน า ชอเซตถาเปนภาษาองกฤษ ใหใชตวพมพใหญ แตถาเปนสมาชกใหใชตวพมพเลก
การเขยนเซต
1.การเขยนแจกแจงสมาชก
2.การเขยนแบบบอกเงอนไข
EX เซตของสระในภาษาองกฤษ
1. {a,e,i,o,u}
2. {x | x เปนสมาชกในสระในภาษาองกฤษ}
หมายเหต ล าดบกอนหลงของสมาชกไมมความส าคญ และ ในเซตใดๆ มสมาชกตวเดยวกนมากกวา 1
ครง ใหถอวาเปนสมาชกตวเดยวกน
ประเภทของเซต
1.เซตจ ากด คอ เซตทเราสามารถบอกจ านวน
สมาชกได
2.เซตอนนต คอเซตทมจ านวนมากมายนบไมถวน
และไมสามารถบอกจ านวนสมาชกได
3.เซตวาง คอ เซตทไมมสมาชกอยเลย
EX
1.{1,2,3,4} เปนเซตจ ากด เพราะมสมาชก 4 ตว
2.{x | x เปนจ านวนนบทมคามากกวา 3} เปนเซต
อนนต
3.เซตวางคอ { } หรอ
ขอควรระวง { } และ {{ }} ไมเปนเซตวางนะครบ
สญลกษณควรร I คอจ านวนเตม I+ คอจ านวนเตมบวก I– คอจ านวนเตมลบ
R คอจ านวนจรง C คอจ านวนเชงซอน
N คอจ านวนนบ
Q คอจ านวนตรรกยะ Q คอจ านวนอตรรกยะ
Math Kit EBook ห น า 9
ความสมพนธระหวางเซต
1.การเทากนของเซต
เซต A จะเทากบ เซต B กตอเมอเซตทงสองมสมาชกเหมอนกนทกตว และมจ านวนสมาชกเทากน
Ex ก าหนดให A = {1,4,6} B={1,1,1,4,6} จงพจารณาวาทงสองเซตเทากนหรอไม
ทงเซต A และ B เทากนเพราะวาเซต B มสมาชกทซ ากนถอวาเปนตวเดยว กลาวคอสมาชกของ B
คอ {1,4,6} ดงนนทงสองเซตจงเทากน
2.สบเซต
เซต A จะเปนสบเซตของเซต B ไดกตอเมอ สมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B เราสามารถเขยน
ในรปสญลกษณไดดงน A B แตถา เซต A และ B ไมเปนสบเซตใหเขยนดวย A B
Ex ก าหนดเซต A = {1,2,3} B = {x | x จ านวนนบ}
A B เพราะสมาชกทกตวของ A อยใน B
B A เพราะสมาชกทกตวของ B ไมอยใน A มสมาชกเพยง 3 ตวทอยใน A คอ {1,2,3}
ขอควรร ถา A B และ A B เรยกวา A เปนสบเซตแทของ B
ขอควรระวง เปนสบเซตของทกเซต
3.เพาเวอรเซต คอเซตทประกอบดวยสมาชกทกตวทสบเซตทงหมดของเซตนน เชน เพาเวอรเซต A
สามารถเขยนดวยสญลกษณ P(A)
Ex A = {1,2,3}
P(A) = { { } { } { } { } { } { } { }}
ดงนน เราสามารถสรปไดวา P(A)
{ } P(A)
สบเซตแทของ A คอ { } { } { } { } { } { }
ถาเรามสมาชก n ตว แลว เพาเวอรเซต มจ านวนสมาชก 2n ตว
Math Kit EBook ห น า 10
แผนภาพเวนน–ออยเลอร เปนแผนภาพทใชแสดงถงเซต ซงใชรปปด โดยทวไปจะใชรป
สเหลยมผนผาแทนเอกภพสมพทธ และเขยนเซตอนๆเปนวงกลม
ตวอยางการวาด 2 เซต
ตวอยางการวาด 3 เซต
ขอควรร ตงแต 4 เซตเปนตนไปไมนยมวาดแผนภาพ แตเราใชสตรในการชวยหาจ านวนสมาชกใน
เซตได
การด าเนนการทางเซต
A B A B
A B A
Ex = {1,2,3,4,5} A={1,2} B={2,3,4}
1.ยเนยน
A B คอเซตทประกอบไปดวยเซตของ A
หรอ B จะได {1,2,3,4}
2.อนเตอรเซกชน
A B คอเซตทประกอบไปดวยสมาชก A
และ B คอ{2}
3.ผลตาง
A – B คอสมาชกทงหมดของ A ทไมได
เปนสมาชกของ B จะได {1}
4.คอมพลเมนต
คอเซตตวอนทประกอบอยในเอกภพ
สมพทธ แตไมไดอยในทเราสนใจ เชน
A คอไมเอาสมาชกทงหมดของ A
คอ {3,4,5}
Math Kit EBook ห น า 11
คณสมบตการด าเนนการทางเซต
A – B = A B = B – A
(A B) = A B
(A B) = A B
A (B C) = (A B) (A C)
สตรการหาจ านวนสมาชก
2 เซต n(A B) = n(A) + n(B) n(A B)
3 เซต n(A B C)
= n(A) + n(B) + n(C)
n(A B) n(A C) n(B C)
+ n(A B C)
สตรการจดรปสบเซตและเพาเวอรเซต
{A} B A B
{A} P(B) A (B)
{A} P(B) A (B)
ตวอยางท 1 ใหเซต A = {1,2,3,{1,2,3}} และเซต B = {1,2,{1,2}} ขอใดตอไปนถกตอง (Ent)
1. A B = {{1,2}} 2.A B = {{1,2},{1,2,3}} 3. A – B = {{1,2,3},3} 4.B – A =
วธท า พจารณา
ขอ 1 A B = {{1,2}} ผดเพราะ {{1,2}} ไมไดอยใน A
ขอ 2 A B = {{1,2},{1,2,3}} ผดเพราะ ขาด {1,2,3}
ขอ 3 A – B ={{1,2,3},3} ถกเพราะจ านวนสมาชก 2 ตวของ A ซ ากบ B
ขอ 4 B – A = ผดเพราะ {{1,2}} ไมไดอยใน A ดงนน B – A = {{1,2}}
ดงนนขอนจงตอบขอ 3
ตวอยางท 2ก าหนดให A B ขอใดผด (สมาคมคณตศาสตร)
1. B A B 2. A B 3. A B = A 4. A B = B
วธท า พจารณา
ขอ 1 ถก ม B บางสวนไมไดอยใน A สวนดงกลาวจงเปนสบเซตของ B
ขอ 2 ผด เพราะ นอก B เปนเซตวาง A =
ขอ 3 ถกเพราะ A เปนสวนหนงของ B เมอน าสวนทใหญกวามา จงตอบเซตทเลกกวา
ขอ 4 ถกเมอ ถา A = B แลว A B จงท าให A B = B
ดงนนขอนจงตอบขอ 2
Math Kit EBook ห น า 12
ตวอยางท 3 ก าหนด A ={ ,1,2,3, … }
และ B={{1}, {2,3}, {4,5,6}, 7, 8, 9,… }
แลว (A – B) (B – A) จะมจ านวนสมาชก
วธท า A – B ={ ,1,2,3,4,5,6}; n(A – B) = 7
B – A = {{1}, {2, 3}, {4, 5, 6}}; n (B – A) = 3
(A – B) (B – A) = { , 1, 2, 3, 4, 5, 6, {1}, {2, 3}, {4, 5, 6}}
n((A – B) (B – A)) = 10
หรอ n((A–B) (B–A)) = n(A – B) + n(B – A)
= 7 + 3
= 10
ตอบ จ านวนของสมาชก (A−B) (B−A) คอ 10
ตวอยางท 4 ก าหนดให A,B,C,D เปนเซตใดๆ (A C) – (B D)เทากบขอใดตอไปน
1.(A B) (D C) 2. (A B) (C D )
3.(A B) (D C) 4. (A B) (D C )
วธท า (A C) – (B D) = (A C) (B D)
= (A C) (B D )
= (A B ) (D C)
= (A B) (D )
ตอบ ขอ 4
ตวอยางท 5 ถา A= {x | x = 1 −
และ n เปนจ านวนนบ}
B = {0,1,
,
,
, … }
และ C = {–1, 0,
, {
,
,
, …}}
แลว (A C) – B มจ านวนสมาชกเทาใด
Math Kit EBook ห น า 13
วธท า พจารณา A จะไดสมาชกดงน {–1, 0,
,
,
, … }
เมอเรา น า A C จะไดสมาชกดงน {–1,0,
}
ซงสมาชกท A C ซ ากบ B คอ {0}
ดงนนเราจะไดวา (A C) – B = { – 1}
ตอบ ไดจ านวนสมาชกทงหมด 1 ตว
ตวอยางท 6 ก าหนดให A = {0, 1, {1}} และ B ={0, {1}, {0,1}} จงพจารณาขอความตอไปน
ก. A P{B}
ข {{1}} P(A) P(B)
ค. จ านวนสมาชกของ P(A B) = 2
1.ถกทกขอ 2.ถก 2 ขอ 3.ถก 1 ขอ 4.ผดทกขอ
วธท า พจารณา P(A) และ P(B)
P(A) = { , {0}, {1}, {{1}}, {0,1}, {0,{1}}, {1,{1}}, {0,1,{1}}} .
P(B) = { , {0}, {{1}} ,{{0, 1}}, {0, {1}}, {0, {{0,1}}}, {{1}, {0,1}}, {0,{1}, {0,1}}}
จากขอ ก พบวา {0, 1} ไมไดอยใน P(A) ดงนนขอนจงผด
จากขอ ข P(A) P(B) = { , {0} , {{1}} , {0,{1}}}
{{1}} P(A) P(B) ดงนนขอนจงถก
จากขอ ค จาก A B ={0, {1}} เมอเราหาสบเซตเราจะไดทงหมด 22 ตว
คอ 4 ตวไมใช 2 ตวดงนนขอนจงผด
ตอบ ขอ 3
Math Kit EBook ห น า 14
ตวอยางท 7 ในการสอบถามพนกงานจ านวน 300 คนในบรษทแหงหนงพบวา
มพนกงานชอบดมชาเขยว จ านวน 80 คน
มพนกงานชอบดมน าผลไมรวมจ านวน 140 คน
มพนกงานไมชอบดมทง 2 อยางจ านวน 100 คน
จงหาคามจ านวนพนกงานทชอบดมเพยงชนดเดยว
วธท า
ก าหนด x เปนจ านวนพนกงานชอบดมชาและน าผลไมรวม ทง 2 ชนด
80 + 140 – x +100 = 300
x = 20
มพนกงานชอบดมชาเขยวเพยงอยางเดยว จ านวน 80– 20 = 60 คน
มพนกงานชอบดมน าผลไมรวมจ านวนเพยงอยางเดยว 140– 20 =120 คน
ดงนนมพนกงานทดมเครองดมเพยงชนดเดยวจ านวน 60 + 120 = 180 คน
Math Kit EBook ห น า 15
ตวอยางท 8 จากการส ารวจของนกเรยนในระดบชนมธยมศกษาปท 6 จ านวน 82 คน พบวา
มนกเรยนชอบวชาสงคมจ านวน 40 คน
มนกเรยนชอบวชารายไดประชาชาตจ านวน 30 คน
มนกเรยนชอบวชาบญชในชวตประจ าวนจ านวน 20 คน
มนกเรยนทไมชอบทง 3 วชาจ านวน 10 คน
มนกเรยนทชอบวชาสงคมเพยงวชาเดยว 30 คน
มนกเรยนทชอบวชาสงคมและบญช 5 คน
มนกเรยนทชอบบญช เพยงอยางเดยว 10 คน
จงหาจ านวนนกเรยนทชอบทง 3 วชา
วธท า
จากขอมลทโจทยก าหนด น าขอมลโจทยมาหาสวนทเหลอ
ก าหนด x คอนกเรยนทชอบทง สงคม รายไดประชาชาตและ บญช
30 + 5 + 5 + 10 +10 +(5 – x) + x + (20 – x) = 72
75 – x = 72
75 – 72 = x
x = 3
ดงนนนกเรยนทชอบเรยนทง 3 วชามจ านวน 3 คน
Math Kit EBook ห น า 16
บทท 2 ตรรกศาสตร
บทตรรกศาสตรเปนบททใกลเคยงกบเซตมากทสดบทหนง การด าเนนทางทางเซต เราสามารถ
ใชแทนการด าเนนการของตรรกศาสตรบางตวได
ตรรกศาสตร เซต
คาความจรงเปนจรง
คาความจรงเปนเทจ
(และ)
(หรอ)
(นเสธ) (คอมพลเมนต)
ตรรกศาสตร เปนการศกษาเกยวกบการ วเคราะหคาความจรง
(จรงหรอเทจ) ของประโยคตางๆ
ประพจนและการเชอมประพจน
สมมล
สจนรนดร / สมเหตสมผล
ตวบงปรมาณ
และ เปนจรงเพยงกรณเดยวคอ จรงและจรง ไดจรง คาความจรงเปนจรงยาก
หรอ เปนเทจเพยงกรณเดยวคอ เทจหรอเทจ ไดเทจ คาความจรงเปนจรงงาย
ถา... แลว... เปนเทจเพยงกรณเดยวคอ ถา จรง แลวเทจ ไดเทจ
กตอเมอ เปนจรงตอเมอ ตวหนาและตวหลงเหมอนกน
ประพจนทมคาความจรงเหมอนกน
ประพจนทมคาความจรงเปนจรงทกกรณ
ตรวจสอบใหทกตวเปนเทจ ถาเกดการขดแยง แสดงวาเปนสจนรนดร
ตองเปนสจนรนดรถงจะสมเหตสมผล
การใหเหตผล (เลขพนฐาน)
อปนย
นรนย
Math Kit EBook ห น า 17
ตรรกศาสตร (Logic) เปนการศกษาทวาดวยการใหเหตผล โดยมกจะเปนสวนส าคญของวชา
ปรชญา คณตศาสตร คอมพวเตอร รวมถงภาษาศาสตร ตรรกศาสตรเปนการตรวจสอบขอโตแยงท
สมเหตสมผล (valid argument)
ประพจน (proposition) หมายถงประโยคบอกเลาหรอปฏเสธทสามารถบอกได วาเปนจรงหรอ
เทจเพยงอยางเดยวเทานน
เชน 1+5 = 10 มคาความจรงเปนเทจ
ประโยคเปด (Open Sentence) หมายถง ประโยคทตดตวแปรซงไมสามารถบอกวาเปนจรงหรอ
เทจได แตเราสามารถท าใหเปนประพจนไดโดยการแทนคาตวแปร
เชน x + 1 = 5
ตาราง การเชอมประพจน (compound proposition)
p q p q p q p q p q p
T T T T T T F
T F T F F F F
F T T F T F T
F F F F T T T
คาความจรงเปนจรง (True) ใชตวยอ T
คาความจรงเปนเทจ (False) ใชตวยอ F
ตวเชอมของประพจนแบงไดเปน 4 ชนดคอ
1. และ (and)
2. หรอ (or)
3. ถาแลว (if… then …)
4. กตอเมอ (… if and only if ..)
นเสธ คอ คาความจรงจะตรงขามกน
สมมลทส าคญ
1. p q p q q p
2. (p q) p q
(p q) p q
3. p (q r) (p q) (p r)
p (q r) (p q) (p r)
4. p q (p q) (q p)
สจนรนดร (Tautology) คอประพจนทมคาความจรงเปนจรงทกกรณ
การ วาเปนสจนรนดรหรอไม ตรวจสอบ
1. เขยนตารางคาความจรง
2. สมมตใหประพจนมคาความจรงเปนเทจ แลวตรวจสอบวาขดแยงหรอไม ถาขดแยงแสดงวาเปนสจ
นรนดร
3. a b เปนสจนรนดรกตอเมอ a b
Math Kit EBook ห น า 18
ตวอยางท 1 ให p, q, r, s เปนประพจน ถา [p (q r)] (s r) มคาความจรงเปนจรงและ
p s มคาความจรงเปนเทจ แลวขอใดตอไปนถก (Ent 45 มนาฯ)
1. p q มคาความจรงเปนจรง 2. q r มคาความจรงเปนจรง
3. r s มคาความจรงเปนเทจ 4. s p มคาความจรงเปนเทจ
วธท าใหพจารณา p s มคาความจรงเปนเทจ ดงนน p เปนเทจ p จงเปนจรง และ s เปน
เทจ
ดงนน p q มคาความจรงเปนจรง T T T ตอบขอ 1
p เปนจรง
q เปนจรง
r เปนเทจ
s เปนเทจ
Math Kit EBook ห น า 19
การอางเหตผล
ให P1,P2,P3,…,Pn เปนเหต และ C เปนผล
การอางเหตผลจะสมเหตสมผลกตอเมอ
[P1 P ,P3 … Pn] C เปนสจนรนดร
Ex เหต
1. P Q
2. Q
ผล P
วธท าให
เหต 1. P Q T
2. Q T
ผล P F
จากเหต Q เปนเทจ
ท าใหเหตอนท 1 ขดแยง
ขอนจงสมเหตสมผล
ตวบงปรมาณ (Quantifier)
เปนขอความทใชบงบอกจ านวนตวแปรในประโยคเปด โดยเกยวของกบสมาชกในเอกภพ
สมพทธ มทงหมด 2 ชนดคอ
1. Universal Quantifier เปนตวบงปรมาณทงหมดของสมาชกในเอกภพสมพทธ ใช
x[P(x)] เปนสญลกษณ แทนขอความ ส าหรบ x ทกตว คาความจรง ประพจนจะเปนจรง
ไดตอเมอ ทกกรณตองเปนจรง หากเปนเทจแมแตกรณเดยวกเปนเทจ
Ex 1 x[x+1 > 3] { }
ประพจนนมคาความจรง เปนจรงเนองจากทง 4 ,5 และ 6 น าไปบวก 1 ซงทกตวมคา
มากกวา 3
Ex 2 x[3x+1 > 5 ] = I+
ประพจนนมคาความจรงเปนเทจ เมอถา x = 1
2. Existential Quantifier เปนตวบงปรมาณบางสงของสมาชกในเอกภพสมพทธ ใช
x[P(x)] เปนสญลกษณ แทนขอความ ม x บางตว คาความจรง จะเปนจรงไดตอเมอม
กรณใดกตามเปนจรงเพยงกรณเดยวกมคาความจรงเปนจรง ในทางกลบกนถาทกกรณเปน
เทจ คาความจรงจะมคาเปนเทจ
Math Kit EBook ห น า 20
การหาคาความจรงของตวบงปรมาณ 2 ตว
x y มคาความจรงเมอ x และ y ใน แทนคาแลวเปนจรงทกกรณ มโอกาสเกดจรงยาก
x y มคาความจรงเมอ x และ y อยางนอย 1 คใน แทนคาแลวเปนจรง มโอกาสเกดจรง
งาย
x y มคาความจรงเมอ x ทกคาสามารถหาคา y บางตวได แลวจะมคาความจรงเปนจรง
x y มคาความจรงเมอ x อยางนอย 1 ตวท าให y ทกตวใน แทนคาแลวเปนจรง
ตวอยางวธการใชงาน ก าหนดให x คอเดกในหองเรยนหนง y คอ สตวเลยง
x y คอ เดกทกคนตองเลยงสตวเลยงทกชนด
x y คอเดกทกคนเลยงสตวเลยงบางชนด
x y คอ เดกบางคนเลยงสตวเลยงทกชนด
x y คอ เดกบางคนเลยงสตวเลยงบางชนด
Math Kit EBook ห น า 21
ตวอยางท 2 จงหาความจรงตอไปนเมอก าหนด ={0,1,2,3}
x y[x > y] มคาความจรงเปนเทจเชนเมอ x = 0 y = 1 เปนเทจ เมอเปนเทจกรณใดกรณหนง
กมคาความความจรงของตวบงปรมาณเปนเทจทนท
x y[x > y] มคาความจรงเปนจรงเชน เมอ x = 2 y =0 เมอมกรณใดกตามเปนจรงเพยงกรณ
เดยว กจะท าใหคาความความจรงของตวบงปรมาณเปนจรงทนท
x y[x > y] มคาความจรงเปนเทจ
x y[x > y] มคาความจรงเปนเทจเพราะไมม x ทสามารถท าให y ทกคาเปนจรง
นเสธของตวบงปรมาณ
~ x[P(x)] x[~P(x)]
~ x[P(x)] x[~P(x)]
ตวอยางท 3 ก าหนดใหเอกภพสมพทธคอ {–1,1,2} จงหาคาความจรงของ x[x2 – x + 6= 0]
วธท า ใหพจารณาค าตอบของสมการ x2 – x + 6= 0
เนองจากสมการดงกลาวไมสามารถแยกตวประกอบ เราสามารถใชตวเลขทโจทยก าหนด
แทนลงในสมการเพอตรวจสอบความถกตอง
(–1)2 + 1 + 6 = 7
(1)2 – 1 + 6 = 6
(2)2 – 2 + 6 = 8
ดงนนคาความจรงจงเปนเทจ
Math Kit EBook ห น า 22
ตวอยางท 4 ก าหนดให p,q,r และ s เปนประพจนท
ประพจน (p q) (r s) มคาความจรงเปนเทจ
ประพจน p r มคาความจรงเปนจรง
ประพจนขอใดตอไปนมคาความจรงเปนจรง (PAT1 ก.ค. 53)
1. (p q) (q r) 2.q [p (q ~r)]
3. (p s) (r q) 4. (r s) [q (p r)]
วธท า จากโจทย (p q) (r s) มคาความจรงเปนเทจท าใหทราบวา r และ s มคาความจรงเปน
เทจเนองจาก T F F
เมอทราบวา r เปนเทจจะท าให p มคาความจรงเปนเทจ เนองจาก p r มคาความจรงเปนจรง
ดงนน q จงมคาความจรงเปนเทจ
ตอบ ขอ 2
Math Kit EBook ห น า 23
ตวอยางท 5 ประพจนใดทสมมลกบ ~[(p ~q) (~p v r)]
1.p v (q ~r) 2.p (q v ~r) 3.p v (~ q r) 4.p (~q v r)
วธท า ขนแรกใหกระจายนเสธจะวา
[~ (p ~q) v ~ (~p v r)] [~(~p v ~q) v (p ~r)]
[(p q) v (p ~r)]
[(p (q v ~r)]
ตอบ ขอ 2
ตวอยางท 5 ก าหนดให p,q,r เปนประพจน ประพจนในขอใดตอไปนไมเปนสจนรนดร
1.(p q) [~r (p q)] 2.(~p v q) (~q ~p)
3.(p q) v (q r) v (~p ~q) 4.[(p q) v r)] [(~p v q) v (~r ~p)]
ตอบ ขอ 3
Math Kit EBook ห น า 24
การใหเหตผล (เลขพนฐาน)
สวนประกอบของการใหเหตผลแบงเปน 2 แบบดงน
1. ขออางหรอเหต มกปรากฏค าวา เพราะวา เนองจาก ดวยเหตทวา ฯลฯ
2. ขอสรปหรอผล มกปลากดค าวา เพราะฉะนน ดวยเหตนจง ดงนน ฯลฯ
ประเภทของการใหเหตผล
การใหเหตผลแบบอปนย (Inductive reasoning) เปนการใหเหตผลโดยอาศยขอสงเกต
หรอผลการทดลองจากหลาย ๆ ตวอยาง มาสรปเปนขอตกลง หรอขอคาดเดาทวไป หรอค า
พยากรณ ซงจะเหนวาการจะน าเอาขอสงเกต หรอผลการทดลองจากบางหนวยมาสนบสนนให
ไดขอตกลง หรอ ขอความทวไปซงกนความถงทกหนวย ยอมไมสมเหตสมผล
ขอสงเกตของการใหเหตผลแบบอปนย
1. ขอสรปของอปนย ไมจ าเปนตองเปนจรงเสมอไป
2. ขอสรปของอปนยสามารถเกดขนไดมากกวา 1 ค าตอบ
3. ขอสรปของอปนยสามารถเกดความผดพลาดไดสง
ตวอยาง เหต 1.หานตวนสขาว
2.หานตวนนกสขาว
3.หานตวโนนกสขาว
ดงนน ขอสรปคอ หานทกตวมสขาว
ตวอยาง เหต 1.คอมพวเตอรทบานใชไฟฟา
2.คอมพวเตอรพกพาใชไฟฟา
3.คอมพวเตอรในส านกงานใชไฟฟา
ดงนน ขอสรปคอ คอมพวเตอรทกเครองใชไฟฟา
Math Kit EBook ห น า 25
การใหเหตผลแบบนรนย(Deductive reasoning)เปนการน าความรพนฐานทอาจเปน
ความเชอ ขอตกลง กฎ หรอบทนยาม ซงเปนสงทรมากอนและยอมรบวาเปนจรง เพอหาเหตผล
น าไปสขอสรป
ขอสงเกตของการใหเหตผลแบบนรนย
1. เหตเปนจรง และ ผลเปนจรง
2. เหตเปนเทจ และ ผลเปนเทจ
3. ขอสรปของนรนยไมไดเปนจรงทกกรณเสมอไป
ตวอยาง เหต 1.นายจรสเปนมนษย
2.มนษยทกคนเปนสงมชวต
3.สงมชวตตองการอากาศหายใจ
ดงนน ขอสรป นายจรสตองการอากาศหายใจ
ตวอยาง เหต 1.นางสาวกานดาเกดจงหวดเชยงใหม
2.จงหวดเชยงใหมเปนจงหวดทองเทยว
3.จงหวดเชยงใหมเปนจงหวดภาคเหนอของประเทศไทย
ดงนน ขอสรป นางสาวกานดาเกดในจงหวดทองเทยวภาคเหนอของประเทศไทย
ดงนนจงกลาวไดวาการใหเหตผลแบบนรนยจะใหความแนนอน แตการใหเหตผลแบบ
อปนย จะใหความนาจะเปน
วธการตรวจสอบวาขอสรปสมเหตสมผลหรอไม
ใชแผนภาพเวนน – ออยเลอรตรวจสอบความสมเหตสมผล โดยในการวาดถาทกแผนภาพ
แสดงผลขอสรปตามทก าหนดแสดงวา ขอสรปสมเหตสมผล แตในทางกลบกน ถามแผนภาพแม
เพยงกรณเดยวทไมสมเหตสมผล แสดงวาขอสรปนนไมสมเหตสมผล
Math Kit EBook ห น า 26
ตวอยางท 1 เหต 1.มนษยทกคนมหนวด
2.แมวบางตวมหนวด
ขอสรป แมวทกตวเปนมนษย
จงพจารณาขอความตอไปน วาสมเหตสมผลหรอไม
วธท า วาดแผนภาพ
จากแผนภาพพบวามแมวบางตวทมหนวดแตไมใชมนษยและแมวบางตวไมมหนวด
ดงนน ขอสรป แมวทกตวเปนมนษย จงไมสมเหตสมผล
ตวอยางท 2 เหต 1.คนไทยทกคนทมอายตงแต 7 ปบรบรณตองมบตรประชาชน
2.นายกฤษฎา เปนคนไทย
3.นายกฤษฎา อาย 17 ป
ขอสรป นายกฤษฎา มบตรประชาชน
จงพจารณาขอความตอไปน วาสมเหตสมผลหรอไม
วธท า วาดแผนภาพ
จากแผนภาพคนไทยและมบตรประชาชนมนายกฤษฎา
ดงนน ขอสรป นายกฤษฎา มบตรประชาชนจงสมเหตสมผล
Math Kit EBook ห น า 27
ตวอยางท 3 .จงพจารณาขอความตอไปนแลวระบวาสมเหตสมผลหรอไม
เหต ชาวนาบางคนรวย
คนรวยบางคนเปนคนด
ผล คนรวยบางคนไมเปนชาวนาและไมเปนคนด
ตอบไมสมเหตสมผลเพราะมกรณทเปนเทจ
Math Kit EBook ห น า 28
บทท 3 จ านวนจรงและทฤษฏจ านวน
จ านวนจรง เปนจ านวนทใชอยในชวตประจ าวนของเรา
ซงมทงจ านวนบวก จ านวนลบ หรอแมแตจ านวนเตมศนย
การแกสมการ
ก าลง 2
มากกวาก าลง 2
จบคดงตวรวม
หารสงเคราะห
แยกตวประกอบ
ใชสตร −𝑏 ± 𝑏2− 𝑎𝑐
𝑎
การแกอสมการ
แยกตวประกอบ
เขยนเสนจ านวน ระวงเรองการใสเครองหมาย
คาสมบรณ
| x | ≤ a -a ≤ x ≤ a
| x | ≥ a x ≥ a หรอ x ≤ -a
| x | ≥ | y | (x)2 ≥ (y)2
รปแบบอนๆแยกชวงคด
ทฤษฎจ านวน
หารลงตว a|b อานวา a หาร b ลงตว
ห.ร.ม. ใชวธของยคลด
ค.ร.น. ใชหารสน
Math Kit EBook ห น า 29
จ านวนจรง(Real Number) คอจ านวนทสามารถเขยนบนเสนตรงทมความยาวไมสนสด
(เสนจ านวน) ได ค าวา จ านวนจรง ซงประกอบดวยจ านวนตรรกยะ และจ านวนอตกรรกยะ
จ านวนเตม ประกอบไปดวยจ านวนเตม
บวก จ านวนเตมศนย จ านวนเตมลบ
จ านวนนบ หรอจ านวนเตมบวก
ไดแก 1,2,3,...
จ านวนเตมลบ ไดแก –1, –2, –3, ... โดย
ม –1 มคามากทสด
จ านวนค คอจ านวนท 2 หารลงตว
จ านวนค คอจ านวนท 2 หารไมลงตว
จ านวนตรรกยะ คอจ านวนทสามารถ
เขยนรปเศษสวนได เชน 4 , 3.67
3.4848..
จ านวนอตรรกยะคอจ านวนทไมสามารถ
เขยนในรปเศษสวนได เชน
6.5123...,e,
สมบตของจ านวนจรง
สมบต การบวก การคณ
ปด ถา a และ b เปนจ านวนจรงแลว a + b R
a + b = b + a
(a + b) + c = a + (b + c)
0
–a
ถา a และ b เปนจ านวนจรงแลว a x b R
a x b = b x a
(a b) c=a (b c)
1
สลบท
เปลยนกลม
เอกลกษณ
อนเวอรส
แจกแจง a (b+c) = a b + a c
ความรเสรม
เอกลกษณ คอ จ านวนซงน าไปด าเนนการกบจ านวนใดแลวไดจ านวนนนแลวไดตวเดม
อนเวอรส (a–1) คอจ านวนกตามซงน าไปด าเนนการกบจ านวนใดแลวจะได เอกลกษณ
จ านวนจรง
จ านวนตรรกยะ จ านวนอตรรกยะ
เศษสวน จ านวนเตม
จ านวนเตมบวก
จ านวนเตมลบ
จ านวนเตมศนย
Math Kit EBook ห น า 30
การด าเนนการดวย Operation
เครองหมายด าเนนการ (Operators) หรอ ตวด าเนนการ นนก าหนดการการกระท าทเกด
ขนกบตวแปรและคาคงท โดยทนพจนประกอบดวยตวแปร และคาคงท และใชตว ด าเนนการ
ค านวณเพอใหไดคา
ตวอยางท 1 ก าหนด * เปนตวด าเนนการในระบบจ านวนจรง ให a และ b เปนจ านวนจรงบวก
ทก a * b = 2a + b
a * a = 1
b * b = 0
จงหาคา 5 * (10 * 5)
วธท า 5 * (10 * 5) = 5 * (2(10)+5)
= 5 * 25
= 2(5) + 25
= 35
ตอบ 35
ตวอยางท 2 ก าหนด * เปนตวด าเนนการในระบบจ านวนจรง ให a และ b เปนจ านวนจรงบวก
โดยนยามของ * คอ a * b = 4a + 2b – 1 จงหาเอกลกษณของการด าเนนการตอไปน
วธท า ก าหนดให e เปนเอกลกษณของการด าเนนการ ดงนน a * e = a
จาก a * e = 4a + 2e –1
4a + 2e − 1 = a
2e = 1 – 3a
e = 1 – 3a 2
ตอบ 1 – 3a 2
Math Kit EBook ห น า 31
การแกสมการพหนามดกร 2 (Quadratic equation)
สมการก าลงสองมรปทวไป คอ
ax2 + bx + c = 0 เมอ x เปนตวแปร และ a,b,c เปนคาคงทและ a ไมเปน 0
การแกสมการก าลงสอง
1. การสมการโดยการแยกตวประกอบ
2. ใชสตร − ± 2−
ขอสงเกต
ถา b2 4ac > 0 สมการจะม 2 ค าตอบ
ถา b2 4ac = 0 สมการจะม 2 ค าตอบทเหมอนกน
ถา b2 4ac < 0 สมการไมมค าตอบเปนจ านวนจรง
ค าตอบของสมการจะเปนจ านวนเชงซอน
การแกสมการพหนามดกรตงแตก าลง 3 ขนไป
วธท 1 จบคดงตวรวม
Ex x3 – 2x2 – 6x + 12 = 0
x2(x – 2) – 6(x – 2) = 0
(x2 – 6)(x – 2) = 0
(x – )(x + )(x – 2) = 0
x = – , 2 ,
ความรเสรม
สมการพหนามดกร 3 ในรป ax3 + bx2 + cx + d = 0 เรยกวา Cubic equation
สมการพหนามดกร 4 ในรป ax4 + bx3 + cx2 + dx +e = 0 เรยกวา Quartic equation
Math Kit EBook ห น า 32
วธท 2 ใชทฤษฏเศษเหลอและหารสงเคราะห
Ex x3 + 4x2 – 7x – 10 = 0
ลองแทนเลขพบวา แทน 2 แลวสมการเปนจรง
(x – 2)(x2 + 6x + 5) = 0
(x – 2)(x + 5)(x + 1)=0
x = 2 , –5 , –1
ขอควรร
(น+ล)3 = น3 + ล3 + 3นล(น+ล)
(น−ล)3 = น3 − ล3 − 3นล(น−ล)
หลกการแกโจทยคอ
น าสมตวเลขไปแทนแลวท าใหสมการเปน
จรง แลวน าตวเลขนนไปหารสงเคราะห
ตวเลขทสมไปแทนตองหารตวเลข ตว
สดทายของโจทยลงตว การสมเราตองสม
ทงคาบวกและลบ
เมอทราบวาใดหารลงตว แลวน า
สมประสทธจากโจทยมาเปนตวตงแลว
หารดวยจ านวนนน
Math Kit EBook ห น า 33
ชวงและการแกอสมการ
ชวง (Interval) เมอก าหนด a และ b เปนจ านวนจรงโดยท a < b
ชวงเปด (Opened Interval) จาก a ถง b คอ (a,b) = {x R | a < x< b }
ชวงปด (Closed Interval) จาก a ถง b คอ [a,b]={x R | a ≤ x ≤ b }
ชวงครงเปดทางขวา (Interval half open on the right)
จาก a ถง b คอ [a,b) = {x R | a ≤ x < b }
ชวงครงเปดทางซาย (Interval half open on the left)
จาก a ถง b คอ (a,b] = {x R | a x ≤ b }
หลกการแกอสมการ
1. ยายขางเหมอนสมการทกอยาง ยกเวน ถาเอาจ านวนลบไปคณหรอการใหกลบ
เครองหมาย
2. ยายขางจนกวาดานหนงจะกลายเปน 0 และแยกตวประกอบ
3. เขยนเสนจ านวน หาคาวกฤต (คอเลขทท าใหคาเปน 0)
4. ใสเครองหมายเปนเสนจ านวน
Ex จงแกอสมการตอไปน x2 – 6x + 2 > –7
x2 – 6x + 9 > 0
(x – 3)(x – 3) > 0
เราจงสามารถเขยนเสนจ านวนไดดงน
+ 3 +
เซตค าตอบ คอ R – {3}
คา + เกดจากการแทนเลขท
มากกวา 3 แลวพบวาทกตวมคา
เปนบวก เพราะฉะนนเราตองแทน
เลขลงไปจงจะทราบ ชวงจะเปน
บวกหรอลบ
Math Kit EBook ห น า 34
ตวอยางท 3 จงเขยนเสนจ านวนของอสมการตอไปน
1.(x – 3)(5 – x) > 0
ตอบ (3,5) เพราะหากเราน าตวเลขทอยระหวาง 3 ถง 5 มาแทนลงในสมการ มผลใหค าตอบไดเปนจ านวน
บวกเสมอแตในทางกลบกน ถาน าชวงทนอยกวา 3 หรอ มากกวา 5 ไปแทนลงในสมการจะท าใหสมการได
ค าตอบเปนจ านวนลบเสมอ
2.(x – 6)2 (x – 2)(x + 1) < 0
ตอบ (–1,2) เพราะหากเราน าตวเลขทอยระหวาง 3 ถง 5 มาแทนลงในสมการ มผลใหค าตอบไดเปน
จ านวนบวกเสมอ
3.(7 – x)2(x + 3) ≤ 0
ตอบ (∞,–3] {7}
4. − − − 2
− ≥ 0
ตอบ (–∞,–2) (1,3] {2} เพาระ ทเราไมรวม –2 กบ 1 มาเปนค าตอบเพราะถาถาน ามารวมเปนค าตอบ
จะท าใหสวนเปน 0 แลวหาคาไมได
Math Kit EBook ห น า 35
ตวอยางท 4 จงหาเซตค าตอบของ
− < –1
วธท า
− + 1 < 0 ค าแนะน าถาเปนเศษสวนแลวมตวแปรซงไมทราบวาจะเปนบวกหรอลบหามคณไขว
−
− < 0
−
− < 0
ตอบ ค าตอบอยในชวง (1,2)
คาสมบรณ
นยาม ส าหรบจ านวนจรงใดๆ a, คาสมบรณของ a เขยนแทนดวย |a| เทากบ a ถา a ≥ 0 และ
เทากบ −a ถา a < 0 |a| จะไมเปนจ านวนลบ
คาสมบรณจะเปนจ านวนบวกหรอศนยเสมอ นนคอจะไมมคา a ท |a| < 0
|x| = |–x| |x – y| =| y – x | |x + y| ≤ |x| + |y| |x – y| ≥ |x| – |y|
|x • y| = |x||y| |
| =
; y ≠ 0 |xn| = |x|n |x2|=x2
การแกอสมการคาสมบรณตวเดยว
| x | ≤ a –a ≤ x ≤ a
ตวอยาง
| x – 3 | < 5
–5 < x – 3 < 5
–2 < x < 8
| x | ≥ a x ≥ a หรอ x ≤ –a
ตวอยาง
| x – 2 | > 7
x – 2 > 7 หรอ x – 2 < –7
x > 9 หรอ x < –5
การแกอสมการคาสมบรณสองตว
| x | เครองหมายอสมการ | a | ใหยกก าลงสองทง
สองขาง
ตวอยาง
| 4x + 3 | > | 3x – 1 |
(4x + 3)2 > (3x – 1)2
(4x + 3)2 – (3x – 1)2 > 0
(4x + 3 – 3x + 1)(4x + 3 + 3x – 1) > 0
(x + 4)(7x + 2) > 0
–4 –
+ + -
Math Kit EBook ห น า 36
การแกอสมการคาสมบรณรปแบบอนๆ ตวอยาง | x – 3 | + | x – 1 | ≤ 2
x ≤ 1 1 ≤ x ≤ 3 x ≥ 3
– (x – 3) – (x – 1) ≤ 2
–2x + 4 ≤ 2
–2x ≤ –2
x ≥ 4
ชวงนไมมค าตอบ
–(x – 3) + (x – 1) ≤ 2
2 ≤ 2
ได 1 ≤ x ≤ 3
(x – 3)+(x – 1) ≤ 2
2x – 4 ≤ 2
2x ≤ 6
x ≤ 3
ชวงนไมมค าตอบ
น าตอบทกชวงมายเนยนกน เซตค าตอบคอชวง [1,3]
การหารลงตว
n|m คอ n หาร m ลงตว หรอกลาววา m ถก n
หารลงตว
n คอตวหาร m คอพหคณของ n
ขนตอนการหาร
m = n(q) + r
m คอตวตง n คอตวหาร q คอผลหาร r คอเศษ
Ex จงแสดงวา 4|20
วธท า 20 = 4×5 + 0
เศษเปน 0 แสดงวา 4 หาร 20 ลงตว
ห.ร.ม. (a,b) แทน ห.ร.ม. ของ a และ b คอ
จ านวนเตมบวกทมากทสดทหาร a และ b ลงตว
(15,25) = 5 เพราะ 5 คอจ านวนเตมบวกทมาก
ทสด ทหารทง 15 และ 25 ลงตว
ขนตอนของยคลด
1) ตองการหา ห.ร.ม. ของ a,b ใหใชวธการหาร
2) (a,b) = ( ตวหาร , เศษเหลอ )
3) ท าขนตอน 2 ไปเรอยๆ จนกวาเศษจะเปน 0
4) เศษเหลอตวสดทายของการหารกอนเศษเปน 0
คอ ห.ร.ม.
Ex จงหา ห.ร.ม. ของ 14 และ 58
58 = 14(4) + 2
14 = 2(7) + 0
ดงนน (14,58) = 2
ค.ร.น. [a,b] แทน ค.ร.น. ของ a และ b คอจ านวน
เตมบวกทนอยทสดทหารดวย a และ b ลงตว
Ex จงหาค.ร.น. ของ 4 กบ 6
4 • 6 = ห.ร.ม. • ค.ร.น.
24 = 2 • ค.ร.น.
ดงนน ค.ร.น. = 12
น าค าตอบทไดมา
อนเตอรเชกชนกบ
ชวง
Math Kit EBook ห น า 37
ทฤษฏบท a และ b คอจ านวนเตมบวก แลว
a•b = (a,b) • [a,b]
จ านวนเฉพาะสมพทธ
a,b เปนจ านวนเฉพาะสมพทธ เมอ (a,b) = 1
หารรวมมากและคณรวมนอย
หารรวมมากคอจ านวนเตมบวกทมคามากทสดซงหารจ านวนทเราสนใจอยางนอย 2 ตวลงตว
หรอจะกลาวตามนยามวา เมอก าหนด d เปนตวหารรวมมากของ a และ b ซง a หรอ b หามเปน 0ก
ตอเมอ d | a และ d | b และเราแทนห.ร.ม.ทบวกบวกของ a,b ดวย (m,n)
Ex จงหาห.ร.ม. ของ 146 และ 192
วธท าใหใชขนตอนวธการหารดงน 192 = 146(1) + 48
146 = 48(3) + 2
48 = 2(24) + 0
ห.ร.ม.ของ 146 และ 192 คอ 2 เพราะ 2 คอจ านวนเตมบวกทมคามากทสดทหารทง 146 และ 192 ลงตว
คณรวมนอยคอจ านวนเตมบวกซงมคานอยทสดถกหารดวยทจ านวนทเราสนใจอยางนอย 2 ตวลง
ตวหรอจะกลาวตามนยามวา เมอก าหนด d เปนคณรวมนอยของ a และ b ซง a หรอ b หามเปน 0 ก
ตอเมอ a | d และ b | d และเราแทนค.ร.น.ทบวกบวกของ a,b ดวย [m,n]
Ex จงหาค.ร.น.ของ 34 และ 112
วธท า เราสามารถท าไดหลายวธเชนใชทฤษฎบท a • b = (a,b) • [a,b] การหารสน การแยกตวประกอบ
ส าหรบวธทงายทสดและรวดเรวคอการตงหารสน
2×17×56 = 1904
ดงนน ค.ร.น.ของ34 และ 112 คอ 1,904 เพราะ 1,904 คอจ านวนเปนบวกทนอยทสดท
34|1,904 และ 112|1,904
อยาสบสนกบเรองชวงของอสมการนะครบ
อยาสบสนกบเรองชวงของอสมการนะครบ
Math Kit EBook ห น า 38
ตวอยางท 5
ก าหนดให S = , |
2− ≥
2− - ชวงใดตอไปนเปนสบเซตของ S (PAT1)
1.(–∞,–3) 2.(–1,0.5) 3.(–0.5,2) 4.(1,∞)
วธท า
− − ≥
−
≥
≥
≥
ตอบขอ 2 สงเกตไดวา (–1,0.5) เปนสบเซตของเซต S
ตวอยางท 6 ก าหนด S ={x | =1} เซตในขอใดตอไปนเทากบเซต S (PAT1)
1. {x| x3=1} 2.{x|x2=1} 3.{x|x3=–1} 4.{x4=x}
วธท า จากเซต S เราสามารถเขยนแจกแจงสมาชกไดดงน {1,–1}
พจารณาค าตอบ 1.{x| x3=1} สามารถเขยนแจกแจงสมาชกไดดงน {1}
2.{x|x2=1} สามารถเขยนแจกแจงสมาชกไดดงน {1,–1} เนองจากทงคเมอ
น าไปยกก าลงสองแลวจะมคาเทากบ 1
3.{x|x3=–1} สามารถเขยนแจกแจงสมาชกไดดงน {–1}
4.{x4=x} สามารถเขยนแจกแจงสมาชกไดดงน {0,1} เนองจากคา x = x4
ซง x4เปนไดเพยงจ านวนเตมบวกเทานน ดงนนจงท าให x ตองเปนจ านวนเตมบวก
ไปดวย
ตอบ ขอ 2
(-∞,-4) (-1,1) (2, ∞)
Math Kit EBook ห น า 39
ตวอยางท 7 ถาเซตค าตอบของอสมการ |x2 + x – 2| < (x + 2) คอชวง (a,b) แลว a+b มคา
เทากบเทาใด (A–NET มนาคม 50)
วธท า จากนยามของคาสมบรณจะได – (x + 2) < x2 + x – 2 < x + 2
– (x + 2) < x2 + x – 2
0 < x2 + 2x
0 < x(x + 2)
x2 + x – 2 < x + 2
x2 < 4
x < –2,2
น าทงสองชวงมาอนเตอรเซกชนกน
จากรปชวงทซ ากนคอ (0,2) ดงนน 0 + 2 = 2
ดงนนตอบ 2
ตวอยางท 4 ก าหนดให A = {x | (2x+1)(x–1) < 2} B = {x | |2x–10| < 2} C เปนเซตของ A B
จงหาเซตค าตอบของ (A B) C
วธท า พจารณา A = (2x+1)(x–1) < 2 ใหจดรปใหฝงหนงมคาเปนศนย
2x2 – x – 3 < 0
(2x–3)(x+1) < 0
พจารณา B = –2< 2x – 10 < 2
8 < 2x < 12
4 < x < 6
พจารณา C คอ A B =
(A B) C = (A B)
ดงนน ตอบ A B = (–1,1.5) (4,6)
Math Kit EBook ห น า 40
บทท 4 ความสมพนธและฟงกชน
ความสมพนธ
ฟงกชน y = f(x)
ผลคณคารทเชยน A x B = {(x,y) | x A y B }
โดเมนและเรนจของความสมพนธ
อนเวอรสของความสมพนธ หรอตวผกผนของความสมพนธ
ประเภทของฟงกชน
อนเวอรสของฟงกชน
ฟงกชนประกอบ
การด าเนนการของฟงกชน
โดเมนและเรนจของฟงกชน
โดเมนคอ คา x ในคอนดบ (x,y)
เรนจคอ คา y ในคอนดบ (x,y)
สลบท x กบ y
ฟงกชน A ไป B (into function) Df = A Rf B
ฟงกชน A ไปทวถง B (onto function) Df = A Rf = B
ฟงกชนหนงตอหนง(1-1 function) ฟงกชนทตวหลง (y) สามารถจบคกบ
สมาชกตวหนา (x) เพยง 1 ตวเทานน
สลบท x กบ y
ตรวจสอบวาฟงกชนหรอไม
gof(x) = g(f(x) แทนคา f(x) ลงใน g(x)
ฟงกชนเอกลกษณ fof-1(x) = x
(f+g)(x) = f(x) + g(x) ; Df+g = Df Dg
(f-g)(x) = f(x) – g(x) ; Df-g = Df Dg
(f⋅g)(x) = f(x) ⋅ g(x) ; Df•g = Df Dg
(f
g)(x) =
f
g ; g(x) ≠ 0 และ D f
g
= Df Dg
ความสมพนธและฟงกชนเปนพนฐานในการแกปญหาท
เกยวของกบตวแปรและเปนพนฐานของคณตศาสตรในระดบท
สงตอไป
Math Kit EBook ห น า 41
คอนดบ (Order Pair) เปนการจบคสงของโดยถอล าดบเปนส าคญ เชน คอนดบ a, b จะ
เขยนแทนดวย (a, b) เรยก a วาเปนสมาชกตวหนา และเรยก b วาเปนสมาชกตวหลง
(การเทากบของคอนดบ) (a, b) = (c, d) กตอเมอ a = c และ b = d
ผลคณคารทเชยน (Cartesian Product)
ผลคณคารทเซยนของเซต A และเซต B คอ เซตของคอนดบ (a, b) ทงหมด โดยท a เปน
สมาชกของเซต A และ b เปนสมาชกของเซต B
สญลกษณ ผลคณคารทเซยนของเซต A และเซต B เขยนแทนดวย A x B หรอ เขยนในรปเซต
แบบบอกเงอนไขจะไดวา
A x B = {(x,y) | x A y B }
ตวอยาง A ={1,2,3} B = {a,b}
A x B = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}
ดงนนจ านวนสมาชกทงหมดคอ n(A) x n(B) = 3 x 2 = 6
ความสมพนธ (Relation) คอเซตของคอนดบซงเปนสบเซตของ A x B
ก าหนดให r เปนความสมพนธจาก A ไป B กตอเมอ r เปนสบเซตของ A x B
ตวอยาง ก าหนดให A ={1, 3, 5} B = {−2, 2} จงเขยนคอนดบของความสมพนธ A x B ใน
จตภาค
วธท า เราสามารถเขยนคอนไดดงน {(1,−2), (1,2), (3, −2), (3,2), (5, −2), (5,2)}
1 3 5
2
-2
(1,2)
(1,−2)
(3,2) (5,2)
(3,−2) (5,−2)
Math Kit EBook ห น า 42
ขอควรรเกยวกบความสมพนธ
1. เซตวางเปนความสมพนธจาก A ไป B เพราะ เซตวางเปนสบเซตของทกเซต
2. ถาความสมพนธ A B และ B C แลว ความสมพนธ A C
3. จ านวนความสมพนธของ A ไป B คอ 2n(A x B)
4. ถาไมมก าหนดขอบเขตของความสมพนธ ใหถอวาขอบเขตของความสมพนธคอ จ านวนจรง
เมอ A และ B เปนจ านวนจรง แลว A x B R x R
5. x r y คอ x มความสมพนธ r กบ y สามารถเขยนอยในรป (x,y) r
6. x r y คอ x ไมมความสมพนธ r กบ y สามารถเขยนอยในรป (x,y) r
ตวอยาง (9,3) r คอ 9 r 3 อานวา 9 มความสมพนธกบ 3 “เปน 3 เทา”
โดเมน (Domain) และ เรนจ (Range)
1. โดเมน (Domain) ของความสมพนธ r คอ เซตทมสมาชกตวหนาของทกคอนดบในความสมพนธ r ใช
สญลกษณแทนดวย Dr ดงนน Dr = {x | (x, y) r}
2. เรนจ (Range) ของความสมพนธ r คอ เซตทมสมาชกตวหลงของทกคอนดบในความสมพนธ r ใช
สญลกษณแทนดวย Rr ดงนน Rr = {y | (x, y) r}
ตวอยาง ก าหนดให A = {−2, 0, 1 , 3, 4} และ r เปนความสมพนธ {(x,y) A × A | y = x2} จงพจารณา
หาคาโดเมนและเรนจของความสมพนธตอไปน
วธท า r เปนความสมพนธรปแบบของ A โดยท y = x2
r = {(−2,4), (0,0), (1,1)}
ดงนน Dr = {−2, 0 ,1}
Rr = {0, 1, 4}
ตวอยาง จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธตอไปน {(x,y) | y = 2x}
ตอบ Dr = R
Rr = R
Math Kit EBook ห น า 43
การตรวจสอบขอจ ากดของโดเมนและเรนจของความสมพนธ
ตรวจสอบโดเมน จด y ในเทอม x
ตรวจสอบเรนจ จด x ในเทอม y
1.ในรปแบบเศษสวน
แนวคด สวนหามเปน 0 เนองจากสวนเปน 0 แลวหาคาไมได
ตวอยางท 1 r = ,
- จงพจารณาหาโดเมนและเรนจ
ตรวจสอบโดเมน จากความสมพนธ สวนหามเปนศนย คอ
x + 2 ≠ 0
x ≠ –2
ตรวจสอบเรนจ ใหจด x ในเทอม y คอ
r = ,
-
r = ,
-
r = , −
-
จากความสมพนธ สวนหามเปนศนย คอ
y ≠ 0
ตอบ โดเมนคอ (–∞,–2) (–2, ∞) หรอ R – {–2}
เรจนคอ (–∞,0) (0, ∞) หรอ R – {0}
2.ในรปของยกก าลง 2
แนวคด
Math Kit EBook ห น า 44
ตวอยางท 2 r = {(x,y)| y = (x−3)2 } จงพจารณาหาโดเมนและเรนจ
ตอบ โดเมน คอจ านวนจรง {x | x R}
เรนจ คอจ านวนจรงซงมคามากกวาหรอเทากบ 0 {y | y ≥ 0 }
3.ในรปในเครองหมายกรณฑ
แนวคด จะพบวา A ≥0 เนองจากในเรองความสมพนธจะมจ านวนจรงเปนเอกภพสมพทธ จะ
ท าให คาของ A ตดลบไมไดในเรองของจ านวนจรง
ตวอยางท 3 r = {(x,y)| y = } จงพจารณาหาโดเมนและเรนจ
2x – 8 ≥ 0
2x ≥ 8
x ≥ 4
ตอบ โดเมน คอจ านวนจรง {x | x ≥ 4}
เรนจ คอจ านวนจรงซงมคามากกวาหรอเทากบ 0 {y | y ≥ 0 }
4.ในรปเครองหมายคาสมบรณ
แนวคด
ตวอยางท 4 r = {(x,y)| y = |5 – 2x|} จงพจารณาหาโดเมนและเรนจ
ตอบ โดเมน คอจ านวนจรง {x | x R}
เรนจ คอจ านวนจรงซงมคามากกวาหรอเทากบ 0 {y | y ≥ 0 }
Math Kit EBook ห น า 45
5.ประยกตโดยใชกราฟ แลวพจารณาจากกราฟ คา x คอโดเมน คา y คอเรนจ
ตวอยางท 5 r = {(x,y)| |x|+|y| = 4} จงพจารณาหาโดเมนและเรนจ
สามารถวาดกราฟได
ตอบ โดเมน คอ {x | −4 ≤ x ≤ 4 }
เรนจ คอ {y | −4 ≤ y ≤ 4 }
กราฟ วงกลม วงร พาราโบลา ไฮเปอรโบลา สามารถศกษาไดจากบทเรขาคณตวเคราะห
ตวผกผนของความสมพนธ
ตวผกผนของความสมพนธ r คอความสมพนธซงเกดจากการสลบทระหวางโดเมน
และเรนจ โดยเขยนแทนดวยสญลกษณ r −1
Ex ก าหนดให r = {(1,7), (2,5), (6,−4), (8,12)} จงหาตวผกผนของความสมพนธ r
วธท า r −1 = {(−4,6), (1,7), (5,2), (12,8)}
Math Kit EBook ห น า 46
ฟงกชน (Function) คอ ความสมพนธ ซงในสองคอนดบใด ๆ ของความสมพนธ
นน ถามสมาชกตวหนาเทากนแลว สมาชกตวหลงตองไมแตกตางกน
ฟงกชน A ไป B (into function) คอฟงกชนทใชสมาชกตวหนาครบทกตว
Df = A Rf B เขยนสญลกษณแทนดวย f: A B
ฟงกชน A ไปทวถง B (onto function) คอฟงกชนทใชสมาชกตวหนาและตวหลงครบ
ทกตว
Df = A Rf B เขยนสญลกษณแทนดวย f: A ทวถง B
ฟงกชนหนงตอหนง (1–1 function) คอ ฟงกชนทตวหลง (y) สามารถจบคกบสมาชกตว
หนา x เพยง 1 ตวเทานน เขยนสญลกษณแทนดวย f: A 1–1 B
Math Kit EBook ห น า 47
การตรวจสอบความสมพนธวาเปนฟงกชน
เราสามารถทดสอบวาความสมพนธนนเปนฟงกชนหรอไมโดยการลากเสนแนวขนาน
แนวแกน y หาก ตดกราฟมากกวา 1 จดแสดงวาความสมพนธนนไมเปนฟงกชน
กราฟนเปนฟงกชน กราฟนไมเปนฟงกชน
ส าหรบการพจารณาวาฟงกชนเปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไม เราลากแนวเสนขนานแกน
x ถาเสนตดกราฟมากกวา 1 จดแสดงวาฟงกชนไมใชฟงกชนหนงตอหนง
กราฟนเปนฟงกชนหนงตอหนง กราฟนไมเปนฟงกชนหนงตอหนง
ประเภทของฟงกชน
ฟงกชนเพม ฟงกชนลด
เมอ f เปนฟงกชน ถา x1 <x2 เมอ f เปนฟงกชน ถา x1 < x2
แลว f(x1) < f(x2) แลว f(x1) > f(x2)
Math Kit EBook ห น า 48
สญลกษณของฟงกชน
ถา f เปนฟงกชนเราจะเรยน y = f(x) โดย (x,y) f
ตวอยางท 1 f={(1,2),(3,4),(5,6)}
f(1) = 2
f(5) = 6
ตวอยางท 2 f(x) =x2+3x–1 จงหา f(2)
f(2) = (2)2+3(2)–1
f(2) = 9
ตวอยางท 3 f(2x+6) = 3x–4จงหา f(2)
f(2) = 3(−2) − 4
= −10
ตวอยางท 4 f(2x–1) = 4x + 5 จงหา f(x)
f(x) = 4[
]+5
= 2(x+1)+5
= 2x+7
ฟงกชนผกผน
อนเวอรสของความสมพนธ (r–1) คอ
ความสมพนธทเกดจากการสลบสมาชกตวหนา
กบสมาชกตวหลง
Ex
r = {(1,2),(3,4),(5,6)}
r–1={(2,1),(4,3),(6,5)}
ระวง
2x1 – 1 = x2
2x1 = x2 + 1
x1 = 𝑥2
วธคด จบกอนขางใน f( ) = จ านวนท
โจทยตองการ
2x+6 = 2
2x = −4
x =−2
Math Kit EBook ห น า 49
กราฟของอนเวอรสของความสมพนธ
อนเวอรสของฟงกชน คอฟงกชนทเกดจากการ
สลบสมาชกตวหนากบสมาชกตวหลง
Ex
f={(x,y) I+ x I | y = 2x+1}
f–1={(y,x) I x I+ | y = 2x+1}
หรอ f–1={(x,y) I x I+ | x = 2y+1}
ซงสามารถจดรปไดดงน
f–1={(x,y) I x I+ | y = −
}
ความสมพนธระหวาง f(x) และ f–1(x)
1. f–1(x) เปนฟงกชน 1 – 1
2. D f = Rf
3. R f = Df
รปแบบการแกปญหาอนเวอรสของฟงกชน
อนเวอรสในรปคอนดบ
Ex f = {(1,2),(3,4),(5,6)} จงหา f–1 (4)
f–1={(2,1),(4,3),(6,5)}
f–1 (4) = 3
f(x)
f-1(x)
Math Kit EBook ห น า 50
อนเวอรสในรปสมการปกต
Ex f(x) = 3x +1 จงหา f–1 (2)
y = 3x +1
สลบท x และ y x = 3y +1
y = −
f–1 (x) = −
f–1 (2) =
Ex f(x) = ±
±
f–1(x) = − ±
± −
Ex f(x) = −
จงหา f–1 (2)
y = −
สลบท x และ y x = −
x(6y+5) = 4y – 1
x(6y+5) +1 = 4y
6xy – 4y + 5x +1 = 0
y(6x–4) = – 5x – 1
y = − −
−
f–1 (x) = − −
−
f–1 (2) = −
อนเวอรสในรปไมสมการปกต
แนวคดใหสลบกอนขางใน f( ) = เปน f–1 ( ) =
Ex f(4x+1) = 2x – 2 จงหา f–1(–2)
f–1(2x – 2) = 4x +1
f–1(x) = 4[
] +1
f–1(x) = 2(x+2) +1
f–1(x) = 4x+5
f–1(–2) = 4(–2) +5
= –3
ก าหนด A แทน x2
2x – 2 = A
x =
Math Kit EBook ห น า 51
ฟงกชนประกอบ (Composite Function)
gof(x) = g(f(x)) ทก x Dgof และจะหาคาไดเมอ
Rf Dg ≠
Ex f(x) = x2+3 g(x) = –x +5
จงหา gof(1)
วธท า g(f(1)) = g(12+3)
= g(4)
= –4 + 5
= 1
ฟงกชนเอกลกษณ
(fof–1)(x) = x และ (f–1of)(x) =x แต (f–1ogof)(x) ≠ x
ตวอยาง f(x) = 3x+7 จงหา (fof–1)(5)
ตอบ 5 เพราะเปนฟงกชนเอกลกษณ
ฟงกชนประกอบอนเวอรส
(fog)–1(x) = g–1of–1 (x)
การด าเนนการของฟงกชน
(f+g)(x) = f(x) + g(x) ; Df+g = Df Dg
(f–g)(x) = f(x) – g(x) ; Df–g = Df Dg
(f⋅g)(x) = f(x) ⋅ g(x) ; Df•g = Df Dg
(f
g)(x) =
f
g ; g(x) ≠ 0 และ D f
g
= Df Dg
Ex 1
f = {(1,–1),(3,2)} g(x)={(1,2),(7,3)}
(f+g)(x) = {(1,1)}
(f–g)(x) = {(1,–3)}
(f⋅g)(x) = {(1,–2)}
(f
g)(x) ={(1,
)}
Ex2 ก าหนด f(x)= –x+5 และ g(x) = 2x+6
(f+g)(x) = (–x+5) + (2x+6) = x+11
(f–g)(x) = (–x+5) – (2x+6) = –3x–1
(f⋅g)(x) = (–x+5)(2x+6) =–2x2+x+30
(f
g)(x) =
−
Math Kit EBook ห น า 52
ตวอยางท 5 ก าหนดให f ={(1,2),(2,7),(3,4),(4,1),(5,6)}
ก. จงหา f(f(1)) ข. จงหา f–1(f(3))
วธท า f(f(1)) = f(2)
f(2) = 7
ตอบ 7
f–1 ={(2,1),(7,2),(4,3),(1,4),(6,5)}
f–1(f(3)) = f–1(4)
f–1(4) = 3
ตอบ 3
ตวอยางท 6 ก าหนดให f(0) = 10 และ f(x+1) = f(x) + 5 จงหา f(20)
วธท า พจารณา f(1) คอ (f(0)) +5 = 15 (เกดจาก 15 + 0(5))
พจารณา f(2) คอ (f(1)) +5 = 20 (เกดจาก 15 + 1(5))
พจารณา f(3) คอ (f(2)) +5 = 25 (เกดจาก 15 + 2(5))
f(20) เกดจาก 15 + 19(5) = 110
ตอบ 110
Math Kit EBook ห น า 53
บทท 5 เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย
เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย เปนการค านวณ
เกยวกบรปเรขาคณต ซงเขยนกราฟในระบบพกดฉาก
จด
เสนตรง
การเลอนแกนขนาน
วงร
พาราโบลา
ไฮเพอรโบลา
ระยะหางระหวางจด
จดแบงเสนตรง
จดตดเสนมธยฐาน
พนท n เหลยม
สมการเสนตรง
ความชนเสนตรง
ระยะหางระหวางจดกบเสนตรง
ระยะหางระหวางเสนตรงกบเสนตรง
วงกลม
Math Kit EBook ห น า 54
ความรเบองตนเกยวกบเรขาคณตวเคราะห (Fundamental of Geometry)
ระบบแกนมมฉาก (Coordinate System)
คอระบบแกนทมแกนราบ (แกน x) และแกนดง (แกน y) ตงฉากกนทจด O (Origin) หรอ
จดก าเนด หรอ จด (0,0)
ดงนน เราสามารถแทนคอนดบใดๆ ลงในระบบระบบแกนมมฉาก เชนคอนดบ (x,y) เปนจด
หางจากแกน y เปนระยะทาง |x| หนวยไป ทางขวา เมอ x เปนบวก
หางจากแกน y เปนระยะทาง |x| หนวยไป ทางซาย เมอ x เปนลบ
หางจากแกน x เปนระยะทาง |y| หนวยไป ทางบน เมอ y เปนบวก
หางจากแกน x เปนระยะทาง |y| หนวยไป ทางลาง เมอ y เปนลบ
Math Kit EBook ห น า 55
จด 2 จด
ความยาว
|AB| = √
ความชน
mab = tan( ) = 2−
2−
จดแบงเสนตรง
P = ( 2
2
)
ถาจดแบงครง AB คอ ( 2
, 2
)
Ex
|AB| = √
=
mab = −
− =
P (
)
= P (
)
จดตงแต 3 จดขนไป
1.จดตดเสนมธยฐาน (Centroid)
(
)
2.พนทรป n เหลยม
|
|
Ex
1.จดตดเสนมธยฐาน
(−
−
) = (2,1)
2.พนทรป n เหลยม
|
|
|2+25+0+0+4+5| =18 ตารางหนวย
2 25 0
0 4 5
Math Kit EBook ห น า 56
ขอควรระวง
เมอเสนตรงสองเสนตงฉากกนแบบน จะหาความชนหาคาไมได
เสนตรง ผานจด (x1.y1) , มความชน m
1.สรางสมการเสนตรงจาก y – y1 = m(x – x1)
2.สมการใชหาความชน y = mx + c
เสนตรงสองเสน
1
ขนานกน m1 =m2
2
ตงฉาก m1 × m2 = –1
3
ท ามม tan = − 2
2
ระยะจากจดถงเสนตรง
d =
2 2
Ex
d = − −
2 2
=
d d
Math Kit EBook ห น า 57
ระยะทางเสนตรงถงเสนตรง
.
d = − 2
2 2
Ex
d = − −
2 2
= d =
การเลอนแกน (Translation of Axes)
การเลอนแกนทางขนาน หมายถง หมายถงการเปลยนแปลงแกนพกดเดมอยางนอยหนง
แกน (แกน X หรอแกน Y) โดยใหแกนพกดใหมขนานกบแกนพกดเดม
การเลอนแกนทางขนานนบเปนพนฐานทส าคญทจะชวยในการศกษาเกยวกบภาคตดกรวย
ได สะดวกยงขนในระบบแกนมมฉาก เราใชแกน X และ Y ส าหรบอางองพกดหรอต าแหนงของ
จดในระนาบจด P(x, y) เปนจดทอยหางจากแกน Y ไปทางขวามอเปนระยะ x หนวย และอยหาง
จากแกน X ซงอยเหนอแกน X เปนระยะ y หนวย ดงรป
d d
Math Kit EBook ห น า 58
ภาคตดกรวย (conic section หรอ conic) ในทางคณตศาสตร หมายถง เสนโคงทไดจาก
การตดพนผวกรวยกลม ดวยระนาบแบน ภาคตดกรวยนถกตงเปนหวขอศกษาตงแตสมย 200 ป
กอนครสตศกราชโดย อพอลโลเนยส แหง เพอรกา ผซงศกษาภาคตดกรวยและคนพบสมบตหลาย
ประการของภาคตดกรวย ตอมากรณการศกษาภาคตดกรวยถกน าไปใชประโยชนหลายแบบ
กรวยกลมตรงมลกษณะดงน
วงกลม เกดจากการตดกรวยกลมตรงดวยระนาบ ทตงฉากแกนของกรวย
พาราโบลา เกดจากการตดกรวยกลมตรงดวยระนาบทขนานกบเสนขอบกรวย
วงร เกดจาดการตดกรวยกลมตรงดวยระนาบเพยงสวนเดยว โดยทระนาบนนไมขนาน
กบเสนของกรวยและไมตงฉากกบแกนของกรวย
ไฮเปอรโบลา เกดจากการตดกรวยกลมตรงดวยระนาบทตดทงสองสวนของกรวย
Math Kit EBook ห น า 59
วงกลม(Circle)
วงกลมคอเซตของจดทงหมดในระนาบทหางจากจดศนยกลางของวงกลม(center)เปน
ระยะคงตว และมระยะทางคงตว คอรศม(radius) ของวงกลม
สมการรปมาตรฐาน วงกลมคอ (x – h)2+(y – k)2=r2
สวนประกอบของวงกลม จดยอด (h,k)
รศม r
สมการรปทวไป x2 + y2 + ax + by + c = 0
ถาสมการของวงกลมในรปแบบทวไป สามารถเขยนสมการใหมในรปแบบสมการมาตรฐาน
ไดโดยใชวธการท าเปนก าลงสองสมบรณ
Ex จงหารศมของวงกลมและจดศนยกลางของสมการวงกลมตอไปน x2 +y2– 4x + 6y – 12 = 0
วธท า x2 +y2– 4x + 6y = 12
x2 – 4x +4 + y2 +6y + 9 = 12 + 4 + 9
(x2–2(2)x+22) + (y2+2(3)y+32) = 12+22+32
(x–2)2 + (y+3)2 = 25 หรอ (x–2)2 + (y+3)2 = 52
วงกลมจดศนยกลาง (2,–3) รศม 5
Math Kit EBook ห น า 60
Ex จงวาดกราฟของสมาการตอไปน
ขอควรระวงเรองวงกลม
1.เสนสมผสตงฉากกบรศมทจดสมผส
(mเสนสมผส × mรศม = –1)
2.ระยะทางจากจดศนยกลางถงจดสมผสคอ รศม
จดยอด (5,-3)
รศม 7 หนวย
Math Kit EBook ห น า 61
พาราโบลา(Parabola)
พาราโบลาคอ เซตของจดทกจดบนระนาบ ซงอยหางจากเสนตรง(เสนไดเรกตก) ทเสน
หนงบนระนาบและจดคงท(จดโฟกส)จดหนงบนระนาบนอกเสนตรงคงทนน เปนระยะทางเทากน
เสมอ
สมการมาตรฐาน
(x – h)2 = 4c(y–k) (y – k)2 = 4c(x – h)
จดยอด V
จดโฟกส F
ลาตสเรกตรม (LR) = 4C
Math Kit EBook ห น า 62
วงร (ellipse)
วงร คอเซตของจดทงหมดในระนาบซงผลบวกของระยะทางจากจดใดๆ ไปยงจดโฟกส
(focus) ทง 2 มคาคงตว
สมการวงรรปมาตรฐาน
− 2
2 − 2
2 = 1 − 2
2 − 2
2
ค าแนะน า คา a จะมคามากกวาคา b เสมอ ความสมพนธของวงร c2 = a2 − b2 สวนประกอบของวงร
ลาตสเลกตมยาว 2
ความเยองศนยกลาง e =
โดยท 0 < e < 1
e เขาใกลเลข 0 จะเปนรปใกลเคยงวงกลม แต ถาคา e เขาใกลเลข 1 จะเปนรปวงรทรมาก
จดยอด V, V’
จดศนยกลาง C
แกนเอก 2a
แกนโท 2b
Math Kit EBook ห น า 63
ไฮเปอรโบลา(Hyperbola)
ไฮเปอรโบลา คอ เซตของจดทกจดในระนาบซงผลตางของระยะทางจากจดใดๆในเซตนไป
ยงจดคงทสองจดบนระนาบมคาคงตวซงมากกวาศนยแตนอยกวาระยะหางระหวางจดคงททงสอง
โดยทจดคงทนเรยกวาจดโฟกสของไฮเพอรโบลา
สมการมาตรฐาน
= 2a
Math Kit EBook ห น า 64
สวนประกอบไฮเปอรโบลา
จดศนยกลาง C
จดยอด V, V’
จดโฟกส F, F’
แกนตามขวาง 2a
แกนสงยค 2b
ลาตสเรกตม (LR) = 2
สมการเสนก ากบไฮเปอรโบลา
1. − 2
2
− 2
2 หรอ y – k = ±
(x – h)
2. − 2
2
− 2
2 หรอ x – h = ±
(y – k)
หมายเหต ไฮเปอรโบลามมฉาก คอไฮเปอรโบลาคอ a = b
ค าแนะน า ส าหรบโจทยบางประเภทไมเปนไป ตามสมการมาตรฐาน เชน วงรเอยง ซงไมตรงกบวงรรตาม
แกน x และแกน y เราจะตองสรางสมการเองโดยองจากสวนประกอบทโจทยก าหนดมาให โดยเราตอง
พจารณาตามนยามของแตละรป
Math Kit EBook ห น า 65
ตวอยางท 1 จด A(–3,1) B(8,3) C(8,3) D(2,–3) เปนจดยอดของรปสเหลยม ABCD ขอใดตอไปน
ผด (PAT 1 ม.ค. 53)
1.ดาน AB ขนาดกบ BC
2.ผลบวกความยาวของดาน AB กบ DC เทากบ 10√2 หนวย
3.ระยะตงฉากจากจด A ไปยงเสนตรงทผานจด C และจด D เทากบ
หนวย
4.ระยะตงฉากจากจด B ไปยงเสนตรงทผานจด C และจด D เทากบ
หนวย
วธท า รางกราฟโดยคราวๆจะไดประมาณน
mAB =
−
− − = 1
mDC = − −
− = 1
ดงนนขอ 1 จงถก AB // DC
|AB| = √ = √ =
|DC| = √ =
|AB| +|DC| = + =
ดงนนขอ2 ถก
เสนตรงทผานจด C และจด D หาโดยใชจด C และความชน CDจะได y – 3 =1(x – 8)
x – y – 5 = 0
ระยะตงฉากจากจด A ไปยงเสนตรงทผาน CD − − − –
√ 2 − 2 =
− − − −
=
ดงนนขอ3 ถก
ระยะตงฉากจากจด A ไปยงเสนตรงทผาน CD − − –
√ 2 − 2 =
−
=
ดงนนขอ4 ผด
ตอบขอ 4
Math Kit EBook ห น า 66
ตวอยางท 2 เสนตรงทผานจด (1,–3 ) จะตงฉากและตดกบเสนตรง x + 2y = 5
1. (3,1) 2. (–1,3) 3. (1,2) 4.(5,0)
วธท า สรางสมการเสนตรงทผานจด (1,–3 ) ซงมความชนคอ 2 เพราะตงฉากกบสมการทโจทย
ก าหนด (–
)
y + 3 = 2(x – 1)
2x – y – 5 =0
แลวแกสมการ 2 ตวแปร 2 สมการ
x + 2y = 5 ––––––––––––––––––– (1)
2x – y = 5 ––––––––––––––––– (2)
(1)+ 2x(2) 5x = 15 x = 3
ดงนน y = 1
ดงนนจดตดคอ (3,1)
ตอบขอ 1
ตวอยางท 3 สมการของเสนตรงทอยหางจากจด A(–5,2), B(–1,4) เทากน
1. y + 2x = –3 2.2y – x = 9 3.2x+3y =6 4.2x + y = 3
วธท า วาดกราฟโดยคราวๆ
จดกงกลาง A กบ B
= (−
) = (–3,3)
ความชนของAB = −
− − =
ดงนนความชนของเสนตรงทตงฉากคอ –2
เราสามรถสรางสมการทแบงครงเสนตรงไดดงน
(y+3)=–2(x–3)
2x + y = –3
ตอบขอ 1
Math Kit EBook ห น า 67
บทท 6 เมตรกซ
เมตรกซ คอกลมของจ านวนหรอสมาชกของจรงใดๆ เขยนเรยง
กนเปนรปสเหลยมผนผาหรอจตรส
พนฐานเมตรกซ
A + B และ A - B
kA เมตรกซคณดวยคาคงท (k)
A × B เมตรกซ คณดวยเมตรกซ
At การทรานสโพสเมตรกซ
det
det = 0 คอเมตรกซเอกฐาน
det ≠ 0 คอเมตรกซไมเอกฐาน
อนเวอรสเมตรกซ
ประยกตเมตรกซ
A-1 =
detA[Cij]
t
AA-1 = I โดยท I คอเมตรกซเอกลกษณ
เมตรกซขนบนได
เมตรกซกบสมการเชงเสน
เมตรกซประยกตเวกเตอร
วธการหา det
Math Kit EBook ห น า 68
เมตรกซ คอกลมของจ านวนหรอสมาชกของจรงใดๆ เขยนเรยงกนเปนรปสเหลยมผนผา
หรอจตรส กลาวคอเรยงเปนแถวในแนวนอน และเรยงเปนแถวในแนวตง เรามกเขยนเมตรกซเปน
ตารางทไมมเสนแบงและเขยนวงเลบครอมตารางไว (ไมวาจะเปนวงเลบโคงหรอวงเลบเหลยม) เรา
เรยก m×nมต
[
]
เมตรกซทควรรจก
1.เมตรกซเฉยง (Diagonal Matrix) คอเมตรกซจตรสทมสมาชกทกตวทเปนสมาชกทแยงมคาเปน
ศนย โดยท aij = 0ทกคาท i ≠ j
ตวอยาง *
+ [
]
2.เมตรกซสามเหลยมบน (Upper Triangular matrix) คอ เมตรกซท i > j แลว aij = 0
ตวอยาง *
+ [
]
3.เมตรกซสามเหลยมลาง (Lower Triangular matrix) คอ เมตรกซท i < j แลว aij = 0
ตวอยาง *
+ [
]
4.เมตรกซเอกลกษณ (Identity matrix) คอ เมตรกซท i ≠ j แลว aij = 0 และ i = j แลว aij = 1
ตวอยาง *
+ [
]
Math Kit EBook ห น า 69
การบวกลบ เมตรกซ
การด าเนนการบวก หรอ ลบ เมตรกซ ตองมมตเทากน
[
] + [
] = [
]
[
] – [
] = [
]
การทรานสโพส
คอเมตรกซทไดจากการสลบสมาชก จากแถวเปนหลก และจากหลกเปนแถว ของเมตรกซ
ตนแบบ เมตรกซสลบเปลยนของของเมตรกซ A ขนาด m×n คอ At ขนาด n×m
A = [
] At= [
]
การคณเมตรกซดวยคาคงท
ให A=[a]m x n และ k เปนจ านวนจรงใด ๆ จะไดวา KA=[ka]m x n
A = [
] 5A = [
]
Math Kit EBook ห น า 70
การคณเมตรกซดวยเมตรกซ
ถา A และ B เปนเมตรกซ 2 เมตรกซใด ๆ การน าเมตรกซ A มาคณกบเมตรกซ B จะ
เกดผลขนอยางใดอยางหนงใน 2 อยางตอไปน
1. ไมสามารถหาผลคณได เนองจากปญหาเรองมต
2. สามารถหาผลคณได
ปญหาทเราจะตองทราบกคอ ถาหาผลคณไดตองมเงอนไขอยางไร และสมาชกของเมตรกซทเปน
ผลคณจะหามาไดอยางไร ใหดหลกการตอไปน
1. มตของเมตรกซทน ามาหาผลคณ
ถา A เปนเมตรกซ m × p
B เปนเมตรกซ q × n
เราจะคณเมตรกซไดเมอ p = q และ AB จะมมต m × n
2. ลกษณะสมาชกของเมตรกซทเปนผลคณ (ถาหาผลคณได)
หลกการหาสมาชกโดยทว ๆ ไป สามารถหาไดดงน
"สมาชกของผลคณของเมตรกซในแถวท i หลกท j จะเกดสมาชกในแถวท i ของเมตรกซทอย
หนา คณกบ สมาชกในหลกท j ของเมตรกซหลกเปนค ๆ แลวน ามาบวกกน"
A = *
+ B = *
+
AB = [
]
AB = *
+
☺ขอระวง AB ไมจ าเปนทตองเทากบ BA เพราะการคณเมตรกซดวยเมตรกซ ไมม
คณสมบตการสลบท ☺
Math Kit EBook ห น า 71
ดเทอรมแนนต
คอฟงกชนหนงทใหผลลพธเปนสเกลาร ซงขนอยกบคาของ n ในมต n×n ของเมตรกซจตรส
แบบ 1 x 1
A = [a] detA =a
เเบบ 2 x 2
A = *
+ detA = ad – bc
แบบ 3 x 3
A = [
]
detA = [
]
aei + bfg + cdh – gec – hfa – idb
ตงแต 3 x 3
ใชแถว I แลวพจารณาหาคาโคแฟเตอร
detA = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … ainCin
หรอ ใชหลก j แลวพจารณาหาคาโคแฟเตอร
detA = a1jC1j + a2jC2j + … anjCnj
ไมเนอร
คอดเทอรมแนนตของเมตรกซทเกดจากการตด
แถวท i หลก ท j
โคแฟกเตอร
Cij = (–1)i+j • Mij(A)
ตวอยาง
A = [
] จงหา C23
C23 = (–1)2+3 |
|
= (–1)(2)
= –2
Math Kit EBook ห น า 72
ประเภทของเมตรกซ
1. เมตรกซเอกฐาน (Singular Matrix) คอ เมตรซทม det = 0
ซงหาอนเวอรสไมได
2. เมตรกซไมเอกฐาน (Non Singular Matrix) คอเมตรซทม det ไมเทากบ 0 ซงหาอนเวอรสได
การด าเนนการทางแถว
1. สลบแถว ท าให det กลบเครองหมาย
2. น าคาคงทคณทงแถว ท าใหคา det ถกคณดวยคาคงท
3. น าคาคงทคณทงแถวไปด าเนนการบวกหรอลบกบอกแถวหนง det มคาเทาเดม
คณสมบตดเทอรมแนนต
detAB = detA × det B
detAm = (detA)m
detAt = detA
detkA = kn × detA n × n มต
Ex A = *
+ จงหา det 3At
เราสามารถใชคณสมบตของ ดเทอรมแนนตชวย
จะไดวา 32 det A
detA = 2
จงไดวา 9 x 2 = 18
อนเวอรสการคณ
อนเวอรสการคณของเมตรกซ A กคอ เมตรกซ ซง
เมอน ามาคณกบเมตรกซ A แลวจะไดผลลพธ
เทากบเมตรกซเอกลกษณ I และเราใชสญลกษณ
A–1 แทน อนเวอรสการคณของเมตรกซ นนคอ
AA–1 = I
เราสามารถหาอนเวอรสการคณของเมตรกซไดเมอ
เมตรกซเปนเมตรกซไมเอกฐาน (Non – Singular
Matrix) หรอคา det ไมเปน 0
การหาอนเวอรสจากการด าเนนการทางแถว
[A | I] ~ [I | A–1]
Ex A= [
] จงหา A–1
[
|
]
~ [
|
]
~ [
|
]
~ [
|
]
A–1 = [
]
R2-R3
R23
R1÷2
Math Kit EBook ห น า 73
การหาอนเวอรสการคณ
1 × 1 มต
A = [a] A–1 =[
]
2 × 2 มต
A = *
+ A–1 =
*
+
ตงแต3 × 3 มต
A–1 =
[adjA] ; adjA { adjoint (เมตรกซ
ผกพน)} คอโคแฟเตอรทงหมดทรานสโพส
adjA = [Cij]t
Ex
A = [3] A–1 =[
]
B = *
+ B–1=
*
+
= [
]
C = [
] detC = 7
C–1=
[ |
| |
| |
|
|
| |
| |
|
|
| |
| |
| ]
=
[
]
=
[
]
=
[
]
คณสมบตทรานสโพสและอนเวอรส
คณสมบตทรานสโพส คณสมบตอนเวอรส
(At) t = A (A–1) –1 = A
(A×B) t= Bt × At (A×B) –1= B–1 × A–1
(A±B) t = At ± Bt (A±B) –1 กระจายอนเวอรสไมได
(kA) t = kAt (kA) –1 = k–1A–1
(An) t = (A t) n (An) –1 = (A –1) n
.
Math Kit EBook ห น า 74
คณสมบตพเศษของ adjoint (เมตรกซผกพน)
adj(AB) = adj(A) × adj(B)
adj(kA) = kn–1 × adj(A) ; A มมต n×n ; k คอคาคงทซงเปนจ านวนจรง
A adj(A) = (adjA)A = (detA)I
det(adjA) = (detA)n–1 *** ออกขอสอบบอย ***
adj(At) = (adjA) t
adj(adjA) = (detA)n–2 A
ระบบสมการเชงเสน
Ex x + y = 4
x – y = 8
การแกปญหาสมการเชงเสนโดยเมตรกซซงเปนเมตรกซจตรส
1.แกโดยใชกฎคราเมอร
X1, = detA
detA X2 =
detA2
detA , … ,Xn =
detA
detA
วธคด
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
เราสามารถหา คา x , y ,z ไดจาก
x =
| 2 2 2
|
| 2 2 2
|
y=
| 2 2 2
|
| 2 2 2
|
z=
| 2 2 2
|
| 2 2 2
|
2.แกโดยใชอนเวอรสของเมตรกซ
X= A–1B
3.แกโดยใช การด าเนนการทางแถว
[A | B] ~ [I | X]
*
+ *𝑥𝑦+ = *
+
A X B
Math Kit EBook ห น า 75
เมตรกซรปแบบขนบนได (Row echelon form matrix)
ทกแถวทประกอบดวย 0 ทงหมดจะอยแถวลางของเมตรกซ
โดยการพจารณาจากซายไปขวา สมาชกตวแรกทไมเปนศนยจะตองมคาเปน 1
ตวอยาง
*
+ *
+ *
+ [
] [
]
ประโยชนของเมตรกซขนบนได
คอ เอาน าไปแกสมการเชงเสน ซงเมอจากรปสมการเปนเมตรซแลวไมเปนเมตรซจตรส ซงสวน
ใหญจะสามารถหาคาตวแปรไดบางตว หรอหาคาไมไดเลย
[A | B] ~ [เมตรซขนบนได | X]
Math Kit EBook ห น า 76
บทท 7 ฟงกชนเอกชโพเนนเชยลและลอการทม
การเพมขนหรอลดลงของสงตางๆ โดยทวไปจะเปนในรปแบบท
เปนแบบทวคณ ดงนนฟงกชนทเกยวของคอเอกชโพเนนเชยล
และลอการทมจงถกน าไปใชประโยชนในหลายๆดาน
เลขยกก าลง
xn คณสมบตของเลขยกก าลง
เครองหมายกรณฑ
ฟงกชนเอกชโพเนนเชยล
นยาม Expo = {(x,y) ∈ R x R+ | y =ax, a > 0 , a ≠ 1}
สมการฟงกชนเอกชโพเนนเชยล
อสมการฟงกชนเอกชโพเนนเชยล
ฟงกชนลอการทม
นยาม Log ={(x,y) ∈ R+ x R | y =logax โดยท a > 0 , a ≠ 1}
สมการฟงกชนลอการทม
อสมการฟงกชนลอการทม
Math Kit EBook ห น า 77
การยกก าลง คอการด าเนนการทางคณตศาสตรอยางหนง เขยนอยในรป an ซง
ประกอบดวยสองจ านวนคอ ฐาน a และ เลขชก าลง (หรอ ก าลง) n การยกก าลงมความหมาย
เหมอนการคณซ า ๆ กน คอ a คณกนเปนจ านวน n ตว เมอ n เปนจ านวนเตมบวก
an = a × a × a × … × a (ทงหมด n ตว)
สตรเลขยกก าลง
1.
= am+n–p
a ไมเปน 0
2.(am)n = amn
3.,
-
4.a0=1
5.a–n
=
6.
=
ค าเตอน 00 ไมนยาม
Ex จงหาคาตอไปน
(16 • 82 • 2−4) ÷ 43
วธท า = (24 • 26 • 2−4) ÷ 26
= 24+6−4 ÷ 26
= 26÷ 26
= 1
การหาคารากท 2 ของจ านวนตด a+b±2√ab
(a+b)+2 = ( )2+2 +( )2
= ( + ) 2
รากทสองคอ ±( + )
แต √( ) = +
ดงนนรากท 2 คอ ±| + |
Ex จงหาคาของ √
วธท า = √( ) ( )
= √( ) ( )
= √( )
=
=
Math Kit EBook ห น า 78
สมบตของเครองหมายกรณฑ
(
) = {
เมอ เปนจ านวนค
| |เมอ เปนจ านวนค
= ×
√
=
= (
)
×
=
ขอควรระวง เครองหมาย คอ ไมใช รากท 2 ของ a เพราะ รากท 2 ของ a จะมทงกรณฑท 2 ของ a
คาบวกและคาลบ แตภายในเครองหมายกรณฑ เมอถอดกรณฑท 2 แลวจะไดคาบวกเสมอ
จงหาคากรณฑท 2 ของ 4 จงหาคารากท 2 ของ 4
= 2 รากท 2 ของ 4 คอ 2 กบ – 2
เพราะ เมอน าทงสองคาไปยกก าลง 2 แลวจะมคา
เทากบ 4 ทงค
Expo = {(x,y) ∈ R x R+ | y =ax, a > 0 , a ≠ 1}
โดเมนเปนจ านวนจรง เรนจเปนจ านวนจรงบวก
a > 1 0 < a < 1
ฟงกชนเพม
ฟงกชนลด
หลกการแกโจทยเลขยกก าลง
1.จดฐานเทา
Ex จงหาคา y ของ 23y • 4 = 16y–3
วธท า 23y+2= 24(y–3)
3y+2= 4y–12
y = 14
2.จดเลขชเทา
Ex จงหาคา x ทท าให 21X–3 = 63x–9
วธท า 33x–9 = 63x–9
3x−9 = 0
3x = 9
x = 3
Math Kit EBook ห น า 79
Log = {(x,y) ∈ R+ x R | y =logax, a > 0 , a ≠ 1}
โดเมนเปนจ านวนจรงบวก เรนจเปนจ านวนจรง
a > 1 0 < a < 1
ฟงกชนเพม
ฟงกชนลด
3.หากไมสามารถใชวธทง 2ได ให take log ทง 2
ขาง
Ex จงแก 2x=3x+1
วธท า x log 2 = (x+1) log 3
X log 2 = x log 3 + log 3
x (log 2 – log 3) = log3
x =
สตร log พนฐาน
สตร log เพมเตมควรร
Ex จงหา
ซงเกยวของกบ
6 log (x − 2y) = log x3 +log y3
วธท า (x − 2y)6 = x3 y3
(x − 2y)2= xy
x2 − 5xy + 4y2=0
(x − 4y)(x − y) = 0
= 4 หรอ 1
=
พสจน take log ฐาน x ทง 2 ขาง
จะไดวา =
จากกฎของ log จะกลาวไดวา
(logx b)(log x a) = (logx a)(logx b)
เนองจากการคณกนของจ านวนจรง มสมบตการสลบทการคณ
Math Kit EBook ห น า 80
ลอการทมสามญ
ลอการรทมสามญ คอลอการรทมฐาน 10 ซงเราสามารถไมตองเขยนตวเลขฐานก ากบได
เชน log 2 = log10 2
ก าหนด A เปนจ านวนจรงบวกใดๆ สามารถเขยน A ในรปมาตรฐานคอ
A = N × 10n ; 1 ≤ N < 10
ดงนน log A = log N + log 10n
หรอเราสามารถเขยนในรป log A = log N + n
N คอคาแคแรกเทอรสตก (Characteristic) ของ log A แคแรกเทอรสตกเปนจ านวนเตมเทานน
log N คอคาแมนทสซา (Mantissa) ของ log A ซงคามากกวาหรอเทากบ 0 แตจะนอยกวา 1
เสมอ
ลอการทมธรรมชาต
ลอการทมธรรมชาต คอลอการรทมฐาน e (e มคาประมาณ 2.71828) เรานยมเขยนในรป
ln x = logex
แอนตลอการทม
แอนตลอการทมคอการด าเนนการทตรงขามกบการหาคาลอการทม โดยท log x = A กตอเมอ
antilog A = x
เชน log 5 = 0.699
5 = 100.699 ซงเราสามารถสรปได วา 5 เปน antilog 0.699
การแกโจทยเกยวกบ log และเลขยกก าลง
ตวอยางท 1 จงแกสมการ 6x+3(2)x −4 (3) x −12=0
วธท า ให เราน าเลขยกก าลงเปลยนเปนตวแปร A =2x และ B =3x
AB + 3A – 4B–12=0
A(B + 3) – 4(B + 3)=0
(A – 4)(B + 3)=0
A = 4 B = –3
2x = 4 หรอ 3x = –3 ใชไมได
x = 2
Math Kit EBook ห น า 81
ตวอยางท 2 ผลบวกของสมการทงหมดของสมการ 3x+ 32−x = มคาเทากบเทาไร
(สามญ 7 วชา)
วธท า ก าหนดให 3x เปน A
จะไดวา A +
=
น า A คณตลอด A2 + 9 = A
A2 − A + 9 =0
(A − )(A − ) = 0
A = ,
ดงนน 3x = และ 3x =
x =
,
ตอบ ผลบวกของค าตอบคอ 2
ตวอยางท 3 ก าหนดให A และ B เปนจ านวนเตมบวก ถา A log50 5 +Blog50 2 = 1 และ A + B
มคาเทากบเทาไรตอไปน (B – PAT)
1.2 2.3 3.4 4.5
วธท า log50 5A + log50 2
B = 1
log50 (5A 2B) = 1
5A 2B = 50
5A 2B = 52 21
A = 2 B =1
ตอบ A + B = 3 ตอบขอ 2
ตวอยางท 4 ก าหนดใหค าตอบ log2 log3 log5 (2x +3) = 0 คอ A
ก าหนดให log2 256 – A เปน B
จงหา 2A – 3B
Math Kit EBook ห น า 82
วธท า พจารณา log2 log3 log5 (2x +3) = 0
จะไดวา log3 log5 (2x +3) = 20
log5 (2x +3) = 31
2x + 3 = 125
x = 61
พจารณา log2 256 – A = log2 256 – 61
= log2 28 – 61
= 8 – 61
= – 53
2A – 3B = 122 +159
= 281
ตอบ 281
การแกอสมการ Expo, log
วธท า จดฐานทง 2 ขางใหเทากน
ฐาน > 1 ใหใชเครองหมายเดม
0 < ฐาน <1 ใหเปลยนโดยการกลบเครองหมาย
Ex (
)
> (
)
วธท า (
)
> (
)
ปลดฐาน
x2 < 4
|x| < 2
−2 < x < 2
Ex log (5x–3) > log (4x+6)
วธท า ปลด log ฐานมากกวา 1 เครองหมายเดม
5x–3 > 4x+6
x > 9
Math Kit EBook ห น า 83
บทท 8 ตรโกณมต
มมพนฐาน 30° 45° 60°
วงกลมหนงหนวย
สตรพนฐาน sin2θ + cos2 θ = 1
สตรมม 2 เทา
สตรมม 3 เทา
สตรมมครงเทา
สตรผลบวกลบ
สตรแปลงผลบวกลบเปนผลคณ แปลงผลคณเปนผลบวกลบ
สามเหลยมประยกต
sin2A = 2sinAcosA
cos2A = cos2A – sin2A = 2cos2A – 1 = 1- 2sin2A
tan2A = 𝑡𝑎𝑛𝐴
𝑡𝑎𝑛 𝐴
sin
= √
c sθ
cos
=√
+c sθ
tan
=√
c sθ
+c sθ
sin3A = 3sinA – 4sin3A
cos3A = 4cos3A – 3cosA
tan3A = 3 tanA – tan3 A
1–3tan2A
sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinB
cos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinB
tan(A±B) = tan ±tanB
∓𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐵
sinA + sinB = 2sin(A+B) cos(A−B) 2 2 sinA – sinB = 2cos(A+B) sin(A−B) 2 2 cosA + cosB = 2cos(A+B) cos (A−B) 2 2 cosA – cosB = −2sin(A+B) sin(A−B) 2 2
2sinAcosB = sin(A+B)+sin(A-B)
2cosAsinB = sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB = cos(A+B)+cos(A-B)
2sinAsinB = cos(A-B)-cos(A+B)
ตรโกณมตเปนการศกษาเกยวกบมมและ
สามเหลยมโดยเฉพาะ
Math Kit EBook ห น า 84
ตรโกณมต (จากภาษากรก trigonon มม 3 มม และ metro การวด) เปนสาขาของ
คณตศาสตรทเกยวของกบมม, รปสามเหลยม และฟงกชนตรโกณมต เชน ไซน และ โคไซน ม
ความเกยวของกบเรขาคณต แมวาจะสรปไมไดอยางแนชดวา ตรโกณมตเปนหวขอยอยของ
เรขาคณต
ความรพนฐานสามเหลยมมมฉาก
คามมตรโกณมต
30° 45° 60°
sin
cos
tan
1
โคฟงกชนของตรโกณมต
cos เปนโคฟงกชนของ sin
cosec เปนโคฟงกชนของ sec
cot เปนโคฟงกชนของ tan
คณสมบตโคฟงกชน
sin(90° − A) = cos A
sec(90° − A) = cosec A
tan(90° − A) = cot A
วงกลมหนงหนวย มสมการ x2+y2=1
ขนาดของมมม 2ประเภท
1. หนวยองศา Ex 360°
มมขนาด 1 องศา คอ 1 ใน 360 สวนของ
มมรอบจด
มมขนาด 1 ลปดา ( 1 ) คอ 1 ใน 60 สวน
ของมม 1 องศา
มมขนาด 1 ฟลปดา (1 ) คอ 1 ใน 60 สวน
ของมม 1 ลปดา
Math Kit EBook ห น า 85
2. หนวยเรเดยน Ex 2
ขนาดของ (หนวยเรเดยน) =
เครองหมายของฟงกชนตรโกณในแตละจตภาค
ค าอธบาย
จตภาค1 ทกฟงกชนมคาเปนบวก
จตภาค2 มเฉพาะฟงกชน sin และสวนกบ
เทานนทเปนบวก
จตภาค3 มเฉพาะฟงกชน tan และสวน
กบเทานนทเปนบวก
จตภาค4 มเฉพาะฟงกชน cos และสวน
กบเทานนทเปนบวก
การหาคามมตามแกน ในวงกลมหนงหนวย
fn (แกนแนวราบ ± A) = fn (A)
fn (แกนแนวดง ± A) = co fn (A)
fn คอฟงกชน เครองหมายดตามจตภาค(ควอดรนต)
Ex
sin(120°) = sin(180° − 60°)
= sin(60°) อยควอดรนต 2
sec(280°) = sec(270°+10°)
= sec(10°)
Math Kit EBook ห น า 86
รปสามเหลยม ทชอบออกบอย
มมพนฐาน (ตองทราบ)
30° 45° 60°
sin
cos
tan
1
มมจาก วงกลม 1 หนวย (ตองทราบ)
sin(0° + n(360°)) = 0
cos(0° + n(360°)) = 1
sin(180° + n(360°)) = 0
cos(180° + n(360°)) = –1
sin(90° + n(360°)) = 1
cos(90° + n(360°)) = 0
sin(270° + n(360°)) = –1
cos(270° + n(360°)) = 0
เมอ n เปนจ านวนเตมใดๆ
มม 15° และมม 75° (ควรทราบ)
15° 75°
sin
cos
tan
มม 72° , 18° และมม 36° , 54° (ควรทราบ)
18° 72°
sin
√
cos √
tan
√
√
54° 36°
sin
√
cos √
tan
√
√
Math Kit EBook ห น า 87
ตวอยางท 1 จงหาคา sin60° – cos30° + tan45°
วธท า
–
+ 1
= 1
ตอบ 1
ตวอยางท 2 จงหาคา A เมอ 0°< A < 90° และ 2 – 2sinA = 1
วธท า 2 – 2sinA = 1
2 – 1 = 2sinA
= sinA
ตอบ A = 30°
ตวอยางท 3 ก าหนด sin A =
จงหา 12sin30°(tanA)
วธท า จากคา sin จะได 132 = 52 + x2
x = 12
tan A =
6sin30°(tanA) = 6(
×
)
=
ตอบ
ขอควรร มมหนวยเรเดยน = 180°
= 90°
= 60°
= 45°
= 30°
13 5
x
Math Kit EBook ห น า 88
สตรตรโกณมตพนฐาน
sin2 + cos2 =1
sec2 – tan2 =1
cosec2 – cot2 =1
สตรผลบวกและผลตางตรโกณมต
sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinB
cos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinB
tan(A±B) = tan ±tanB
∓
สตรมม 2 เทา สตรมม 3 เทา
sin2A = 2sinAcosA
= 2 tan A
1 + tan2A
cos2A = cos2A – sin2A
= 2cos2A – 1
=1 – 2sin2A
= 1 – tan2A
1 + tan2A
tan2A = 2 tan A
1 – tan2A
sin3A = 3sinA – 4sin3A
cos3A = 4cos3 A – 3cosA
tan3A = 3 tanA – tan3 A
1–3tan2A
cot3A = cot3A – 3cotA
3cot2A – 1
สตรมมครงเทา
sin
= √
c s
cos
=√
+c s
tan
=√
c s
+c s
สตรแปลงผลบวกผลตางเปนผลคณ
สตรแปลงผลคณเปนผลบวกผลตาง
sinA + sinB = 2sin(A+B) cos(A−B) 2 2
sinA – sinB = 2cos(A+B) sin(A−B)
2 2
cosA + cosB = 2cos(A+B) cos (A−B)
2 2
cosA – cosB = −2sin(A+B) sin(A−B)
2 2
2sinAcosB = sin(A + B) + sin(A – B)
2cosAsinB = sin(A + B) – sin(A – B)
2cosAcosB = cos(A + B) + cos(A – B)
2sinAsinB = cos(A – B) – cos(A + B)
Math Kit EBook ห น า 89
ตวอยางท 4 ก าหนดให A และ B เปนมมแหลมถา sec A =
และ sec B =
จงหา cos(A+B)
วธท า sec คอสวนกลบของ cos จะได cosA =
cosB =
จะได cosAcosB sinAsinB = (
)(
) – (
)(
)
=
=
ตอบ
ตวอยางท 5 จงหาคา cosec(75°) × tan(75°)
วธท า cosec(75°) × tan(75°) =
s n ° ×
s n °
c s °
=
c s °
cos 75° = cos(30° + 45°)
= cos30°cos45° sin30°sin45°
=
=
c s ° =
ตอบ
5
4
3
15
17
8
Math Kit EBook ห น า 90
สตรอนเวอรส
arcsin (–x) = −arcsin (x) arctan x + arctan y = arctan( +
) ; xy < 1
arctan(–x) = −arctan(x) arctan x + arctan y = arctan( +
) ; xy > 1
arcos (–x) = π – arcos(x) arctan x – arctan y = arctan(
+ )
การประยกตสามเหลยม
เมอ ABC เปนสามเหลยมใดๆ
กฎของไซน
=
=
= 2R, R คอ รศมของวงกลมแนบในสามเหลยม
กฎของโคไซน
1. a2 = b2 +c2 – 2bc cos A
2. b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
3. c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
และ cos A = a +c
c
การหาพนทสามเหลยม
1ab sinC = 1 bc sinA = 1 ac sinB 2 2 2
A B
C
a b
c
Math Kit EBook ห น า 91
ขอควรร กราฟฟงกชนตรโกณ
ฟงกชนตรโกณ แอมพลจด
(Amplitude)
คาบ
y = A sin Bx |A| |
|
y = A cos Bx ไมม |
|
y = A tan Bx ไมม |
|
กราฟ sin
กราฟ cos
กราฟ tan
Math Kit EBook ห น า 92
กราฟ cosec
กราฟ sec
Math Kit EBook ห น า 93
กราฟ cot
กราฟของฟงกชนตรโกณมตในวงกลม 1 หนวย
กราฟ sin
โดเมนของฟงกชน [−
,
]
เรนจของฟงกชน [–1,1]
กราฟ arcsin
โดเมนของฟงกชน[− 1 ,1]
เรนจของฟงกชน[−
,
]
กราฟ cos
โดเมนของฟงกชน [0, ]
เรนจของฟงกชน [–1,–1]
กราฟ arccos
โดเมนของฟงกชน[–1,–1]
เรนจของฟงกชน [0, ]
Math Kit EBook ห น า 94
กราฟ tan
โดเมนของฟงกชน (−
,
)
เรนจของฟงกชน R
กราฟ arctan
โดเมนของฟงกชน R
เรนจของฟงกชน (−
,
)
กราฟ cosec
โดเมนของฟงกชน [−
,
] – {0}
เรนจของฟงกชน R – {–1,1}
กราฟ arccosec
โดเมนของฟงกชน R – {–1,1}
เรนจของฟงกชน [−
,
] – {0}
กราฟ sec
โดเมนของฟงกชน [0, ] – {
}
เรนจของฟงกชน R – {–1,1}
กราฟ arcsec
โดเมนของฟงกชน R – {–1,1}
เรนจของฟงกชน [0, ] – {
}
Math Kit EBook ห น า 95
กราฟ cot
โดเมนของฟงกชน (0, )
เรนจของฟงกชน R
กราฟ arccot
โดเมนของฟงกชน R
เรนจของฟงกชน (0, )
Math Kit EBook ห น า 96
บทท 9 เวกเตอร
เวกเตอรเปนจ านวนทมทงขนาด และ ทศทาง เวกเตอรม
การใชกนในหลายสาขาทงฟสกส และวศวกรรมศาสตร
เวกเตอรรปภาพ
เวกเตอรในพกดฉาก
ประยกตเวกเตอร
การเทากนของเวกเตอร
การขนานกนของเวกเตอร
นเสธของเวกเตอร
การบวกลบเวกเตอร
การคณเวกเตอร
ขนาดของเวกเตอร
เวกเตอรในระบบสองมต
เวกเตอรในระบบสามมต
การคณเวกเตอร
ผลคณเชงสเกลาร
ผลคณเชงเวกเตอร
พนทสเหลยมดานขนาน |u v |
ปรมาตรของทรงสเหลยมดานขนาน |u ⋅ (v r )|
Math Kit EBook ห น า 97
เวกเตอร (vector) ในทางคณตศาสตร ซงมลกษณะแตกตางกบ สเกลาร(scalar) ซง
เวกเตอรเปนจ านวนทมทงขนาด และ ทศทาง เวกเตอรมการใชกนในหลายสาขา
นอกเหนอจากทางคณตศาสตร โดยเฉพาะในทางวทยาศาสตรฟสกส และวศวกรรมศาสตร
เวกเตอรในเรขาคณต เราใชเสนตรงทระบทศทาง แทนเวกเตอร โดยความยาวของ
เสนตรง แทนขนาดของเวกเตอรและหวลกศรบอกทศทางของเวกเตอร แทนขนาดของ
เวกเตอรและหวลกศรบอกทศทางของเวกเตอร
จากรป A เปนจดเรมตน (initial point)
B เปนจดสนสด (terminal point)
แสดงเวกเตอร AB เขยนแทนดวย
ความยาวของเสนตรง AB เปนขนาดของ
เวกเตอร เขยนดวย | |
ในบางครงเราสามารถกลาวถงเวกเตอรโดยไม
จ าเปนตองระบจดเรมตนและจดสนสด
เชน
การขนานกนของเวกเตอร
และ จะขนานกนกตอเมอเวกเตอรทงสองมทศทางเดยวกน หรอมทศทางตรงขามกน
จากตวอยาง และ มขนาดเทากนและมทศทางเดยวกน
การเทากนของเวกเตอรและนเสธของเวกเตอร
และ จะเทากนกตอเมอเวกเตอรทงสองมทศทางและขนาดเดยวกนเขยนแทนดวย =
A
B
𝑢 𝑣
𝑢 𝑣
A
B D
C
Math Kit EBook ห น า 98
นเสธของเวกเตอร
นเสธ ของ (negative of ) คอเวกเตอรทมขนาดทมขนาดเทากบขนาดของ แตมทศทางตรง
ขามกบทศทางของ เขยนแทนดวย
จากตวอยางเวกเตอร มขนาดเทากนกบเวกเตอร แตมทศทาง
ตรงกนขามดงน เปนนเสธของเวกเตอร
การก าหนดทศทางของเวกเตอรในระบบ 3 ตว
ในการก าหนดทศทางของเวกเตอร สามารถก าหนดโดยใชทศเหนอเปนหลก และก าหนด
ทศทางของเวกเตอร เปนมม ทวดจากทางทศเหนอ ในทศทวนเขมนาฬกา โดย ขนาด มมจะอย
ระหวาง 0° ถง 360°
การบวกลบเวกเตอร
เมอ และ เปนเวกเตอรใดๆ เลอน ใหจดเรมตนของ อยทจดสนสดของ ผลบวกของ
และ เขยนแทนดวย “ + ” คอเวกเตอรทมจดเรมตนของ และจดสนสดของ
เวกเตอรศนย (zero vector) เปนเวกเตอรทมขนาดเปนศนย เขยนแทนดวย
ขอสงเกต
1.กรณของเวกเตอรศนย ไมจ าเปนตองกลาวถงทศทางของเวกเตอร แตถาตองการกลาวถงม
ขอตกลงวาจะระบทศทางของเวกเตอรศนยเปนเชนใดกได
2.เมอเขยนรปเรขาคณตแทนเวกเตอรศนย จดเรมตนและจดสนสดของเวกเตอรเปนจด
เดยวกน
𝑢 𝑣
Math Kit EBook ห น า 99
= + + = =
เมอ และ เปนเวกเตอรใดๆ ผลลบของ และ เขยนแทนดวย – หมายถง
ผลบวก และนเสธของ คอ – = + ( )
การคณเวกเตอรดวยสเกลาร
นยามเมอ a เปนสเกลาร เปนเวกเตอร ผลคณของเวกเตอร u ดวย สเกลาร a เปนเวกเตอร
เขยนแทนดวย a โดยถา a เปนบวก
ถา a เปนบวก จะมทศทางเดยวกน
ถา a เปน ลบจะมทศทางตรงกนขาม
ถา a = 0 แลว a =
ตวอยาง
P
ค าอธบายจากรป
v = – u
=
u
=
u
Math Kit EBook ห น า 100
คณสมบตการบวกของเวกเตอร
คณสมบตปด
คณสมบตเปลยนกลมได
คณสมบตการมเอกลกษณ
คณสมบตการมอนเวอรส
คณสมบตการสลบท
คณสมบตการคณเวกเตอรดวยสเกลาร
เมอ u และ v ไมเทากบ 0 ถา v = m( u )
ถา m เปนบวก จะมทศทางเดยวกน
ถา m เปน ลบจะมทศทางตรงกนขาม
เวกเตอรในระบบพกดฉาก
เวกเตอรในระบบพกดฉากสองมต
เราสามารถเขยนเวกเตอร ใดๆในรปเวกเตอร
และ ไดเสมอเมอ
เปนเวกเตอร 1 หนวยและมทศทางไปทางแกน x
ทางบวก
เปนเวกเตอร 1 หนวยและมทศทางไปทางแกน y
ทางบวก
เวกเตอรในระบบพกดฉากสามมต
เราสามารถเขยนเวกเตอร ใดๆในรปเวกเตอร ,
และ ไดเสมอเมอ
เปนเวกเตอร 1 หนวยและมทศทางไปทางแกน x
ทางบวก
เปนเวกเตอร 1 หนวยและมทศทางไปทางแกน y
ทางบวก
เปนเวกเตอร 1 หนวยและมทศทางไปทางแกน z
ทางบวก
ให a1 + a2 สามารถเขยนใหอย ในรปของ
เมตรกซได ⌈
⌉
ขนาด | | = √
ความชน m a = tan =
= *
+
ขนาด | | = √
โคไซนแสดงทศทางของ คอ
|a | ,
|a | ,
|a |
หรอ cos , cos , cos
cos2 + cos2 + cos2 =1
(a1,a2,a3)
Math Kit EBook ห น า 101
ค าแนะน า
1. เวกเตอรทมจดเรมตนท A(x1,y1,z1) และจดสนสดท B(x2,y2,z2)
คอ [
]
2. เวกเตอร 1 หนงในทศทางเดยวกน แทนดวย =
| |
เวกเตอร 2 เวกเตอรจะม
ทศทางเดยวกน ทศทางตรงขามกน
มโคไซนแสดงทศทางชดเดยวกน โคไซนแสดงทศทางกบแตละแกนของเวกเตอร จะ
เปนจ านวนทมคาตรงขามกนกบโคไซนแสดงทศทาง
ของอกเวกเตอรหนง
คณสมบตของเวกเตอรในระบบพกดฉาก
นยาม เวกเตอรในระบบพกดฉากสองมต เวกเตอรในระบบพกดฉากสามมต
การเทากน * + = *
+
กตอเมอ a = c และ b = d 0 1 [
]
กตอเมอ a = d และ b = e
c = f
การบวกเวกเตอร * + + *
+ = *
+
0 1 [
] [
]
การลบเวกเตอร * + – *
+ = *
+ 0 1 [
] [
]
เวกเตอรศนย เวกเตอรศนย คอ * +
เวกเตอรศนย คอ[ ]
การคณเวกเตอรดวย
สเกลาร
k* + = *
+
เมอ k เปนจ านวนจรงใดๆ k0
1 = [
]
เมอ k เปนจ านวนจรงใดๆ
Math Kit EBook ห น า 102
ผลคณระหวางเวกเตอร
ผลคณเชงสเกลาร (Dot Product)
ผลคณเชงสเกลารสองมต
⋅ = a1b1+a2b2
= | || |cos ; ° °
ผลคณเชงสเกลารสามมต
⋅ = a1b1+a2b2+a3b3
= | || |cos ; ° °
ตวอยาง ก าหนดให =2 + 3 และ = –3 + 4
วธท า u ⋅ v = (2 • (–3 )) + (3 • 4 )
= –6 + 12
= 6
ผลคณเชงเวกเตอร(Cross Product)
ผลคณเชงเวกเตอรสามมต
ก าหนด u [
] v [
]
u v = |
|
=| || |sin
Math Kit EBook ห น า 103
คณสมบตผลคณระหวางเวกเตอร
ผลคณเชงสเกลาร ผลคณเชงเวกเตอร
u ⋅ v = v ⋅ u u v = v u
u ⋅ (v w ) =u ⋅ v u ⋅ w u (v w ) = u v u w )
(u ⋅ v ) = ( u) ⋅ v
= u ⋅ ( v )
(u v ) = ( u) v
= u ( v )
u ⋅ u = |u | u u = 0
u ⋅ = 0 u =
ถา u และ v ไมเทากบ 0 แลว
u ⋅ v > 0 กตอเมอ เปนมมแหลม
u ⋅ v = 0 กตอเมอ =90°และ u v ตงฉากกน
u ⋅ v < 0 กตอเมอ เปนมมปาน
ถา u และ v ไมเทากบ 0 แลว u v = แลว
u v
|u v |2 = |u |2 + |v |2 + 2|u |⋅|v |cos
|u v |2 = |u |2 + |v |2 – 2|u |⋅|v |cos
|u v |2 – |u v |2 = 4(|u ⋅ v |)
|u v |2 + |u v |2 =2(|u |2 + |v |2)
u ⋅ (u v ) = 0
|u v |2 = |u |2 + |v |2 – (u ⋅ v ) 2
Math Kit EBook ห น า 104
การประยกตเวกเตอร
1.พนทสเหลยมดานขนาน (ตองทราบ)
พนท = ฐาน สง
= |u v |
= | || |sin
2.ปรมาตรของทรงสเหลยมดานขนาน (ตองทราบ)
ปรมาตร = พนทฐาน × สง
= |u ||v r |cos
= |u ⋅ (v r )|
3.โปรเจคชนของเวกเตอร (นอกหลกสตร แตควรทราบ)
Proj v u = av เนองจาก v ตงฉาก u –av
Proj v u = u ⋅ v
|v | v
มาจาก v ⋅ (u v ) = 0
v ⋅ u ( v ⋅ v ) = 0
v ⋅ u = |v |
a = u ⋅ v
|v |
Proj u v = u ⋅ v
|u | u
4.พนทรปสามเหลยม (นอกหลกสตร แตควรทราบ)
× |u |⋅|v |⋅sin
=
× ฐาน × สง
Math Kit EBook ห น า 105
บทท 10 จ านวนเชงซอน
สมการบางสมการไมมค าตอบเปนจ านวนจรง จงมการก าหนด
จ านวนจนตภาพขนเพอใชในการหาค าตอบของสมการทมค าตอบ
ไมใชจ านวนจรง จ านวนจนตภาพ กบจ านวนจรงประกอบกน
เรยกวาจ านวนเชงซอน
พนฐาน
สงยคของจ านวนเชงซอน
กราฟของจ านวนเชงซอน
พกดเชงขว
คา i
คาสมบรณของจ านวนเชงซอน
สมบตของจ านวนเชงซอน
อนเวอรสของจ านวนเชงซอน
รากท n
การแกปญหาสมการดวยจ านวนเชงซอน
Math Kit EBook ห น า 106
ระบบจ านวนเชงซอน (Complex Numbers)
เนองจากสมการพหนามจ านวนมากไมมค าตอบตวอยางเชน x2 + 1=0 ไมมจ านวนจรงใด
เปนค าตอบของสมการ จงมการก าหนดจ านวนชนดหนงขนมาเพอใหงายตอการใชงานจ านวนชนด
หนงซงไมใชจ านวนจรงเรยกวา จ านวนเชงซอน เพอหาคาของสมการทไมมค าตอบในจ านวนจรง
ส าหรบจ านวนเชงซอน เมอ a และ b เปนจ านวนจรง
เรยก a วาสวนจรง (Real part) ของ z เขยนแทนดวย Re(z)
เรยก b วาสวนจนตภาพ (Imaginary part) ของ z เขยนแทนดวย Im(z)
จ านวนจนตภาพ
คอ จ านวนทไมใชจ านวนจรง เขยนในรป √จ านวนลบ
โดยนยมเขยนในรปของตว
Ex
1.
2.
จ านวนจรงคอจ านวนเชงซอนทมหนวยจนตภาพเปน
ศนย และจ านวนเชงซอนทไมมสวนจรงหรอสวนจรง
เปนศนย เรยกวา
จ านวนจนตภาพแท (Purely imaginary number)
Ex
1.
2.
คาของ
เมอ ∈ + สามารถหาคาของ ไดดงน
1. ถา
เหลอเศษ คาของ
2. ถา
เหลอเศษ คาของ
3. ถา
เหลอเศษ คาของ
4. ถา
เหลอเศษ คาของ
Ex
1. (
เหลอเศษ )
2. (
เหลอเศษ )
ขอควรรi2 = −1 i3 =−i i4 = 1 i5 = i i6 = −1 i7 = −i i8 = 1
จ านวนเชงซอน
z = (a,b) = a + bi a คอสวนจรง Re(z) b คอสวนจนตภาพ Im(z)
แกนจรง
แกนจนตภาพ
b
a
Math Kit EBook ห น า 107
ตวอยาง
เราสามารถเขยนไดวา 4 + 2i เราสามารถเขยนไดวา 5 − i
สมบตของจ านวนเชงซอน
ให และ
1. เมอ และ
2. ( ) ( )i
3. ( ) ( )i
4.
5. ( ) ( ) หรอ (a+bi)(c+di) แลวคณเหมอนจ านวนจรง
6.
=
+
+
ตวอยางท 1 ก าหนด z1= 4 – 6i z2= –3 + 2i จงหาคา 3(z1 + z2)
วธท า z1 + z2 = (4 – 3) + (–6+2)i
= 1 – 4i
3(z1 + z2) = 3 – 12i
ตอบ 3 – 12i
Math Kit EBook ห น า 108
ตวอยางท 2 ก าหนดให 4 + 3i =(3a+b) + (a+2b)i โดยท a และ b เปนจ านวนจรง จงหาคา a+b
วธท า จากโจทย 3a + b = 4 ––––––––– (1)
a + 2b = 3 ––––––––– (2)
(1) x 2 6a + 2b = 8 ––––––––– (3)
(3) – (2) 5a = 5
a = 1
แทน a ลงในสมการ (2) 1 + 2b = 3
2b = 2
B = 1
ดงนน a+b = 2
ตวอยางท 3 จงหาคาของ +
วธท า +
+
+
( + )( + )
+ + +
+
+
Math Kit EBook ห น า 109
ตวอยางท 4 ก าหนดให x และ y เปนจ านวนจรงซงสอดคลองกบสมการ +
+ = 1 – 4i จงหาคาของ
y – x
วธท า y + 11i = (1 – 4i)(x+3i)
= x + 3i – 4xi –12i2
ดงนน y + 11i = (x + 12) + (3 – 4x)i
11 = 3 – 4x
4x = –8
x = –2
y = (x + 12)
= (–2+12)
= 10
y – x = 10 – (–2)
= 12
ตอบ 12
สงยคของจ านวนเชงซอน(Conjugate)
ให คอนจเกตของ คอ โดยท
1.
2.
3. ± ±
4.
5. (
)
6.
7.
ขอควรร การหารจ านวนเชงซอนท าไดโดยการท าใหอยในรปของเศษสวนแลวน าสงยกตของจ านวนนนๆไป
คณทงเศษและสวน
Math Kit EBook ห น า 110
คาสมบรณของจ านวนเชงซอน
ถา คาสมบรณของ คอ | | โดยท | |
1. | | | | | |
2. | |
3. | | | || |
4. | | | |
5. |
|
| |
| | เมอ ≠
6. | | | | | |
7. | | | | | |
รากทสองของจ านวนเชงซอน
ให และ √
รากทสองของ ± .√ +
√
/ เมอ หรอ ± .√
+
√
/ เมอ
อนเวอรสการคณของจ านวนเชงซอน
ถา แลว อนเวอรสการคณของ หรอ
ดงนน
+
| |
ตวอยางท 5 จงหาคาของ |(5 – 4i)(5 + 12i)(–3i)|
วธท า |(5 – 4i)|(5 + 12i)|(–3i)| =
= (13)(3)
= 39
ตอบ 39
Math Kit EBook ห น า 111
ตวอยางท 6 ก าหนดให z เปนจ านวนเชงซอน ซง |(7–24i)(3+4i)z6| = 1 แลว z มคาเทาใด (Ent 42)
วธท า |(7 – 24i)||(3 + 4i)||z6| = 1
|z6| = 1
(25)(5)|z6| = 1
|z6| =
z = |z2|
|z2| =
ตอบ
กราฟของจ านวนเชงซอน
ส าหรบจ านวนเชงซอน ใชจดในระนาบเปนตวแทนของจ านวนเชงซอน ซงระนาบดงกลาวประกอบดวย
แกนจรง(X)และแกนจนตภาพ(Y) ถา จะมความหมายดงน
เรยก วา อารกวเมนตของ
จากรป จะพบวา
| | | |
| | | |
แลว | |
( )
เรยกรปแบบนวา จ านวนเชงซอนในรปของพกดเชงขว (Polar Co–Ordinate System)
สามารถเขยน r( ) เปน r
Math Kit EBook ห น า 112
การด าเนนการของจ านวนเชงซอนในรปของพกดเชงขว
z1=r1cis 1 z2=r2cis 2
z1 × z2 = r1 × r2 cis ( 1+ 2)
z1 ÷ z2 = r1 ÷ r2 cis ( 1– 2)
z1n = (r1)
n cis ( 1)
z1 = r1cis – 1
ทฤษฎบทของเดอมวร
ถา ( )
( ) ( )
ตวอยางท 7 จงหาคาของ [3(cos35° +i sin35°)][5(cos55° +I sin55°)]
วธท า [3cis35°][5cis55°] = [3×5 cis (35°+45°)
= 15 cis (90°)
= 15(cos90° + i sin 90°)
= 15 (0 + 1i)
= 15i
ตอบ 15i
การแกสมการทมผลลพธเปนจ านวนเชงซอน
1. ถาสมการอยในรป
จดรปแลวใช เทยบสตร ± ac
a
2. ถาสมการอยในรป เมอ ≠
ใชสตร ± ac
a
3. ถาสมการมเลขชก าลงสงสดเกน2ขนไป
ใหใชวธแยกตวประกอบโดยอาจใชวธเศษเหลอ ท าใหอยในรปแบบทสองแลวใชสตร
Math Kit EBook ห น า 113
รากทn ของจ านวนเชงซอน
ถา แลว รากท ของ จะมทงหมด รากทแตกตางกน คอ
[ (
)]
เมอ
ขอควรรเกยวกบสมการพหนาม
axn + bxn–1 +cxn–2 + … + s = 0
ผลบวกของค าตอบทงหมดคอ –
ผลคณค าตอบทงหมดคอ (–1)ns
a
ตวอยางท 8 จงหารากท 2 ของ z เมอ z = 3 + 4i
วธท า หา |z| =
= 5
รากท 2 ของ z คอ ± .√
√
/
± .√
√
/
= ± (2 + i)
Math Kit EBook ห น า 114
บทท 11 ความนาจะเปน
กฎการนบ
หลกการบวก ใชเมองานยงไมเสรจ
หลกการคณ ใชเมองานเสรจ
รปแบบวธการนบยอดนยม
ของตาง ของเหมอน ของซ า
ตวอยาง ABCDE AAAAA MMCAI
การเรยงสบเปลยน
(สนใจต าแหนงทได)
n!
5! = 120 วธ
1 วธ n! หารดวยของท
ซ า
การเลอก
(ไมสนใจต าแหนงทได)
ใช nCr 1 วธ ใชกฎการนบ
การแบง จ านวนของ
ทงหมดหาร
ดวยกลมทแบง
ใชกฎ Star and
Bar
ใชกฎการนบ
ความนาจะเปน
ความนาจะเปน เครองมอในการชวยตดสนใจและบอกถงความ
เปนไปไดของสงตางๆ เปนอกวชาหนงทมความส าคญทงทางดาน
ธรกจ ดานสถต ดานวศวกรรมศาสตร
Math Kit EBook ห น า 115
กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ
ปญหาเกยวกบการนบเปนปญหาหนงทมกจะพบอยเสมอ หลกการนบม 2 ประการ ดงน
1.หลกการบวก ใชเมอการท างานนนยงไมเสรจ เชนใชในรวมกนของกรณตางๆ
2.หลกการคณ ใชเมอการท างานนนเสรจสมบรณแลว
หลกการบวก
ถาการท างานหนงมวธการท า k วธ คอ วธท 1 ถงวธท k โดยท
การท างานวธท 1 มวธท า วธ
การท างานวธท 2 มวธท า วธ
การท างานวธท k มวธท า วธ
และวธการท างานแตละวธแตกตางกน แลวจ านวนวธท างานนเทากบ + +...+ วธ
ตวอยางท 1 มชดท างาน 2 ชด มถงเทา 3 แบบ จะเลอกวธการแตงตวโดยไมซ ากนเลย
วธท า ชดท างานแบบท 1 สามารถใชถงเทาได 3 แบบ 3 วธ
ชดท างานแบบท 2 สามารถใชถงเทาได 3 แบบ 3 วธ
ดงนน วธการแตงตวโดยไมซ ากนเลยมทงหมด 3 + 3 = 6 วธ
Math Kit EBook ห น า 116
ตวอยางท 2 นกเรยน 3 คน ตองการเขาและออกหองๆหนง ซงมประต 3 บาน โดยนกเรยนคนท
1 เขาและออกโดยใชประตบานเดยวกน นกเรยนคนท 2 เขาและออกโดยไมใชประตบานเดม และ
นกเรยนคนท 3 เขาและออกประตบานใดกได จงหาจ านวนวธทนกเรยนทงสามคนเขาและออก
หองน
วธท า นกเรยนคนท 1 มวธเขาและออกได 3 วธ
นกเรยนคนท 2 มวธเขาและออกได 6 วธ
นกเรยนคนท 3 มวธเขาและออกได 9 วธ
ดงนน วธทนกเรยนทงสามคนเขาและออกหองนมทงหมด 3 + 6 + 9 = 18
หลกการคณ
ถาการท างานอยางหนงประกอบดวยการท างาน k ขนตอน คอ ขนตอนท 1 ถงขนตอนท k
ตามล าดบ โดยท
การท างานขนตอนท 1 มวธท า วธ
การท างานขนตอนท 2 มวธท า วธ
การท างานขนตอนท k มวธท า วธ
และวธการท างานแตละวธแตกตางกน แลวจ านวนวธท างานนเทากบ × × ... × วธ
ตวอยาง 3 บรษทผลตเสอผาส าเรจรปแหงหนงผลตเสอ 6 แบบ กางเกง 5 แบบ และเนคไท 4
แบบ ถาจะจดแตงตวใหกบหนเพอน าไปโชวหนาราน จะสามารถแตงเปนชดตางๆกนไดกชด
วธท าในการแตงตวใหกบหนม 3 ขนตอน คอ
ขนตอนท 1 เลอกเสอได 6 วธ
ขนตอนท 2 เลอกกางเกงได 5 วธ
ขนตอนท 3 เลอกเนคไทได 4 วธ
ดงนน วธแตงตวใหกบหนท าไดทงหมด 6 x 5 x 4 = 120
Math Kit EBook ห น า 117
ตวอยาง 4 ในคณะกรรมการนกเรยนจ านวน 10 คน จะมวธเลอกประธาน รองประธานและ
เลขานการ ไดกวธ ถาคณะกรรมการคนหนงไมสมครจะเปนประธาน (Ent มนาคม 48)
วธท า 1.ในต าแหนงประธาน มโอกาสเกดไดทงหมด 9 วธ (เนองจากมคณะกรรมการคนหนงไม
สมครจะเปนประธาน)
2.ในต าแหนงรองประธาน มโอกาสเกดได 9 วธ (10คน ไปอยประธานแลว 1 คน)
3.ในต าแหนงเลขานการ มโอกาสเกดได 8 วธ
ดงนน วธเลอกประธาน รองประธานและเลขานการไดทงหมด 9 x 9 x 8 = 684 วธ
Math Kit EBook ห น า 118
ตวอยางท 5 ในการสรางรหส (Code) ก าหนดใหใชอกขระ 3 ตวทไมซ ากน โดยตงมตวอกษร
ภาษาองกฤษ (A–F อยางนอย 1 ตว และมตวเลข 0 – 9) อยางนอยหนงตวจ านวนหารทสรางได
โดยไมซ าแบบเทากบขอใดตอไปน (B–PAT ตลาคม 51)
ก.1,260 ข.2,520 ค.5,040 ง.3,780
วธท า ใหแยกกรณ จากโจทยเราสามารถไดทงหมด 5 กรณ
กรณ 1 มอกษร 1 ตว เกดได 6 วธ
มตวเลข 2 ตว สองต าแหนงต าแหนง
หนงสามารถเกดได 10 วธ
6 x 10 x 10
ตวอกษร ตวเลข ตวเลข
ดงนน กรณท 1 มโอกาสเกด 600 วธ
กรณ 2 มอกษร 2 ตว สองต าแหนงต าแหนง
หนงสามารถเกดได 6 วธ
มตวเลข 1 ตว เกดได 10 วธ
6 x 6 x 10
ตวอกษร ตวอกษร ตวเลข
ดงนน กรณท 2 มโอกาสเกด 360 วธ
กรณ 3 มอกษร 1 ตว เกดได 6 วธ
มตวเลข 2 ตว สองต าแหนงต าแหนง
หนงสามารถเกดได 10 วธ
10 x 6 x 10
ตวเลข ตวอกษร ตวเลข
ดงนน กรณท 1 มโอกาสเกด 600 วธ
กรณ 4มอกษร 2 ตว สองต าแหนงต าแหนงหนง
สามารถเกดได 6 วธ
มตวเลข 1 ตว เกดได 10 วธ
10 x 6 x 6
ตวเลข ตวอกษร ตวอกษร
ดงนน กรณท 2 มโอกาสเกด 360 วธ
กรณ 5 มอกษร 1 ตว เกดได 6 กรณ
มตวเลข 2 ตว สองต าแหนงต าแหนงหนงสามารถเกดได 10 วธ
10 x 10 x 6
ตวเลข ตวเลข ตวอกษร
ดงนน กรณท 1 มโอกาสเกด 600 วธ
ดงนน เราสามารถสรางรหสไดทงหมด 600+600+600+360+360 = 2,520 วธ
ตอบขอ ข.
Math Kit EBook ห น า 119
แฟคทอเรยล
คอจ านวนเตมบวก n ใดๆ แฟคทอเรยล n เขยนแทนดวย n! หมายถงผลคณจ านวนเตม
บวกตงแต 1 ถง n n! = n(n – 1)(n – 2)…(3)(2)(1)
ขอควรระวง 0! = 1 1! = 1
ขอควรร 4! = 24 5! = 120 6! = 720 7! = 5,040
รปแบบวธการนบ
ของตาง ของเหมอน ของซ า
ตวอยาง ABCDE AAAAA MMCAI
การเรยงสบเปลยน
(สนใจต าแหนงทได)
n!
5! = 120 วธ
1 วธ n! หารดวยของทซ า
การเลอก
(ไมสนใจต าแหนงทได)
ใช nCr 1 วธ ใชกฎการนบ
การแบง จ านวนของทงหมด
หารดวยกลมทแบง
ใชกฎ Star and Bar ใชกฎการนบ
วธเรยงสบเปลยน(Permutation)
เปนการจดเรยงสงของโดยค านงถงต าแหนงของสงของแตละสงเปนส าคญ
นยาม ถา n เปนจ านวนเตมบวก แฟกทอเรยล n คอ ผลคณของจ านวนเตมบวกตงแต 1 ถง n
และเขยนแทนดวย n! เชน 5x4x3x2x1 = 5! เปนตน
วธเรยงสบเปลยนเชงเสน
เปนการจดเรยงสงของในแนวเสนตรง แบงออกได 2 แบบ ดงน
1.กฎการนบ เหมาะส าหรบท าโจทยในระดบสง โจทยทมการประยกต ไมสามารถคดดวยสตร
2.ใชสตรส าหรบการเรยงสบเปลยน เหมาะส าหรบโจทยทไมมการประยกต
1.เรยงของแตกตางกนหมด
มของ n ชนน ามาเรยงเปนจ านวน r ชน
nPr = Pn,r =
( )
Ex มนกเรยน 10 คน น ามาเรยงเปนแถวเพยง 7 คน
Pn,r =
( ) =
= 60480 วธ
Math Kit EBook ห น า 120
2.เรยงของซ า
มของ n ชนน ามาเรยงเปนเสนตรง โดยมของซ า
กลม n1 n2 n3 … nk
nPr = Pn,r =
Ex หนงสอสงคมเหมอนกน 3 เลม หนงสอ
คณตศาสตรเหมอนกน 2 เลม น ามาเรยงบนชน
Pn,r =
= 10 วธ
ตวอยางท 6 ชาย 4 คน หญง 2 คน เขาแถวตรงโดยทไมมผหญงยนตดกนเลย จะไดทงหมดกวธ
วเคราะห ผชายสามารถสลบกนเองได 4! วธ
4 3 2 1
จบผหญงแทรกระหวางผชายเพอไมใหผหญงยนตดกน ได ผหญงคนแรก ยนได 5 ต าแหนงผหญง
คนทสอง ยนได 4 ต าแหนง
ดงนน 24 x (5 x 4) = 480 วธ
ตวอยางท 7 จงหาจ านวนวธทจะแจกหนงสอเลขซงเหมอนกน 2 เลม หนงสอองกฤษทเหมอนกน
3 เลม และหนงสอวทยาศาสตรทตางกน 2 เลม ใหนกเรยนคนละเลมจะแจกไดกวธ
วธท า หนงสอมทงหมด 7 เลม เรยงสบเปลยนได 7! แตเนองจากมหนงสอเลขเหมอนกน 2 เลม
และหนงสอภาษาองกฤษเหมอน 3 เลม ถาหนงสอภายในสองกองน สลบกนเองท าใหเกด
เหตการณซ า ดงนน เราตองหารดวย 2! และ 3!
ดงนน ตอบ 420 วธ
Math Kit EBook ห น า 121
ตวอยางท 8 จงหาจ านวนวธเดนทางจาก A ไป D ท ผานจด C โดยทางทศเหนอและตะวนออก
เทานน
วธท า ใหใชวธคดแบบของซ า
จากโจทย เราตองแบงเปน 2 ชวง คอ ชวง A ไป C และ C ไป D
ชวง A ไป C ตองขนทางทศเหนอ 2 ครง
ตองไปทางตะวนออก 4 ครง
รวมตองเดนทงหมด 6 ครง
ชวง C ไป D ตองขนทางทศเหนอ 2 ครง
ตองไปทางตะวนออก 2 ครง
รวมตองเดนทงหมด 4 ครง
x
ดงนนตอบ 90 วธ
เสรมความร ถาโจทยก าหนดวา A ไป D ตองไมผานจด C เราน ากรณทงหมด ไปหกดวย
กรณทผานจด C กรณทงหมด คอ เคลอนททงหมด 10 ครง ทางเหนอ 4 ครง ทางตะวนออก 6
ครงดงนนได
– 90 ตอบ 120 วธ
Math Kit EBook ห น า 122
ตวอยางท 6 จากรปจงพจารณาวามรปสเหลยมมมฉากทงหมดกรป
วธท า พจารณาวารปสเหลยมมมฉาก 1 รป เกดจากเสนแนวตง 2 เสน และเสนแนวนอน 2 เสน
จงเกดเปนรปสเหลยมมมฉาก
เลอกเสนแนวตง 5C2 = 10
เลอกเสนแนวนอน 4C2 = 6
ดงนน สเหลยมมมฉากเกดจากเสนแนวตงและแนวนอนคอ 10 x 6 = 60 รป
Math Kit EBook ห น า 123
วธจดหม(Combination)
เปนการเลอกสงของออกมาเปนหมหรอชด โดยไมค านงวาจะไดสงของใดออกมากอนหรอ
หลง เชน มตวอกษร 3 ตว คอ a , b และ c ถาตองการเลอกตวอกษร 2 ตว จากตวอกษร 3 ตวน
โดยไมค านงถงล าดบกอนหลงของการเลอก จะเลอกได 3 วธ คอ ab , bc และ ca
โดยทวไปจ านวนวธจดหมของสงของ n สง โดยเลอกคราวละ r สง (0 r n) เทากบจ านวนสบ
เซตทมสมาชก r ตว ของเซตทมสมาชก n
ให nCr หรอ Cn,r หรอ (n ) แทนจ านวนวธจดหมของสงของ n สง โดยเลอกคราวละ r สง ในแต
ละวธจดหมของสงของ r สง เมอน ามาจดเรยงในแนวเสนตรง จะไดวธเรยงสบเปลยน r! วธ
ดงนน จ านวนวธการเรยงสบเปลยนของสงของทละ r สง จากสงของ n สง ทแตกตางกน เทากบ
r! x Cn,r = Pn,r
ดงนน n =
=
n
(n )
สรปไดวา จ านวนวธจดหมของสงของทแตกตางกน n สง โดยเลอกคราวละ r สง (0 r n)
เทากบ n
(n )
เนองจาก n = n
(n )
= n
(n )
= n
(n (n )) (n )
= n n
ดงนน จะไดวา n = n n หรอ (n ) = ( n
n )
Math Kit EBook ห น า 124
ตวอยางท 10 รป 12 เหลยมมเสนทแยงมมทงหมดกเสน
วธท า เนองจาก 12 เหลยม มเสนรอบรปทงหมด 12 เสน
เราสามารถหาเสนทแยงมมจากการเลอกได
ม 12 จด เลอกมา 2 จด เพอสรางเสนทแยงมมจะได 12C2 แลวหกดวยจ านวนเสนรอบรป
เนองจากการเลอกจด 2 จดเหลานน เปนการนบรวมเสนรอบรปเขาไปดวย ดงนน เราตองหก
ออกไป 12 เสน 12C2 – 12 = 54
ดงนน ขอนมเสนทแยงมมทงหมด 54 เสน
ตวอยางท 11 รป 12 เหลยมจะมเสนทแยงมมทงหมดกเสน
วธท า เสนทแยงมมเกดจากการเลอกจด 2 จด จากทงหมด 12 จด มาลากเสนตอกน แตเมอเลอก
จด 2 จด จากทงหมด 12 จด มาลากเสนตอกนจะไดเสนรอบรปมาเพมดวยดงนนเราตองลบเสน
รอบรปออกจะไดวา 12C2 – 12(จ านวนเสนรอบรป)
= ( )
– 12
= 66 –12
= 54
ตอบ รปสบสองเหลยมจะมเสนรอบรปทงหมด 54 เสน
Math Kit EBook ห น า 125
ตวอยางท 12 ก าหนดจด 6 จดบนวงกลมวงหนง จ านวนวธทจะสรางรปเหลยมบรรจในวงกลมใน
วงกลมโดยใชจดเหลานนเปนจดยอดมมเทากบขอใดตอไปน (Ent)
1.20 2.35 3.42 4.65
วธท า รปเหลยมทสามารถเกดขนไดจากจด 6 จด
3 เหลยม 6C3 = 20
4 เหลยม 6C4 = 15
5 เหลยม 6C5 = 6
6 เหลยม 6C6 = 1
20 + 15 + 6 + 1 = 42
ตอบ ขอ 3 42 รป
ตวอยางท 13 มคนงานหญง 6 คนและคนงานชาย 8 คนซงมนายด ารวมอยดวย ถาจะเลอก
คนงาน 4 คนไปท างานทตางกน 4 ประเภทโดยใหเปนหญง 2 คน ชาย 2 คน และใหนายด าอยใน
4 คนนดวย จ านวนวธการเลอกคนงานดงกลาวเทากบขอใดตอไปน (Ent 46 มนาคม)
1. 1,920 วธ 2. 2,400 วธ 3. 2,520 วธ 4. 2,880 วธ
วธท า เลอกผหญง 6C2 วธ
เลอกผชาย 7C1 วธ
เลอกนายด าได 1 วธ
สลบงานได 4! วธ 6C2 x
7C1 x 1 x 4!
ตอบ ขอ 3 2,520 วธ
Math Kit EBook ห น า 126
ตวอยางท 14 คณครสวรย ครประจ าชนหอง ม.6/4 น าของรางวลทงหมด 3 ชน ในชวงกจกรรม
วนเดก แตในหองมนกเรยนอยเพยง 10 เนองจาก เดกสวนใหญตองไปสอบตรง ในจ านวนนกเรยน
ทอย มนายสมเกยรต และ นางสาวทศนกมล อยดวย จงหาจ านวนวธท นายสมเกยรต และ
นางสาวทศนกมล รบรางวลไมพรอมกน
1. 720 2. 640 3. 102 4. 112
วธท า หากรณทวไป – กรณรบรางวลพรอมกน
กรณทวไป 10C3 ม 10 คนเลอกมา 3 คน
กรณรบรางวลพรอมกน 1 x 1 x 8
นายสมเกยรต นางสาวทศนกมล นกเรยนทเหลอ
120 – 8 = 112
ตอบขอ 4 112 วธ
Math Kit EBook ห น า 127
การแบงกลม
การแบงกลมของแตกตางกนโดยแบงแลวยงไมแจก ใช วธค าแบบเดยวกบของซ าๆ
Ex มปากกาทแตกตางกนทงหมด 10 ดาน แบงเปนกองละ 3 ดาน 2 กอง กองละ 2 ดาน 2 กอง
วธท า
มปากกา 10 ดานเรยงสบเปลยนได 10!
แบงเปนกอง กองแรก 3 ดาน กองสอง 3 ดาม กองสาม 2 ดาน กองส 2 ดาม
การแบงกลมของเหมอนกน ใชหลกการ Stars and bars
แบงของ n สงเหมอนกน ให r คน โดยทกคนจะตองไดรบ n–1Cr–1
แบงของ n สงเหมอนกน ให r คน โดยไมจ าเปนททกคนจะตองไดรบ n–1+rCr–1
ซงสามารถหารายละเอยดเพมเตมไดจาก
http://en.wikipedia.org/wiki/Stars_and_bars_(combinatorics)
http://jhyun95.hubpages.com/hub/Stars–and–Bars–Combinatorics
Math Kit EBook ห น า 128
วธเรยงสบเปลยนเชงวงกลม
พจารณาการจดเรยงตวอกษร 3 ตว คอ A ,B และ C เปนแถวตรงจะมวธจดเรยงได 3! =
6 วธ คอ ABC BCA CAB ACB BAC CBA
วธการจดเรยงตวอกษร ABC , BCA และ CAB เปนการจดเรยงแถวตรงทแตกตางกน แต
ถาน าแตละวธมาจดเปนวงกลม จะได
A B C
B C A C A B
A B C B C A C A B
จะเหนวา การจดเรยงทงสามแบบ ถอวาเปนการจดเรยงเปนวงกลมเพยง 1 วธ เทานน
ในท านองเดยวกน วธการจดเรยงตวอกษร ACB BAC และ CBA เปนการจดเรยงเปนวงกลม
เพยง 1 วธ
ดงนน การจดเรยงตวอกษร 3 ตวเปนวงกลม จะจดได 2 วธ คอ
A A
B C C B
แนวคดในการหาจ านวนวธเรยงสบเปลยนเชงวงกลมของสงของทแตกตางกน n สง อาจจะเรมโดย
ใหสงของสงหนงอยคงท ณ ต าแหนงใดต าแหนงหนง แลวจดเรยงสบเปลยนสงของทเหลออย n–1
สง จะได จ านวนวธเรยงสบเปลยนเทากบ (n – 1)(n – 2)(n – 3)... 3 x 2 x 1 = (n – 1)!
Math Kit EBook ห น า 129
สรปไดวา จ านวนวธเรยงสบเปลยนเชงวงกลมของสงของทแตกตางกน n สงใหปกหมด เพอไมให
วงกลมหมนได (n – 1)! วธ
ขอควรระวง ส าหรบโจทยพนฐาน หากเปนโจทยประยกตใหปกหมดแลวจ านวนทเหลอ !
ตวอยางท 15 ตองการจดชาย 8 คนหญง 2 คน นงรบประทานอาหารโตะจนรอบโตะกลม จงหา
จ านวนวธทหญงทง 2 คนนนตองนงตดกนเสมอ
วธท า
ดงนนจ านวนวธทผหญง 2 คนนงตดกนคอ 8!2!
มดผหญง (เพอใหไดวาผหญงตอง
ตดกน) ผหญงสลบกนเองได 2! วธ
มดผหญงสองคนแลวมองเปนกอน
เดยวกน แลวจบปกหมด (การปก
หมดเพอไมใหวงกลมหมน ปกต
เรามกจะปกหมดกอนทมปญหา
กอนแลวคอยท า)
ผชายยนสลบกนเองได 8!
Math Kit EBook ห น า 130
ความนาจะเปน ( Probability ) คอจ านวนทบงบอกวาเหตการณทเราสนใจนนมโอกาส
เกดขนมากนอย ขนาดไหน ตวอยางเชน โยนเหรยญบาท 1 เหรยญ 2 ครง 1เหรยญมโอกาสเกด
ทงหวและกอย ครงแรกอาจจะเปนหวหรอกอยกได ครงทสองกเชนกน เปนตน
การทดลองสม (Random Experiment)
การทดลองสม คอ การกระท าหรอการทดลองทไมสามารถคาดการณค าตอบลวงหนาได
ตวอยางของการทดลองสม เชน
การโยนเหรยญบาท
การออกสลากกนแบงรฐบาล
การโยนลกเตา
ผลลพธจากการทดลองสม (Sample space)
ผลลพธจากการทดลองสม คอ ผลลพธทเปนไปไดทงหมดจากการทดลองสม
ตวอยางเชน
โยนเหรยญบาท 1 เหรยญ 1 ครง ผลลพธทเปนไปไดคอ หว(Head) กบ กอย(Tail)
โยนลกเตา 1 ลก 1 ครง ผลลพธทเปนไปได คอ แตม 1,2,3,4,5 ,6
เหตการณ (event)
เหตการณ คอ สงทเราสนใจจากการทดลองสม ตวอยางเชน หากโยนลกเตา จงหาจ านวน
เหตการณทลกเตาออกหนาเลขค เปนตน
Math Kit EBook ห น า 131
นยามของความนาจะเปน
ความนาจะเปนของเหตการณใดๆ P(E) = n( )
n( ) โดยท 0 P(E) 1
เมอ n(E) คอ จ านวนผลลพธทงหมดของเหตการณใดๆทเราสนใจ
n(s) คอ จ านวนผลลพธทงหมดของ sample space
สงทควรรเกยวกบความนาจะเปน
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
P(A ) = 1 – P(A)
P(A – B) = P(A) – P(A B)
ถา A B = แลว P(A B) P(A) + P(B)
ตวอยางท 16 ชาย 3 คน หญง 4 คนนงในรถ จงหาความนาจะเปนทคน 2 คนทลงรถกอนนนเปน
ผหญง
วธท า ผลลพธทเปนไปได ( Sample space) ของคนทลงจากรถ 2 คน คอ 7 x 6
มคนอยบนรถ 7 คน คนแรกลงจากรถจะมได 7 วธ คนทสองลงจากรถ 6วธ เนองจาก ม
คนหนงลงไปกอนหนานแลว
เหตการณ ทคนลงทงสองคนเปนผหญง 4 x 3 เนองจากมผหญง 4 คน
ดงนนความนาจะเปน คอ
=
Math Kit EBook ห น า 132
ทฤษฎบททวนาม
ในหวขอนจะกลาวถงสตรของการกระจาย (x+y)n เมอ x , y เปนจ านวนจรงใดๆ และ n เปน
จ านวนเตมบวก พจารณาการกระจายตอไปน
(x y) = x + y
(x y) = x2+2xy + y2
(x y) = + + +
(x y) = + + + +
(x y) = + + + x
(x y) =(x y) (x y) (x y) (ทงหมด n ตว)
ถา x , y เปนจ านวนจรง และ n เปนจ านวนเตมบวก แลว
(x y)n = (n )xn (n
)xn y (n
)xn y (n
n)yn
เราจงสามารถสรปกฎไดวา Tr+1 = (n )an rbr
ขอสงเกตการกระจาย (a+b)n
กระจายไดทงหมด n+1 พจน
ดกรของแตละพจนจะเทากบ n เสมอ
ผลบวกสมประสทธทวนามทกพจน คอ 2n
ผลบวกทกพจนคอ (a+b)n
สมประสทธทวนามสามารถหาไดจากสามเหลยมปาสคาลหรอใชการเลอก
Math Kit EBook ห น า 133
ตวอยางท 17 จงหาพจนท 7 ในการกระจาย (x2 –
)10
T7 = T6+1 =10C6(x
2)4(–
)6
10C4 x8 (
)6
ตอบ 210
Math Kit EBook ห น า 134
บทท 12 ทฤษฎกราฟ
ทฤษฏกราฟ คอแผนภาพซงบรรจจดและเสนเชอม ซงถก
ใชในการแกปญหาในหลายดานๆ เชนการจดตารางเวลา การ
เดนทางโดยเสนทสด ฯลฯ
รายละเอยดของกราฟ
กราฟอยางงาย
กราฟบรบรณ
กราฟเตมเตม
ดกร
กราฟเชอมโยง
กราฟออยเลอร
กราฟยอย
กราฟตนไม
จด
เสนเชอม
วงวน
เสนเชอมขนาน
กราฟถวงน าหนก
ตนไม
ปา
ตนไมแผทว
ตนไมแผทวนอยทสด
ประยกตกราฟ
Math Kit EBook ห น า 135
ทฤษฎกราฟนน มจดเรมจากผลงานตพมพของ เลออนฮารด ออยเลอร ในป ค.ศ. 1736
(พ.ศ. 2279) หรอทรจกกนในนาม ปญหาสะพานทงเจดแหงเมองโคนกสเบรก (Seven Bridges
of Königsberg) เขาสนใจวธทจะขามสะพานทง 7 แหงน โดยขามแตละสะพานเพยงครงเดยว
เทานน จากการพสจนของออยเลอรท าใหทราบวา เราไมสามารถขามสะพานทง 7 เพยงครงเดยว
เพอกลบมาจดเรมตนไดเพราะ ถาหากแปลงปญหาดงกลาวเปนกราฟ จะไดเสนเชอมทงหมด 7
เสนซงขดกบทฤษฎวาดวยกราฟของออยเลอร
ตวอยาง ท 1 กราฟ G
กราฟจะตองประกอบไปดวยจดอยางนอย 1 จด แตจะมเสนเชอมหรอไมกได จากตวอยาง
กราฟ G เราสามารถบอกรายละเอยดของกราฟไดดงน
เซตของจ านวนจดยอด (Vertex) แทนดวยสญลกษณ V(G)
V(G) = {A, B, C}
เซตของเสนเชอม (Edge) ทเชอมระหวางจดยอดแทนดวยสญลกษณ E(G)
E(G)={e1, e2} หรอ E(G)={AB, BC}
B
e1 e2
A C
Math Kit EBook ห น า 136
รายละเอยดทนาสนใจของกราฟ
วงวน (loop) คอเสนเชอมทอยในรป {u,u}
หรอ uu หรอเสนทมจดปลายทงสองเปนจด
เดยวกน เชนจด e1
เสนเชอมขนาน (parallel edges) หรอ
เสนหลายชน (multiple edges) คอเส
นเชอมทมมากกวา 1 เชนจด e2
กราฟอยางงาย
คอ กราฟทไมมวงวนและเสนเชอมขนาน
Ex
กราฟบรบรณ
คอกราฟอยางงายท 2 จด ทตางกนตองเปนจด
ประชดกนเสมอ
Ex
กราฟนเปนกราฟบรบรณ 4 จด เรยกวาจด K4
กราฟเตมเตม
คอ กราฟทไมมวงวนและเสนเชอมขนานเขยนแทน
ดวยสญลกษณ
Ex
อนดบและขนาด
อนดบ คอจ านวนจด
ขนาด คอ จ านวนเสนเชอม
ดกร คอ จ านวนครงทเสนเชอมเกดกบจดยอด
Handshaking Lemma ผลรวมของดกร จะเปนสองเทาของเสนเชอมเสมอ
e1 e2
e3 e4
Math Kit EBook ห น า 137
แนวเดน
คอล าดบจ ากดของจดยอดและเสนเชอมสลบกน
แนวเดนเปด เปนแนวเดนทม จดเรมตนและ
จดสนสดเปนคนละจด
แนวเดนปด เปนแนวเดนทม จดเรมตนและ
จดสนสดเปนจด เดยวกน
รอยเดน เปนแนวเดนทม จดเรมตนและจดสนสด
เปนจดใดกตอง แตหามใชเสนเชอมซ า
วถ(แนวเดนอยางงาย) เปนแนวเดนทม จดเรมตน
และจดสนสดเปนคนละจด หามใชเสนเชอมและจด
ซ า
วงจร(Circuit) เปนแนวเดนทม จดเรมตนและ
จดสนสดเปนจด เดยวกน เสนเชอมหามใชซ า
วฏจกร(Cycle) เปนแนวเดนทม จดเรมตนและ
จดสนสดเปนจด เดยวกน เสนเชอมและจดหามใช
ซ า ยกเวนจดเรมตนและสนสด
กราฟเชอมโยง
คอกราฟทไมขาดตอน เปนกราฟท 2 จดใดๆ
สามารถมแนวเดนถงกนได
เชน กราฟ G มจดยอด U และ V เปนจดยอดท
ตางกนในกราฟ จะตองมแนวเดน U – V
Ex
เปนกราฟเชอมโยง
ไมเปนกราฟเชอมโยง
กราฟออยเลอร ตองเปนกราฟเชอมโยง และ มวงจรออยเลอร คอวงจรทผานจดทกจดและ
เสนเชอมบนกราฟ
Ex จงพจารณาวากราฟตอไปนเปนกราฟออยเลอร หรอไม
เปนไมกราฟกราฟออยเลอร เนองจากมดกร
เปนเลขค
เปนกราฟออยเลอร ขอสงเกต กราฟออยเลอรจดทกจดของกราฟตองมดกรเปนเลขคเทานน
Math Kit EBook ห น า 138
กราฟยอย คอ กราฟทประกอบไปดวยจดยอดและ
เสนเชอมของกราฟนนๆ
Ex กราฟ G กราฟยอยของ G
กราฟยอยของ G
กราฟตนไม คอกราฟเชอมโยงทไมมวฏจกร
ปา คอ กราฟทไมมวฏจกร แตไมจ าเปนตอง
เปนกราฟเชอมโยง
ใบ คอจดยอดปาทมดกร เปน 1
เปนตนไมและปา เปนปาแตไมเปนตนไม
กราฟถวงน าหนก คอกราฟเสนเชอมทกเชอมโดย
แตละเสนเชอมมคาน าหนก
กราฟตนไมแผทว คอ ตนไมทเปนกราฟยอย
ของกราฟเชอมโยง
กราฟตนไมแผทวนอยสด คอ ตนไมทมผลรวม
คาน าหนก นอยทสด
ตวอยางท 1 จงพจาณาขอความตอไปน
ก. กราฟ G มดกรจดยอด 1,1,4,4,6 จะมเสนเชอม 8 เสน
ข กราฟ G มจดยอด 7 จด มดกร 5,4,2,2,2,3 และ 3 ตามล าดบ
ค กราฟ G มจดยอดค 6 จดยอดค 3 จด
ขอใด เปนไปไดเกยวกบกราฟ G
วเคราะห ขอ ก ถกเนองจาก ผลรวมทงหมดของดกร เปน 16 ซงเปนสองเทาของจ านวนเสนเชอม
. ขอ ข ผด เนองจาก กราฟ ตองมจดยอดคเปนจ านวนคเทานน
ขอ ค ถก เนองจาก กราฟ ตองมจดยอดคเปนจ านวนคเทานน
ดงนนขอนตอบ ถก ขอ ก และ ค
ตวอยางท 2 ก าหนด กราฟ G ดงรป จ านวนกราฟตนไมแผทวของกราฟ G ทแตกตางกนมกแบบ
1. 4 แบบ
2. 5 แบบ
3. 6 แบบ
4. 7แบบ
Math Kit EBook ห น า 139
วเคราะห ตอบขอ 1 4 แบบ เราสามารถเขยนไดดงน
ตวอยางท 3 จากกราฟ วถ A–Z จงหาผลรวมคาน าหนกของตนไมแผทวทนอยทสดของกราฟน
1.6 2.7 3.8 4.22
วเคราะห ตอบขอ 1 ผลรวมคาน าหนกของตนไมแผทวทนอยทสดคอ 6 เราสามารถเขยนรปตนไม
แผทวนอยทสดไดดงน
Math Kit EBook ห น า 140
ตวอยางท 4 ขอใดตอไปนเปนกราฟตนไม
1
2
3
4
วเคราะห ตอบขอ 2 เนองจาก
ขอ 1 กราฟม วงจร จงไมเปนกราฟตนไม
ขอ 3 กราฟม วงจร จงไมเปนกราฟตนไม
ขอ4 ไมเปนกราฟเชอมโยง กราฟตนไมตองเปนกราฟเชอมโยง
Math Kit EBook ห น า 141
ตวอยางท 5 จงพจารณาวากราฟใดตอไปนจดเปนกราฟออยเลอร
1
2
3
4
วเคราะห ตอบขอ 3 เนองจากจดยอดทกจดเปนดกรเลขค
ขอ 1 ผด เนองจากไมเปนกราฟเชอมโยง
ขอ 2 และ 4 ผดเนองจากดกรของจดยอดบางจดเปนเลขคจงท าใหไมเปนกราฟออยเลอร
Math Kit EBook ห น า 142
ตวอยางท 6 กราฟ G มจดยอดทงหมด 10 จด ซงมดกร ดงน 1,1,3,3,3,5,x–5,x–3,x–2 และ x
ถากราฟมเสนเชอมจ านวน 15 เสนแลว ขอใดกลาวถกตอง
ก.กราฟ G มจดยอดค 6 จด และจดยอดค 4 จด
ข.กราฟ G มผลรวมดกรคอ 30
ค.กราฟ G เปนกราฟออยเลอร
วเคราะห ผลรวมดกรเปน 2 เทาของเชอมเสมอดงนนผลรวมดกรจงเปน 30
1+1+1+3+3+3+5+x–5+x–3+x–2+x = 3
6+4x = 30
4x = 24
x = 6
ดงนน กราฟนจงประกอบดวยดกร 1, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 6
ขอ ก จงผด
ขอ ข ถกเนองจากผลรวมดกรจะเปน 2 เทาของเสนเชอมเสมอ
ขอ ค ผดเนองจากกราฟออลเลอร ทกจดบนกราฟตองเปนดกรเลขค
Math Kit Ebook ห น า 143
บทท 13 สถต
ขอมล ทอยในชวตประจ าวนของเรา เมอเราจ าน าขอมลมาใช
ประโยชน เราใชสถตเปนเครองมอในการวเคราะหขอมล
สถตเชงพรรณนา
คากลางขอมล
การวดการกระจายของขอมล
คามาตรฐาน (Z)
คาเฉลยเลขคณต
มธยฐาน
ฐานนยม
การวดการกระจายแบบสมบรณ
พสย
สวนเบยงเบนควอไทล
สวนเบยงเฉลย
สวนเบยงมาตรฐาน
การวดการกระจายแบบสมพทธ
สมประสทธพสย
สมประสทธสวนเบยงเบนควอไทล
สมประสทธสวนเบยงเฉลย
สมประสทธการแปรผน
การวเคราะหขอมลเบองตน
การแจกแจงปกต
ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล
พนทโคงปกต
เสนตรง
พาราโบลา
เอกซโพเนนเชยล
อนกรมเวลา
Math Kit Ebook ห น า 144
สถต (Statistic) คอ ตวเลขทแสดงขอเทจจรงของขอมล เชน สถตรายไดประชาชาต เปน
ตน สถตมความสมพนธกบชวตประจ าวนของเรา เราเหนไดจาก ขาวตามหนาหนงสอพมพ
วทยกระจายเสยง วทยโทรทศน จะมขอมลตวเลขแสดงใหเหนถงขอเทจจรงตางๆ เชน สถตอตรา
แลกเปลยนคาเงนบาท สถตการซอ–ขายอนพนธในตลาดหลกทรพย สถตรายไดประชาชาต สถต
ผลตภณฑมวลรวมภายในประเทศ สถตอณหภม
ในทางคณตศาสตร สถตหมายถงศาสตรหรอหลกการ และระเบยบวธการทางสถต ซง
ประกอบดวยขนตอนตอไปน
การเกบรวมรวมขอมล
การน าเสนอขอมล
การวเคราะหขอมล
การตความขอมล
การจ าแนกขอมล
ขอมลเชงปรมาณ คอขอมลทอยในลกษณะเปนตวเลข
ขอมลเชงคณภาพ คอขอมลทแสดงลกษณะหรอคณสมบต
แหลงทมาของขอมล
ขอมลปฐมภม คอขอมลทเกบรวบรวมจากแหลงตนก าเนด
ขอมลทตยภม คอขอมลทรวบรวมขอมลจากแหลงอางอง
การเกบรวมขอมล
เกบรวบรวมขอมลจากทะเบยนประวต
เกบรวมรวมขอมลจากการส ารวจ
เกบรวบรวมขอมลจากการทดลอง
เกบรวบรวมขอมลจากการสงเกต
Math Kit Ebook ห น า 145
ประชากรและกลมตวอยาง
ประชากร (population) ในทางสถต มความหมายคอ หนวยตางๆทใชในการเกบรวบรวมขอมล
หรอแหลงทมาของขอมล ประชากรอาจเปนกลมบคคล สถานท เอกสารการพมพ
ประเภทของประชากร
1. ประชากรทเปนจ านวนจ ากด (Finite population) คอประชากรทสามารถนบแจกแจงรายการได
2. ประชากรทมจ านวนอนนต (Infinite population) คอประชากรทไมสามารถนบจ านวนได
คาทแสดงคณสมบตหรอลกษณะของประชากร คอ พารามเตอร (parameter) ไดแก
คาเฉลยเลขคณตเขยนแทนดวย (มว) คาเบยงเบนมาตรฐานประชากรแทนดวย (ซกมา)
กลมตวอยาง (Sample) หมายถงสวนหนงของหนวยขอมลหรอขอมลสวนหนงทเลอกมาจาก
ประชากร
คาเฉลยเลขคณตกลมตวอยาง เขยนแทนดวย (เอกซบาร) คาเบยงเบนมาตรฐานกลมตวอยาง เขยนแทน
ดวย S (เอส)
การวเคราะหขอมลเบองตน
การแจงแจงความถของขอมล (Frequency distribution) เปนวธการทางสถตอยางหนงท
ใชในการจดขอมลทมอยหรอทไดเกบรวบรวมใหไดเปนหมวดหม เพอสะดวกในการวเคราะหขอมล
1.ขอมลทแจกแจงความถของขอมล
อาย จ านวน
30–34 10
35–39 15
40–44 25
45–49 6
50–54 20
1) อนตรภาคชนคอ ชวงความกวางแตละชวง เชน 30 –34
2) ขอบลาง คอ คากงกลางระหวางชวงทนอยทสดในชนนน กบชวงทมากทสดของ
อนตรภาคชนทตดกน และเปนชวงความกวางต ากวา เชน
อนตรภาคชน 35 – 39 ขอบลางคอ 34.5 มาจาก
Math Kit Ebook ห น า 146
1) ขอบบนคอ คอคากงกลางระหวางชวงทมากทสดในอนตรภาคชนนน กบ ชวงทนอย
ทสดของอนตรภาคชนทตดกนและเปนชวงทสงกวาเชน
อนตรภาคชน 35 – 39 ขอบลางคอ 39.5 มาจาก
2) จดกงกลาง ของแตละอนตราภาคชน หาไดจากขอบบนและขอบลางในแตละชน
ขอบบน ขอบลาง
2
เชน จดกงกลางของอนตรภาคชน 35 – 39 คอ
คอ 37
5) ความกวางของอนตรภาคชน คอขนาดของแตละชน หาไดจากผลตางระหวางขอบบน
และขอบลางของอนตรภาพชนนน ขอบบน – ขอบลาง
ความกวางของอนตรภาคชน 35 – 39 คอ 39.5–34.5 = 5
6) ความถสะสมของอนตรภาคชน คอผลรวมของความถของอนตรภาคชน กบความถของ
อนตรภาคชนทมชวงต ากวาทงหมด
7) ความถสมพนธ ของอนตรภาคชน คอ อตราสวนระหวางความถของอนตราภาคชนนน
กบผลรวมของความถทงหมด
ความถสมพนธ = ความถของอนตรภาคชนนน
ผลรวมของความถทงหมด
8) ความถสะสมสมพทธ ของอนตรภาคชน คออตราสวนระหวางความถของอนตรภาคชน
นนกบผลรวมความถทงหมด
ความถสะสมสมพทธ = ความถของอนตรภาคชนนน
ผลรวมของความถสะสมทงหมด
9) รอยละความถสมพทธ คอ ความถสมพทธ x 100
10) รอยละความถสะสมสมพนธ คอ ความถสะสมสมพทธ x 100
Math Kit Ebook ห น า 147
การเขยนแจกแจงโดยใชกราฟ
1.ฮสโทแกรม (Histogram) เปนรปสเหลยมมมฉากทวางเรยงตดกนบนแกนนอน โดยให
แกนนอนแทนเปนคาตวแปร ความกวางของรปสเหลยมคอความกวางของอนตรภาคชน พนทของ
สเหลยมแตละรปแทนความถของแตละอนตรภาคชน
2. รปหลายเหลยมของความถ (frequency polygon) คอรปหลายเหลยมทเกดจากการ
โยงจดกงกลางของยอดแทงของฮสโทแกรมดวยเสนตรง โดยเรมตนและสนสดกงกลางของอนตร
ภาคชน
Math Kit Ebook ห น า 148
3.พนทโคงของความถ (frequency curve) เปนเสนโคงทไดรบจากการปรบดานของรป
หลายเหลยมของความถใหเรยบขน โดยพยายามใหพนทใตโคงทปรบแลว มขนาดใกลเคยง
ของเดม
4.แผนภาพตน – ใบ (Stem – leaf Diagram) เปนการบอกขอมลโดยเขยนหลกสบอยหนา
เสนกน สวนหลกหนวยอยหลงเสนกน
ตวอยาง
0 3 4 5
2 0
4 1 2
11 0 6 8
จากภาพแผนภาพตน – ใบ เราสามารถเขยนสมาชกไดดงน {3,4,5,20,41,42,110,116,118 }
Math Kit Ebook ห น า 149
คากลางของขอมล
1.คาเฉลยเลขคณต
ประชาการ
ขอมลเดยว ขอมลกลม
ขอมลทวไป ไมมการถวงน าหนก
= ∑
ขอมลถวงน าหนก
= ∑
∑
wi คอเลขถวงน าหนกของ xi แตละตว
ขอมลหลายชดน ามาหาคาเฉลยเลขคณต
รวม = ∑
∑
= ∑
x = จดกงกลางอนตรภาคชน
f คอความถ
กลมตวอยาง
ขอมลเดยว ขอมลกลม
ขอมลทวไป ไมมการถวงน าหนก
= ∑
ขอมลถวงน าหนก
= ∑
∑
wi คอเลขถวงน าหนกของ xi แตละตว
ขอมลหลายชดน ามาหาคาเฉลยเลขคณต
รวม = ∑
∑
= ∑
x = จดกงกลางอนตรภาคชน
f คอความถ
ค าแนะน า การคดคาเฉลยเลขคณตขอมลกลมแบบลดทอนขอมล
Math Kit Ebook ห น า 150
คณสมบตของคาเฉลยเลขคณต
1.xmax xmin
2.
3.
4.
มคานอยสดเมอ M =
5.ถา yi = axi + b แลว = a + b
2.มธยฐาน คอขอมลทอยต าแหนงกงกลางของขอมลทเรยงจากนอยไปมาก ใชสญลกษณ Me หรอ Med
ขอมลเดยว Me = Med =
ขอมลกลม Me =
; N คอผลรวมของความถ
Med = L + I 4
∑
5
L คอขอบลางของชนท Me อย f(M) คอความถ ณ ชน Me อย I คอความกวางของอนตรภาคชน
fm คอ ความถ ณ ชน Me
I คอความกวางของอนตภาพชน
3.ฐานนยม คอขอมลทมความถสงสด ใชสญลกษณ Mo หรอ Mod
ขอมลเดยว Mo = ขอมลทซ ากนมากทสด
ขอมลกลม Mo = จดกงกลางอนตรภาคชนทมความถสงสด
i = N
i=
( i − ) = 0
i=
( i − M)
i=
Math Kit Ebook ห น า 151
ตวอยางท 1 นายอ านวย สอบไดคะแนนตามรายวชาไดดงน
รายวชา คะแนนทได
วชาสงคมศกษา 68
วชาสขศกษา 68
วชาศลปะ 85
วชาคณตศาสตร 95
จงหาคะแนนเฉลยและมธยฐาน
คะแนนเฉลย คอ
= 79 คะแนน
มธยฐาน ต าแหนงคอ
=
= 2.5 ซงกคอ
68
= 76.5
ตวอยางท 2 จงหาคะแนนเฉลย ฐานนยมและมธยฐานจากขอมลตอไปน
จากการส ารวจกลมตวอยางของรายวชาหนงในภาคเรยนท 1 ไดชวงคะแนนของนกเรยนดงน
ชวงคะแนน จ านวนนกเรยน
50 – 60 28
60 – 70 16
70 – 80 38
80 – 90 6
วธท า
ชวงคะแนน จ านวนนกเรยน
(f)
ความถสะสม x (จดกงกลางอนตภาพชน) y = x – 65
50 – 60 28 28 55 –10
60 – 70 16 44 65 0
70 – 80 38 82 75 10
80 – 90 6 88 85 20
ผลรวม 88 242 280 20
y = x – 65 ดงนน = – 65
=
= 5
= + 65 = 5 + 65 = 70
คะแนนเฉลยคอ 70
Math Kit Ebook ห น า 152
ฐานนยมคอ 75
ต าแหนงมธยมฐาน
=
= 44
จากสตรมธยมฐาน คอ 59.5 + 10.
/
= 59.5 +10
= 69.5
4.คาเฉลยเรขาคณต (geometric mean)
ถา x1, x2, x3, …, xn เปนขอมล N จ านวนซงเปนจ านวนบวกทกจ านวน
คาเฉลยเรขาคณต G.M. คอ √
เนองจากการหาคาเฉลยเรขาคณตตองค านวณหากรณฑท N ของจ านวนซงท าใหการใช
สตรดงกลาวไมสะดวกในการหาในกรณทมจ านวนขอมลมคามากๆ ดงนนเพอความสะดวกในการ
คดจงใชลอการทมชวยในการค านวณ
ขอมลทไมแจกแจงความถ
log G.M. =
ขอมลทแจกแจงความถ
log G.M. =
โดยท Xi คอจดกงกลางของอนตรภารชนท i
fi คอแทนความถของขอมลอนตรภาคชนท i
k คอจ านวนอนตรภาคชน
5.คาเฉลยอารมอนก (harmonic mean)
ถา x1, x2, x3, …, xn เปนขอมล N จ านวนซงเปนจ านวนบวกทกจ านวน
1
N log Xi
n
i=
1
N fi
k
i=
log Xi
Math Kit Ebook ห น า 153
คาเฉลยอารมอนก H.M. คอ
{
}
=
ส าหรบขอมลทแจกแจงความถ
คาเฉลยอารมอนก H.M. คอ
{
}
=
การวดต าแหนงขอมล
1.ควอไทล (Qr) คอคาของขอมลทถกแบงออกเปน 4 สวนเทาๆกน เมอเรยงขอมลจากนอยไปมาก
มควอไทลทงหมด 3 คา คอ Q1, Q2, Q3
2.เดไซน (Dr) คอคาของขอมลทถกแบงออกเปน 10 สวนเทาๆกน เมอเรยงขอมลจากนอยไปมาก
มเดไซนทงหมด 9 คา คอ D1, D2, D2, ... , D9
3.เปอรเซนตไทล(Pr) คอคาของขอมลทถกแบงออกเปน 100 สวนเทาๆกน เมอเรยงขอมลจาก
นอยไปมาก มเปอรเซนตไทลทงหมด 99 คา คอ P1, P2, P3, … ,P99
ขอมลเดยว
ต าแหนง Qr =
( )
ต าแหนง Dr =
( )
ต าแหนง Pr =
( )
ขอมลกลม
ต าแหนง Qr =
( )
ต าแหนง Dr =
( )
ต าแหนง Pr =
( )
หรอใชสตรหา Qr, Dr, Pr (เฉพาะขอมลกลม)
ขอบลาง+ความกวางอนตรภาคชน(ต าแหนง − ความถสะสมชนกอนหนา
ความถ ณ ชนนน)
การวดการกระจายของขอมล
N
∑1𝑥𝑖
fi𝑥𝑖
k
i=
โดยท Xi คอจดกงกลางของ
อนตรภารชนท i
fi คอแทนความถของขอมล
อนตรภาคชนท i
k คอจ านวนอนตรภาคชน
Math Kit Ebook ห น า 154
การวดการกระจายของขอมลแบงออกไดเปน 2 แบบคอ
1.การวดการกระจายแบบสมบรณ คอการวดการกระจายของขอมลชดเดยว ไมสามารถน ามา
เปรยบเทยบได
2.การวดการกระจายแบบสมพทธ คอการวดการกระจายของขอมลแตชดเพอน าเอาคาทไดไปใช
เปรยบเทยบการกระจายของขอมลกบขอมลชดอน
การวดการกระจายแบบสมบรณ
1.พสย = คามากสด – คานอยสด
2.สวนเบยงเบนควอไทล (QD)
=
3.สวนเบยงเบนเฉลย (MD)
ขอมลเดยว
MD = ∑
ขอมลกลม
MD = ∑
เมอ x คอจดกงกลางชน
4.สวนเบยงเบนมาตรฐาน (SD)
ขอมลเดยว
ประชากร =√∑( )
= √
∑
−
กลมตวอยาง SD =√∑( )
= √∑
ขอมลกลม
การวดการกระจายแบบสมพทธ
1.สมประสทธพสย = คามากสด – คานอยสด
คามากสด คานอยสด
2.สมประสทธสวนเบยงเบนควอไทล
−
3.สมประสทธสวนเบยงเบนเฉลย
หรอ
4.สมประสทธการแปรผน
ประชากร
หรอกลมตวอยาง
Math Kit Ebook ห น า 155
ประชากร =√∑ ( )
=√∑
−
กลมตวอยาง SD
SD =√∑ ( )
= √
∑
เรยกวาความแปรปรวน (Variance) หรอใช
สญลกษณ
ขอควรร สวนเบยงเบนมาตรฐานประมาณ
จากกฎ 95% โดยพจารณาขอมลโดยพจารณาจากพสย ถาประมาณ 95% ของขอมลทงหมดอยในชวง
( – 2s, + 2s) แลวมคาประมาณ 4 เทาของสวนเบยงเบนมาตรฐาน
คอ คาพสย
4
สมบตของสวนเบยงเบนมาตรฐาน
1.สวนเบยงเบนมาตรฐานมคาเปนบวกเสมอ ในกรณทสวนเบยงเบนมาตรฐานมคาเปน 0 แสดงวา
ขอมลชดนน ในแตละคาไมแตกตางจากคาเฉลยเลขคณต
2.สวนเบยงเบนเปนการวดการกระจายทใหคาลกษณะขอมลไดละเอยดและดทสดและเปนการวด
การกระจายทใชกนมากทสด
3.ถาน าคาคงตว (k) ไปบวกหรอลบขอมลทกคาในขอมล สวนเบยงเบนมาตรฐานจะมคาเทากบ
สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดเดม
4.ถาน าคาคงตว (k) ไปคณทกคาในขอมล สวนเบยงเบนมาตรฐานจะมคาเทากบ
Sใหม = | k | Sเดม
แผนภาพกลอง (Box – plot)
Math Kit Ebook ห น า 156
โดยแตละสวนจะมจ านวนประชากรรอยละ 25 ของประชากรทงหมด
ความสมพนธระหวางการแจกแจงความถ คากลางและการกระจายของขอมล
จากภาพเปนการแจกแจงในรปของโคงปกต
โคงเบขวา
โคงเบซาย
คามาตรฐาน (standard value :Z)
Math Kit Ebook ห น า 157
=
หรอ =
คณสมบตของคามาตรฐาน
1. ∑ = 0 เสมอ
2. คาเฉลยเลขคณตของ z มคาเปน 0 เสมอ
3. สวนเบยงเบนของ z คอ 1 เสมอ
4. ∑ ของขอมลประชากรจะเปน N แต ∑ ของกลมตวอยางจะเปน N – 1
พนทใตเสนโคงปกต
เสนโคงแจกแจงปกตจะมลกษณะสมมาตร คอพนททางดานซายของ คาเฉลยเลขคณต กบพนท
ทางขวาของคาเฉลยเลขคณต เทากนคอ 50% ของพนททงหมด
68.27%
95.45%
99.73%
Z
Math Kit Ebook ห น า 158
พนทใตเสนโคงปกต
คา z 0 ถง 1 มคาประมาณ 0.3413
คา z 0 ถง 2 มคาประมาณ 0.4772
คา z 0 ถง 3 มคาประมาณ 0.4987
ความสมพนธเชงฟงกชน
ความสมพนธเชงฟงกชน แบงออกเปน 3 ประเภท คอแบบ เสนตรง พาราโบลา และ
เอกซโพเนนเซยล ปกตขอสอบ Ent จะออกแบบเสนตรงเปนหลก
1.ความสมพนธเชงฟงกชนแบบเสนตรง
มสมการเปน = ax +b (ท านายคา y)
จากสมการปกต คอ ∑ = ∑ N ––––– (1)
∑ = ∑ ∑ – (2)
ทมาของสมการปกต (1) เกดจากสมการท านาย y = ax + b คณดวยซกมา (∑)
∑ y = ∑ (ax + b)
∑ y = a ∑ x + ∑ b
∑ y = a ∑ x + N(b) จากสมบตของซกมาคาคงท
ทมาของสมการปกต (2) เกดจากสมการท านาย y = ax + b คณดวยซกมา (∑ x)
∑ xy = ∑ (ax + b)
∑ xy = a ∑ x2 + b ∑ x
สมการท านายคา x คอ = ay+b (ท านายคา x)
ขอแนะน า สมการท านาย y และสมการท านาย x จะตดกนทจด ( )
ถาโจทยก าหนด มา แลวก าหนดใหหาคา x ตอบหาคาไมได
Math Kit Ebook ห น า 159
2.ความสมพนธเชงฟงกชนแบบพาราโบลา
มสมการเปน = โดยท a ไมเทากบ 0
จากสมการปกต คอ ∑ = ∑ ∑ N ––––––––––––– (1)
∑ = ∑ ∑
∑ –––––– (2)
∑ = ∑
∑ ∑
––– (3)
ทมาของสมการปกต (1) เกดจากสมการท านาย y = ax2 + bx + c คณดวยซกมา (∑)
∑ y = ∑ (ax2 + bx + c)
∑ y = a ∑ x2 + b ∑ x + ∑ c
∑ y = a ∑ x2 + b ∑ x + Nc จากสมบตของซกมาคาคงท
ทมาของสมการปกต (2) เกดจากสมการท านาย y = ax2 + bx + c คณดวยซกมา (∑ x)
∑ xy = ∑ (ax2 + bx + c)
∑ xy = a ∑ x3 + b ∑ x2 + c ∑ x
ทมาของสมการปกต (2) เกดจากสมการท านาย y = ax2 + bx + c คณดวยซกมา (∑ x2)
∑ xy = ∑ (ax2 + bx + c)
∑ xy = a ∑ x4 + b ∑ x3 + c ∑ x2
3.ความสมพนธเชงฟงกชนแบบเอกซโพเนนเซยล
มสมการเปน y=abx หรอ log = log a + log b
จากสมการปกต คอ ∑ log = (log )∑ N log
∑ log = (log )∑ (log )∑
ทมาของสมการปกต (1) เกดจากสมการท านาย log y = log a + log b คณดวยซกมา (∑)
∑ log y = ∑ (log a + log b)
∑ log y = log a ∑ x + ∑ log b
∑ Log y = log a ∑ x + N(log b) จากสมบตของซกมาคาคงท
ทมาของสมการปกต (2) เกดจากสมการท านาย y = ax + b คณดวยซกมา (∑ x)
∑ xy = ∑ (log a + log b)
∑ xlog y = log a ∑ x2 + log b ∑ x
x เปนตวแปรอสระหรอตวแปรตน y เปนตวแปรตาม a,b,c, m เปนคาคงท
Math Kit Ebook ห น า 160
ตวอยางท 1 ถาสมการแสดงถงความสมพนธเชงฟงกชนระหวางตนทนกบจ านวนสนคาทผลตคอ
y = 2x + 5 โดยท x คอจ านวนสนคามหนวยเปนรอยชน y คอตนทนมหนวยเปนพนบาท จง
พจารณาขอความตอไปน
ก.ถาตนทนเทากบ 7,000 บาทคาดวาผลตสนคาได 100 ชน
ข.ถาผลตสนคาเพม 200 ชนจะตนทนจ านวน 4,000 บาท
ขอใดถกตอง
1.ขอ ก ถกเทานน 2. ถกทงสองขอ 3. ขอ ข ถกเทานน 4. ผดทงสอง 2 ขอ
วธท า พจารณาขอ ก จากสมการทโจทยก าหนดใหเปนสมการท านายตนทนโดยใชจ านวนสนาท
ผลตเปนตวแปรหลก ดงนนขอนจงผดเพราะเราตองสรางสมการหาคา x
พจารณาขอ ข เมอ x = 200 y = 2(200) + 5
y = 405
ขอ ข จงผด
ดงนนขอนจงตอบ ขอ 4 ผดทง 2 ขอ
ตวอยางท 2 จงพจาณาขอความตอไปน
สมการท านาย y = 0.5(x)2 + 1000x − 3000
ก.สมการเชงสมพนธเชงฟงกชนเปนสมการพาราโบลา
ข.สมการดงกลาวเมอ x = 10 จะมคา y เปนจ านวนเตมลบ 32 เทาของผลคณของค าตอบ
สมการ 3x3 + 6x2 − 12x − 24 =0 และ √1024
ค.สมการดงกลาวเมอคา x = 5 คา y จะมคาเทากบ 2012.5
1.ถกขอ ก และ ข 2.ถกขอ ก และ ค 3.ถกทง 3 ขอ 4.มขอถกเพยง 1 ขอ
วธท าพจารณา ขอ ก ถกตองเพราะเปนสมการทมก าลงเปนก าลง 2 ตามรปแบบของสมการแบบ
พาราโบลา
ขอ ข พจารณาสมการท านายเมอ x = 10
y = 0.5(10)2 +1000(10) – 3000
= 50 + 10000 – 3000
= 7050
Math Kit Ebook ห น า 161
พจารณาสมการ 3x3 + 6x2 12x 24 = 0
x2(3x + 6) − 4(3x + 6) = 0
(x2 − 4)(3x + 6) = 0
(x − 2)(x +2)(3x + 6) = 0
x = 2, −2
ผลคณค าตอบของสมการ คอ –4
จ านวนเตมลบ 32 เทาของผลคณค าตอบของสมการและ √1024
คอ 32 x – 4 x √1024 = −128 x 32
= −4096
ดงนนขอ ข จงผด
ขอ ค พจารณาสมการท านายเมอ x = 5
y = 0.5(5)2 +1000(5) – 3000
= 12.5 + 5000 – 3000
= 2012.5
ดงนนขอ ค จงถก
ดงนนขอนตอบขอ 2 ถกขอ ก และ ค
Math Kit Ebook ห น า 162
บทท 14 ล าดบอนกรม
ล าดบ คอเซตของจ านวนทเรยงตวอยางเปนระบบระเบยบ
ภายใตเงอนไข สมาชกแตละตวจะเรยกวาพจน อนกรมคอ
ผลบวกของพจนทกพจน
ล าดบ
อนกรม
ล าดบจ ากด
ล าดบอนนต
เลขคณต
เรขาคณต
ผสม
เลขคณต
เรขาคณต
ผสม
ประเภทอนกรม
อนกรมเลขคณต
อนกรมเรขาคณต
อนกรมผสมเรขาคณต
อนกรมเศษสวนยอย
อนกรมจ ากด
อนกรมอนนต
อนกรมเลขคณต
อนกรมเรขาคณต
อนกรมผสม
อนกรมเศษสวนยอย
อนกรมเรขาคณตอนนต
อนกรมผสมเรขาคณตอนนต
อนกรมเศษสวนยอยอนนต
Math Kit Ebook ห น า 163
ล าดบ (Sequence) คอเซตของจ านวนทเรยงตวอยางเปนระบบระเบยบ ภายใตเงอนไข
สมาชกแตละตวจะเรยกวาพจน (Term)
ล าดบทวไปแบงไดเปน
1.ล าดบจ ากด (finite sequence)
2.ล าดบอนนต (infinite sequence)
Ex
1. 2, 4, 6, 8, 10, …,100
2. sin 30 + sin 60 + sin 90 + …
จากรปขางตนพบวา ล าดบรปจ านวนจดมความสมพนธดงน
รปท 1 2 3 4 5
จ านวนจด 1 3 6 10 15
จากตารางดงกลาว แสดงใหเหนความสมพนธของล าดบของรปและจ านวนจด โดยม
ความสมพนธทเปนฟงกชนโดยจ านวนรปทเปนโดเมน {1,2,3,4,5}และมจ านวนจดเปนเรนจ
{1,3,6,10,15} ของฟงกชน
นยาม ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวกหรอสบเซตของจ านวนเตมบวกในรป
{1, 2, 3, 4, … , n}
ล าดบท 1 2 3 4 5 ... n …
จ านวน 1 3 5 7 9 … 2n – 1 ...
จากตารางแสดงใหเราเหนถงความสมพนธโดยล าดบเปนโดเมน และมเรนจซงมความ
เกยวของกบโดเมน
เชน ล าดบท 5 (โดเมนคอ 5 ซงเรนจมความสมพนธกบโดเมนคอ 2n – 1)
จ านวนซงมความสมพนธกบล าดบคอ 2(5) – 1 = 9
Math Kit Ebook ห น า 164
ในการเขยนล าดบ จะเขยนเฉพาะสมาชกของเรนจเรยงกนไปตามกลาวคอถาa เปนล าดบ
จ ากดจะเขยนแทนดวย a1, a2, a3, … , an ในกรณทเปนล าดบอนนต a1, a2, a3, … , an , ...
เรยก a1 วา พจนท 1 ของล าดบ
a2 วา พจนท 2 ของล าดบ
a3 วา พจนท 3 ของล าดบ
an วา พจนท n ของล าดบ หรอพจนทวไป
ตวอยางของล าดบ
1) 7, 14 , 21 , 28 , 35 , 42 เปนล าดบจ ากดซงมคาเพมขนคงท เพมขนครงละ 7
2) 3, 6 , 12 , 24 , … เปนล าดบอนนต มคาเพมขนคงท เพมขนเปน 2เทา* ของพจนหนา
3) an = 2n + 3 เปนล าดบอนนต มคาเพมขนคงท เพมขนเปน 2เทา ของพจนหนา
4) an = (n+1)2 เปนล าดบอนนต ซงคาผลตางครงท 2เพมขนคงท
* 2 เปนอตราสวนรวม ซงคอ อตราสวนระหวางพจนท n +1 กบ พจนท n มคาคงตว
Math Kit Ebook ห น า 165
การหาพจนทวไปของล าดบ (an)
ในการหาพจนทวไปของล าดบ ถาระหวางพจนมผลตางเปนจ านวนคงตว (1 ครง)
รปแบบพจนทวไป คอ an = an+b ; a,b R
ตวอยาง จงพจารณาล าดบตอไปนแลวหาพจนทวไป 1, 3, 5, 7, …
วธท า แทนคา n ถา n = 1 แลว a(1)+b = 1 ––––––– (1)
แทนคา n ถา n = 2 แลว a(2)+b = 3 ––––––– (2)
(2) – (1) a = 2
แทน a ใน (1) 2 + b = 1
b = –1
ดงนนพจนทวไป an = 2n – 1
ในการหาพจนทวไปของล าดบ ถาระหวางพจนมอตราสวนรวม(r)เปนจ านวนคงตว (1 ครง)
รปแบบพจนทวไป คอ an = arn+b ; a,b R
ตวอยาง จงพจารณาล าดบตอไปนแลวหาพจนทวไป 4,8,16,32, …
พจารณาจากขอมลท าใหเราทราบวาล าดบตอไปนม อตราสวนรวมเปน 2
วธท า แทนคา n ถา n = 1 แลว a(2)1+b = 4 ––––––– (1)
แทนคา n ถา n = 2 แลว a(2)2+b = 8 ––––––– (2)
(2) – (1) 2a = 4 ดงนน a = 2
แทน a ใน (1) 2(2)1+b = 4
b = 0
ดงนนพจนทวไป an = 2(2)n หรอ 2n+1
ในการหาพจนทวไปของล าดบ ถาระหวางพจนมผลตางเปนจ านวนคงในการหาครงท 2
รปแบบพจนทวไป คอ an = an2+bn+c ; a,b,c R
Math Kit Ebook ห น า 166
ตวอยาง จงพจารณาล าดบตอไปนแลวหาพจนทวไป 5, 18, 35, 81, …
วธท า แทนคา n ถา n = 1 แลว a(1)2+b(1)+c = 5 ––––––– (1)
แทนคา n ถา n = 2 แลว a(2)2+b(2)+c = 18 ––––––– (2)
แทนคา n ถา n = 3 แลว a(3)2+b(3)+c = 35 ––––––– (3)
(2) – (1) 3a+b = 13 ––––––– (4)
(3) – (2) 5a+b = 17 ––––––– (5)
(5) – (4) 2a = 4
a = 2
แทนคา a ใน (4) b = 7
แทนคา a และ b ใน (1) 2(1) + 7 + c = 5
c = –4
ดงนนพจนทวไป an = 2n2+7n – 4
ในการหาพจนทวไปล าดบ ซงมอตราสวนรวม (อตราสวนระหวางพจนท n +1 กบ พจนท n) คงท
ตวอยาง จงพจารณาล าดบตอไปนแลวหาพจนทวไป 2, 4, 8, 16, …
พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบจะเหนวา
พจนท 1 2
พจนท 2 4 = 2 x 2 = 22
พจนท 3 8 = 4 x 2 = 23
พจนท 4 16 = 8 x 2 = 24
พจารณาความสมพนธ 5 พจนแรก จะได พจนท n คอ 2n
พจนทวไปของล าดบตอไปนคอ 2n
Math Kit Ebook ห น า 167
ประเภทของล าดบ
1.ล าดบเลขคณต(arithmetic sequence)
คอล าดบทมผลตางของพจนทอยตดกนคงท
an = a1 + (n – 1)d d คอผลตางรวม
(common difference)
2.ล าดบเรขาคณต (geometric sequence)
คอล าดบทอตราสวนระหวางพจนทตดกนกบพจน
ขางหนามคาคงท
an=a1rn–1 r คออตราตางรวม(ratio)
Ex จงหาพจนท 10
1.1, 3, 5, … เปนล าดบเลขคณต d คอ 2
a10 = 1+(10–1)2 จะได 19
2. 1, 4, 16, … เปนล าดบเรขาคณต
อตราสวนรวมคอ 4
a10 = 1(4)10–1 จะได 262144
ชนดของล าดบ
1.ล าดบคอนเวอรเจนตหรอล าดบลเขา
(Convergent sequence) คอล าดบทหา
ได l n
ไดแก 1.ล าดบเลขคณตท ผลตางรวม(d) มคาเปน 0
2.ล าดบเราขาคณตทอตราสวนรวม(r)เปน 1
3.ล าดบเรขาคณตท | r | < 1
4.ล าดบใดๆ ทสามารถหาคา l n
ได
2.ล าดบไดเวอรเจนตหรอล าดบลออก (divergent
sequence) คอล าดบทหา
l n
ไมไดไดแก
1.ล าดบเลขคณตทผลตางรวม(d) มคาไมเปน 0
3.ล าดบเรขาคณตท | r | 1
4.ล าดบใดๆ ทสามารถหาคา l n
ไมได
Ex
1.
ใหใชตวดกรมากทสดหารทงเศษและสวน ดวย
แลวจะไดค าตอบเปน
หรอ 3
จงเปนล าดบคอนเวอรเจนต
2.
เราไมสามารถหาคาของ ลมตได เพราะไมสามารถ
ใชตวดกรมากทสดหารทงเศษและสวนได
จงเปนล าดบไดเวอรเจนต
คณสมบตของ l n
1. l n
c โดยท c เปนคาคงท แลว l n
c = c
2. l n
can = c l n
an
3. l n
(an+ bn) = l n
an + l n
bn
4. l n
(an – bn) = l n
an – l n
bn
5. l n
(an bn) = l n
an l n
bn
6. l n
(
) =
l
l
และ l
n bn ≠ 0
l n
6𝑛 17𝑛 − 1
2𝑛 − 1
l n
6𝑛 17𝑛 − 1
2𝑛 − 1
Math Kit Ebook ห น า 168
ตวอยางท 1 พจนแรกทเปนจ านวนเตมลบของล าดบเลขคณต 200, 182, 164, 146, ... มคาตาง
จากพจนท 10 เทากบขอใดตอไปน (Ent)
1. 54 2.38 3.22 4.20
วธท า ล าดบเลขคณตชดนม – 18 เปนผลตางรวม ใชสตร an = a1 + (n – 1)d
หาพจนท 10 a10 = 200 + (9)(–18)
= 200 – 163
= 38
พจารณาพจนแรกทเปนจ านวนเตมลบ
38, 20, 2, –16
38 – (–16) = 54
ตอบ ขอ 1
ตวอยางท 2 ถาผลคณของล าดบเรขาคณต 3 จ านวนทเรยงตดกนเทากบ 343และผลบวกของทง
สามจ านวนเทากบ 57 แลวคามากทสดในบรรดา 3 จ านวนนเทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53)
วธท า (a1r–1)(a1)(a1r) = 343
a13 = 343
a1 = 7
เมอเราน าคาทไดมาเขยนใหม a1 + a2 + a3 = 57
a1 + 7 + a3 = 57
7r–1 + 7r = 50
น า r คณตลอด 7 + 7r2 = 50r
7r2 – 50r +7 = 0
(7r – 1)(r – 7) = 0
r = 7,
เราสามารถเขยนล าดบไดดงน 1,7,49 หรอ 49,7,1
ดงนนคามากทสดคอ 49
Math Kit Ebook ห น า 169
ตวอยางท 3 จงหาคาตอไปน l n
วธท า ใหน า n ก าลงดกรสงสดหารทงเศษและสวน
จะได l n
( )
( ) = l n
(
)
(
)
= l n
(
)
(
)
=
ตอบ
ตวอยางท 4 จงหาคาตอไปน l n
(Ent)
วธท า ใหจดรปของลมต
จะได l n
แลวน า ฐานทมากทสดหารทงเศษและสวน
จะได l n
( )
( )
=
= 25
ตอบ 25
ตวอยางท 5 จงหาคาตอไปน l n
( )( in )
วธท า พจารณาจากลมตพบวาตวสวนมการเพมขนเรวกวาตวเศษเพราะฉะนนแลวลมตจะมคา
เขาใกลศนย พจารณาฟงกชนลอการทมเปนฟงกชนทเพมชามากซงคณกบฟงกชนไซนซงมคาอย
ระหวาง –1 ถง 1 จงท าใหตวเศษมคานอยมาก
ตอบ 0
ขอควรร
อตราการเพมขน แฟกทอเรยล > ฟงกชนเอกซโพเนนเซยล > พหนาม > ฟงกชนลอการรทม
0 0
0 0
Math Kit Ebook ห น า 170
อนกรม (Series) เปนพจนของล าดบทเขยนตอเนองในรปผลบวก Sn
อนรมทมตนก าเนดจากล าดบจ ากด จะเปนอนกรมจ ากด อนกรมทมตนก าเนดจากล าดบอนนตจะ
เปนอนกรมอนนต
ตวอยางท 6 จงหาคาผลบวกของล าดบตอไปน 1 + 2 + 4 + 8 +... + a7
วธท า ใหหารปพจนทวไป จากล าดบเปนล าดบเรขาคณตมอตราสวนรวมเปน 2
จะไดพจนทวไปคอ a1(r)n–1 หรอกคอ 1(2)6
เราสามารถเขยนแจกแจงสมาชกไดคอ 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64
สญลกษณแทนการบวก
เพอความสะดวกในการเขยนอนกรม เมอมจ านวนพจนมากจะท าใหเขยนไดล าบาก ดงนน
นกคณตศาสตรจงก าหนดตวอกษรกรก ∑ เรยกวาซกมาเปนสญลกษณแทนการบวก หรออาจ
กลาววา a1 + a2 + a3 + … + an สามารถเขยนแทนดวย
n
=
อานวา การบวก ai เมอ i มคาตงแต 1 ถง n
ตวอยางการใชสญลกษณแทนการบวก
1.
=
แทน 1 + 2 + 3 + 4 + 5
2
=
แทน 12 + 22 + 32 + 42 + 52
3 (2 1)
=
แทน (2+1) + (4+1) + (6 + 1)
ซงมคาเทากบ 3 + 5 + 7
4 (2 1)
=
แทน (2+1) + (4+1) + (6 + 1) + (8+1) + …
Math Kit Ebook ห น า 171
ตวอยางท 7 จงหาผลบวก 20 พจนแรกของอนกรม
(2 5)
=
วธท า ให Sn =
n = (2 5)
n
i=
= (4 20 25)
n
i=
= 4 20
=
25
=
)
n
i=
= 4 20
=
25( ))
n
i=
= 4 4 (2 1)( 1)
65 20 (
( 1)
2) 25
n = 4 420(2(20) 1)(20 1)
65 20 (
20(20 1)
2) 25(20)
= 4 42(41)(21)
65 20 (
20(21)
2) 500
= 11480 4200 500
= 16180
นนคอผลบวก 20 พจนแรกของอนกรมตอไปน เทากบ 16,180
อนกรมทส าคญ
1. ∑ = 1+2+3+…+n = ( )
2. ∑ 2 = 1+22+32+…+n2 =
( )( )
3. ∑ 3 = 1+23+33+…+n3 =0
( )
1
ขอควรระวง
=
เปนอนกรมทเรมตนจาก –1 บวกไปถงพจนท n
Math Kit Ebook ห น า 172
คณสมบตของ ∑
1.
=
= ( )
2. f( )
n
i=
= f( )
n
i=
3. ,f( ) g( )-
n
i=
= f( )
n
i=
g( )
n
i=
อนกรมเลขคณต คอผลบวกของล าดบเลขคณต
Sn =
(a1 + an) =
(2a1 – (n–1)d)
Ex จงหา Sn ของ 1 + 3 + 5 +... +(2n–1)
Sn =
[1+(2n–1)]
=
[2n]
= n2
อนกรมเรขาคณต คอผลบวกของล าดบเรขาคณต
Sn = ( )
เมอ r < 1
= ( )
เมอ r > 1
Ex จงหา Sn ของ 2 + 6 + 18 + ...
Sn = ( )
= ( )
= 2(3n–1)
อนกรมอนนต [Infinite Series] คอ ผลบวกของพจนทกพจนในอนกรมอนนต หรอเรยกวา ลมต
ของผลบวกยอยตวท n เมอ n เขาสคาอนนต
ขอย าเตอน อนกรมอนนต ไมสามารถ หา S∞ เพราะเปนอนกรมไดเวอรเจนต
S∞ =
อนกรมคอนเวอรเจอรเจนต คอ อนกรมท S∞ หาคาได
อนกรมไดเวอรเจนต คออนกรมท S∞ หาคาไมได
l 𝑛
n = 𝑎𝑖
𝑖=
Math Kit Ebook ห น า 173
อนกรมเรขาคณตอนนต
S∞ =
และ | r | < 1
ตวอยางท 8 จงหาผลบวกของอนกรมตอไปน
S∞ = 8 + 4 + 2 + 1 +
+ …
วธท า a1 = 8 r =
=
= 4
ตวอยางท 9 จงหาผลบวก 8 พจน ของอนกรม 6 + 6.5 +7.25 + 8.125 + ...
วธท า จากอนกรมทโจทยก าหนดใหเปนอนกรมผสมเรขาคณต ซงผสมกบอนกรมเลข
คณต ซงเราสามารถแยกไดเปนอนกรม 2 ชด
อนกรมชดท 1 5 + 6 + 7 + 8+... +12 เปนอนกรมเลขคณต
S8 =
[5+12]
= 68
อนกรมชดท 2 1 + 0.5 + 0.25 +0.125 + ... เปนอนกรมเรขาคณต
S8 = [ .
/ ]
=0
1
=
น าอนกรมทง 2 ชดมาบวกกนจะได 69
Math Kit Ebook ห น า 174
บทท 15 แคลคลสพนฐาน
แคลคลส ถกใชประโยชนทงทางวทยาศาสตรและ
เทคโนโลยอยางกวางขวางซงเปนพนฐานในการค านวณขนสง
ตอไป
ลมต (lim) และความตอเนอง
อนพนธของฟงกชน (อตราการเปลยนขณะใดๆ )
ปฏยานพนธของฟงกชน
อตราการเปลยนเฉลย
อตราการเปลยนขณะใดๆ เมอ y เทยบ x
ความชนเสนโคง
คาสงสด คาต าสด
ประยกตอนพนธ
ปรพนธจ ากดเขต
ปรพนธไมจ ากดเขต
พนทใตกราฟ
Math Kit Ebook ห น า 175
แคลคลส (Calculus) เปนสาขาหนงของคณตศาสตรซงพฒนามาจากพชคณต เรขาคณต
แคลคลสมตนก าเนดจากสองแนวคดหลก ดงน
แนวคดแรกคอ แคลคลสเชงอนพนธ (Differential Calculus) เปนทฤษฎทวาดวยอตรา
การเปลยนแปลง และเกยวของกบการหาอนพนธของฟงกชนทางคณตศาสตร ตวอยางเชน การ
หา ความเรว, ความเรง หรอความชนของเสนโคง บนจดทก าหนดให. ทฤษฎของอนพนธหลาย
สวนไดแรงบนดาลใจจากปญหาทางฟสกส
แนวคดทสองคอ แคลคลสเชงปรพนธ (Integral Calculus) เปนทฤษฎทไดแรงบนดาลใจ
จากการค านวณหาพนทหรอปรมาตรของรปทรงทางเรขาคณตตาง ๆ ทฤษฎนใชกราฟของฟงกชน
แทนรปทรงทางเรขาคณต และใชทฤษฎปรพนธ (หรออนทเกรต) เปนหลกในการค านวณหาพนท
และปรมาตร
พนฐานของแคลคลส มฐานมาจาก แนวคดของฟงกชน และลมต มนรวมเทคนคของ
พชคณตพนฐาน และการอปนยเชงคณตศาสตร การศกษาพนฐานของแคลคลสสมยใหม รจกกน
ในชอ การวเคราะหเชงจรง ซงประกอบดวย นยามทเครงครด และบทพสจนของทฤษฎของ
แคลคลส เชนทฤษฎการวด และการวเคราะหเชงฟงกชน
การศกษาลมตในบทเรองแคลคลส เปนการศกษาคาเขาใกล ไมใชคานนโดยตรง
ตวอยางท 1 จงแสดงคา f(x) = 2x เมอ x เขาใกล 2 แต x ≠ 2
x f(x)
1.0
1.5
1.8
1.9
1.99
1.999
2
3
3.6
3.8
3.98
3.998
x f(x)
3
2.5
2.1
2.05
2.01
2.001
6
5
4.2
4.1
4.02
4.002
จากตารางเมอ x เขาใกล 2 f(x) จะมคาเขาใกล 4
Math Kit Ebook ห น า 176
ลมต คอคาเขาใกลคาคงตวจ านวนหนง
l
f( ) (ลมตทางขวาของ a ) คอ ลมตของ
ฟงกชนเมอ x มคาเขาใกล a ทางขวา (x > a)
l
f( ) (ลมตทางซายของ a ) คอ ลมตของ
ฟงกชน เมอ x มคาเขาใกล a ทางขวา (x < a)
l
f( ) จะหาไดกตอเมอ
l
f( ) = l
f( )
ลมตทางซาย ตองเทากบลมตทางขวา
l
f( ) = 2
l
f( ) = 1
ดงนนเราไมสามารถหาคา l
f( )
ความตอเนองของฟงกชน (Continuity of function)
ฟงกชนจะตอเนองกตอเมอ l
f( ) = l
f( ) = f(x)
ซงสามารถตรวจสอบไดจากการวาดกราฟ แลวพจาณาลมตดานซาย ดานขวาและคาของฟงกชน
ฟงกชนตอเนองบนชวง (a,b) เมอเปนฟงกชนตอเนองททกๆจดในชวง (a,b)
ฟงกชนตอเนองบนชวง [a,b] เมอเปนฟงกชนตอเนองททกๆจดในชวง [a,b] และลมตทางขวา
ของ a = f(a) และลมตทางซายของ b = f(b)
จงพจารณาฟงกชนตอไปนเปนฟงกชนตอเนองหรอไม
f(x) {
− 3 1−2 = 1
1
วธท า หา l
f( ) 1 – 3 = –2
หา l
f( )
=
= –2
หา f(1) –2(1) = –2
ฟงกชนตอไปนเปนฟงกชนตอเนอง
a a–
1
2
a+
Math Kit Ebook ห น า 177
ตวอยางท 2 จงตอบค าหาคาตอไปนโดยพจารณาจากกราฟ
1) l
f( )
2) l
f( )
3) l
f( )
4) f(1)
5) ฟงกชนตอเนองหรอไม
วธท า 1) เมอคา x เขาใกล 1ทางดานซาย (x < 1)
จะไดวาคาของ f(x) เขาใกล 2
ดงนน l
f( ) = 2
2) เมอคา x เขาใกล 1ทางดานขวา (x > 1)
จะไดวาคาของ f(x) เขาใกล 2
ดงนน l
f( ) = 4
3) เนองจาก l
f( ) l
f( )
ดงนน l
f( ) จงหาคาไมได
4) f(1) = 4
5) ฟงกชนตอไปนไมตอเนองท x = 1 เพราะ l
f( ) l
f( )
ทฤษฎบทเกยวกบลมต
1. l n
โดยท c เปนคาคงท แลว l n
c = c
2. l n
can = c l n
an
3. l n
(an+ bn) =l n
an +l n
bn
4. l n
(an – bn) =l n
an – l n
bn
5. l n
(an bn) =l n
an l n
bn
6. l n
(
) =
i
i
และ l
n bn ≠ 0
7. l n
(f(x))n = [l n
f(x)]n
f(x)
Math Kit Ebook ห น า 178
หลกการแกปญหาเรองลมต เรานยมแทนคา x ลงไป ซงท าใหเกดกรณตอไปน
1.ถา x เปนจ านวนจรง เราจะไดค าตอบ
2.ถาแทนแลวได
เมอ c ไมเปน 0 เราจะหาคาไมได
3.ถาแทนคาแลวได
หรอ
ใหจดรป หรอ หาอนพนธตามกฎของโลปตาล
ตวอยางท 3 จงหาลมตขอตอไปน
3) l
2
− 33
ใหเราแทนเลขลงไปจะได เปน
− 3
จะไดค าตอบคอ –1
ใหเราตอบวา ลมตดงกลาวม คาเขาใกล –1 แตค าตอบไมเทากบ –1 เปนเพยงคาเขาใกล
แตเนองจากคาเขาใกลมจ านวนมากมายเปนเซตอนนต เขาจงก าหนดวาเมอไดค าตอบตวใดออกมา
ใหตอบตวนนเลย คอ –1
4) l
2
3 เมอเราน า 2 ลงไปแทนจะท าเกดเหตการณทเปน
เราจงตองจดรปเปน l
2( )( )
( )3 = l
2
( )
3
= l
*−( 2)+
เมอน า 2 ไปแทนแลวจะได ลมตเขาใกล –4
ลมตตอเนองกตอเมอ l
f( ) = l
f( ) = f(x) และทง 3 ตวตองหาคาได
Math Kit Ebook ห น า 179
กฎของโลปตาล(L'Hôpital's rule)
ทฤษฎบท ให f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดบนชวงเปดทม a อย โดยท g (x) ไม
เทากบศนย ทกคา x ยกเวนท x = a
ถา l
f( )= 0 และ l
g( ) = 0 แลว
l
( )
( ) = l
( )
( )
ทฤษฎบท ให f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธได บนชวงเปดทม a อย
ถา l
f( )= ∞ และ l
g( ) = ∞ แลว
l
( )
( ) = l
( )
( )
ตวอยางท 4
4.1) ก าหนดให f( ) = { 1 06 − 5 0 4
3 4
จงพจารณาขอความตอไปนวาขอใดถกตอง
ก. l
f( ) = 12
ข. l
f( 2) = 13
วธท าพจารณา
ก ตรวจสอบลมตทางซาย
l
f( ) = 6x – 5
= 6(4) – 5
= 19
ตรวจสอบลมตทางขวา
l
f( ) = 3x
= 3(4)
= 12
l
f( ) ≠ l
f( )
ดงนน l
f( ) หาไมไดขอ ก ผด
ข l
f( 2) = l
f(3)
= 6x – 5
= 6(3) –5
= 13
ดงนนขอ ข ถกตอง
Math Kit Ebook ห น า 180
4.2) ก าหนดให a,b,c เปนจ านวนจรง และ f เปนฟงกชน
f( ) =
{
− √5 −
− 1 1
= 12 − 1 1
ก าหนดให f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1 แลวจงหาคา –2(a + b–1c)
วธท า พจารณา √
เมอ x = 1 จะท าใหสวนเปน 0 มเพยงกรณเดยวทท าใหสวนเปน 0 คอ
ดงนน a – √5 − = 0
ทจด x = 1 จะไดวา a – √5 − 1 = 0 ; a = 2
ดงนน b = √
= √
√
√
= ( )
( √ )
=
( √ )
เมอ x = 1 =
( √ )
=
2 − 1 =
เมอ x = 1 2c(1) =
c =
–2(a + b–1c) = –2[(2) + 4( )]
= –2[2 + ]
= –4 – 5
= –9
ตอบ –9
5
8 5
2
Math Kit Ebook ห น า 181
อตราการเปลยนแปลงและอนพนธของฟงกชน
อตราการเปลยนแปลงเฉลยของ f(x) เทยบ x ในชวง x+h คอ ( ) ( )
หรอ
( ) ( )
นยาม ถา y = (x) เปนฟงกชนใดๆ เมอคา x เปลยนเปน x+h แลวอตราการเปลยนแปลงเฉลย
ของ y เทยบ x ในชวง x ถง x+h
Ex ก าหนดให f(x) = x2+1 จงหาอตราการเปลยนแปลงเฉลยในชวง x = 2 ถง 4
=
( ) ( )
=
= 6
Math Kit Ebook ห น า 182
อนพนธของฟงกชน (The derivative of a function)
คออตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะ x มคาใดๆ คอ l
( ) ( )
หรอ
f (x) นอกจากนเรายงสามารถเขยน f (x) ในรปของ
อนพนธของฟงกชนคอความชนเสนโคงท
จด P(x, y) ใดๆ
ขอควรร ขนตอนการหาอนพนธเรยกวา differentiation (ดฟเฟอเรนชเอต)
จงหาอนพนธของฟงกชน f(x) = x2
f = l
( ) ( )
= l
( ) ( )
= l
= l
( )
= 2x
สตรอนพนธ
1. y = c (คาคงท) จะได y = 0
2. y = x จะได y = 1
3. y = xn จะได y = n(x)n–1
4. y = f g จะได y = f (x) g (x)
5. y = cf(x) จะได y = cf (x)
6. y = fg(x) จะได
y = f(x)g (x) + g(x) f (x)
7. y =
จะได y =
( ) ( ) ( ) ( )
, ( )-
8. y = (gof)(x) จะได
y = g (f(x)) f (x)
Math Kit Ebook ห น า 183
ความชนเสนโคง y = f(x) ทจด x0 คอ f (x0) Ex ก าหนดให y2+3
จงหาความชนทจด x = 1
วธท า y = 2y
ความชนทจด x = 1 คอ 2(1) = 2
ตวอยางท 5 จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน
1.f(x) = x3 – 3x +7 2.f(x) = 5x7 + 3x4 – logsin0 tan45 3.f(x) = (2x+3)5
วธท า 1. f(x) = x3 – 3x +7
f (x) = 3x2 – 3
2. f(x) = 5x7 + 3x4 – log45 tan45
f (x) = 35x6 + 12x3 (เนองจาก log45 tan45 เปนคาคงทซงมอนพนธเปน 0)
3. f(x) = (2x + 3)5
f (x) = 5(2x + 3)4(2)
= 10(2x + 3)4
ตวอยางท 6 ให f(x) = x3 – x2+ 2x – 1 , g(x) = f (x) จงหา (gof)(x) และ (gof)(1)
วธท า จาก g(x) = f (x) จะได
f (x) = 3x2 – 2x +2
f (x) = 6x – 2
ดงนน g(x) = 6x – 2
จาก (gof)(x) = g(x3 – x2+ 2x – 1)
= 6(x3 – x2+ 2x – 1) – 2
= 6x3 – 6x2 + 12x – 8
(gof)(1) = 6(1)3 – 6(1)2 + 12(1) – 8
= 6 – 6 + 12 – 8
= 4
Math Kit Ebook ห น า 184
ระยะทาง ความเรว ความเรง
สมการการเคลอนทของวตถคอ s(t) = f(t) t เปนหนวยของเวลาสวนใหญจะเปนวนาท
และ s(t) คอระยะทางทวตถเคลอนทได โดยอยหางจากจดเรมตนเมอเวลาผานไป t
อตราการเปลยนแปลงของระยะทางขณะ t ใด คอs (t) ซงคอ ความเรว
อตราการเปลยนแปลงของความเรวขณะ t ใด คอ s (t) ซงคอ ความเรง
ตวอยางท 7 ก าหนดให F(x) = f(g(x)) ; g(3) =5 ; g (3) = 7 ; f (3) = –4 ; f (5) = 9 ;F (3) =
A; B = A + (A – 2) + (A – 4) + (A – 6) + … + –1 ; C = log2sin30 + 4tan60 sin60
จงหา B – 4AC
วธท า F (x) = f (g(x))(g (x))
F (3) = f (g(3))(g (3))
= (f (5))(7)
= (9)(7)
= 63 = A
พจารณา B คอ A + (A – 2) + (A – 4) +
(A – 6)
= 63 + 61 + 59 +57 + … –1
จากล าดบดานบนเปนล าดบเลขคณต
พจน n มคา –1 = 63 + (n–1)(–2)
–64 = (n–1)(–2)
33 = n
ใชสตรอนกรมเลขคณต
Sn =
(a1+an)
S33 =
(63–1)
= 1023
B = 1023
พจารณา C
log2sin30 + 4tan60 sin60
= log22–1 + 4√3(
√
)
= –1 + (2)3
= 5
C = 5
Math Kit Ebook ห น า 185
พจารณา B – 4AC
= 1023 – (4)(63)(5)
= 1023 – 1260
= – 37
ตอบ – 37
การประยกตอนพนธ
ฟงกชน เพม คอฟงกชนทเมอ คา x เพมขน แลวท าใหคา y เพมขน หาไดจาก เมอ f (x) > 0
ฟงกชนลด คอ ฟงกชนทเมอคา x เพมขนแลวท าใหคา y ลดลง หาไดจาก เมอ f (x) < 0
คาสงสดและคาต าสด
1. การหาอนพนธระดบหนง
หาได f (x) = 0 แลวหาคา x1 ทท าให f (x1) = 0 เมอหาเสรจแลวใหพจารณาวา
f (x1) เปลยนเครองหมาย จากคาบวกเปนคาลบ แสดงวา เปนจดสงสดสมพทธ
f (x1) เปลยนเครองหมาย จากคาลบเปนคาบวก แสดงวา เปนจดต าสดสมพทธ
2. การหาอนพนธระดบ สอง
หาไดจากคาวกฤตจากสมการ f′(x) = 0 แลวทดสอบดวย f′′(x) (อนพนธระดบ 2)
ถา f (x) > 0 จะไดคาต าสดสมพทธ
ถา f (x) < 0 จะไดคาสงสดสมพทธ
ถา f (x) = 0 ใหกลบไปใชวธทหนง เนองจาก ไมสามารถใชวธท 2 หาค าตอบได
ตวอยางท 8 จงหาคาสงสดสมพทธและคาต าสดสมพทธของฟงกชนตอไปน
f(x) = 2x3 + 3x2 – 36x + 14
วธท า จาก f(x) = 2x3 + 3x2 – 36x + 14
f (x) = 6x2 + 6x2 – 36x
= 6(x + 3)(x – 2)
เมอ f (x) = 0 จะได x = 2 และ x = –3
Math Kit Ebook ห น า 186
วาดกราฟ
คาสงสดสมพทธเกดท f(–3) = 95
คาต าสดสมพทธเกดท f(2) = –30
วธการหาคาสงสดสมบรณและคาต าสดสมบรณ
ถาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [a,b] แลวสามารถหาคาสงสดสมบรณและคา
ต าสดสมบรณของฟงกชน f ตามขนตอนดงน
1. หาคาวกฤตทงหมด จากการหาอนพนธของ f ในชวงปด [a,b]
2. หาคาของฟงกชน ณ คาวกฤตทได
3. หาคา f(a) และ f(b)
4. เปรยบเทยบคาทไดจากจากขอ 2 และขอ 3 ซง สามารถสรปไดวา
คามากทสดจากขอ 2 และขอ 3 เปนสงสดสมบรณของฟงกชน f
คานอยทสดจากขอ 2 และขอ 3 เปนสงสดสมบรณของฟงกชน f
ตวอยางท 9 จงหาคาสงสดสมบรณและคาต าสดสมบรณของฟงกชน f เมอ f(x) = x3 – 3x+2 บน
ชวงปด [0,2]
วธท า จาก f(x) = x3–3x+2
f (x) = 3x2 – 3
= 3(x2 – 1)
= 3(x – 1)(x + 1)
Math Kit Ebook ห น า 187
เพราะฉะนนจะไดคาวกฤต 2 คา คอ x = 1 และ x = –1 แต –1 ใชไมไดเพราะ – 1ไมไดอย
ในชวง [0,2]
วาดกราฟ
จดท มคานอยสด เกดท x = 1 ดงนนf(1) = 13 – 3(1) + 2 จงได f(1) = 0
จดท มคามากสด เกดท x = 2 ดงนนf(2) = 23 – 3(2) + 2 จงได f(2) = 4
เมอพจารณาจากกราฟ พบวา f มคาสงสดท x = 2 ซงคอ f(2) = 4
F มคาต าสดสมบรณท x =1 ซงคอ f(1) = 0
ปฏยานพนธ (Integration) เปนกระบวนการตรงขามกบการหาอนพนธ แบงเปน
1.ปรพนธไมจ ากดขอบเขต
2.ปรพนธจ ากดเขต
ปรพนธไมจ ากดขอบเขต
1. ∫ = kx+c
2. ∫ =
n +c
3. ∫ f( ) = ∫ f( )
4. ∫(f( ) g( )) = ∫ f( ) ∫ g( )
ขอควรระวง ∫(f( ) g( )) กระจายไมได
Ex จงหาคาของ ∫ 8( )
วธท า = ( )
= 2(x)4 + c
ปรพนธจ ากดเขต
นยาม f(x) = f′ (x) ปรพนธจ ากดเขตของฟงกชน
ตอเนอง f บนชวง x = a ถง x=b คอ
a คอขอบลาง b คอขอบบน
Ex
= 2x4 +
x2–z+c
= [2(3)4 +
(3)2–(3)+c ]–[2(–2)4 +
(–2)2–(–
2)+c ]
= 130 + 7.5 – 5
= 132.5
(8𝑥 3𝑥 − 1)𝑑𝑥
3
–2
Math Kit Ebook ห น า 188
การประยกตปรพนธกบพนทใตโคง
ถากราฟอยเหนอแกน x
พนท =
ถากราฟอยใตแกน x
พนท =
เมอกราฟ 2 กราฟซอนกน
ใชพนทกราฟบน – พนทกราฟลาง
จงหาพนทใตกราฟตอไปน f(x) = − ตงแต x= 0
ถง 2
A = −∫ ( )
= −∫ −
= [–4] – [0]
A = –4
ดงนน พนทใตกราฟ คอ 4
ตวอยางท 10 ถา f = 2x3 – 3x2 + 1 และ f(2) = 3 แลว f(−1) มคาเทากบขอใดในตอไปน (Ent)
1.4 2.6 3.9 4.11
วธท า f = 2x3 – 3x2 + 1
f = 2x – 3 + x–2
∫ f dx= ∫ (2x – 3 + x–2) dx
f(x) = 2x2 – 3x + x–1 + C
f(x) = x2 – 3x – x–1 +C
พจารณา f(2) จะได (2)2 – 3(2) – 2–1 +C =
4 – 6 – 2–1 + C =
C = 4
พจารณา f(−1) = (−1)2 – 3(−1) – (−1)–1 + 4
= 1 + 3 + 1 + 4
= 9
ดงนนตอบขอ 3
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
− 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
x2 2
x2 x2 x2
2 -1
3
2
3
2
Math Kit Ebook ห น า 189
ตวอยางท 11 ก าหนด F (x) ดงรป ก าหนดให F(0) = 4 F(6) = 4 จงหา F(5)
วธท า ∫ ( )
= F(6) – F(5)
12 = 4 – F(5)
F(5) = –8
Math Kit Ebook ห น า 190
บทท 16 ก าหนดการเชงเสน
ก าหนดการเชงเสน เปนเครองมอในการแกปญหาการจดสรร
ทรพยากรใหเกดประสทธภาพสงสด
สมการเชงเสน
อสมการขอจ ากด
สมการจดประสงค
การแกปญหาหาคามากสด คานอยสด
Math Kit Ebook ห น า 191
ก าหนดการเชงเสน (Linear Programming) เปนคณตศาสตรประยกตแขนงหนงทคดคน
ขน เพอแกปญหาใหเปนไปตามจดประสงคของมนษย โดยมแนวคดทวา ใหเกดประโยชนอยาง
สงสดในทรพยากรทมจ ากด สามารถใชค านวณเพอแกปญหาไดหลายอยาง เชน ค านวณการผลต
สนคาใหไดมากทสด แตเสยคาใชจายนอยทสด,หาวธการเคลอนยายทหารใหมากทสดโดยทเสย
คาใชจายนอยทสด, ผลตสนคาจ านวนนอยทสด แตท าก าไรไดมากทสด เปนตน
สมการเชงเสน (Linear equation)
รปแบบสมการทวไป ax+ by = c ; a และ b ไมเปนศนยพรอมกน
เมอน ามาเขยนกราฟ จะไดรปเสนตรงซงมความชน –
และมระยะตดแกน x เปน
ตวอยางท 1 จงวาดกราฟของสมการตอไปน 5x + 3y = 15
เมอเราวาดกราฟเราจะได กราฟตดแกน x ท (3,0) ตดแกน y ท (0,5) และพบวาสมการน
มความชนเปน –
ก าหนดการเชงเสน จะอยในรปแบบทางคณตศาสตรของสมการเชงเสนและอสมการเชง
เสน แลวหาคาสงสด ต าสดของฟงกชนทสอดคลองกบสมการ (และอสมการ) ทก าหนด ตวแบบ
คณตศาสตรประกอบดวย
Math Kit Ebook ห น า 192
สมการจดประสงค เปนสมการทสรางใหตรงกบจดประสงคทตองการ เรยกฟงกชนนวา
ฟงกชนเปาหมาย โดยจะตงสมการขนเพอหาคาสงสด หรอต าสด ขนอยกบตวแปร เขยนอยในรป
P = ax +by (คาสงสด)
C = ax +by (คานอยสด)
เชน P = 5x + 12y
เงอนไขจ ากด (เงอนไขบงคบ) ไดแกอสมการ หรอสมการทเปนเงอนไขทก าหนดให เปน
เงอนไขทถกจ ากดของทรพยากร หรอตวแปร เชน 2x + y < 100 และ x > 0
หลกการแกปญหา
1. ใหน าอสมการขอจ ากดไปวาดกราฟ
2. คาสงสด และต าสดของ P จะอยทจดมมของพนทปดของกราฟ
3. ในกรณพนทเปดอาจจะมคาสงสด,ต าสด หรอไมกได
Math Kit Ebook ห น า 193
Ex ก าหนดสมการจดประสงคคอ P = 3x – 2y และสมการขอจ ากดคอ y 5, x 0, x+y 10
จงหาคาสงสดของ P
วธท า จด A อยท (0,5) เกดจาก คอ y 5, x 0
จด B อยทจด (0,10) เกดจาก x = 0 ตดกบ x+y=10
0 + y = 10
y = 10 เมอ y = 10 x = 0
จด C อยท (5,5) เกดจาก y = 5 ตดกบ x+y=10
x + 5 = 10
x = 5 เมอ x = 5 แลว y = 5
วธท าท 1 แทนคาลงไปในแตละจด
จดมม P = 3x – 2y
A(0,5) 3(0) – 2(5) = –10
B(0,10) 3(0) – 2(10) = –20
C(5,5) 3(5) – 2(5) = 5
P สงสดเมอ x = 5 y = 5 โดยท P = 5
Math Kit Ebook ห น า 194
วธท าท 2 จดรปหาความชน
ขนท 1 จดรปเพอใหสามารถหาความชนไดในสมการจดประสงค
P = 3x – 2y
2y = 3x – P
y =
x –
ขนท 2 ก าหนดจด 2 จดโดยทจดแรก
อยเหนอกราฟบรเวณใดกได จดท 2อยใตกราฟบรเวณใดกได
ก าหนดจด H (–4,5) แทนลงในสมการจดประสงคจะไดวา
P = 3(–4) – 2(5) = –22
ก าหนดจด O (–3,–6) แทนลงในสมการจดประสงคจะไดวา
P = 3(–3) – 2(–6) = 3
จากตรวจสอบพบวาเมอจดใดๆทอยใตกราฟจดประสงคจะมคามาก
ขนตอนท 3 ใหเลอนกราฟเพอหาค าต าแหนงทตองการ
จากสมการจดประสงคใหเลอนกราฟจากบรเวณมากไปนอยดงรปขางตนเมอสมการจดประสงคจะ
ตดทจด C เปนจดแรก แสดงวาจด C มคาวสงสด
Math Kit Ebook ห น า 195
ขอควรระวงเมอใชวธท าท 2 จดรปหาความชน
รปแบบการเลอนเพอหาต าแหนงในโจทยแตละขอจะไดวธท าทไมเหมอนกน
Ex ก าหนดสมการจดประสงคคอ P = 3x – 2y และสมการขอจ ากดคอ y 5, x 0, x+y 10
จงหาต าของ P
วธจากโจทยเราไมสามารถใชวธการเลอนแบบเดมไดเพราะการเลอนต าแหนง
จากต าแหนงมากมานอย เพอหาจดสงสด เมอสมการจดประสงคตดทจดแรกใดในพนท
ใหโจทยขอน
จากต าแหนงนอยมามาย เพอหาจดต าสด เมอสมการจดประสงคตดทจดแรกใดในพนท
ดงนนจด B จงมคาต าสด
Math Kit Ebook ห น า 196
ตวอยางท 1 ก าหนด P = ax + 2y และมเงอนไขดงน
2x + y ≥ 50
x+2 ≥70
x ≥ 0 , y≥0
ถาคาสงสดของ P เทากบ 100 แลวคา a เทากบคาในขอใดตอไปน (Ent 44 มนาฯ)
1.1 2.2 3.4 4.6
วธท า ขนแรกใหวาดกราฟ
จดทกราฟทง 2 กราฟตดกนคอ
2x+y=50 ––––– (1)
x+2y=70 ––––– (2)
(1)×2 4x+2y=100 –– (3)
(3) – (2) 3x = 30
x = 10
y = 3
เนองจาก สมการจดประสงคเราไมสามารถหาความชนไดเนองจากตดคา a
(x,y) P = ax + 2y P
(0,0) a(0)+2(0) 0
(0,35) a(0)+2(35) 70
(25,0) a(25)+2(0) 25a
(10,30) a(10)+2(30) 10a+60
ดงนนคา P สงสดจะเกดขนทจด (10,30)
P = 10a + 60
100 = 10a + 60
40 = 10a
a = 4
ดงนน ตอบขอ 2
Math Kit Ebook ห น า 197
ตวอยางท 2 ก าหนดฟงกชนจดประสงคและอสมการขอจ ากดดงน
C = 40x +32y
6x + 2y 12
2x + 2y 8
4x +12y 24
คาต าสดของ C เทากบเทากบขอใดตอไปน (Ent)
1. 108 2.112 3.136 4.152
วธท า (ใชวธตรวจสอบดวยความชน) ขนแรกใหวาดกราฟ
6x + 2y = 12 ตดแกนท (0,6) (2,0)
2x + 2y = 8 ตดแกนท (0,4) (4,0)
4x +12y = 24 ตดแกนท (0,2) (6,0)
หาจด X
เกดจาก 6x+2y = 12 ––– (1)
ตดกบ 2x+2y = 8 ––– (2)
(1) – (2) 4x = 4
x = 1
แทน x ใน (2) 2(1)+2y = 8
2y = 6
y = 3
จดตด (1,3)
หาจด Y
เกดจาก 2x+2y = 8 ––– (1)
ตดกบ 4x+12y = 24 –––
(2)
(2) – 2(1) 8y = 8
y =1
แทน y ใน (1) 2x+2(1)=8
2x = 6
x = 3
จดตด (3,1)
หาจด Z
เกดจาก 6x+2y = 12 ––– (1)
ตดกบ 4x+12y = 24 –––
(2)
(2) – 6(1) –32x = –48
x =
หรอ x =
แทน x ใน (1) 6(
)+2y = 12
9 + 2y = 12
y =
จดตด (
,
)
ตรวจสอบดวยความชน จดรป C = 40x +32y ใหอยในรปของสมการความชน
y = −
x +
C ความชน m = −
หรอ −
Math Kit Ebook ห น า 198
ตรวจสอบกราฟ สมการจดประสงค
ดงนนเพอใหไดคานอยทสด ตองเลอนกราฟจากดานลางเมอกราฟสมการตดประสงคตด
จดใดเปนจดแรกแสดงวาจดนนเปนคานอยสด
เลอนกราฟสมการจดประสงค
จากการตรวจสอบดวยความชนพบวาสมการ
จดประสงคทจด Z เปนจดแรกดงนนจด Z จงม
คานอยสด
น าพกดของ Z มาแทนลงในสมการจดประสงคจะไดค าตอบ
C = 40(
) +32(
)
= 108
ดงนน ตอบ ขอ 1
Math Kit Ebook ห น า 199
เราสามารถจ าแนกเรองบทเรยนคณตศาสตรในระดบชนมธยมศกษาตอนปลาย
กลมทวไป เซต, ตรรกศาสตร, จ านวนจรง, ความนาจะเปน, ฟงกชน
กลมทไมคอยผสมเรองอน ก าหนดการเชงเสน, ทฤษฎกราฟ, สถต
กลมทเนอหาคอนขางยาก ตรโกณมต, จ านวนเชงซอน, เวกเตอร, ภาคตดกรวย
กลมทสามารถประยกตไดหลายๆ แนว เมตรกซ, อนกรม, expo+log, แคลคลส
ส าหรบการเตรยมตวสอบ ผมอยากจะใหเตรยมตวกอนสอบในโรงเรยนประมาณ 2
สปดาหกอนสอบโดยการอานหนงสอของ สสวท เพอเปนการทบทวนพนฐาน พรอมกบท าโจทย
ขอสอบเกาของโรงเรยนประมาณ 2 – 3 ปยอนหลงเพอเหนลกษณะขอสอบ ขอสอบโดยสวนใหญ
จะออกใกลเคยงของเดม แตอาจจะมบางในบางปทรปแบบขอสอบบางขอทไมเหมอนปกต อาจจะ
เปนการเอาขอสอบจากภายนอกมาออก ถาเปนขอสอบแสดงวธท า ใหแสดงวธท าใหละเอยด เพอ
ทงในการตรวจสอบค าตอบ ถาเปนขอสอบแบบพสจน ใหอางถงทฤษฎบท หรอนยาม ตางๆใน
ละเอยด ซงนยามและทฤษฎบท ดไดจากหนงสอของ สสวท
ส าหรบการเตรยมตวสอบคดเลอก ควรเตรยมตวประมาณ 4 – 6 เดอนกอนสอบ โดยการ
อานทงหนงสอ สสวท และ หนงสอสรปเนอหาโดยตององหนงสอ สสวท ตามไปดวย เพราะ
หนงสอสรปอาจจะสรปขามบางเนอหา ขอสอบคดเลอกสวนใหญจะออกขอสอบโดยอางองเนอหา
จากหนงสอของ สสวท พรอมทงท าขอสอบเกาประมาณ 5 – 10 ปยอนหลงของขอสอบระบบ
กลางหรอขอสอบทยากกวาขอสอบระบบกลาง ถาหากมขอสงสยกสามารถสอบถามทชมชน
คณตศาสตรไดท http://www.mathcenter.net/forum/
ส าหรบหนงสอเลมน ไดสรปเนอหาจากหนงสอ สสวท แตการสรปใชประสบการณสวนตว
ทเนนเนอหาแตละบททไมเหมอนกน หนงสอเลมนเปนหนงสอสรปเนอหา จะเนนการสรปเนอหา
เปนหลก สวนโจทยในหนงสอหนงสอกไดน าบางจากขอสอบเกา และเปนแบบฝกหดทผเขยน
จดท าขนเพอเพมประสบการณของผอาน ดงนนการเพมความเขาใจหรอพนฐานส าคญกมาจาก
หนงสอของ สสวท อยาลมอานหนงสอของ สสวท ควบคกบการอานหนงสอเลมน
Math Kit Ebook ห น า 200
ขาพเจา ในนามผเขยน ขอบพระคณทกทานในการตดตามเนอหาของหนงสอเลมนจนจบ
เลม ขาพเจาหวงวาหนงสอสรปแกนคณตศาสตร ม.ปลาย จะเปนประโยชนตอทกทาน ไมมากก
นอย หากหนงสอเลมนมขอผดพลาดประการใดตองขออภยมา ณ ทนดวย ทางผเขยนจะรบ
ปรบปรงแกไขใหถกตองโดยเรวทสด ทานสามารถแจงขอผดพลาดไดท [email protected]
ผลงานเขยนสรปแกนคณตศาสตร ม.ปลาย (MATH KIT EBOOK) เปนหนงสอ
อเลกทรอนกสทท าขนโดยวตถประสงคเพอยกระดบความร ความสามารถ ของผทมความสนใจ ซง
ทางผเขยนแจกฟรในทกชองทาง และจะพฒนาตอไปใหดยงขน
แตอยางไรกตามกระบวนการพฒนาหนงสอตองใชเวลาและคาใชจายในการพฒนา
MATH KIT EBOOK เพอใหหนงสอเลมนไดมการพฒนาปรบปรงใหสอดคลองกบหลกสตรตอไป
ทานผอาน หากทานเหนวาหนงสอเลมนเปนประโยชนกสามารถบรจาคเงนในการสนบสนนการ
พฒนาหนงสอเลมนตอไป ทานสามารถใหความสนบสนนได โดยอทศเงนเพยงเลกนอย ตามความ
ประสงค
บญชออมทรพย ธนาคารกสกรไทย
เลขทบญช 081–2–76272–9
ชอบญช คณน องศนตย
ทานทแจงรหสการน าฝากหรอโอนมายงอเมล [email protected] ในนามของ
ผเขยน เงนสนบสนนของทานททานเสยสละในการพฒนาหนงสอสอเลมนจะเปนประโยชนตอ
สงคม สบตอไป
ขอขอบพระคณ
อาจารยยทธนา เฉลมเกยรตสกล
อาจารยสวรย เมธาววนจ