คณิตศาสตร์เพิ่ม 4 5complex number) เก ดข นเน องจากความพยายามของน กคณ ตศาสตร ในการแก

คณตศาสตรเพม4 ค32205 ม.5 ครเณรศา พรหมวลย ชอ...............................ม.5/.......เลขท......... ======================================================================================

1

คณตศาสตรเพม4

ค32205 ชนมธยมศกษาป�ท 5

ภาคเรยนท 2 ป�การศกษา 2561

ชอ........................................ชน ม.5/.......เลขท…… ครเณรศา พรหมวลย โรงเรยนสตรภเกต


2

จานวนเชงซอน (complex number) เกดขนเนองจากความพยายามของนกคณตศาสตรในการแกสมการ

01x2 =+ ซงจะเหนไดวาเราไมสามารถหาจานวนจรงใด ๆ ทแทนใน x แลวทาใหสมการเป�นจรง นกคณตศาสตรจงสราง

ระบบจานวนขนมาใหม เรยกวา “ระบบจานวนเชงซอน” ตวอยางท 1 จงหาผลบวกและผลคณของจานวนเชงซอน (3,-2) และ (1,4) วธทา จากบทนยาม (3,-2) + (1,4) = (3+1 , -2+4) = (4, 2) (3,-2) (1,4) = (3(1) – (-2)4 , 3(4) + (-2)1) = ( 3+8 , 12-2) = (11 , 10) ตวอยางท 2 จงหาจานวนจรง a และ b ททาให (a,b) + (2,3) = (3,1) วธทา จาก (a,b) + (2,3) = (3,1) ดงนน (a+2 , b+3) = (3,1) จากบทนยาม ได a + 2 = 3 และ b + 3 = 1 ได a = 1 และ b = - 2 ดงนน (a,b) + (2,3) = (3,1) เมอ a = 1 และ b = - 2

จานวนเชงซอน (a,b) เมอ b = 0 คอ จานวนจรง a จานวนเชงซอน (a,b) เมอ b ≠ 0 เรยกวา จานวนจนตภาพ จานวนเชงซอน (0,b) เมอ b ≠ 0 เรยกวา จานวนจนตภาพแท

บทนยาม จานวนเชงซอน คอจานวนซงเขยนในรปของคอนดบ (a, b) เมอ a , b เป�นจานวนจรงใดๆ มการเทากน การบวก และการคณของจานวนเชงซอนดงน เมอ (a,b) และ (c,d) เป�นจานวนเชงซอนสองจานวน 1. การเทากน (a, b) = (c, d) กตอเมอ a = c และ b = d 2. การบวก (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 3. การคณ (a, b)(c, d) = (ac – bd, ad + bc)


3

1i −=

พจารณา ผลคณของจานวนจนตภาพแทสองจานวน (0,b) และ (0,d) จะได (0,b) (0,d) = ( (0)0 - bd , (0)d + b(0) ) = ( - bd , 0) = - bd จะเหนวา ผลคณของจานวนจนตภาพแทสองจานวนไดผลลพธเป�น จานวนจรงเสมอ ถาแทนจานวนเชงซอน (0,1) ดวย i จะได i2 = (0,1)(0,1) = ( 0(0) – 1(1) , 0(1) +1(0) ) = ( -1 , 0) = - 1

จะได i 2 = -1

พจารณา จะเหนวา คา ni เมอ n เป�นจานวนเตมบวกจะมคาทแตกตางกนเพยง 4 คาคอ i, -1, -i, 1 ทงนขนอยกบคา n ดงนนการหาคา ni สามารถหาไดโดยการหาร n ดวย 4 แลวดเศษการหารดงน ii1 = เมอ r = 1 1i2 −= เมอ r = 2 ii3 −= เมอ r = 3 1ii 40 == เมอ r = 0

เชน iiii 11)11(445 == +

ลองทาด

จงหาคาของแตละขอตอไปน

1) 35i =………………………………….. 2) 78i =………………………………….. 3) 99i =………………………………….. 4) 226i =………………………………….. 5) 1740i =………………………………….. 6) 2553i =…………………………………..

7. จงหาคาของ 585432 i...iiiii ++++++ (-1+i)

8. จงหาคาของ )i...iii(i2 61543 ++++ (2i)

=ni


4

บทนยาม สาหรบจานวนเชงซอน z = (a, b) เมอ a และ b เป�นจานวนจรง จะได (a, b) = a + bi

เรยก a วา สวนจรง (real part)ของ z และเขยนแทนดวย Re(z) เรยก b วา สวนจนตภาพ (imaginary part) ของ z และเขยนแทนดวย Im(z)

9. จงหาคาของ 252()45( −−−−+ ) (3 + 7i)

ตวอยางท 3 จงหาผลบวก และผลคณของ 5 + 3i และ 4 – 2i วธทา (5 + 3i) + (4 – 2i ) = (5+ 4) + (3i – 2i) = 9 + i (5 + 3i) (4 – 2i) = 20 + 12i – 10i – 6i2 = 20 + 12i – 10i + 6 = 26 + 2i จะเหนวา การบวกและการคณ มสมบตเชนเดยวกบการบวกและการคณของจานวนจรง ==========================================================================

แบบฝ�กทกษะ =============================================================================

1. จงหา สวนจรง Re(z) และ สวนจนตภาพ Im(z)ของจานวนเชงซอนตอไปน ตวอยาง 1 + 2i Re(z) คอ 1 Im(z) คอ 2 1.1 -3 + 4i Re(z) คอ ……………… Im(z) คอ ……………. 1.2 2 - i Re(z) คอ ……………… Im(z) คอ ……………. 1.3 54 + Re(z) คอ ……………… Im(z) คอ ……………. 1.4 5i Re(z)คอ ……………… Im(z) คอ ……………. 1.5 ( 1 + 2i)2 (กระจายกาลงสองสมบรณ ทาใหเป�นผลสาเรจจะไดคา สวนจรงและสวนจนตภาพ ) ………………………………………. Re(z) คอ………………. ………………………………………. Im(z) คอ……………… ………………………………………. 1.6 i2 = ……………. ได Re(z) คอ ……………. Im(z) คอ ………..

i2 = -1 ดงนน i = 1−


5

2. จงหาผลบวกของจานวนเชงซอนตอไปน ตวอยาง (2,1) + (-3,4) = ( 2+(-3) , 1+4 ) = ( - 1, 5 ) 2.1 (3,-2) + ( -2, 1) = ………………………… 2.2 (4, -2 ) + (-3, 1) = ………………………… 2.3 (2, -5) + (3, 5) = ………………………… 2.4 (2, 3 ) + (1, 4) = …………………………

2.5 (2, 3 ) + (-1, 3 ) = ………………………… 2.6 (4, 0 ) + (π , π ) = ………………………… 2.7 ( 2 , 3) + (1, 2) = …………………………

2.8 (1,-2) + ( 3,-4) + (-5,2) = …………………………………………………….. 2.9 ( 2 , 2 ) + (- 2 , - 2 ) + (0, 3 ) =………………………………………………… 3. จงหาผลคณของจานวนเชงซอนตอไปน ตวอยาง ( 3 + 2i ) (4 + 7i) = (3)(4) + (2i)(7i) + (2i)(4) + (3)(7i) = 12 + 14i2 + 8i +21i = - 2 + 29 i 3.1 (3 – 2i) (5 + 4i) = ……………………………………………………………………….. = ………………………………………………………………………. 3.2 (-3 + 2i) (5 - 4i) = ……………………………………………………………………….. = ………………………………………………………………………. 3.3 (8 + 2 i) (1 + 3 i) = ……………………………………………………………………….. = ………………………………………………………………………. 3.4 (x - yi) (x + yi) = ……………………………………………………………………….. = ………………………………………………………………………. 3.5 (2 + 3i) (3 - 2i) (6 - 4i) = ……………………………………………………………………….. = ………………………………………………………………………. = ………………………………………………………………………. 3.6 ( 2 – i )3 = ……………………………………………………………………….. = ………………………………………………………………………. 3.7 i(4+i) (4-i) = ……………………………………………………………………….. = ………………………………………………………………………. 3.8 (2+i) (3-2i) (2-i) (3+2i) = ……………………………………………………………………….. = ………………………………………………………………………. = ……………………………………………………………………….. กาหนด i54z,i2z,i21z 321 +=−=+=

1) 321 z2zz3 +− 2) 32

2 z2z +


6

เนองจาก (a,b) + (0,0) = (a,b) = (0,0) + (a,b) ดงนน จะเหนวา (- a,- b) + (a,b) = ( 0,0) = ( a,b) + (- a, - b) ดงนน

แบบฝ�กทกษะ

จงหาอนเวอรสการบวกของจานวนเชงซอนตอไปน ตวอยาง ( 4, -5) อนเวอรสการบวก คอ (-4, 5) 1. (-2, 3) อนเวอรสการบวก คอ ………………….. 2. (-1, - 4) อนเวอรสการบวก คอ ………………….. 3. (0, 3) อนเวอรสการบวก คอ ………………….. 4. 2 + 4i อนเวอรสการบวก คอ ………………….. 5. -6 – i อนเวอรสการบวก คอ …………………..

ตวอยาง อนเวอรสการคณของ (4,-3) คอ ……………………………….……….= (253,

254 )

อนเวอรสการคณของ - 3 + 2i คอ ............................................= i132

133−−

เอกลกษณและอนเวอรสการคณ

เอกลกษณและอนเวอรสการบวก

เอกลกษณการบวกคอ = (0,0)

อนเวอรสการบวกของ (a,b) คอ (- a ,- b) หรอ อนเวอรสการบวกของ a + bi คอ - a – bi

เอกลกษณการคณในระบบจานวนเชงซอน คอ ( 1 , 0 )

อนเวอรสการคณของ(z-1)ของ (a,b) คอ ( 2222 bab,

baa

+−

+)

หรอ อนเวอรสการคณ(z-1) ของ a + bi คอ iba

bba

a2222 +

−+

1z1zzz 1 =⋅=⋅ −


7


จงหาอนเวอรสการคณ(z-1) เมอกาหนดคา z ตอไปน

ตวอยาง z= (2,3) อนเวอรสการคณ(z-1) คอ ( 22 322+

, 22 323+

− )= (133,

132

− )

1. z= ( 3 ,4 ) z-1 = ………………………………………. = …………………………………………..

2. z= ( 1, 3 ) z-1 = …………………………………………= …………………………………………..

3. z= 2 + i z-1 = …………………………………………= …………………………………………..

4. z= 3i z-1 = …………………………………………= …………………………………………..

5. z= - 2 z-1 = …………………………………………= …………………………………………..

ตวอยางท 5 จงหาคาของ (3 + 2i) - (4 - 3i) วธทา (3 + 2i ) – (4 – 3i) = (3 + 2i) + (-4 – (-3i)) = ( 3+2i) + (-4+3i) = 3 – 4 + 2i + 3i = - 1 + 5i


จงหาผลลบของจานวนเชงซอนตอไปน ตวอยาง ( 7 –10i) – ( 2 + 3i ) = …………………………………..=……………………………… 1. ( 5 – 4i ) – ( -2 + 3i ) = …………………….…….. = ………………………………. 2. ( 3 - i ) – 3 2 i = …………………………… = ……………………………… 3. ( 1 – i) – 3i – (2 +4i) = ……………………………. = ……………………………… = ……………………………. = …………………………….. 4. 3i3 – 5i7 – 8i8 – i65 = ……………………………. = ……………………………..

การลบจานวนเชงซอน

บทนยาม (a, b) – (c, d) = (a, b) + ( - c,- d)


8

ตวอยางท 6 จงหาคาของ i34i23

++

วธทา i34i23

++ = ( 3 + 2i ) (

253

254− i )

= 2512 +

256 + (

259

258− ) i

= 2518 - i

251


จงหาผลหารของจานวนเชงซอนตอไปน ในรปของ a + bi โดยใชวธเปลยนตวหารเป�นอนเวอรสการคณ

1. i2i2

+− = ………………………………………………………………………………………………………..

= ………………………………..……………………….…………………………………….………. = ………………………………..……………………….…………………………………….……….

2. i32i43

−+ = ………………………………………………………………………………………………………..

= ………………………………..……………………….…………………………………….………. = ………………………………..……………………….…………………………………….……….

3. i53

i2+

= ………………………………………………………………………………………………………..

= ………………………………..……………………….…………………………………….………. = ………………………………..……………………….…………………………………….……….

4. i3i7 − = ………………………………………………………………………………………………………..

= ………………………………..……………………….…………………………………….………. = ………………………………..……………………….…………………………………….……….

5. 2)i54(1−

= ………………………………………………………………………………………………………..

= ………………………………..……………………….…………………………………….………. = ………………………………..……………………….…………………………………….………. = ………………………………..……………………….…………………………………….……….

การหารจานวนเชงซอน

บทนยาม ( a, b) ÷ ( c, d ) = ( a, b ) ( 2222 dcd,

dcc

+−

+) เมอ (c,d) ≠ (0,0)


9

ตวอยาง สงยคของ 3 + 4i คอ 3 – 4i สงยคของ 2 คอ 2

สงยคของ - 2 – i คอ -2 + i สงยคของ 3i คอ -3i

พจารณา ผลคณของจานวนเชงซอน a + bi กบสงยคของจานวนเชงซอน a + bi จะได (a + bi) (a - bi) = a2 + b2 – abi + abi = a2 + b2 จะไดวา ผลคณของจานวนเชงซอนใดกบสงยคของจานวนเชงซอนนน เป�นจานวนจรง


จงหาสงยคของจานวนเชงซอนตอไปน ตวอยาง (3 , 4) สงยค คอ (3,- 4) 2 – 3i สงยค คอ i32 − = 2 + 3i 1. (4,-2) สงยค คอ ………………….. 2. (3 , 0 ) สงยค คอ ………………….. 3. 3 + 2i สงยค คอ ………………….. 4. 4i สงยค คอ ………………….. 5. 5 สงยค คอ …………………..

สงยคของจานวนเชงซอน

บทนยาม สงยค (conjugate) ของจานวนเชงซอน a + bi คอจานวนเชงซอน a – bi เขยนแทนสงยคของจานวนเชงซอน a + bi ดวย bia + จากบทนยาม จะได bia + = a – bi

ทฤษฎบท ให z , z1 , z2 เป�นจานวนเชงซอน จะได

1. 21 zz + = 1z + 2z 4.

2

1

zz

= 2

1

zz

, z2 ≠ 0

2. 21 zz − = 1z - 2z 5. ( 1z− ) = ( ) 1z −

3. 21 zz ⋅ = 1z . 2z 6. z = z


10

การหาผลหารโดยการนาสงยคของตวหารมาคณทงตวตงและตวหาร

ตวอยางท1 จงหาคาของ i34i23

++

วธทา i34i23

++ = ………………………………………………………………………………………………………..

= ………………………………………………………………………………………………………..

ตวอยางท2 จงหาผลหาร i3

i27 −

วธทา i3

i27 − = ……………………………………………………………………………………………………..

= …………………………………………………………………………………………………….


1. จงหาผลหารโดยตอบในรป a + bi

1) i2i2

−+ ( i

54

53+ )

2) i21i43

++ ( i

52

511

− )

3) i23i22

−− ( i

112

118− )

4) i3i7 − ( i

37

31−− )

5) i53

i5+− ( i

3415

3425

−− )

6) กาหนด i53

51z 1 −=− จงหา z )i

23

21( −


11

7) จงหาคาของ

i111

11

++

+ ( i51

58+ )

8) ให z= i43

41− จงหาจานวนเชงซอนทนามา

คณกบ z แลวไดผลลพธเป�น 1 ( i31+ )

ระนาบเชงซอน คอ ระนาบในระบบแกนมมฉาก อนประกอบดวยแกนนอน เรยกวา แกนจรง และ แกนตง เรยกวา แกนจนตภาพ เชน จานวนเชงซอน 2+ 3i แทนไดดวย จด (2,3) หรอแทนไดดวยเวกเตอรทมจด (0,0) เป�นจดเรมตน และมจด (2,3) เป�นจดสนสด ดงรป แกนจนตภาพ แกนจนตภาพ หรอ (2,3) (2,3) 0 แกนจรง 0 แกนจรง

กราฟของจานวนเชงซอน


12

แบบฝ�กทกษะ ===========================================================================

1. จงเขยนจดซงแทนจานวนเชงซอนตอไปนในระนาบเชงซอน

1.1 ( 1 ,4 ) 1.2 (- 3, 1) 1.3 - 2 – 3i 1.4 3 – 4i 1.5 3i 1.6 - 2

O แกนจรง

แกนจนตภาพ









แกนจรง O



13

2. จงเขยนเวกเตอรแทนจานวนเชงซอนตอไปนในระนาบเชงซอน

2.1 ( 1 ,4 ) 2.2 (- 3, 1) 2.3 - 2 – 3i 2.4 3 – 4i 2.5 3i 2.6 - 2 3. จงเขยนเวกเตอรแทนจานวน 3 + 2i และ 5 + i และผลบวกของจานวนทงสอง โดยวธเวกเตอร
















14

ตวอยาง คาสมบรณของ 3 + 2i คอ |3 + 2i| = 22 23 + = 13

คาสมบรณของ 3i คอ |3i| = 22 30 + = 3

คาสมบรณของ -4 คอ |-4| = 22 0)4( +− = 4


1. จงหาคาสมบรณของจานวนเชงซอนตอไปน

ตวอยาง 1 + 2i คาสมบรณ คอ | 1 + 2i | = 22 21 + = 5 1. 4 + 3i คาสมบรณ คอ ………………………………………………………………………… 2. 1 - 3 i คาสมบรณ คอ ………………………………………………………………………… 3. - 5 + 12i คาสมบรณ คอ ………………………………………………………………………… 4. 5i คาสมบรณ คอ ………………………………………………………………………… 5. 4 คาสมบรณ คอ ………………………………………………………………………… 2. จงหา |z| เมอกาหนด z ดงตอไปน 2.1 z = 5 + 4i ( 41) 2.2 i221z −= (3)

คาสมบรณของจานวนเชงซอน

บทนยาม คาสมบรณของจานวนเชงซอน a + bi แทนดวยสญลกษณ |a + bi| โดยท

|a + bi| = 22 ba + ( ซง คอ ระยะทางจากจดกาเนดถง a + bi นนเอง )

ทฤษฎบท ให z , z1 , z2 เป�นจานวนเชงซอนจะได 1. |z| 2 = z. z 2. |z| = |-z| 3. |z| = | z | 4. |z1.z2| = |z1|. |z2|

5. |z-1| = |z| -1 6. |zz

|2

1 = |z||z|

2

1

*7. |z1+ z2| ≤ |z1| + |z2| *8. |z1- z2| ≥ |z1| - |z2|


15

2.3 i32z −= ( 5 ) 2.4 )i52()i34(z +++= (10)

2.5 )i71()i54(z +−−−= (13) 2.6 )i34)(i34(z +−= (25)

2.7 1)i1(z −+= (22 ) 2.8

i21i32z

++

= (5

13 )


16

ถา z = a + bi เป�นจานวนเชงซอนเราสามารถเขยนแทน z ดวยเวกเตอร บนระนาบเชงซอนไดดงน Y b z (a,b) r 0

เมอกาหนด θ เป�นมมบวกทเลกทสดทวดทวนเขมนา�กาจากแกน X ไปยง OZ

และให r = |OZ | จะได r = | z | = 22 ba +

ในการหาคา θ ใหหาจากการใช tanθ = ab

sinθ = rb ดงนน b = rsinθ

cosθ = ra ดงนน a = rcosθ

จาก Z = a + bi = r cosθ + r i sin θ = r ( cosθ + i sin θ ) เรยก r ( cosθ + i sinθ ) วา รปเชงขว ( Polar Form) ตวอยางท 10 จงเขยนจานวนเชงซอน 2 + 2i ในรปเชงขว วธทา ดงนน จานวนเชงซอน 2 + 2i ในรปเชงขว คอ 2 2 ( cos °45 + i sin °45 ) ตวอยางท 11 จงเขยนจานวนเชงซอน 3 ในรปเชงขว วธทา ดงนน จานวนเชงซอน 3 i ในรปเชงขว คอ 3 ( cos °0 + i sin °0 )

จานวนเชงซอนในรปเชงขว

θ a X

b


17

ตวอยางท 12 จงเขยนจานวนเชงซอน - 4 - 4 3 i ในรปเชงขว วธทา ดงนน จานวนเชงซอน - 4 - 4 3 i ในรปเชงขว คอ 8( cos °240 + i sin °240 )


1. จงเขยนจานวนเชงซอนตอไปนในรปเชงขว 1.1 z = 1 + i 1.2 z = -1 + 3 i …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… . 1.3 z = 4 1.4 z = 3 - 3i …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… 1.5 i …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………

เฉลย

1. )45sini45(cos2 oo +

2. )120sini120(cos2 oo +

3. )0sini0(cos4 oo +

4. )315sini315(cos23 oo +

5. oo 90sini90cos +


18

2. จงเขยนจานวนเชงซอนตอไปนในรปของ a + bi 2.1 4(cos 45° + isin 45° ) 2.2 6(cos120° + isin120° ) …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… ( i2222 + ) ( i333+− )

ตวอยางท 13 จงเขยนจานวนเชงซอน [2 3 (cos °330 + isin °330 )][4(cos °240 + isin °240 )]ใหอยในรป a + bi วธทา ให z1 = 2 3 (cos °330 + isin °330 ) , z2 = 4(cos °240 +i sin °240 )

ดงนน z1z2 =

=

=

= -12 - 4 3 i

การคณและการหารจานวนเชงซอนในรปเชงขว

ทฤษฎบท ให z , z1 และ z2 เป�นจานวนเชงซอน โดยท z = r( cosθ + i sinθ ), z1 = r1( cos 1θ + i sin 1θ ) , z2 = r2 ( cos 2θ + i sin 2θ ) จะได

1. z1z2 = r1r2 [ cos( 1θ + 2θ ) + i sin( 1θ + 2θ )]

2. 2

1

zz

= 2

1

rr

[ cos( 1θ - 2θ ) + i sin( 1θ - 2θ )] เมอ z2 ≠ 0

3. z-1 = [ ]θ−θ= sinicosr1

z1

4. [ ])nsin(i)ncos(rz nn θ+θ=


19

ตวอยางท 14 จงเขยนจานวนเชงซอน )240sini240(cos8

)30sini30(cos2°+°°+° ใหอยในรป a + bi

วธทา ให z1 = 2(cos °30 + i sin °30 ) , z2 = 8 (cos °240 + i sin °240 )

ดงนน 2

1

zz

=

=

= = i81

83+

−

============================================================================= แบบฝ�กทกษะ

จงเขยนจานวนเชงซอนตอไปนในรป a + bi 1. ))75sini75(cos2())15sini15(cos3( oooo ++ (6i)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 2. ))20sini20(cos5())40sini40(cos4( oooo ++ ( i31010 + )

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 3. ))23sini23(cos5())83sini83(cos20( oooo +÷+ ( i322+ )

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

**4. ))190sini190(cos5())40sini40(cos36( oooo +÷+ ( i5

3359−− )

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..


20

ตวอยาง 15 กาหนดให z1 = 2 (cos °20 + i sin °20 ) , z2 = 2 ( cos 4π + i sin

4π )

จงหา z16 และ z2

5 วธทา จะได z1

6 = 26[ cos( °⋅206 ) + i sin( °⋅206 ) ] = …………………………………………………………………………………………. = …………………………………………………………………………………………. = ………………………………………………………………………………………….

z25 = 5)2( [cos (

45π ) + i sin(

45π ) ]

= …………………………………………………………………………………………. = …………………………………………………………………………………………. = ………………………………………………………………………………………….

========================================================


1. กาหนด )3

sini3

(cos2z1π

+π

= และ )6

sini6

(cos3z2π

+π

= จงหา

1.1 22z ( i

239

29+ ) 1.2 4

1z ( i388−− )

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……

1.3 )z1หรอ(z

42

42− ( i

1623

1621

−− )

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…

ทฤษฎบท ถา z = r ( cosθ + i sinθ ) และ n เป�นจานวนเตม จะได zn

= rn ( cos nθ + i sin nθ )

I’m De Moivre

Abraham


21

2. จงเขยนจานวนเชงซอนตอไปนในรป a + bi

2.1 ( -1 + i)10 (-32i) 2.2 5)i31( +− (-16-16 i3 ) …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… 1. ยกกาลงเลขค 2. ยกกาลงเลขค ( -1 + i)10 ( -1 + i)11 …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… ………………………………………………………

2.3 (cos °10 + i sin °10 )]-6 ( i23

21− )

………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2.4 ถา i322z +−= แลว 17z อยในจตภาคใด (ตอบ จตภาค 3) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เทคนคการยกกาลงมาก ๆ โดยไมตองใชเชงขว


22

2.5 ให )3sini3(cos2z oo1 += , )20sini20(cos3z oo

2 += , )5.22sini5.22(cos4z oo3 +=

จงหาคาของ 2

3

32

101

zzz

( i227227 + )

………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ตวอยาง 16 จงหารากท 4 ทงหมดของ z = 81 วธทา เขยน z ในรปเชงขวได z = 81( cos 0 + isin 0 )

ดงนนรากท 4 ทงหมดของ z คอ zk = 4 81 [ cos (4

k20 π+ ) + i sin (4

k20 π+ )]

เมอ k = 0 , 1, 2 , 3 เพราะฉะนนรากท 4 ทงหมดของ z คอ

z0 = 3 (cos 0 + i sin 0) = 3( 1+ 0 ) = 3

z1 = ………………………………………………………..=…………………………………=………………..

z2 = ………………………………………………………..=…………………………………=………………..

z3 = ………………………………………………………..=…………………………………=………………..

ดงนนรากท 4 ทงหมดของ z คอ ………………………………………

ทฤษฎบทของเดอมวพ ถา z = r ( cosθ + i sinθ ) แลวรากท n ของ z มทงหมด n รากทแตกตางกนคอ

x = kz = n r [ cos (n

k2 π+θ ) + i sin (n

k2 π+θ ) ] (สตรเรเดยน)

x = kz = n r [ cos (n360k o⋅+θ ) + i sin (

n360k o⋅+θ ) ] (สตรองศา)

เมอ k ∈ { 0 , 1 , 2 , . . . , n – 1 }

บทนยาม ให x และ z เป�นจานวนเชงซอน และ n เป�นจานวนเตมบวก x เป�นรากท n ของ z กตอเมอ xn = z

การหารากท n ของจานวน


23

ตวอยางท 17 จงหารากท 4 ทงหมดของ z = - 1 + 3 i วธทา เขยน z ในรปเชงขว ได r = | z | = 31+ = 2

tan θ = ab = ……………. = ………………..

เนองจาก (-1, 3 ) เป�นจดในควอดรนตท ……………… ดงนน θ = ………………… ดงนน z = ……………………………………………………….. รากท 3 ทงหมดของ z คอ

zk = 4 2 [ cos (4

360k120 °⋅+° ) + i sin(4

360k120 °⋅+° ) ] เมอ k = 0 , 1 , 2, 3

เพราะฉะนน รากท 4 ทงหมดของ z ไดแก

z0 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

= ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

z1 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

= ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

z2 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

= ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

z3 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

= ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ลองทาด จงแกสมการ 016x4 =+

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..


24

แบบฝ�กทกษะ จงใชทฤษฎบทของเดอมวพ หาคาของ 1. รากทสองของ 16i ( i2222,i2222 −−+ )

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

2. รากทสองของ i23

21+ ( i

21

23,i

21

23

−−+ )

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

3. รากทสามของ 1 ( i23

21,i

23

21,1 −−+− )

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..


25

***จงหาคาตอบทงหมดของสมการตอไปน

23 )i1(z += ( i2),i21

23(2),i

21

23(2 333 −+−+ )

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

เมอ 22 ba|z|r +==

และให zk เป�นรากท 2 ของ z

จะได

−

++

±= i2

ar2

arzk เมอ b R+∈

และ

−

−+

±= i2

ar2

arzk เมอ b R−∈

ตวอยาง จงหารากท 2 ของ 5 + 12i ดงนน รากท 2 ของ 5 + 12i คอ 3 + 2i และ -3 - 2i =============================================================================

แบบฝ�กหด ============================================================================

1. จงหารากท 2 ของ 5 – 12i ( 3 – 2i และ -3 + 2i)

รากท 2 ของจานวนเชงซอน โดยใชสตร


26

2. จงหารากท 2 ของ 3 + 4i (2+i และ -2-i)

3. จงหารากท 2 ของ -15 –8i (1 – 4i และ -1+4i) 4. จงหารากท 2 ของ 18i (3+3i และ -3-3i)

===========================================================================

ถา a+bi เป�นจานวนเชงซอน และ r เป�นจานวนจรงบวกแลว { r|)bia(z|Cz ≤+−∈ } คอเซตของจดทงหมด

ในระนาบเชงซอนทมระยะหางจาก (a, b) นอยกวาหรอเทากบ r ซงกคอจดทงหมดทอยภายในและบนวงกลมทม (a, b) เป�นจดศนยกลาง รศม r หนวย ดงรป

กราฟคาสมบรณอสมการของจานวนเชงซอน

X

Y

O

(a,b) r


27

ลองทาด จงเขยนกราฟของจด z ทงหมดในระนาบเชงซอนซงสอดคลองกบสมการหรออสมการตอไปน 1. 1|1z| ≤− 2. 2|1z| =−

จดศนยกลาง......... รศมยาว.........หนวย จดศนยกลาง......... รศมยาว.........หนวย 3. 3 | 3i 2-z| <+ 4. 2|1z| >−

จดศนยกลาง......... รศมยาว.........หนวย จดศนยกลาง......... รศมยาว.........หนวย 5. 2 | 2i - 1-z| ≤ 6. 3 | 2i - 2z| ≤+ จดศนยกลาง......... รศมยาว.........หนวย จดศนยกลาง......... รศมยาว.........หนวย

4

2

-2

-4

5 -5 X

Y 4

2

-2

-4

-5 5

4

2

-2

-4

5 -5 X

Y 4

2

-2

-4

-5 5

4

2

-2

-4

5 -5 X

Y 4

2

-2

-4

-5 5

4

2

-2

-4

5 -5 X

Y 4

2

-2

-4

-5 5

4

2

-2

-4

5 -5 X

Y 4

2

-2

-4

-5 5

4

2

-2

-4

5 -5 X

Y 4

2

-2

-4

-5 5


28

แบบฝ�กหดประยกต จงเขยนกราฟของจด z ทงหมดในระนาบเชงซอนซงสอดคลองกบสมการหรออสมการในขอตอไปน จงเขยนแสดงกราฟแสดงจด z ทงหมดในระนาบเชงซอนซงสอดคลองอสมการ 3|z| ≥ และสมการ 2|2z| <−

พจารณาการแยกตวประกอบตอไปน คอ =−9x2 .......................................... =−25x2 ...........................................

=−7x2 ...........................................

นาวธแยกตวประกอบขางตนชวยในการแยกตวประกอบจานวนเชงซอนได โดยจดรปสมการใหอยในรปแบบคลายกน เชน 1) 1x2 + =.....................................................................

=..................................................................... 2) 16x2 + =.....................................................................

=.....................................................................

4) 22 y16x9 + =..................................................................... =.....................................................................

***5) 81x4 − =..................................................................... =..................................................................... =.....................................................................

6) คาตอบของสมการ 036x2 =+ คอเทาใด (6i, -6i)

การแยกตวประกอบ

4

2

-2

-4

5 -5 X

Y 4

2

-2

-4

-5 5


29

คาตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 โดยท a , b , และ c เป�นจานวนจรงใดๆ และ a ≠ 0

คอ a2

ac4bb 2 −±− เมอ b2 – 4ac ≥ 0

และ คอ a2

i|ac4b|b 2 −±− เมอ b2 – 4ac < 0

ตวอยางท 18 จงแกสมการ 2x2 – 3x + 6 = 0 วธทา จาก 2x2 – 3x + 6 = 0

ดงนน คาตอบของสมการ คอ i439

43+ และ i

439

43−

=========================================================================== แบบฝ�กทกษะ

============================================================================ 1. จงแกสมการตอไปน

1.1 x2 + x + 1 = 0 1.2 2x2 + 2x + 25 = 0

……………………………………………………… ………………………………………………………. ……………………………………………………… ………………………………………………………. ……………………………………………………… ………………………………………………………. ……………………………………………………… ………………………………………………………. ……………………………………………………… ………………………………………………………. ……………………………………………………… ………………………………………………………. ……………………………………………………… ……………………………………………………….

สมการพนนาม

ทฤษฎบท ทฤษฎบทพชคณตเบองตน สมการพหนามกาลง n เมอ n เป�นจานวนเตมบวกทกสมการ จะมรากของสมการอยางนอยหนงราก

เฉลย

1.1 2

i31,

2

i31x

−−+−= 1.2

2

i71,

2

i71x

−−+−=


30

แบบฝ�กหด 2.1 x4 - 81 = 0 2.2 x4 - 16 = 0 ……………………………………………………… ………………………………………………………. ……………………………………………………… ………………………………………………………. ……………………………………………………… ………………………………………………………. ……………………………………………………… ………………………………………………………. ……………………………………………………… ………………………………………………………. ……………………………………………………… ………………………………………………………. ……………………………………………………… ………………………………………………………. ……………………………………………………… ………………………………………………………. ……………………………………………………… ……………………………………………………….

ตวอยาง จงหาเศษทเหลอจากการหาร x3 – 3x2 + 2x + 1 ดวย x - 1 และ x + 1 วธทา ให f(x) = x3 – 3x2 + 2x + 1 ได f(1) = 1 – 3 + 2 + 1 = 1 f(-1) = - 1 – 3 – 2 + 1 = - 5 ดงนน เศษทเหลอจากการหาร x3 – 3x2 + 2x + 1 ดวย x – 1 และ x + 1 คอ 1 และ - 5 ตามลาดบ ลองทาด

1. จงหาเศษจากการหาร 1x3x2x 24 ++− ดวย x + 3

ทฤษฎเศษเหลอ

ทฤษฎบท ทฤษฎบทเศษเหลอ (Remainder Theorem) เมอ f(x) = anxn + an –1xn-1+ an-2xn-2 + . . . + a1x + a0 โดยท n เป�นจานวนเตมบวก an , an-1 , an-2 ,..., a1 , a 0

เป�นจานวนจรง ซง an ≠ 0 ถาหารพหนาม f(x) ดวยพหนาม x – c เมอ c เป�นคาคงตวใดๆ แลวเศษจะเทากบ f( c )

เฉลย 2.1 i3,i3,3,3x −−=

2.2 x = 2, -2, 2i, -2i


31

2. จงหาเศษจากการหาร 4ixx3 ++ ดวย x – i

3. จงตรวจสอบวาพหนาม 1xxx 23 −−+ หารดวยพหนาม 1x + ลงตวหรอไม ===========================================================================

จงตรวจสอบโดยใชทฤษฎตวประกอบ วาพหนามทกาหนดใหเป�นตวประกอบของพหนาม 15xx17xx2 234 +−−+ หรอไม (1) 1x + (2) 2x + (3) 5x +

ทฤษฎตวประกอบ

ทฤษฎบท ทฤษฎบทตวประกอบ (Factor Theorem) เมอ f(x) = anxn + an –1xn-1+ an-2xn-2 + ... + a1x + a0 โดยท n เป�นจานวนเตมบวก an , an-1 , an-2 , ... , a1 , a0

เป�นจานวนจรง ซง an ≠ 0 ถาหารพหนาม f(x) นจะม x – c เป�นตวประกอบ กตอเมอ f(c) = 0


32

ขอตกลง ถาให P(x) เป�น พหนามตวตง H(x) = ax − เป�น พหนามตวหาร ขนตอนการหารจะเรมจากการใชคาคงตว a เป�นตวหารสมประสทธทกตวของพหนามตวตงทไดจากการเรยงลาดบดกรแลว ดงขนตอน ตอไปน พจารณา ขนตอนของการสงเคราะห จากตวอยาง ตอไปน ตวอยาง กาหนดใหพหนาม 24x14x13x2x 234 ++−− จงหาพหนามผลลพธจากการหาร ดวยพหนาม 3x + วธทา แบงเป�นลาดบขน ดงน ขนท

......................................................................1

...................................................................... 24 14 13 -2 13 −− แถวท 1

จะไดผลหารคอ Q(x) = 8x2x5x 23 ++− และเศษเหลอ คอ 0 จงได 3x + เป�นตวประกอบหนงของ 24x14x13x2x 234 ++−−

ลองทาด 1. จงหาคาตอบของสมการ 2x4 - x3 – 6x2 + 4x – 8 = 0

(คาตอบของสมการ คอ 2 , - 2 , 4

i151+ ,

4i151−

)

ทฤษฎบทตวประกอบจานวนตรรกยะ

วธการหารสงเคราะห เมอ พหนามตวหาร อยในรป ax −

แถวท 2

แถวท 3

ทฤษฎบทตวประกอบจานวนตรรกยะ กาหนดสมการพหนาม 0axa...xaxaxa 012n

2n1n

1nn

.n =+++++ −−

−−

โดยท n เป�นจานวนเตมบวก และ n n 1 n 2 n 3 2 0a ,a ,a ,a ,...,a ,a− − − เป�นจานวนเตมซง 0an ≠ ถาจานวนตรรกยะ bc

เป�น

คาตอบของสมการพหนามโดยท ห.ร.ม. ของ b และ c เทากบ 1 แลว c เป�นตวประกอบของ na และ b เป�นตวประกอบของ 0a


33

2. จงหาคาตอบทงหมดของสมการ 04x8x5x3 23 =+++

(คาตอบของสมการ คอ 32

− , 2

i71+− ,

2

i71−−)

==========================================================================

แบบฝ�กหด =========================================================================== 1.จงหาเซตคาตอบของสมการตอไปน 1.1 03xxx 23 =−++ 1.2 2x6x5x2 23 =+− 2. จงหาผลบวกของคาสมบรณของรากของสมการ 018x9x7xx 234 =−−+− (9)


34

ตวอยาง จงแสดงวา 2 + 3 i เป�นคาตอบของสมการ x4 - 7x2 + 20x + 14 = 0 และหาคาตอบทเหลอของสมการ วธทา

ลองทาด

1. กาหนด 2i เป�นคาตอบหนงของสมการ 4 3 2x 3x 5x 12x 4 0+ + + + = จงหาเซตคาตอบของสมการน

2. ถา 1 3 i− + และ 2 เป�นรากหนงของสมการ 5 3 2x 9x 8x 72 0+ − − = จงหาคาตอบทงหมดของสมการ

( 1 3i, 2, 3i− ± ± )

ทฤษฎบท ถาสมการพหนามกาลง n เมอ anxn + an –1xn-1+ an-2xn-2 + ... + a1x + a0 = 0 โดยท n เป�นจานวนเตมบวก an , an-1 , an-2 , ... , a1 , a 0

เป�นจานวนจรง ซง an ≠ 0 ม a + bi เป�นคาตอบของสมการแลว a - bi จะเป�นคาตอบของสมการดวย เมอ a และ bเป�นจานวนจรง โดยท b ≠ 0


35

3.จงหาสมการพหนามทมสมประสทธเป�นจานวนตรรกยะและมกาลงต�าสดซงม 2 3 2 i+ และ 4 - i เป�นคาตอบของ

สมการ ( 374x244x71x12x 234 +−+− ) 4. ถา 2+i เป�นรากทส ของ z แลวรากทสองของ z มคาเทาใด (8i, -8i)


36

ความนาจะเป�น

แฟคทอเรยลของ n เขยนแทนดวย n! อานวา แฟคทอเรยลเอน หรอ เอนแฟคทอเรยล ซงมนยามดงน นยาม แฟคทอเรยลของ n เมอ n เป�นจานวนเตมบวก คอ n! = n(n-1)(n-2)(n-3)……..3 2 1⋅ ⋅ ตวอยางท 1 จงหาคาของ 1) 4! 2) 7! 3) 10! วธทา 1) 4! = ………………………………………………………… 2) 7! = ………………………………………………………………………. 3) 10! = ………………………………………………………………………… หมายเหต ในทานองเดยวกนเราสามารถเขยน n! ใหอยในรปของแฟคทอเรยลของจานวนใด ๆ ทมคานอยกวา n ไดดงน

n! = n(n-1)! หรอ = n(n-1)(n-2)! หรอ = n(n-1)(n-2)(n-3)! หรอ = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)!

จาก n! = n(n-1)! ถาให n= 1 จะไดวา ; 1! = 1(1-1)! 1 = 1(0!) นนคอ 0! = 1

ตวอยางท 2 จงหาคาของ 1) !5!7

2) !7!5

!6

วธทา 1) !5!7

=………………………………………………

=……………………………………………….

2) !7!5

!6 = ………………………………………………

=………………………………………………

จานวนแฟกทอเรยล

จาไวใหดนะจะ


37

ตวอยางท 3 จงหาคาของ

1) 3! 5!3! 5!+−

= ……………………………………………………………………….

=………………………………………………………………………..

=……………………………………………………………………….. =………………………………………………………………………..

2) (n 2)!(n 1)!−+

= ………………………………………………………………………

=………………………………………………………………………..

=……………………………………………………………………..

ตวอยางท 4 กาหนดให (n 2)!n!+ = 30 จงหาคาของ n

วธทา ………………..…………………………………………………………………………………………………………..

………………..…………………………………………………………………………………………………………..

………………..…………………………………………………………………………………………………………..

………………..…………………………………………………………………………………………………………..

………………..…………………………………………………………………………………………………………..

จะไดวา; ………………………………………………………………………………..

ตวอยางท 5 จงเขยนจานวนตอไปนใหอยในรปของแฟคทอเรยล

1) 12×11 ×10 2) 27 3) n2

- 5n + 6 4) (2n+2)(2n+1)(2n) วธทา 1) 12×11 ×10 = ………………………………………..

= ………………………………………

2) 27 = …………………………………………..

=…………………………………………..

3) n2

- 5n + 6 = ………………………………………………

= ……………………………………………..

= ……………………………………………

4) (2n+2)(2n+1)(2n) = ……………………………………………….


38

=……………………………………………..

ลองทาด

1. ตองการแสดงเสอ 6 แบบแตกตางกนในตแสดงสนคาโดยแสดงเป�นแนวตรง จะจดวางแตกตาง กนไดทงหมดกวธ

(720 วธ)

2. ถานาเลขโดด 1, 2, 3, 4 มาจดเรยงเป�นจานวนทม 4 หลก แตละหลกไมซ�ากน จะจดไดทงหมดกวธ (24วธ)

3. มนกเรยนชาย 3 คน และนกเรยนหญง 2 คน รวมกบคร 1 คน ยนถายรปหมเป�นแถวตรง 1 แถว จงหาจานวนวธในการ

ยนถายรป เมอ

3.1 ไมมเงอนไขเพมเตม

3.2 ครยนอยรมแถว

3.3 นกเรยนหญงยนตดกน

วธเรยงสบเปลยน (Permutation)

จานวนวธเรยงสบเปลยนสงของ n จานวนทแตกตางกน จะมจานวนวธเทากบ n! วธ


39

4. มผชาย 4 คน หญง 3 คน มานงบนมานงแถวยาว จะมวธการนงไดทงหมดกวธเมอ

4.1 เพศเดยวกนนงตดกน

4.2 ชายทง 4 คนนงตดกน

4.3 หญงทง 3 คนนงตดกน

==========================================================================

แบบฝ�กหด =========================================================================

1. จงหาจานวนคาทเกดจากการสลบทของตวอกษร ของคาวา HISTORY

1.1 ไมมเงอนไข (5,040 คา)

1.2 พยญชนะทกตวอยตดกน (720 คา)

1.3 ไมมสระตวใดอยตดกน (3,600 คา)


40

2. มหนงสอแตกตางกน 7 เลม ประกอบดวยคณตศาสตร 3 เลม จงหาจานวนวธในการจดเรยงหนงสอแบบแถวยาวแถวเดยว

เมอ

2.1 หนงสอคณตศาสตรตองอยตดกน (720 วธ)

2.2 หนงสอคณตศาสตรอยหวแถวทายแถว (720 วธ)

3. คร 1 คน นกเรยนชาย 4 คน และนกเรยนหญง 4 คน ยนถายรปหมเป�นแถวยาวแถวเดยว จงหาจานวนวธในการยนตาม

เงอนไขตอไปน

3.1 ครยนตรงกลาง (40,320 วธ)

3.2 ครยนอยรม และนกเรยนชายยนตดกน (5,760 วธ)


41

ดงนน n,rP = n!

(n r)!− , r ≤n


1. จงหาคา จากขอตอไปน

(1) 7,5P =………………………………………………………….

=…………………………………………………………..

=………………………………………………………….. (2,520)

(2) 6,2P =………………………………………………………….

=…………………………………………………………..

=………………………………………………………….. (30)

(3) หาคา m จากสมการ m,4 m,2P 2P=

……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… (m=4)

จานวนวธเรยงสบเปลยนสงของ n จานวนทแตกตางกน นามาเรยงคราวละ r สง เป�นแนวตรงจะม

จานวนวธเทากบ n!

(n r)!− วธ โดยท r ≤n ซงเขยนแทนดวย n r n,rP , P หรอ P(n,r) ในทนเลอกใช

n,rP

วธเรยงสบเปลยนสงของ n สง นามาเรยงคราวละ r สง เป�นแนวตรง


42

ตวอยาง มวธการจดคน 3 คน จากคน 10 คน ใหทาหนาท ประธาน รองประธาน และเลขานการ ของ

คณะกรรมการจดงานวนเดก จะจดไดทงหมดกวธ (720 วธ)

แบบฝ�กหด ======================================================================

1. จดคนครงละ 3 คน จากคน 5 คน ใหยนเกบตวทประตหมายเลข 1 หมายเลข 2 และ หมายเลข 3 ตามลาดบ จะม

วธจดไดทงหมดกวธ (60 วธ)

2. สานกงานทะเบยนการคา จะจดทาปายทะเบยนแยกหมวดหมสนคาประเภทตาง ๆ โดยใหเลขทะเบยนขนตนดวย

ตวอกษร 2 จาก จากทกาหนดไว 5 ตว แตตอทายดวยเลขโดด 3 ตว ทแตกตางกน จงหาวาจะจดทาปายทะเบยนดงกลาว ซง

มเลขทะเบยนดงกลาวแตกตางกนไดกอน (14,400 อน)

3. ตองการสรางคาทประกอบไปดวยตวอกษร 4 ตวไมซ�ากน โดยเลอกมาจากคาวา SEMINAR จะสรางไดทงหมดกคา โดย

คาทสรางขนไมจาเป�นตองมวามหมายกได เมอ

3.1 ไมมเงอนไขเพมเตม (840 วธ)

3.2 อกษรตวแรกเป�นสระ และอกษรตวสดทายเป�นพยญชนะ (240 วธ)


43

3.3 คาทสรางมสระอยางนอย 1 ตว (816 วธ)

ตวอยางท 1 จดธงสขาว 3 ธง ธงสแดง 2 ธง และธงสน�าเงน 4 ธง แขวนในแนวเสนตรงจะเรยงสบเปลยนไดลกษณะตาง

ๆ กน ไดทงหมดกวธ

วธทา วธทงหมด = !2!4!3

!9

= ……………………………………………………….….

= 1,260 วธ

แบบฝ�กหด

1. จดแสดงหนงสอภาษาไทยทเหมอนกน 3 เลม หนงสอสงคมศกษาทเหมอนกน 4 เลม และหนงสอภาษาองกฤษท

เหมอนกน 2 เลม ในตแสดงหนงสอในแนวตรง จะเรยงสบเปลยนไดแตกตางกนทงหมดกวธ

(1,260 วธ)

2. ลกป�งปองสขาว 5 ลก สสม 3 ลก สชมพและสเหลองสละ 2 ลก จงหาจานวนวธทจะนามาเรยงใสกลองยาวซงบรรจลก

ป�งปองได 1 โหลพอด (166,320 วธ)

การเรยงสบเปลยนของทซ�ากน

ถามสงของอย n สง ในจานวนสงของ n สงนม n1 สงเหมอนกนเป�นกลมท 1 ม n2 สงเหมอนกนเป�นกลมท 2 ม

n3 สงเหมอนกนเป�นกลมท 3 ..., ม nk สงเหมอนกนเป�นกลม ท k โดยท n1 + n2 + n3 + ... + nk = n จานวน

วธเรยงสบเปลยนของสงของ n สงน เทากบ !n!...n!n

!n

k21 วธ


44

3. ตวอกษรคาวา “กรรมกร” นามาเรยงโดยไมจาเป�นตองมความหมายกได แตมขอแมวา จะตองขนตนดวย ก วธทเป�นไปได

ทงหมดเทากบเทาไร (20 วธ)

ตวอยางท 1 จงหาจานวนวธจดคน 8 คน เขาหองพก 3 หอง หองท 1 อยได 4 คน อก 2 หองอยไดหองละ 2 คน

ไดกวธ

ตวอยางท 2 ตองการแบงคนงาน 6 คนไปทางาน 3 งานงานละ 2 ได กวธ

ซงสตรวธเรยงสบเปลยนสงของทซ�ากน สามารถนาไปคดวธ จดคนเขาหองพก จดคนขนรถ ซงโจทย

ทานองนไดเชน


45

รปตวอยางของ 3 ชนคอ ABC เรยงเป�นวงกลม

ตวอยาง จด ชาย 6 คน หญง 6 คน ยนรอบกองไฟ ไดกวธ

1) ถาไมมขอกาหนดอนเพมเตม

2) ถาหญงยนสลบกบชาย

วธทา 1) ...............................................................................................

2) .........................................................................

การเรยงสบเปลยนเป�นวงกลม

1. การเรยงสงของ n สง เปนวงกลม )!1n( −= วธ

2. การเรยงสบเปลยน n สง เปนวงกลมสภาพ 3 มตจะได 2

)!1n( − วธ

3. จานวนวธทจดชาย n คน หญง n คน นงสลบกนเปนวงกลมจะได !n)!1n( − วธ

4. จานวนวธจะจดชาย n คน หญง n คน นงสลบทละ 2 คน เปนวงกลมจะได !n)!1n(2 − วธ

หมายเหต (3 มต) เชน พวงกญแจ, กาไล, ลกปะคา, สรอย, พวงมาลย, ลกปด,… จานวนวธเรยง

สบเปลยนเชงวงกลมของสงของ n สงซงแตกตางกนทงหมด


46

แบบฝ�กหด

1. จดบธแสดงสนคา 8 บธแตกตางกน เชงวงกลม จะจดเป�นแบบตางๆ ไดทงหมดกวธ

(5,040 วธ )

2. จดกระถางโปยเซยน 7 กระถางแตกตางกน และกระถางหงอนไก 7 กระถางแตกตางกน เรยงสบเปลยนเชงวงกลมไดก

วธ ถา วางกระถางโปยเซยนสลบกบกระถางหงอนไก (3,628,800 วธ)

3.. ดอกไม 6 ชนด จะรอยพวงมาลยไดกแบบ (60 วธ) 4. มชาย 3 คน หญง 3 คน จงหาจานวนวธทนงรอบโตะกลมโดยทชายหญงนงสลบกนคนตอคน (12 วธ)

5. ชาย 10 คน หญง 10 คน นงสลบทละ 2 เป�นวงกลมไดกวธ ( 2 9! 10!× × วธ)

6. จะทาสรอยคอโดยรอยลกป�ด 9 ลก ซงมขนาดตาง ๆ กนไดกแบบ (20,160 วธ)


47

7. มชาย 4 คน หญง 4 คน นงรอบโตะกลมไดกวธ ถามชายหญงคหนงขอนงตดกนเสมอไดกวธ (2!6! วธ) **8. มพอ แม ลกชาย 2 คน ลกสาว 2 คน นงรอบโตะกลม มกวธท พอแมนงตดกนและ ทกคนนงสลบทกนชายหญงหนงตอหนง (8 วธ) ขนท 1 จบลกชายและลกสาวนงสลบทกน ตามสตรได 2!1! = 2 วธ ขนท 2 จบพอแมแทรกระหวางลกชายและลกสาว ซงม 4 ท ได 4 วธ (ในขอนพอกบแมไมตองสลบกนเองเพราะบงคบสลบเพศอยแลว)

ลกชาย

ลกสาว

ลกชาย

ลกสาว

พอ

พอ

พอ

พอ

แม แม

แม แม


48

ลองทาด

1 จดคน 5 คนนงรอบโตะกลม โดยใหคนหนงจะตองนงทประจาทมดานหลงเป�นตนไม จะจดไดกวธ

(24 วธ)

2. จดคน 6 คน นงเป�นวงกลม โดยใหนาย ก และ นาย ข นงตรงขามกนเสมอ จะมวธทเป�นไปไดกวธ

(24 วธ)

3. จดเรยงกระดม 3 สเป�นวงกลม แตละสมจานวนไมเทากน โดยมสละ 2, 3, และ 4 เมด วธทเป�นไปไดทงหมดเทากบเทาไร

(140 วธ)

4. ถาตองการทาสดาและสขาวลงในชองบนแผนวงกลมทม 8 ชองดงรป โดยทาสดา 6 ชอง จะมวธทาทงหมดกวธ (4 วธ)

1. จดของ n สงแตกตางกนทงหมดเป�นวงกลม โดยมตาแหนงพเศษ 1 ตาแหนง จะจดได (n-1)! วธ 2. จดของ n สงแตกตางกนทงหมดเป�นวงกลม โดยมตาแหนงพเศษ 2 ตาแหนง จะจดได (n-2)! วธ 3. จดของ n สงเป�นวงกลม โดยสงของมลกษณะซ�ากน เป�น k กลม โดยกลมทหนงม n1 สง กลมทสอง ม n2 สง กลมทสามม

n3 สง ... กลมท k ม nk สงจะจดเป�นวธตางๆ ได 1 2 3 k

(n 1) !n !n !n !...n !

− ซงวธนถามเศษจากการหารใหป�ดขนเสมอ


49

การจดหมเป�นการหาจานวนวธการจดหมของสงของหลาย ๆ สงโดยไมคานงถงลาดบกอนหลง เชน ในการ

เลอกตวแทนนกเรยน 3 คนจากผสมคร 5 คน จะมวธเลอกทงหมดกวธ ป�ญหาเชนนเราจะไมสนใจอนดบทของคนทเราเลอก แตสนใจวาจะจดเป�นหม 3 คน ไดทงหมดกหม ถาเรยกผสมคร 5 คนนนวา ก,ข,ค,ง,จ การจดหมทละ 3 คนเหมอนกบการหาสบเซตทมสมาชก 3 ตวของเซต {ก,ข,ค,ง,จ} ซงมทงหมด 10 สบเซต ดงน {ก,ข,ค}, {ก,ข,ง}, {ก,ข,จ}, {ข,ค,ง}, {ข,ค,จ} , {ข,ง,จ}, {ค,ง,จ}, {ก,ค,ง}, {ก,ค,จ}, {ก,ง,จ}

ตวอยางท 1. ในการคดเลอกนกกฬาจานวน 5 คนจากผสมครจานวน 8 คน จะมวธเลอกทงหมดกวธ

วธทา n,rC = …………………………………………………………………………………………………………………

= ……………………………………………………………………………………= 56 วธ ดงนน จานวนวธในการคดเลอกนกกฬาจานวน 5 คน จากผสมครจานวน 8 คน มทงหมด 56 วธ ตวอยางท 2 มไพอย 13 ใบ คอ A โพดา,2 โพดา,3 โพดา ,...,10โพดา,j โพดา,Q โพดา,K โพดา จะเลอกหยบไพมา 3 ใบพรอมกน ไดกวธ 1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. ทกครงทหยบตองได A โพดา 3. ทกครงทหยบตองไมได A โพดา

วธทา 1) จาก n,rn!C

(n r) ! r !=

−

…………………..…..………………………………………………………………………………………………(286 วธ) 2) ขนท 1 เลอกหยบ A โพดา ได 1 วธ(เพราะวาม A โพดา 1 ใบ) ขนท 2 เลอกหยบไพใบอนทไมใช A โพดาอก 2 ใบ ได C12,2 วธ …………………………………………………………………………………………………………………(66 วธ)

วธจดหมของสงของ ทแตกตางกนทงหมด n สงโดยใหมหมละ r สงเมอ r <n จะเขยนแทนดวยสญลกษณ

n,rC หรอ nr

โดยท n,rn!C

(n r)!r !=

−

การจดหม (Combination)


50

3) วธทาท 1 เลอกหยบไพใบอน 12 ใบ (ไมเลอก A โพดา) ทละ3 ใบ ได C12,3 วธ ……………………………………………………………………………………………………………………………..(220 วธ) วธทาท 2 จะหยบได = จานวนวธของขอ 1 - จานวนวธของขอ 2 …………………………………………………………………………………………………………………………….. (220 วธ) จะเหนวาวธทาท 1 และวธทาท 2 ผลลพธเทากนสามารถเลอกทาวธใดกได

============================================================================

ลองทาด 1. ผกากบลกเสอเลอกลกเสอหมท 1 ทมลกเสออย 8 คน มา 3 คนเพอเกบขยะไดกวธ (56 วธ) 2. กลองใบหนงมลกหน 15 ลก ทแตกตางกนเป�นสเขยว 6 ลก สเหลอง 5 ลก สน�าเงน 4 ลก ถาหยบลกหนมา 3 ลกพรอมกน จงหาจานวนวธท 1.มสตางกนทกลก (120 วธ) 2.มสเหมอนกนทกลก (34 วธ) 3.ไมมสน�าเงน (165 วธ) 4.มสน�าเงนอยางนอย 1 ลก (290 วธ) 3. สมศรตองการเชญเพอนสนทซงม 10 คนมารบประทานอาหารดวยกน 6 คน ถาใน10คนนม 2 คนเป�นพนองกนจะเชญมาตองเชญทงคสมศรจะมวธเชญเพอนไดกวธ (98วธ)


51

1. ตองการเลอกกรรมการชดหนงประกอบดวยนกเรยนชาย 2 คน นกเรยนหญง 2 คน และคร 1 คน จากนกเรยนชาย 20 คน นกเรยนหญง 25 คน และคร 7 คน จะเลอกกรรมการไดทงหมดกวธ (399,000 วธ) 2. ในการคดเลอกกรรมการ 3 คน จากสมาชกสโมสร 20 คน ซงมสมชายเป�นสมาชกสโมสรแหงน จะมวธคดเลอกไดกวธโดยท (1) สมชายตองไดรบการคดเลอกเป�นกรรมการ (171 วธ) (2) ใน 20 คน ม 2 คนทเป�นสามภรรยากน จะถกเลอกเป�นกรรรมการทง 2 คนไมได (1122 วธ) 3. กาหนดจด 10 จด บนเสนรอบวงของวงกลมวงหนง ถาตองการลากสวนของเสนตรงเชอมจดทง 10 จดน จะมสวนของเสนตรงทเชอมจดเหลานมากทสดกเสน (45 เสน)


52

4. รป 10 เหลยมจากขอ 3 มเสนทแยงมมกเสน (35 เสน) **5. กลองใบหนงมลกบอลทแตกตางกน 11 ลก เป�นลกบอลสแดง 5 ลก สขาว 3 ลก และสน�าเงน 3 ลก ถาตองการหยบลกบอลพรอมกน 3 ลก จากกลองใบน จงหาจานวนวธการหยบ โดยทไดลกบอลสน�าเงนอยางนอย 1 ลก แตไมไดสขาว (46 วธ)


53

สามเหลยมปาสคาล (Pascal’s Triangle) นกคณตศาสตรชาวฝรงเศส ชอ Blaise Pascal เป�นทผนาสมประสทธของการ

กระจาย ( ) nba+ เมอ b,a เป�นจานวนจรงใด ๆ และ n เป�นจานวนเตมบวกมาเขยนเรยงกน จะเป�นลกษณะรปสามเหลยม จงเรยกการเรยงกนของคาทจดเรยงนวาสามเหลยมปาสคาล

จากตวอยางการกระจาย ( ) nba+

( ) 1ba 0 =+

( ) baba 1 +=+

( ) 222 bab2aba ++=+

( ) 32233 bab3ba3aba +++=+

( ) 4322344 bab4ba6ba4aba ++++=+

( ) 3223455 ba10ba10ba5aba +++=+ 54bab5 ++

ถานาสมประสทธจากการกระจายขางตนมาเขยนเป�นรปสามเหลยมปาสคาล ไดดงน

0

0 ( )1

0

1

1

1 ( )1 ( )1

0

2

1

2

2

2 ( )1 ( )2 ( )1

0

3

1

3

2

3

3

3 ( )1 ( )3 ( )3 ( )1

0

4

1

4

2

4

3

4

4

4 ( )1 ( )4 ( )6 ( )4 ( )1

0

5

1

5

2

5

3

5

4

5

5

5 ( )1 ( )5 ( )10 ( )10 ( )5 ( )1


54

ตวอยาง จงใชสามเหลยมปาสคาล กระจาย 7)ba( + ลองทาด จงใชสามเหลยมปาสคาล กระจาย 9)ba( +


55

ทฤษฎบทวนาม

ขอสงเกต จากการกระจายจะไดวา

หรอ

ตวอยาง. จงกระจาย ( )52 y2x + โดยใชทฤษฎบททวนาม วธทา จากทฤษฎบททวนาม จะได

( ) 543223455 bab45

ba35

ba25

ba15

aba +

+

+

+

+=+

แทนคา พจนหนา(a) = x 2 พจนหลง(b) = 2y ;

(x 2 +2y) 5 =

ถา n และ r เปนจานวนเตม โดยท nr0 ≤≤ แลว

( ) ∑

=+

=

−n

0r

rrnn barn

ba

หรอ ( ) nnn22n11n0nn bann

...ba2n

ba1n

ba0n

ba −−−

++

+

+

=+

หรอ ( ) n22n11nnn b...ba2n

ba1n

aba ++

+

+=+ −−

พจนท 1r + จะกระจายไดเปน rrn bar

n−

สตรนตองจานะ

พจนท 1r + จะกระจายไดเปน rrn พจนหลงพนจหนาr

n−


56

1)จงหาพจนท 4 จากการกระจาย 12

2

xa3x

+ )xa5940( 153

วธทา จากพจนท rrnพจนหลงพจนหนา

r

n1r

−

=+

2) จงหาพจนทไมม x จากการกระจาย 12

2

x1x

+ (พจนท 9)

วธทา พจนทไมม x คอพจนทม 0x สมมตใหพจนทม 0x เป�นพจนท 1r +


57

3) จงหาสมประสทธของพจนกลางจากการกระจาย 6

2

31y

− (

2720

− )

วธทา พจนกลางของการกระจาย 6

2

31y

−

คอ พจนท 4 เนองจากมการกระจาย 7 พจน

4) จงหาสมประสทธของ 46yx จากการกระจาย 10)y3x2( + (1,088,640)


58

แบบฝ�กหดประยกตเรองความนาจะเป�น *** กอนทาแบบฝ�กหดนใหนกเรยนทบทวนความรเรองความนาจะเป�นของวชาคณตศาสตรพนฐานกอน เพราะเป�นเรองทตอเนองกน 1. กลองใบหนงมลกบอล 30 ลก เป�นลกบอลสแดง 10 ลก สเขยว 10 ลก และสเหลอง 10 ลก ถาหยบลกบอลครงละ 1 ลก 3 ครง โดยหยบแลวไมใสคน คงหาความนาจะเป�นทจะไดลกบอลสแดง 2 ลก และสเหลอง 1 ลกตามลาดบ

(40615 )

2. มคน 10 คนซงใน 10 คนน มปารมและภผาอยดวย ถาจดคน 10 คน นงเป�นวงกลมจงหาความนาจะเป�นทปารม และภผานงตดกน (

92 )

3. กลองใบหนงมบตร 5 ใบ ซงมหมายเลข 1, 2, 3, 4 และ 5 ถาหยบบตรจากกลองใบน 3 ใบพรอมกน จงหาความนาจะเป�นทผลรวมของแตมบนบตรมากกวา 10 (

51 )


59

4. กลองในหนงมลกแกวขนาดเดยวกน 13 ลก เป�นสแดง 6 ลก สขาว 4 ลก และสเหลอง 3 ลก โดยทลกแกวทกลกตางกน ถาสมหยบลกแกวออกมา 3 ลกพรอมกนแลว จงหาความนาจะเป�นทจะไดลกแกวสตางกนทง 3 ลก

(14336 )

5. นกเรยนคนหนงมหนงสอคณตศาสตร 3 เลม หนงสอเคม 2 เลม และหนงสอฟ�สกส 1 เลม โดยทหนงสอทกเลมแตกตางกน ถานกเรยนคนนสมหยบหนงสอไปโรงเรยนอยางนอย 1 เลมแลว จงหาความนาจะเป�นท 1) ไดเฉพาะหนงสอคณตศาสตร (

91 ) 2) ไดเฉพาะหนงสอเคม (

211 )

6. ชายคนหนงมเสออย 5 ตวเป�นเสอสขาว 3 ตว สฟา 2 ตว และมกางเกงขายาว 4 ตว เป�นกางเกงสขาว 1 ตว สเทา 3 ตว ถาชายคนนแตงตวออกจากบานโดยไมเจาะจงแลว จงหาความนาจะเป�นทชายคนนจะสวมเสอและกางเกงสตางกน (

2017 )


60

7. ตะกราใบหนงมสม มงคด และมะมวงรวมกน 10 ลก โดยทจานวนสมเป�น 2 เทาของจานวนมงคด และมมะมวงอย 1 ลก โดยทผลไมทกลกแตกตางกน ถาหยบผลไมอยางไมเจาะจงจากตะกราใบนจานวน 3 ลก จงหาความนาจะเป�นทจะหยบผลไมชนดละ 1 ลก (

203 )

8. ถาความนาจะเป�นท นายธงชย จะสอบผานวชาคณตศาสตรและวชาภาษาองกฤษเป�น 0.6 และ 0.5 ตามลาดบ และความนาจะเป�นทผานอยางนอย 1 วชาเป�น 0.8 จงหาความนาจะเป�นทนายธงชยจะผานทงสองวชาน (0.3) 9. ถา 2P(A) = 3P(A’) แลว P(A) เป�นเทาใด (0.6)


61

ทฤษฎกราฟเบองตน ตวอยางของกราฟ

สวนประกอบของกราฟ (G)

• เซตของ จดยอด (vertices) แทนดวย V(G) • เซตของ เสนเชอม (edges) แทนดวย E(G)

G = (V, E) V(G) = {A, B, C, D} E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5}

ขอสงเกต V(G)=∅ ไดหรอไม -- > ไมได เพราะถาไมมจดยอดเลย กไมมอะไรใหพจารณาเป�นกราฟไดเลย E(G) =∅ ไดหรอไม -- >ได เสนเชอม เป�นสวนของเสนตรง,เสนโคง หรอ เสนคดกได

http://byfiles.storage.live.com/y1pdnpm6RytkWL96grqTcMYFFAMgPUwueG-cGm0R8jmBK7wzyoVOka_81Kx7LaGsFQhiwPEKoVIi8Q


62

เสนเชอมสองเสนอาจตดกนได โดยจดตดไมถอเป�นจดยอด

แบบฝ�กทกษะ จงหา V(G) และ E(G) เมอกาหนด G ดงน …………………………………………… ……………………………………………………. ………………………………………….. ……………………………………………………

ลกษณะของเสนเชอม • เสนเชอมขนาน (parallel edges)

• วงวน (loop)

การจาแนกประเภทของกราฟ

Non-directed graph กราฟไมระบทศทาง Directed graph กราฟระบทศทาง

กราฟไมระบทศทาง

1. a b

cd

f

1. a b

cd

f

a2.

1e

2e

3e 4e

b

c

a2.

1e

2e

3e 4e

b

c

G H RG H RHH RR

d

http://byfiles.storage.live.com/y1pdnpm6RytkWJCTFyfaahOmuYj8WK9JT4q5Q7rzK5Fjjl5r69FqUCxYHJRoanIFscznMe8o6WF_-0

http://byfiles.storage.live.com/y1pdnpm6RytkWLs8ukjcNdamy3HXchCrnO8yv_my2kVHI1ur2lGeLFM3nxSuUtCuv5W_6MF76ZAb00



http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E:Directed.png�

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%A0%E0%B8%B2%E0%B8%9E:Undirected.png�


63

G

H

สงเกต กราฟ G ไมมเสนเชอมขนาน ไมมวงวน กราฟ H มเสนเชอมขนาน กราฟ R มวงวน

นยาม ◊ กราฟทไมมเสนเชอมขนาน และไมมวงวน เรยกวา กราฟเชงเดยว (simple graph) ◊ กราฟทมเสนเชอมขนาน หรอมวงวน เรยกวา กราฟหลายเชง (multi graph) ทดสอบความเขาใจ กราฟใดเป�นกราฟเชงเดยว และกราฟใดเป�นกราฟหลายเชง

Dก กราฟเชงเดยว .................................. กราฟหลายเชง

…............................... พจารณากราฟ G และ H สงเกต สรปวา G และ H เป�นกราฟเดยวกน

4G 4G 5G5G 6G6G

G HGG HH




64

กราฟเดยวกน (identical graphs) กราฟ G และกราฟ H เป�น กราฟเดยวกน กตอเมอ V(G) = V(H) และ E(G) = E(H)

จดยอดประชด นยาม จดยอด u และจดยอด v เป�นจดยอดประชดกตอเมอมเสนเชอมระหวางจดทงสอง

สงเกต

จดยอด a และจดยอด b เป�นจดยอดประชด จดยอด a และจดยอด d เป�นจดยอดประชด

จดยอด c และจดยอด f เป�นจดยอดประชด

เสนเชอม นยาม เสนเชอม e เกดกบจดยอด v ถาจดยอด v เป�นจดปลายจดหนงของเสนเชอม e สงเกต ab และ ad เป�นเสนเชอมทเกดกบจดยอด a

ba และ bc เป�นเสนเชอมทเกดกบจดยอด b

cb,cf และ cd เป�นเสนเชอมทเกดกบจดยอด c fc เป�นเสนเชอมทเกดกบจดยอด f

ดกร (degree) ดกรของจดยอด v ในกราฟ คอ จานวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอด v ใชสญลกษณ deg v แทน ดกรของ v พจารณากราฟตอไปน

G HGG HH

a

b

cd

fa

b

cd

f

a

b

cd

fa

b

cd

f

จดยอด จานวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอด (ดกร)

a b c d

……….. ………… …………. ………..





65

พจารณากราฟตอไปน

degA =…………… degB =…………… degC =…………… degD =…………… degE =…………… ผลรวมของดกรของจดยอดทกจด = ………………………………………

ทฤษฎบททสาคญ หาจานวนเสนเชอม และผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟแตละกราฟตอไปน จานวนเสนเชอม =…………. จานวนเสนเชอม =………….

( )

................vdegGVv

=∑∈

( )

................vdegGVv

=∑∈

ให G เป�นกราฟทมจานวนเสนเชอมเป�น m จะได

เมอ m คอจานวนเสนเชอม และ

ตวอยาง 1 มเสนเชอมกเสนในกราฟทมจดยอด 10 จด แตละจดยอดมดกรเป�น 6 ตวอยาง 2 จงหาจานวนจดยอดของกราฟทมเสนเชอม 15 เสน และมจดยอด 3 จด ทมดกร 4 สวนจดยอดทเหลอมดกร 3

( )........................................vdeg

GVv=∑

∈

( )deg

v V Gv

∈∑ เปนจานวนคเสมอเปนจานวนคเสมอ

( )deg

v V Gv


( )deg

v V Gv


( )deg

v V Gv

∈∑ = 2m2m( )

degv V G

v∈∑ =

( )deg

v V Gv

∈∑ = 2m2m

http://byfiles.storage.live.com/y1pdnpm6RytkWIMdnk5Lu0G3fqoq8EsZo-EbrmFi64yGrcggnqXr2nQ3qw6eo4b-jX2cdqeeIm8NaY


66

ตวอยาง 3 จงพจารณาวาเป�นไปไดหรอไมวาจะมกราฟทมจดยอด 4 จด และดกรของจดยอดคอ 1, 1, 2 และ 3

แนวเดน

เราสามารถเดนจากจด C ไปยงจด D ไดหลายทาง เชน C→B→D เขยนเป�นลาดบไดวา C, e7, B, e6, D

หรอ C→A→D เขยนเป�นลาดบไดวา C, e1, A, e3,D หรออน ๆ

หรอ C→B→A→D เขยนเป�นลาดบไดวา

C, e7,B, e5, A, e3, D นยาม เรยกลาดบ (ทประกอบดวยจดสลบกบเสน) ดงเชน C, e7, B, e6, D C, e1, A, e3,D C, e7,B, e5, A, e3, D วา แนวเดน C–D


67

กราฟเชอมโยง

นยาม กราฟ G เรยกวา กราฟเชอมโยง (connected graph) กตอเมอสาหรบจดยอด u และ v ทเป�นจดยอด

ตางกน ในกราฟ G จะมแนวเดน u-v **หรอพดงายๆไดวา ทกๆจดยอดมแนวเดนถงกน

G เป�นกราฟเชอมโยง H ไมเป�นกราฟเชอมโยง

วงจร

วงจร คอ แนวเดนทเสนเชอมทงหมดแตกตางกน โดยมจดเรมตนและจดสดทายเป�นจดยอดเดยวกน หรอ วงจร คอ แนวเดนซงเรมและจบทจดยอดเดยวกน โดยไมใชเสนเชอมซ�ากนเลย

แนวเดน A-A (ลาดบ A, e2, C, e7, B, e6, D, e4 ,A) เป�นวงจร สงเกตวา

วงจรนไมผานเสนเชอม e1 และ e3

GG

HH



68

วงจรออยเลอร

วงจรทผานจดยอดทกจด และผานเสนเชอมทกเสนของกราฟ เรยกวา วงจรออยเลอร กราฟออยเลอร กราฟทมวงจรออยเลอร เรยกวา กราฟออยเลอร ป�ญหา เป�นไปไดไหมทจะเรมตนจากจดหนงบนแผนดน แลวเดนขามสะพานใหครบทกสะพาน และกลบ มายงจดเรมตนโดยไมซ�าสะพานเดมเลย

แนวคด ใหแผนดนและเกาะเป�นจดยอดและใหสะพานเป�นเสนเชอม จะไดกราฟดงน ลกษณะของป�ญหาเหมอนกบ “การลากเสนวาดรปโดยไมยกดนสอ” ป�ญหาสะพานน ถกแกโดยนกคณตศาสตรชอ เลออนฮารด ออยเลอร

ในป� ค.ศ.1736 การแกป�ญหากเพยงพจารณาวากราฟทางขวา “เป�นกราฟออยเลอรหรอไม”

จะทราบไดอยางไรวากราฟใดเป�นกราฟออยเลอร!!! กาหนดให G เป�นกราฟเชอมโยง G จะเป�นกราฟออยเลอร กตอเมอ จดยอดทกจดของ G เป�นจดยอดค


https://z3itqw.bay.livefilestore.com/y1mm9q3cdRFq2DP7je5yKadaGE6hnaHsF9NX2aFvLJ9Y8yOcc3TJKZqzRf6kZsG99tTV50dc1ndZZviic4ZBKcse2he7rcxIpCfUAkHSxApMY7anJAIVLIbMTa5qDz7k7xVs4RSl3WlL4QM6QMNK7hIEQ/DookDik_019_onion.gif


69

ในตนไมใด ๆ จดยอดทมดกร = 1 เรยกวาใบ (leaf)

ตวอยาง 1 กราฟใดเป�นกราฟออยเลอร

การประยกตของกราฟ

วถ คอ แนวเดนในกราฟทจดยอดทงหมดแตกตางกน

วถทสนทสด จากจดยอด A ถง Z ในกราฟถวงน�าหนกคอวถ A-Z ทผลรวมของคาน�าหนกในวถ A-Z

นอยทสด วถทสนทสด กราฟนเป�นกราฟถวงน�าหนก ซงจาลองจากแผนทเมอง โดยใหจดยอดแทนเมอง และเสนเชอมแทนถนน และคาน�าหนกเสนเชอมแทนระยะทางระหวางเมองสองเมอง

ภารกจ: ตองการหาระยะทางทสนทสดจากเมอง A ไปยง

เมอง E .......................................................

วฏจกร คอ วงจรทไมมจดยอดซ�ากนยกเวนจดเรมตนและ

จดสดทาย

ตนไม คอ กราฟเชอมโยงทไมมวฏจกร ตวอยาง ตนไม

C ไมเป�นตนไมเพราะมวฏจกร D ไมเป�นตนไมเพราะไมเป�นกราฟเชอมโยง

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

321 GGG 321 GGG


https://z3itqw.bay.livefilestore.com/y1mbCwIXqPsP_McAGqKxN23QC2cN5STg0k6Lk3R9bSgnvmS-Wc6au_FVpldBDMFOi4_7CMh7Eel43Jc0l8CCnt05eEg6w8mKU_vVe9vu9g_ubw-FWu2fKb17BM3f6fOX4IUdJPUsOHuflmAPOu44UK9cw/DookDik_013_onion.gif

https://z3itqw.bay.livefilestore.com/y1mbCwIXqPsP_McAGqKxN23QC2cN5STg0k6Lk3R9bSgnvmS-Wc6au_FVpldBDMFOi4_7CMh7Eel43Jc0l8CCnt05eEg6w8mKU_vVe9vu9g_ubw-FWu2fKb17BM3f6fOX4IUdJPUsOHuflmAPOu44UK9cw/DookDik_013_onion.gif


70

ความสมพนธระหวางตนไม จดยอด และ เสนเชอม ตนไม จานวนจด

ยอด จานวนเสน

เชอม ตนไม จานวนจด

ยอด จานวน

เสนเชอม

ขอสงเกต ความสมพนธระหวางจานวนจดยอดกบจานวนเสนเชอมของตนไม ............................................................................................................................................... .....................................

...........................................................................................................................................................

รอยเดน

รอยเดอน u-v คอแนวเดน u-v ทเสนทงหมดแตกตางกน ความแตกตางระหวาง แนวเดน รอยเดน และวถ

1. แนวเดน เป�นการเขยนการเดนทางสลบระหวางจดยอดกบเสนเชอง 2. รอยเดน คอแนวเดนทมเสนเชอมไมซ�ากน แตจดยอดอาจซ�ากนได 3. วถ คอ แนวเดนทมทงเสนเชอม และจดยอดไมซ�ากน

จากรป พจารณาวาแนวเดนตอไปนเป�นรอยเดน หรอ วถ หรอไม แนวเดน รอยเดน วถ

A, e1, B, e2, C,e3,D A, e6, C,e3,D e4, E, e5, C, e2,B

A, e1, B, e2, C,e3,D, e4, E, e5, C, e2,B

**ขอสงเกต แนวเดนทเป�นวถ จะเป�นรอยเดนดวย

A

B

C D

E

e6

e5 e4

e3 e2

e1

http://byfiles.storage.live.com/y1pdnpm6RytkWK30_EZfRaFRB9tUik69AsQsYE-Z_sNRSAQvMnxDHwaG2yHKsgeaPKemETHi8M6VvE


71

พจารณากราฟ G และ H

V(G) = { A, B, C, D } V(H) = { A, B, C, D } E(G) = {AB, BC, CD, DA, BD} E(H) = {AB, BC, DA, BD}

จะไดวา กราฟ H เป�นกราฟยอยของกราฟ G ทดสอบความเขาใจ กราฟใดเป�นกราฟยอยของ G

กราฟยอย กราฟยอย ของกราฟ G คอกราฟทประกอบดวยจดยอดและเสนเชอมใน G กลาวคอ กราฟ H เป�นกราฟยอยของกราฟ G ถา V(H) ∈ V(G) และ E(H) ∈ E(G)

http://byfiles.storage.live.com/y1pdnpm6RytkWIK754Ss-bBFxYaOeNonUEdH1xyf0-JEBoOMnRoaRMEX6WlJghB0s3VLsmSZ5qIbDc


72

กราฟ H1, H2 , H3 , H4 และ H5 กราฟเป�นกราฟยอยของกราฟ G ทบรรจทกจดของกราฟ G ทเป�นตนไม

G

พจารณาตนไมแผทวของกราฟตอไปน

H1:

H4:

H2:

H3:

H5:

H1:

H4:

H2:

H3:

H5:

ตนไมแผทว

ตนไมแผทว คอตนไมซงเป�นกราฟยอยของกราฟเชอมโยง G ทบรรจจดยอดทกจดยอด

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

http://byfiles.storage.live.com/y1pdnpm6RytkWJ2vjfKph4AIwmschpKAFENy9ddP9xRGNdZ4dTQ0oW2LywlHBNHpYJeey3MF8tM6js


73

จงหาตนไมแผทวทนอยทสด วธทา หาตนไมแผทวทงหมด H 1 ผลรวมน�าหนกเสนเชอม ......... H2 ผลรวมน�าหนกเสนเชอม ......... H3 ผลรวมน�าหนกเสนเชอม .........

ดงนนตนไมแผทวทนอยทสดคอ.......... ตวอยาง ป�ญหาการวางสายโทรศพท

• บรษทรบเหมาตดตงโทรศพทแหงหนง ตองการวางสายโทรศพทเชอมระหวางหมบาน A, B, C, D, E และ F โดยจะวางสายไปตามถนน ถาคาใชจายในการวางสายโทรศพทขนอยกบความยาวของสาย โทรศพท บรษทนจะวางสายโทรศพทอยางไรใหเสยคาใชจายนอยทสด เมอกาหนดตารางแสดงระยะทาง (กโลเมตร) ของถนนทเชอมระหวางหมบานดงน

หมบาน A B C D E F

A - 30 - - - 40

B 30 - 10 - 50 20

C - 10 - 20 30 -

D - - 20 - 10 20

E - 50 30 10 - 60

F 40 20 - 20 60 -

ตนไมแผทวทนอยทสด คอ ตนไมแผทวทมผลรวมของคาน�าหนกของแตละเสนเชอมนอยทสด

1

1

211

1

21

1 211 21

1

21

1

21

1

1

11

1

1

http://byfiles.storage.live.com/y1pdnpm6RytkWJW7NyoPGCvDuLHgydcUY-LRK9rrOHRdUDdYRgxp9Np82_UpdvjvzPlIcch-3epA2M


74

วธทา แปลงป�ญหาเป�นกราฟถวงน�าหนก ขนท 1

• จดลาดบเสนเชอม • เรยงคาน�าหนกของเสนเชอมจากนอยไปมาก

• 10, 10, 20, 20, 20, 30, 30, 40, 50, 60

ขนท 2 ขนท 3

ขนท 4 ขนท 5

30

4020

50

60

1020

30

2010A

B C

D

E

F

30

4020

50

60

1020

30

2010A

B C

D

E

F

30

4020

50

60

1020

30

2010A

B C

D

E

F

30

4020

50

60

1020

30

2010A

B C

D

E

F

30

4020

50

60

1020

30

2010A

B C

D

E

F

30

4020

50

60

1020

30

2010A

B C

D

E

F

30

4020

50

60

1020

30

2010A

B C

D

E

F

30

4020

50

60

1020

30

2010A

B C

D

E

F

30

4020

50

60

1020

30

2010A

B C

D

E

F

30

4020

50

60

1020

30

2010A

B C

D

E

F

30

4020

50

60

1020

30

2010A

B C

D

E

F


75

ขนท 6 • เลอกเสนเชอมทเหลอทมคาน�าหนกต�าสด • ในทนเหลอ BF ซงมคาน�าหนก 20

• แตเลอกไมได เพราะถาเลอกแลวจะเกดวฏจกร • จงตองเลอกคาน�าหนกเสนเชอมเป�น 30 แทน

• มสองทางคอ AB และ CE • แตถาเลอก CE แลวจะเกดวฏจกร จงเลอก AB

ไดตนไมแผทวนอยทสดทมผลรวมของคาน�าหนกเสนเชอม 10 + 10 + 20 + 20 + 30 = 90 ดงนนบรษทรบเหมาแหงนตองวางสายโทรศพทตามถนน ซง มระยะทาง 90 กโลเมตร

ขอสงเกต ตนไมแผทวทนอยทสดของกราฟอาจจะมไดมากกวา 1 แบบ

30

4020

50

60

1020

30

2010A

B C

D

E

F

30

4020

50

60

1020

30

2010A

B C

D

E

F

30

4020

50

60

1020

30

2010A

B C

D

E

F

3010

20

2010A

B C

D

E

F

3010

20

2010A

B C

D

E

F

3010

20

2010A

B C

D

E

F

3020

1020

10

A

B CD

EF

3020

1020

10

A

B CD

EF

30

20

10

2010

A

B CD

EF

30

20

10

2010

A

B CD

EF


76

แบบฝ�กหด 1. กาหนดกราฟ G ดงรป

1.1 วถจาก a ถง d มกวถ อะไรบาง 1.2 วถสนทสดจาก a ถง d คอวถใด และมผลรวมของคา

น�าหนกเป�นเทาใด

8

5

6

10

9

5

6

12

11

A

B

F

C

E

D

http://byfiles.storage.live.com/y1pdnpm6RytkWJ2vjfKph4AIwmschpKAFENy9ddP9xRGNdZ4dTQ0oW2LywlHBNHpYJeey3MF8tM6js


77

2. กาหนดใหหมบาน 7 หมบานแทนดวยจดยอด a, b, c, d, e, f และ g บรษทรบตดตงโทรศพทแหงหนง ตองการ

ตดตงโทรศพทโดยตองการใหเสยคาใชจายนอยทสด ซงคาใชจายนขนอยกบระยะทางของถนนทเชอมระหวางหมบานเหลาน ถาถนนทเชอมระหวางหมบานคอกราฟทมน�าหนกดงรป และน�าหนกคอระยะทางของถนนสายนน จงหาตนไมแผทวทนอยทสดททาใหการตดตงโทรศพทของหมบาน 7 หมบานนเสยคาใชจายนอยทสด

2

1

2

3

2

2

3

2

1

2

1

1

1

C

H

A

G

B

F

E

D


78

1

5

1

3

2

5

4

2

A

B

C

D

F

E

จงหาตนไมแผทวทนอยทสดของกราฟถวงน�าหนกตอไปน 1) 2) 3) 4) 5) 6)

3

4

1

4

2

9

E

A

B

C

F

D

2

4

2

3

2

1

2

2

3

2

2

3

M

G

I

K

O

H

L

N

J

1

2

2

3

5

6

1

4

3

P

Q

S

R

T

U


79

7) 8)

จงหาตนไมแผทวทนอยทสดของกราฟถวงน�าหนกตอไปน

1)

2)

5

7

8

2

3

5

3

9

A

B

C

D

E

F

2

5

9

4

7

7

6

4

1

2

1

8

G

I

H

M

K

L

J


80

3) 4) ใหหาเสนทางการวางสายโทรศพทไปตามถนนเพอใหเชอมตอกนไดครบทกหมบาน โดยเสยคาใชจายในการวางสาย

นอยทสด (คาใชจายแปรผนตามระยะทาง) กาหนดใหถนนระหวางหมบานมระยะทางเป�นดงน AB=30, AF=40, BC=10, BE = 50, BF=20, CD= 20, CE=30, DE=10, DF=30 และ EF=60 (หนวยเป�นกโลเมตร)

4

5

3

2

4

4

3

5

5

5

S

R

Q

U

T


81

ลองทาด

1 คาวา “กราฟ” ในทฤษฎกราฟเบองตนหมายถงสงใดตอไปน 1.กราฟของความสมพนธหรอฟ�งกชน 2.กราฟของสมการระหวาง x และ y 3.แผนภาพทใชแทนเซตของจดและเซตของเสนเชอม

4.แผนภาพทใชแทนจานวนจรงกบเซตของดานของรปเหลยม 2 จากกราฟ G ทกาหนดให V(G) คอขอใดตอไปน

1. {{A},{B},{C},{D}} 2. {A, B , C , D } 3. {e1 , e2 ,e3 , e4 , e5 , e6 , e7 } 4. {e1 , e3 , e4 , e6}

3 จากกราฟ G ทกาหนดให E(G) คอขอใดตอไปน

1. {{A}, {B}, {C}, {D}} 2. {A, B , C , D } 3. {e1, e2 ,e3 , e4 , e5 , e6 , e7 } 4. {e1 , e3, e4 ,e6 }

4 จากกราฟ G ทกาหนดให ขอใดกลาวถกตอง

1. V(G) = {{a},{b},{d},{e},{f}}


82

2. E(G) = {ab, bc, de, ef} 3. จานวน V(G) = 5 4. จานวน E(G) = 3

5. กาหนดกราฟ G มจด a , b , c , d มเสน ab , bc , bd และ dc เขยนแผนภาพแทนกราฟ G ไดตรงกบขอใด

1.

2.

3. 4. ไมมขอใดถกตอง

6. กราฟขอใดตอไปนเป�นกราฟเดยวกน

1. 2. 3.


83

4.

7 จากกราฟทกาหนดใหเสนเชอมคใดเป�นเสนเชอมวงวน

1. e7 และ e8 2. e1 , e3 ,e4 และ e8 3. e1 และ e4 4. e2 และ e6

8. จากกราฟเสนเชอมคใดเป�นเสนเชอมขนาน

1. e1 และe4 2. e3 และe8 3. e7 และe8 4. e2 และe6


84

9. จากกราฟขอใดไมถกตอง

1. เสนเชอมทเกดกบจดยอดA คอ e1 , e7 และ e8 2. เสนเชอมทเกดกบจดยอดB คอ e4 , e5 , e7 และ e8 3. จดยอด A กบจดยอด E เป�นเป�นจดยอดประชด 4. จดยอด A กบจดยอด Dไมเป�นจดยอดประชด

http://www.vcharkarn.com/exam/index.php/view/answer/686/14857

http://www.vcharkarn.com/exam/index.php/view/answer/686/14857


85

10. ในงานสงสรรคแหงหนง ผทมาถงงานคนแรกไดจบมอทกทายกบเจาภาพ (มคนเดยว) ผมาถงงานคนทสองไดจบมอทกทายกบเจาภาพและผทมาถงงานคนแรก ผทมาถงงานคนทสามไดจบมอทกทายกบเจาภาพ ผทมาถงงานคนแรกและผทมาถงงานคนทสอง ในทานองเดยวกนผทมาถงงานคนตอไปกไดจบมอทกทายกบเจาภาพและผทมาถงงานกอนหนานนทกคน ถาในงานนมผมารวมงานทงหมด 8 คน รวมทงเจาภาพ จะมการจบมอทงหมดจานวนกครง 1. 28 2. 56 3. 84 4. 14 11. การแขงขนแบดมนตนมผสมครแขงขน 6 คน โดยการแขงขนแบบพบกนหมด อยากทราบวาตองจกการแขงขนขนทงหมดกค 1. 10 2. 15 3. 20 4. 25 ในชวตประจาวนเกยวกบความคด การตดสนใจ หลายป�ญหาสามารถใชทฤษฎกราฟชวยในการแกป�ญหาได ตวอยางของการแกป�ญหาดวยกราฟเชน

ป�ญหาการจดสรรทรพยากร (assignment problem)

สมจต สมใจ สมคด สมบรณ และสมชาย เป�นบคคลทไดรบการจดสรรใหทางาน ซงมงานทงสนหางานคอ 1, 2, 3, 4 และ 5

• สมจต ทางานไดทกงาน

• สมใจ ทางานไดทกงาน ยกเวนงานท 3

• สมคด ทางานได เฉพาะงานท 1 และงานท 4

• สมบรณ ทางานไดเฉพาะงานท 2, 4 และท 5

• สมชาย ทางานไดทกงาน

การแกป�ญหาดวยการแทนดวยกราฟ เพอตรวจสอบดวามวธการจดแบงงานใหกนทาไดอยางไร


86

โจทยระคน 1. จงหาคาของ 97 −⋅−

2. จงหาคาของ 176352512

100998877

iiiiiiii

++++++

3. จงหาคาของ

3.1 (2 – i) (1 + 3i) 3.2 i42i36

++

4. จงเขยนจานวนเชงซอน )4i)(3i)(2i)(1i(i

10++++

ใหอยในรปของ a+bi

5. จงหาคาของ 25)i1i1(

−+


87

6. จงหาคาของ

i1ii1

ii1

i

+++

++ ใหอยในรป a + bi )i

83

83( +

7. กาหนดให a + bi เป�นจานวนเชงซอน ซง (3 + 4i)(a + bi)(-12 – 5i) = 2 – 4i คาของ | a + bi | เป�นเทาไร

ก. 65

52 ข. 1350 ค.

6524 ง.

6516

8. ให z, 21 z,z เป�นจานวนเชงซอนใด ๆ โดยท z เป�นสงยคของ z และ |z| คอคาสมบรณของ z ขอความใดตอไปนผด

ก. 2|z|zz = ข. ถา 1b เป�นสวนจนตภาพของ 1z และ 2b เป�นสวนจนตภาพของ 2z แลว 21 bb + คอสวนจนตภาพของ 21 zz +

ค. zz =

ง. ถา )zRe()zIm(tan =θ แลว )cosi(sinzz θ+θ=


88

9. จงหาผลคณของรากทงหมดของสมการ 8x2x 24 =− (-8) 10. ให 1z และ 2z เป�นรากทสองของ -15 – 8i จงหาคาของ 21 zz +

ก. 0 ข. 4 ค. 2 + 8i ง. 3 + 6i 11. จงหารากทงหมดของสมการ 0i2xx2 2 =++−


89

12. จงหาคาของ a ในสมการ 06x7axx2 23 =−++ เมอม 2 เป�นคาตอบหนงของสมการ

13. จงหาคาของ 10)i1( +−


90

4

2

-2

-4

-5 5

14. จงเขยนแสดงกราฟแสดงจด z ทงหมดในระนาบเชงซอนซงสอดคลองอสมการ 1|i1z| ≥−+ และอสมการ

3|2z| <−

15. จงหาคาของ 2

32

1

z

zz ⋅ เมอกาหนดให )15sini15(cos2z oo

1 += , )5sini5(cosz oo2 += และ

)20sini20(cos2z oo3 +=

4

2

-2

-4

5 -5 X

Y

4

2

-2

-4

5 -5 X

Y


91

16. จงแสดงวา i21+− เป�นคาตอบของสมการ 03xxx 23 =−++

Documents

คณิตศาสตร์เพิ่ม 4 5complex number) เก ดข นเน องจากความพยายามของน กคณ ตศาสตร ในการแก