MATEMATICĂClasa a VII-a

ALGEBRĂSemestrul I

MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE

MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALEUn numar rational se poate exprima fie printr-un cat neefectuat, m:n, fie printr-o fractie ordinara, ,

n

m

fie printr-o fractie zecimala finita sau periodica (catul efectuat al numerelor naturale sau intregi m si n, n0).

AMPLIFICAREA

0,)

aan

am

n

ma

SIMPLIFICAREA

0,:

:(

aan

am

n

m a

Multimea numerelor rationale o notam cu Q.

*ZnşiZmn

mQ

Q+ = multimea numerelor rationale pozitive.

Unde a = c.m.m.d.c. a lui m si n..

SCRIEREA NUMERELOR RAŢIONALE SUB FORMA ZECIMALĂ SAU FRACŢIONARĂ

TRANSFORMAREA UNEI FRACTII ORDINARE IN FRACTIE ZECIMALA

Se face prin efectuarea catului dintre numaratorul si numitorul fractiei:

EXEMPLE:

)3(1,215

32);3(,3

3

11;4,1

5

7

TRANSFORMAREA UNEI FRACTII ZECIMALE IN FRACTIE ORDINARA:

EXEMPLE:

3

7

9

21

9

223)3(,2

3(

5

9

10

188,1

2(

15

32

90

192

90

21213)3(1,2

6(

110

467

990

4203

990

424245)45(2,4

9(

.

REPREZENTAREA PE AXĂ A NUMERELOR RAŢIONALE

Pentru a reprezenta pe o axa mai multe numere rationale, este indicat ca numerele rationale sa fie ordonate crescator. Pentru ordonarea acestora, aceste numere este necesar sa aiba aceeasi forma de prezentare – sub forma de fractii ordinare cu acelasi numitor.

EXEMPLU: Fie multimea A = {-1,5; 3,(3); 0; -2,2; 3,3; -2,(2); 1,5}Transform numerele date in fractii ordinare:

2

35,1;

9

20)2(,2;

10

333,3;

5

112,2;

3

10)3(,3;

2

35,1

Aducem fractiile la acelasi numitor (in cazul nostru acesta este 90):

90

135

2

3;

90

200

9

20;

90

297

10

33;

90

198

5

11;

90

300

3

10;

90

135

2

3

Acuma, dupa comparatia numerelor , le putem reprezenta pe o axa:

0 -1,5-1,5 3,3 3,(3)-2,2-2,(2)

Se poate aborda si o alta strategie..

OPUSUL, INVERSUL, MODULUL UNUI NUMĂR RAŢIONAL

OPUSUL UNUI NUMAR RATIONAL

Opusul lui a este –a, astfel incat a + (-a) = 0

Exemple: opusul lui 2,5 este -2,5; opusul lui -4,8 este 4,8.

INVERSUL UNUI NUMAR RATIONAL

Inversul lui a este a

1 astfel incat 11

a

a

Exemple:;2

5

5

2esteluiInversul ;

3

13 esteluiInversul

MODULUL UNUI NUMAR RATIONAL

0,

0,

adacăa

adacăaa

EXEMPLE:

5 = 5; -2 = 2

.

ADUNAREA/SCĂDEREA NUMERELOR RAŢIONALE

Adunarea/scaderea fractiilor ordinare:

-Se afla numitorul comun al fractiilor date; -Se amplifica corespunzator fractiile date; -Numaratorii amplificati se aduna/scad deasupra aceleasi linii de fractie.EXEMPLU:

12

17

12

6815

2

1

3

2

4

5 )6)4)3

Adunarea/scaderea fractiilor zecimale finite:

-Se aseaza numerele unul dedesubtul celuilalt, astfel incat virgulele sa fie una dedesubtul celeilalte; -Se face adunarea/scaderea conform algoritmului cunoscut; -Virgula se pune la rezulta, ,,coborand-o’’ pe verticala.

2,15+ 49,30 51,45

EXEMPLU:

.

PROPRIETATILE ADUNARII

IN MULTIMEA Q•Adunarea este asociativa:

•Adunarea este comutativa:

•Elementul neutru al adunarii este 0:

•Pentru orice a exista –a, opusul lui a, astfel incat:

(a + b) + c = a + (b + c)

a + b = b + a

a + 0 = 0 + a = a

a + (–a) = (–a) + a = 0

.

INMULŢIREA NUMERELOR RAŢIONALE

Prin inmultirea a doua numere rationale reprezentate prin fractii ordinare se obtine o fractie ordinara unde numaratorul este produsul numaratorilor si numitorul este produsul numitorilor.

45

14

95

72

9

7

5

2

Inmultirea semnelor:

factor factor produs

+ + +

+ - -

- + -

- - +

Proprietatile inmultiriiEste comutativa

Este asociativa

Elementul neutru este 1

Este distributiva fata de adunare/scadere

a b = b a

a (b c) = (a b) ca 1 = 1 a = a

a (b+c)=a b+a c

.

IMPĂRŢIREA NUMERELOR RAŢIONALEPentru a imparti doua fractii ordinare, se inmulteste prima fractie cu a doua fractie inversata.

3

8

171

456

9

38

19

12

38

9:

19

12 57(

Impartirea semnelor este la fel ca la inmultirea semnelor.

TEOREMA IMPARTIRII CU REST:

d = i c + rUnde:d = deimpartitul i = impartitorul c = catul r = restul

r < i.

PUTEREA UNUI NUMĂR RAŢIONAL

Daca b

aeste un numar rational, atunci

m

mm

b

a

b

a

Atunci cand exponentul este un numar negativ, avem: m

mmm

a

b

a

b

b

a

Reguli de calcul cu puteri:

aman=am+n

am:an=am-n

(am)n=amn

(ab)m=ambm

1275

3

2

3

2

3

2

8715

3

2

3

2:

3

2

4276

3

2

3

2

888

3

2

5

4

3

2

5

4

(–a)n =

imparestedacaa

parestendacaan

n

,

,

.

ORDINEA EFECTUĂRII OPERAŢIILOR ŞI FOLOSIREA PARANTEZELOR

•Intr-un exercitiu de calcul ce contine mai multe operatii cu numererationale se efectueaza mai intai ridicarile la putere, apoi inmultirilesi impartirile in ordinea in care sunt scrise si apoi adunarile siscaderile in ordinea in care sunt scrise.

•In exercitiile de calcul care contin paranteze se efectueaza mai intai calculele din parantezele mici (rotunde), apoi cele din parantezele mari (drepte) si apoi cele din acolade.

•Daca in fata unei paranteze ce contine un numar rational sau osuma de numere rationale se afla simbolul ,,–”, atunci se poateelimina acesta si paranteza, scriind numerele din paranteza cu semnschimbat.

941012941012 .

ECUAŢII DE FORMA ax + b = 0•Propozitia cu o variabila de forma ax + b = 0 se numeste ecuatie cu o necunoscuta, unde a si b sunt numere rationale.

•Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de a trece termeni dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat.

•Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de inmulti/imparti egalitatea cu un numar diferit de zero. Procedeul este utilizat pentru eliminarea numitorilor si la final aflarea necunoscutei.

EXEMPLU:5

42

5

3

xxxRezolvati ecuatia

12542

5

3)12

)3)6)4

xxx

6033064 xxx

3060364 xxx

305 x

Stabilim cmmmc al numitorilor si amplificam fractiile:

Amplificam numaratorii si scriem ecuatia fara numitori:

Trecem termenii dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat:

Efectuam operatiile de adunare/scadere:

Impartim ecuatia prin coeficientul necunoscutei:

)5(:305 x

In final, aflam radacina ecuatiei: 6x

.

REZOLVAREA DE PROBLEME CU AJUTORUL ECUAŢIILOR

Etape de rezolvare a unei probleme:1) Stabilirea datelor cunoscute si a celor necunoscute din problema.2) Notarea unei date necunoscute cu x si exprimarea celorlalte date necunoscute in functie de x.3) Scrierea unei ecuatii cu necunoscuta x, folosind datele problemei.4) Rezolvarea ecuatiei.5) Verificarea solutiei.

6) Formularea concluziei (raspunsului problemei).

EXEMPLU

Intr-un triunghi ABC, masura unghiului B este de doua ori mai mare decat masura unghiului A iar masura unghiului C este 75% din masura unghiului B. Aflati masura unghiului A.

REZOLVARE

1) Notam masura unghiului A cu x.2) Din datele problemei rezulta ca masura unghiului B este egala cu 2x.

La fel din datele problemei rezulta ca masura unghiului C este 75% din 2x, adica este egala cu 1,5x .

3) Daca suma masurilor unghiurilor intr-un triunghi este egala cu 1800, atunci obtinem ecuatia:

4) x + 2x + 1,5x = 180In urma rezolvarii ecuatiei, obtinem x = 400.5) Verificam solutia: 40 + 80 + 60 = 180.

.

RAPOARTE ŞI PROPORŢIIRaportul numerelor rationale a si b, b0 este a:b si se scrie b

aa si b se

numesc termenii raportului.

Exercitiul 1. Sa se afle valoarea raportului dintre numerele a = 12 si b = 16.

Rezolvare:4

3

16

12 4(

b

asau 75,0

16

12

b

a

PROPORTIA este egalitatea a doua rapoarte. Daca avem a, b, c, d, asa incat:

d

c

b

a este o proportie, cu extremii a

si d si mezii b si c.

PROPRIETATEA FUNDAMENTALA A PROPORTIILOR:

d

c

b

a daca si numai daca

ad=bc

extremcelalalt

mezilorprodusulextremun

Aflarea unui termen necunoscut dintr-o proportie:

EXEMPLU

Aflati x din: 3

5

9

x

.153

45

3

59

x

..

DERIVAREA PROPORŢIILORDerivarea unei proportii cu aceiasi termeni

a) Schimband extremii intre ei

b) Schimband mezii intre ei

c) Inversand rapoartele

2

8

3

12

12

3

8

2

8

12

2

3

12

8

3

2

12

8

3

2

12

8

3

2

Derivarea unei proportii cu alti termeni-se inmultesc/impart termenii unui raport cu acelasi numar nenul:

-se inmultesc/impart numitorii/numaratorii cu acelasi numar nenul:

-se aduna/scad la numaratori numitorii:

-se aduna/scad la numitori numaratorii:

-se egaleaza un raport cu raportul obtinut prin adunarea/scaderea numaratorilor si respectiv a numitorilor:

d

c

b

a

d

kc

b

ka

d

c

b

a

d

c

kb

ka

d

dc

b

ba

d

c

b

a

d

c

b

a

d

c

b

a

cd

c

ab

a

db

ca

d

c

b

a

.

ŞIRUL DE RAPOARTE EGALEDaca avem:

p

c

n

b

m

a1.

2.

5.

4.

3.

p

c

n

b

m

a

p

c

n

b

m

a

p

c

n

b

m

a

p

c

n

b

m

a

atunci:

atunci:

atunci:

atunci:

atunci:

pnm

cba

p

c

n

b

m

a

ptnsmr

ctbsar

p

c

n

b

m

a tsr

)))

tpsnrm

tcsbra

p

c

n

b

m

a tsr

:::

:::(((

kkk

kkkkkk

pnm

cba

p

c

n

b

m

a

.;;; pkcnkbmkakp

c

n

b

m

a

.

Observatie: Daca este nevoie ca un termen al unui raport sa fie negativ, atunci ambii termeni ai aceluiasi raport trebuie sa fie negativi !

DIRECTA ŞI INVERSA PROPORŢIONALITATE

Daca avem doua multimi: A = {a, b, c, d} si B = {l, m, n, p} atunci:

1. 2.Multimile A si B sunt in relatie de directa proportionalitate, si:

Multimile A si B sunt in relatie de inversa proportionalitate, si:

p

d

n

c

m

b

l

a

p

d

n

c

m

b

l

a1111

EXEMPLU:Impartiti numarul 111 in trei parti invers proportionale cu: .

3

4

2

1;3 si

RE

ZO

LV

AR

E: Daca cele trei parti sunt invers proportionale cu numerele date,

atunci se formeaza un sir de rapoarte egale, cu numitorii inverselor numerelor date:

.3637

12111

1237111

43

12

31

43

12

31

cbacba

Atunci: ;12363

1a ;7236

1

2b .2736

4

3c

.

P R O C E N T ERapoartele de forma 100

p se noteaza cu p% si se numesc rapoarte procentuale.

EXEMPLE:

4

1

100

25%25

5

2

100

40%40

20(

4

5

100

125%125

25(

Din propozitia p% din a = b rezulta urmatoarele tipuri de probleme:

1. Daca se cunosc p si a atunci b = p% a 33100

330055

100

6055%60 din

2. Daca se cunosc p si b, atunci a este: Aplicatie: 30% din cat este egal cu 18?

;18%30 adin ;18100

30a .60

30

1800

30

10018

30(

a

3. Daca se cunosc a si b, atunci p este:

Aplicatie: Cat % din 64 este 16 ? ;1664100

p

.2564

1600

64

10016

64(

p

.Tit Cuprian – Sarichioi - 2008

O PROBLEMA CU PROCENTEPretul unui produs se modifica de doua ori: prima data creste cu 40% iar a doua

oara scade cu 25% din noul pret. a) Daca pretul final este de 63 de lei, aflati pretul initial. b) Cu cat la suta s-a modificat pretul de la cel initial la cel final? c) Care a fost pretul dupa prima modificare de pret?

REZOLVARE Vom propune o varianta eficace de rezolvare:1. Vom rezolva punctul b), afland procentul ce inlocuieste cele doua procente:

Putem folosi formula:100

babap

unde a si b sunt valorile procentuale.

Atentie: daca sunt majorari, valorile vor fi pozitive iar daca sunt reduceri valorile vor fi negative.

.51015100

)25(402540

p Asta inseamna ca pretul a crescut cu 5%.

2. Vom rezolva punctul a), cunoscand rezultatul de la punctul b).

Daca pretul creste cu 5%, atunci el devine 105%.

.60105

6300

105

10063;63

100

105 105(

leixx

3. Vom rezolva punctul c) dupa ce am aflat pretul initial:

Daca pretul creste cu 40%, atunci el devine 140%

.84100

840060

100

14060%140 leidin

.Tit Cuprian – Sarichioi - 2008

MEDIA ARITMETICĂ

MEDIA PONDERATĂ

Media aritmetica a doua sau mai multe numere rationale este numarul rational obtinut prin impartirea sumei numerelor respective la numarul lor.

Daca avem: a1, a2, a3, …., an, atunci:

n

aaaam na

...321

Exemplu: aflati media aritmetica a

numerelor: 3; 14; 20; 23.

.154

60

4

2320143

am

Daca se dau numerele a1, a2, a3, …,an iar

fiecare numar are respectiv ponderea p1, p2, p3, ….,pn atunci media

aritmetica ponderata va fi:

n

nnp ppp

papapam

...

...

21

2211

Exemplu: aflati media ponderata a numerelor 5, 12, 15 fiecare cu ponderile 20, 12 si 8.

.1,940

364

81220

8151212205

pm

.Tit Cuprian – Sarichioi - 2008