Aplicaciones de La Integral a La Física

APLICACIONES DE LA INTEGRAL A LA FSICA

PARTE I: BASE TERICA (PRINCIPIOS Y PROPIEDADES)

1. CENTRO DE GRAVEDADElcentro de gravedades el punto de aplicacin de laresultantede todas lasfuerzasdegravedadque actan sobre las distintas porciones materiales de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo.

En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo.

El c.g. de un cuerpo no corresponde necesariamente a un punto material del cuerpo. As, el c.g. de una esfera hueca est situado en el centro de la esfera que, obviamente, no pertenece al cuerpo.

1.1. INTRODUCCINEnfsica, adems del centro de gravedad aparecen los conceptos decentro de masay de centro geomtrico ocentroideque, aunque pueden coincidir con el centro de gravedad, son conceptualmente diferentes.

El centroide es un concepto puramente geomtrico que depende de la forma del sistema; el centro de masas depende de la distribucin de materia, mientras que el centro de gravedad depende tambin del campo gravitatorio.

1.1.1. Centro de masa y centro de gravedadEl centro de masa coincide con el centro de gravedad cuando el cuerpo est en un campo gravitatorio uniforme. Es decir, cuando elcampo gravitatorioes de magnitud y direccin constante en toda la extensin del cuerpo. A los efectos prcticos esta coincidencia se cumple con precisin aceptable para casi todos los cuerpos que estn sobre la superficie terrestre, incluso para una locomotora o un gran edificio, puesto que la disminucin de la intensidad gravitatoria es muy pequea en toda la extensin de estos cuerpos.

1.1.2. Centro geomtrico y centro de masaEl centro geomtrico de un cuerpo material coincide con el centro de masa si el objeto es homogneo (densidad uniforme) o cuando la distribucin de materia en el sistema tiene ciertas propiedades, tales comosimetra.

1.2. PROPIEDADES DEL CENTRO DE GRAVEDADLa resultante de todas las fuerzas gravitatorias que actan sobre las partculas que constituyen un cuerpo pueden reemplazarse por una fuerza nica,, esto es, el propio pesodel cuerpo, aplicada en el centro de gravedad del cuerpo. Esto equivale a decir que los efectos de todas las fuerzas gravitatorias individuales (sobre las partculas) pueden contrarrestarse por una sola fuerza,, con tal de que sea aplicada en el centro de gravedad del cuerpo.

Un objeto apoyado sobre una base plana estar en equilibrio estable si la vertical que pasa por el centro de gravedad corta a la base de apoyo. Lo expresamos diciendo que el c.g. se proyecta verticalmente (cae) dentro de la base de apoyo.

Adems, si el cuerpo se aleja ligeramente de la posicin de equilibrio, aparecer un momento restaurador y recuperar la posicin de equilibrio inicial. No obstante, si se aleja ms de la posicin de equilibrio, el centro de gravedad puede caer fuera de la base de apoyo y, en estas condiciones, no habr un momento restaurador y el cuerpo abandona definitivamente la posicin de equilibrio inicial mediante una rotacin que le llevar a una nueva posicin de equilibrio.

1.3. CLCULO DEL CENTRO DE GRAVEDAD

El centro de gravedad de un cuerpo viene dado por el nico vector que cumple que:

DondeMes la masa total del cuerpo ydenota elproducto vectorial. En un campogravitatorio uniforme, es decir, uno en que el vector de campo gravitatorioes el mismo en todos los puntos, la definicin anterior se reduce a la definicin del centro de masas:

En el campo gravitatorio creado por un cuerpo material cuya distancia al objeto considerado sea muy grande comparado con las dimensiones del cuerpo y del propio objeto, el centro de gravedad del objeto viene dado por:

2. MOMENTO DE INERCIAElmomento de inercia(smboloI) es una medida de lainerciarotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de losejes principalesde inercia, la inercia rotacional puede ser representada como unamagnitud escalarllamada momento de inercia.

Sin embargo, en el caso ms general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamadotensor de inercia. La descripcin tensorial es necesaria para el anlisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientosgiroscpicos.El momento de inercia refleja la distribucin de masa de un cuerpo o de un sistema de partculas en rotacin, respecto a un eje de giro. El momento de inercia slo depende de la geometra del cuerpo y de la posicin del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.El momento de inercia desempea un papel anlogo al de lamasa inercialen el caso del movimiento rectilneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angularlongitudinal de un slido rgido.

2.1. ECUACIONES DE MOMENTO DE INERCIA

Dado un sistema de partculas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma de los productos de las masas de las partculas por el cuadrado de la distanciarde cada partcula a dicho eje. Matemticamente se expresa como:

Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:

El subndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Se resuelve a travs de unaintegral triple.Este concepto desempea en el movimiento de rotacin un papel anlogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilneo y uniforme. La masa inercial es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslacin y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotacin. As, por ejemplo, lasegunda ley de Newton:tiene como equivalente para la rotacin:

Donde: es elmomentoaplicado al cuerpo. es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotacin y es laaceleracin angular.

Siempre y cuando la distancia con respecto al sistema de referencia permanezca constante.Laenerga cinticade un cuerpo en movimiento con velocidadves , mientras que la energa cintica de un cuerpo en rotacin con velocidad angular es, dondees el momento de inercia con respecto al eje de rotacin.La conservacin de lacantidad de movimientoo momento lineal tiene por equivalente la conservacin delmomento angular:

Elvectormomento angular, en general, no tiene la misma direccin que el vectorvelocidad angular. Ambos vectores tienen la misma direccin si el eje de giro es uneje principal de inercia. Cuando un eje es de simetra entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido tambin a lo largo de ese eje.

2.2. TEOREMA DE STEINER O TEOREMA DE LOS EJES PARALELOSEl teorema de Steiner (denominado en honor deJakob Steiner) establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa ms el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

Donde:Iejees el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa;I(CM)ejees el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa;M(Masa Total) yh(Distancia entre los dos ejes paralelos considerados).La demostracin de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposicin de coordenadas relativa al centro de masasCinmediata:

Donde el segundo trmino es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en torno al centro de masa es nula, por la propia definicin de centro de masa.El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de masa slo depende de la geometra del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende del campo gravitacional en el que est inmerso dicho cuerpo.

PARTE II: FORMULARIO

1. CENTROS DE GRAVEDAD

2. MOMENTOS DE INERCIA

PARTE III: EJERCICIOS RESUELTOS

I. NIVEL BSICO:

PROBLEMA 01: Hallar la posicin del c. m. del tringulo de la figura.

SOLUCIN 01:

PROBLEMA 02: Determinar la posicin del centro de masa de la siguiente figura plana y homognea, formada por la regin comprendida entre la parbolay=2x2/3 y el eje X, y la rectax=3.SOLUCIN 02:

PROBLEMA 03: Determinar la posicin del centro de masa de la siguiente figura plana y homognea formada por un rectngulo y un cuarto de crculo.

SOLUCIN 03:

PROBLEMA 04: Determinar la posicin del centro de masa de la pieza plana homognea de la figura. La parte curva corresponde a la porcin de parbolay=3x2/2+1.

SOLUCIN 04:

PROBLEMA 05: Determine el momento de inercia del rea respecto al eje x:

SOLUCIN 05:

PROBLEMA 06: Determine el momento de inercia del rea respecto al eje y:

SOLUCIN 06:

PROBLEMA 07: Determine el momento de inercia de la figura respecto al eje x:

SOLUCIN 07:

PROBLEMA 08: Determine el momento de inercia de la figura respecto al eje y:

SOLUCIN 08:


SOLUCIN 09:


SOLUCIN 10:


SOLUCIN 11:


SOLUCIN 12:

PROBLEMA 13: Halla el momento polar de inercia respecto al eje z: SOLUCIN 13:

PROBLEMA 14: Halla el momento de inercia de la figura respecto al eje x:

SOLUCIN 14:

PROBLEMA 15: Halla el momento de inercia de la figura respecto al eje y:

SOLUCIN 15:

II. NIVEL INTERMEDIO:PROBLEMA 01: Determine el momento de inercia respecto al eje z suponiendo que la densidad es p. Exprese el resultado en trminos de m.

SOLUCIN 01:

Masa:

Momento de inercia:

Finalmente:

PROBLEMA 02: Halle el momento de inercia respecto al eje x, tome las consideraciones del problema anterior.

SOLUCIN 02:

Masa:

Momento de Inercia:

Finalmente:

PROBLEMA 03: Halle el momento de inercia respecto al eje y; expresndolo en funcin de m, y sabiendo que su densidad es p.

SOLUCIN 03:

Masa:

Momento de inercia:

Consideramos que:

Finalmente:

PROBLEMA 04: Halle el momento de inercia respecto al eje y. Haga las consideraciones del problema anterior.

SOLUCIN 04:

Masa:

Momento de Inercia:

Consideramos:

Finalmente:

PROBLEMA 05: Manteniendo las consideraciones del problema anterior, halle el momento de inercia respecto al eje x.

SOLUCIN 05:

PROBLEMA 06: Sabiendo que es un slido de revolucin respecto al eje z, halle su momento de inercia respecto al mismo eje, si la densidad es de: p=7.85Mg/m*3.

SOLUCIN 06:

Momento de inercia:

Reemplazando el valor de la densidad:

PROBLEMA 07: Halle el momento de inercia respecto al eje z si es slido es de una masa homognea de 400 lb.

SOLUCIN 07:

Masa:

Convertimos y obtenemos el peso especfico:

Sustituimos los valores y finalmente hallamos el momento de inercia respecto al eje z:

PROBLEMA 08: Si la masa del slido es de 1500kg, halle su momento de inercia respecto al eje y.

SOLUCIN 08:

Masa:

Sabemos que:

Momento de inercia:

Sustituyendo los valores:

PROBLEMA 09: Determine el producto de momento de inercia para el plano xy, si se considera como datos y=2 y x=0

SOLUCIN 09:

PROBLEMA 10: Determine el producto de momento de inercia respecto a los ejes x e y:

SOLUCIN 10:

El elemento diferencial para el momento de Inercia:

Finalmente, integrando:


SOLUCIN 11:

PROBLEMA 12: Determine el producto de momento de inercia respecto a los ejes x e y: SOLUCIN 12:

Integrando:

PROBLEMA 13: A partir del centroide, determine el producto de momento de inercia respecto a los ejes x e y, considerando que la coordenada para y es 120 mm.

SOLUCIN 13:


SOLUCIN 14:


SOLUCIN 15:

III. NIVEL AVANZADO:PROBLEMA 01: Demuestra que el centro de gravedad de una placa triangular homognea, con u=1, es su baricentro.SOLUCIN 01:

PROBLEMA 02: Halla el centro de gravedad de un segmento circular homogneo con u=1.SOLUCIN 02:

PROBLEMA 03: Hallar las coordenadas del Centro de Gravedad de la semicircunferencia x*2 + y*2=a*2, situada por encima del eje OX.SOLUCIN 03:

PROBLEMA 04: Determinar las coordenadas del Centro de Gravedad del rea encerrada por la parbola y*2=ax, y la recta vertical x=a.SOLUCIN 04

PROBLEMA 05:

SOLUCIN 05:


SOLUCIN 06:

Integrando:


SOLUCIN 07:


SOLUCIN 08:

Integrando:

PROBLEMA 09: Halle el momento de inercia respecto al eje y, suponiendo que la densidad es variable segn p= po (1 + x/l); adems expresar el resultado en trminos de m:

SOLUCIN 09:Consideramos el elemento diferencial:

Masa:

Momento de Inercia:

Hacemos la sustitucin:

Finalmente:

PROBLEMA 10: Respecto al rea y su respectivo elemento diferencial, halle el momento de inercia respecto al eje y:

SOLUCIN 10:

PROBLEMA 11: De la figura anterior, halle el momento de inercia respecto al eje x:

SOLUCIN 11:

rea:

Momento de inercia:

PROBLEMA 12: Respecto al rea y su respectivo elemento diferencial, halle el momento de inercia respecto al eje y:

SOLUCIN 12:

UNIVERSIDAD CATLICA SANTO TORIBIO DE MOGROVEJO52

Documents

Aplicaciones de La Integral a La Física