Boussiala Memoire

Anne 2010 Mmoire prpar au sein du Laboratoire de Commande des Processus de lENP

10, Avenue Pasteur, BP 182, 16200 El Harrach, Alger www.enp.edu.dz

Ministre de lEnseignement Suprieur et de la Recherche Scientifique

cole Nationale Polytechnique dAlger

MEMOIRE Prsent au Laboratoire de Commande des Processus

En vue de lobtention du titre de

Magister

En Automatique Option : Commande et Conduites des Systmes dnergie lectriques

Prsent par :

BOUSSIALA Boubakr

(Ingnieur de lENP dAlger)

Thme

Soutenu publiquement le 13 / 10 / 2010, devant le jury dexamen compos de : Mr B.HEMICI Prsident M.C lENP dAlger Mr L.NEZLI Directeur de Thse M.C lENP dAlger Mr E.M.BERKOUK Examinateur Professeur lENP dAlger Mme H.SAHRAOUI Examinateur M.C lENP dAlger Mme L.BARAZANE Examinateur M.C USTHB Mr M.O.MAHMOUDI Invit Professeur lENP dAlger

Commande vectorielle dune machine asynchrone polyphase alimente par onduleur trois niveaux

Application sur la Machine Heptaphase

Remerciements Ce prsent travail a t ralis au sein du Laboratoire de Commande des Processus de

lEcole Nationale Polytechnique d'Alger (ENP). Ces quelques remerciements tmoignent de

la reconnaissance que je porte chacune de ces personnes.

Je tiens exprimer ma profonde gratitude Monsieur L.NEZLI, Matre de Confrences

l'Ecole Nationale Polytechnique d'Alger, pour avoir dirig ce travail, pour ses nombreux

conseils aviss lors de la rdaction de ce mmoire, et pour la confiance et le respect qu'il m'a

tmoigns. Je le remercie sincrement pour les encouragements quil ma prodigus tout au

long de ma formation.

Je tiens galement exprimer toute ma reconnaissance Monsieur M.O.MAHMOUDI,

Professeur l'Ecole Nationale Polytechnique d'Alger, pour ses participations l'laboration

de ce travail, pour ses nombreux conseils et son soutien rgulier.

J'exprime ma reconnaissance Monsieur B.HEMICI, Matre de Confrences l'Ecole

Nationale Polytechnique d'Alger, pour l'honneur qu'il m'a fait en acceptant de juger mon

travail et de prsider mon jury de thse.

Je remercie vivement Monsieur E.M.BERKOUK, Professeur l'Ecole Nationale

Polytechnique d'Alger, Madame H.SAHRAOUI, Matre de Confrences l'Ecole Nationale

Polytechnique d'Alger et Madame L.BARAZANE, Matre de Confrences USTHB, pour

l'intrt qu'ils ont port mon travail en acceptant d'en tre les examinateurs.

I

Ddicace A mes parents, mes frres et particulirement Belkacem avec sa petite famille toute ma famille, tous mes amis je ddie ce mmoire.

II

Sommaire

Remerciements ............................................................................................................................... I

Ddicace ......................................................................................................................................... II

Sommaire ....................................................................................................................................... III

Table de figures.............................................................................................................................. VII

Liste de notations et symboles ....................................................................................................... X

Introduction Gnrale .................................................................................................................... XIII

Chapitre I :

Application du Formalisme Vectoriel aux Machines Polyphases

I. Introduction................................................................................................................................. 05 II. Hypothses de travail................................................................................................................. 05 III. Reprsentation vectorielle ........................................................................................................ 06 IV. Diagonalisation des endomorphismes ss rr sr rL , L , M , et M s .................................................. 07

IV.1 Diagonalisation dendomorphisme ssL ............................................................................ 08 IV.1.1 Reprsentation Hermitienne....................................................................................... 08

IV.1.1.1 Valeurs propres de la matrice ssL dans lespace Hermitien ................................. 08 IV.1.1.2 Matrice de changement de base dans lespace Hermitien.................................... 09

IV.1.2 Reprsentation Euclidienne ....................................................................................... 12 IV.1.2.1 Valeurs propres de la matrice ssL dans lespace Euclidien (Cas de n impair) ...... 13 IV.1.2.2 Matrice de changement de base dans lespace euclidien (cas de n impair) ......... 14 IV.1.2.3 Valeurs propres de la matrice ssL dans lespace Euclidien (Cas de n pair) .......... 16 IV.1.2.4 Matrice de changement de base dans lespace euclidien (cas de n pair) ............. 18

IV.2 Diagonalisation dendomorphisme ............................................................................ 19 rrLIV.2.1 Reprsentation Hermitienne....................................................................................... 19 IV.2.2 Reprsentation Euclidienne........................................................................................ 20

IV.3 Diagonalisation de lendomorphisme srM ...................................................................... 22 IV.3.1 Reprsentation Hermitienne....................................................................................... 22 IV.3.2 Reprsentation Euclidienne........................................................................................ 23

IV.4 Diagonalisation de lendomorphisme rsM ...................................................................... 24 V. Exemple de reprsentation vectorielle pour la machine triphase ............................................ 24

V.1.1 Reprsentation dans la base naturelle.......................................................................... 24 V.1.2 Reprsentation dans la base propre ............................................................................. 24

VI. Conclusion ............................................................................................................................... 26

IV

Chapitre II :

Modlisation de la Machine Asynchrone Polyphase

I. Introduction................................................................................................................................. 28 II. Types de machines considres................................................................................................. 28 III. Hypothses simplificatrices...................................................................................................... 28 IV. Modlisation de la machine asynchrone polyphase dans la base naturelle............................ 29

IV.1 quations lectriques ....................................................................................................... 29 IV.2 Puissance transite dans la machine................................................................................. 29 IV.3 quations magntiques .................................................................................................... 30 IV.4 quations mcaniques...................................................................................................... 31

V. Modlisation de la machine asynchrone polyphase dans la base propre................................. 32 V.1 Changement de base.......................................................................................................... 32 V.2 Proprits des matrices de changement de base ............................................................... 33 V.3 Matrices inductances de la machine dans la base de Concordia ....................................... 33 V.4 quations lectriques de la machine dans la base propre.................................................. 36 V.5 quations magntiques de la machine dans la base propre............................................... 37 V.6 quations mcaniques de la machine dans la base propre ................................................ 38

VI. Concept Multimachine de la Machine Polyphase .................................................................. 40 VI.1 quations de la machine dans la base de dcouplage Euclidienne ................................. 40 VI.2 quations lectriques ...................................................................................................... 41 VI.3 quations magntiques ................................................................................................... 41 VI.4 quations mcaniques...................................................................................................... 42 VI.5 Schma lectrique dune machine fictive ........................................................................ 43

VII. Exemple d'application : machine asynchrone heptaphase (n=7 phases)............................... 44 VII.1 Rsultats et Interprtations ............................................................................................. 46

VIII. Conclusion............................................................................................................................. 49

Chapitre III :

Association Onduleur-Machine Asynchrone Heptaphase

I. Introduction................................................................................................................................. 51 II. Modlisation de lalimentation.................................................................................................. 51

II.1 Modlisation du redresseur de courant MLI................................................................... 51 II.2 Modlisation du Filtre intermdiaire ................................................................................ 53 II.3 Modlisation du Pont de Clamping .................................................................................. 54 II.4 Modlisation de londuleur trois niveaux ....................................................................... 55

II.4.1 Structure de londuleur trois niveaux........................................................................ 55 II.4.2 Modlisation de londuleur.......................................................................................... 56 II.4.3 Commandabilit de londuleur .................................................................................... 57

V

II.4.3.1 Fonctions de connexion des interrupteurs ............................................................. 57 II.4.3.2 Fonction de conversion.......................................................................................... 58

II.4.4 Stratgie de commande de londuleur heptaphas trois niveaux ............................. 59 II.4.4.1 Commande Triangulo-sinusoidale deux porteuses ............................................. 59 II.4.4.2 Algorithme de commande ..................................................................................... 60

III. Rsultats et Interprtations ....................................................................................................... 62 IV. Conclusion ............................................................................................................................... 63

Chapitre IV :

Commande Vectorielle de la -Machine Asynchrone Heptaphase

I. Introduction................................................................................................................................. 65 II. Principe du dcouplage.............................................................................................................. 65 III. Principe de la commande par orientation du flux rotorique..................................................... 66

III.1 Modle de la machine en vue dun contrle du flux rotorique ........................................ 67 III.2 Mthodes de commande par flux orient ........................................................................ 68

IV. Commande vectorielle directe flux rotorique orient ........................................................... 68 IV.1 Mesure directe du flux dans lentrefer ............................................................................. 68 IV.2 Modle dynamique du flux et du couple.......................................................................... 69 IV.3 Principe de dcouplage par compensation ....................................................................... 69 IV.4 Dfluxage ......................................................................................................................... 71 IV.5 Schma complet de la commande vectorielle directe flux rotorique orient ................ 71

V. Calcul des rgulateurs .............................................................................................................. 73 V.1 Rgulateur de Vitesse........................................................................................................ 73 V.2 Rgulateur de Couple ........................................................................................................ 75 V.3 Rgulateur du flux ............................................................................................................. 76

VI. Rsultats et Interprtations....................................................................................................... 78 VII. Conclusion .............................................................................................................................. 78

Conclusion gnrale ...................................................................................................................... 81

Annexe I ........................................................................................................................................ 83

Annexe II ....................................................................................................................................... 90

Bibliographie ................................................................................................................................. 92

VI

Table de Figures

Table de Figures

Fig. I.1 Reprsentation schmatique dune machine asynchrone n phases 5

Fig. I.2 Reprsentation des enroulements statoriques et rotoriques 7

Fig. I.3 Reprsentation des valeurs propres de la matrice J dans le repre complexe 9

Fig. I.4 Projection des axes magntiques dans le plan ( , ) 16Fig. II.1 Reprsentation de la machine polyphase dans la base naturelle 31

Fig. II.2 Repres de la machine 33

Fig. II.3 Repres de la machine 33

Fig. II.4 quivalence entre la machine relle et un ensemble de machines fictives 43

Fig. II.5 Reprsentation schmatique dune machine asynchrone 7 phases 44

Fig. II.6 Rsultats des simulations : dmarrage vide suivie dune application dun couple de charge de 18 N.m linstant 0,7 second 47

Fig. II.7 Rsultats des simulations : Comportement du moteur aprs louverture dune phase linstant 1,0 second 48

Fig. III.1 Schma de principe de lAssociation Onduleur machine Asynchrone 7 phases 51

Fig. III.2 Structure du redresseur de courant deux niveaux 52

Fig. III.3 Principe du contrle par Hystrsis 53

Fig. III.4 Structure du filtre intermdiaire 53

Fig. III.5 Structure du Pont de Clamping 54

Fig. III.6 Structure gnrale dun onduleur heptaphas trois niveaux de type NPC 55

Fig. III.7 Interrupteur bidirectionnel quivalent de la paire transistor-diode 56

Fig. III.8 Les diffrentes configurations dun bras donduleur NPC trois niveaux 56

Fig. III.9 Rseau de Ptri de la fonctinnalit dun bras donduleur trois niveaux en mode commandable 58

Fig. III.10 Principe de la stratgie triangulo-sinusiodale deux porteuses 61

Fig. III.11.a Tension de sortie de londuleur trois niveaux commande par stratgie tringulo-sinusodale deux porteuses (m=9, r=0.9) 62

Fig. III.11.b Tension de sortie de londuleur trois niveaux commande par stratgie tringulo-sinusodale deux porteuses (m=12, r=0.9) 62

Fig. III.12 Comportement de lensemble onduleur MLI moteur heptaphas avec lapplication dune charge de 10 N.m linstant 1,5 second 63

Fig. IV.1 Principe de la commande vectorielle 65

Fig. IV.2 Illustration de lorientation du flux rotorique 66

Fig. IV.3 Estimateur du flux et du couple 69

Fig. IV.4 Reprsentation du dcouplage - expression de sdi et sqi 70

VIII

Table de Figures

Fig. IV.5 Reprsentation du dcouplage - expression de r et emC 70Fig. IV.6 Commande vectorielle directe de la machine asynchrone 7 phases alimente en tension par un onduleur trois niveaux 72

Fig. IV.7 Schma fonctionnel de la rgulation de vitesse 73

Fig. IV.8 Temps de rponse 5% en fonction du coefficient damortissement 74

Fig. IV.9 Schma fonctionnel de la rgulation de Couple 75

Fig. IV.10 Schma fonctionnel de la rgulation de Flux 76

Fig. IV.11 Rsultats de simulation de la CVD lors du dmarrage vide suivi dune application dun couple de charge de 18 N.m linstant t = 0,7 second 79

Fig. IV.12 Comportement du systme lors de linversion du sens de rotation linstant t = 1 second 80

IX

Liste de Notations et Symboles


n : Nombre de phases de la machine

s , r : Indice relatif au stator et rotor respectivement

, , ,A B C " : Indices des phases statoriques , , ,a b c " : Indices des phases rotoriques ,d q : Indices des axes, direct et en quadrature respectivement

E : Espace Vectoriel

B : Base naturelle dB : Base propre

VG

: Vecteur tension

G : Vecteur flux IG

: Vecteur courant

v : Composante scalaire du vecteur tension

: Composante scalaire du vecteur flux i : Composante scalaire du vecteur courant

P : Puissance instantane transitant dans la machine

emC : Couple lectromagntique

J : Moment d'inertie de la machine

: Vitesse de rotation mcanique f : Coefficient de frottement

chC : Couple de charge

p : Nombre de paire de ples

[ ]ssL : Matrice inductance statorique [ ]rrL : Matrice inductance rotorique [ ]rsM : Matrice mutuelle statorique/rotorique [ ]sR : Matrice rsistance statorique [ ]rR : Matrice rsistance rotorique [ ]T : Matrice de passage de la base naturelle vers la base propre [ ]R : Matrice de rotation [ ]P : Matrice de Park : Valeur propre

XI


eG : Vecteur propre L : Inductance propre

PL : Inductance principale

fl : Inductance de fuite

mL : Inductance mutuelle

: La position angulaire du rotor par rapport au stator s : Pulsation lectrique statorique r : Pulsation lectrique rotorique rT : Constante de temps rotorique

sT : Constante de temps statorique

: Coefficient de fuites totales

XII

Introduction Gnrale

Introduction Gnrale

Les machines asynchrones triphases sont de loin les mieux connues, leurs problmatiques de

conception et dalimentation sont aujourdhui bien matrises (fabrication, techniques de

bobinages, alimentation, commande,...) et restent les plus utilises, et permettent d'obtenir de

bonnes performances surtout dans le domaine de la vitesse variable.

Lors de l'augmentation de la puissance, des problmes apparaissent tant au niveau de

l'onduleur que de la machine. Les interrupteurs statiques de l'onduleur doivent commuter des

courants importants. A puissance donne, la rduction des courants commuter passe par

l'augmentation de la tension. Or les onduleurs de tension MLI imposent des gradients de

tension levs, provoquant ainsi un vieillissement acclr des isolants. Pour viter ceci, tout

en conservant la structure triphase de la machine, une solution consiste raliser des

onduleurs multiniveaux procurant une alimentation de meilleure qualit tout en ncessitant

des interrupteurs de plus faibles calibres [1], [3].

Les machines polyphases, dont le nombre de phases est suprieur trois offrent une

alternative intressante la rduction des contraintes appliques aux interrupteurs comme aux

bobinages de la machine. En effet, laugmentation du nombre de phases permet un

fractionnement de la puissance et de ce fait une rduction des tensions commutes courant

donn [7]. De plus, ces machines permettent de rduire l'amplitude et d'augmenter la

frquence des ondulations de couple, permettant ainsi la charge mcanique de les filtrer plus

facilement. Enfin, laugmentation du nombre de phases offre une fiabilit accrue en

permettant de fonctionner, une ou plusieurs phases en dfaut. Cette problmatique est

fondamentale pour les applications devant garantir une excellente continuit de service,

pratiquement, dans les domaines de la traction ferroviaire, de la propulsion navale, de

lautomobile et de larospatiale [1], [2], [3].

Un des exemples les plus courants de machines polyphases est la Machine Asynchrone

Double Etoile (MASDE). Dans la configuration classique, deux enroulements triphass

identiques, les deux toiles, se partagent le mme stator et sont dcals d'un angle lectrique

de 30. Ces enroulements ont le mme nombre de ples et sont aliments la mme

frquence. La structure du rotor reste identique celle d'une machine triphase. Cependant,

l'alimentation de la MASDE par onduleurs de tension provoque l'apparition de courants

harmoniques de circulation d'amplitude importante au stator, impliquant des pertes statoriques

supplmentaires et un sur-dimensionnement des semi-conducteurs. Cela constitue une

XIV

Introduction Gnrale

contradiction avec le concept de segmentation de puissance, lui faisant perdre beaucoup de

son intrt [7].

Le mmoire est structur de la manire suivante :

Dans le premier chapitre, il nous apparat ncessaire dillustrer la contribution de certains

outils mathmatiques du formalisme vectoriel la diagonalisation des matrices inductances de

la machine, dont le but est dliminer le couplage magntique entre les diffrentes grandeurs

de la machine.

Le deuxime chapitre est consacr la modlisation de la machine asynchrone n phases

dans la base naturelle, puis dans les bases de Fortescue, Concordia et Park gnralises, tout

en utilisant le formalisme vectoriel du premier chapitre. Les modles qui seront obtenus

permettent de connatre le comportement de la machine en fonctionnements, dynamique et

statique. Ce chapitre montre aussi la dcomposition multimachines de la machine polyphase,

base sur une reprsentation vectorielle euclidienne, qui permet dengager le concept

d'quivalence entre une machine relle polyphase et un ensemble des machines monophases

et diphases fictives.

Le troisime chapitre expose l'alimentation de la machine heptaphase par un onduleur de

tension trois niveaux contrl en technique Modulation de Largeur d'Impulsion .

Le dernier chapitre est consacr la commande vectorielle directe flux rotorique orient de

la machine heptaphase, alimente travers un onduleur trois niveaux tudi dans le

troisime chapitre.

Nous terminons notre travail par une conclusion gnrale.

XV

I Application du Formalisme Vectoriel aux Machines Polyphases

CHAPITRE Sommaire I. Introduction.............................................................................................................................. 05 II. Hypothses de travail.............................................................................................................. 05 III. Reprsentation vectorielle ..................................................................................................... 06 IV. Diagonalisation des endomorphismes ss rr sr rsL , L , M , et M ............................................ 07

IV.1 Diagonalisation dendomorphisme ssL ........................................................................ 08 IV.1.1 Reprsentation Hermitienne ................................................................................... 08

IV.1.1.1 Valeurs propres de la matrice ssL dans lespace Hermitien ............................. 08 IV.1.1.2 Matrice de changement de base dans lespace Hermitien................................ 09

IV.1.2 Reprsentation Euclidienne ................................................................................... 12 IV.1.2.1 Valeurs propres de la matrice ssL dans lespace Euclidien (Cas de n impair) .. 13 IV.1.2.2 Matrice de changement de base dans lespace euclidien (cas de n impair)...... 14 IV.1.2.3 Valeurs propres de la matrice ssL dans lespace Euclidien (Cas de n pair) ...... 16 IV.1.2.4 Matrice de changement de base dans lespace euclidien (cas de n pair).......... 18

IV.2 Diagonalisation dendomorphisme rrL ........................................................................ 19 IV.2.1 Reprsentation Hermitienne ................................................................................... 19 IV.2.2 Reprsentation Euclidienne.................................................................................... 20

IV.3 Diagonalisation de lendomorphisme srM .................................................................. 22 IV.3.1 Reprsentation Hermitienne ................................................................................... 22 IV.3.2 Reprsentation Euclidienne.................................................................................... 23

IV.4 Diagonalisation de lendomorphisme rsM .................................................................. 24 V. Exemple de reprsentation vectorielle pour la machine triphase.......................................... 24

V.1.1 Reprsentation dans la base naturelle ...................................................................... 24 V.1.2 Reprsentation dans la base propre.......................................................................... 24

VI. Conclusion ............................................................................................................................ 26

Chapitre I : Application du Formalisme Vectoriel aux Machines Polyphases

I. Introduction

Gnralement les matrices inductances des machines polyphases sont pleines, ce qui se

traduit pour la commande en un systme fortement coupl. Cependant, comme toutes les

matrices inductances statoriques (ou bien rotoriques) sont circulantes, alors, elles sont

diagonalisables, et il existe une base orthogonale unique de vecteurs propres, sur laquelle, les

grandeurs magntiques de la machine sont dcouples, ce qui facilitera la commande de la

machine [2], [3].

Lobjectif de ce chapitre est de rechercher une base orthonorme dans laquelle les matrices

inductances sont diagonales. A cet effet, il nous faut trouver dabord la matrice de passage de

la base naturelle la base orthogonale [3].

II. Hypothses de travail

Les machines considres sont des machines asynchrones polyphases. Les phases de la

machine sont supposes identiques et rgulirement dcales entre elles dun angle .

n

2 /n Les relations entre les vecteurs courants et les vecteurs flux sont supposes linaires. En

dautres termes, les effets de peau, de saturation et de variation de rluctance du circuit

magntique ne sont pas pris en compte.

On donne sur la figure I.1, une reprsentation symbolique de la machine polyphase (

phases) quivalente. Le stator et le rotor sont composs chacun de enroulements dphass

de

n n

2 / n dans lespace.

Fig. I.1 : Reprsentation schmatique dune machine asynchrone n phases

S1

S2

S3

Si

Sn

R1

R2R3

Ri Rn

5


III. Reprsentation vectorielle

La reprsentation vectorielle consiste regrouper grandeurs de phase de mme nature

(courant, tension, ...) en un seul vecteur de dimension , ce qui rend la mise en quation plus

concise. Pour permettre cette reprsentation vectorielle, la machine est associe un espace

vectoriel hermitien (cest--dire construit sur le corps des nombres complexes )

nn

^ E dont la dimension est simplement lie au nombre de phases [2], [3].

Soit { }0 1 1B , ,...., nx x x = G G G une base canonique (naturelle) de cet espace. Donc, tout vecteur de gG E scrit comme combinaison linaire des vecteurs de la base B comme suit :

0 0 1 1 1 1.... n ng g x g x g x = + + +G G G G O sont les grandeurs mesurables des phases de la machine. 0 1, ,..., ng g g 1 n

Les hypothses quon a prsentes conduisent des relations linaires (endomorphismes)

entre les vecteurs flux et les vecteurs courants [3]:

[ ] [ ][ ] [ ]

s ss s sr r

r rr r rs

L I M I

L I M I

= + = +

G GGG GG

s

=

""""

# # % #""

0, 0 0, 1 0, ( 1)

1, 0 1, 1 1, ( 1)

( 1), 0 ( 1), 1 ( 1), ( 1)

r r r r r r n

r r r r r r nrr

r n r r n r r n r n

m m mm m m

L

m m m

=

""""

# # % #""

=

""""

# # % #""

0, 0 0, 1 0, ( 1)

1, 0 1, 1 1, ( 1)

( 1), 0 ( 1), 1 ( 1), ( 1)

r s r s r s n

r s r s r s nrs

r n s r n s r n s n

m m mm m m

M

m m m

=

""""

# # % #""

tels que :

[ ]0, 0 0, 1 0, ( 1)

1, 0 1, 1 1, ( 1)

( 1), 0 ( 1), 1 ( 1), ( 1)

s s s s s s n

s s s s s s nss

s n s s n s s n s n

m m mm m m

L

m m m

, [ ]

[ ]0, 0 0, 1 0, ( 1)

1, 0 1, 1 1, ( 1)

( 1), 0 ( 1), 1 ( 1), ( 1)

s r s r s r n

s r s r s r nsr

s n r s n r s n r n

m m mm m m

M

m m m

, [ ]

Les coefficients :

si ,sjm dsigne linductance mutuelle entre deux phases statoriques.

ri ,rjm dsigne linductance mutuelle entre deux phases rotoriques.

si ,rjm dsigne linductance mutuelle entre une phase statorique et une phase rotorique.

Daprs les hypothses dquivalence des phases et de rgularit de construction, les

inductances propres statoriques/rotoriques sont gales [3]:

6


1 1 2 2s ,s s ,s sn ,sn ssm m m m= = = =" 1 1 2 2r ,r r ,r rn ,rn rrm m m m= = = ="

1 1si ,sj s ( i ),s ( j )m m + += 1 1ri ,rj r ( i ),r ( j )m m + +=

si ,sj sj ,sim m= ri ,rj rj ,rim m= si ,rj sj ,rim m=

Il est noter que les matrices prcdentes font apparatre un couplage magntique entre les

diffrentes phases dun ct, et entre stator/rotor de lautre ct. La commande dune telle

machine avec un couplage magntique nest pas facile [5], [11].

Les deux endomorphismes srM et rsM sont lis la position de rotor par rapport au stator, et

par consquent lis la vitesse de rotation (Figure I.2) [3].

Enroulement statorique

Enroulement rotorique

Dcalage instantan

Fig. I.2 : Reprsentation des enroulements statoriques et rotoriques

IV. Diagonalisation des endomorphismes ss rr sr rsL , L , M , et M

Les hypothses de non saturation et de non variation de rluctance permettent de dfinir une

relation linaire (endomorphisme) ( I ) = GG entre le vecteur courant et le vecteur flux. En effet, La base o existera le dcouplage magntique sera celle o une coordonne du

vecteur flux pourra s'exprimer en fonction d'une seule coordonne du vecteur courant (matrice

inductance diagonale) [3].

7


La diagonalisation d'une telle matrice impose la recherche des valeurs propres et des vecteurs

propres qui leurs sont associes.

IV.1 Diagonalisation dendomorphisme ssL

IV.1.1 Reprsentation Hermitienne

IV.1.1.1 Valeurs propres de la matrice ssL dans lespace Hermitien

On sait que toute matrice circulante est un polynme en (Voir lannexe I). J

0 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 0

0 0 0 0 11 0 0 0 0

J

=

"""""""""

# # % % #"%%"""

La matrice vrifiant la condition J nJ Id= , est alors diagonalisable dans lespace hermitien, les valeurs propres de sont les valeurs propres de matrice unit nJ Id (ou bien les solutions

de lquation ). 1 0n( ) =La rsolution de cette quation nous donne une seule valeur propre ( 1 = ) de multiplicit . nOn sait que si est une valeur propre dune telle matrice A alors n est une valeur propre de la matrice (proprits des matrices. Voir lannexe I). nA

Daprs cette proprit, les valeurs propres de la matrice sont les racines des valeurs

propres de la matrice ; autrement dit, les solutions de lquation

J mennJ 1n = .

La rsolution de cette quation dans lensemble des nombres rels nous donne au maximum

deux solutions, tout dpend la parit de , si n est impair alors, on a une seule solution

(

n

1 = ), si n est pair, on trouve deux solutions ( 1 21 , 1 = = ). Cest pour laquelle on est oblig de travailler dans lensemble des nombres complexes qui nous donne solutions

(valeurs propres) distinctes qui sont les suivantes :

n

0 2

1 2

2 2

1 2

0

1

2

1

.( i )

.( i )

.( i )

( n ).( i )

n

n

n

nn

e

e

e

e

= = = =

##

8


Il est remarquer que ces valeurs propres sont des nombres complexes de mmes modules

(gal 1), et bien dcals entre eux par un angle de 2 / n dans le repre complexe.

Axe rel

Axe imaginaire Cercle unit

01

1( n )

i

k

2n

Fig. I.3 : Reprsentation des valeurs propres de la matrice J dans le repre complexe

Daprs la figure prcdente, on remarque que les valeurs propres sont conjugues deux

deux :

Si est pair, alors on a valeurs propres complexes conjugues deux deux, et deux

valeurs propres relles (1 et -1).

n 2n

Si est impair, alors on a valeurs propres complexes conjugues deux deux et une

seule valeur propre relle gale 1.

n 1n

On vrifie alors sans peine que pour tout allant de 0 k n 1 , le vecteur suivant : 0

2

1

1k

kk

( n ) k

aa

e an

a

= #

, k 0 n 1=

est un vecteur propre de la matrice circulante J associ la valeur propre (o ka2 i

na e

= ). et pour allant de 0 , une famille de n vecteurs propres associs des valeurs

propres prcdentes distinctes , soit une base de diagonalisation de la matrice .

k n 1 keka J

IV.1.1.2 Matrice de changement de base dans lespace Hermitien

Rejoignant lendomorphisme circulant ssL qui possde la proprit de circularit suivante :

0 0 1 1 2 2 1 1

0 1 1 2 2 3 2 1 1 0

0 2 1 3 2 4 3 1 1 1 2 0

0 1 1 0 2 1 1 2

s ,s s ,s s ,s s ( n ),s ( n )

s ,s s ,s s ,s s ( n ),s ( n ) s ( n ),s

s ,s s ,s s ,s s ( n ),s ( n ) s ( n ),s s ( n ),s

s ,s ( n ) s ,s s ,s s ( n ),s ( n )

m m m mm m m m mm m m m m m

m m m

= = = = = = = = = = = = = = = = = = =

"""

# #" m=

9


qui nous permet dcrire lendomorphisme ssL sous la forme dun polynme en comme

suit :

J

n 1j

ss s0 ,sjj 0

L m

== J

o s0 ,sjm est la mutuelle statorique entre la phase 0 et la phase j

do, les valeurs propres dendomorphisme ssL sont :

2 in 1 n 1j .k ( ) j .knsk s0 ,sj s0 ,sj

j 0 j 0m e m a

= == = pour 0k : ( n 1)= avec 2 ina e =

de manire plus dtaille:

0 0 0 0 1 0 2 0 1

2 2 22 1

1 0 0 0 1 0 2 0 1

2 2 22 4 2 1

2 0 0 0 1 0 2 0 1

2 0 0 0 1

s s ,s s ,s s ,s s ,s ( n )

i i i( ) ( ) ( n )( )n n n

s s ,s s ,s s ,s s ,s ( n )

i i i( ) ( ) ( n )( )n n n

s s ,s s ,s s ,s s ,s ( n )

( n

s ( n ) s ,s s ,s

m m m m

m m e m e m e

m m e m e m e

m m e

= + + + += + + + += + + + +

= +

""

""

""# # # # #

2 22 2 2 2

0 2 0 1

2 21 1 2 1

1 0 0 0 1 0 2 0 1

i i)( ) ( n ) ( ) ( n )( n )( )n n

s ,s s ,s ( n )

i i( n )( ) ( n ) ( ) ( n )( n )( )n n

s ( n ) s ,s s ,s s ,s s ,s ( n )

m e m e

m m e m e m e

+ + += + + + +

""

""

21

21

in

in

Pour simplifier les formules, on pose 2 i(

na e

= ) , alors les expressions prcdentes des valeurs propres deviennent :

0 0 0 0 1 0 2 0 1

2 11 0 0 0 1 0 2 0 1

2 2 2 2 12 0 0 0 1 0 2 0 1

2 2 22 0 0 0 1 0 2 0 1

s s ,s s ,s s ,s s ,s ( n )

( n )s s ,s s ,s s ,s s ,s ( n )

. ( n )s s ,s s ,s s ,s s ,s ( n )

( n ) ( n ). ( ns ( n ) s ,s s ,s s ,s s ,s ( n )

m m m m

m m a m a m a

m m a m a m a

m m a m a m a

= + + + += + + + += + + + +

= + + + +

""""""

# # # # #"" 2 1

1 1 2 11 0 0 0 1 0 2 0 1

)( n )

( n ) ( n ). ( n )( n )s ( n ) s ,s s ,s s ,s s ,s ( n )m m a m a m a 1

= + + + +""

On sait que, si ( ) sont des vecteurs propres dune telle matrice A, alors ses

vecteurs sont eux-mmes vecteurs propres de nimporte quel polynme en A (proprits des

matrices. Voir lannexe I). Cette proprit nous permet de trouver facilement les vecteurs

propres de la matrice qui caractrise lendomorphisme

0 1 1ne ,e ,...,e G G G

ssL .

Autrement dit, les vecteurs propres de la matrice caractrisant lendomorphisme ssL sont les

mmes vecteurs propres de la matrice qui sont les suivants : J

10


2 2 2 2 20 0 0 1 0 2 0 2 0 1

0

2 2 2 2 21 0 1 1 1 2 1 2 1 1

1

2 2 22 0 2 1 2 2 2 2

2

1

1

1

i i i i i. ( ) . ( ) . ( ) .( n )( ) .( n )( ) tn n n n n

i i i i i. ( ) . ( ) . ( ) .( n )( ) .( n )( ) tn n n n n

i i i. ( ) . ( ) . ( ) .( n )(n n n

e ( e ,e ,e , ,e ,e )n

e ( e ,e ,e , ,e ,e )n

e ( e ,e ,e , ,en

=

=

=

G

G

G 2 22 1

2 2 2 2 21 0 1 1 1 2 1 2 1 1

11

i i) .( n )( ) tn n

i i i i( n ). ( ) ( n ). ( ) ( n ). ( ) ( n ).( n )( ) ( n ).( n )( ) tn n n nn

,e )

e ( e ,e ,e , ,e ,en

=

# # # #G

in )

On pose 2 i

ne= a , on obtient :

2

0

2 2 11

2 4 2 2 2 12

1 1 2 1 2 11

1 1 1 1 1

1 1

1 1

1 1

t

( n ) ( n ) t

.( n ) .( n ) t

( n ) ( n ). ( n ).( n ) ( n ) tn

e ( , , , , )n

e ( ,a,a , ,a ,a )n

e ( ,a ,a , ,a ,a )n

e ( ,a ,a , ,a ,an

=

=

=

=

G G G # # #G )

Ces vecteurs coordonnes complexes forment une base orthonorme de l'espace Hermitien

associ lendomorphisme ssL de la machine.

La matrice de transformation (passage) de la base naturelle vers la base de dcouplage est

lensemble des vecteurs colonnes propres :

2

1

2 2 1

1 1

1 1 11

1 1

1

( n )

( n )

( n ) ( n )

a aT a a

n

a a

=

""""""""

# # % #"

Cette matrice de passage de la base naturelle vers la base propre est connue sous le nom de

Transforme de Fortescue. Elle est orthogonale au sens hermitien. Pour trouver son inverse,

il faudra dabord la transposer, puis la conjuguer terme terme [2], [3].

Cette matrice permet la rsolution des systmes n phass o les phases sont rgulirement dcales dans lespace. Si les phases ne sont pas uniformment rparties (par exemple le cas

de la machine double toile), lanalyse ne peut se faire directement par cette mthode.

Dautre part, elle vrifie la condition 1 tT T = , donc a la proprit de conserver la puissance instantane quelle que soit la base dans la quelle est exprime [3].

11


On applique la proprit 2 2i ( n k ) ikne e n = sur la matrice de passage prcdente T , on obtient

les systmes suivants [2], [3], [4]:

Systme homopolaire :

Ce systme correspond au vecteur ( )0 1 1 1 1 te n=G """

Systme direct :

Ce systme correspond au vecteur ( )11 1 1 t( n )e a an =G """ Systme inverse :

Ce systme correspond au vecteur ( )1 21 1 1 t( n )ne a an =G " a La nouvelle matrice inductance statorique caractrisant lendomorphisme ssL dans la nouvelle

base de dcouplage 0 1 2 1n( e ,e ,e , ,e )G G G G devient :

[ ]0

1

2

1

0 0 00 0 00 0 0

0 0 0

s

s

ss s

s ( n )

L

=

"""""""""

# # # % #"""

Tels que :

0 0 0 0 1 0 2 0 1

2 11 0 0 0 1 0 2 0 1

2 2 2 2 12 0 0 0 1 0 2 0 1

2 2 22 0 0 0 1 0 2 0 1

s s ,s s ,s s ,s s ,s ( n )

( n )s s ,s s ,s s ,s s ,s ( n )

. ( n )s s ,s s ,s s ,s s ,s ( n )

( n ) ( n ). ( ns ( n ) s ,s s ,s s ,s s ,s ( n )

m m m m

m m a m a m a

m m a m a m a

m m a m a m a

= + + + += + + + += + + + +

= + + + +

""""""

# # # # #"" 2 1

1 1 2 11 0 0 0 1 0 2 0 1

)( n )

( n ) ( n ). ( n )( n )s ( n ) s ,s s ,s s ,s s ,s ( n )m m a m a m a 1

= + + + +""

IV.1.2 Reprsentation Euclidienne

Les proprits physiques (gomtriques) de la machine nous permettent d'affirmer que la

matrice inductance est symtrique. En effet, l'inductance mutuelle entre deux enroulements

est rciproque [3]:

sk ,sj sj ,skm m= Dautre part, on sait que la matrice est circulante :

12


0 0 1 1 2 2 1 1

0 1 1 2 2 3 2 1 1 0

0 2 1 3 2 4 3 1 1 1 2 0

0 1 1 0 2 1 1 2

s ,s s ,s s ,s s ( n ),s ( n )

s ,s s ,s s ,s s ( n ),s ( n ) s ( n ),s

s ,s s ,s s ,s s ( n ),s ( n ) s ( n ),s s ( n ),s

s ,s ( n ) s ,s s ,s s ( n ),s ( n )

m m m mm m m m mm m m m m m

m m m

= = = = = = = = = = = = = = = = = = =

"""

# #" m=

Daprs ces deux proprits (la circularit et la symtrie de la matrice inductance statorique)

on distingue deux cas selon la parit de nombre de phases de la machine.

IV.1.2.1 Valeurs propres de la matrice ssL dans lespace Euclidien (Cas de n impair)

On obtient la relation entre les mutuelles statoriques suivante:

0 1 0 1

0 2 0 2

1 10 02 2

s ,s s ,s ( n )

s ,s s ,s ( n )

n ns ,s ( ) s ,s ( )

m mm m

m m

+

= = =

# # #

Les valeurs propres de la matrice inductance statorique deviennent :

0 0 0 0 1 0 2 102

1 11 2 2 2 2

1 0 0 0 1 0 2 102

1 1 1 1 2 1 21 0 0 0 1 0 2

2 2 2s s ,s s ,s s ,s ns ,s ( )n n( ) ( )( n ) ( n )

s s ,s s ,s s ,s ns ,s ( )

( n ) ( n )( n ) ( n ). ( n )( n )s ( n ) s ,s s ,s s ,s s

m m m m

m m ( a a ) m ( a a ) m ( a a )

m m ( a a ) m ( a a ) m

+

= + + + +

= + + + + + + +

= + + + + + +

""

""

# # # # #

""1 11 1

2 210

2

n n( n )( ) ( n )( )

n,s ( )( a a )

+

+

Lexploitation de trois relations suivantes : 2 2

2 2

2 2

22

22

i ( n k ) ikn n

ik i ( n k )n n

ik i ( n k )n n

e e

e e cos( kn

e e i sin( kn

)

)

=+ =

=

Permet dobtenir des valeurs propres relles

0 0 0 0 1 0 2 102

1 0 0 0 1 0 2 102

1 0 0 0 1 0 2 102

2 2 2

2 2 1 22 2 2 22

2 1 2 1 12 2 2 2

s s ,s s ,s s ,s ns ,s ( )

s s ,s s ,s s ,s ns ,s ( )

s ( n ) s ,s s ,s s ,s ns ,s ( )

m m m m

nm m cos( ) m cos ( ) m cos( )( )n n n

( n ) ( n ) nm m cos( ) m cos ( ) m cos(n n

= + + + += + + + +

= + + + +

""

""

# # # # #"" 2 1

2( n ))( )

n

On remarque que ces valeurs propres ont la proprit suivante :

13


1 1

2 2

1 12 2

s s ( n )

s s ( n )

n ns ( ) s ( )

+

= = =

# # #

et de manire gnrale sk s ( n k ) = Donc la proprit de symtrie nous assure l'existence de valeurs propres relles. Dans le cas

o est impair, lendomorphisme n ssL admet 1

2n valeurs propres relles doubles (de

multiplicit dordre 2), et une seule valeur propre relle simple.

Dans le cas o les forces magntomotrices sont rpartition sinusodale, linductance propre

0 0s ,s Ps fsm L= + l avec est linductance principale et PsL fsl est linductance de fuite dune phase

statorique [3]. Dautre part, linductance mutuelle 02

s ,sk Pskm L cos(n

)= . Dans ce cas, on

trouve les valeurs propres de lendomorphisme ssL comme suit :

0 2 3 2

1 1 2

s s s s ( n ) f

s s ( n ) fs ps

lnl L

= = = = = = = +

" s

)

IV.1.2.2 Matrice de changement de base dans lespace euclidien (cas de n impair)

On peut alors dduire que toute combinaison linaire des vecteurs k ( n ke et e G G est encore un

vecteur propre associ la valeur propre sk . Il y a donc le plan engendr par les vecteurs une infinit de bases orthonormes engendres par les vecteurs propres. Pour

obtenir des vecteurs propres coefficients rels (c'est--dire une base de dcouplage

euclidienne), on choisit les combinaisons suivantes [1], [2], [3]:

k ( n ke et e G G

)

1

2

2

k ( n k )m

k ( n km

e ee

e ee

i

+

+ = =

G GGG GG )

Dautres combinaisons linaires permettent dobtenir dautre base.

La proprit 2 2i ( n k ) ikne e n = (proprit de priodicit des fonctions sinus et cosinus) permet

de simplifier les expressions.

Do, les vecteurs propres de la matrice inductance dans lespace

euclidien sont :

0 1 2 1n( e ,e ,e , ,e ) G G G G

14


0

1 11

1 12

1 12 2

2

1

1 1 1 1 1

2 2 21 12

2 2 20 12

2 1 2 11 12 22

t

( n ) t

( n ) t

n n( ) ( ) tn

n

e ( , , , , )n

e ee ( , cos( ), ,cos(( n ) ))

n n ne e

e ( , sin( ), ,sin(( n ) ))n n ni

e en ne ( , cos(( ) ), ,cos(( )( n ) ))

n n

e

+

=+ = = = =

+ = =

G G GG ""G GG ""

# # #G GG ""

G

2n

1 12 2 2 1 2 1 20 1

2 22

n n( ) ( ) t

e en n( , sin(( ) ), ,sin(( )( n ) ))

n ni +

= =

G G""

n

Finalement, la matrice de changement de base (passage) de la base naturelle vers la base de

dcouplage est lensemble des vecteurs colonnes propres (cas de est impair) est: n

2

2

2 4 2 11

2 4 20

21 2 1 11

1 2 1 10

2 2 2 22 2 2 2

( n )cos( ) cos( ) cos( )n n n

( n )sin( ) sin( ) sin( )n n n

T ( n ) ( n ) ( n )cos( ) cos( ) cos( )nn n

( n ) ( n ) ( n )sin( ) sin( ) sin( )n n

1

n

n

=

"""

"""# # # #

"""

"""

"""

Cette matrice est connue sous le nom de matrice de Concordia gnralise [2].

Les deux premires lignes de cette matrice correspondent aux deux premires lignes de la

matrice de transformation ( , ) gnralise. Et les autres composantes sont appeles composantes non squentielles [5].

2 4 2122 4 20

( n )cos( ) cos( ) cos( )n n nT

( n )n sin( ) sin( ) sin( )n n

1

1n

=

"""

"""

Il y a dautre approche pour calculer la sous-matrice T . Elle consiste de faire la projection

des axes magntiques des diffrents enroulements de la machine sur le plan ( , ) [2], [4].

15


0S1S

1( n )S

iS

kS

2n

Fig. I.4 : Projection des axes magntiques dans le plan ( , )

La nouvelle matrice inductance statorique qui caractrise lendomorphisme ssL dans la

nouvelle base euclidienne devient : 0 1 2 1n( e ,e ,e , ,e ) G G G G

[ ]

0

1

1

12

12

0 0 00 00 0 0

0

0 0 0 0

s

s

s

ss sk

sk

ns ( )

n

0

s ( )

L

=

" " "" " "" " "

# # # % #" " "" " "" " " " " "" " " " % " "# # # "

" "

IV.1.2.3 Valeurs propres de la matrice ssL dans lespace Euclidien (Cas de n pair)

On obtient une nouvelle relation entre les mutuelles inductances statoriques:

0 1 0 1

0 2 0 2

2 20 02 2

s ,s s ,s ( n )

s ,s s ,s ( n )

n ns ,s ( ) s ,s ( )

m mm m

m m

+

= = =

# # #

donc, les valeurs propres deviennent :

0 0 0 0 1 0 2 20 02 2

2 21 2 22 2 2

1 0 0 0 1 0 2 20 02 2

1 121 0 0 0 10

2

2 2 2s s ,s n s ,s s ,s ns ,s ( ) s ,s ( )n n n( ) ( ) ( )( n ) ( n )

s s ,s n s ,s s ,s ns ,s ( ) s ,s ( )

n( n )( ) ( n ) (s ( n ) s ,s n s ,ss ,s ( )

m m m m m

m m a m ( a a ) m ( a a ) m ( a a )

m m a m ( a a

+

= + + + + +

= + + + + + + + +

= + + +

""

""

# # # # #2 21 11 1 1 2 1 2 2 2

0 2 202

n n( n )( ) ( n )( )n )( n ) ( n ). ( n )( n )s ,s ns ,s ( )

) m ( a a ) m ( a a ) +

+ + + + +""

Lexploitation de trois relations suivantes :

16


2 2

2 2

2 2

22

22

i ( n k ) ikn n

ik i ( n k )n n

ik i ( n k )n n

e e

e e cos( kn

e e i sin( kn

)

)

=+ =

=

Permet dobtenir des valeurs propres relles

0 0 0 0 1 0 2 20 02 2

1 0 0 0 1 0 2 20 02 2

2 0 0 0 1 0 202

2 2 2

2 2 2 22 2 2 22

2 2 2 22 2 2

s s ,s n s ,s s ,s ns ,s ( ) s ,s ( )

s s ,s n s ,s s ,s ns ,s ( ) s ,s ( )

s s ,s n s ,s s ,ss ,s ( )

m m m m m

nm m m cos( ) m cos( ( )) m cos(( )( ))n n n. .m m m cos( ) m cos( ( ))n n

= + + + + += + + + +

= + + + +

""

""

" 202

1 0 0 0 1 0 2 20 02 2

2 2 222

2 1 2 1 2 2 12 2 2 22

ns ,s ( )

s ( n ) s ,s n s ,s s ,s ns ,s ( ) s ,s ( )

n .m cos(( )( ))n

( n ) ( n ) n ( n )m m m cos( ) m cos ( ) m cos(( )( ))n n

n

+ = + + + +

"

# # # # #""

On remarque que ces valeurs propres sont relles doubles (de multiplicit dordre 2) :

02

1 1

2 2

2 22 2

s ns ( )

s s ( n )

s s ( n )

n ns ( ) s ( )

+

= = = =

# # #

et de manire gnrale sk s ( n k ) = Ce qui nous permet de conclure que la proprit de la symtrie de la machine nombre pair

de phases nous assure l'existence de valeurs propres relles doubles.

Dans le cas o les forces magntomotrices sont rpartition sinusodale, linductance propre

0 0s ,s Ps fsm L= + l avec est linductance principale et PsL fsl est linductance de fuite dune phase

statorique. Dautre part, linductance mutuelle 02

s ,sk Pskm L cos(n

)= . Dans ce cas, on trouve

les valeurs propres de lendomorphisme ssL comme suit :

0 2 3 2

1 1 2

s s s s ( n ) f

s s ( n ) fs ps

lnl L

= = = = = = = +

" s

17


IV.1.2.4 Matrice de changement de base dans lespace euclidien (cas de n pair)

La multiplicit dordre deux des valeurs propres nous amne trouver une infinit de sous-

espaces propres engendrs par le plan ( k ( n ke et e )G G ) associs la valeur propre sk .

Pour obtenir des vecteurs propres coefficients rels (c'est--dire une base de dcouplage

euclidienne), on choisit les combinaisons suivantes [2]:

1

2

2

k ( n k )m

k ( n km

e ee

e ee

i

+

+ = =

G GGG GG )

Dautre part, avec le nombre de phases pair, le vecteur propre 2n( )

eG devient comme suit :

2 12 2 2

2

1 11 1n n n( ) ( ) ( )( n ) t t

n( )e ( ,a ,a , ,a ) ( , , , , )

n n= =G 1 1 1

Finalement les vecteurs propres 0 1 2 1n( e ,e ,e , ,e ) G G G G de la matrice qui caractrise lendomorphisme ssL dans le cas o le nombre de phases est pair sont les suivants :

0

1

1 12

1 13

2 22 2

2

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

2 2 21 12

2 2 20 12

2 2 2122

t

t

( n ) t

( n ) t

n n( ) ( )

n

e ( , , , , )n

e ( , , , , )n

e ee ( , cos( ), ,cos(( n ) ))

n n ne e

e ( , sin( ), ,sin(( n ) ))n n ni

e ene ( , cos(( ) ), ,

n n

+

=

= + = = = =

+ = =

G G

G GG ""G GG ""

# # #G GG ""

2 22 2

1

2 212

2 2 2 20 12 22

t

n n( ) ( ) tn

ncos(( )( n ) ))n

e en ne ( , sin(( ) ), ,sin(( )( n

n ni

+

= =

G GG "" 2) ))

n

La matrice de changement de base (cas de pair) qui construite par les vecteurs

est donn par :

n

0 1 2 1n( e ,e ,e , ,e ) G G G G

18


2 4 2 11

2 4 2 10

2 2 2 2 2 2 212 2 2

2 2 2 2 2 2 1 202 2 2

2 2 2 22 2 2 22

2



n n . n ( nT cos(( ) ) cos(( ) ) cos(( ) )n n n

n n . n ( n

1 2)n)sin(( ) ) sin(( ) ) sin(( ) )

n n

n

=

"""

"""# # # """ ## # # #

"""

"""

"""

2 2 22 2 2

"""

La nouvelle matrice inductance statorique qui caractrise lendomorphisme ssL (cas de n pair)

est diagonale dans la base euclidienne 0 1 2 1n( e ,e ,e , ,e ) G G G G :

[ ]

0

0

22

22

0 0 00 0

0

0 0 0 0

s

s

sk

skss

ns ( )

n

0

s ( )

L

=

" "" "

# # % #" " " "" " " " "" " " % " "# # # "

"

IV.2 Diagonalisation dendomorphisme rrL


Le rotor de la machine possde phases identiques, rgulirement dcales dans lespace

comme le stator. Par consquent, on tire analytiquement les valeurs propres et les vecteurs

propres associs, pour cela, il suffit de changer lindice s par lindice .

n

r

donc les valeurs propres dans lespace hermitien sont les suivantes :

0 0 0 0 1 0 2 0 1

2 11 0 0 0 1 0 2 0 1

2 2 2 2 12 0 0 0 1 0 2 0 1

2 2 22 0 0 0 1 0 2 0 1

r r ,r r ,r r ,r r ,r ( n )

( n )r r ,r r ,r r ,r r ,r ( n )

. ( n )r r ,r r ,r r ,r r ,r ( n )

( n ) ( n ). ( nr ( n ) r ,r r ,r r ,r r ,r ( n )

m m m m

m m a m a m a

m m a m a m a

m m a m a m a

= + + + += + + + += + + + +

= + + + +

""""""

# # # # #"" 2 1

1 1 2 11 0 0 0 1 0 2 0 1

)( n )

( n ) ( n ). ( n )( n )r ( n ) r ,r r ,r r ,r r ,r ( n )m m a m a m a 1

= + + + +""

19


auxquelles on associe les vecteurs propres suivants :

2

0

2 2 11

2 4 2 2 2 12

1 1 2 1 2 11

1 1 1 1 1

1 1

1 1

1 1

t

( n ) ( n ) t

.( n ) .( n ) t

( n ) ( n ). ( n ).( n ) ( n ) tn

e ( , , , , )n

e ( ,a,a , ,a ,a )n

e ( ,a ,a , ,a ,a )n

e ( ,a ,a , ,a ,an

=

=

=

=

G G G # # #G )

Il est clair que ces vecteurs propres sont les mmes vecteurs propres de la matrice inductance

statorique caractrisant lendomorphisme ssL , par la suite on trouve la mme matrice de

passage de la base naturelle (canonique) vers la base propre, car la matrice de passage ne

dpend pas des paramtres lectriques de la machine (rsistance, inductanceetc.), mais

dpend uniquement de la gomtrie des enroulements de la machine [2], [3].

2

1

2 2 1

1 1

1 1 11

1 1

1

( n )

( n )

( n ) ( n )

a aT a a

n

a a

=

""""""""

# # % #"

Do, la matrice inductance rotorique reprsente dans la base de dcouplage est diagonale:

[ ]0

1

2

1

0 0 00 0 00 0 0

0 0 0

r

r

rr r

r ( n )

L

=

"""""""""

# # # % #"""


Nous avons montr dans le paragraphe IV.1.2 que la symtrie de la matrice inductance

implique lexistence des valeurs propres relles, et les vecteurs propres associs sont issus

dune combinaison linaire de vecteurs propres ( k ( n ke et e )G G ). Par consquent, la matrice de

passage de la base canonique vers la base propre est coefficients rels.

Cas de impair : n

La matrice inductance rotorique est diagonale dans la base propre 0 1 2 1n( e ,e ,e , ,e ) G G G G :

20


[ ]

0

1

1

12

12

0 0 00 00 0 0

0

0 0 0 0

r

r

r

rr rk

rk

nr ( )

nr ( )

L

=

" " "" " "" " "

# # # % #" " "" " "" " " " " "" " " " % " "# # # "

" "

0

avec :

0 0 0 0 1 0 2 102

1 0 0 0 1 0 2 102

1 0 0 0 1 0 2 102

2 2 2

2 2 1 22 2 2 22

2 1 2 1 12 2 2 2

r r ,r r ,r r ,r nr ,r ( )

r r ,r r ,r r ,r nr ,r ( )

r ( n ) r ,r r ,r r ,r nr ,r ( )

m m m m

nm m cos( ) m cos ( ) m cos( )( )n n n

( n ) ( n ) nm m cos( ) m cos ( ) m cos(n n

= + + + += + + + +

= + + + +

""

""

# # # # #"" 2 1

2( n ))( )

n

et

1 1

2 2

1 12 2

r r ( n )

r r ( n )

n nr ( ) r ( )

+

= = =

# # #

Cas de pair : n

La matrice inductance rotorique reprsente dans la base propre

devient : 0 1 2 1n( e ,e ,e , ,e ) G G G G

[ ]

0

0

22

22

0 0 00 0

0

0 0 0 0

r

r

rk

rkrr

nr ( )

nr ( )

L

=

" "" "

# # % #" " " "" " " " "" " " % " "# # # "

"

0

21


avec :

0 0 0 0 1 0 2 10 02 2

1 0 0 0 1 0 2 20 02 2

1 0 0 0 1 0 202

2 2 2

2 2 2 22 2 2 22

2 2 2 22 2 2

r r ,r n r ,r r ,r nr ,r ( ) r ,r ( )

r r ,r n r ,r r ,r nr ,r ( ) r ,r ( )

r r ,r n r ,r r ,rr ,r ( )

m m m m m

nm m m cos( ) m cos( ( )) m cos(( )( ))n n n. .m m m cos( ) m cos( ( ))n n

= + + + + += + + + +

= + + + +

""

""

" 202

1 0 0 0 1 0 2 20 02 2

2 2 222

2 1 2 1 2 2 12 2 2 22

nr ,r ( )

r ( n ) r ,r n r ,r r ,r nr ,r ( ) r ,r ( )

n .m cos(( )( ))n

( n ) ( n ) n ( n )m m m cos( ) m cos ( ) m cos(( )( ))n n

n

+ = + + + +

"

# # # # #""

et

02

1 1

2 2

2 22 2

r nr ( )

r r ( n )

r r ( n )

n nr ( ) r ( )

+

= = = =

# # #

IV.3 Diagonalisation de lendomorphisme srM


Lexamen des inductances mutuelles de cette application linaire montre quelle est circulante

et non symtrique. En effet, la proprit de circularit nous permet de trouver analytiquement

ces valeurs et vecteurs propres en travaillant dans un espace hermitien [2].

Nous appliquons la mme dmarche que nous avons fait pour la diagonalisation des

endomorphismes ssL et rrL , on trouve valeurs propres complexes dont valeurs propres

conjugues deux deux et une seule valeur propre relle dans le cas o le nombre de phases

est impair, et deux valeurs propres relles dans le cas contraire.

n 1n

Donc, on obtient les rsultats suivants pour les valeurs propres de srM :

0 0 0 0 1 0 2 0 1

2 2 22 1

1 0 0 0 1 0 2 0 1

2 2 22 4 2 1

2 0 0 0 1 0 2 0 1

2 0 0 0 1

sr s ,r s ,r s ,r s ,r ( n )

i i i( ) ( ) ( n )( )n n n

sr s ,r s ,r s ,r s ,r ( n )

i i i( ) ( ) ( n )( )n n n

sr s ,r s ,r s ,r s ,r ( n )

sr ( n ) s ,r s ,r

m m m m

m m e m e m e

m m e m e m e

m m

= + + + += + + + += + + + +

= +

""

""

""# # # # #

2 22 2 2 2

0 2 0 1

2 21 1 2 1

1 0 0 0 1 0 2 0 1

i i( n )( ) ( n ) ( ) ( n )( n )( )n n

s ,r s ,r ( n )

i i( n )( ) ( n ) ( ) ( n )( n )( )n n

sr ( n ) s ,r s ,r s ,r s ,r ( n )

e m e m e

m m e m e m e

+ + + = + + + +

""

""

21

21

in

in

On rappelle que les mutuelles 0s ,rkm ne sont pas fixes, mais lies la position du rotor par

rapport au stator comme la montre lquation suivante :

22


02

s ,rk srm m cos( k n)= + , sous la forme complexe

2

0

( k ) in

s ,rk srm m e +=

Cest le cas dune machine o lon suppose une rpartition sinusodale des forces

magntomotrices.

srm : cest la mutuelle maximale entre un enroulement statorique et un enroulement

rotorique, elle est remplie lorsque laxe rotorique concide avec laxe statorique).

: cest langle mcanique entre la phase statorique et la phase rotorique 0s 0rOn trouve :

0 2 3 2

1

1

0

2

2

sr sr sr sr ( n )

isr sr

isr ( n ) sr

n m e

n m e

+

= = = = = =

""

Comme la matrice caractrisant lendomorphisme srM est circulante, alors ses vecteurs

propres sont indpendants des mutuelles. Ils sont lis uniquement au nombre de phases de la

machine. Par la suite, la matrice de passage de la base naturelle vers la base propre est la

mme que celle trouve aux endomorphismes ss rrL et L . Donc, la nouvelle matrice inductance

reprsente dans la base propre devient :

[ ]0

1

2

1

0 0 00 0 00 0 0

0 0 0

sr

sr

sr sr

sr ( n )

M

=

"""""""""

# # # % #"""


Lendomorphisme srM ne reprsente pas le caractre de symtrie comme les

endomorphismes ss rrL et L , alors ses valeurs propres ne sont pas obtenues directement relles.

Par ailleurs, on peut exprimer les valeurs propres, en ne prenant que leurs parties relles.

On obtient :

23


0 0 1 2 1

1 0 1 2 1

1 0 1 2 1

2 2 22 1

2 21 2 1 1

sr sr sr sr sr ( n )

sr sr sr sr sr ( n )

sr ( n ) sr sr sr sr ( n )

m m m m

m m cos( ) m cos( ) m cos(( n ) )n n n

m m cos 21(( n ) ) m cos( .( n ) ) m cos(( n )( n ) )n n

n

= + + + + = + + + + = + + + +

""

""# # #

""avec une rpartition sinusodale des forces magntomotrices, on trouve :

0 2 3 2

1 1

0

2

sr sr sr sr ( n )

sr sr ( n ) srn m cos( )

= = = = = =

""

auxquelles on associe les mmes vecteurs propres quon a trouv dans la diagonalisation

euclidienne des endomorphismes ss rrL et L .

IV.4 Diagonalisation de lendomorphisme rsM

La matrice qui caractrise rsM est transpose de celle de srM . Ces endomorphismes sont dits

galement transposs lun de lautre. Par consquent, les endomorphismes rsM et srM ont les

mmes valeurs et vecteurs propres [3].

V. Exemple de reprsentation vectorielle pour la machine triphase:

Nous allons appliquer la dmarche de diagonalisation la machine asynchrone triphase

rotor bobin.

V.1.1 Reprsentation dans la base naturelle

On associe aux trois phases statorique/rotorique un espace vectoriel euclidien de dimension

trois, { }0 1 2B , ,x x x= G G G Dans cette base les matrices inductances sont :

[ ] 0 0 0 1 0 10 1 0 0 0 10 1 0 1 0 0

s ,s s ,s s ,s

ss s ,s s ,s s ,s

s ,s s ,s s ,s

m m mL m m m

m m m

= , [ ] 0 0 0 1 0 10 1 0 0 0 1

0 1 0 1 0 0

r ,r r ,r r ,r

rr r ,r r ,r r ,r

r ,r r ,r r ,r

m m mL m m m

m m m

=

[ ] 0 0 0 1 0 20 2 0 0 0 10 1 0 2 0 0

s ,r s ,r s ,r

sr s ,r s ,r s ,r

s ,r s ,r s ,r

m m mM m m m

m m m

= , [ ] 0 0 0 1 0 20 2 0 0 0 1

0 1 0 2 0 0

r ,s r ,s r ,s

rs r ,s r ,s r ,s

r ,s r ,s r ,s

m m mM m m m

m m m

= V.1.2 Reprsentation dans la base propre

Conformment lapproche applique prcdemment, les valeurs propres de

lendomorphisme ssL sont :

24


0 0 0 0 1

1 0 0 0 1

2 0 0 0 1

2223423

s s ,s s ,s

s s ,s s ,s

s s ,s s ,s

m m

m m cos(

m m cos(

)

)

= += +

= +

On suppose une rpartition sinusodale des forces magntomotrices, donc linductance propre

0 0s ,s P fsm L= + l avec est linductance principale et PL fsl est linductance de fuite dune phase

statorique. Dautre part, linductance mutuelle 0 123s ,s P

m L cos( )= . Les valeurs propres de

lendomorphisme ssL deviennent :

0

1 232

s fs

s s fs

l

l L

= = = + P

Donc, la matrice de passage de la base naturelle vers la base propre est donne :

2 413 3

2 203 3

2 2 22 2 2

cos( ) cos( )

T sin( ) sin( 43

)

=

cette matrice nest que la matrice classique de Concordia.

Les matrices inductances diagonalises scrivent :

[ ]3 0 02

30 02

0 0

fs P

ss fs P

fs

l L

L l L

l

+ = +

,[ ]3 0 02

30 02

0 0

fr P

rr fr P

fr

l L

L l L

l

+ = +

[ ] [ ]0 0 0

30 02

30 02

sr rs p

p

M M L cos( )

L cos( )

= =

25


VI. Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons progressivement montr comment appliquer le formalisme

vectoriel pour diagonaliser les matrices inductances de la machine asynchrone rotor bobin

n phases rgulirement dcales dans lespace, aussi bien au niveau du stator quau niveau

du rotor. Notre dmarche a pour but dliminer le couplage entre les diffrentes grandeurs

magntiques de la machine [3].

Il a t ressorti que les matrices inductances de toutes les machines enroulements

rgulirement rpartis sont circulantes et symtriques.

La proprit de circularit est suffisante pour pouvoir diagonaliser les matrices inductances

dans un espace vectoriel hermitien [2], [3]. Dans ce cas, la transforme de Fortescue de

dimension n est une base des vecteurs propres, et les sous-espaces propres sont des droites

vectorielles complexes.

La proprit de symtrie permet de passer de lespace vectoriel hermitien lespace vectoriel

euclidien. Les sous-espaces propres sont alors des plans ou bien des droites. La transforme

de Concordia gnralise dfinit une base orthonormale de dcouplage coefficients rels.

Pour cela, en premier temps, les matrices inductance ont t reprsentes dans un espace

vectoriel hermitien de dimension lie au nombre de phases, sur lequel, il a t montr que ces

matrices inductances sont diagonalisables, et admissent n valeurs propres distinctes. Les

valeurs propres obtenues conduisent n vecteurs propres diffrents constituant une matrice de

changement de base qui est connue sous le nom de transforme de Fortescue.

Par la suite, les matrices inductances sont reprsentes dans un espace euclidien o les

lments sont rels. Dans ce cas, nous avons distingu selon la parit du nombre de phases de

la machine deux matrices de changement de base connues sous le nom de transforme de

Concordia gnralise. Les valeurs propres obtenues sont gales deux deux pour n pair, et

gales deux deux avec une seule valeur simple pour n impair.

26

CHAPITRE II Modlisation de la Machine Asynchrone Polyphase

Sommaire I. Introduction.............................................................................................................................. 28 II. Types de machines considres .............................................................................................. 28 III. Hypothses simplificatrices................................................................................................... 28 IV. Modlisation de la machine asynchrone polyphase dans la base naturelle ......................... 29

IV.1 quations lectriques .................................................................................................... 29 IV.2 Puissance transite dans la machine ............................................................................. 29 IV.3 quations magntiques ................................................................................................. 30 IV.4 quations mcaniques .................................................................................................. 31

V. Modlisation de la machine asynchrone polyphase dans la base propre .............................. 32 V.1 Changement de base ...................................................................................................... 32 V.2 Proprits des matrices de changement de base ............................................................ 33 V.3 Matrices inductances de la machine dans la base de Concordia .................................... 33 V.4 quations lectriques de la machine dans la base propre .............................................. 36 V.5 quations magntiques de la machine dans la base propre............................................ 37 V.6 quations mcaniques de la machine dans la base propre............................................. 38

VI. Concept Multimachine de la Machine Polyphase ............................................................... 40 VI.1 quations de la machine dans la base de dcouplage Euclidienne .............................. 40 VI.2 quations lectriques ................................................................................................... 41 VI.3 quations magntiques ................................................................................................ 41 VI.4 quations mcaniques .................................................................................................. 42 VI.5 Schma lectrique dune machine fictive ..................................................................... 43

VII. Exemple d'application : machine asynchrone heptaphase (n=7 phases) ............................ 44 VII.1 Rsultats et Interprtations .......................................................................................... 46

VIII. Conclusion.......................................................................................................................... 49

Chapitre II : Modlisation de la Machine Asynchrone polyphase

I. Introduction

Pour tudier la commande dune telle machine lectrique, il est ncessaire de connatre le

comportement de la machine en rgime transitoire. L'objectif de ce chapitre est de trouver un

modle mathmatique simple et gnral pour toutes les machines asynchrones polyphases.

Pour ce faire, la machine sera modlise dans la base naturelle, o les contraintes de couplage

seront reprsentes. Par la suite, la machine sera galement modlise dans les bases propres,

de Concordia et Park gnralises, o les contraintes de couplage seront limines.

En dernire partie, nous utilisons le concept multimachine qui consiste assimiler

mathmatiquement la machine relle polyphase un ensemble des machines fictives

diphases et monophases, chaque machine fictive correspond un sous-espace vectoriel, et

le nombre de phases de chaque machine fictive est li directement la dimension du sous-

espace associ. Autrement dit, la machine polyphase sera vue comme une association des

machines fictives magntiquement dcouples et mcaniquement couples [1], [2], [19].

la fin de ce chapitre, nous donnons un modle mathmatique pour une machine heptaphase

comme un exemple.

II. Types de machines considres

Les machines considres dans ce mmoire sont des machines asynchrones radiales ples

lisses. Le stator de la machine est form de enroulements fixes dcals de n 2 / n dans lespace. Le rotor peut tre aussi modlis par enroulements identiques dcals dans

lespace de

n

2 / n . Ces enroulements sont en court-circuit et la tension leurs bornes est nulle.

III. Hypothses simplificatrices

Pour pouvoir laborer le modle lectrique quivalent de la machine, il est ncessaire de

considrer certaines hypothses :

Lentrefer est dpaisseur uniforme et leffet dencochage est ngligeable; La saturation du circuit magntique et les courants de Foucault sont ngligeables; Les rsistances des enroulements ne varient pas avec la temprature; Leffet de peau est ngligeable; La F.M.M cre par chacune des phases des deux armatures est rpartition

sinusodale;

28


IV. Modlisation de la machine asynchrone polyphase dans la base naturelle

IV.1 quations lectriques

Lapplication de la loi de Faraday chaque enroulement de la machine, en considrant la

chute de tension ohmique nous donne lquation vectorielle en tension. Par ailleurs, comme

les enroulements rotoriques sont en court-circuit, le vecteur tension rotorique appliqu est nul:

[ ][ ]0

s s s s

r r r

dV R Idt

dV R Idt

= + = = +

G G G

GG Gr

G

................................................................................................ (II.1)

s r s rI , I , etG G G G Sont respectivement, le vecteur courant statorique, le vecteur courant

rotorique, le vecteur flux statorique et le vecteur flux rotorique; ils sont crits de la mme

manire que ,s rV VG G

en fonction des vecteurs de la base canonique B .

[ ]sR et[ ]rR sont respectivement, la matrice rsistance statorique et la matrice rsistance rotorique, elles ont des lments diagonaux gaux, car les phases de la machines sont

identiques.

[ ]0 0

0 0

0 0

s

ss

s

RR

R

R

=

""""

# # % #" ""

, [ ]0 0

0 0

0 0

r

rr

r

RR

R

R

=

""""

# # % #" ""

Le produit scalaire du vecteur tension avec chacun des vecteurs de la base canonique nous

donne l'quation en tension d'une phase :

sk

rk

.

. 0

s k s sk sk

r k r rk rk

dv V x R idtdv V x R idt

= = + = = + =

G G

G G ..................................................................................... (II.2)

O

sk rk sk rkv ,v , , sont les composantes scalaires de la phase k des vecteurs tension et flux. IV.2 Puissance transite dans la machine

La puissance instantane transitant dans la machine est obtenue par simple produit scalaire

entre le vecteur tension et le vecteur courant : 1

0

n

s s kk

P V .I v .i

== =G G k ........................................................................................................ (II.3)

et en remplaant le vecteur tension par son expression (II.1), on obtient lquation suivante :

29


[ ]( )2s s dP R I Idt = + G G

s s

G............................................................................................ (II.4)

Dans laquelle on reconnat :

Les pertes par effet Joule :[ ]( )2s sR IG .............................................................................. (II.5) La puissance magntique : s s

d Idt

GG

............................................................................ (II.6)

IV.3 quations magntiques

Les hypothses que nous avons prsentes prcdemment conduisent des relations linaires

(endomorphismes) entre les vecteurs flux et les vecteurs courants :

[ ] [ ][ ] [ ]

s ss s sr r

r rr r rs

L I M I

L I M I

= + = +

G GGGG

s

G ................................................................................................. (II.7)

Les expressions de tension II.1 deviennent :

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

s s s ss s sr r

r r r rr r rs s

dV R I ( L I M IdtdV R I ( L I M Idt

= + + = + +

G G G

G G G)

)

G

G .......................................................................... (II.8)

[ ]ss sL IG : dsigne la part de flux exclusivement d aux courants statoriques; [ ]sr rM IG : dsigne la part de flux statorique d au rotor; [ ]rr rL IG : dsigne la part de flux exclusivement d aux courants rotoriques; [ ]rs sM IG : dsigne la part de flux rotorique d au stator; tels que:

[ ]1, 1 1, 2 1,

2, 1 2, 2 2,

, 1 , 2 ,

s s s s s sn

s s s s s snss

sn s sn s sn sn

m m mm m m

L

m m m

=

""""""

# # % #"""

1, 1 1, 2 1,

2, 1 2, 2 2,

, 1 , 2 ,

r r r r r rn

r r r r r rnrr

rn r rn r rn rn

m m mm m m

L

m m m

=

""""""

# # % #"""

, [ ]

[ ]1, 1 1, 2 1,

2, 1 2, 2 2,

, 1 , 2 ,

s r s r s rn

s r s r s rnsr

sn r sn r sn rn

m m mm m m

M

m m m

=

""""""

# # % #"""

1, 1 1, 2 1,

2, 1 2, 2 2,

, 1 , 2 ,

r s r s r sn

r s r s r snrs

rn s rn s rn sn

m m mm m m

M

m m m

=

""""""

# # % #"""

, [ ]

30


IV.4 quations mcaniques

Afin de concevoir le modle complet, il faut ajouter ncessairement l'quation mcanique

caractrisant le mode lent de la machine. Le Couple lectromagntique fourni par la machine

est obtenu par drivation de la conergie comme suit:

[ ] [ ][ ] [ ]

12

tss srs s

emrs rrr r

L MI IC

M LI I =

G GG G ...................................................................... (II.9)

L'entrefer de la machine tant de largeur constante, seules les matrices [ ]srM et [ ]rsM dpendent de . Lexpression du couple devient :

[ ]srtem s r

MC I I

= G G

........................................................................................................ (II.10)

Pour complter le modle, nous devons ajouter les quations mcaniques suivantes :

ddt = ........................................................................................................................... (II.11)

em chdJ . f . C Cdt + = ................................................................................................ (II.12)

O :

J : dsigne le moment d'inertie de la machine;

f : dsigne le coefficient de frottement;

chC : dsigne le couple de charge;

Les relations (II.7), (II.8), (II.10) et (II.12) constituent un modle lectromcanique complet

dune machine polyphase asynchrone, conformment aux hypothses simplificatrices

d'tude.

La figure suivante donne une reprsentation dune machine polyphase dans la base naturelle.

Sur laquelle, les diffrentes phases sont couples magntiquement [3], [13], [15].

Source dnergie lectrique polyphase

Moment dinertie

Cem

V0 V1

Vn-1

Couplage magntique entre les phases

Fig. II.1 : Reprsentation de la machine polyphase dans la base naturelle

31


La modlisation dans la base naturelle ne permet jamais llaboration aise du modle. Il est

maintenant systmatiquement de modliser la machine polyphase dans une base telle quil y

ait dcouplage magntique. Le premier chapitre a expos une approche pour dterminer une

matrice de changement de base pour un systme polyphas [2].

V. Modlisation de la machine asynchrone polyphase dans la base propre

Comme souligne prcdemment dans le premier chapitre, les matrices inductances sont

circulantes. Cet argument permet de prouver quelles sont diagonalisables dans lespace

hermitien et que lordre de multiplicit de chaque valeur propre complexe est 1. La matrice de

passage de la base naturelle vers la base propre est connue sous le nom de Transforme de

Fortescue [2], [3], [17].

Ensuite, lhypothse de symtrie des matrices inductances est mise en avant pour prsenter

une transformation diagonalisant coefficients rels. Dans ce cas, la matrice de passage de la

base naturelle vers la base propre est connue sous le nom de Transforme de Concordia

gnralise.

Enfin, dans cette partie, les quations en flux et en courants sont crites dans des bases

propres, ce qui fait apparatre des systmes dquations en flux et en courants dcoupls.

Lobjectif de ce paragraphe est de donner des quations vectorielles en flux et en tension dans

la base propre orthonorme [2].

V.1 Changement de base

Pour rappel, dans lespace euclidien qui correspond aux grandeurs relles de la machine, nous

avons distingu deux matrices de passage de la base naturelle vers la base de dcouplage

selon la parit de nombre de phases (Voir le premier chapitre).

Cas de n impair :

2

2

2 4 2 11

2 4 20

21 2 1 11

1 2 1 10

2 2 2 22 2 2 2


( n )1sin( ) sin( ) sin( )n n n

T ( n ) ( n ) ( n )cos( ) cos( ) cos( )nn n

( n ) ( n ) ( n )n

sin( ) sin( ) sin( )n n

n

=

"""

"""# # % #

"""

"""

"""

32


Cas de n pair : 2 4 2 11

2 4 2 10

2 2 2 2 2 2 212 2 2

2 2 2 2 2 2 1 202 2 2

2 2 2 22 2 2 22

2



n n . n ( nT cos(( ) ) cos(( ) ) cos(( ) )n n n

n n . n ( n

1 2)n)sin(( ) ) sin(( ) ) sin(( ) )

n n

n

=

"""

"""# # # """ ## # # #

"""

"""

"""

2 2 22 2 2

"""

V.2 Proprits des matrices de changement de base

Les matrices de transformation cites ci-dessus sont quivalentes la matrice de Concordia,

mais gnralises un systme polyphas. Par consquent, elles ont les mmes proprits que

la matrice de Concordia, savoir :

La matrice transpose est la matrice inverse, c'est--dire elles conservent la puissance instantane;

La matrice inductance diagonale [ ] tdiagL T L T = V.3 Matrices inductances de la machine dans la base de Concordia

La machine est initialement munie de deux repres

Un repre fixe li au stator ;

Un repre tournant li au rotor;

Le dcalage instantan entre les deux repres correspond la position instantane du rotor.

Repre statorique (fixe)

Repre rotorique (tournant)

Repre choisi (stationnaire)

r

Repre de champ (tournant)

s

Fig. II.2 : Repres de la machine

33


Afin dexprimer toutes les grandeurs de la machine dans un mme repre, les matrices

inductances seront reprsentes dans un repre fixe dcal de par rapport au repre statorique (Figure II.2), sur lequel, on obtient les matrices suivantes :

Si on suppose une rpartition sinusodale des forces magntomotrices :

On trouve la mme chose pour la matrice [ ]rr diagL , il suffit de changer lindice s par r.

On trouve la mme matrice pour [ ]rs diagM

[ ]

0

1

1

12

12

0 0 00 0 00 0 0

0

0 0 0 0

s

s

s

s s s kd i a g

s k

ns ( )

ns ( )

L

=

" " "" " "" " "

# # # % #" " " " " "" " " " " "" " " " % " "# # # "

" "

[ ]

0 0 0 0 0

0 0 0 02

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 02

sr

sr diag

sr

n m cos( )

M

n m cos( )

=

"""

# # # % # #""

0 2 3 2

1 1 2

s s s s ( n ) fs

s s ( n ) fs ps

lnl L

= = = = = = = +

"

Il est noter que la transformation applique (Concordia) ne simplifie pas toutes les quations

de la machine, la matrice inductance mutuelle stator/rotor reste encore variable en fonction de

la position , ce qui ramne la complexit du modle [2], [4], [18], [20].

34


prsent, On va raliser un autre changement de base, qui conduit une relation matricielle

indpendante de l'angle . Pour cela, les matrices inductances diagonalises seront reprsentes dans un repre rotatif

dcal de par rapport au stator (Figure II.3). Ce repre rotatif peut tre obtenu en combinant la matrice de Concordia gnralise avec une matrice de rotation [ ]R suivante [21], [22] :

[ ][ ][ ]

[ ] [ ] 2 200

0 0 ( n ) ( n )

cos( ) sin( )R sin( ) cos( )

Id

=

Repre de champ (tournant)

Donc la nouvelle matrice de passage [ ]P de la base naturelle vers la base propre (repre rotatif dcal dangle par rapport au stator) est la suivante : [ ] [ ] [ ]P R . T= : est la matrice de Concordia gnralise; [ ]T [ : est appele la matrice de Park gnralise; ]PSelon la parit de nombre de phases, on

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