Calcolo combinatorio Calcolo combinatorio Una trattazione elementare

Definizione

Oggetto del calcolo combinatorio è quello di determinare il numero dei modi mediante i quali possono essere raggruppati, secondo prefissate regole, gli elementi di uno stesso insieme o di più insiemi.

Il problema, all’apparenza, sembra banale: ciò è vero se il numero degli elementi presi in considerazione è piccolo, ma quando questo numero è elevato si presentano delle difficoltà nel formare tutti i raggruppamenti possibili, con e senza considerare ripetizioni.

Ci si può, per esempio, chiedere:

Esempi In quanti modi diversi si possono scegliere tre libri

da una libreria che ne contiene 12? Quante parole di 5 lettere posso formare con un

alfabeto formato da 21? Nel menù di un ristorante si può scegliere tra cinque

primi piatti, sei secondi e sette dessert: quanti tipi di pasti, con almeno una portata diversa, può somministrare il ristoratore?

Diapositiva sommario

Disposizioni semplici Disposizioni con Ripetizione Permutazioni semplici Permutazioni con oggetti identici Combinazioni Semplici Combinazioni con Ripetizione

Premessa Calcolo Combinatorio

Consideriamo un insieme di n oggetti: G={a1,a2,a3,…an} con ndi natura qualunque ma perfettamente distinguibili l’uno dall’altro in base a qualche caratteristica, ad esempio palline di diverso colore; lettere dell’alfabeto; numeri diversi; ecc. .

Il “calcolo combinatorio” ha per scopo la costruzione e la misurazione del numero di raggruppamenti che, secondo un’assegnata definizione, si possono formare con una prefissata quantità degli n oggetti di G.

Disposizioni sempliciFissiamo un numero k0 che non superi n, si vogliono costruire tutti i possibili raggruppamenti distinti che si ottengono prendendo k oggetti di Gn in modo che valgano le seguenti proprietà: in ciascun raggruppamento figurano k oggetti senza ripetizioni; due qualsiasi raggruppamenti sono distinti se e solo se o uno di essi

contiene almeno un oggetto che non figura nell’altro oppure

gli oggetti di un raggruppamento sono gli stessi dell’altro raggruppamento ma è diverso l’ordine con cui essi sono disposti.

I predetti raggruppamenti si dicono disposizioni semplici di n oggetti distinti di classe k o presi a k a k. Tale numero si indica con il simbolo Dn,k e si dimostra che

Dn,k=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)=)!(

!

kn

n

Ad esempio si ha: D7,4=7654=840 D9,3=987=504

Disposizioni semplici

Dn,k= )!(

!

kn

n

Dn,k =n(n-1)(n-2)...(n-k+1)

Disposizioni semplici

Quante parole di 5 lettere posso formare con un alfabeto formato da 21 (senza ripetere mai la stessa lettera in ogni parola)?

- Se cambia una lettera cambia la parola

- Ordine diverso delle lettere -> parola diversa!

D21,5 =

D21,5 = 21*20*19*18*17*…….*6 = 2.441.880)!521(

!21

In generale Dn,k è uguale al prodotto di k numeri naturali, consecutivi, decrescenti a partire da n. Consideriamo per fissare le idee, l’insieme G4={1,2,3,4},

costruiamo le disposizioni semplici degli n=4 oggetti a k=1 a k=1; si hanno i raggruppamenti seguenti: e pertanto D4,1= 4 e cioè (4*3*2*1)/(3*2*1)

costruiamo le disposizioni semplici degli n=4 oggetti a k=2 a k=2; si hanno i raggruppamenti seguenti:

sicché resta verificato che D4,2 = 12.

OVVIAMENTE PRESUPPONIAMO che (1,2) e (2,1) siano risultati diversi!!! per costruire le disposizioni semplici degli n=4 oggetti a k=3 a k=3 occorre aggregare ai

precedenti raggruppamenti via via uno degli altri due oggetti che ancora non vi figurano:, tenendo conto delle regole di composizione dei raggruppamenti per le disposizioni semplici si ha:

D4,3=432=24 generalizzando si comprende la validità della formula per il calcolo delle disposizioni semplici.

1 2 3 4

1 2 2 1 3 1 4 1 1 3 2 3 3 2 4 2 1 4 2 4 3 4 4 3

1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 2 4 2 1 4 3 1 4

Osservazioni sulle Disposizioni Semplici

Fissiamo un numero k0; si vogliono costruire tutti i possibili raggruppamenti distinti, prendendo k oggetti di Gn , in modo che valgano le seguenti proprietà:

in ciascun raggruppamento figurano k oggetti, potendovi uno stesso oggetto figurare, ripetuto, sino ad un massimo di k volte;

due qualsiasi raggruppamenti sono distinti se e solo se o uno di essi contiene almeno un oggetto che non figura nell’altro, oppure gli oggetti sono diversamente ordinati oppure gli oggetti che figurano in uno figurano anche nell’altro ma sono ripetuti un numero diverso di volte.

I predetti raggruppamenti si dicono disposizioni con ripetizione degli n oggetti di Gn, a k a k ( o di classe k). Il n° delle predette disposizioni con ripetizione degli n oggetti di Gn, a k a k si indica con D’

n,k=nk

Disposizioni con Ripetizione

Disposizioni con ripetizione

D1

n,k=nk

D1

n,k =n*n*n*n*…..*n k volte

Disposizioni con ripetizioneQuante parole di 5 lettere posso formare con un alfabeto formato da 21 (ripetendo anche più volte la stessa lettera in ogni parola)?

- Se cambia una lettera cambia la parola

- Ordine diverso delle lettere -> parola diversa!

- Stesse lettere ma con numero di ripetizioni diverse (es. aaabb e aabbb sono diverse)

D21,5 = 215

D21,5 =21*21*21*21*21=4084101

ovviamente sono più del caso senza ripetizioni!

Osservazioni sulle Disposizioni con Ripetizione

Per fissare le idee consideriamo l’insieme G4={1,2,3,4} le disposizioni con ripetizione degli n=4 oggetti a k=1 a k=1

sono: pertanto D’

4,1=4 le disposizioni con ripetizione degli n=4 oggetti a k=2 a k=2 si

ottengono dalle (1) aggregando via via ciascuno degli oggetti di G4, anche se già contenuti nel raggruppamento.

Possiamo osservare che per ogni disposizione con ripetizione di classe uno se ne ottengono n=4 di classe 2 e pertanto D’

4,1=42=16

1 2 3 4 (1)

1 1 2 1 3 1 4 1 1 2 2 2 3 2 4 2 1 3 2 3 3 3 4 3 1 4 2 4 3 4 4 4

Esercizi

1. In quanti modi diversi 7 persone si possono sedere su 5 poltrone allineate di un cinema? con o senza ripetizioni??? [D(7,5)]

2. Quanti numeri di tre cifre, anche uguali tra loro, si possono costruire con i primi cinque numeri naturali? con o senza ripetizioni??? [D’(5,3)]

3. Quante colonne d diverse si possono compilare nel gioco del totocalcio? con o senza ripetizioni??? [D’(3,13)]

4. Se volessi giocare un sistema tenendo 4 fisse e 9 doppie, quante colonne verrebbero fuori?

Permutazioni sempliciLe permutazioni semplici degli oggetti di Gn sono le disposizioni semplici dei predetti n oggetti a k=n a k=n. Si deduce che due qualsiasi permutazioni semplici differiscono solo per l’ordine con cui sono disposti gli n oggetti distinti in esse contenuti. Il loro numero è Pn = n(n-1)(n-2)(n-3)…321=n! “n fattoriale”.

RICORDA CHE TUTTI GLI ELEMENTI SONO DIVERSI TRA LORO!

Ad esempio, costruiamo e contiamo tutti gli anagrammi, anche privi di significato, che si possono formare con la parola “APE”. APE PAE EAP AEP PEA EPA, sono sei, difatti P3=3!=3*2*1=6

Ci proponiamo di anagrammare una parola contenente alcune lettere uguali; se prendiamo in esame la parola “ALA”, notiamo che i suoi possibili anagrammi distinti sono: ALA LAA AAL cioè soltanto tre e non sei come accade se le lettere sono tutte diverse. In generale, volendo permutare n oggetti in cui ve ne siano identici tra loro, si ottiene un numero di permutazioni dato da:

!

!

!)(

nP

P nn

Nell’esempio precedente avevamo n=3 ed =2 sicché gli anagrammi distinti risultavano: 3

12

123

!2

!3)2(

3

P

Permutazioni con oggetti identici

Esercizi

Esempio: il numero di anagrammi distinti che si possono costruire

con la parola “MATEMATICA” è dato da: 15120!2!2!3

!10)2,2,3(

10

P poiché

il n° di lettere da permutare è n=10 tra le quali la lettera “A” figura 3 volte, la lettera “M” 2 volte come la lettera “T”.

Esercizio 1: Un negoziante deve eseguire 5 consegne di merce acquistata da clienti abitanti ciascuno in 5 zone diverse della città. determinare il numero di ordini differenti per effettuare le consegne. [R. 160]

Esercizio 2: Quanti numeri naturali diversi di 6 cifre si

possono formare con le cifre del numero 775551. [R. 60]

Combinazioni SempliciFissiamo un numero k0, che non superi n; si vogliono costruire tutti i possibili raggruppamenti distinti che si ottengono prendendo k oggetti di Gn in modo che valgano le seguenti proprietà:

in ciascun raggruppamento figurano k oggetti senza ripetizioni; due raggruppamenti sono distinti se e solo se uno di essi contiene

almeno un oggetto che non figura nell’altro. Segue, pertanto, che se due raggruppamenti differiscono solo per l’ordine con cui sono disposti in essi gli oggetti, allora li consideriamo identici!! I predetti raggruppamenti si dicono “Combinazioni semplici” degli n oggetti di Gn di classe k od a k a k. Il numero delle predette combinazioni semplici di n oggetti distinti di classe k si indica con il simbolo di Cn,k

Si dimostra che : !,

, kD

C kn

kn = !)!(

!

kkn

n

RIFLETTI: Questa formula è giustificata dal fatto che da ogni combinazione semplice si possono ottenere, permutando in tutti i modi possibili i k oggetti che la compongono, k! disposizioni semplici.

Osservazioni sulle Combinazioni Semplici 1/3

Consideriamo ad esempio l’insieme G4={1,2,3,4} le combinazioni semplici degli n=4 oggetti di classe k=1 sono:

1 2 3 4 le combinazioni semplici degli n=4 oggetti di classe k=2 si ottengono

dalle precedenti aggregaziondo, via via, solo quegli elementi che, in G4 seguono l’oggetto già presente nel raggruppamento, ossia:

1 2 2 3 3 4 1 3 2 4 1 4

le combinazioni semplici degli n=4 oggetti di classe k=3 si ottengono da quelle di classe 2 aggregando, via via, solo quegli elementi che in G4, seguono l’oggetto che figura più a destra del raggruppamento, ossia:

1 2 3 2 3 4 1 2 4 1 3 4

Osservazioni sulle Combinazioni Semplici 2/3

Nota: il numero !

,

, kD

C kn

kn si indica anche con

k

n che si legge

“n su k”, denominato “coefficiente binomiale” di ordine n e di classe k. E’ abbastanza facile, posto per definizione 1

0

n ,

dimostrare la validità delle seguenti formule:

)!(!

!, knk

nC kn

;

kn

n

k

n;

k

n

k

n

k

n

11

1

Può essere utile ricordare la “formula del binomio di Newton”:

kknn

k

n bak

nba

0

)(

Osservazioni sulle Combinazioni Semplici 3/3

S u s s i s t o n o l e s e g u e n t i p r o p r i e t à :

1 . 10

n

2 . 1

n

n

3 . nn

1

4 . nn

n

1

5 .

kn

n

k

n

6 . 0,!

)1()1(

k

k

knnn

k

n

7 . nknk

n

k

n

n

n,,1,,

1

1

Combinazioni con RipetizioneFissiamo un numero k0; si vogliono costruire tutti i possibili raggruppamenti distinti, prendendo k oggetti di Gn, in modo che valgano le seguenti proprietà:

in ciascun raggruppamento figurano k oggetti di Gn, potendovi uno stesso elemento figurare ripetuto fino ad un massimo di k volte;

due raggruppamenti sono distinti se e solo se o uno di essi contiene almeno un oggetto che non figura nell’altro oppure gli oggetti che figurano in uno, figurano anche nell’altro ma sono ripetuti un numero diverso di volte.

I predetti raggruppamenti si dicono “combinazioni con ripetizione degli n oggetti di Gn, a k a k” o di classe k. Il loro numero si indica con il simbolo C’n,k. Si dimostra che:

k

knC kn

1'

, cioè !,1

, kD

C kkn

kn

EserciziEsercizio 1: Un barman dispone di 30 liquori diversi. Quanti coktails diversi potrà preparare utilizzando, ogni volta, 3 dei predetti liquori? [R. 4060] Esercizio 2: Quanti terni si possono fare con i 90 numeri del gioco del lotto? - Se cambi l’ordine cambia il terno? (non è una disposizione

ma una combinazione) - In un terno possono esserci due numeri uguali? (è quindi una

combinazione senza ripetizione) [R. 117480]

Esercizio 3:Quante sono le diagonali di un poligono convesso di n lati? [R. le diagonali di un poligono sono i segmenti che uniscono due vertici non consecutivi. Il numero totale dei segmenti definiti dagli n vertici del poligono è:

!2

)1(

!2)!*2(

!2,

nn

n

nC n

, ma in

questo numero è compreso anche il numero dei lati, pertanto va sottratto n. Esercizio 4: In un campionato di pallavolo le squadre che si devono incontrare in 10 campi sono 15. (un campionato è fatto da andata e ritorno, quale tipo di combinazioni utilizziamo?) Quanto dura il campionato? [R. 21 giorni]

RICAPITOLAZIONE!DISPOSIZIONI SEMPLICI

1) Senza ripetizioni;

2) Ordine diverso = raggruppamento diverso

Dn,k=

DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONI

1) Con ripetizioni (sono presenti più volte gli stessi elementi)

2) Ordine diverso = raggruppamento diverso

D1n,k=nk

In generale, volendo permutare n oggetti in cui ve ne siano identici tra loro, si

ottiene un numero di permutazioni dato da: !

!

!)(

nP

P nn

PERMUTAZIONI SEMPLICI

1) Numero max di elementi (n)

2) differiscono solo per l’ordine: ordine diverso = raggruppamento diverso

3) TUTTI GLI ELEMENTI SONO DIVERSI TRA LORO

Pn = n!

PERMUTAZIONI CON ELEMENTI COINCIDENTI

1) Con ripetizioni (sono presenti più volte gli stessi elementi)

2) Ordine diverso = raggruppamento diverso

RICAPITOLAZIONE!COMBINAZIONI SEMPLICI

1) Senza ripetizioni;

2) Ordine diverso = stesso raggruppamento

Dn,k= =

COMBINAZIONI CON RIPETIZIONI

1) Con ripetizioni (sono presenti più volte gli stessi elementi)

2) Ordine diverso = raggruppamento diverso

cioè

!,

, kD

C kn

kn

!)!(

!

kkn

n

k

knC kn

1'

,

!,1

, kD

C kkn

kn