Calcolo combinatorio

Una trattazione elementare esposta in

modo essenziale e funzionale.

Prof.ssa Anastasia Vitsas

MATEMATICA AVANZATAMATEMATICA AVANZATA

Disposizioni semplici Disposizioni con Ripetizione Permutazioni semplici Permutazioni con oggetti identici Combinazioni Semplici Combinazioni con Ripetizione

Diapositiva sommario

Consideriamo un insieme di n oggetti: G={a1,a2,a3,…an} con nÎZ, di natura qualunque ma perfettamente distinguibili l’uno dall’altro in base a qualche caratteristica, ad esempio palline di diverso colore; lettere dell’alfabeto; numeri diversi; ecc. .

Il “calcolo combinatorio” ha per scopo la costruzione e la misurazione del n° di raggruppamenti che, secondo un’assegnata definizione, si possono formare con una prefissata quantità degli n oggetti di G.

Premessa Calcolo Combinatorio

Calcolo combinatorio

Sia A= { a,b,c,d}.Tutte le sigle di due elementi che si possono

formare con gli elementi di A sono:aa ab ac adba bb bc bdca cb cc cdda db dc dd

4X4=16 sigle di due elementi (disposizioni di classe 2 di 4 elementi)

Disposizioni semplici

Fissiamo un numero k≤ n, si vogliono costruire tutti i possibili raggruppamenti distinti che si ottengono prendendo k oggetti di Gn in modo che valgano le seguenti proprietà: in ciascun raggruppamento figurano k oggetti senza ripetizioni; due qualsiasi raggruppamenti sono distinti se e solo se o uno di essi contiene

almeno un oggetto che non figura nell’altro oppure gli oggetti di un raggruppamento sono gli stessi dell’altro raggruppamento ma è diverso l’ordine con cui essi sono disposti.

I predetti raggruppamenti si dicono disposizioni semplici di n oggetti distinti di classe k o presi a k a k. Tale numero si indica con il simbolo Dn,k e si dimostra che

Dn,k=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)=)!(

!

kn

n

Ad esempio si ha: D7,4=7654=840 D9,3=987=504

Disposizioni sempliciCalcolo combinatorio

In generale Dn,k è uguale al prodotto di k numeri naturali, consecutivi, decrescenti a partire da n. Consideriamo per fissare le idee, l’insieme G4={1,2,3,4},

costruiamo le disposizioni semplici degli n=4 oggetti a k=1 a k=1; si hanno i raggruppamenti seguenti: e pertanto D4,1= 4

costruiamo le disposizioni semplici degli n=4 oggetti a k=2 a k=2; si hanno i raggruppamenti seguenti:

sicché resta verificato che D4,2 = 12.

per costruire le disposizioni semplici degli n=4 oggetti a k=3 a k=3 occorre aggregare ai precedenti raggruppamenti via via uno degli altri due oggetti che ancora non vi figurano:, tenendo conto delle regole di composizione dei raggruppamenti per le disposizioni semplici si ha:

D4,3=432=24 generalizzando si comprende la validità della formula per il calcolo delle disposizioni semplici.

1 2 3 4

1 2 2 1 3 1 4 1 1 3 2 3 3 2 4 2 1 4

2 4

3 4

4 3

1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 2 4 2 1 4 3 1 4

Osservazioni sulle Disposizioni Semplici

Soluzione:

A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}9XD’(9,4)=9.(9.8.7.6)=27.216

Esempio Quanti numeri di 5 cifre, non ripetute, si possono formare con le 10 cifre del sistema di numerazione decimale?

Disposizioni semplici

Soluzione:

D’(10,3)=10.9.8=720

Esempio Nel consiglio di amministrazione di una società formata da 10 membri si deve procedere alla elezione di 1 presidente, di 1 vicepresidente e di 1 segretario. In quanti modi è possibile la scelta?

Disposizioni semplici

Calcolo combinatorio

Fissiamo un numero k, senza alcuna limitazione superiore; si vogliono costruire tutti i possibili raggruppamenti distinti, prendendo k oggetti di Gn , in modo che valgano le seguenti proprietà:

in ciascun raggruppamento figurano k oggetti, potendovi uno stesso oggetto figurare, ripetuto, sino ad un massimo di k volte;

due qualsiasi raggruppamenti sono distinti se e solo se o uno di essi contiene almeno un oggetto che non figura nell’altro, oppure gli oggetti sono diversamente ordinati oppure gli oggetti che figurano in uno figurano anche nell’altro ma sono ripetuti un numero diverso di volte.

I predetti raggruppamenti si dicono disposizioni con ripetizione degli n oggetti di Gn, a k a k ( o di classe k). Il n° delle predette disposizioni con ripetizione degli n oggetti di Gn, a k a k si indica con D’

n,k=nk

Disposizioni con Ripetizione

Per fissare le idee consideriamo l’insieme G4={1,2,3,4} le disposizioni con ripetizione degli n=4 oggetti a k=1 a k=1

sono: pertanto D’

4,1=4 le disposizioni con ripetizione degli n=4 oggetti a k=2 a k=2 si

ottengono dalle (1) aggregando via via ciascuno degli oggetti di G4, anche se già contenuti nel raggruppamento; esse sono:

Possiamo osservare che per ogni disposizione con ripetizione di classe uno se ne ottengono n=4 di classe 2 e pertanto D’

4,1=42=16

1 2 3 4 (1)

1 1 2 1 3 1 4 1 1 2 2 2 3 2 4 2 1 3 2 3 3 3 4 3 1 4 2 4 3 4 4 4

Osservazioni sulle Disposizioni con Ripetizione

Esempio Calcolare:

in quanti modi si possono presentare le facce di due dadi e quante sono le coppie formate da due numeri dispari,

A={1,2,3,4,5,6} D(6,2)=62=36B= {1,3,5} D(3,2)= 32=9

in quanti modi si possono presentare le facce di tre dadi e quante sono le terne formate da tre numeri dispari.

A={1,2,3,4,5,6} D(6,3)=63=216B= {1,3,5} D(3,3)= 33=27

EsempioSi devono disporre r palline in n scatole distinte

in tutti i modi possibili.Per ognuna delle r palline può essere scelta una

qualunque delle n scatole disponibili, e quindi il numero di tutte le possibili distribuzioni delle palline nelle scatole coincide con il numero delle disposizioni di classe r di n elementi, cioè è uguale a nr.

EsempioUna colonna della schedina del Totocalcio è una disposizione di classe 13 estratta da S={1,x,2}.Quindi D(3,13)=3^13. Poichè gli elementi 1,X,2 si possono presentare anche ripetuti bisogna trovare il numero delle disposizioni con ripetizione di 3 elementi a 13 a 13:

Applicazioni - 1Calcolo combinatorio

1. Quante parole anche prive di significato, si possono costruire con 3 lettere dell’alfabeto, tutte diverse tra loro?[disp. Semplici n=21, k=3 R.7980]

2. In quanti modi diversi 7 persone si possono sedere su 5 poltrone allineate di un cinema? [D(7,5)]

3. Quanti numeri di tre cifre, anche uguali tra loro, si possono costruire con i primi cinque numeri naturali? [D’(5,3)]

4. Quante colonne d diverse si possono compilare nel gioco del totocalcio? [D’(3,13)]

Le permutazioni semplici degli oggetti di Gn sono le disposizioni semplici dei predetti n oggetti a k=n a k=n. Si deduce che due qualsiasi permutazioni semplici differiscono solo per l’ordine con cui sono disposti gli n oggetti distinti in esse contenuti. Il loro n° è Dn,n ma si preferisce usare il simbolo Pn Evidentemente si ha: Pn=n(n-1)(n-2)(n-3)…321=n! “enne fattoriale”. Ad esempio, costruiamo e contiamo tutti gli anagrammi, anche privi di significato, che si possono formare con la parola “APE”. APE PAE EAP AEP PEA EPA, sono sei, difatti P3=3!=321=6

Permutazioni sempliciCalcolo combinatorio

C i p ro p o niam o d i anagram m are una p a ro la co ntenente a lcune le tte re ugua li; se p rend iam o in e sam e la p a ro la “ A L A ” , no tiam o che i suo i p o ss ib ili anagram m i d is tin ti so no : A L A L A A A A L c io è so ltan to tre e no n se i co m e accad e se le le tte re so no tu tte d ive rse . In gene ra le , vo lend o p e rm uta re n o gge tti in cu i ve ne s iano id entic i tra lo ro , s i o ttiene un num ero d i p e rm utaz io ni d a to d a :

!

!

!)(

nP

P nn

N ell’e sem p io p reced ente avevam o n= 3 ed = 2 s icché g li anagram m i d is tin ti

risu ltavano : 312

123

!2

!3)2(

3

P

Permutazioni con oggetti identici

Calcolo combinatorio

Esempio: il numero di anagrammi distinti che si possono costruire con la parola “MATEMATICA” è dato da:

15120!2!2!3

!10)2,2,3(

10

P poiché il n° di lettere da permutare è

n=10 tra le quali la lettera “A” figura 3 volte, la lettera “M” 2 volte come la lettera “T”. Esercizio 1: Un negoziante deve eseguire 5 consegne di

merce acquistata da clienti abitanti ciascuno in 5 zone diverse della città. determinare il n° di modi differenti di eseguire le consegne. [R. 160]

Esercizio 2: Quanti numeri naturali diversi di 6 cifre si

possono formare con le cifre del numero 775551. [R. 60]

Applicazioni - 2Calcolo combinatorio

Combinazioni SempliciCalcolo combinatorio

Fissiamo un numero k≤ n; si vogliono costruire tutti i possibili raggruppamenti distinti che si ottengono prendendo k oggetti di Gn in modo che valgano le seguenti proprietà:

in ciascun raggruppamento figurano k oggetti senza ripetizioni; due raggruppamenti sono distinti se e solo se uno di essi contiene almeno un

oggetto che non figura nell’altro. Segue, pertanto, che due raggruppamenti che differiscono solo per l’ordine con cui in essi sono disposti gli oggetti sono da ritenersi identici. I predetti raggruppamenti si dicono “Combinazioni semplici” degli n oggetti di Gn di classe k od a k a k. Il numero delle predette combinazioni semplici di n oggetti distinti di classe k si indica con il simbolo di Cn,k

Si dimostra che : !,

, kD

C kn

kn Questa formula è giustificata dal fatto che da ogni

combinazione semplice si possono ottenere, permutando in tutti i modi possibili i k oggetti che la compongono, k! disposizioni semplici.

Consideriamo ad esempio l’insieme G4={1,2,3,4,5} le combinazioni semplici degli n=4 oggetti di classe k=1 sono:

1 2 3 4 le combinazioni semplici degli n=4 oggetti di classe k=2 si ottengono

dalle precedenti aggregaziondo, via via, solo quegli elementi che, in G4 seguono l’oggetto già presente nel raggruppamento, ossia:

1 2 2 3 3 4 1 3 2 4 1 4

le combinazioni semplici degli n=4 oggetti di classe k=3 si ottengono da quelle di classe 2 aggregando, via via, solo quegli elementi che in G4, seguono l’oggetto che figura più a destra del raggruppamento, ossia:

1 2 3 2 3 4 1 2 4 1 3 4

Osservazioni sulle Combinazioni Semplici 1/3

N o t a : i l n u m e r o C n , k s i i n d i a a n c h e c o n

k

n c h e s i

l e g g e “ n s u k ” , d e n o m i n a t o “ c o e f f i c i e n t e b i n o m i a l e ” d i o r d i n e n e d i c l a s s e k . E ’ a b b a s t a n z a f a c i l e , p o s t o p e r d e f i n i z i o n e 1

0

n ,

d i m o s t r a r e l a v a l i d i t à d e l l e s e g u e n t i f o r m u l e :

)!(!

!, knk

nC kn

;

kn

n

k

n;

k

n

k

n

k

n

11

1

P u ò e s s e r e u t i l e r i c o r d a r e l a “ f o r m u l a d e l b i n o m i o d i N e w t o n ” :

kknn

k

n bak

nba

0

)(

Osservazioni sulle Combinazioni Semplici 2/3

Sussistono le seguenti proprietà:

1. 10

n

2. 1

n

n

3. nn

1

4. nn

n

1

5.

kn

n

k

n

6. 0,!

)1()1(

k

k

knnn

k

n

7. nknk

n

k

n

n

n,,1,,

1

1

Osservazioni sulle Combinazioni Semplici 3/3

Fissiamo un numero k, senza alcuna limitazione superiore; si vogliono costruire tutti i possibili raggruppamenti distinti, prendendo k oggetti di Gn, in modo che valgano le seguenti proprietà:

in ciascun raggruppamento figurano k oggetti di Gn, potendovi uno stesso elemento figurare ripetuto fino ad un massimo di k volte;

due raggruppamenti sono distinti se e solo se o uno di essi contiene almeno un oggetto che non figura nell’altro oppure gli oggetti che figurano in uno figurano anche nell’altro ma sono ripetuti un numero diverso di volte.

I predetti raggruppamenti si dicono “combinazioni con ripetizione degli n oggetti di Gn, a k a k” o di classe k.

Il loro numero si indica con il simbolo C’n,k. Si dimostra che:

k

knC kn

1'

,

Combinazioni con Ripetizione

Calcolo combinatorio

Esercizio 1: Un barman dispone di 30 liquori diversi. Quanti coktails diversi potrà preparare utilizzando, ogni volta, 3 dei predetti liquori? [R. 4060] Esercizio 2: Quanti terni si possono fare con i 90 numeri del gioco del lotto? [R. 117480] Esercizio 3:Quante sono le diagonali di un poligono convesso di n lati? [R. le diagonali di un poligono sono i segmenti che uniscono due vertici non consecutivi. Il numero totale dei segmenti definiti dagli n vertici del poligono è:

!2

)1(2,

nnCn , ma in questo numero è compreso anche il

numero dei lati, pertanto va sottratto n. Esercizio 4: In un campionato di pallavolo le squadre che si devono incontrare in 10 campi sono 15. Quanto dura il campionato? [R. 21 giorni]

Applicazioni - 3

Calcolo combinatorio

ESERCIZI PAG:274Dal n° 1 al n° 29

Libro di Testo : M.TrovatoProbabilità –Statistica-Ricerca operativa