Upload
grid-g
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
บทที่ 3 การบิด (Torsion)3.1 เกริ่นนํา3.2 การหาสมการของการบิด3.3 หนาแปลน3.4 ความเคนเฉือนตามแนวยาว3.5 การบิดของทอผนังบาง; การไหลของความเคนเฉือน
กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 1
3.1 เกริ่นนํา (Introduction)• การบิดเกิดขึ้นในเพลาที่ใชในการสงกาํลังอนัเปนผลจากแรงบิด (Torque) หรอืชิ้นสวนรับแรงตางๆที่ไมใชเพลาสงกาํลังแตมีแรงกระทําในแนวขนานกับหนาตัดขวาง ณ ตําแหนงที่เยือ้งศูนยออกไปจากจุดเซน็ทรอยดของหนาตัด• การเสียรูปจากการบิด จะเปนการเสียรูปเชิงมุม• ความเคนที่เกิดขึ้นในแตละจุดบนหนาตัดจะมีขนาดแปรผัน• ในบทนี้ จะศกึษาเกี่ยวกับการบดิของเพลากลมและทอผนงับางเทานั้น
กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 2
• เนือ่งจากความเคนที่เกิดขึ้นมคีาไมคงที่ จงึไมสามารถเริ่มตนหาสมการตางๆไดในลักษณะเดียวกันกับชิ้นสวนที่รับแรงในแนวแกน เหมอืนในบทที่ 1 โดยมีหลักการที่สําคัญในการหาสมการ อยู 3 ขอ คอื
1. ความสัมพนัธของความเคนและการเสียรูปตองเปนไปตามกฎของฮุค (Equations of Compatibility)2. แรงบิดกระทําภายนอกและแรงบิดตานภายใน ตองเปนไปตามสมการสมดุล (Equations of Equilibrium)3. ตองมั่นใจวาคําตอบที่ไดจากขอ 1 และ 2 ตองสอดคลองกับเงือ่นไขที่ขอบของปญหา (ซึง่ตามทฤษฎีวาดวยความยดืหยุนนัน้ จะมคีําตอบเดียวเทานั้น)
กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 3
กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 4
3.2 การหาสมการของการบิด• ตัง้สมมุติฐานหลังเกิดการบิด เพือ่หาสมการ ดงันี้
1. หนาตัดยังคงเปนวงกลมเหมอืนเดมิ2. ระนาบยังคงเปนระนาบเหมอืนเดิม ไมมีการบดิเบี้ยว3. เสนแนวรัศมีใดๆในหนาตัดขวาง ยังคงเปนเสนตรงเหมอืนเดิม4. แรงบิดที่กระทํา ตองอยูในแนวระนาบซึ่งตั้งฉากกับแกนความยาวของเพลา5. ความเคนที่เกิดขึ้นตองไมเกิน Proportional limit
• มีการเสียรูปเชิงมุมของจุด D ไปเปนระยะทางโคง DE โดย (ก)• เกิดเปนหนวยความเครียดเชิงมมุตอความยาวของเพลา (ความเครียดเฉือน)โดยถือวาการเสียรูปเกิดขึน้นอยมาก เปน (ข)
• จากกฎของฮุค จะไดความเคนเฉือน เปน (ค)
ρθδ == DEs
LLs ρθδγ ==
ρθγτ ⎟⎞
⎜⎛==GG
⎠⎝ L
กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 5
• สมการ (ค) คือสมการ Compatibility โดยเทอมในวงเล็บเปนคาคงที่ (ตามสมมุตฐิานขอ 1-3) แสดงวา ความเคนแปรผันโดยตรงกับรัศมีของเพลา• จากหลักการขอที่ 2 ความเคนเฉือนในหนาตัดขวางของเพลานี้ ตองตานกับแรงบดิกระทําภายนอกตามเงือ่นไขของสมดุล ดังนั้นเพื่อใหเกิดผลของการตานทานมากที่สุดทิศทางของความเคนเฉือน (หรือแรงเฉือน) ตองตั้งฉากกับรัศมขีองเพลา
• สมดุลของแรงบิด:
แทนคาความเคนเฉือนจาก (ค) จะได:∫ ∫=== )( dAdPTT r τρρ
∫= dAL
GT 2ρθ
กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 6
• เนื่องจากเทอมในเครื่องหมายอินติเกรทคือคาโมเมนตความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนโพลารของหนาตัด จึงลดรูปสมการลงเปน (ง)
• หรือ เขียนในอีกรูปแบบหนึ่งไดเปน (3.1)
โดยมุมของการบิดนี้ ตองอยูในหนวยเรเดยีน (ไมใชองศา)• หรือโดยการแทนคาเทอมในวงเล็บของสมการ (ค) ลงในสมการ (ง) จะได
(3.2)
• สมการ (3.2) มีชื่อเรียกวา สมการของการบิด • ในทางปฏบิัตแิลว เราจะสนใจเฉพาะคาสูงสุดของความเคนเฉือนเทานั้น ซึ่งจะเกิดขึ้นที่ขอบนอกสุดของเพลา นั่นคือ
(3.2ก)
JL
GT θ=
JGTL
=θ
JTρτ =
JTr
=maxτกลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 7
โดยการแทนคาโมเมนตความเฉือ่ยรอบแกนโพลารของพื้นที่ จะได• สําหรับเพลาตัน (3.2ข)
• สําหรับเพลากลวง (3.2ค)
• สําหรับเพลาสงกําลัง ขนาดกําลังที่สงผานได (หนวยวัตต หรือ นิวตัน.เมตร/วินาท)ี จะสัมพันธกับคาแรงบิดและความเรว็ในการหมุนของเพลา (ในหนวยเรดียนตอวินาที) โดย (3.3)
• ตามปกติแลว ความเร็วในการหมุนของเพลามักจะกาํหนดเปน รอบ/หนวยเวลา ดังนั้นจึงตองมีการแปลงหนวยใหถูกตองกอนการแทนคาในสมการ (3.3) (บอกเปนรอบ ใหคูณดวย เพื่อแปลงหนวยเปนเรเดยีน บอกเปนนาที ใหหารดวย 60 เพื่อแปลงเปนวินาที)
33max162
dT
rT
ππτ ==
ωT=Ρ
)(16
)(2
4444max dDTD
rRTR
−=
−=
ππτ
π2
กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 8
ตัวอยางที ่3.1เพลากลมตันในโรงโมยาว 3 เมตร ใชสําหรับสงกําลังขนาด 20 kW ที่ความเร็วการหมุน 2 รอบ/วินาที ใหหาขนาดเสนผาศูนยกลางของเพลานี ้ถาไมตองการใหความเคนเฉือนเกิน 40 MPa และมุมบิดมีคาไมเกิน 6 องศา กําหนดใหเพลาทาํจากวัสดุที่มีคา G = 83 GPa
กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 9
ตัวอยางที ่3.2เพลากลมตัน 2 ทอน มีขนาดและคุณสมบัติดังรูป ตอเขาดวยกันตรงกลางและอีกปลายยึดเขากับผนังอยางแข็งเกร็ง โดยมีแรงบิดขนาด 1 kN.m กระทํา ณ บริเวณรอยตอพอดีใหหา ความเคนเฉือนที่เกิดขึ้นจริงในแตละวัสดุ
กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 10
ตัวอยางที ่3.3เพลากลมตันทําดวยเหล็กกลามขีนาดเสนผาศูนยกลางคงที่ 50 มม. ตลอดความยาว 6.5 เมตร โดยมีแรงบิดกระทําตอเพลาผานทางเฟอง 4 ตัวดังรูป ใหหาขนาดมุมบิดของปลายเพลา A เมื่อเทียบกับ D กําหนดใหเหล็กกลามีคา G = 83 GPa
กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 11
3.3 หนาแปลน (Flanged bolt couplings)• การตอเพลาสามารถทําไดในหลายวิธ ีเชน เชื่อมปลายเพลาเขาดวยกันโดยตรง เชื่อมหนาแปลนเขากับปลายเพลาและใชสลักเกลียวยึดหนาแปลนเขาดวยกัน
• การตอดวยหนาแปลน จะถือวาความเคนกระจายในสลักเกลียวทุกตัวอยางสม่ําเสมอ• แรงที่สลักเกลียวแตละตัวสามารถรับได คือ
• แรงบิดที่สลักเกลียวทุกตัวรวมกนัตานได คือ (3.4)
τπτ4
2dAP ==
RndPRnT τπ4
2
==
กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 12
• ในกรณีทีม่ีการยึดสลักเกลียวเพิม่เปน 2 วง โดยมจีํานวนสลักเกลียว n1 ตัวอยูในระยะรัศมี R1 และมจีํานวนสลักเกลียว n2 ตัวอยูในระยะรัศมี R2 จะถือวา ความเคนเฉือนในสลักเกลียวแปรผันโดยตรงกับรัศมี ดังนั้น
(3.5)
โดยสลักเกลียวทุกตัวตองเหมอืนกันทุกประการ ทั้งชนิดวัสดุและขนาด222111 nRPnRPT +=
กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 13
กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 14
3.4 ความเคนเฉือนตามแนวยาว (Longitudinal shearing stress)
• ความเคนเฉือนตามแนวหนาตัดขวางจะเหนี่ยวนําใหเกิดความเคนเฉือนตามแนวยาวเสมอ• โดยการคิดสมดุลของโมเมนตรอบเสน gh จะได
• ในที่สดุจะไดวา• ความเคนเฉือนตามขวางมขีนาดเทากับความเคนเฉือนตามแนวยาว ณ ตําแหนงเดียวกัน แตมีทศิทางของความเคนในลักษณะทีจ่ะทาํใหเกิดโมเมนตของแรงรอบจดุใดๆตรงกันขามกัน
( ) ( ) 0. =′− θτθτ rddrdxdxrddr
ττ =′
3.5 การบิดของทอผนังบาง: อัตราการไหลของความเคนเฉือน (Torsion of thin-walled tube : Shear flow)
• ทอผนังบางหมายถึงทอรูปทรงใดๆที่มีความหนานอยมากเมือ่เทียบกับขนาดความกวางของหนาตัด • การหาสมการของการบิดของทอผนังบาง จะใชประโยชนจากความเคนเฉือนตามแนวยาวซึ่งมีขนาดเทากับความเคนเฉือนตามแนวขวาง• ความเคนเฉือนตามแนวยาวจะทําใหเกิดแรงรวมในผนังทอตามแนวความยาว โดย
และ LqLdtF
t
t ∆=∆= ∫− 12
211
1
1τ LqLdtF
t
t ∆=∆= ∫− 22
222
2
2τ
กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 15
กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 16
• เนื่องจากยังไมทราบการแปรผันของความเคนเฉือน จงึกําหนดให
มีชื่อเรียกวา อัตราการไหลของความเคนเฉือน (Shear flow)•เนื่องจากไมมแีรงภายนอกในแนวแกนใดๆกระทําตอทอ (มีเฉพาะแรงบิด) ดังนั้นสวนของทอที่พจิารณาจึงอยูในเงื่อนไขสมดุลของแรงตามแนวความยาว นั่นคือ
หรือ
• แรงบิดตานที่เกิดจากความเคนเฉือนตามขวางสามารถเขียนไดวา• โดยที่ เทอม rdL จะมีคาเทากับ 2 เทาของพื้นที่ที่แรเงาเสมอ ดังนั้น จากความจริงดังกลาว จะไดวา
(3.7)โดยที่ A หมายถึงพื้นที่ภายในของเสนกึ่งกลางความหนาของทอผนังบางหรือ เขยีนในรูปของความเคนเฉือนเฉลี่ย ณ ความหนา t ใดๆไดเปน (3.8)
LqLq ∆=∆ 21 21 qq =
∫−= 2
2
t
t dtq τ
∫= rqdLT
AqT 2=
AtT
tq
2==τ
ตัวอยางที ่3.4ทอกลวงมีหนาตัดเปนรูปครึ่งวงกลม มีขนาดดังรูป ใหหาขนาดของแรงบิดที่จะทาํใหเกิดความเคนเฉือนในผนังทอนี้ 40 MPa (ถือวาไมตองคิด stress concentration บริเวณที่มกีารหักมมุของผนัง)
กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 17