5

Chng 1

L THUYT TP M

1.1. Tp m v thng tin khng chc chn

L.A. Zadeh l ngi sng lp ra l thuyt tp m vi hng lo t bi bo

m" ng cho s% pht tri&n v 'ng d(ng c)a l thuyt ny, kh"i ,u l bi

bo Fuzzy Sets trn T p ch Information and Control, 8, 1965. t"ng n=i

bt c)a khi ni>m tp m c)a Zadeh l t? nh@ng khi ni>m tr?u tAng vB ng@

ngha c)a thng tin m, khng chEc chEn nh tr, nhanh, caothp, xinh p..,

ng tm ra cch bi&u diHn n bJng mKt khi ni>m ton hLc, Ac gLi l tp

m, nh l mKt s% khi qut tr%c tip c)a khi ni>m tp hAp kinh i&n.

& dH hi&u chng ta hy nh l i cch nhn khi ni>m tp hAp kinh i&n

nh l khi ni>m cc hm sP.

Cho mKt tp v tr( . Tp tRt cS cc tp con c)a k hi>u l () v

n tr" thnh mKt i sP tp hAp vi cc php tnh hAp , giao , hi>u \ v lRy

phn b , ((), , , \, ). By gi

m[i tp hAp A () c th& Ac xem

nh l mKt hm sP A : {0, 1} Ac xc anh nh sau:

=

Axkhi

AxkhixA

0

1)(

Mcc d A v A l hai Pi tAng ton hLc hon ton khc nhau, nhng

chng Bu bi&u diHn cng mKt khi ni>m vB tp hAp: x A khi v chd khi

A(x) = 1, hay x thuKc vo tp A vi K thuKc vo bJng 1. V vy, hm A Ac gLi l hm cc trng c)a tp A. Nh vy tp hAp A c th& Ac bi&u tha

bJng mKt hm m gi tra c)a n l thuc v hay n giSn l thuc c)a

ph,n ti trong U vo tp hAp A: Nu A(x) = 1 th x A vi K thuKc l 1 hay

100% thuKc vo A, cn nu A(x) = 0 th x A hay x A vi K thuKc l 0 t'c

l K thuKc 0%.

0

1

a

A(a) =1 1

b

A(b) = 0

6

Trn cch nhn nh vy, chng ta hy chuy&n sang vi>c tm kim cch th'c

bi&u diHn ng@ ngha c)a khi ni>m m, chlng h n, vB l'a tu=i tr. GiS si

tu=i c)a con ngi nJm trong khoSng = [0, 120] tnh theo nm. Theo

t"ng c)a Zadeh, khi ni>m tr c th& bi&u tha bJng mKt tp hAp nh sau: Xt

mKt tp hAp Atr nh@ng ngi Ac xem l tr. Vy, mKt cu hsi l MKt

ngi x c tu=i l n Ac hi&u l thuKc tp Atr nh th no? MKt cch ch)

quan, chng ta c th& hi&u nh@ng ngi c tu=i t? 1 25 chEc chEn sv thuKc

vo tp hAp Atr, t'c l vi K thuKc bJng 1; Nhng mKt ngi c tu=i 30 c lv

chd thuKc vo tp Atr vi K thuKc 0,6 cn ngi c tu=i 50 sv thuKc vo tp

ny vi K thuKc 0,0 Vi t"ng , ng@ ngha c)a khi ni>m tr sv Ac

bi&u diHn bJng mKt hm sP tr : [0, 1], mKt d ng khi qut tr%c tip t?

khi ni>m hm cc trng A c)a mKt tp hAp kinh i&n A B cp " trn.

MKt cu hsi t% nhin xuRt hi>n l t i sao ngi c tu=i 30 c lv chd

thuKc vo tp Atr vi K thuKc 0,6 m khng phSi l 0,65? Trong l thuyt tp

m chng ta khng c anh trS li cu hsi ki&u nh vy m ghi nhn rJng

tp m c)a mKt khi ni>m m ph( thuKc m nh mv vo ch) quan c)a ngi

dng hay, mKt cch ng En hn, c)a mKt cKng zng, hay c)a mKt 'ng d(ng

c( th&. Kha c ch ny cng th& hi>n tnh khng chnh xc vB ng@ ngha c)a

cc khi ni>m m. Tuy nhin, th%c t ny khng Snh h"ng n khS nng 'ng

d(ng c)a l thuyt tp m v m[i giSi php d%a trn l thuyt tp m cng chd

nhJm vo mKt miBn 'ng d(ng c( th& trong cc khi ni>m m trong 'ng

d(ng (hay trong cKng zng si d(ng 'ng d(ng ) sv c ngha chung thPng

nhRt.

1.1.1. Khi nim tp hp m

nh ngha 1.1. Cho mKt tp v tr( . Tp hAp A Ac xc anh b"i lng

th'c: A = { )(~ uA /u : u , A(u) [0, 1]} Ac gLi l mKt tp hAp m

trn tp .

Bin u lRy gi tra trong Ac gLi l bin c s v v vy tp cn

Ac gLi l tp tham chiu hay min c s. Hm ~A : [0, 1] Ac gLi

l hm thuKc (membership function) v gi tra )(~ uA t i u Ac gLi l K

7

thuKc c)a ph,n ti u thuKc vB tp hAp m A. Nu khng gy nh,m ln, hm

thuKc ~A cng Ac k hi>u l A(.), nu bin c s" u khng bi&u tha hi&n,

hay A(u), nu bin u xuRt hi>n hi&n.

Lu rJng v phSi c)a anh ngha A l mKt tp kinh i&n v do

anh ngha trn l hon chdnh.

HL tRt cS cc tp m trn miBn c s" Ac k hi>u l (),

() = { ~A : [0, 1]} = [0, 1]

C nhiBu cch bi&u diHn hnh th'c mKt tp m. Trong trng hAp l

mKt tp h@u h n, m Ac hay v h n lin t(c, tp m A c th& Ac bi&u

diHn bJng cc bi&u th'c hnh th'c nh sau:

Trong trng hAp h@u h n, = {ui : 1 i n}, ta c th& vit:

A = A(u1)/u1 + A(u2)/u2 + ... + A(un)/un hay A =

ni iiA uu1 /)(~ Trong trng hAp ny tp m Ac gLi l tp m ri r c (discrete fuzzy

set).

Trong trng hAp l v h n m Ac, = {ui : i = 1, 2, }, ta c

th& vit: A = n d(ng khi anh ngha v

thao tc cc php tnh trn cc tp m sau ny.

V d 1.1. Xt tp gzm 5 ngi l x1, x2,.x5 tng 'ng c tu=i l 10, 15,

50, 55, 70 v A l tp hAp cc ngi Tr. Khi ta c th& xy d%ng hm

thuKc nh sau:

8

Tr(10) = 0.95, Tr(15) = 0.75, Tr(50) = 0.35, Tr(55) = 0.30, Tr(70) =

0.05 v tp m A = 54321

05.030.035.075.095.0

xxxxx++++

nh ngha 1.2. Tp m A c d ng hnh thang xc anh b"i bK 4 gi tra (a, b,

c, d), k hi>u A = (a, b, c, d) v Ac xc anh:

=

0

1

0

)(~

cd

xd

ab

ax

xA

1.1.2. Tp lt ct c#a tp m

trn chng ta thRy khai ni>m tp m l mKt s% khi qut tr%c tip,

p v c)a khi ni>m tp kinh i&n. iBu ny cho php hy vLng n sv ct c

s" cho mPi lin h> chct chv gi@a hai khi ni>m tp hAp ny. & dn n vi>c

nghin c'u , trc ht chng ta a ra khi ni>m t%p lt c(t c)a mKt tp m.

nh ngha 1.3. Cho mKt tp m A~ trn tp v tr( v [0, 1]. T%p lt

c(t (hocc +) c)a tp A~ l mKt tp kinh i&n, k hi>u l ~A (hocc ~+A ),

Ac xc anh bJng lng th'c sau:

~A = {u : )(~ uA } (hocc ~+A = {u : >)(~ uA }).

Nh vy, m[i tp m A~ sv cSm sinh mKt hL cc tp kinh i&n, ta c

nh x : A~ () { ~A (): 0 1} (1*)

& n giSn k hi>u, ta vit hL cc tp kinh i&n nh vy bJng (A~) =

{ ~A : 0 1}, A~ (). HL cc tp hAp nh vy c cc tnh chRt sau:

nh l 1.1. Cho A~, B~ (), l nh x Ac cho trong (1*) v (A~) =

{ ~A : 0 1}, (B~) = { ~B : 0 1}. Khi ,

(i) M[i hL (A~) nh vy l dy n i>u giSm, nu < , th ~A ~A ;

nu x a

nu a < x < b

nu b x c

nu c < x < d

nu x d

9

(ii) Nu A~ B~ th { ~A : 0 1} {~B : 0 1}.

Ngha l tzn t i mKt song nh t? hL cc tp m () vo hL c)a nh@ng hL

tp kinh i&n () " d ng (1*).

Ch'ng minh: Tnh chRt (i) dH dng rt ra t? tnh chRt (A(u) A (u)

).

& ch'ng minh (ii), giS si A B, u(A(u) B(u)). & anh , ta

giS si rJng c u0 sao cho A(u0) > B

(u0). ChLn [0, 1] sao cho A(u0)

> > B(u0). iBu ny khlng anh u0 ~A nhng u0 ~B hay

~A ~B . Vy,

{ ~A : 0 1} {~B : 0 1}.

Hi&n nhin l nu A~ = B~ th { ~A : 0 1} = {~B : 0 1}. Nh

vy ta ch'ng ts rlng nh x l song nh.

1.1.3. M)t s+ khi nim -c trng c#a tp m

nh ngha 1.4. (i) Gi c-a t%p m.: Gi c)a tp m A~, k hi>u l

Support(A~), l tp con c)a trn )(~ uA 0, Support(A~) = {u: )(~ uA > 0}.

(ii) cao c-a t%p m.: K cao c)a tp m A~, k hi>u l hight(A~), l

cn trn ng c)a hm thuKc ~A trn , hight(A~) = sup{ )(~ uA : u }.

(iii) T%p m. chu2n (normal): Tp m A~ Ac gLi l chu2n nu

hight(A~) = 1. Tri l i, tp m Ac gLi l d4i chu2n (subnormal).

(iv) Li c-a t%p m.: Li c)a tp m A~, k hi>u l Core(A~), l mKt tp

con c)a Ac xc anh nh sau:

Core(A~) = {u : )(~ uA = hight(A~)}.

By gi chng ta sv lRy mKt sP v d( vB vi>c bi&u diHn ng@ ngha c)a

cc khi ni>m m thuKc cc lnh v%c khc nhau bJng tp m.

V d 1.2. GiS si l tp v tr( vB sP o nhi>t K thi tit, chlng h n = [0,

50] tnh theo thang K C. Chng ta sv xc anh tp m bi&u tha khi ni>m m

thi tit NNG v L;NH. Trong v d( ny ta si d(ng mKt hm sP mu, gLi l

Shm v z tha c)a n c hnh ch@ S. Chng ta k hi>u hm ny l S(u, a, b,

10

c), trong a, b v c l nh@ng tham sP. N l hm t?ng khc bc 2 v Ac

anh ngha nh sau:

S(u, a, b, c) = 0 Pi vi u a

= 22

ac

au Pi vi a u b

= 1 22

ac

cu Pi vi b u c

= 1 Pi vi c u

Hm thuKc A~(u) = S(u, 15, 25, 35) l khi ni>m thi tit NNG c)a

ngi L ng Sn " c%c BEc nc ta, cn hm thuKc B~(u) = S(u, 25, 35, 45) l khi ni>m NNG c)a ngi Si Gn (xem Hnh 1.1).

Vi hai tp m ny ta c: Support(A~) = [15, 50], Support(B~) = [25,

50], Hight(A~) = Hight(B~) = 1, Core(A~) = [35, 50] v Core(B~) = [45, 50].

Hm thuKc bi&u tha khi ni>m m L;NH Ac xc anh qua hm thuKc

NNG bJng bi&u th'c sau:

A~(u) = 1 A~(u) v B~(u) = 1 B~(u)

V d( ny th& hi>n tnh ch) quan vB

ng@ ngha c)a khai ni>m m v do th&

hi>n tnh t% do trong vi>c xy d%ng cc hm

thuKc. Tnh huPng tng t% nh vy khi ta

ni n khi ni>m cao c)a gii n@ v gii

nam, hay khi ni>m cao c)a ngi Vi>t

Nam v ngi Chu u.

V d 1.3. T%p m. hnh chung: Ngi ta c th& bi&u diHn ng@ ngha c)a khi

ni>m m tri mt m hay d@ chAu bJng hm d ng hnh chung nh sau:

exp ( ((u u0)/b)2)

Chng ta c th& chRp nhn hm chung

trong Hnh 1.2 l bi&u tha ng@ ngha c)a khi

ni>m nhi>t K DD CHEU v khi tp m D~

c d ng: D~(u) = exp ( ((u 24)/10)2)

1,0

0 50 45 35 25 15

Hnh 1.1: Hm thuc c-a t%p m. NNG v L;NH

()

(u)

B~(u)

()

1,0

0 50 45 35 25 15

Hnh 1.2: Hm thuc c-a t%p m. DD CHEU

()

11

V d 1.4. Ta sv a ra mKt v d( vB tp m ri r c (discrete fuzzy set). Xt

l tp cc gi tra trong thang i&m 10 nh gi kt quS hLc tp c)a hLc sinh vB

mn Ton, = {1, 2, , 10}. Khi khi ni>m m vB nng l%c hLc mn ton

gisi c th& Ac bi&u tha bJng tp m G~ sau:

G~ = 0,1/4 + 0,2/5 + 0,4/6 + 0,7/7 + 0,9/8 + 1,0/9 +1,0/10 (2*)

" y cc gi tra c)a miBn khng c mct trong bi&u th'c (2*) c ngha K

thuKc c)a chng vo tp m G~ l bJng 0,0.

Trong trng hAp tp m ri r c ta c th& bi&u diHn tp m bJng mKt

bSng. Chlng h n, Pi vi tp m G~ " trn ta c bSng nh sau:

BSng 1.1: T%p m. G~

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

G~ 0,0 0,0 0,0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,0 1,0

V d 1.5. Trong v d( ny chng ta sv xy d%ng tp m bi&u tha ng@ ngha

c)a khi ni>m GI v TRJ c)a thuKc tnh l'a tu=i.

GiS si tp v tr( chd tu=i tnh theo n va nm l = {u : 0 u 120},

chlng h n tu=i c)a x l 8,37 nm. Khi khi ni>m GI c th& Ac bi&u tha

bJng tp m vi hm thuKc nh sau:

GI(u) =

+

120

0

12

/}6

601{ u

u

TRJ(u) = 1 GI(u) =

+

120

0

12

/}}6

601{1{ u

u

C,n nhRn m nh mKt l,n n@a rJng y l cng th'c hnh th'c bi&u diHn

cc tp m. DRu tch phn chd c ngha miBn xc anh c)a hm thuKc l v

h n continuum, tp hAp c l%c lAng tng ng vi o n [0, 1].

V d 1.6. Tp ri r c trn miBn phi sP: Trong th%c t 'ng d(ng ngi ta cng

hay si d(ng tp m trn miBn phi sP, chlng h n, miBn gi tra ngn ng@. V d(,

ta xt bin ngn ng@ NHIKT L c th& xem nh xc anh trn miBn 3 gi tra

ngn ng@ = {Thp, Trungbnh, Cao}. Khi , mKt tp m ri r c T~ trn

miBn c th& Ac bi&u tha nh sau:

T~ = 1/Thp + 2/Trungbnh + 3/Cao

12

Chlng h n Tr.imt c th& bi&u tha bJng tp m nh sau:

Tr.imt = 0,7/Thp + 0,8/Trungbnh + 0,2/Cao

Pi vi tp hAp kinh i&n A chng ta c khi ni>m sP lAng cc ph,n

ti c)a mKt tp hAp, trong trng hAp A l h@u h n, hay l%c lAng c)a tp hAp,

trong trng hAp A l v h n. Hai tp hAp A v B c l%c lAng bJng nhau nu

c tzn t i mKt nh x 11 t? A ln B.

Pi vi tp m A~, khi ni>m l%c lAng Ac khi qut ha bJng anh

ngha sau:

nh ngha 1.5. L6c lng c#a tp m

Cho A~ l mKt tp m trn

(i) LNc lOng v h4ng (scalar cardinality): L%c lAng hay bSn sP th%c

c)a tp A~, k hi>u l Count(A~), Ac tnh theo cng th'c m sau (i khi

Ac gLi l sigma count).

Count(A~) = arith

Uu Au)(~ , nu l tp h@u h n hay m Ac

= arith

U Aduu)(~ , nu l tp v h n continuum

" y arith v

arith

l t=ng v tch phn sP hLc.

(ii) LNc lOng m. (fuzzy cardinality): L%c lAng hay bSn sP m c)a tp

A~ l mt t%p m. trn tp cc sP nguyn khng m Ac anh ngha nh

sau: Card(A~) = N ACard dnn)()( ~

trong )()( ~ nACard Ac xc anh theo cng th'c sau, vi |~tA | l l%c lAng

c)a tp m'c ~tA , )()( ~ nACard = suppremum {t [0, 1]: |~tA | = n}.

C th& xem cng th'c tnh Count(A~) " trn nh l cng th'c m sP

ph,n ti trong . Th%c vy, nu tp A~ tr" vB tp kinh i&n th A~(u) 1 trn

v do cng th'c Count(A~) trn chnh l bK m sP ph,n ti. Khi A~(u)

1, th u chd thuKc vB tp A~ vi t l> ph,n trm bJng A~(u) v do ph,n ti u

chd Ac m vo sP lAng cc ph,n ti mKt i lAng bJng A~(u).

13

Lu rJng, khc vi trng hAp tp kinh i&n, d tp l v h n m

Ac hay v h n continuum, th l%c lAng c)a tp m A~ vn c th& l h@u

h n, ty theo dng i>u c)a hm A~(u).

1.2. Bi8n ngn ng9

L.A.Zadeh vit khi thiu hPt tnh chnh xc b ngoi c-a nhRng vn

phSc tTp, mt cch tN nhin l tm cch sV dPng cc bin ngn ngR, l

cc bin m gi trA c-a chng khng phYi l sZ m l cc t[ ho\c cc cu

trong ngn ngR tN nhin ho\c nhn tTo. ng lNc cho vi^c sV dPng cc t[,

cc cu hn cc sZ l \c trng ngn ngR c-a cc t[, cc cu th.ng l t xc

Anh hn c-a sZ.

Trong c s" d@ li>u quan h>, cc quan h> hay cc bSng d@ li>u ch'a cc

thuKc tnh hay cc tn cKt. N chd tnh chRt c)a Pi tAng. Cc thuKc tnh ny

cng th& hi>n trong ngn ng@ nh & m tS tnh chRt Pi tAng l con ngi,

trong ngn ng@ t% nhin chng ta c nh@ng thuKc tnh TU_I, CHI`U CAO,

LNG, NNG LeC . Cc thuKc tnh ny c th& Ac m tS bJng gi tra

ngn ng@ nh tr, gi, rt tr, V l do nh vy, Zadeh gLi cc thuKc tnh

ki&u nh vy l bin ngn ngR v miBn gi tra c)a chng l gi tra ngn ng@

hay gLi l miBn ngn ng@ (linguistic domain hay termdomain). Tuy nhin,

nh chng ta B cp trong M(c 1.1, v bSn thn gi tra ngn ng@ khng phSi

l Pi tAng ton hLc, ng@ ngha c)a chng Ac bi&u tha bJng cc tp m hay

hm thuKc. & khi ni>m bin ngn ng@ tr" thnh mKt khi ni>m ton hLc,

Zadeh hnh th'c ha khi ni>m ny nh sau:

nh ngha 1.6. Bin ngn ng@ l mKt bK nm (X, T(X), U, R, M ), trong X

l tn bin, T(X) l tp cc gi tra ngn ng@ c)a bin X, U l khng gian tham

chiu c)a bin c s" u, m[i gi tra ngn ng@ xem nh l mKt bin m trn U

kt hAp vi bin c s" u, R l mKt qui tEc c php sinh cc gi tra ngn ng@

c)a T(X), M l qui tEc ng@ ngha gn m[i gi tra ngn ng@ trong T(X) vi mKt

tp m trn U.

V d 1.7. Cho X l bin ngn ng@ c tn l AGE, bin c s" u lRy theo sP

tu=i c)a con ngi c miBn xc anh l U = [0,100]. Tp cc gi tra ngn ng@

14

T(AGE) = {old, very old, more or less young, less young, very young.}. R

l mKt qui tEc sinh cc gi tra ny. M gn ng@ ngha m[i tp m vi mKt gi

tra ngn ng@. Chlng h n, Pi vi gi tra nguyn th)y old, M (old) = {(u, old(u)

| u[0,100]}, " y chLn

old(u) =

+ 12 ))

5

50(1(

0u

Cc -c trng c#a bi8n ngn ng9

Trong th%c t c rRt nhiBu bin ngn ng@ khc nhau vB cc gi tra nguyn

thu, chlng h n nh bin ngn ng@ Sj NGY LM VIKC c gi tra nguyn

thu l t, nhiu, bin ngn ng@ LNG c gi tra nguyn thu l thp,

cao..Tuy nhin, nh@ng kt quS nghin c'u Pi vi mKt miBn tra c)a mKt

bin ngn ng@ c( th& vn gi@ Ac ngha vB mct cRu trc Pi vi miBn gi

tra c)a cc bin cn l i. cc trng ny Ac gLi l tnh phm qut c)a bin ngn

ng@.

Ng@ ngha c)a cc gia ti v cc lin t? hon ton Kc lp vi ng@ cSnh,

iBu ny khc vi gi tra nguyn th)y c)a cc bin ngn ng@ l i ph( thuKc vo

ng@ cSnh. V d( ta ni LNG c)a cn bK An l rt cao, khi Ac hi&u

rJng LNG khoSng trn 8.000.000 zng, nhng ta ni CHI`U CAO c)a cn

bK An l rt cao th Ac hi&u rJng CHI`U CAO khoSng trn 1.8 m. Do

khi tm kim m hnh cho cc gia ti v cc lin t? chng ta khng quan tm

n gi tra nguyn thu c)a bin ngn ng@ ang xt. cc trng ny Ac gLi

l tnh c l%p ngR cYnh c-a gia tV v lin t[.

Cc cc trng trn cho php chng ta si d(ng cng mKt tp cc gia ti

v xy d%ng mKt cRu trc ton hLc duy nhRt cho miBn gi tra c)a cc bin

ngn ng@ khc nhau.

1.3. Cc php tnh trn trn tp m

Xt mKt bin ngn ng@ X nh Ac anh ngha " trn. Trc ht,

chng ta c nhn xt rJng, nhn chung, tp Snh c)a tp T(X) qua nh x M(X)

khng c cRu trc i sP, trn chng ta khng anh ngha Ac cc php

u [0,50]

u [50,100]

15

tnh trn tp m. MKt l do n@a lm cho chng ta khng quan tm n iBu

ny l cRu trc i sP c)a tp gPc T(X) cng cha Ac pht hi>n. Trong khi

chng ta cha pht hi>n ra cRu trc i sP c)a miBn T(X), trong m(c ny

chng ta sv anh ngha trn tp (, [0, 1]) mKt cRu trc i sP.

Cng c,n nhRn m nh rJng m(c tiu c)a l thuyt tp m l m hnh

ha ton hLc ng@ ngha c)a cc khi ni>m m v, quan trLng nhRt, l m hnh

ha phng php lp lun c)a con ngi. y l mKt vRn B c%c k kh v

ph'c t p v nh@ng vRn B ny thuKc lo i c cRu trc yu, hay kh c th& c

mKt cRu trc ton duy nhRt m hnh ha trLn vn nh@ng vRn B nu trn. Nh

l mKt h> quS, kh lng chng ta tm Ac mKt cRu trc ton hLc chct chv, p

c)a tp (, [0, 1]). Chnh v vy chng ta khng c mKt rng buKc chct chv,

minh b ch trong anh ngha cc php ton trong F(, [0, 1]). Nh chng ta sv

thRy di y, chng ta c nhiBu cch khc nhau & anh ngha cc php tnh

v do n t o ra tnh mBm do, a d ng trong tip cn, thch nghi vi cc bi

ton 'ng d(ng khc nhau, miHn l n cho php giSi quyt Ac cc bi ton

'ng d(ng, cc bi>t cc bi ton thuKc lnh v%c tr tu> nhn t o.

Trc khi anh ngha cc php tnh trong (, [0, 1]), chng ta hy

xem o n [0, 1] nh l mKt cRu trc dn [0,1] = ([0, 1], , , ) vi th' t% t%

nhin trn o n [0, 1]. Khi , vi mLi a, b [0, 1], ta c:

a b = max {a, b}, a b = min {a, b} v a = 1 b.

Chng ta c th& ki&m ch'ng rJng [0,1] = ([0, 1], , , ) l mKt i sP

De Morgan, hn n@a n c cc tnh chRt sau:

Cc php tnh hAp v giao c tnh giao hon

a b = b a v a b = b a

Cc php tnh hAp v giao c tnh chRt phn phPi ln nhau

a (b c) = (a b) (a c) v a (b c) = (a b) (a c)

Tnh chRt nuPt (absorption) v nuPt Pi ngu (dual absorption):

Tnh chRt nuPt : a (a b) = a,

Tnh chRt nuPt Pi ngu : a (a b) = a.

Tnh ly lng : a a = a v a a = a

Tnh chRt ph) ph) anh : (a) = a

Tnh n i>u giSm : a b a b

16

Tnh chRt De Morgan : (a b)= ab; (a b) = a b.

D%a trn cRu trc [0,1] chng ta sv anh ngha cc php tnh trn tp m

thng qua cc php tnh c)a dn [0,1].

1.3.1. Php hp ~

Cho hai tp m A~ v B~ trn tp v tr( . HAp c)a hai tp m ny l

mKt tp m k hi>u l A~~

B~, m hm thuKc c)a n Ac anh ngha theo

i&m (pointwise) nh sau: )()()( ~~~

~~

uuuBABA

=

hay, trong trng hAp l h@u h n hay m Ac,

A~~

B~ =

17

G~~

K~ = (0,0/1 + 0,0/2 + 0,0/3 + 0,1/4 + 0,3/5 + 0,5/6 + 0,7/7 + 0,9/8

+1,0/9 + 1,0/10)

~

(1,0/1 + 0,9/2 + 0,8/3 + 0,6/4 + 0,4/5 + 0,2/6 + 0,0/7 + 0,0/8 +

0,0/9 + 0,0/10)

= 1,0/1 + 0,9/2 + 0,8/3 + 0,6/4 + 0,4/5 + 0,5/6 + 0,7/7 + 0,9/8 +

1,0/9 + 1,0/10

Cch th%c hi>n php tinh trong dn [0,1] theo i&m nh vy gAi cho

chng ta th%c hi>n cc php tnh nh vy ngay trn BSng 1.3 nh sau:

BSng 1.3: HOp hai t%p m. trn

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

G~ 0,0 0,0 0,0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,0 1,0

K~ 1,0 0.9 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0 0,0 0,0

G~~

K~ 1,0 0,9 0,8 0,6 0,4 0,5 0,7 0,9 1,0 1,0

MKt cch t=ng qut, nu cho trc cc tp m ~iA , i = 1, , m, th hAp

c)a cc tp m ny l tp m A~ Ac anh ngha m" rKng bJng quy n p v

Ac k hi>u l

A~ = ~1~

i

n

i A=

Nhn xt 1.1: Cc h ng th'c d ng (ui)/ui c th& xem l mKt tp m m gi

c)a n chd ch'a duy nhRt mKt ph,n ti ui, hm thuKc c)a n bJng 0 t i mLi u

ui v bJng (ui) t i ph,n ti ui. K hi>u tp m ny l (ui){ui}, tch c)a sP v

hng c)a (ui) vi tp kinh i&n 1ph,n ti {ui}. Khi , vi anh ngha php

hAp nh trn, cc php cKng hnh th'c + c th& Ac bi&u tha bJng php

hAp, ta c, chJng h n vi l tp h@u h n, = {u1, , un}, tp m A~ Ac

bi&u diHn qua php hAp nh sau:

A~ = }){(1~

ii

n

i uu=

Tp G~~

K~ thu Ac c nh@ng cc i&m sau:

Support(G~~

K~) =

N l tp m chun v Hight(G~~

K~) = 1

18

Core(G~~

K~) = {1, 9, 10}

Count(G~~

K~) = 1,0 + 0,9 + 0,8 + 0,6 + 0,4 + 0,5 + 0,7 + 0,9 + 1,0 +

1,0 = 7,8 .

1.3.2. Php giao ~

Cho hai tp m A~ v B~ trn tp v tr( . HAp c)a hai tp m ny l

mKt tp m k hi>u l A~~

B~, m hm thuKc c)a n Ac anh ngha theo

i&m (pointwise) nh sau:

)()()( ~~~

~~

uuuBABA

=

hay, trong trng hAp l h@u h n hay m Ac,

A~~

B~ =

19

= 0,0/1 + 0,0/2 + 0,0/3 + 0,1/4 + 0,3/5 + 0,2/6 + 0,0/7 + 0,0/8 +

0,0/9 + 0,0/10

Cch th%c hi>n php tnh trong dn [0,1] theo t?ng i&m nh vy,

tng t% nh trn, chng ta th%c hi>n cc php tnh nh vy ngay trn BSng

1.4 di y:

BSng 1.4: Giao c-a hai t%p m. trn

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

G~ 0,0 0,0 0,0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,0 1,0

K~ 1,0 0.9 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0 0,0 0,0

G~~

K~ 0,0 0,0 0,0 0,1 0,3 0,2 0,0 0,0 0,0 0,0

Tp G~~

K~ thu Ac c nh@ng cc i&m sau:

Support(G~~

K~) =

N l tp m di chun v Hight(G~~

K~) = 0,3 < 1

Core(G~~

K~) = {5}, tp mKt ph,n ti

Count(G~~

K~) = 0,1 + 0,3 + 0,2 = 0,6

1.3.3. Php lBy phDn b ~

Xt mKt tp m A~ trn tp v tr( . Php lRy b c)a tp A~, k hi>u l

~ A~, l tp m vi hm thuKc Ac xc anh bJng lng th'c sau:

)(1)( ~~~ uu AA =

Tp m ~ A~ bi&u diHn " d ng cng th'c hnh th'c c d ng sau:

Trng hAp l hRu hTn hay v hTn m Oc

~ A~ = ~ == Uu AUu A uuuu /))(1(/)( ~~

Trng hAp l v hTn continuum

~ A~ = duuUu A

)(~~ = ~ duuduu Uu AUu A ))(1()( ~~ =

20

& lRy v d(. chng ta xt hai tp m G~ v K~ Ac cho trong BSng

1.2. Khi si d(ng cch bi&u diHn tp m ri r c, php lRy ph,n b c)a hai tp

m G~ v K~ Ac th%c hi>n nh sau:

~ G~ = ~ (0,0/1 + 0,0/2 + 0,0/3 + 0,1/4 + 0,3/5 + 0,5/6 + 0,7/7 + 0,9/8

+1,0/9 + 1,0/10)

= (1,0/1 + 1,0/2 + 1,0/3 + 0,9/4 + 0,7/5 + 0,5/6 + 0,3/7 + 0,1/8

+0,0/9 + 0,0/10)

cn

~ K~ = ~ (1,0/1 + 0,9/2 + 0,8/3 + 0,6/4 + 0,4/5 + 0,2/6 + 0,0/7 + 0,0/8 +

0,0/9 + 0,0/10)

= (0,0/1 + 0,1/2 + 0,2/3 + 0,4/4 + 0,6/5 + 0,8/6 + 1,0/7 + 1,0/8 +

1,0/9 + 1,0/10)

Tng t% nh trn, php lRy ph,n b cng c th& th%c hi>n trn bSng

d@ li>u, c( th& nh sau:

BSng 1.5: Phqn b c-a t%p m. trn

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

G~ 0,0 0,0 0,0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,0 1,0

~ G~ 1,0 1,0 1,0 0,9 0,7 0,5 0,3 0,1 0,0 0,0

K~ 1,0 0.9 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0 0,0 0,0

~ K~ 0,0 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,0 1,0 1,0

1.3.4. Php tGng v tch Hi s+ c#a cc tp m

Php c)ng Hi s+ hai tp m: Cho hai tp m A~ v B~ trn tp v tr(

. T=ng i sP c)a hai tp m ny l mKt tp m, k hi>u l A~ B~, Ac

anh ngha b"i lng th'c sau:

Trong trng hAp l h@u h n hay v h n m Ac,

A~ B~ = uuuuuBABUu A

/)]().()()([ ~~~~ + ,

Trong trng hAp l v h n continuum,

A~ B~ = +Uu BABA duuuuu )]().()()([ ~~~~ .

21

Lu rJng gi tra bi&u th'c )().()()( ~~~~ uuuu BABA + lun lun

thuKc [0, 1] v do cc anh ngha c)a php tnh trn l ng En.

Php nhn Hi s+ hai tp m: Nhn i sP hai tp m A~ v B~ l mKt

tp m, k hi>u l A~ B~, Ac xc anh nh sau:

Trong trng hAp l h@u h n hay v h n m Ac,

A~ B~ = uuuBAUu

/)().( ~~ , Trong trng hAp l v h n continuum,

A~ B~ = Uu BA duuu )().( ~~ .

1.3.5. Php tp trung hay php co (concentration)

Cho tp m A~ trn . Php tp trung tp m A~ l tp m, k hi>u l

CON(A~ ), Ac anh ngha nh sau:

CON(A~) = Uu A duu)(~ = (A~), vi > 1

V > 1 nn )(~ uA < )(~ uA v do miBn gii h n b"i hm )(~ uA

sv

nJm trLn trong miBn gii h n b"i hm )(~ uA , hm thuKc )(~ uA c)a tp m

ba co l i sau php tp trung. Ni khc i tp m CON(A~) bi&u tha mKt khi

ni>m cc tS hn khi ni>m gPc bi&u tha b"i tp m A~ (xem Hnh 1.3). VB tr%c

quan chng ta thRy khi ni>m m cng cc tS th n cng chnh xc hn, t m

hn v g,n gi tra kinh i&n hn.

Thng thng ngi ta si d(ng pht tp trung & bi&u tha ng@ ngha tc

Kng c)a gia ti rt (very) v ng@ ngha, chlng h n, c)a khi ni>m rt tr l

cc tS hay t m hn so vi khi ni>m tr.

1.3.6. Php dn (Dilation)

NgAc vi php t%p trung l php dn. Php dn khi tc Kng vo mKt

tp m A~, k hi>u l DIL(A~), Ac xc

anh b"i lng th'c sau:

DIL(A~) = Uu A duu)(~ = (A~), vi < 1

1,0

0 50 45 35 25 15

Hnh 1.3: Php t%p trung

)(~ uA

)(~ uA

)(~ uA

22

Trong trng hAp ny ta thRy )(~ uA > )(~ uA v do php dn sv lm hm

thuKc c)a tp m dn n ra, hm thuKc c)a tp m thu Ac sv xc anh

mKt miBn th%c s% bao hm miBn gii h n b"i hm thuKc c)a tp m gPc. Trn

Hnh 1.3, ta thRy ng cong nt chRm bi&u tha hm thuKc )(~ uA cn ng

cong nt liBn bi&u tha hm thuKc )(~ uA . Ng@ ngha c)a khi ni>m m bi&u tha

b"i tp m kt quS t cc tS hn hay ng@ ngha c)a n cng m hn.

NgAc vi hay Pi ngu vi vi>c si d(ng php CON, php DIL Ac

si d(ng & bi&u tha ng@ ngha c)a gia ti c thu hay xp xv v ng@ ngha c)a

khi ni>m c thu tr t cc tS hn hay tnh m c)a n ln hn.

V d 1.8. Xt tp v tr( = {1, 2, , 8} v hai tp m A~ v B~ trn Ac

cho nh sau:

A~ = 0,8/3 + 1,0/5 + 0,6/6 v B~ = 0,7/3 + 1,0/4 + 0,5/6

Khi ta c:

A~ B~ = 0,94/3 + 1,0/4 + 1,0/5 + 0,8/6

A~ B~ = 0,56/3 + 0,30/6

CON(A~) = 0,64/3 + 1,0/5 + 0,36/6 , vi = 2.

DIL(A~) = 8,0 /3 + 1,0/5 + 6,0 /6 , vi = 1/2

1.3.7. Tch NOcaOt cc tp m

Cho Ai l tp m c)a tp v tr( i, i = 1, 2, , n. Tch cat c)a

cc tp m ~iA , i = 1, 2, , n, k hi>u l ~

1A ~2A

~nA hay

~1 i

ni A= , l

mKt tp m trn tp v tr( 1 2 n Ac anh ngha nh sau:

~1A ~2A

~nA =

n

nUUnnAA uuuu

...11

),...,/()(...)( 11

V d 1.9. Cho 1 = 2 = {1, 2, 3} v 2 tp m

A~ = 0,5/1 + 1,0/2 + 0,6/3 v B~ = 1,0/1 + 0,6/2

Khi ,

~A ~B = 0,5/(1,1) + 1,0/(2,1) + 0,6/(3,1) + 0,5/(1,2) + 0,6/(2,2) +

0,6/(2,3).

23

MKt v d( 'ng d(ng c)a tch cat l kt nhp (aggreegation) cc

thng tin m vB cc thuKc tnh khc nhau c)a mKt Pi tAng. V d(, trong cc

h> lut c)a cc h> trA gip quyt anh hay h> chuyn gia, h> lut trong iBu

khi&n thng c cc lut d ng sau y:

Nu X1 := ~

1A and X2 := ~2A and and Xn :=

~nA th Y := B

~

trong cc Xi l cc bin ngn ng@ (v gi tra c)a n l cc ngn ng@ Ac

xem nh l nhn c)a cc tp m) v Ai l cc tp m trn miBn c s" i c)a

bin Xi. H,u ht cc phng php giSi lin quan n cc lut nuth trn Bu

i hsi vi>c tch hAp cc d@ li>u trong ph,n tiBn tP nu nh ton ti kt

nhp, mKt trong nh@ng ton ti nh vy l lRy tch Bcat ~1A ~2A

~nA .

1.3.8. Php tG hp lRi (convex combination)

Cho ~iA l tp m c)a tp v tr( i tng 'ng vi bin ngn ng@ Xi, i

= 1, 2, , n, v wi (0, 1], l cc trLng sP vB m'c K quan trLng tng Pi

c)a bin Xi so vi cc bin khc, i = 1, 2, , n, v thsa rng buKc 11

= =n

i iw .

Khi tm hOp lyi c)a cc tp m ~iA , i = 1, 2, , n, l mKt tp m A~ xc

anh trn = 12n, hm thuKc c)a n Ac anh ngha nh sau:

==n

i iAinAuwuu

i11 )(),...,( ~~

trong l t=ng sP hLc (ch' khng phSi l t=ng hnh th'c).

Php t= hAp lzi thng Ac si d(ng & bi&u tha ng@ ngha c)a gia ti

ki&u cPt yu (essentially) hay cc trng hay cc tnh tiu bi&u

(typically). V d(, khi ni>m m vB ngi To l4n Ac bi&u tha mt cch cZt

yu t? ng@ ngha c)a cc khi ni>m ngi Cao v Bo. Nh vy ng@ ngha

c)a To l4n c th& bi&u tha qua ng@ ngha c)a Cao v c)a Bo thng qua

php t= hAp lzi.

C( th&, giS si ng@ ngha c)a cc tp m Bo trn miBn 1 = [40, 100]

theo n va kg v c)a Cao trn miBn 2 = [50, 220] vi n va cm Ac bi&u

tha nh sau:

24

Bo = 1100

40

12

1

30

401 du

u

+

Cao = 2100

40

12

2

30

1401 du

u

+

Khi , tp m Tol4n Ac bi&u tha nh php t= hAp lzi sau:

Tol4n = 0,6 Bo + 0,4 Cao =

{ } 21100

40

220

5021 )(4,0)(6,0 duduuu CaoBo +

Chlng h n, ta c:

Tol4n(70,170) = 0,60,5 + 0,40,5 = 0,5

Tol4n(80,170) = 0,60,64 + 0,40,5 = 0,584

Tol4n(70,180) = 0,60,5 + 0,40,64 = 0,556

1.3.9. Php m ha (Fuzzification)

Vi>c m ha c hai bi ton:

Tm tp m bi&u tha mKt tp kinh i&n hay, mKt cch t=ng qut hn,

hy m ha mKt tp m cho A~;

Tm K thuKc c)a gi tra ngn ng@ c)a mKt bin ngn ng@ tng 'ng

vi mKt d@ li>u ,u vo l th%c hocc m.

Theo ngha thS nht ta Anh ngha php m. ha nh sau:

Php m ha F c)a mKt tp m A~ trn tp v tr( sv cho ta mKt tp

m F(A~, K~) Ac xc anh theo cng th'c sau:

F(A~, K~) = U A duuKu )()(~

~

trong K~(u) l mKt tp m trn , u , Ac gLi l nhn (kernel) c)a F.

Nu )(~ uA l hm thuKc c)a tp kinh i&n 1ph,n ti {u}, )(~ uA chd

bJng 1 t i ph,n ti u cn l i l bJng 0 hay ta c tp m {1/u}, th ta c

F({1/u}, K~) = K~(u)

25

Nu A~ l tp kinh i&n A, 1)( =uA trn A v bJng 0 ngoi A, th m

ha c)a A vi nhn K~(u) sv l tp m sau:

F(A, K~) = A duuK )(~

V d 1.10. Cho hai tp m A~ v K~ trn nh sau:

= {a, b, c, d}, A~ = 0,8/a + 0,6/b ,

K~(a) = 1,0/a + 0,4/b v K~(b) = 1,0/b + 0,4/a + 0,4/c

Khi

F(A~, K~) = 0,8(1,0/a + 0,4/b) + 0,6(1,0/b + 0,4/a + 0,4/c)

= 0,8/a + 0,32/b + 0,6/b + 0,24/a + 0,24/c

= (0,8 0,24)/a + (0,32 0,6)/b + 0,24/c

= 0,8/a + 0,6/b + 0,24/c

Ngi ta cho rJng php m ha nh trn c vai tr quan trLng trong

bi&u diHn ng@ ngha c)a cc gia ti nh t nhiu (more or less), mt cht hay

hi (slightly), nhiu (much). Chlng h n, vi khi ni>m m gi{i chd vB NNG

LC c)a chuyn vin, th khi ni>m hi gi{i c th& Ac bi&u tha bJng php

m ha tc Kng vo tp m bi&u diHn khi ni>m gi{i.

Bi ton m. ha thS 2 Oc gi4i hTn trong tr.ng hOp t%p v trP l t%p

hRu hTn cc gi trA ngn ngR

C( th& bi ton m ha trong trng hAp ny nh sau: GiS si T l tp

cc gi tra ngn ng@ c)a mKt bin ngn ng@ X no vi miBn c s" . Cho

mKt tp kinh i&n hocc tp m A~ trn . Hy tm tp m trn miBn T bi&u tha

tp m A~ hay, mKt cch tng ng, hy tm K thuKc c)a gi tra trong T

tng 'ng vi d@ li>u ,u vo A~.

Chlng h n, ta xt bin NHIT thi tit vi T = {Thp, Trungbnh,

Cao} vi khng gian c s" l [0, 100] theo

thang K C. VRn B l c,n xc anh K

thuKc hay gi tra chn l TV c)a m>nh B

A~ := , T, vi := Ac hi&u l xp xv

Hnh 1.4: Cc hm thuc c-a bin NHIKT L

Thp Trbnh

Cao

1

0,5

0,0 100

A~

26

b}ng. C( th& chng ta c,n xc anh gi tra chn l nh sau:

(Thp) = TV(A~ := Thp)

(Trbnh) = TV(A~ := Trbnh)

(Cao) = TV(A~ := Cao)

Vi>c xc anh gi tra chn l ny Ac tin hnh nh sau (xem Hnh

1.4): Chng ta l,n theo z tha c)a hm thuKc c)a tp m ,u vo A~ sv thRy n

cEt z tha c)a hm thuKc Thp " gi tra 0,52. Gi tra ny bi&u tha K ph hAp

nhRt c)a tp m A~ bi&u diHn qua tp m hay khi ni>m m Thp l 0,52.

Tng t%, z tha c)a A~ sv cEt z tha c)a tp m Trbnh " hai gi tra 0,34 v

0,82 v do K ph hAp nhRt c)a vi>c bi&u diHn ng@ ngha c)a A~ qua khi

ni>m m Trbnh l gi tra 0,82 ln hn. Cng nh vy, K ph hAp c)a A~

bi&u tha qua khi ni>m Cao l 0,18. Nh vy, vi>c m ha sv a vi>c bi&u

diHn tp m A~ trn thnh tp m trn tp cc gi tra ngn ng@ T sau:

NHIKT_L(A~) = 0,54/Thp + 0,82/Trbnh + 0,18/Cao (4*)

1.3.10. Php khU m

Trong iBu khi&n m cng nh trong lp lun trong cc h> chuyn gia

vi cc lut tri th'c m, d@ li>u ,u ra nhn chung Bu l nh@ng tp m. Th%c

t chng ta cng thng gcp nhu c,u chuy&n =i d@ li>u m ,u ra thnh gi

tra th%c mKt cch ph hAp. Phng php chuy&n =i nh vy Ac gLi l

phng php khi m (defuzzification). Nhu c,u ny thng gcp nhRt trong

iBu khi&n m v ,u ra i hsi l gi tra th%c & tc Kng vo mKt qu trnh

th%c no .

GiS si d@ li>u ,u ra Ac bi&u diHn " d ng (4*) vi cc tp m c)a

cc gi tra ngn ng@ Ac bi&u tha trong Hnh 1.4.

Trc khi trnh by mKt sP phng php khi m, chng ta hy a ra

phng php bin =i & tnh hm thuKc c)a tp m Ac bi&u diHn bJng bi&u

th'c d ng (4*). Trc ht ta nh l i rJng tp m vi hm thuKc c d ng (u)

a, a [0, 1], Ac k hi>u l a, n l tch c)a sP v hng a v tp kinh

i&n . Khi , h ng th'c trong (4*), chlng h n 0,54/Thp, sv Ac hi&u l

bi&u th'c 0,54 AND Thp, trong Thp l nhn c)a tp m vi hm thuKc

27

Ac cho trong Hnh 1.4. T? Nhn xt 1.1, chng ta c th& hi&u cc php cKng

hnh th'c + sv l php OR m ng@ ngha c)a n l php trong dn

L([0,1]).

C nhiBu cch bi&u tha ng@ ngha php AND v php OR trn o n [0,

1]. MKt cch t=ng qut, ta c th& chLn mKt

ccp Pi ngu tnorm v tconorm bRt k m

chng sv Ac B cp n sau ny khi ni vB

cc i sP lin hAp tp hAp m & bi&u tha

ng@ ngha c)a hai php AND v OR. Di

y ta sv chLn ng@ ngha c)a AND l php

Min, v OR l php Max. Trong Hnh 1.5 ta

c cc kt quS c)a vi>c th'c hi>n php AND

cho t?ng h ng ti trong cng th'c (4*): h ng

ti th' nhRt Ac bi&u tha bJng hnh thang

th' nhRt vi chiBu cao l 0,54; h ng ti th'

hai Ac bi&u tha bJng hnh thang th' hai "

gi@a, vi chiBu cao 0,82; h ng ti th' ba

Ac bi&u tha bJng hnh thang bn phSi vi

chi&u cao l 0,18.

Hnh 1.6 bi&u tha kt quS c)a php OR c)a 3 h ng ti vi ng@ ngha

Ac bi&u tha trong Hnh 1.5.

Nh vy, bRt k mKt tp m no Ac cho " d ng cng th'c (4*) chng

ta Bu c th& bi&n =i vB tp m c d ng " Hnh 1.6.

By gi bi ton khi m Ac c( th& ha bJng bi ton cho trc mKt

tp m vi hm thuKc Ac bi&u tha bJng z tha, chlng h n nh trong Hnh

1.6. Hy xc anh phng php bin =i tp m vB mKt gi tra th%c thuKc

miBn c s" . Vi v d( ang xt, ta c bin NHIKT L vi = [0, 100] theo

thang K C.

Thng chng ta c nhiBu cch & giSi bi ton khi m. Chng ta

khng c nh@ng rng buKc chct chv no vB vi>c anh ngha mKt phng php

khi m. BRt k nh nghin c'u 'ng d(ng no cng c th& a ra mKt anh

ngha vB mKt phng php khi m, miHn l n ph hAp vi mKt 'ng d(ng no

hay n ph hAp vi mKt t"ng no vB ng@ ngha c)a php khi m.

Hnh 1.5: Cc hm thuc c-a 3 hTng tV trong (1.5)

Thp Trbnh

Cao

1

0,5

0,0 100

A~

Hnh 1.6. Hm thuc hOp c-a 3 hTng tV trong (1.5)

1

0,5

0,0 100

28

Tuy nhin, vB tr%c quan chng ta c th& a ra nh@ng yu c,u & mKt phng

php khi m Ac xem l tPt. Hellendoorn, H. and C. Thomas nm 1993

a ra 5 tiu chun tr%c quan sau. (i) Tnh lin tPc, ngha l mKt s% thay =i

nhs c)a d@ li>u ,u vo c)a phng php n cng chd t o ra nh'ng thay =i

nhs " d@ li>u ,u ra; (ii) Tnh khng nh%p nh}ng (disambiguity), ngha l

phng php chd sinh ra mKt gi tra ,u ra duy nhRt; (iii) Tnh hOp l

(plausibility) i hsi rJng gi tra ,u ra phSi nJm " vng trung tm c)a tp m

v K thuKc hay gi tra hm thuKc t i phSi ln (khng nhRt thit ln nhRt);

(iv) phSc tTp tnh n giYn (computational simplicity), mKt i hsi t%

nhin v (v) Tnh trng sZ c-a phng php (weighting method) i hsi

phng php tnh n trLng sP hay s% u tin c)a cc tp m kt quS ,u ra

(Pi vi trng hp bi ton cho nhiBu kt quS ,u ra nh Pi vi mKt sP

phng php lp lun m a iBu ki>n).

Ni chung, chng ta c th& hi&u cc tiu chun c,n bSo Sm gi tra khi

m c)a tp m A~ l phqn tV thNc Ti di^n mKt cch hAp l c)a A~.

Sau y chng ta nghin c'u mKt vi phng php khi m.

1.3.10.1. Phng php cNc Ti trung bnh (average maximum)

Cho tp m A~ vi hm thuKc ~A . GLi umin v umax tng 'ng l hai

gi tra nhs nhRt v ln nhRt c)a miBn c s" m t i hm thuKc ~A nhn

gi tra ln nhRt (c%c i ton ph,n). K hi>u gi tra khi " c)a A~ theo phng

php c%c i trung bnh l DAvmax(A~). Khi DAvmax(A

~) Ac anh ngha

nh sau:

DAveMax(A~) =

2

maxmin uu +

t"ng c)a phng php ny l chng ta chd quan tm n cc gi tra

c)a m t i n ph hAp hay tng thch vi ng@ ngha c)a tp m A~

nhRt, t i K thuKc l c%c i ton ph,n. Nh@ng gi tra khc c)a m t i

K thuKc nhs hn 1 Bu ba bs qua. V vy, mKt khS nng l%a chLn gi tra khi

m l gi tra trung bnh c)a gi tra nhs nhRt v gi tra ln nhRt t i K thuKc

vo tp m l ln nhRt. chnh l l do ngi ta gLi phng php khi m

ny l phng php cNc Ti trung bnh.

29

V d( trn Hnh 1.6, hm thuKc ~A t c%c i ton ph,n trn o n [41,

59] v, do , chng ta ta c:

DAveMax(A~) = 50

2

5941=

+.

1.3.10.2. Phng php cNc Ti trung bnh c trng sZ

t"ng c)a phng php ny l tm nh@ng o n t i hm thuKc

~A t c%c i aa phng. Ngha l t i cc gi tra c)a miBn c s" m K

thuKc c)a chng t c%c i aa phng. Ni khc i cc gi tra c)a

thuKc vB tp m A~ vi K tin cy c K trKi nhRt. Cc gi tra nh vy c,n

Ac tham gia ng gp vo vi>c xc anh gi tra khi m" c)a tp A~ vi

trLng sP ng gp chnh l K thuKc c)a chng vo tp A~. Chng ta chLn

cch ng gp nh vy bJng phng php lRy trung bnh c trLng sP

(weighted average maxima method). V vy cch tnh gi tra khi m c)a tp

m A~ nh sau:

Xc anh cc gi tra c)a m t i hm thuKc ~A t gi tra c%c i

aa phng. K hi>u umini v umaxi l gi tra ln nhRt v nhs nhRt trong cc

gi tra c)a m t i hm thuKc t c%c i aa phng. Gi tra trung bnh

cKng c)a umini v umaxi sv Ac k hi>u l uavemaxi, trong , chd sP i chd n

l gi tra tng 'ng vi gi tra c%c i aa phng th' i.

GiS si hm thuKc ~A c m gi tra c%c i aa phng, i = 1, 2, , m.

Khi gi tra khi m c)a tp m A~ Ac tnh theo cng th'c trung bnh cKng

c trLng sP nh sau:

DwAveMax = = =

m

i m

i i

ii

uave

uaveuave1

1)max(

max)max(

V d(, chng ta xt tp m A~ Ac cho trong Hnh 1.6. Hm thuKc ~A

t c%c i aa phng trn hai o n thlng, o n [0, 23] v o n [41, 59]. Do

, theo cng th'c ta c uavemax1 = (0 + 23)/2 = 11,5 v uavemax2 = (41 +

59)/2 = 50. Theo cng th'c chng ta c:

DwAveMax = 71,3436,121,47

82,054,0

5082,05,1154,0

)50()5,11(

50)50(5,11)5,11(=

++

=++

30

1.3.10.3. Phng php trng tm

Trong hai phng php trn, ngi ta chd quan tm n gi tra c)a miBn

m t i hm thuKc t c%c i, cn cc gi tra khc Bu ba bs qua. Nh

vy c v thiu bnh lng. Phng php trLng tm (centroid method hay

centre of gravity) xuRt pht t? t"ng mLi gi tra c)a Bu Ac ng gp

vi trong sP vo vi>c xc anh gi tra khi m c)a tp m A~, " y trLng sP

c)a n l K thuKc c)a ph,n ti thuKc vo tp m A~.

Theo ngha thng thng c)a trLng tm, cng th'c tnh gi tra khi m

c d ng sau:

DCentroid(A~) =

b

a

b

a

duu

duuu

)(

)(

V d(, ta tnh gi tra khi m theo phng php trong tm c)a tp m

trong Hnh 1.6. Theo cng th'c trn ta tnh:

100

0)( duuu =

23

0*54,0 udu + +

25

23 501 )1( uduu +

41

25 501 )( uduu +

59

4182,0 udu

+ +91

59 501 )2( uduu +

100

9118,0 udu

= 142,83 + 24,946 + 355,306 + 738,0 + 1145,386 + 154,71 =

2561,178

100

0)( duu = 12,42 + 1,04 + 10,56 + 14,76 + 10,56 + 10,88 + 1,44 = 61,66

Do , DCentroid(A~) =

66,61

178,2561 = 41,537.

1.3.11. Nguyn l thc triWn v s+ hXc cc s+ m

1.3.11.1. Nguyn l thc triun

VRn B Ac ct ra l cho mKt tp m A trn khng gian v mKt quan

h> kinh i&n trn (hay n cng l mKt nh x a tra t? sang ), li>u

tp m A sv cSm sinh mKt tp m B no trn nh thng tin t? quan h> ?

31

Nguyn l thc triWn (extension principle) cho ta mKt quy tEc xc anh

tp m B d%a trn cc thng tin m quan h> cung cRp. Nguyn l ny Ac pht bi&u nh sau:

Cho l mKt quan h> kinh i&n trn . Vi v , ta k hi>u 1(v) = {u : (u, v)}

Khi , m[i tp m A trn sv cSm sinh mKt tp m B trn nh quan h>

vi hm thuKc B(v) Ac tnh theo cng th'c sau:

B(v) = sup )()(1 uAvu .

Ta cho mKt vi v d( vB 'ng d(ng c)a nguyn l thc tri&n trn.

V d 1.11. Ngi ta thng bi&u diHn khi ni>m chn l nh l mKt tp m

trn = [0,1], chlng h n hm thuKc True c)a khi ni>m True Ac cho trong Hnh 1.7. Thng thng, ph,n b c)a tp m True bi&u tha php ph) anh v

do ng cong g ch t?ng o n bi&u tha khi ni&m False. VB tr%c quan

quan st trn Hnh 1.7 chng ta thRy khng hAp l.

By gi chng ta anh ngha khi ni>m ph) anh bJng vi>c p d(ng

nguyn l thc tri&n. Trong lgic a tra vi miBn gi tra

chn l trn o n [0,1], php ph) anh l 1, t = 1 t.

n xc anh mKt nh x t? [0,1] vo [0,1]. Theo nguyn l thc tri&n, tp m True sv cSm sinh tp m

cng trn [0,1], chnh l tp m False, vi hm thuKc l

False(t) = sup )()(1 sTruets = sup )(}1{ sTruets

= True(1 t)

Hm thuKc ny l ng cong Pi x'ng vi True qua ng thlng s = 0,5 v n bi&u tha khi ni>m False mKt cch hAp l hn.

V d 1.12. By gi ta xt mKt v d( ph'c t p hn vB vi>c p d(ng nguyn l

thc tri&n. Xt khng gian = , tp tRt cS cc sP th%c v php tnh 2ngi a

* b trn cc sP th%c. Php tnh ny xc anh mKt quan h> hai ngi, hn n@a n

Hnh 1.7

True False

32

xc anh mKt nh x : . Do , theo nguyn l thc tri&n, m[i ccp

tp m A v B trn sv cSm sinh mKt tp m C cng trn nh nh x vi hm thuKc Ac xc anh nh sau:

C(t) = sup )()()(),( 1 ba BAtba = sup )()(* ba BAtba = (5*)

VB hnh th'c ha, cng th'c trn r rng v dH hi&u, nhng vB tnh ton

n l i rRt ph'c t p: cho trc hai hm thuKc A(a) v B(b) chng ta kh c

th& tnh ton c( th& Ac hm thuKc C(t) d%a theo cng th'c trn. & khEc ph(c kh khn tnh ton ny, chng ta 'ng d(ng cRu trc sP

hLc trn cc khoSng, c( th& trn cc tp m'c hay lt cEt c)a tp m.

1.3.11.2. SZ hc cc khoYng v Sng dPng Zi v4i nguyn l thc triun

Trc ht chng ta khSo st l i cng th'c (5*) d%a trn cc tp m'c.

Chng ta bit rJng c mKt tng 'ng 11 gi@a tp m A trn v hL n i>u

giSm cc tp m'c {A : (0, 1]}, < A A. V vy, thay v tnh

tr%c tip hm thuKc c)a mKt tp m, ta tnh hL cc tp m'c. cc bi>t trong

trng hAp ri r c ha, sP tp m'c nh vy chd h@u h n. & cho gLn, ta k

hi>u gi c)a tp m A l A(0), A(0) = {u : A(u) > 0}.

GiS thit rJng ta chd xt cc tp m m hm thuKc c)a chng lin tPc.

& phn tch cng th'c (5*) trn quan i&m tp m'c mKt cch c( th&, ta

giS thit php * l php + sP hLc trn . Ta sv ch'ng ts rJng

C = A + B = {a + b: a A & b B} (6*)

Th%c vy, giS si t C, C(t) . T? (5*), ta suy ra A(a) v

B(b) vi t nhRt mKt ccp (a, b) sao cho a + b = t. Ngha l, ta c C {a

+ b: a A & b B}. NgAc l i, dH dng thRy rJng vi mLi ccp (a, b) sao

cho a A & b B, th A(a) B(b) v do , theo (5*), vi t = a + b,

ta c C(t) hay a + b C. Nh vy chng ta ch'ng minh cng th'c (6*) l ng.

Tng t% nh vy chng ta c th& thit lp cc cng th'c tng t% nh

(6*) cho cc php tnh sP hLc khc.

33

Vi giS thit cc hm thuKc c)a cc tp m Ac xt A l chun, t'c l

high(A) = 1 hay A1 , v lin t(c, cc tp m'c Bu l cc o n thlng. Khi

, cng th'c (6*) c ngha o n C l t=ng c)a 2 o n A v B. Nh vy,

(6*) dn n vi>c nghin c'u sP hLc cc khoSng ng.

Xt hL cc khoSng ng, gii nKi trn tp sP th%c , k hi>u l hL

Intvl().

Ta anh ngha cc php tnh sP hLc trn cc khoSng nh vy nh sau.

GLi * l php tnh 2ngi bRt k trn sP th%c , * c th& l php cKng (+),

php tr? (), php nhn (.) v php chia (/) sP hLc, th n sv cSm sinh mKt

php tnh trn Intvl() cng Ac k hi>u l php * v Ac anh ngha nh

sau:

[a, b] [c, d] = {u v : u [a, b] & v [c, d]} (7*)

vi giS thit rJng nu l php chia th ta giS thit o n [c, d] khng ch'a

ph,n ti 0 c)a .

T? (7*) ta dH dng suy ra cc cng th'c sau

[a, b] + [c, d] = [a + b, c + d]

[a, b] [c, d] = [a b, c d]

[a, b] / [c, d] = [a, b] . [1/d, 1/c]

[a, b] . [c, d] = [e, f], vi e = min {ac, ad, bc, bd} cn f = max

{ac, ad, bc, bd}

Lu rJng v m[i sP a, b, c v d c th& m hocc dng nn ta phSi tnh min,

max & xc anh ,u mt c)a khoSng kt quS c)a php nhn.

Tr" l i vi nguyn l thc tri&n Pi vi nh x xc anh b"i php tnh

sP hLc trn sP th%c vi tp m cSm sinh Ac tnh trn cc tp m'c nh "

d ng cng th'c (6*). Nu cc tp m A v B l chun v lin t(c, th tRt cS cc

tp m'c A v B Bu l cc khoSng ng gii nKi, chng l cc ph,n ti c)a

Intvl() v do cc cng th'c " d ng (6*) Bu Ac tnh ton d%a trn sP

hLc cc khoSng.

1.3.11.3. SZ m. v sZ hc cc sZ m.

34

Xt tp m A trn tp cc sP th%c . VB nguyn tEc, khng c rng

buKc chct Pi vi vi>c xy d%ng cc tp m & bi&u tha ng@ ngha c)a cc khi

ni>m ngn ng@. Tuy nhin, & n giSn trong xy d%ng cc tp m v trong

tnh ton trn cc tp m, ngi ta a ra khi ni>m tp m c d ng cc bi>t,

gLi l sP m & bi&u tha cc khi ni>m m vB sP nh gqn 10, khoYng 15, l4n

hn nhiu so v4i 10,

SP m l tp m c cc cc i&m sau:

N l tp m chun, t'c l high(A) = 1;

MLi tp m'c A, (0,1], l cc khoSng ng; Support(A) l tp gii nKi hay n l mKt o n h@u h n.

Trong nhiBu ti li>u nghin c'u v trong 'ng d(ng, ngi ta thng si

d(ng cc sP m cc bi>t, gLi l cc sP m tam gic hay hnh thang (xem Hnh

1.8).

Cc php tnh sZ hc trn sZ m.

C hai cch anh ngha cc php

tnh sP hLc trn cc sP m.

Cch thS nht, d%a trn cng

th'c (5*) khi si d(ng nguyn l thc

tri&n.

Cch Anh ngha thS hai, anh

ngha qua tp m'c. V, nh trong M(c 1.3.11.2, chng ta thRy m[i tp m

A Ac xc anh duy nhRt b"i hL cc tp m'c {A : (0,1]}. Khi ta c th& bi&u diHn:

A = ]1,0( A

GiS si A = ]1,0( A v B = ]1,0( B v l mKt php tnh sP hLc hai

ngi no trn sP th%c, {+, , ., /}. Theo anh ngha sP m, A v B l

cc khoSng ng gii nKi v A B l mKt php tnh sP hLc trn cc khoSng.

Khi , ta anh ngha:

Very small

small

medium

large

Very large

0 100

Hnh 1.8: Cc sZ m. c-a cc gi trA ngn ngR

35

A B = BA ]1,0(

V d 1.13. Cho cc tp m A v B vi cc hm thuKc sau

A(u) = 0 vi u 1 v u > 3

= (u + 1)/2 vi 1 < u 1

= (3 u)/2 vi 1 < u 1,

B(u) = 0 vi u 1 v u > 5

= (u 1)/2 vi 1 < u 3

= (5 u)/2 vi 3 < u 5.

Khi , ta c th& ki&m ch'ng thRy rJng

A = [2 1, 3 2], v B = [2 + 1, 5 2]. v, do ,

(A + B) = [4, 8 4]

(A B) = [4 6, 2 4]

(A . B) = [ 42 + 12 5, 42 16 + 15] vi (0;0,5]

= [42 1, 42 16 + 15] vi (0,5;1]

(A / B) = [(2 1)/(2 + 1), (3 2)/(2 + 1)] vi (0;0,5]

= [2 1)/(5 2), (3 2)/(2 + 1)] vi (0,5;1]

Trong trng hAp n giSn ny chng ta c th& tnh cc hm thuKc kt quS v

thu Ac

A+B(u) = 0 vi u 0 v u > 8

= u/4 vi 0 < u 4

= (8 u)/4 vi 4 < u 8

AB(u) = 0 vi u 6 v u > 2

= (u + 6)/4 vi 6 < u 2

= (2 u)/4 vi 2 < u 2

A.B(u) = 0 vi u < 5 v u > 15

36

= [3 (4 u)1/2]/2 vi 5 u < 0

= (1 + u)1/2/2 vi 0 u < 1/3

= [4 (1 + u)1/2]/2 vi 3 u < 15

A/B(u) = 0 vi u < 1 v u > 3

= (u + 1)/(2 2u) vi 1 u < 0

= (5u + 1)/(2u + 2) vi 0 u < 1/3

= (3 u)/(2u + 2) vi 1/3 u < 3

1.3.11.4. Phng trnh sZ hc m.

Cng nh trong sP hLc, khi chng ta c sP hLc cc sP m th chng ta

c th& giSi cc phng trnh sP hLc. Chng ta sv thRy vi bi&u diHn tp m qua

hL cc tp m'c, ch'ng ta c th& dv dng giSi cc phng trnh sP hLc m.

Chng ta hy lRy mKt v d(.

V d 1.14. Xt phng trnh m

A + X = B (8*)

trong A v B l cc tp m cn X l tp m n. Ta hy tm nghi>m X v sv

ch'ng ts rJng nghi>m X = A B.

Xt tp m'c m'c (0, 1] c)a 3 tp m trong (8*) v ct A = [a1,

a2], B = [b1, b2] v X = [x1, x2]. R rng ta phSi c cc rng buKc sau:

a1 a2, b1 b2 v x1 x2. T? (8*) ta c:

a1 + x1 = b1 v a2 + x2 = b2 v do x1 = b1 a1, x2 = b2

a2.

Nh vy & cho phng trnh m (8*) c nghi>m ta phSi c giS thit

(i) b1 a1 b2 a2, vi mLi (0, 1];

Ngoi ra, t? iBu ki>n n i>u giSm c)a hL X, < X X ta

suy ra x1 x1 x2 x2. Hay, mKt iBu ki>n tzn t i nghi>m n@a l

(ii) < b1 a1 b1 a1 b2 a2 b2 a2 . Vy, vi iBu ki>n (i) v (ii), ta c

X = ]1,0( X .

37

MKt cch tng t%, phng trnh m

A . X = B sv c nghi>m vi hai iBu ki>n sau:

(i) b1/a1 b2/a2 , vi mLi (0;1];

(ii) < b1/a1 b1/a1 b2/a2 b2/a2 .

1.3.12. Php ton k8t nhp

MKt php ton trn tp m c ngha th%c tiHn quan trLng l php kt

nhp (Aggregation Operator). Trong cuKc sPng hng ngy con ngi thng

xuyn phSi nh gi cc Pi tAng trn c s" t=ng hAp cc nh gi theo t?ng

tiu ch nh gi no . V d(, nh gi hLc l%c c)a hLc sinh hay sinh vin

trn c s" cc i&m nh gi c)a cc mn hLc, hay nh gi cc phng n

,u t mKt nh my trn c s" nh gi hi>u quS kinh t, x hKi, nh gi

phng n pht tri&n sSn phm c)a mKt x nghi>p theo nhiBu tiu ch khc

nhau

MKt cch hnh th'c, bi ton ct ra l giS si c n tiu ch nh gi Ci v

m[i tiu ch Ac nh gi bJng cc t? ngn ng@ vi ng@ ngha bi&u tha bJng

cc tp m ~iA , i = 1, , n. Hy xy d%ng php tnh cho php kt nhp cc

i&m nh gi ~iA , i = 1, , n.

Chng ta sv xy d%ng mKt lp cc ton ti nh vy, gLi l php kt

nhp, trn c s" cc tnh chRt tr%c gic quan st Ac t? bSn chRt c)a vi>c tch

hAp cc kin v xem chng l cc tin B c)a php kt nhp. Ta sv thRy sau

ny l php kt nhp l mKt hm g: [0, 1]n [0, 1]. Khi vi>c kt nhp cc

i&m nh gi ~iA trn khng gian i, i = 1, , n, sv l mKt tp m ~A Ac

xc anh bJng php kt nhp sau:

))(),...,(),(()( ~2~21

~1

~nn uAuAuAguA = , u = (u1, , un) 1 n

Nh vy, nu chng ta c th& pht tri&n mKt l thuyt vB cc php kt

nhp, th chng ta c cng c( kt nhp cc kin hocc cc nh gi theo cc

tiu chun khc nhau.

Trc ht, mKt cch hnh th'c ha, php kt nhp l mKt hm 2ngi g :

[0;1]2 [0;1] c cc tnh chRt sau Ac coi l cc tin B:

38

Tin N (Agg1). g c tnh chRt kt hOp, g(a, g(b, c)) = g(g(a, b), c) v do

ta c th& vit :

g(a, b, c) = g(a, g(b, c)).

Nh vy, mKt hm kt nhp g c th& m" rKng thnh hm nngi

g(a1, a2, , an): [0;1]n [0;1]

Tin N (Agg2). g l php ton ly lng (idempotent).

g(a, a, , a) = a, a [0;1]

ngha th%c tiHn c)a tin B ny l r rng: nu cc kin l giPng

nhau, th kt quS kt nhp phSi khng thay =i.

Tin N (Agg2*). g thsa iBu ki>n bin sau:

g(0, 0, , 0) = 0 v g(1, 1, , 1) = 1.

D nhin, tin B ny l trng hAp ring c)a Tin B (Agg2) v do n l

mKt rng buKc nh hn kh nhiBu Tin B (agg2).

Tin N (Agg3). g l hm lin t(c.

i hsi ny l t% nhin trn th%c t: cc kin xRp xd nhau th kt quS

kt nhp cng xRp xd nhau.

Tin N (Agg4). g(a1, , an, g(a1, , an)) = g(a1, , an)

Tin B (Agg4) m tS mKt tnh chRt th%c t l nu thm mKt kin mi

trng vi gi tra kt nhp cc kin c khng lm thay =i gi tra kt nhp

c.

Tin N (Agg5). Tnh n i^u tng: Vi mLi ccp (a1, , an) v (b1, , bn)

cc gi tra trong [0, 1], nu ai bi, vi i = 1, 2, ..., n, th

g(a1, , an) g(b1, , bn).

Tin N (Agg6). Tnh cht giao hon: Vi bRt k mKt hon va va tr, : {1, 2,

, n} {1, 2, , n} c)a cc ton h ng c)a php kt nhp g(a1, , an),

chng ta c:

g(a1, a2, , an) = g(a(1), a(2), , a(n))

ngha c)a Tin B (Agg6) l n m tS mKt ki&u tnh huPng th%c t

trong th' t% cc kin khng quan trLng trong kt nhp. iBu ny cng

39

hAp l trong mKt lp cc bi ton 'ng d(ng. Tuy nhin, t? mKt cch nhn

khc, mKt cu hsi ct ra l li>u ta c th& bs yu c,u ny khng? Cu trS li l

Ac v trong vi>c lRy quyt anh tp th& trong th%c tiHn nhiBu khi kin ,u

tin c Snh h"ng m nh n kt quS c)a php kt nhp, hocc ngAc l i, trong

cc tnh huPng khc kin vB cuPi l i c Snh h"ng m nh hn so vi cc

kin ,u. Pi vi cc lo i bi ton ny, chng ta c l thuyt cc php kt

nhp khng giao hon. Tuy nhin, trong gio trnh ny chng ta khng B cp

n lp cc php tnh ny.

By gi ta cho mKt sP v d( vB php kt nhp. Do tnh chRt rRt a d ng

c)a cc bi ton 'ng d(ng, vB nguyn tEc chng ta khng nhRt thit i hsi

mKt php kt nhp no phSi thsa mn cS 6 tin B trn.

1) Hm min v max: GiS si g(a1, a2) = Min {a1, a2} (hay g(a1, a2) =

a1 a2)

Do tnh kt hAp c)a php Min, ta c th& dH dng m" rKng hm ny thnh

php nngi:

g(a1, a2, , an) = Min {a1, a2, , an}.

Bn c nh hm Min, xt hm Max h(a1, a2) = Max {a1, a2} (hay h(a1,

a2) = a1 a2).

Tng t%, do tnh kt hAp c)a php Max, ta c th& dH dng m" rKng

hm ny thnh hm nngi:

h(a1, a2, , an) = Max {a1, a2, , an}.

DH dng ki&m tra hm Min v Max thsa tRt cS cc tin B t? (Agg1)

(Agg6).

2) Trung bnh c trng sZ:

WAvg(a1, a2, , an) = ini iaw 1 , vi wi 0 v 11 = ni iw .

Chng ta khSo st cc tnh thsa cc tin B c)a php kt nhp WAvg.

(a) R rng rJng php WAvg thsa cc tin B ly lng, lin t(c v n

i>u tng.

40

(b) By gi ta khSo st tnh thsa Tin B (Agg4) c)a n.

nh l 1.2. Cho php kt nhp c trLng sP wAvg, nu n c nPi sP ta sv k

hi>u n l WAvg(a1, a2, , an) = inini aw 1 , vi

niw 0 v 11 = ni

niw . Khi

, WAvg thsa Tin B (Agg4) nu v chd nu

+

+

=nj

nj

nin

i w

ww

1

1

1

, i = 1, , n (9*)

Ch'ng minh: Trc ht ta giS thit rJng php kt nhp Wavg thsa Ti>n B

(Agg4), ta c lng th'c WAvg(a1, a2, , an) = WAvg(a1, a2, , an, WAvg(a1,

, an)), hay

inini

nn

niini

ni

nnini

niini

ni awwwawwawaw )(1

11

1

1

111

1

1 ++

+

++

+

+=+=

T? lng th'c ny ta suy ra

+

+

++

+

=

=nj

nj

ni

nn

nin

i w

w

w

ww

1

1

1

11

1

1, ta thu Ac (9*).

NgAc l i, rRt dH dng ki&m ch'ng rJng nu cc trLng sP c)a php kt nhp

WAvg c mPi li>n h> (9*) th WAvg sv thsa Tin B (Agg4).

(c) C th& ki&m tra rJng WAvg khng c tnh chRt kt hAp, khng thsa

Tin B (Agg1).

(d) WAvg khng c tnh chRt giao hon, khng thsa Tin B (Agg6).

nh l 1.3. Nu tzn t i hai trong sP wi v wj c)a php kt nhp WAvg sao cho

wi wj, th php WAvg khng giao hon.

Ch'ng minh: Xt mKt bK gi tra (a1, a2, , an) sao cho ai = 1, cc gi tra khc

Bu bJng 0, (0, , 0, ai = 1, 0, ,0 ), v xt mKt php hon va hon va hai va tr vi chd sP i v j, cn cc va tr khc gi@ nguyn. Nu php WAvg c tnh

giao hon ta phSi c

WAvg(a1, a2, , an) = ini iaw 1 = wi = WAvg(a(1), a(2), , a(n)) = = )(1 ini iaw = wj.

iBu ny mu thun vi giS thit wi wj.

3) Php trung bnh cng sZ hc

41

Php kt nhp trung bnh cKng Ac k hi>u l Avg v Ac anh ngha

nh sau

Avg(a1, a2, , an) = ini an 11 .

Trong cuKc sPng hng ngy chng ta thng hay gcp v si d(ng php

kt nhp ny & t=ng hAp cc kin nh gi hay i&m nh gi theo cc thiu

chun khc nhau. Bay gi chng ta khSo st xem php kt nhp quen thuKc

ny sv thsa mn cc tin B no vB vi>c kt nhp.

(a) R rng l php Avg thsa cc tin B vB tnh ly lng, lin t(c, n

i>u tng.

(b) By gi ta xem xt tnh thsa c)a php Avg Pi vi Tin B (Agg4).

Ta tnh bi&u th'c

Avg(a1, a2, , an, Avg(a1, a2, , an)) = iniini anna

n +++ 111

1

1]

1

1[

= ini annn +++1 ))1(1

1

1( = ini an 1

1 = Avg(a1, a2, , an).

Bi&u th'c ny ch'ng ts rJng php kt nhp Avg thsa Tin B (Agg4).

(c) Tnh giao hon c)a php Avg c lin h> chct chv vi anh l 1.2. C(

th&, ta c anh l sau:

nh l 1.4.. Php kt nhp trung bnh c trLng sP WAvg c tnh giao hon th

n l php lRy trung bnh cKng sP hLc Avg.

Ch'ng minh: GiS si WAvg c tnh chRt giao hon, vi mLi php hon va va tr

cc h ng ti , ta c

WAvg(a1, a2, , an) = WAvg(a(1), a(2), , a(n)) (10*)

Xt bK gi tra (1, 0, , 0) v php hon va chd Pi vi hai va tr th nhRt v va tr th' i, cc va tr cn l i gi@ nguyn. Thay vo (10*) ta thu Ac

WAvg(a1, a2, , an) = w1 = wi = WAvg(a(1), a(2), , a(n)).

42

iBu ny ng vi mLi chd sP i = 1, , n. Do 11

= ni iw , ta suy ra wi = 1/n, vi mLi i.

4) Php trung bnh cng tmng qut ha

Php kt nhp trung bnh cKng t=ng qut ha Ac xc anh b"i cng

th'c sau

g(a1, a2, , an) = /1

1 ...

++

n

aa n

vi , tp sP th%c, v ai 0, i = 1, , n, khi < 0.

DH dng ki&m tra thRy rJng php kt nhp ny thsa cc tin B ly

lng, lin t(c, n i>u tng v giao hon. Tuy nhin, bJng vi>c ki&m ch'ng

vi cc bK gi tra (a1, a2, , an) c( th& ta c th& chd ra rJng, ni chung, n

khng thsa tnh chRt kt hAp v Tin B (Agg4).

Vi cc gi tra (, +) khc nhau n sv xc anh cc php kt nhp trung bnh cKng khc nhau.

Khi 0 th g xc anh php kt nhp trung bnh hnh hLc g0 = (a1 . a2 an)

1/n

Th%c vy, ta tnh gii h n :

naag n

ln)...ln(limlnlim 1

00

++=

.

p d(ng quy tEc lHospital chuy&n vB lRy gii h n theo thng c)a o hm

ta thu Ac

nnn

n

nn aaan

aa

aa

aaaag /121

1

1

11

00)....ln(

ln...ln

...

ln...lnlimlnlim =

++=

++

++=

.

l iBu ta c,n ch'ng minh.

g(a1, a2, , an) = Min {a1, a2, , an} v g+(a1, a2, , an) = Max

{a1, a2, , an}

43

Th%c vy, khi , vi amin = Min {a1, a2, , an} v lu rlng l sP m, ta c

na

a

a

aa

naag

n

n

ln)...ln(ln

limln)...ln(

limlnlim minmin

1min

1

++

+

=++

=

= ln amin

v ta thu Ac iBu c,n ch'ng minh.

i vi trng hAp g+ vi>c ch'ng minh hon ton tng t%.

Vi = 1, ta c g1(a1, a2, , an) = 111 ...

++ naa

n, ta c hm lRy

trung bnh iBu ha; vi = +1, ta c g+1(a1, a2, , an) = n

aa n++ ...1 , ta c

php trung bnh sP hLc.

5) Php trung bnh cng trng sZ theo thS tN (Php ton OWA)

Trong nhiBu cng trnh nghin c'u v 'ng d(ng, ngi ta thng si

d(ng php kt nhp Ac gLi l php ly trung bnh cng trng sZ theo (quan

h^) thS tN (ordered weighted averaging operations (OWA)) v k hi>u l g.

N Ac anh ngha nh sau. Cho mKt vect trong sP (w1, w2, , wn), wi (0,

1] v w1 + + wn = 1. Khc vi php trung bnh cKng c trLng sP, " y, Pi

vi m[i bK gi tra c)a Pi sP, (a1, a2, , an), trc ht n Ac sEp xp theo

quan h> th' t% giSm d,n, ta th%c hi>n mKt hon va (a(1), a(2), , a(n)) sao

cho a(i) l sP ln nhRt th' i trong cc gi tra c)a Pi sP cho. Ni khc i,

a(i) a(j), nu i < j. Khi ,

g = w1a(1) + w2a(2) + + wna(n)

V d(, cho vect trLng sP (0,3, 0,1, 0,2, 0,4) v bK gi tra (0,6, 0,9, 0,2,

0,6). SEp xp bK cc gi tra ny theo th' t% giSm, ta thu Ac 0,9, 0,6, 0,6, 0,2

v do , theo anh ngha trn,

gw(0,6, 0,9, 0,2, 0,6) = 0,3 0,9 + 0,1 0,6 + 0,2 0,6 + 0,4 0,2 = 0,53

44

DH dng ki&m ch'ng rJng php OWA thsa cc tin B ly lng, lin

t(c, n i>u tng v giao hon.

By gi ta khSo st mKt sP trng hAp cc bi>t:

Vi vect trLng sP wmin = (0, 0, , 0, 1) php OWA sv tr" thnh php

Min v vi wmax = (1, 0, , 0), php OWA sv tr" thnh php Max.

),...,( 1min nw aag = Min {a1, a2, , an} v ),...,( 1max nw aag = Max {a1,

a2, , an}

Vi vect trLng sP w = (1/n, , 1/n), r rng php OWA tr" thnh

php trung bnh sP hLc.

nh l 1.5. Vi mLi php kt nhp g thsa tin B ly lng v n i>u tng,

ta c

Min {a1, a2, , an} g(a1, a2, , an) Max {a1, a2, , an} (11*)

NgAc l i, nu hm g thsa cng th'c (11*) th n c tnh chRt ly lng.

Ch'ng minh: ct amin = Min {a1, a2, , an} v amax = Max {a1, a2, , an}.

Khi , p d(ng tnh ly lng v n i>u tng, ta thu Ac

amin = g(amin, , amin) g(a1, a2, , an) g(amax, , amax) = amax

NgAc l i, giS si g thsa cng th'c (11*). Khi ,

a = Min {a, a, , a} g(a, a, , a) Max {a, a, , a} = a, ngha l

g c thnh chRt ly lng.

By gi ta khSo st mKt sP tnh chRt hay c)a cc php kt nhp. Trc

ht, ta nhEc l i bi ton vB phng trnh hm Cauchy: Tm hL cc hm sP th%c

thsa mn phng trnh hm

f(x + y) = f(x) + f(y) (12*)

Cauchy nm 1821 ch'ng ts rJng nu vi giS thit f lin t(c, chd c

hL hm c d ng f(x) = cx, c , l nghi>m c)a bi ton (12*). Sau ngi

ta ch'ng minh rJng khlng anh ny vn cn ng vi mKt trong cc iBu ki>n

rng buKc sau:

f lin t(c t i mKt i&m no ;

45

f n i>u trn mKt khoSng no ;

f gii nKi trn mKt khoSng no .

Vi>c giSi bi ton ny trong trng hAp bin th%c kh ph'c t p. &

tham khSo, ta giSi bi ton trong trng hAp f l lin t(c.

Trc ht ta ch'ng minh khlng anh khi cc bin nhn cc gi tra trong

tp cc sP h@u t Q. Th%c vy, vi iBu ki>n (12*) ta sv ch'ng ts rJng:

f(0) = 0: ct y = 0, ta c f(x + 0) = f(x) + f(0) v do f(0) = 0.

f(x) = f(x): V, khi ct y = x, ta c f(x + (x)) = f(x) + f(x) = f(0)

= 0.

f(nx) = nf(x): V, f(nx) = f(x + x + + x). p d(ng h> th'c (12*) n 1

l,n ta thu Ac lng th'c c,n ch'ng minh.

)(1

xfnn

xf =

: ct y = nx ta thu Ac f(y) = nf(x) = nf(x) =

n

ynf ,

iBu c,n ch'ng minh.

T? hai khlng anh cuPi ta suy ra

)(xfn

m

n

xmf =

hay qxfxqf )()( = (12*)

Xem q l bin nhn gi tra h@u t, q Q, v x l mKt hJng Ac chLn l 1, ta

c : f(q) = cq, c = f(1) v q Q.

V Q tr mt trong tp cc sP th%c , f l lin t(c ta suy ra khlng anh ng

trn trng sP th%c .

nh l 1.6. GiS si hm g: [0, 1]n + thsa iBu ki>n bin (Agg2*), tnh n

i>u (Agg5) v tnh chRt sau:

g(a1 + b1, , an + bn) = g(a1, , an) + g(b1, , bn) (13*)

trong ai, bi [0, 1], i = 1, , n. Khi , ta c

g(a1, , an) = ini iaw 1 , vi wi > 0, i = 1, , n. Ngoi ra nu n thsa tnh ly lng (Agg2) th g l php trung bnh cKng c

trLng sP.

Ch'ng minh: Ta ct gi(ai) = g(0, ...,0, ai, 0, ..., 0). Khi , gi thsa h> th'c

(12*) v theo li giSi c)a bi ton phng trnh hm Cauchy vi rng buKc

46

tnh n i>u, n phSi c d ng gi(x) = wix, trong wi = gi(1) > 0. Do vy, t?

giS thit (13*), ta suy ra

g(a1, , an) = g(a1, 0, , 0) + g(0, a2, , an)

v p d(ng tip t(c nh vy ta thu Ac

g(a1, , an) = g(a1, 0, , 0) + g(0, a2, 0, , 0) + + g(0, ,

0, an)

= g1(a1) + g2(a2) + + gn(an) = ini iaw 1

Ngha l ta thu Ac iBu c,n ta ch'ng minh.

Nu g thsa thm tnh chRt ly lng, ta c

a = g(a, , a) = a ni iw1 , hay ni iw1 = 1 iBu ny ch'ng ts g l php trung bnh cKng c trLng sP.

1.4. Quan h m

1.4.1. Khi nim quan h m

nh ngha 1.7. Cho l tch cc c)a n miBn c s" i, i = 1, , n. Khi

, m[i mKt tp m trn Ac gLi l mKt quan h> m nngi v Ac k

hi>u l R, gLi l tn c)a quan h> , v n Ac bi&u tha bJng cng th'c sau:

R = nUU nn uuuu... 111 ),...,/(),...,( trong (u1, , un) l hm thuKc c)a tp m R.

K thuKc (u1, , un) c ngha cc Pi tAng u1, , un tng 'ng c)a cc miBn c s" 1, , n, c quan h> R vi nhau vi K tin cy hay K ph

hAp chnh l (u1, , un). Trong trng hAp R l quan h> ri r c th n c th& bi&u tha bJng mKt

bSng vi tn hng l tn cc ph,n ti trong , cn tn cKt l tn cc ph,n ti

trong . Trong trng hAp ny ta cn ni R Ac bi&u diHn bJng ma trn.

V d(, xt hai miBn c s" = = {1, 2, 3, 4}. Quan h> m ln hn rRt

nhiBu gi@a cc ph,n ti c)a sv Ac bi&u tha bJng bSng sau:

47

BSng 1.6: Quan h> m

L4n hn rt nhiu

R 1 2 3 4

1 0,0 0,0 0,0 0,0

2 0,3 0,0 0,0 0,0

3 0,8 0,0 0,0 0,0

4 1,0 0,8 0,3 0,0

M[i mKt gi tra K thuKc trong bSng ny, chlng h n gi tra 0,8 t i hng

3 cKt 1, c ngha ccp gi tra (3, 1) thsa quan h> Ln hn rRt nhiBu vi K

ph hAp l 0,8, hay gi tra 3 l4n hn rt nhiu gi tra 1 vi K ph hAp (vi

quan h> l4n hn rt nhiu) l 0,8.

Ta xt mKt v d( khc vi = = , tp tRt cS cc sP th%c. Trn tp sP

th%c ny ta c khi ni>m tr%c quan vB s% gqn nhau gi@a cc sP th%c. Quan h>

m gqn v4i, k hi>u l Rgqn, c th& bi&u tha bJng cng th'c sau:

Rgqn = ),/(||

vueVU

a

vu

.

1.4.2. Quan h m v tri th'c dHng lut n8uOth

MKt d ng bi&u diHn tri th'c quan trLng trong tr tu> nhn t o l tri th'c

Ac pht bi&u di d ng m>nh B nuth nh sau:

Nu cng K dng i>n I l l4n, th vng quay m t i>n N l nh{

(14*).

M>nh B (14*) bi&u tha mPi quan h> m gi@a i lAng cng K

dng i>n v i lAng sP vng quay c)a m t i>n. Theo ngha , phSi c

khS nng bi&u diHn (14*) bJng mKt quan h> theo anh ngha 1.7. t"ng c)a

phng php chuy&n mKt m>nh B ngn ngR nh trn thnh mKt quan h> m

Ac th%c hi>n nh sau:

GiS si miBn c s" c)a bin ngn ng@ I l = [0, 10] theo n va

Ampe v miBn c s" c)a bin ngn ng@ N l = [400, 2000] theo n va

vng/pht. Khi ni>m m l4n c)a I Ac bi&u tha qua tp m vi hm thuKc

Il4n: [0, 10] [0, 1], khi ni>m nh{ c)a N Ac bi&u tha bJng tp m vi

hm thuKc Nnh{: [400, 2000] [0, 1]. Khi , mKt t"ng tr%c quan bi&u

48

diHn theo t?ng i&m (u, v) (pointwise) mang tnh anh lAng c)a m>nh B

(14*) l:

Nu I := Il4n(u) th N := Nnh{(v) Hay, mKt cch hnh th'c hn, ta c th& vit

I := Il4n(u) N := Nnh{(v) (15*)

Cng th'c (15*) cho php ta nhn nhn r rng hn mPi quan h> gi@ 2

ph,n ti u v v . VRn B cn l i l t? (15*) ta c th& tnh gi tra K

thuKc c)a ccp ph,n ti (u, v). V hai gi tra Il4n(u), Nnh{(v) [0, 1] cng phSn Snh tnh ng En c)a lng th'c u = l4n v v = nh{, ta c th& xem chng

nh gi tra chn l c)a mKt lgic a tra trn o n [0, 1]. Do ng@ ngha c)a

(15*) c th& bi&u tha bJng

Il4n(u) *

Nnh{(v) (16*)

trong *

l mKt php ko theo lgic no c)a lgic a tra v do gi tra

Il4n(u) *

Nnh{(v) [0, 1].

MKt vi v d( c)a php ko theo *

thng Ac si d(ng nh:

Ko theo nha phn (binary): s b

t = (1 s) t

Ko theo chun (Standar): s S

t = 1 nu s t

= 0 nu s > t

Ko theo Goedel: s g

t = 1 nu s t

= t nu s > t

Ko theo Madami: s m

t = s . t (trong . l tch sP

hLc) .

Ko theo Lukasiewicz s L

t = 1 (1 s + t)

1.4.3. Cc php tnh trn quan h

V quan h> cng l tp m nn cc php tnh trn tp m Ac trnh by

trong M(c 1.3 cng l cc php tnh trn quan h>. Tuy nhin, trn quan h> c

nh@ng php tnh cc th ring m trn tp m ni chung khng c, chlng h n

php tnh hAp thnh di y:

49

nh ngha 1.8. GiS si R l quan h> m trn v S l quan h> m trn

. Khi , php hAp thnh c)a hai quan h> ny l mKt quan h> trn ,

Ac k hi>u l RS v Ac anh ngha nh sau:

R o S = ),/()],(),([ wuwvvu SRVv (17*) trong c th& l mKt php tnh 2ngi trong [0,1] c tnh giao hon, kt

hAp v phn phPi Pi vi php max . Nu l php min , th ta c php hAp

thnh maxmin, nu l php nhn sP hLc . ta c php hAp thnh max

product.

Pi ngu vi php hAp thnh (17*) l

R o S = ),/()],(*),([ wuwvvu SRVv (18*) trong * l mKt php tnh Pi ngu vi . Vi * l max ta c php hAp thnh

minmax Pi ngRu vi php hAp thnh maxmin, vi * l ta c php hAp

thnh minsum Pi ngu vi php hAp thnh maxproduct.

Nu R v S l cc tp m ri r c, t'c , v l h@u h n, chlng h n

= {u1, , um}, = {v1, , vp} v = {w1, , wn}. Khi , hm thuKc c)a

tp m (18*) t i ccp ph,n ti (ui,wj) c d ng

RoS(ui,wj) = )],(),([1 jkSkiRpk wvvu = (19*)

Quan st cng th'c (19*) c th& nhn thRy s% zng d ng c)a n vi

bi&u th'c tnh ph,n ti (i,j) c)a tch hai ma trn, vi t=ng " y Ac hi&u l

php max , tch Ac hi&u l php tnh . Ngha l, & tnh gi tra RoS(ui,wj),

ta lRy cc ph,n ti c)a hng th' i c)a bSng R nhn bJng php vi cc ph,n ti

tng 'ng c)a cKt th' j c)a bSng S; lRy t=ng bJng php max cc kt qua thu

Ac.

nh l 1.7. Php hAp thnh Ac anh ngha nh trong anh ngha 1.8 c

tnh chRt kt hAp, ngha l, cho cc quan h> m R trn khng gian , S trn

khng gian v Q trn khng gian , chng ta c lng th'c sau:

(R o S) o Q = R o (S o Q) = R o S o Q (20*)

V d 1.15. Xt mKt qu trnh xi l thng tin nh trong hnh (1) c)a Hnh 1.9.

R v S l cc quan h> m bi&u diHn cc tri th'c, chlng h n, di d ng mKt tp

50

lut ifthen. Ngoi ra, giS si R v S l cc quan h> m vi giS thit ri r c nh

Ac xt " trn. l vect hng mchiBu Ac xem nh l d@ li>u ,u vo,

l vect hng pchiBu Ac xem nh kt quS xi l trung gian, cn = (g1, , gn) l vect output nchiBu bi&u tha vect ,u ra. y chng ta giS thit rJng

qu trnh xi l thng tin tng tc gi@a cc

qu trnh th%c t Ac m phsng bJng cc

php hAp thnh. Ngha l, d@ li>u ,u ra

Ac tnh theo cc cng th'c sau:

= o R, = o S (21*)

Vi tnh chRt c)a cc php tnh nu trong anh ngha 1.8, trong Hnh

1.9 qu trnh (1) l tng tng vi qu trnh (2).

Th%c vy, giS si hm thuKc c)a R l R(ui, vk), hm thuKc c)a S l

S(vk, wj) v = (a1, , am). Khi , do tnh chRt kt hAp, ta l,n lAt tnh theo cng th'c (21*) nh sau:

o R = ( )],([ 11 vva iRimi = , , )],([1 piRimi vva = )

v thnh phn th' j c)a vect = o S sv l:

gj = )},()],([{ 11 jlRliRimi

pl wvvua ==

Theo tnh phn phPi c)a php tnh Pi vi php max, v do tnh giao

hon v kt hAp c)a php max, chng ta c

gj = )],(),([11 jlRliRimi

pl wvvua == = )],(),([11 jlRliRi

pl

mi wvvua ==

= )]},(),([{ 11 jlRliRpli

mi wvvua ==

C th& nhn thRy bi&u th'c )],(),([1 jlRliRpl wvvu = chnh l ph,n ti cij c)a ma

trn R o S, v do

= o (R o S) (22*)

Nh vy, s% tng ng c)a cc cng th'c (21*) v (22*) em l i cho

ta ngha th%c tiHn c)a php hAp thnh.

R S

(1)

(2) R o S

Hnh 1.9

51

1.4.4. Quan h m 2Ongi

MKt lp cc quan h> m quan trLng l quan h> m 2ngi, chlng h n

quan h> b n thn, b n hng g,n gi, hLc gisi hn, ...

Quan h> 2ngi R trn , hay gLi l quan h> trn khng gian , c

nh@ng tnh chRt cc bi>t m cc quan h> khc khng c. Trong nh@ng quan h>

ny c quan h> n va E Ac anh ngha b"i hm thuKc sau:

E(u, u) = 1, vi u v R(u, v) = 0, vi u, v , u v.

nh ngha 1.9. Cho R l quan h> m 2ngi trn . Khi ta ni R l:

PhYn xT : nu v chd nu R(u, u) = 1, vi u hay E R;

PhYn phYn xT : nu v chd nu R(u, u) = 0, vi u ;

Zi xSng : nu v chd nu R(u, v) = R(v, u), vi u, v ;

B(c cqu : nu v chd nu R(u, v) R(u, w) R(w, v), u,

v, w ;

*B(c cqu Zi ngu: nu v chd nu R(u, v) R(u, w) * R(w, v), u, v, w

, trong * l php tnh Pi ngu Pi vi .

MKt quan h> m c cS 3 tnh chRt phSn x , Pi x'ng v bEc c,u Ac

gLi l quan h tng t6 (similarity) hay quan h tng ng m.

MKt quan h> m c 3 tnh chRt phSn phSn x , Pi x'ng, *bEc c,u Pi

ngu Ac gLi l quan h tng t6 +i ng`u.

V d( quan h> b n thn, quan h> ln hn rRt nhiBu l nh@ng quan

h> tng ng m v chng Bu l cc quan h> phSn x , Pi x'ng v bEc c,u.

Trong th%c t chng ta dH dng xy d%ng Ac quan h> m phSn x v

Pi x'ng, nhng kh c th& c ngay tnh chRt bEc c,u. Quan h> m R c 2

tnh chRt phSn x v Pi x'ng Ac gLi l quan h> giPng nhau (resemblance)

hay quan h> g,n gi (proximity). & c Ac tnh bEc c,u c)a quan h> m R

ta th%c hi>n php lRy bEc c,u, k hi>u l R^ Ac anh ngha l n l quan

h> bEc c,u nhs nhRt ch'a R, ngha l

R^ = }&:{ SRtransitiveisSS .

52

Ta si d(ng k hi>u nh sau: R2 = R o R; Rk+1 = Rk o R, vi k = 1, 2,

nh l 1.8. GiS si R l quan h> g,n gi. Khi , ta c

(i) R^ = R R2 Rk =

=1k

kR

(ii) Nu h@u h n v c n ph,n ti, th ta c R^ = n

k

kR1=

(iii) Nu l, Rl = Rl+1, th ta c R^ = l

k

kR1=

(iv) R l tng t% nu R2 R v khi R^ = R.

V d 1.16. & m tS s? g,n gi gi@a cc gi tra m tS m,u mEt c)a con ngi

ta c th& xy d%ng mKt quan h> m g,n gi nh sau. GiS si = {en, nu,

xanh, xanh hi sm, nu en, en nu, xanh nhTt}. C nhiBu bi ton th%c t

i hsi so snh, tm kim v chng ta c th& giSi quyt bi ton ny d%a trn

vi>c xy d%ng quan h> tng t%, v trc ht xy d%ng quan h> g,n gi.

Chlng h n quan h> sau:

BSng 1.7. Quan h> gi@a cc mu

R en nu en en nu nu xanh xanh hi sm xanh nhTt

en 1,0 0,7 0,85 0,6 0,0 0,3 0,0

nu en 0,7 1,0 0,92 0,86 0,0 0,4 0,0

en nu 0,85 0,92 1,0 0,82 0,0 0,2 0,0

nu 0,6 0,86 0,82 1,0 0,0 0,25 0,0

xanh 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,9 0,84

xanh hi sm 0,3 0,4 0,2 0,25 0,9 1,0 0,65

xanh nhTt 0,0 0,0 0,0 0,0 0,84 0,65 1,0

DH dng ki&m ch'ng n l quan h> g,n gi: n l phSn x v n zng nhRt

bJng 1 trn ng cho chnh; n l Pi x'ng v cc gi tra Pi x'ng qua

ng cho chnh.

1.5. Hi s+ cc tp m

L thuyt tp m l c s" ton hLc cho vi>c pht tri&n cc phng php

m phsng lp lun c)a con ngi. VB nguyn tEc, vRn B t duy, lp lun c)a

53

con ngi l vRn B c%c k ph'c t p v do khng th& si d(ng mKt cRu trc

ton hLc duy nhRt & m phng. V vy, m(c tiu c)a chng ta l cng xy

d%ng Ac nhiBu cRu trc i sP cc tp m th cng tPt & chng ta c th&

linh ho t trong tip cn cc vRn B 'ng d(ng.

1.5.1. TOnorm v tOconorm

Trong anh ngha cc php tnh hAp v giao trn tp m trong M(c 1.3,

chng ta si d(ng hai ccp php tnh 2ngi trn [0;1] l ccp min () v max

() v ccp php tnh tch i sP a.b (.) v t=ng i sP () a b = a + b a.b.

DH dng ki&m ch'ng chng l nh@ng ccp Pi ngu De Morgan. By gi chng

ta sv a ra mKt hL cc ccp Pi ngu tnorm v tconorm.

nh ngha 1.10. MKt hm 2bin T : [0;1] [0;1] [0;1] Ac gLi l php t

norm nu n thsa cc tnh chRt sau vi a, a, b, c [0;1]:

(T1) Tnh chRt iBu ki>n bin : T(a, 1) = a

(T2) Tnh chRt giao hon : T(a, b) = T(b, a)

(T3) Tnh chRt n i>u : a a T(a, b) T(a, b)

(T4) Tnh chRt kt hAp : T(T(a, b), c) = T(a, T(b, c))

Chng ta dH dng ki&m ch'ng rJng php min () v php tch i sP (.) l cc

php tnorm v chng Ac k hi>u tng 'ng l Tm v Tp. Php tnorm Tm

() Ac gLi l php giao m. chu2n (fuzzy standard intersection).

MKt tnh chRt kh hay c)a php ton hai ngi T no l tnh ly lng

(idempotency) ni rJng T(a, a) = a, vi a [0;1]. Tuy nhin, sau y chng

ta chd ra mKt tnh chRt Kc tn c)a php giao tiu chun.

nh l 1.9. Php giao tiu chun l php tnorm duy nhRt c tnh chRt ly

lng.

Ch'ng minh: TRt nhin ta thRy Tm c tnh chRt ly lng, min{a, a} = a, vi

a [0;1]. By gi ta xt bRt k php tnorm no m T(a, a) = a, vi a

[0;1]. Khi , vi a, b [0;1] v khng mRt tnh t=ng qut ta giS si a b,

theo tnh chRt n i>u v tnh chRt vB iBu ki>n bin ta c

a = T(a, a) T(a, b) T(a, 1) = a, Do vy, T(a, b) = a =

min{a, b}.

54

anh l ny giSi thch l do t i sao chng ta khng xem tnh chRt ny l

tin B c)a php tnorm.

MKt sP tnh chRt quan trLng c)a php tnorm m chng ta c,n i hsi

c,n phSi c trong nhiBu 'ng d(ng, khi c,n thit cng c th& Ac coi l cc

tin B, Ac pht bi&u sau y.

(T5) T l hm hai bin lin t(c (Tnh lin t(c);

(T6) T(a, a) < a (Tnh ly lng di (subidempotency));

(T7) a < a v b < b T(a, a) < T(b, b) (Tnh n i>u chct).

V d( vB nh@ng php tnorm hay Ac si d(ng l cc php sau:

Php giao m. tiu chu2n: Tm(a, b) = min{a, b};

Php tch Ti sZ: a.b;

Php hi^u gi4i ni: T(a, b) = max{0, a + b 1};

Php giao ch\t1: T(a, b) =

=

=

1&10

1

1

bakhi

akhib

bkhia

Ngoi ra, cc php tnh sau cng l tnorm:

TL(a, b) = max {0, a + b 1}

T*(a, b) =

=

=

1&1 nu 0

1 nu

1 nu

ba

ab

ba

Chng ta c cc bRt lng th'c sau:

T* TL Tp Tm (23*)

v, vi mLi Tnorm T:

T* T Tm (24*)

MKt php tnh Pi ngu vi php tnorm Ac gLi l php tconorm v Ac

anh ngha nh sau,

1 Php giao chct ting Anh l drastic intersection. Nu dach theo ngha en th gLi l php giao mTnh. Chng ti cho rJng ch@ chct trong ting Vi>t trong ng@ cSnh ny c ngha ph hAp hn.

55

nh ngha 1.11. MKt hm 2bin S : [0;1] [0;1] [0;1] Ac gLi l php t

conorm, hay cn gLi l Snorm, nu n thsa cc tnh chRt sau vi a, a, b, c

[0;1]:

(S1) Tnh chRt gii nKi : S(a, 0) = a

(S2) Tnh chRt giao hon: S(a, b) = S(b, a)

(S3) Tnh chRt n i>u: a a S(a, b) S(a, b)

(S4) Tnh chRt kt hAp: S(S(a, b), c) = S(a, S(b, c))

Nh vy, chd c tnh chRt (T1) v (S1) lm nn s% khc bi>t gi@a hai hL

php tnh Tnorm v Snorm.

Di y l mKt vi Snorm:

Sm(a, b) = max{a, b}

SL(a, b) = min{1, a + b}

Sp(a, b) = a + b a.b

S*(a, b) = a nu b = 0

= b nu a = 0

= 1 nu a 0 & b 0.

VB mct ngha lgic, php Tnorm Ac si d(ng & m" rKng ng@ ngha c)a

php lgic AND, cn php Snorm & m" rKng ng@ ngha c)a php OR.

By gi chng ta m" rKng ng@ ngha c)a php ph) anh (negation). Gi tra

chn l trong o n [0, 1] chng ta si d(ng php 1 & m ta ng@ ngha

php ph) anh. Di y, chng ta sv a ra mKt hL php ph) anh nh sau:

nh ngha 1.12. Hm N : [0;1] [0;1] Ac gLi l php ph) anh nu n c

cc tnh chRt sau, vi mLi a, a [0;1]:

(N1) Tnh n i>u giSm : a a N(a) N(a)

(N2) Tnh ly lng : N(N(a)) = a

C th& suy ra rJng hm N trong anh ngha trn phSi l nh x 11.

nh ngha 1.13. Ba php tnh Tnorm T, Snorm S v php ph) anh N Ac

gLi l mKt h> Pi ngu (T, S, N) nu chng thsa Bu ki>n sau:

N(S(a, b)) = T(N(a), N(b)) (25*)

Chng ta c th& ki&m ch'ng cc h> sau l h> Pi ngu:

(, , 1), (, , 1), (TL, SL, 1) v (T*, S*, 1)

56

1.5.2. Hi s+ cc tp m

nh ngha 1.14. Cho mKt h> Pi ngu bRt k ? = (T, S, N) v khng gian c

s" . GLi () hL tRt cS cc tp m trn . i sP cc tp m trn () d%a

trn h> Pi ngu ? l mKt cRu trc A? = ((), ?, ?, ?) vi cc php tnh

Ac anh ngha nh sau:

Php giao ?: A ? B = ),/()(),(( ~~ vuvuT BU A

Php hAp ?: A ? B = ),/())(),(( ~~ vuvuS BU A

Php b ?: ? A = uuNU A

/))(( ~ i sP cc tp m A? c cc tnh chRt sau:

1) Cc php tnh ? v ? c tnh giao hon v kt hAp. Chlng h n chng ta

ch'ng ts chng c tnh kt hAp. Nh rJng php Snorm S c tnh chRt kt hAp.

(A ? B) ? C = uuuuSS CBU A/))()),(),((( ~~~

= uuuSuS CBU A/)))(),((),(( ~~~

= A ? (B ? C)

Tng t%, chng ta c th& ki&m ch'ng cc khlng anh cn l i pht bi&u

" trn.

2) Nu php tnh Tnorm T c tnh ly lng, T(a, a) = a vi a , th

php giao cng c tnh ly lng

A ? A = A, vi A (, [0;1]).

Tng t%, nu php Snorm S l ly lng, S(a, a) = a vi a , th php

hAp cng c tnh ly lng

A ? A = A, vi A (, [0;1]).

Th%c vy, ta ki&m ch'ng cho php giao:

A ? A = uuuT AU A/))(),(( ~~ = uuU A /)(~ = A

Cng ki&m ch'ng tng t% nh vy chng ta c tnh chRt sau:

57

3) Nu cc php T v S phn phPi ln nhau th cc php ? v ? cng phn

phPi ln nhau

(A ? B) ? C = (A ? C) ? (A ? C) v

(A ? B) ? C = (A ? C) ? (A ? C)

4) A ? = v A ? = A v

A ? = A v A ? =

5) Tnh chRt Pi ngu De Morgan:

? (A ? B) = (? A) ? (? B) v

? (A ? B) = (? A) ? (? B)

6) Tnh chRt ly lng: ? (? A) = A

7) Nhn chung, chng ta c tnh chRt sau m n rRt khc bi>t vi tp m kinh

i&n:

A ? (? A) ; A ? (? A)

1.5.3. Quan h gi9a Hi s+ tp m v Hi s+ cc tp kinh iWn

Trong M(c 1.1 chng ta bit rJng nh x h : A~ () { ~A P(): 0

1} thit lp mKt song nh t? tp tRt cS cc tp m () vo tp tRt cS cc tp

kinh i&n P(). iBu ny gAi mKt hy vLng c mKt mPi lin h> chct chv v

p v gi@a khi ni>m tp m v khi ni>m tp kinh i&n.

nh l 1.10. Cho ~iA () vi i , l tp chd sP no . Khi ,

(i) ( )

Ii iIi i AA ~~ v ( )

Ii iIi i AA =

~~

(ii) ( )+

+ =

Ii iIi i AA~~ v ( )

++

Ii iIi i AA

~~

Ch'ng minh: (i) Trc ht ta ch'ng minh lng th'c trong (i). Ta thRy, u

Ii iA~ nu v chd nu vi i , u

~iA hay )(

~ uAi . iBu ny tng

ng vi khlng anh

Infi )(~ uAi . (26*)

58

Theo anh nga php giao cc tp m, (26*) tng ng vi s% ki>n u

( ) Ii iA

~ . Nh vy, lng th'c trong (i) Ac ch'ng minh.

(ii) Ac ch'ng minh mKt cch tng t%.

Ta c th& ch'ng ts lng th'c khng th& xSy ra i vi cc bao hm

th'c trong anh l trn. Chlng h n, Pi vi bao hm th'c trong (i), ta xt v d(

sau.

GiS si cc tp m ~iA c hm thuKc cho b"i )(~ uAi = 1 1/i, vi mLi u

v i . Khi ,

( ) )(~ uAIi i = Sup i )(

~ uAi = Sup i (1 1/i) = 1

Do , ( ) = 1

~ Ii iA .

Mct khc, vi mLi i v mLi u , ta c )(~ uAi = 1 1/i < 1 v do ,

=~1iA , vi mLi i

Vy ta suy ra,

= Ii iA

~1 = ( )

1

~ Ii iA .

nh l 1.11. Xt A~, B~ (). Khi , ta c

(i) A~ B~ nu v chd nu ~~ BA , vi bRt k [0;1];

v A~ B~ nu v chd nu ~~ ++ BA , vi bRt k [0;1].

(ii) A~ = B~ nu v chd nu ~~ BA = , vi bRt k [0;1];

v A~ = B~ nu v chd nu ~~ ++ = BA , vi bRt k [0;1].

Ch'ng minh: & ch'ng minh (i), giS si A~ B~, A~(u) B~(u), vi u .

iBu ny ko theo khlng anh ~~ BA , vi bRt k [0;1]. NgAc l i, giS

si phSn ch'ng l ~~ BA , vi bRt k [0;1] nhng A~ B~. Vy, phSi c

u0 sao cho A~(u0) > B

~(u0). LRy sao cho A~(u) > > B~(u). Vi nh

vy, ta c u0 ~A nhng u0

~B , ngha l

~~ BA , m iBu nu mu thun

vi giS thit l ~~ BA , vi bRt k [0;1].

59

MKt cch hon ton tng t%, chng ta dH dng ch'ng minh nh@ng

khlng anh cn l i c)a anh l. nh l 1.12. Cho A~ (). Khi , vi mLi [0;1], ta c

(i) < +< ==~~~ AAA ;

(ii) < + 0 ) nhs, ta c < + < v r

rng, ~~~~ AAAA ++ . Cc bao hm th'c ny ko theo h> th'c sau

< +< ~~~ AAA .

GiS si u < +~A nhng u ~A . Khi , ta c A

~(u) < v vi ) nhs,

ta cng c A~(u) < < < . Vy, u ~ A v do u ~+A . Suy ra, u

< +~A mu thun vi giS thit. iBu ny ch'ng ts lng th'c (i) phSi xSy

ra.

BJng phg php tng t%, chng ta c th& ch'ng minh (ii). nh l 1.13 (nh l phn tch th' nhBt). Vi m[i A~ () ta c cng

th'c bi&u diHn tp m qua cc tp m'c sau

A~ = ]1,0[~

A (27*)

trong l sP v hng, ~A l tp m c d ng tch c)a sP v hng v tp

kinh i&n v php hAp v h n " v phSi c)a (27*) l php hAp cc tp m.

Ch'ng minh: & ch'ng minh lng th'c gi@a hai tp m trong (27*) ta sv

ch'ng ts rJng hai hm thuKc c)a chng zng nhRt bJng nhau trn . Tht vy,

xt mKt ph,n ti u bRt k v ct = A~(u). Theo anh ngha, ta c lng th'c sau

)(]1,0[

~ uA

= Sup [0,1] )(~ uA

= max {Sup[0,] )(~ uA , Sup (,1] )(

~ uA }. (1)

Vi [0;], A~(u) = hay u ~A v do )(~ uA = . Vi Vi

(;1], ta c A~(u) = < v do vy u ~A v )(~ uA = 0. T? (1) ta suy ra

60

)(]1,0[

~ uA

= Sup[0,] )(~ uA = Sup[0,] = = A~(u).

Vy lng th'c (27*) Ac ch'ng minh.

BJng cch ch'ng minh tng t% ta thu Ac anh l sau

nh l 1.14 (nh l phn tch th' hai). Vi m[i A~ () ta c cng th'c

bi&u diHn tp m qua cc tp m'c sau

A~ = ]1,0[~

+ A (28*)

trong l sP v hng v ~+A l tp m c d ng tch c)a sP v hng v

tp kinh i&n.