Chuyen de Dinh ly Ta let.pdf

Chuyªn ®Ò : §Þnh lý Ta lÐt vµ çc bµi to¸n vÒ ®o¹n th¼ng tû lÖ

Lª V¨n Chung – Trêng THCS Lª V¨n ThÞnh , huyÖn Gia B×nh 1

Chuyªn ®Ò båi dìng häc sinh giái

Tªn chuyªn ®Ò : §Þnh lý thalÌs & çc bµi to¸n

vÒ ®o¹n th¼ng tû lÖ

A/ C¬ së lý thuyÕt – çc kiÕn thøc c¬ b¶n häc sinh cÇn ph¶i biÕt :

PhÇn 1

çc kh¸i niÖm c¬ b¶n liªn quan ®Õn §o¹n th¼ng tû lÖ

1.1 . Tû sè cña hai ®o¹n th¼ng

Tû sè cña hai ®o¹n th¼ng lµ tû sè ®é dµi cña chóng theo cïng mét ®¬n vÞ ®o Nh thêng lÖ , nÕu kh«ng g©y ra sù nhÇm lÉn , ta dïng cïng mét ký hiÖu AB ®Ó chØ ®o¹n th¼ng AB vµ ®é dµi cña ®o¹n th¼ng ®ã .

Ký hiÖu tû sè cña hai ®o¹n th¼ng AB vµ CD lµ CD

AB . Trong ký hiÖu

CD

AB nµy , AB

vµ CD chØ cã nghÜa lµ ®é dµi cña çc ®o¹n th¼ng AB vµ CD .

Chó ý : Tû sè cña hai ®o¹n th¼ng kh«ng phô thuéc vµo ®¬n vÞ ®o .

1.2 . Tû lÖ thøc

Tû lÖ thøc lµ ®¼ng thøc cña hai tû sè .

NÕu AB , CD , EF , GH lµ bèn ®o¹n th¼ng mµ CD

AB=

GH

EF th× ®¼ng thøc ®ã lµ mét tû

lÖ thøc cña çc ®o¹n th¼ng .

1.3 Çc tÝnh chÊt cña tû lÖ thøc

NÕu CD

AB=

GH

EF th×

1) AB . GH = CD . EF

2) EF

AB=

GH

CD

3) CD

CDAB=

GH

GHEF

4) CD

AB=

GH

EF=

GHCD

EFAB

5) CD

AB=

GH

EF=

GHCD

EFAB

( NÕu CD kh¸c GH )

1.3 .Trung b×nh nh©n

§o¹n th¼ng AB ®îc gäi lµ trung b×nh nh©n cña hai ®o¹n th¼ng CD & EF nÕu

CD

AB= EFCDhayAB

AB

EF.2

VD . NÕu h×nh vu«ng ABCD vµ h×nh ch÷ nhËt E FGH cã diÖn tÝch b»ng nhau th× ®o¹n th¼ng AB lµ trung b×nh nh©n cña hai ®o¹n th¼ng E F & FG

1.4 .Trung b×nh ®iÒu hoµ

§o¹n th¼ng AB ®îc gäi lµ trung b×nh ®iÒu hoµ cña hai ®o¹n th¼ng CD vµ E F nÕu

EFCDAB

112



VD : C¹nh nhá nhÊt cña tam gi¸c Ai CËp lµ trung b×nh ®iÒu hoµ cña c¹nh gãc

vu«ng cßn l¹i vµ chiÒu cao thuéc c¹nh huyÒn . Tam gi¸c Ai CËp lµ tam gi¸c vu«ng cã ®é dµi ba c¹nh lµ 3 , 4 , 5 . NÕu ®Æt AB = 3

AC = 4 th× BC = 5 vµ chiÒu cao thuéc c¹nh huyÒn lµ AH = BC

ACAB. . Do ®ã

ABABAC

BCAB

ABACAB

BCAB

ACAB

BC

ACAHAC

2

4

43.

1.

1

..

111

(§pcm)

1.5 . §o¹n th¼ng tû lÖ :

Hai ®o¹n th¼ng AB & CD ®îc gäi lµ tû lÖ víi hai ®o¹n th¼ng A/B/ vµ C/D/ nÕu cã

tû lÖ thøc : //

//

DC

BA

CD

AB .

Chó ý : Hai ®o¹n th¼ng AB & CD tû lÖ víi hai ®o¹n th¼ng A/B/ & C/D/ khi vµ chØ

khi AB.C/ D/ = A/B/ .CD . Do ®ã , nÕu hai ®o¹n th¼ng AB & CD tû lÖ víi hai ®o¹n th¼ng A/B/ vµ C/D/ th× ta còng cã çc cÆp ®o¹n th¼ng sau ®©y còng tû lÖ víi nhau :

- CD & AB tû lÖ víi C/D/ & A/B/ - AB & A/B/ tû lÖ víi CD & C/D/ - C/D/ & CD tû lÖ víi A/B/ & AB - A/B/ & C/D/ tû lÖ víi AB & CD - C/D/ & A/B/ tû lÖ víi CD & AB

VD : NÕu AD , BE lµ hai trung tuyÕn vµ G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC th×

V× BE

BG

AD

AG

3

2 nªn hai ®o¹n th¼ng AG & AD tû lÖ víi hai ®o¹n th¼ng BG & BE

Hai ®o¹n th¼ng AG & BG còng tû lÖ víi hai ®o¹n th¼ng AD vµ BE .

1.5 . §iÓm chia ®o¹n th¼ng

- §iÓm C chia trong ®o¹n th¼ng AB theo tû sè k > 0 khi vµ chØ khi C thuéc

®o¹n th¼ng AB vµ kCB

CA .

- §iÓm D chia ngoµi ®o¹n th¼ng AB theo tû sè k ( 0 < k ≠ 1 ) khi vµ chØ khi D

thuéc ®êng th¼ng AB nhng kh«ng thuéc ®o¹n th¼ng AB vµ kDB

DA

VD : Träng t©m G cña tam gi¸c ABC chia trong trung tuyÕn AD theo tû sè k = 2

v× 2GD

GA . Trung ®iÓm D cña c¹nh BC chia ngoµi ®o¹n th¼ng AG theo tû sè 3

v× 3DG

DA .



PhÇn 2 : §Þnh lý thaleS

2.1 §Þnh lý Thale\s thuËn

Ba ®êng th¼ng song song ®Þnh ra trªn hai çt tuyÕn bÊt kú nh÷ng ®o¹n th¼ng t¬ng øng tû lÖ . d d/ a A A/ Gi¶ sö ®êng th¼ng d c¾t ba ®êng th¼ng Song song a , b , c t¹i çc ®iÓm t¬ng øng A , B , C vµ ®êng th¼ng d/ b B B/ c¾t ba ®êng th¼ng a, b , c t¹i ba ®iÓm A/ , B/ , C/ . Khi ®ã ta cã :

//

//

CB

BA

BC

AB c C C/

2.2 §Þnh lý Thales ®¶o

Cho hai ®êng th¼ng song song a vµ b ®Þnh ra trªn hai çt tuyÕn d & d/ çc ®o¹n th¼ng t¬ng øng AB vµ A/B/ .NÕu mét ®êng th¼ng c c¾t d vµ d/ t¹i hai ®iÓm t¬ng øng C (kh«ng trïng víi A ) vµ C/ ë cïng phÝa ®èi víi ®êng th¼ng b mµ ta cã çc

®o¹n th¼ng t¬ng øng tû lÖ //

//

CB

BA

BC

AB Th× ®êng th¼ng c song song víi a & b

2.3 §Þnh lý Thales trong tam gi¸c :

2.3 .1 §Þnh lý ThuËn

NÕu mét ®êng th¼ng song song víi mét c¹nh cña tam gi¸c vµ kh«ng ®i qua ®Ønh ®èi diÖn th× nã chia (trong hoÆc ngoµi ) hai c¹nh kia cña tam gi¸c thµnh nh÷ng ®o¹n th¼ng t¬ng øng tû lÖ . A Tam gi¸c ABC , DE / / BC ( víi D thuéc ®êng th¼ng AB E thuéc ®êng th¼ng

AC ) th× AC

EC

AB

DB

EC

AE

DB

AD

AC

AE

AB

AD ;;

D E a B C

2.3.2 HÖ qu¶ cña ®Þnh lý Thales

NÕu mét ®êng th¼ng song song víi mét c¹nh cña tam gi¸c vµ kh«ng ®i qua ®Ønh ®èi diÖn th× nã t¹o víi hai c¹nh kia cña tam gi¸c mét tam gi¸c míi cã çc c¹nh tû lÖ víi çc c¹nh cña tam gi¸c ®· cho . G/s ®êng th¼ng a song song víi c¹nh BC cña tam gi¸c ABC nhng kh«ng ®i qua ®Ønh A c¾t hai ®êng th¼ng AB , AC t¹i hai ®iÓm t¬ng øng D vµ E th× tam gi¸c ADE cã ba c¹nh tû lÖ víi ba c¹nh cña tam gi¸c ABC .



2.3 .3 §Þnh lý ®¶o

NÕu mét ®êng th¼ng kh«ng ®i qua ®Ønh cña mét tam gi¸c vµ chia (trong hoÆc ngoµi ) hai c¹nh cña tam gi¸c ®ã thµnh nh÷ng ®o¹n th¼ng t¬ng øng tû lÖ th× nã song song víi c¹nh cßn l¹i cña tam gi¸c ®ã .

PhÇn 3 : Çc bµi to¸n c¬ b¶n ¸p dông §Þnh lý thaleS

3.1 Bµi to¸n thø nhÊt :

Cho hai ®êng th¼ng song song cè ®Þnh a vµ b . Hai ®iÓm A vµ B theo thø tù di

®éng trªn a vµ b . T×m quü tÝch çc ®iÓm M sao cho 0 kMB

MA cho tríc .

a H A A/ b K B B/ c I M M/ Lêi gi¶i :

PhÇn thuËn : Chän mét ®iÓm H bÊt kú trªn a råi cho cè ®Þnh l¹i ( h×nh vÏ trªn ) qua H vÏ ®êng th¼ng vuong gãc víi b t¹i K . Khi ®ã cã ®óng mét ®iÓm I trªn

®êng th¼ng HK sao cho kIK

IH NÕu A vµ B theo thø tù trªn a vµ b mµ 0 k

MB

MA

Th× IK

IH

MB

MA Nªn theo ®Þnh lý ®¶o ®êng th¼ng IM song song víi a vµ b .

VËy ®iÓm M n»m trªn ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm I cè ®Þnh vµ song song víi a , b . Ta gäi c lµ ®êng th¼ng ®i qua I vµ song song víi a , b .

PhÇn ®¶o : LÊy trªn c mét ®iÓm M/ . LÊy trªn a mét ®iÓm A/ bÊt kú khi ®ã ®êng th¼ng A/ M/ c¾t b t¹i ®iÓm B/ . ¸p dông ®Þnh lý thuËn cho ba ®êng th¼ng song song a, b , c vµ hai çt tuyÕn HK vµ A/B/ ta cã

kIK

IH

BM

AM

//

//

. VËy mäi ®iÓm trªn c ®Òu tho¶ m·n §K ®· cho ®èi víi ®iÓm M

VËy quü tÝch cÇn t×m lµ ®êng th¼ng c .

3.2 Bµi to¸n thø hai :

Cho h×nh thang ABCD cã hai ®¸y lµ AB vµ CD . §êng th¼ng ®i qua giao ®iÓm

I cña hai ®êng chÐo vµ song song víi hai ®¸y c¾t çc c¹nh bªn AD , BC t¹i çc

®iÓm t¬ng øng E , F . Chøng minh r»ng I lµ trung ®iÓm cña EF & E F lµ trung

b×nh ®iÒu hoµ cña hai ®¸y .

Lêi gi¶i : ( Xem tµi liÖu TK )



3.3 Bµi to¸n thø ba :

Cho h×nh thang ABCD cã hai ®¸y AB , CD mµ AB < CD . §êng th¼ng ®i qua A vµ song song víi BC c¾t BD t¹i E . §êng th¼ng ®i qua B vµ song song víi AD c¾t AC t¹i F . Chøng minh r»ng E F // CD vµ tÝnh E F theo çc c¹nh ®¸y cña h×nh thang .


3.4 Bµi to¸n thø 4 :

NÕu gãc BAC cña tam gi¸c ABC vµ gãc B/ A/ C/ cña tam gi¸c A/B/C/ b»ng nhau

hoÆc bï nhau th× tû sè diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ®ã b»ng tû sè cña tÝch çc c¹nh

kÒ gãc ®ã :

////

.

/// CABA

ACAB

S

S

CBA

ABC

.


3.5 Bµi to¸n thø n¨m :

Cho tam gi¸c ABC cè ®Þnh , çc ®iÓm D , E di ®éng trªn çc c¹nh t¬ng øng AB

, AC sao cho EA

CE

DB

AD . T×m quü tÝch trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng DE .


3.6 Bµi to¸n thø s¸u : ( Dùng ®o¹n th¼ng tû lÖ thø t )

Cho tríc ba ®o¹n th¼ng AB , m , n . Dùng çc ®iÓm chia trong vµ chia ngoµi

®o¹n th¼ng AB theo tû sè n

m .


3.7 Bµi to¸n thø bÈy( §Þnh lý vÒ chïm ®êng th¼ng ®ång quy) :

a/ §Þnh lý thuËn :

NÕu ba ®êng th¼ng ®ång quy c¾t hai ®êng th¼ng song th× chóng ®Þnh ra

trªn hai ®êng th¼ng song song Êy çc ®o¹n th¼ng t¬ng øng tû lÖ




b/ §Þnh lý ®¶o 1 :

Cho ba ®êng th¼ng , trong ®ã cã hai ®êng th¼ng c¾t nhau , ®Þnh ra trªn hai

®êng th¼ng song song çc ®o¹n th¼ng t¬ng øng tû lÖ th× ba ®êng th¼ng Êy

®ång quy .


c/ §Þnh lý ®¶o 2 :

NÕu hai ®êng th¼ng ph©n biÖt bÞ c¾t bëi ba ®êng th¼ng ®ång quy t¹o thµnh

çc ®o¹n th¼ng t¬ng øng tû lÖ th× chóng song song víi nhau.


3.8 Bµi to¸n thø t¸m (bæ ®Ò h×nh thang ) :

a/ Chøng minh r»ng nÕu hai c¹nh bªn cña mét h×nh thang c¾t nhau th× ®êng

th¼ng ®i qua giao ®iÓm ®ã vµ giao ®iÓm hai ®êng chÐo sÏ ®i qua trung ®iÓm cña

çc ®¸y cña h×nh thang .

b/ H·y nªu ra çch dùng chØ mét çi thíc (kh«ng dïng com pa) ®Ó dùng trung

®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB cho tríc khi cho mét ®êng th¼ng d song song víi AB

Vµ dùng qua ®iÓm M cho tríc mét ®êng th¼ng song víi ®o¹n th¼ng AB cho

tríc mµ ®· biÕt trung ®iÓm I cña AB .


3.9 Bµi to¸n thø chÝn :

Cho gãc xOy vµ ®êng th¼ng d kh«ng ®i qua O nhng c¾t c¶ hai c¹nh cña gãc

®ã . §êng th¼ng di ®éng a kh«ng ®i qua O nhng cïng ph¬ng víi d , c¾t Ox

t¹i A vµ c¾t Oy t¹i B . T×m quü tich trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB .


3.10 Bµi to¸n thø mêi ( chia mét ®o¹n th¼ng cho tríc ):

Chia ®o¹n th¼ng AB cho tríc thµnh ba ®o¹n th¼ng tû lÖ víi çc ®o¹n th¼ng a ,

b , c cho tríc .




3.11 Bµi to¸n thø mêi mét ( §Þnh lý MÐnÐlaus ):

Cho ba ®iÓm P , Q , R theo thø tù trªn çc ®êng th¼ng chøa çc c¹nh BC , CA

, AB cña tam gi¸c ABC nhng kh«ng trïng ®Ønh nµo cña tam gi¸c ®ã . §iÒu

kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ba ®iÓm P , Q , R th¼ng hµng lµ 1RB

RA

QA

QC

PC

PB

Lêi gi¶i : (Xem tµi liÖu TK )

3.12 Bµi to¸n thø mêi hai ( Mét øng dông cña §Þnh lý MÐnÐlaus ):

Trªn hai c¹nh AB , AD cña h×nh b×nh hµnh ABCD , lÊy hai ®iÓm t¬ng øng M ,

N . Gäi P lµ ®iÓm sao cho AMPN lµ h×nh b×nh hµnh vµ Q lµ giao ®iÓm cña BN

vµ MD . Chøng minh r»ng ba ®iÓm C , P , Q th¼ng hµng .

3.13 Bµi to¸n thø mêi ba ( §Þnh lý CÐ va ):



kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ba ®êng th¼ng AP , BQ , CR ®ång quy hoÆc song song lµ

1RB

RA

QA

QC

PC

PB .

Chó ý : NÕu P , Q , R theo thø tù n»m trªn çc c¹nh BC , CA , AB cña tam gi¸c ABC nhng kh«ng trïng ®Ønh nµo cña tam gi¸c ®ã th× kh«ng thÓ x¶y ra trêng hîp ba ®êng th¼ng AP , BQ , CR song song víi nhau . Do ®ã nÕu kh«ng dïng kh¸i niÖm ®é dµi ®¹i sè th× cã thÓ ph¸t biÓu ®Þnh lý CÐ va nh sau :



kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ba ®êng th¼ng AP , BQ , CR ®ång quy lµ 1RB

RA

QA

QC

PC

PB

3.14 Bµi to¸n thø mêi bèn ( øng dông §Þnh lý CÐ va ):

Chøng minh r»ng çc ®êng th¼ng ®i qua ®Ønh cña tam gi¸c vµ tiÕp ®iÓm cña

c¹nh ®èi diÖn víi ®êng trßn néi tiÕp th× ®ång quy (§iÓm ®ã ®îc gäi lµ

®iÓm Gergonnecña tam gi¸c)

3.15 Bµi to¸n thø mêi n¨m ( øng dông §Þnh lý CÐ va ):

Chøng minh r»ng çc ®êng th¼ng ®i qua ®Ønh cña tam gi¸c vµ tiÕp ®iÓm cña

c¹nh ®èi diÖn víi ®êng trßn bµng tiÕp th× ®ång quy (§iÓm ®ã ®îc gäi lµ ®iÓm

Nagel cña tam gi¸c .)

3.16 Bµi to¸n thø mêi s¸u ( øng dông §Þnh lý CÐ va ):

Cho tam gi¸c ABC , mét ®iÓm D trªn c¹nh AB , mét ®iÓm E trªn c¹nh AC vµ

trung ®iÓm M cña c¹nh BC . Chøng minh r»ng DE // BC khi vµ chØ khi ba

®êng th¼ng AM , BE , CD ®ång quy .

Lêi gi¶i çc bµi to¸n 12, 13 , 14 ,15 , 16 xem tµi liÖu TK (S¸ch båi dìng thêng

xuyªn chu kú 1997 -2000 cho GV THCS t¸c gi¶ TrÇn V¨n Vu«ng )

3.17 Bµi to¸n thø mêi bÈy ( §Þnh lý vÒ ®êng ph©n gi¸c ):



§êng ph©n gi¸c ( trong, ngoµi ) cña mét tam gi¸c chia (trong , ngoµi ) c¹nh

®èi diÖn thµnh hai ®o¹n tû lÖ víi hai c¹nh kÒ víi hai c¹nh Êy .

3.18 Bµi to¸n thø mêi t¸m ( øng dông §Þnh lý vÒ ®êng ph©n gi¸c ):

Cho tam gi¸c ®Òu ABC vµ ®iÓm D sao cho : 3

2

DB

DA §êng th¼ng CD c¾t

®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC t¹i ®iÓm thø hai lµ E . Chøng minh r»ng :

532

ECEBEA .

3.19 Bµi to¸n thø mêi chÝn ( øng dông §Þnh lý vÒ ®êng ph©n gi¸c ):

Cho tam gi¸c ABC, cã ®êng trung tuyÕn AD . §êng ph©n gi¸c cña gãc ADB

vµ ADC c¾t çc c¹nh t¬ng øng AB , AC t¹i E , F . Chøng minh r»ng EF // BC

vµ EF lµ trung b×nh ®iÒu hoµ cña AD , BD .

3.20 Bµi to¸n thø hai m¬i ( øng dông §Þnh lý vÒ ®êng ph©n gi¸c ):

Cho tam gi¸c ABC kh«ng c©n t¹i A . Chøng minh r»ng ch©n ®êng ph©n gi¸c

ngoµi cña gãc A vµ ch©n cña hai ®êng ph©n gi¸c trong cña hai gãc B , C lµ ba

®iÓm th¼ng hµng .

3.21 Bµi to¸n thø hai m¬i mèt ( øng dông §Þnh lý vÒ ®êng ph©n gi¸c ):

Cho tam gi¸cABC vu«ng t¹i A . Chøng minh r»ng : §êng cao AH , ®êng

trung tuyÕn BD , ®êng ph©n gi¸c CE ®ång quy khi vµ chØ khi AB lµ trung b×nh

nh©n cña BC vµ CA .

3.22 Bµi to¸n thø hai m¬i hai (§Þnh lý ®¶o cña ®Þnh lý vÒ ®êng ph©n gi¸c )

§êng th¼ng ®i qua ®Ønh cña mét tam gi¸c vµ chia (trong , ngoµi ) c¹nh ®èi

diÖn thµnh hai ®o¹n tû lÖ víi hai c¹nh kÒ hai ®o¹n Êy lµ ®êng ph©n gi¸c( trong,

ngoµi) cña tam gi¸c ®ã .

3.23 Bµi to¸n thø hai m¬i ba ( Quü tÝch vÒ ®êng trßn Apollonius ):

Quü tÝch çc ®iÓm M mµ tû sè çc kho¶ng çch tõ M ®Õn hai ®iÓm cè ®Þnh ph©n

biÖt A & B b»ng mét h»ng sè k ( 0< k # 1 ) lµ mét ®êng trßn cã ®êng kÝnh lµ

®o¹n th¼ng nèi çc ®iÓm chia trong vµ chia ngoµi ®o¹n AB theo tû sè k .

3.24 Bµi to¸n thø hai m¬i t ( øng dông Quü tÝch vÒ ®êng trßn Apollonius):

Cho ba ®iÓm ph©n biÖt th¼ng hµng B , C , D . Dùng tam gi¸c vu«ng ABC mµ

AD lµ ®êng ph©n gi¸c cña gãc vu«ng .

Lêi gi¶i çc bµi to¸n 17, 18 , 19 ,20 ,21,22,23,24 xem tµi liÖu TK (S¸ch båi dìng

thêng xuyªn chu kú 1997 -2000 cho GV THCS t¸c gi¶ TrÇn V¨n Vu«ng )



PhÇn thø t Mét sè d¹ng to¸n c¬ b¶n vÒ ®Þnh lý thales vµ ®o¹n

th¼ng tû lÖ häc sinh cÇn ph¶i th«ng th¹o

A) D¹ng to¸n thø nhÊt : Chøng minh ®o¹n th¼ng tû lÖ

§V§ : Ngêi ta thêng dïng ®êng song , ®êng ph©n gi¸c cña mét gãc hoÆc tam gi¸c ®ång d¹ng ®Ó chøng minh çc ®o¹n th¼ng tû lÖ . Trong trêng hîp c¶ ba ph¬ng ph¸p trªn ®Òu kh«ng cã hiÖu lùc , th× ngêi ta ph¶i t×m hai ®o¹n th¼ng tû lÖ thø ba lµm trung gian , ®Ó chøng minh çc ®o¹n th¼ng kh¸c tû lÖ víi nhau .

1) Lîi dông ®êng th¼ng song song

VD 1 : Trªn c¹nh AC cña tam gi¸c ABC lÊy mét ®iÓm D , kÐo dµi CB ®Õn E,

sao cho BE = AD, ED vµ AB c¾t nhau t¹i F . Chøng minh r»ng :

BC

AC

FD

EF

Suy xÐt : Quan s¸t bèn ®o¹n th¼ng tû lÖ vµ

hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau cho tríc trong h×nh vÏ , ta thÊy muèn lµm cho ba ®o¹n E F , FD , EB cã mèi liªn hÖ , th× ph¶i tõ D dùng DG // AB , nh vËy ba ®o¹n th¼ng trªn vµ BG lµ nh÷ng ®o¹n th¼ng t¹o nªn bëi mét ®êng song song víi mét c¹nh cña tam gi¸c EDG vµ c¾t hai c¹nh kia cña tam gi¸c ®ã . §ång thêi bèn ®o¹n th¼ng AC, BC , AD , BG còng cã mèi liªn hÖ nh bèn ®o¹n th¼ng nãi trªn .

F

E B G

D

C

A

Lêi gi¶i ( Tãm t¾t ) :

Tõ D dùng DG // AB ta cã BC

AC

BG

AD

BG

EB

FD

EF

2) Lîi dông ®êng ph©n gi¸c cña mét gãc :

VD 2 : Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A , ®êng cao AD øng víi c¹nh huyÒn BC

c¾t ®êng ph©n gi¸c BE t¹i F ( E thuéc AC ) . Chøng minh r»ng :

EC

AE

FA

DF .

Suy xÐt : DF vµ FA lµ hai ®o¹n th¼ng

t¹o nªn bëi ®êng ph©n gi¸c cña gãc B trong tam gi¸c BAD c¾t c¹nh ®èi diÖn víi gãc B nªn tû sè cña chóng b»ng BD : AB . T¬ng tù AE vµ EC còng vËy , tû sè cña chóng b»ng AB : BC . VËy muèn cã tû lÖ thøc trong kÕt luËn ta cÇn chøng minh : BD : AB = AB : BC lµ ®îc . Ta nhËn

thÊy ABCDBA mµ BD &BA ;

AB & BC lµ hai cÆp c¹nh t¬ng øng cña hai tam gi¸c nãi trªn suy ra §PCM .

D

F

E

CB

A



3) Lîi dông tam gi¸c ®ång d¹ng :

Trong vÝ dô trªn ta ®· dïng ®Þnh lý hai tam gi¸c ®ång d¹ng th× çc c¹nh t¬ng

øng cña chóng tû lÖ víi nhau ®Ó chøng minh çc ®o¹n th¼ng tû lÖ .

4) Lîi dông çc tû sè kh¸c lµm trung gian :

VD 3 : Tõ mét ®iÓm A ngoµi ®êng trßn dùng hai tiÕp tuyÕn AB , AC víi ®êng

trßn ®ã ;Trªn ®êng trßn lÊy mét ®iÓm P tuú ý , dùng PD vu«ng gãc víi BC , PE

vu«ng gãc víi AB , PF vu«ng gãc víi AC . Chøng minh r»ng :

PF

PD

PD

PE .

Suy xÐt ( Çch 1 ) PE & PD lµ hai c¹nh cña

tam gi¸c PED , PD & DF lµ hai c¹nh cña tam gi¸c PDF . NÕu tam gi¸c PED ®ång d¹ng víi tam gi¸c PDF th× bèn c¹nh ®ã tû lÖ víi nhau . Muèn chøng minh hai tam gi¸c ®ã ®ång d¹ng víi nhau th× ph¶i chøng minh hai cÆp gãc t¬ng øng b»ng nhau tõng ®«i mét . §Ó chøng minh hai cÆp gãc b»ng nhau tõng ®«i mét th× ph¶i t×m nh÷ng cÆp gãc kh¸c lµm trung gian . Tõ nh÷ng ®êng vu«ng gãc ®· cho trong gi¶ thiÕt ta thÊy çc tø gi¸c PEBD vµ PDCF néi tiÕp cho nªn cã thÓ t×m ®îc nh÷ng gãc néi tiÕp b»ng nhau . Tõ tiÕp tuyÕn ®· cho trong gi¶ thiÕt ta sÏ suy ra ®îc gãc gi÷a tiÕp tuyÕn vµ mét d©y qua tiÕp ®iÓm b»ng gãc néi tiÕp ch¾n cung mµ d©y ®ã c¨ng

A

F

E

P

C

D

B

Suy xÐt (Çch 2 ) : NÕu chØ nèi PC , PB th× tõ ®Þnh lý vÒ gãc gi÷a tiÕp tuyÕn vµ d©y ®i qua tiÕp ®iÓm

ta biÕt gãc PBE = gãc PCD . Ta chøng minh ®îc tam gi¸c vu«ng PEB ®ång d¹ng víi tam gi¸c vu«ng PDC , vµ suy ra PE : PD = PB : PC . Víi çch ®ã ta còng ch÷ng minh ®îc PD : PF = PB : PC vµ nh vËy qua tû sè trung gian PB : PC ta ch÷ng minh ®îc tû lÖ thøc trong kÕt luËn . Çch gi¶i nµy ®¬n gi¶n h¬n çch gi¶i 1 .

VD 4 : Ba ®êng cao AD , BE , CF cña tam gi¸c ABC gÆp nhau t¹i H . Chøng

minh r»ng : DA.DH = DE.DF .

Suy xÐt : Muèn chøng minh DA.DH =

DE . DF ta biÕn ®æi thµnh tû lÖ thøc DA : DF = DE : DH , råi chøng minh tû lÖ thøc nµy . DA , DA lµ hai c¹nh cña tam gi¸c DAE . DF , DH lµ hai c¹nh cña tam gi¸c DFH ta ph¶i t×m çch chøng minh hai tam gi¸c nµy ®ång d¹ng víi nhau . Muèn cho hai tam gi¸c ®ång d¹ng th× cÇn ph¶i cã hai gãc t¬ng øng b»ng nhau tõng ®«i mét. V× tø gi¸c A F DC néi tiÕp nªn cã gãc DAE = gãc A FH vµ ta cã gãcADE = gãc FDH nªn ta cã thÓ chøng minh hai tam nãi trªn ®ång d¹ng ®îc .

H

F

D

E

CB

A



D¹ng to¸n thø hai :

Dïng tû lÖ thøc ®Ó chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau vµ chøng

minh hai ®êng th¼ng song song víi nhau .

1/ Dïng tû lÖ thøc ®Ó chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau

a/ ph¬ng ph¸p 1 : Chøng minh tû sè cña hai ®o¹n th¼ng b»ng tû sè nghÞch ®¶o

cña chóng . Trong çc bµi tËp dÔ , muèn chøng minh a=b , th× ta cã thÓ chøng minh a : b = b: a

VD 5 : Cho tam gi¸c ABC , tõ ®iÓm P trªn AB dùng PQ // BC c¾t AC t¹i Q ; tõ

Q dùng QR //AB c¾t BC t¹i R ; tõ R dùng ®êng th¼ng song song víi AC , ®êng

nµy l¹i ®i qua P . Chøng minh r»ng P lµ trung ®iÓm cña AB .

Chøng minh : AP : PB = AQ : QC ; PB : PA = BR : RC Nhng AQ : QC = BR : RC suy ra AP : PB = PB : PA suy ra

22 PBAP suy ra AP = PB (®pcm)

Q

R

P

B C

A

b/ Ph¬ng ph¸p 2 : Chøng minh hai ®o¹n th¼ng tû lÖ víi hai ®o¹n th¼ng b»ng

nhau cho tríc . Muèn chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau ta cã thÓ dùa vµo hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau cho tríc nµo ®ã råi chøng minh bèn ®o¹n th¼ng Êy tû lÖ víi nhau VD muèn chøng minh x =y , mµ ta ®· biÕt a = b råi ta cã thÓ chøng minh a : x = b : y VD 6 : Tõ mét ®iÓm D trªn mét ®êng trßn dùng DE vu«ng gãc víi ®êng kÝnh

AB ; tiÕp tuyÕn qua A vµ D c¾t nhau t¹i C; nèi CB c¾t DE t¹i F . Chøng minh

r»ng : DF = FE .

Suy xÐt : Tõ gi¶ ta ®· biÕt CD = CA , muèn

chøng minh DF = FE th× ta ph¶i chøng minh CD : DF = CA : FE (1) Tû sè cña vÕ ph¶i cña (1) b»ng AB : EB . Cßn tû sè ë vÕ tr¸i rÊt khã chøng minh b»ng AB : EB , CD vµ DF lµ hai c¹nh cña tam gi¸c CDF cho nªn nÕu dùng tiÕp tuyÕn qua B , c¾t CD kÐo dµi t¹i G th× sÏ ®îc tam gi¸c CGB ®ång d¹ng víi tam gi¸c CDF , nh vËy tû sè ë vÕ tr¸i cña (1) b»ng CG : GB , còng b»ng CG : DG . Tõ CA // DE// GB , ta suy ra AB : EB = CG : DG , vËy tû sè ( 1 ) ®îc chøng minh .

F

BE

A

D

G

C



c/ Ph¬ng ph¸p 3 :

Chøng min h hai ®o¹n th¼ng nµy vµ mét ®o¹n kh¸c t¹o thµnh mét tû lÖ thøc .

Muèn chøng minh x = y mµ trong bµi l¹i kh«ng cho çc ®o¹n th¼ng b»ng nhau , ta cã thÓ dùa vµo mét ®o¹n th¼ng a vµ chøng minh a : x = a : y

VD 7 : Cho mét h×nh thang . Chøng minh r»ng giao ®iÓm cña çc ®êng chÐo

chia ®«i ®o¹n th¼ng nèi liÒn hai c¹nh bªn ®i qua giao ®iÓm vµ song song víi ®¸y

cña h×nh thang ®ã .

Suy xÐt : Trong h×nh vÏ kh«ng

cã nh÷ng ®o¹n th¼ng b»ng nhau , nhng ta thÊy ®o¹n BC cã liªn quan víi FE vµ EG , nªn cã thÓ dïng nã ®Ó chøng minh FE = EG V× FE // BC suy ra BC : FE = AB : AE . T¬ng tù ta còng cã BC : EG = DC : DG VÕ ph¶i cña hai tû lÖ thøc trªn b»ng nhau , v× ®Êy lµ nh÷ng ®o¹n th¼ng t¹o nªn bëi ba ®êng th¼ng song song c¾t hai ®êng th¼ng kh¸c , nªn nh÷ng ®o¹n th¼ng t¬ng øng tû lÖ víi nhau

B

F

E

G

C

DA

Nhê ®ã ta cã : BC : FE = BC : EG vµ ta rót ra ®îc FE = EG .

d/ Ph¬ng ph¸p 4 :

Lîi dông ph¬ng tÝch cña mét ®iÓm ®èi víi mét ®êng trßn .

Ngêi ta cßn dïng ®Þnh lý sau ®©y : NÕu tõ mét ®iÓm bÊt kú ë ngoµi mét ®êng trßn , ta kÎ tíi ®êng trßn ®ã mét çt tuyÕn vµ mét tiÕp tuyÕn , th× tiÕp tuyÕn lµ trung b×nh nh©n gi÷a toµn çt tuyÕn vµ phÇn çt tuyÕn ë ngoµi ®êng trßn . §Ó chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau .

VD 8 : KÐo dµi hai d©y cung AB , CD cña mét ®êng trßn , chóng c¾t nhau t¹i

mét ®iÓm E ë ngoµi ®êng trßn ®ã ; dùng ®êng song song víi AD vµ ®i qua E

c¾t CB kÐo dµi t¹i F , tõ F dùng tiÕp tuyÕn FG víi ®êng trßn . Chøng minh

r»ng FG = FE .

Suy xÐt : Tõ ®Þnh lý trªn ta cã :

FG2 = FC . FB .Cho nªn nÕu chóng ta chøng minh ®îc FE2 = FC . FB th× FG = FE . Muèn cã FE2 = FC . FB th× ta ph¶i chøng minh

FB

FE

FE

FC ®Ó cã tû lÖ thøc nµy ta ph¶i chøng

minh FCE ®ång d¹ng víi FEB ®iÒu ®ã rÊt dÔ chøng minh .

GF

DC

A

B

E

2/ Dïng tû lÖ thøc ®Ó chøng minh hai ®êng th¼ng song song



§Ó chøng minh hai ®êng th¼ng song song víi nhau ngêi ta thêng dïng hai ph¬ng ph¸p sau ®©y :

a) Ph¬ng ph¸p thø nhÊt :

Lîi dông çc ®o¹n th¼ng tû lÖ trªn hai c¹nh cña tam gi¸c

VD 9 : Cho tam gi¸c ABC , AD lµ ®êng trung tuyÕn cña tam gi¸c , dùng çc

®êng ph©n gi¸c cña çc gãc ADB , & ADC c¾t AB , AC t¹i E & F . Chøng

minh r»ng : EF//BC .

Suy xÐt : Muèn chøng minh

E F // BC ta cã thÓ chøng minh AE : EB = A F : FC (1) . Tû sè ë vÕ tr¸i cña (1) cã çc sè h¹ng lµ hai ®o¹n th¼ng ®îc t¹o thµnh do ®êng ph©n gi¸c cña gãc trong tam gi¸c DAB chia c¹nh ®èi diÖn cho nªn b»ng AD : BD . T¬ng tù nh trªn ta còng chøng minh ®îc tû sè ë vÕ ph¶i cña ( 1 ) b»ng AD : CD . MÆt kh¸c v× BD = DC nªn AD : BD = AD : CD do ®ã tû sè (1) ®îc chøng minh .

E

BD

C

F

A

b) Ph¬ng ph¸p thø hai :

Lîi dông tam gi¸c ®ång d¹ng ®Ó chøng minh çc gãc b»ng nhau sau ®ã

¸p dông çc dÊu hiÖu nhËn biÕt hai ®êng th¼ng song ®· häc ë líp 7 ®Ó suy ra

hai ®êng th¼ng song song .

VD 10 : Tõ mét ®iÓm P ngoµi ®êng trßn dùng tiÕp tuyÕn PA víi ®êng trßn ®ã

, tõ trung ®iÓm B cña PA kÎ mét çt tuyÕn BCD ; PC ; PD c¾t ®êng trßn t¹i E

vµ F . Chøng minh r»ng FE//PA .

Suy xÐt : Muèn cho FE // PA th× ph¶i cã

gãc BPC = gãc E , v× gãc E = gãc D do vËy ta cÇn chøng minh gãc BPC = gãc D . Muèn vËy ta t×m çch chøng minh tam gi¸c BPC ®ång d¹ng víi tam gi¸c BDP . Hai tam gi¸c nµy ®· cã gãc PBC chung , muèn cho chóng ®ång d¹ng cÇn ph¶i chøng minh thªm : BC : BP = BP : BD , mµ BP = BA cho nªn ta cã thÓ chøng minh BC : BA = BA : BD hay BA2 = BC . BD , ®ã chÝnh lµ hÖ thøc lîng trong ®êng trßn .

B

A

F

D

P

C

E



C ) D¹ng to¸n thø ba :

Dïng tû lÖ thøc ®Ó chøng minh çc ®iÓm th¼ng hµng vµ ®a gi¸c néi tiÕp .

§Ó chøng minh çc ®iÓm th¼ng hµng hoÆc ®a gi¸c néi tiÕp , ngêi ta dïng çc ®o¹n th¼ng tû lÖ ®Ó chøng minh hai tam gi¸c ®ång d¹ng tríc , råi dùa vµo çc cÆp gãc b»ng nhau cña hai tam gi¸c ®ã mµ chøng minh kÕt luËn cña bµi ra . 1/ Dïng tû lÖ thøc ®Ó chøng minh çc ®iÓm th¼ng hµng :

VD 11 : Chøng minh r»ng çc trung ®iÓm cña hai ®¸y cña mét h×nh thang ,

giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo vµ giao ®iÓm cña hai c¹nh bªn kÐo dµi lµ bèn

®iÓm th¼ng hµng .

Suy xÐt : Tríc hÕt ta chøng minh E , F G

th¼ng hµng , ta biÕt r»ng AGC lµ mét ®êng th¼ng , do ®ã nÕu ta chøng minh ®îc gãc AGE = gãc CGF th× ta cã thÓ suy ra ®îc EG vµ GF hîp thµnh mét ®êng th¼ng . §Ó ®¹t ®îc môc ®Ých trªn ta nghiªn cøu xem tam gi¸c AEG cã ®ång d¹ng víi tam gi¸c CFG hay kh«ng ? V× ®· cã gãc EAG = gãc FCG cho nªn chØ cÇn chøng minh thªm tû sè AE : CF = AG : CG lµ ®îc . Quan s¸t h×nh vÏ ta thÊy tam gi¸c ADG ®ång d¹ng víi tam gi¸c CGB cho nªn AD : CB = AG : CG mµ

gi¶ thiÕt ®· cho AE = CBCFAD2

1,

2

1 suy

ra tû lÖ thøc ®Çu cã thÓ chøng minh ®îc . F

E

G

B

A

C

D

H

§Ó chøng minh E , F , H th¼ng hµng ta dïng ph¬ng ph¸p nãi trªn . Ta cã tam gi¸c ADH ®ång d¹ng víi tam gi¸c BCH vµ ta cã AD : BC = AH : BH ta suy ra AE : BF = AH : BH , ta cã thªm gãc EAH = gãc FBH suy ra hai tam gi¸c ®ång d¹ng suy ra hai gãc b»ng nhau suy ra (®pcm)

2/ Dïng tû lÖ thøc ®Ó chøng minh ®a gi¸c néi tiÕp :

VD 12 : Cho hai ®o¹n th¼ng AB vµ CD c¾t nhau t¹i E sao cho :

AE . BE = CE . DE Chøng minmh r»ng tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®îc trong

®êng trßn .

Suy xÐt : Tõ gi¶ thiÕt cã thÓ suy ra ®îc AE : DE = CE : BE , bèn ®o¹n th¼ng trong tû lÖ thøc lµ çc c¹nh t¬ng øng cña tam gi¸c ACE vµ tam gi¸c DBE , çc c¹nh Êy l¹i kÒ víi çc gãc AEC = gãc DEB (® ®) do ®ã hai tam gi¸c ®ã ®ång d¹ng suy ra gãc A = gãc D suy ra tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn

E

C

B

D

A



D ) D¹ng to¸n thø t :

Chøng minh çc quan hÖ vÒ tæng ( hiÖu ) hai tû sè

1) Chøng minh tæng ( hiÖu) hai tû sè b»ng mét h»ng sè :

a/ Bµi to¸n gèc ®iÓn h×nh

VD 13 : Cho tam gi¸c ABC ; G lµ träng t©m cña tam gi¸c , ®êng th¼ng qua G

c¾t çc c¹nh AB & AC t¹i M & N . Chøng minh r»ng :

3AN

AC

AM

AB

Suy xÐt : §Æt vÕ tr¸i cña hÖ thøc cÇn chøng minh lµ f = AN

AC

AM

AB . Ta thÊy hai

®o¹n th¼ng thuéc hai tû sè tõng ®«i mét thuéc hai ®êng th¼ng kh¸c nhau ®ã lµ ®êng th¼ng AB & ®êng th¼ng AC . Do ®ã chóng ta ®øng tríc mét sù lùa chän thø nhÊt ®ã lµ : §i vÒ ®©u ? §a vÒ cïng mét ®êng th¼ng nµo ? Nãi çch kh¸c lµ chiÕu lªn ®êng th¼ng nµo ?

Çch 1 : §a vÒ ®êng th¼ng AC ( chiÕu lªn ®êng th¼ng AC ) !

Qua B kÎ mét ®êng th¼ngBP // MN c¾t AC t¹i P , ¸p dông ®Þnh lý Ta LÐt trong tam gi¸c ABP ta cã AB : AM = AP : AN

Khi ®ã f = AN

ACAP

®Õn ®©y ta nhËn thÊy cÇn ph¶i chøng minh (AP+AC) = 3AN Sè 3 liªn tëng ®Õn tû sè 2/3 , cã sù liªn quan ®Õn tÝnh chÊt cña träng t©m trong tam gi¸c . Gäi I lµ trung ®iÓm cña

G

J

I

E

Q

P

C

B

M

N

A

BC , J lµ giao ®iÓm cña BP víi AG , qua I kÎ IQ// BP , qua C kÎ CE // BP . XÐt tam gi¸c CBP cã ®êng th¼ng IQ ®i qua trung ®iÓm I cña CB l¹i song song víi BP suy ra Q còng lµ trung ®iÓm cña CP do ®ã ta cã AP = AQ – PQ ; AC = AQ + QC , mµ PQ = QC suy ra AP + AC = 2AQ do ®ã

f = AN

AQ2 , ¸p dông tÝnh chÊt cña träng t©m vµ ®Þnh lý Ta LÐt vµo tam gi¸c AIQ cã GN // IQ

suy ra 32

3.22

2

3

AN

AQ

AN

AQ

AG

AI Tøc lµ f = 3 (§PCM)

Çch 2 : §a vÒ ®êng th¼ng AB ( chiÕu lªn ®êng th¼ng AB ) !

Lµm t¬ng tù nh çch 1 .

Tuy nhiªn chóng ta nhËn thÊy ë çch 1 hoÆc çch 2 ®Òu cã sù quanh quÈn dï cã chiÕu sang AC hoÆc AB råi l¹i vÉn ph¶i quay vÒ AI . V× vËy tèt nhÊt lµ chóng ta



®a vÒ ®êng trung tuyÕn AI . KÎ BJ // MN ( J thuéc AI ) KÎ CE // MN ( E thuéc ®êng th¼ng AI ) . Ta cã AB : AM = A J : AG AC : AN = AE : AG Do ®ã

f = AG

AEAJ V× I lµ trung ®iÓm

cña BC suy ra I còng lµ trung ®iÓm cña JE suy ra I J = I E mµ ta cã ( A J + AE ) = ( A I – I J + AI + IE ) = 2AI

Do ®ã f = 32

32

2

AG

AI

(®pcm)

Lêi bµn :

G

J

E

IB

M

N

C

A

Trong trêng häc , chóng ta lu«n ®îc c¶nh b¸o r»ng sai lÇm lµ viÖc sÊu , nÕu ta ph¹m sai lÇm sÏ bÞ trõng ph¹t . Nhng nÕu ta xem xÐt ph¬ng ph¸p häc tËp cña loµi ngêi sÏ thÊy râ r»ng ; loµi ngêi lu«n häc tËp trong qu¸ tr×nh ph¹m sai lÇm . TrÎ con ph¶i ng· míi häc ®îc çch ®i , nÕu chóng kh«ng bao giê ng· còng sÏ ch¼ng bao giê häc ®îc çch ®i . Çch gi¶i thø 3 lµ sù hoµn h¶o song kh«ng ph¶i tù nhiªn mµ cã , nã ®îc h×nh thµnh do qu¸ tr×nh lao ®éng ë çch 1 hoÆc çch 2 . V× vËy , nÕu kh«ng tù m×nh lµm theo çch 1 vµ çch 2 dµi dßng , cång kÒnh th× sÏ kh«ng thÓ cã çi g× ®Î c¶i tiÕn trë thµnh çch gi¶i thø 3 ng¾n gän nhÊt , vµ hay nhÊt ®îc . Do ®ã trªn c¬ së cña sù vÊp ng· th× con ngêi ®· lín lªn ®îc , hoµn h¶o ®îc lµ thÕ .

b) Khai th¸c bµi to¸n

*/ MÖnh ®Ò ®¶o cña bµi to¸n VD 13 :

Cho tam gi¸c ABC , M & N lµ hai ®iÓm chuyÓn ®éng trªn çc çc c¹nh AB &

AC t¬ng øng sao cho 3AB AC

AM AN Chøng minh r»ng : §êng th¼ng MN lu«n

®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh .

Lêi gi¶i : Lµ néi dung chÝnh cña VD 13 : Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC , nèi AI c¾t

®êng th¼ng MN t¹i G , KÎ BJ // MN ( J thuéc AI ) KÎ CE // MN ( E thuéc ®êng th¼ng AI ) .

sau ®ã tr×nh bµy gièng VD 13 ®Õn chç : f = 2 3

32

AI AIG

AG AG chÝnh lµ träng t©m cña

tam gi¸c ABC , tøc lµ ®êng th¼ng MN lu«n ®i qua träng t©m G cña tam gi¸c ABC , NghÜa lµ ®êng th¼ng MN lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh G ®ã .

*/ MÖnh ®Ò tæng qu¸t cña bµi to¸n VD 13

Cho tam gi¸c ABC , M & N lµ hai ®iÓm chuyÓn ®éng trªn çc çc c¹nh AB &

AC t¬ng øng sao cho 2012AB AC

AM AN . Chøng minh r»ng : TËp hîp çc ®êng

th¼ng MN ®ång quy .



Lu ý : Th«ng thêng ngêi ta hay chän mÖnh ®Ò tæng qu¸t ®Ó ra ®Ò thi HSG çc cÊp

C/ Çc bµi to¸n t¬ng tù :

Bµi 1 : Cho tam gi¸c ABC , kÎ trung tuyÕn AD . Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c .

Mét ®êng th¼ng quay quanh G c¾t AB & AC lÇn lît t¹i M & N .

Chøng minh r»ng : 1BM CN

AM AN .

Bµi 2 : Cho tam gi¸c ABC , trung tuyÕn AD ; Gäi M lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn BC ;

qua M vÏ mét ®êng th¼ng song song víi AD c¾t ®êng th¼ng AB & AC lÇn lît t¹i E & F . Chøng minh r»ng : ME + MF = 2 AD .

Bµi 3 : Qua ®iÓm O bÊt kú trong tam gi¸c ABC ta kÎ ®êng th¼ng song song víi

AB c¾t AC & BC t¹i E & F , kÎ ®êng th¼ng song song víi AC c¾t AB & BC t¹i F & K , kÎ ®êng th¼ng song song víi BC c¾t AB & AC t¹i M & N . Chøng minh r»ng :

a/ 1AF BE CN

AB BC CA .

b/ Gäi diÖn tÝch çc tam gi¸c O FM ; OEK ; ODN ; ABC lÇn lît lµ S1 ;S2 ;S3 vµ S .

CMR : S = ( 2

1 2 3 )s s s .

c/ 2AM BK CD

AB BC CA

d/ ( MN + FK + ED ) kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm O . e/ Gäi ®é dµi çc c¹nh cña tam gi¸c ABC lµ a , b , c . Gi¶ sö ba ®o¹n th¼ng MN , DE , FK cïng cã ®é dµi lµ y h·y tÝnh gi¸ trÞ cña y theo a , b , c .

Bµi 4 : Cho tam gi¸c ABC , trung tuyÕn BM c¾t ph©n gi¸c CD t¹i P . Chøng minh

r»ng : 1PC AC

PD BC .

Bµi 5 : Cho h×nh b×nh hµnh ABCD mét ®êng th¼ng qua B , c¾t çc ®êng th¼ng

AC , DC , AD lÇn lît t¹i I , M , N . Chøng minh r»ng :

1 1 1

BI BM BN .

Bµi 6 : Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A , kÎ ®êng ph©n gi¸c AD ; Chøng minh

r»ng : 2 1 1

AD AB AC .

Bµi 7 : Trªn cung nhá BC cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ®Òu ABC lÊy ®iÓm

M tuú ý , çc ®o¹n th¼ng AM & BC c¾t nhau t¹i N . CMR :

1 1 1

MN MB MC .

Chó ý : Cã hai çch gi¶i kinh ®iÓn cho bµi to¸n 7 :

Çch thø nhÊt lµ : T×m çc cÆp tam gi¸c ®ång d¹ng sau ®ã quy ®ång mÉu sè

chung , ®Ó suy ra ®pcm ( xem lêi gi¶i trong TLTK )



Çch thø hai lµ : ¸p dông bµi to¸n c¬ b¶n trong SGK h×nh häc líp 9 sau ®©y :

Cho tam gi¸c ®Òu ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) vµ mét ®iÓm M trªn cung BC

kh«ng chøa A . CMR : MA = MB + MC ( xem lêi gi¶i trong TLTK )

2/ Chøng minh tæng ( hiÖu) hai tû sè b»ng mét tû sè ; tæng hai tÝch b»ng tÝch thø

ba

a c m

b d n , ab + cd = xy , x2 = ab + cd ; x2 = a2 + cd ; x2 = a2 + c2 ; ….vµ çc

d¹ng t¬ng tù mµ mét vÕ cña ®¼ng thøc h×nh häc cÇn chøng minh lµ mét tæng

hoÆc mét hiÖu hai tÝch , hai tû sè .

1/ Nguån gèc cña d¹ng to¸n lµ :

§Ó chøng minh mét ®o¹n th¼ng b»ng tæng cña hai ®o¹n th¼ng kh¸c : AB = CD + EF , ta t×m çch ph©n chia ®o¹n AB thµnh hai ®o¹n bëi ®iÓm M AB = AM + MB sao cho AM = CD , c«ng viÖc cßn l¹i lµ chøng minh MB = EF

ý tëng trªn ®îc sö dông ®Ó chøng minh d¹ng to¸n ab + cd = xy theo ba

bíc sau :

Bíc 1 : Chia ®o¹n th¼ng cã ®é dµi x thµnh hai ®o¹n bëi ®iÓm chia M ®Ó cã :

x=x1 + x2 sao cho x1y = ab (1)

Bíc 2 : Chøng minh hÖ thøc : x2y = cd (2)

Bíc 3 : Céng tõng vÕ cña (1) vµ (2) ®îc ®iÒu ph¶i chøng minh :

x1y + x2y = ab + cd

2/ Çc VÝ Dô :

VD 14 : Chøng minh ®Þnh lý Pitago : Tam gi¸c ABC cã gãc A vu«ng , chøng

minh r»ng : BC2 = AB2 + AC2 .

Ph©n tÝch( cã chñ ý ®Ó

t×m çch vÏ thªm ®îc h×nh phô mét çch

thÝch hîp trong viÖc t×m kiÕm lêi gi¶i bµi

to¸n ) : LÊy ®iÓm M thuéc c¹nh BC sao cho BM . BC = AB2

1

BM AB

AB BC

BMA BAC

BMA v

tõ ®ã M chÝnh lµ ch©n ®êng cao h¹ tõ A xuèng BC

MB C

A

Lêi gi¶i : H¹ AM BC . V× çc gãc B , C ®Òu nhän cho nªn M thuéc ®o¹n BC . Ta cã

2( ) .

BM ABBMA BAC g g AB BM BC

AB BC (1) . T¬ng tù



2 .CMA CAB AC CM BC (2) . Céng tõng vÕ çc hÖ thøc (1) , (2) ta ®îc

AB2 + AC2 = BC ( BM + CM ) = BC2 (®pcm)

VD 15 : Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã gãc A nhän . Gäi E & F lµ ch©n çc

®êng vu«ng gãc h¹ tõ C xuèng çc ®êng th¼ng AB vµ AD .

Chøng minh r»ng : AC2 = AB .AE + AD . AF .

Ph©n tÝch : LÊy ®iÓm M

thuéc ®o¹n AC sao cho AM . AC = AB . AE suy ra

AM AEABM ACE

AB AC

BM AC

VËy ®iÓm M cÇn t×m lµ ch©n ®êng vu«ng gãc h¹ tõ B xuèng AC .

Lêi gi¶i : - Gäi M lµ ch©n

®êng vu«ng gãc h¹ tõ B xuèng AC ( do çc gãc A vµ C ®Òu nhän cho nªn M thuéc ®o¹n AC ) Hay AC = AM + CM .

- DÔ thÊy

( )

. .

ABM ACE g g

AM AC AB AE

- L¹i cã

( )

. .

ACF CBM g g

CM AC BC AF

E

M

FD

CB

A

Tõ ®ã víi chó ý r»ng : BC = AD ta cã AB.AE + AD . A F = AM . AC + CM . AC = AC2 (®pcm)

VD 16 (§Þnh lý Pt«lªmª ) :

Tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn t©m O . Chøng minh r»ng :

AC.BD = AB .CD + AD . BC .

Ph©n tÝch : Gi¶i sö ®iÓm M thuéc ®o¹n AC

sao cho AM . BD = AB . CD suy ra

ABM ®ång d¹ng víi DBC nªn

ABM DBC , nh vËy ®iÓm M ®îc x¸c ®Þnh

lµ giao ®iÓm cña tia Bx víi AC , trong ®ã tia Bx

hîp víi BA mét gãc ABx DBC .

Lêi gi¶i : NÕu ABD DBC , chøng minh

®¬n gi¶n , ®iÓm M chÝnh lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD .

NÕu ABD DBC th× trong ®o¹n AC sÏ tån t¹i

®iÓm M sao cho

( )ABM DBC ABM DBC g g

M

D

C

B

A

AM . BD = AB . CD . DÔ thÊy ( )BMC BAD g g MC . BD = AD . BC



Céng theo tõng vÕ çc ®¼ng thøc trªn ta ®îc AC.BD = AB .CD + AD . BC (®pcm) .

VD 17 (Bµi to¸n cã néi dung sè häc ) :

Cho tam gi¸c ABC , gäi a , b , c lÇn lît lµ ®é dµi çc c¹nh BC , CA , AB cña

tam gi¸c , biÕt r»ng : 03 2 180A B .

a/ Chøng minh r»ng : a2 + bc = c2 ( BC2 + AC . AB = AB2 )

b/ H·y tÝnh çc gi¸ trÞ cña a , b , c ?BiÕt r»ng a , b , c lµ ba sè nguyªn liªn tiÕp

Ph©n tÝch : Gi¶ sö ®iÓm

M thuéc c¹nh AB sao cho BM . AB = BC2 suy ra

BM BC

BC AB , xÐt hai tam

gi¸c BMC vµ tam gi¸c BCA ta thÊy cã chung gãc B vµ cã tû lÖ thøc trªn cho nªn chóng ®ång d¹ng víi nhau

2 1

211

M

C

BA

Suy ra : BCM BCA .

MÆt kh¸c theo gi¶ thiÕt 03 2 180A B = 1 22A B C C A B C C mµ theo chøng

minh trªn 0 0

1 2 2180 , 180C A C A B C vayC C .

MÆt kh¸c n÷a 0

1 1 180M C B A B C . VËy gãc 1 2M C ACM c©n t¹i A , ®¸y lµ

CM . VËy ®iÓm M ®îc hoµn toµn x¸c ®Þnh trªn AB sao cho AC = AM .

Lêi gi¶i :

a/ Theo gi¶ thiÕt 03 2 180A B = 1 22A B C C A B C C suy ra gãc C lµ gãc lín

nhÊt trong tam gi¸c suy ra AB > AC , suy ra trªn c¹nh AB tån t¹i ®iÓm M sao cho AC = AM hay tam gi¸c ACM c©n t¹i A , ®¸y lµ CM suy ra

AMC ACD Tøc lµ 1 2M C (1) Ta sÏ chøng minh

1C A . TvËy : Ta cã

2 1

2 12 2

C C C

C A B C A B C

(2)

. MÆt kh¸c theo ®Þnh lý vÒ gãc ngoµi cña mét tam gi¸c ta cã

1 1M C B (3) . Thay (2) & (3 ) vµo (1) ta ®îc :

1 1 1 12 2 2 ( )C B A B C C A C A BCM BAC g g suy ra

BM . BA = BC 2 suy ra (AB-AC) . AB = BC2 suy ra AB2 = BC2 + AB . AC (®pcm) .

b/ Theo chøng minh ë phÇn a/ ta cã a2 + bc – c2 = 0 (*) , vµ c lµ c¹nh lín nhÊt trong tam gi¸c

ABC . Suy ra c lµ sè nguyªn lín nhÊt trong ba sè nguyªn liªn tiÕp a, b , c . X¶y ra hai trêng hîp a> b hoÆc a<b .

*/ NÕu a>b th× c>a>b suy ra ba sè nguyªn liªn tiÕp ®ã sÏ cã d¹ng : c = a+1 ; b = a – 1 thay vµo (*) vµ rót gän ta ®îc : a2 - 2a – 2 = 0 , ®©y lµ mét ph¬ng tr×nh

bËc hai Èn sè lµ a cã biÖt thøc = 12 kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng cho nªn ph¬ng tr×nh kh«ng thÓ cã nghiÖm nguyªn ®îc . Do ®ã TH nµy sÏ bÞ lo¹i .

*/ NÕu a < b th× c>b>a khi ®ã ba sè nguyªn liªn tiÕp ®ã sÏ cã d¹ng : c = b + 1 ; a = b – 1

Thay vµo (*) vµ rót gän ta ®îc b2 - 3b = 0 suy ra b = 0(lo¹i ) hoÆc b = 3 ta chän b = 3 suy ra c= 4 , a = 2 . Tho¶ m·n B§T tam gi¸c : 3 + 2 > 4 > 3 - 2

§¸p sè : VËy ®é dµi çc c¹nh cña tam gi¸c lµ 2 , 3 , 4



VD 18 : Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp trong ®êng trßn . D lµ mét ®iÓm trªn cung

BC kh«ng chøa ®Ønh A . Gäi I , H vµ K lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña D trªn çc

®êng th¼ng BC , AB , vµ AC . Chøng minh r»ng :

BC AB AC

DI DK DH .

Ph©n tÝch : Gi¶ sö M thuéc c¹nh BC sao cho

BM AB

DI DK l¹i cã tø gi¸c BKDI néi tiÕp ®îc

trong ®êng trßn suy ra ABM KDI suy ra

DKI BAM (c/c-g) BAM DKI

Mµ 1( )

2DKI DBI sd DI DBI BAM (1 )

KÐo dµi AM cho c¾t ®êng trßn t¹i ®iÓm N , Trong ®êng trßn nµy çc gãc ë ®¼ng thøc (1) ®Òu lµ çc gãc néi tiÕp ch¾n çc cung t¬ng øng lµ BN

vµ CD suy ra / /BN CD BD CN DN BC

VËy ta x¸c ®Þnh ®îc ®iÓm N vµ suy ra x¸c ®Þnh ®îc ®iÓm M .

M

I

H

K

DN

CB

A

Lêi gi¶i : Qua D kÎ ®êng th¼ng song song víi BC , ®êng th¼ng nµy c¾t ®êng trßn t¹i ®iÓm

thø hai lµ N (N cã thÓ trïng víi D ) . Gäi M lµ giao ®iÓm cña AN víi BC . DÔ thÊy :

- DKI BAM BM AB

DI DK .

- L¹i thÊy ( )CM AC

ACM HDI g gDI DH

- Céng tõng vÕ çc ®¼ng thøc trªn ta ®îc §PCM Lêi bµn : */Trong mçi bµi to¸n nªu trªn cßn cã nh÷ng çch gi¶i kh¸c vµ cã thÓ cã

nhøng çch gi¶i hay h¬n .Tuy nhiªn ë ®©y muèn tr×nh bµy lêi gi¶i mét çch tù nhiªn h¬n b»ng çch ph©n tÝch cã ý thøc , cã chñ ý ®Ó t×m çch vÏ thªm ®îc h×nh phô thÝch hîp cho mçi bµi to¸n . §ång thêi ®©y chÝnh lµ nh÷ng c¬ héi rÊt lín ®èi víi çc em häc sinh muèn rÌn luyÖn suy nghÜ , tu duy vµ ý thøc cña con ngßi th«ng qua ho¹t ®éng gi¶i To¸n . Çc em sÏ thÊy ®îc t¹i sao ngêi ta l¹i vÏ ®îc nh÷ng ®êng phô nh thÕ . T¹i sao SGK To¸n 9 khi chøng minh ®Þnh lý Pitago ngêi ta l¹i dùa vµo ch©n ®êng cao øng víi c¹nh huyÒn , … . */ Häc gi¶i To¸n lµ häc çch suy nghÜ , çch tu duy ®Ó t×m kiÕm lêi gi¶i , chø kh«ng ®¬n thuÇn chØ lµ biÕt lêi gi¶i cña mét bµi To¸n ®ã . HÇu hÕt çc s¸ch TK , n©ng cao hiÖn nay b¸n trªn thÞ trêng s¸ch ®Òu chØ cung cÊp lêi gi¶i cña çc bµi To¸n . RÊt hiÕm s¸ch TK cung cÊp cho ngêi ®äc biÕt ®îc sù ph©n tÝch chu ®¸o , cÈn thËn qu¸ tr×nh suy nghÜ t×m kiÕm lêi gi¶i bµi to¸n . */ Häc sinh cÇn ph¶i ph©n biÖt sù kh¸c nhau gi÷a b¶n nh¸p vµ b¶n tr×nh bµy lêi gi¶i chÝnh thøc . B¶n nh¸p chÝnh lµ b¶n dù th¶o , ph¸c th¶o cña lêi gi¶i chÝnh thøc v× vËy kh«ng cÇn ph¶i chi tiÕt , tû mû . Nhng lêi gi¶i chÝnh thøc chÝnh lµ mét v¨n b¶n mang tÝnh KH , nªn nã ®ßi hái HS pgh¶i tr×nh bµy theo ®óng nh÷ng quy ®Þnh cña mét v¨n b¶n KH , tõ çc KH cña h×nh vÏ , cho ®Õn çc thñ tôc , h×nh thøc tr×nh bµy , dÊu chÊm , dÊu ph¶y , lçi chÝnh t¶ ….®Òu ph¶i ®îc quan t©m mét çh chu ®¸o cÈn thËn . NÕu kh«ng th× Bót xa Gµ chÕt , mÆc dï høng gi¶i ®óng nhng kh«ng cã KQ nh mong ®îi (kh«ng ®¹t gi¶i , Tµi – Tö lµ thÕ , Tµi mµ chÕt sím , tµi mµ tai)



Mét sè bµi to¸n t¬ng tù cña dang to¸n

Bµi 1 : Cho tam gi¸c ABC cã 2A B , gäi a , b , c lÇn lît lµ ®é dµi cña çc c¹nh

BC , AC , AB cña tam gi¸c . Chøng minh r»ng : a2 = b2 + bc

Bµi 2 : Cho tam gi¸c ABC cã gãc A b»ng 300 , gãc B b»ng 500 . Chøng minh r»ng

®é dµi çc c¹nh cña tam gi¸c liªn hÖ víi nhau bëi hÖ thøc :

2 2c b

ab

.

Bµi 3 : Cho tam gi¸c ABC cã 020 ; ;BAC AB AC b BC a . Chøng minh r»ng :

a3 + b3 = 3ab2 .

Bµi 4 : Cho tam gi¸c ABC . KÎ ®êng ph©n gi¸c AD . Chøng minh r»ng :

AD2 = AB . AC – BD . DC . Tõ ®ã suy ra c«ng thøc tÝnh ®êng ph©n gi¸c cña mét tam gi¸c theo çc c¹nh cña tam gi¸c :

2

a

bcl p p a

b c

Trong ®ã p =

2

a b c . Hoµn toµn t¬ng tù ta còng tÝnh ®îc :

2 2

;b c

ca abl p p b l p p c

c a a b

trong ®ã lb , lc lµ ®é dµi ®êng ph©n gi¸c gãc

B vµ gãc C cña tam gi¸c .

Bµi 5 : Cho tam gi¸c ABC . BiÕt r»ng ®êng ph©n gi¸c ngoµi cña gãc A c¾t c¹nh

BC kÐo dµi t¹i E . Chøng minh r»ng : AE2 = EB . EC – AB . AC .

PhÇn thø n¨m Sö dông c©u thÇn chó : (( h·y ch¨m lo tèt phÇn gèc sÏ t¬i tèt

phÇn ngän )) ®Ó t×m kiÕm lêi gi¶i çc bµi to¸n khã

I/ §Æt vÊn ®Ò :

Lêi gi¶i mét bµi to¸n nµo ®ã dï khã ®Õn ®©u ®i n÷a còng chØ lµ phÇn ngän mµ th«i. §»ng sau nã lµ mét phÇn rÊt quan träng ®ã lµ lµ phÇn gèc cña lêi gi¶i ®ã . PhÇn gèc nµy bao gåm nhiÒu gãc ®é kh¸c nhau nh : KiÕn thøc , kü n¨ng , ph¬ng ph¸p suy nghÜ , ph¬ng ph¸p gi¶i …v…v… Gièng nh mét çi c©y , phÇn gèc cña nã kh«ng chØ lµ phÇn th©n c©y ë trªn mÆt ®Êt mµ cßn cã mét phÇn rÊt quan träng n»m díi mÆt ®Êt mµ ngêi ta gäi lµ rÔ .V× vËy khi nãi ch¨m lo phÇn gèc th× chóng ta ph¶i ch¨m lo mét çch toµn diÖn c¶ gèc lÉn rÔ ( S©u rÔ bÒn gèc) th× phÇn ngän cña c©y míi ®îc toi tèt , ®¬m hoa kÕt tr¸i ®îc Chóng ta b¾t ®Çu tõ bµi to¸n sau ®©y :

II / Bµi to¸n gèc :

Cho tam gi¸c ABC víi AM lµ ®êng trung tuyÕn xuÊt ph¸t tõ A , I lµ mét ®iÓm

bÊt kú trªn ®o¹n th¼ng AM( ®iÓm I kh«ng trïng víi hai ®iÓm A vµ M ) , nèi BI ,

CI kÐo dµi lÇn lît c¾t AC & AB t¹i E & F . Chøng minh r»ng : EF // BC



NhËn xÐt : §©y lµ mét bµi to¸n rÊt quen thuéc ®èi víi HS giái To¸n , tuy nhiªn

cã thÓ lµ do çch tiÕp cËn víi bµi To¸n cña mçi ngêi kh¸c nhau , h¬n n÷a cã thÓ l©u kh«ng ®éng ®Õn th× phÇn lín chóng ta sÏ quªn c¶ çch chøng minh cña nã , chø cha nãi ®Õn nh÷ng chuyÖn kh¸c vÒ BT ®ã . V× vËy , tríc hÕt chóng ta cïng nhau chøng minh l¹i bµi to¸n nµy xem sao ! §V§ : Khi häc xong ch¬ng tr×nh h×nh häc líp 7 chóng ta ®· cã nh÷ng c«ng cô nµo ®Ó chøng minh hai ®êng th¼ng song song ?

1) Nh¾c l¹i çc dÊu hiÖu nhËn biÕt hai ®êng th¼ng song song ë h×nh häc líp 7 a/ NÕu ®êng th¼ng c c¾t hai ®êng th¼ng a vµ b trong çc gãc t¹o thµnh cã cÆp gãc so le trong b»ng nhau ( hoÆc mét cÆp gãc ®ång vÞ b»ng nhau ) th× a vµ b song song víi nhau . b/ Hai ®êng th¼ng ph©n biÖt cïng vu«ng gãc víi mét ®êng th¼ng thø ba th× chóng song song víi nhau . c/ Hai ®êng th¼ng ph©n biÖt cïng song song víi mét ®êng th¼ng thø ba th× chóng song song víi nhau . Nh÷ng c«ng cô ®ã cã ph¶i lµ v¹n n¨ng hay kh«ng ? çc c«ng cô nµy cã ph¸t huy t¸c dông víi bµi To¸n nµy hay kh«ng ? Râ rµng trong bµi to¸n nµy chóng ta kh«ng thÓ bãi ®©u ra cÆp gãc so le trong hay cÆp gãc ®ång vÞ b»ng nhau ®îc , chóng ta cµng kh«ng thÓ t×m ®îc mét ®êng th¼ng thø ba cïng vu«ng gãc hoÆc cïng song song víi BC & FE ®îc . Chóng ta sÏ thÊy nÕu chØ dïng çc c«ng cô nãi trªn th× sÏ bã tay chÊm com ! chÞu chÕt kh«ng lµm g× ®îc . Nhng trêi ph¸n r»ng : §· cã Ta LÐt thÕ lµ tÊ c¶ l¹i bõng s¸ng ! VËy søc m¹nh cña §Þnh lý Ta lÐt lµ çi g× ? Em nµo nãi ®îc ? Tr¶ lêi :

- Sö dông sù song song cña çc ®êng th¼ng ®Ó thiÕt lËp tû lÖ thøc . - Sö dông tû lÖ thøc ®Ó chøng minh sù song song .

Çch gi¶i thø nhÊt : Ta sÏ sö dông c¶ hai søc m¹nh ®ã ®Ó gi¶i bµi to¸n . Tríc hÕt

ta ph¶i kÎ thªm çc ®êng th¼ng song song ®Ó thiÕt lËp tû lÖ thøc mµ ®ang cÇn . Sau ®ã khi cã tû lÖ thøc th× suy sa sù song song . Cã nhiÒu çch çch kÎ thªm ®êng th¼ng song song , ë ®©y thÇy gi¸o sÏ tr×nh bµy hai çch ®iÓn h×nh sau

Çch 1 : KÎ thªm hai ®êng th¼ng song Qua A kÎ ®êng th¼ng song song víi CF c¾t ®êng th¼ng BE kÐo dµi t¹i D . Qua B kÎ mét ®êng th¼ng song song víi CF c¾t ®êng th¼ng AM t¹i K , ¸p dông ®Þnh lý Ta lÐt trong tam gi¸c EIC cã AD//CI

Ta cã AE AD

EC IC (1)

MÆt kh¸c , v× M lµ trung ®iÓm cña BC suy ra CI = BK



M

K

DF E

I

CB

A

Suy ra AD AD

IC BK (2) L¹i ¸p dông ®Þnh lý Ta lÐt trong tam gi¸c IBK cã AD//BK suy ra ta cã

AD AI

BK IK (3) L¹i ¸p dông ®Þnh lý trong tam gi¸c ABK cã FI // BK suy ra ta cã

AI AF

IK FB (4)

Tõ çc ®¼ng thøc 1-4 ta suy ra / /AE AF

EF BCEC FB

.

Çch 2 : KÎ thªm mét ®êng th¼ng song song :

Qua A kÎ ®êng th¼ng song song víi BC c¾t BE vµ CF kÐo dµi lÇn lît t¹i P & Q . theo ®Þnh lý

Thales ta suy ra AP = AQ , sau ®ã l¹i sö dùng ®Þnh lý 2 lÇn n÷a suy ra / /AE AF

EF BCEB FC

M

I

EF

P Q

CB

A

Ngoµi çch gi¶i khai th¸c sù song song nh trªn( cã thÓ kÎ thªm mét hoÆc hai ®êng th¼ng song song ) Ta cã thÓ sö dông diÖn tÝch ®Ó chøng minh . Ch¼ng h¹n ta cã thÓ sö dông kÕt qu¶ sau ®©y cña chuyªn ®Ò diÖn tÝch ®Ó chøng minh FE//BC .

KÕt qu¶ : Cho tam gi¸c ABC , M lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn c¹nh BC , I lµ mét

®iÓm bÊt kú trªn AM khi ®ã ta lu«n cã :

ABI

ACI

S BM

S MC

Ta cã F thuéc AB , vµ I thuéc CF suy ra ta cã :

(1)

(2); 1 (3)

AIC

BIC

AIB AIBAIB AIC

BIC AIC

S AF

S BF

S SAE BMS S

S EC S CM

Tõ (1) , (2) , (3) suy ra ®pcm .



Lêi bµn :

1/ So víi çc c«ng cô chøng minh hai ®êng th¼ng song song cña h×nh häc líp 7

th× ®Þnh lý Ta LÐt ®¶o trong tam gi¸c cã tÝnh u viÖt rÊt lín cã thÓ nãi nã ®· t¹o ra mét cuéc cuéc çch m¹ng trong viÖc chøng minh hai ®êng th¼ng song song cña h×nh häc ph¼ng . Nã ®· lµm cho häc sinh líp 8 , 9 më réng tÇm nh×n , tÇm tu duy lªn mét ®¼ng cÊp v¨n ho¸ h¬n h¼n HS líp 6 ,7 . Çc em kh«n lín trëng thµnh vÒ mÆt kiÕn thøc lµ ë chç ®ã , thÕ nhng nhiÒu khi chÝnh çc em l¹i kh«ng ý thøc ®îc sù kh«n lín trëng thµnh cña m×nh ë chç nµo ? chÝnh v× thÕ thÇy gi¸o dµnh ra mét Ýt phót ®Ó ph©n tÝch cho çc em thÊy râ ®îc nh÷ng bËc thang trong nhËn thøc vµ tu duy cña chÝnh m×nh . Trong thùc tÕ rÊt nhiÒu thÇy c« gi¸o còng chØ biÕt d¹y hÕt bµi nµy sang bµi kh¸c mµ kh«ng hÒ ph©n tÝch cho HS thÊy râ ®îc nh÷ng bËc thang quan träng cña tri thøc mµ HS ®· vµ ®ang bíc qua ( thËm trÝ ®ang ch¹y qua mµ kh«ng hÒ hay biÕt ) NÕu çc em cø hån nhiªn ch¹y qua çi hay çi ®Ñp cña v¨n ho¸ , cña tri thøc nh©n lo¹i th× cuéc ®êi cña çc em sÏ c¶ thÌm chãng ch¸n . Çc em sÏ ch¸n trêng , ch¸n líp , ch¸n thÇy , ch¸n c« , ch¸n häc(mÆc dï suèt ngµy ®i häc thªm) , råi bá häc lóc nµo kh«ng hÒ hay biÕt . §ã chÝnh lµ mét trong sè nhiÒu con ®êng dÉn HS tíi tÖ n¹n x· héi , ®Ó råi ®a con ngêi tíi ®Þa ngôc lóc nµo kh«ng hay biÕt . G©y ra bao nhiªu ®ín ®au cho nhiÒu G§ VN hiÖn nay .

2) Çc dÊu hiÖu nhËn biÕt hai ®êng th¼ng song song cña h×nh häc líp 8

a) DÊu hiÖu thø nhÊt( §Þnh lý Ta LÐt ®¶o ) :

NÕu mét ®êng th¼ng kh«ng ®i qua ®Ønh cña mét tam gi¸c vµ chia (trong hoÆc ngoµi) hai c¹nh cña tam gi¸c ®ã thµnh nh÷ng ®o¹n th¼ng t¬ng øng tû lÖ th× nã song song víi c¹nh cßn l¹i cña tam gi¸c ®ã .

b) DÊu hiÖu thø hai ( TÝnh chÊt cña ®êng trung tuyÕn trong tam gi¸c )

Cho tam gi¸c ABC víi AM lµ ®êng trung tuyÕn xuÊt ph¸t tõ A , I lµ mét ®iÓm

bÊt kú trªn ®o¹n th¼ng AM( ®iÓm I kh«ng trïng víi hai ®iÓm A vµ M ) , nèi BI ,

CI kÐo dµi lÇn lît c¾t AC & AB t¹i E & F . Khi ®ã ta lu«n cã : EF // BC

Chó ý : Nhê cã dÊu hiÖu thø nhÊt mµ chóng ta cã dÊu hiÖu thø hai & vµ mét khi

®· cã råi ( C/m h¼n hoi råi ) th× nã l¹i trë thµnh mét c«ng cô míi ®Ó gi¶i To¸n Sau ®©y lµ mét sè bµi thi HSG cÊp TØnh vµ cÊp quèc gia cã sö dông dÊu hiÖu thø hai .

5/ Mét sè øng dông cña dÊu hiÖu thø hai vµo gi¶i To¸n :

a) Bµi to¸n tÇm cì thi HSG cÊp TØnh :

VD 19 :

Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AD . Trªn nöa ®êng trßn ta lÊy mét ®iÓm B

, trªn ®êng kÝnh AD ta lÊy mét ®iÓm C sao cho AB = CD . Chøng minh r»ng :

Trong tam gi¸c ABC cã ph©n gi¸c kÎ tõ A , trung tuyÕn kÎ tõ B vµ ®êng cao kÎ

tõ C ®ång quy t¹i mét ®iÓm .

1/ Suy xÐt :



§©y lµ mét bµi to¸n thi HSG n¨m häc 1997-1998 cña tØnh B¾c Ninh , kh«ng khã l¾m tuy nhiªn víi tinh thÇn ch¨m lo tèt phÇn gèc , sÏ tèt t¬i phÇn ngän , t«i sÏ lµm bµi b¶n mét chót theo çc bíc t×m kiÕm lêi gi¶i mét bµi To¸n mµ P« li a ®· nªu ra

a/ Bíc 1- Lùa chän ph¬ng ph¸p gi¶i

Tríc hÕt chóng ta ph¶i ®äc thËt kü v¨n b¶n ®Çu bµi , vÏ h×nh , ghi GT + KL , theo ®óng néi dung cña ®Çu bµi . TiÕp ®Õn chóng ta sÏ suy nghÜ ®Õn viÖc lôc läi çc ph¬ng ph¸p chøng minh çc ®êng th¼ng ®ång quy mét ®iÓm mµ chóng ta ®· biÕt ®Ó lùa chän xem ph¬ng ph¸p nµo cã kh¶ n¨ng gi¶i ®îc bµi to¸n nµy . TÊt c¶ cã 5 ph¬ng ph¸p c¬ b¶n ®Ó chøng minh çc ®êng th¼ng ®ång quy mµ chóng ta ®· rÊt quen thuéc ®ã lµ : - Chøng minh giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng n»m trªn ®êng thø ba .

- Dùng mét ®êng th¼ng ®i qua giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng cho tríc , råi chøng minh ®êng th¼ng nµy trïng víi ®êng th¼ng thø ba .

- Qua giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng cho tríc dùng hai ®êng th¼ng kh¸c , råi chøng minh hai ®êng th¼ng nµy hîp thµnh ®êng th¼ng thø ba .

- Chøng minh çc ®êng th¼ng ®Òu ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh . - Lîi dông çc ®Þnh lý vÒ çc ®êng ®ång quy trong tam gi¸c .

Chóng ta h·y ®Ó ý ®Õn ph¬ng ph¸p thø hai ®ã lµ : Dùng ®êng th¼ng ®i qua giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng cho tríc , råi chøng minh ®êng th¼ng nµy trïng víi ®êng th¼ng thø ba .

b/ Bíc 2 - X©y dùng kÕ ho¹ch gi¶i bµi to¸n :

§Ó chøng minh ba ®êng th¼ng ®ång quy th× ta ph¶i gäi tªn giao ®iÓm cña 2 trong ba ®êng th¼ng cÇn chøng minh . Tríc khi gäi tªn giao ®iÓm cña chóng , ta ph¶i gäi tªn hai trong ba ®êng th¼ng cÇn chøng minh ®ång quy , trong ®ã nhÊt thiÕt ph¶i cã ®êng trung tuyÕn ( v× ta muèn vËn dông dÊu hiÖu thø 2 – tÝnh chÊt cña ®êng trung tuyÕn ) V× vËy h×nh thµnh kÕ ho¹ch gi¶i bµi to¸n nh sau */ Gäi tªn hai trong ba ®êng th¼ng cÇn chøng minh , trong ®ã nhÊt thiÕt ph¶i cã ®êng trung tuyÕn . Sau ®ã gäi tªn giao ®iÓm cña cña chóng

*/ Dùng ®êng th¼ng ®i qua ®Ønh cßn l¹i cña tam gi¸c vµ giao ®iÓm nãi trªn

*/ Chøng minh ®êng th¼ng míi dùng nµy trïng víi ®êng th¼ng thø ba .

c/ Bíc 3 - Thùc hiÖn kÕ ho¹ch ®· ®Ò ra – Thùc hiÖn lêi gi¶i bµi to¸n



Lêi gi¶i : */ §V§: Gäi BM lµ ®êng trung

tuyÕn , AE lµ ®êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c ABC , gäi I lµ giao ®iÓm cña AE víi BM nèi CI kÐo dµi cho c¾t AB t¹i H ta sÏ chøng minh CH chÝnh lµ ®êng cao kÎ tõ C cña tam gi¸c ABC . TvËy : Theo dÊu hiÖu thø hai ta cã HE // AC

AH CE

HB EB . MÆt kh¸c v× AE lµ ph©n gi¸c

nªn ta cã :

;CE AC AC AC

AB CDBE AB AB CD

VËy ta cã :

/ /AH AC

CH BDHB CD

( 1 )

H E

I

M CD

B

A

MÆt kh¸c ta cã ABD lµ gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn suy ra 090ABD BD AB (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra CH tøc lµ CH chÝnh lµ mét ®êng cao cña tam gi¸c ABC .

Lêi bµn :

*/ Nhê cã dÊu hiÖu thø hai chóng ta míi cã sù kiÖn rÊt quan träng cña lêi gi¶i ®ã lµ HE//AC ®Ó sau ®ã suy ra ®îc nh÷ng tû sè mong muèn */Muèn cã ®îc lêi gi¶i nh trªn ®ßi hái HS ph¶i cã mét phÇn gèc rÊt v÷ng ch¾c ®ã lµ : - 5 ph¬ng ph¸p chøng minh ba ®êng th¼ng ®ång quy , sau ®ã lùa chän çch §V§ cho phï hîp . - Hai dÊu hiÖu nhËn biÕt hai ®êng th¼ng song cña h×nh häc líp 8 nãi trªn . - Mét tÝnh chÊt liªn hÖ gi÷a song song vµ vu«ng gãc cña h×nh häc líp 7 . - HÖ qu¶ cña ®Þnh lý vÒ gãc néi tiÕp . Trong kú thi n¨m ®ã cã rÊt nhiÒu HS dù thi ®· kh«ng lµm ®îc bµi To¸n nµy v× phÇn gèc cña nh÷ng em ®ã kh«ng cã ®ñ nh÷ng vÊn ®Ò nãi trªn .

*/ Ngoµi çch §V§ nh trªn chóng ta cã thÓ §V§ nh sau : Gäi CH lµ ®êng cao

kÎ tõ C , BM lµ ®êng trung tuyÕn kÎ tõ B , gäi I lµ giao ®iÓm cña CH víi BM . CMR : AD lµ ph©n gi¸c cña gãc A .

*/ Mét sè bµi tËp t¬ng tù víi VD 19

Bµi 1 : Cho tam gi¸c ABC nhän , cã trung tuyÕn BM , ph©n gi¸c CD , vµ ®êng

cao AH ®ång quy t¹i ®iÓm O . Chøng minh r»ng : 045BAC .

Bµi 2 : Cho tam gi¸c ABC cã gãc A = 900 , trung tuyÕn BM , ph©n gi¸c AD , vµ

®êng cao CH ®ång quy t¹i ®iÓm . Chøng minh r»ng :

SinB = 5 1

2

. Tõ ®ã suy ra çch dùng mét tam gi¸c cã tÝnh chÊt nªu trªn .

Bµi 3 : Cho tam gi¸c ABC . AM , AD thø tù lµ trung tuyÕn vµ ph©n gi¸c cña gãc

A , qua C kÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AD c¾t AD , AK thø tù t¹i H , K . Chøng minh r»ng MH // AB & MH ®i qua trung ®iÓm cña KD .

Tríc khi chuyÓn sang bµi to¸n khã h¬n ( TÇm cì thi quèc gia ) chóng ta

h·y quay trë l¹i ch¨m lo bµi to¸n gèc mét chót nh sau :



B/ Ch¨m lo bµi to¸n gèc :

- NhiÒu khi chóng ta cho r»ng bµi to¸n gèc , còng nh çc ®Þnh lý trong lý thuyÕt

ch¼ng cã g× ph¶i quan t©m, suy nghÜ c¶ . §ã lµ mét quan niÖm hÕt søc sai lÇm , mµ chóng ta sÏ ph¶i tr¶ gi¸ khi tham dù thi HSG çc cÊp .

- ë bµi to¸n gèc nãi trªn chóng ta h·y kh¶o s¸t çc vÞ trÝ kh¸c nhau cña ®iÓm I trªn c¶ ®êng th¼ng AM xem khi ®ã kÕt luËn cña bµi to¸n cßn ®óng hay kh«ng ? Trêng hîp thø nhÊt ®iÓm I n»m trong ®o¹n AM (®iÓm I kh«ng trïng víi A & M) chóng ta ®· lµm trong bµi to¸n gèc . B©y giê chóng ta kh¶o s¸t trêng hîp thø hai : §iÓm M n»m ngoµi ®o¹n AM .

Trêng hîp thø hai : §iÓm I n»m ngoµi ®o¹n AM

XÐt hai kh¶ n¨ng sau :

Kh¶ n¨ng 1 : §iÓm I n»m trªn tia ®èi cña tia AM , th× kÕt luËn cña bµi to¸n vÉn

®óng , víi chøng minh hÕt søc ®¬n gi¶n nh sau : Trong trêng hîp nµy ta xÐt tam gi¸c IBC cã IM lµ ®êng trung tuyÕn ,

®iÓm A thuéc IM . ¸p dông kÕt qu¶ ®· chøng minh trong trêng hîp thø nhÊt ®èi víi tam gi¸c IBC vµ ®êng trung tuyÕn IM ta suy ra FE // BC

M

E F

I

CB

A

Kh¶ n¨ng thø hai : §iÓm I n»m trªn tia ®èi cña tia MA , th× l¹i ®ùîc ph©n chia

thµnh hai trêng hîp sau :

Trêng hîp thø nhÊt : §iÓm I thuéc tia ®èi cña tia MA sao cho MI = MA . Khi

®ã tø gi¸c ABIC lµ h×nh b×nh hµnh ( hai ®êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®êng ) V× vËy BI // AC , cho nªn kh«ng c¾t AC , tøc lµ ®iÓm E kh«ng tån t¹i , t¬ng tù ®iÓm F còng kh«ng tån t¹i . Do vËy , kÕt luËn cña bµi to¸n lµ FE // BC còng sÏ kh«ng tån t¹i .

Trêng hîp thø hai : §iÓm I thuéc tia ®èi cña tia MA sao cho MI ≠ MA . Ta sÏ

chøng minh ®îc kÕt luËn cña bµi To¸n nh sau :

ThËt vËy :



Gäi P ; Q lÇn lît lµ trung ®iÓm cña BF vµ CE , khi ®ã MP & MQ lÇn lît lµ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c BFC & tam gi¸c CBE , khi ®ã MP// FC & MQ // BE suy ra

&

;

AP AM AQ AM AP AQ AP PF AQ QE

PF MI QE MI PF QE PF QE

AP BP AQ CQPF BP QE CQ

PF QE

Hay / /1 1

2 2

AB AC AB AC AB ACBC FE

PF QE BF CEBF CE

I

EF

QP

MCB

A

C/ Bµi To¸n tÇm cì thi quèc gia :

VD 20 :

Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A ; cã AM lµ ®êng trung tuyÕn & AH lµ ®êng cao

kÎ tõ ®Ønh A . Trªn tia ®èi cña tia AM ta lÊy mét ®iÓm K , ®êng th¼ng qua H

vµ vu«ng gãc víi AB c¾t KB t¹i E .§êng th¼ng qua H & vu«ng gãc víi AC c¾t

KC t¹i ®iÓm F . Chøng minh r»ng : KM vµ FE vu«ng gãc víi nhau .

1/ Suy xÐt :

§©y lµ mét bµi to¸n khã tÇm cì thi HSG Quèc gia , kh«ng dÔ g× c«ng ph¸ ®îc .

Tuy nhiªn dï khã kh¨n ®Õn mÊy còng ph¶i (( QuyÕt chÝ ¾t lµm nªn )) A) Bíc 1- Lùa chän ph¬ng ph¸p gi¶i

Tríc hÕt chóng ta ph¶i ®äc thËt kü v¨n b¶n ®Çu bµi , vÏ h×nh theo ®óng néi dung cña ®Çu bµi . TiÕp ®Õn chóng ta sÏ suy nghÜ ®Õn viÖc lôc läi çc ph¬ng ph¸p chøng minh hai ®êng th¼ng vu«ng gãc víi nhau mµ chóng ta ®· biÕt ®Ó lùa chän xem ph¬ng ph¸p nµo cã kh¶ n¨ng gi¶i ®îc bµi to¸n nµy . Trong bèn ph¬ng ph¸p c¬ b¶n ®Ó chøng minh hai ®êng th¼ng vu«ng gãc mµ chóng ta ®· rÊt quen thuéc ®ã lµ :



Lîi dông çc gãc kÒ b»ng nhau .

- Lîi dông çc gãc vu«ng cho tríc , hoÆc çc gãc phô nhau . - Lîi dông tam gi¸c c©n . - Dïng ®o¹n th¼ng thø ba lµm trung gian .

Chóng ta h·y ®Ó ý ®Õn ph¬ng ph¸p thø 4 ®ã lµ dïng ®o¹n th¼ng thø ba lµm trung gian , cô thÓ lµ chóng ta sÏ chøng minh mét trong hai ®êng th¼ng KM vµ FE vu«ng gãc víi mét ®êng th¼ng (d ) nµo ®ã , cßn ®êng th¼ng kia th× song song víi ®êng th¼ng ( d) ®ã .

B) Bíc 2 - X©y dùng kÕ ho¹ch gi¶i bµi to¸n :

VÊn ®Ò ë chç lµ ®o¹n th¼ng trung gian (d) mµ chóng ta cÇn t×m kiÕm lµ ®êng th¼ng nµo trong h×nh vÏ nµy . B»ng kinh nghiÖm gi¶i To¸n s½n cã trong ®Çu , qua thùc tÕ ®· gi¶i nhiÒu bµi to¸n chóng ta thÊy nÕu gäi I lµ giao ®iÓm cña EH víi AB ; J lµ giao ®iÓm HF víi AC th× sÏ xuÊt hiÖn ®o¹n th¼ng I J , mµ chóng ta ®· kh¸ quen

thuéc víi bµi to¸n chøng minh I J AM ( §êng th¼ng AM còng chÝnh lµ ®êng th¼ng KM ) . §Õn ®©y ®¬ng nhiªn chóng ta ph¶i chøng minh I J // E F . VËy lµ chóng ta ®· h×nh thµnh ®îc kÕ ho¹ch gi¶i bµi to¸n nh sau :

- Chøng minh AM I J

- Chøng minh I J // FE ;

- KÕt luËn KM FE .

C) Bíc 3 - Thùc hiÖn kÕ ho¹ch ®· ®Ò ra – Thùc hiÖn lêi gi¶i bµi to¸n .

Bíc 1 : Chøng minh AM I J ®Ó suy ra KM I J . ( Cho HS lµm – GV uèn

n¾n sau , ®©y chÝnh lµ mét bµi to¸n c¬ b¶n cña HH líp 8 )

LG -Tãm t¾t : Ta cã

1 6 ( do tam gi¸c AMC

c©n t¹i M )

6 4 ( cïng phô víi gãc

HAC )

4 3 ( AIH J lµ h×nh ch÷

nhËt )

VËy 1 3 Mµ 03 2 90

( do tam gi¸c A I J vu«ng t¹i A ) suy ra 0

1 2 90 suy ra AM I J

Suy ra KM I J

65

4

3

2

1

S

I

J

H M

C

B

A

Bíc 2 : Chøng minh I J // FE . Muèn vËy ta ph¶i chøng minh HI HJ

EI FJ ( D¹ng

to¸n thø hai , ph¬ng ph¸p thø hai , dïng tû lÖ thøc ®Ó chøng minh hai ®êng th¼ng song song . §Ó chøng minh hai tû sè b»ng nhau chóng ta l¹i ph¶i lîi dông mét tû sè thø ba lµm trung gian ( Ph¬ng ph¸p thø 4 , trong d¹ng to¸n thø nhÊt )



T.vËy : */ KÐo dµi BA cho c¾t KC t¹i

Q , kÐo dµi CA cho c¾t KB t¹i P . */ V× cã HE // CP theo tÝnh chÊt cña chïm ®êng th¼ng ®ång quy ta cã :

(1)HI EI HI AC

AC AP EI AP

T¬ng tù v× cã H F // BQ suy ra

(2)HJ AB

JF AQ . §Õn ®©y ta thÊy râ

rµng ph¶i chøng minh AC AB

AP AQ (3)

®iÒu nµy chØ cã thÓ cã ®îc lµ do PQ // BC , ®ã chÝnh lµ dÊu hiÖu thø hai ®îc ¸p dông vµo tam gi¸c KBC víi KM lµ

®êng trung tuyÕn , vµ ®iÓm A € KM , mét lÇn n÷a chøng tá søc m¹nh rÊt lín cña dÊu hiÖu thø hai gióp chóng ta tho¸t khái sù bÕ t¾c nµy .

E

I

F

J

H M

A

CB

QP

K

Tõ (1) , ( 2 ) , (3) suy ra HI HJ

EI FJ theo dÊu hiÖu thø nhÊt suy ra I J // FE

Bíc 3 : KÕt luËn Tãm l¹i ta cã KM J Mµ I J // FE

Suy ra KM FE ( ®pcm) .

D/ Lêi bµn : */ So víi hai bµi to¸n trªn , râ rµng lµ muèn gi¶i ®îc bµi to¸n nµy

th× trong ®Çu ãc cña ngêi gi¶i to¸n nhÊt thiÕt ph¶i diÔn ra sù lùa chän ph¬ng ph¸p gi¶i vµ sù lËp tr×nh çc bíc gi¶i bµi To¸n sau ®ã míi hy väng thùc hiÖn thµnh c«ng ®îc lêi gi¶i . §ã chÝnh lµ sù kh¸c biÖt cña ®Ò thi cÊp Q.gia víi ®Ò thi cÊp TØnh , cÊp huyÖn , nã ®ßi hái HS ph¶i cã tu duy cao cÊp , tù m×nh kh¸m ph¸ ra nh÷ng bµi To¸n Èn m×nh trong ®Ò thi , mµ ngêi ra ®Ò ®· cè ý dÊu diÕm ®i . */ VÒ mÆt kiÕn thøc , nÕu trong ®Çu ãc cña ngêi gi¶i to¸n nÕu kh«ng cã s½n viÖc nghiªn cøu , ch¨m lo bµi to¸n gèc th× kh«ng thÓ nghÜ ®Õn viÖc kÐo dµi BA cho c¾t KC t¹i Q , kÐo dµi CA cho c¾t KB t¹i P , ®Ó råi nhËn ra sù kiÖn quan träng cña lêi

gi¶i ®ã lµ PQ // BC tõ ®ã chóng ta míi cã tû lÖ thøc trung gian AC AB

AP AQ xuÊt hiÖn

®óng lóc chóng ta cÇn nã nhÊt . Nh vËy tõng thao t¸c kÐo dµi çc ®o¹n th¼ng , tõng thãi quen ký hiÖu tªn çc giao ®iÓm ®Òu do viÖc chóng ta biÕt ch¨m lo tèt phÇn gèc mµ cã ®îc . */ VÒ mÆt kü n¨ng gi¶i To¸n , viÖc chøng minh I J // FE chÝnh lµ d¹ng to¸n c¬ b¶n thø hai (ph¬ng ph¸p thø hai , dïng tû lÖ thøc ®Ó chøng minh hai ®êng th¼ng song song ) . Muèn chøng minh ®îc tû lÖ thøc ®ã l¹i lµ d¹ng to¸n thø nhÊt - ph¬ng ph¸p 4 , lîi dông mét tû sè thø ba lµm trung gian . NghÜa lµ häc sinh ph¶i thµnh th¹o d¹ng to¸n thø nhÊt th× míi hy väng thµnh th¹o d¹ng to¸n thø hai , cã bíc ®i

thø nhÊt th× míi cã bíc ®i thø hai . ë ®©y do §K thêi gian thÇy gi¸o kh«ng lµm l¹i phÇn gèc cho çc em ®îc , thÇy rÊt mong çc em tù m×nh ch¨m lo phÇn gèc cho tèt th× míi hy väng gi¶i ®îc çc bµi to¸n khã , ®ã chØ lµ phÇn ngän mµ th«i !



*/ Gi¶i xong mét bµi to¸n cha ph¶i lµ xong mét çch tuyÖt ®èi , mµ nªn dµnh thêi gian ®Ó tiÕp tôc nghiªn cøu s©u thªm vÒ bµi To¸n ë tÊt c¶ çc gãc ®é nh : Suy nghÜ t×m tßi lêi gi¶i , trau råi çc kiÕn thøc , kü n¨ng cÇn thiÕt , thËm chÝ c¶ viÖc thay ®æi , më réng ®Çu bµi . VD ë ®©y , t¬ng tù nh phÇn ch¨m lo bµi to¸n gèc ,chóng ta cã thÓ nghÜ ®Õn viÖc kh¶o s¸t çc vÞ trÝ kh¸c nhau cña ®iÓm K trªn c¶ ®êng th¼ng AM , chø kh«ng ph¶i chØ lµ trªn tia ®èi cña tia AM , th× kÕt luËn cña bµi to¸n cßn ®óng hay kh«ng ? Cã thÓ ph©n chia thµnh s¸u trêng hîp cÇn kh¶o s¸t , nghiªn cøu nh sau : 1/ §iÓm K thuéc tia ®èi cña tia MA víi MK > MA . 2/ §iÓm K thuéc tia ®èi cña tia MA víi MK = MA . 3/ §iÓm K thuéc tia ®èi cña tia MA víi MK < MA . 4/ §iÓm K trïng víi ®iÓm M . 5/ §iÓm K thuéc ®o¹n AM , nhng K kh«ng trïng víi hai ®Çu mót M & A . 6/ §iÓm K trïng víi ®iÓm A . S¸u trêng hîp nµy t«i còng ®· nghiªn cøu rÊt cÈn thËn , chu ®¸o trong gi¸o ¸n viÕt tay cña m×nh , kh«ng cã §K , thêi gian tr×nh bµy ë ®©y , rÊt mong çc HS vÒ nhµ tù mµy mß , tù nghiªn cøu thªm , cã nh thÕ sau nµy çc em míi cã hy väng thµnh Ng« B¶o Ch©u ®îc . Chóc çc em thµnh c«ng !!! */ Cã mét c©u chuyÖn rÊt thùc tÕ nh sau : N¨m häc ®ã , ë §T to¸n 9 cña t«i cã mét em häc sinh tªn lµ : Vò Gi¸p Danh , quª ë CÈm B×nh , H¶i D¬ng gi¸p víi x· Phó L¬ng cña huyÖn L¬ng Tµi , nhµ ë gÇn thÞ trÊn Thøa cã §K sang trßng LVT Gia L¬ng häc , em nµy lµ mét trong nh÷ng häc sinh giái suÊt s¾c nhÊt nh× cña §T To¸n 9 . Khi tham dù kú thi chän §T quèc gia cña TØnh BN , em nµy ®· kh«ng ®äc kü ®Çu bµi , cho nªn ®· lµm trêng hîp ®iÓm K n»m trªn tia ®èi cña tia MA ( trong khi ®Çu bµi lµ ®iÓm K n»m trªn tia ®èi cña tia AM ) , v× rÊt giái vÒ h×nh häc cho nªn anh ta ®· lµm rÊt tèt mét kh¶ n¨ng cña trêng hîp ®ã : §iÓm K thuéc tia ®èi cña tia MA víi MK < MA . ThÕ lµ m¾c téi l¹c ®Ò cho nªn lêi gi¶i bµi to¸n ®ã kh«ng ®îc ®iÓm , dÉn ®Õn lµ kh«ng ®îc tuyÓn chän vµo §T QG cña TØnh , anh ta rÊt buån , rÊt ch¸n ®êi , thËm trÝ muèn ®i tù tö . Håi ®ã , qu¶ thùc lµ t«i còng cha cã §K nghiªn cøu kü nguyªn nh©n s©u sa cña sù nhÇm lÉn ®¸ng tiÕc ®ã , chØ ®æ cho mét nguyªn nh©n duy nhÊt lµ anh ta ®· kh«ng ®äc kü ®Çu bµi . Nhng kho¶ng 10- 15 n¨m sau khi ®· tõng tr¶i nhiÒu trong nhiÒu n¨m c«ng t¸c cña nghÒ d¹y häc th× t«i míi ph¸t hiÖn ra r»ng nguyªn nh©n s©u xa nhÊt cña sù nhÇm lÉn ®ã chÝnh lµ do ngêi thÇy gi¸o ®· kh«ng biÕt ch¨m lo chu ®¸o bµi to¸n gèc nh ®· tr×nh bµy ë trªn .TÊt nhiªn kh«ng ®äc kü ®Çu bµi còng còng thuéc phÇn gèc cña nh©n çch cña con ngßi .Nhng, nÕu khi d¹y bµi to¸n gèc ngêi thÇy gi¸o còng kh¶o s¸t vÞ trÝ cña ®iÓm I trªn c¶ ®êng th¼ng AM nh trªn th× ch¾c ch¾n lóc ®i thi HS kh«ng thÓ cã sù nhÇm lÉn ®¸ng tiÕc nh thÕ ®îc . NhiÒu n¨m sau ®ã khi cã dÞp gÆp l¹i HS nµy t«i ®· thµnh thËt xin lçi em HS ®ã , t«i ®· nãi r»ng : Håi ®ã thÇy gi¸o ®· kh«ng d¹y kü bµi to¸n gèc cho nªn dÉn ®Õn sù nhÇm lÉn ®¸ng tiÕc cña em . ThÇy gi¸o thµnh thËt xin lçi em . Vµ tõ ®ã trë ®i t«i lu«n t©m niÖm mét ®iÒu lµ : M×nh ph¶i gi¸o dôc cho HS giái ý thøc ch¨m lo mét çch chu ®¸o phÇn gèc cña çc lêi gi¶i cña çc bµi To¸n ( nã bao gåm c¶ çi gèc nh©n çch cÈn thËn cña con ngêi häc sinh n÷a ) th× míi hy väng phÇn ngän t¬i tèt , ®¬m hoa kÕt tr¸i ®îc nh mong muèn cña con ngêi .



Mét sè m« h×nh song song kh¸c xung quanh ®êng trung truyÕn

cña tam gi¸c cã nhiÒu øng dông trong gi¶i to¸n .

N¨m häc 2000-2001 , khi d¹y båi dìng HSG cÊp TØnh m«n To¸n 9 cña huyÖn Gia L¬ng cò , t«i ®· ph¸t ®éng phong trµo tËp dît nghiªn cøu To¸n häc trong häc sinh ®éi tuyÓn To¸n 9 . Khi nghiªn cøu trêng hîp ®iÓm K thuéc tia ®èi cña tia

MA sao cho MA ≠ MK , th× em häc sinh NguyÔn Kim S¬n ®· ph¸t hiÖn ra mét m« h×nh song song rÊt thó vÞ sau ®©y liªn quan ®Õn ®êng trung tuyÕn cña tam gi¸c :

M« h×nh song song thø hai liªn quan ®Õn ®êng trung tuyÕn :

Cho tam gi¸c ABC , M lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC , Trªn tia ®èi cña tia MA

lÊy mét ®iÓm K bÊt kú sao cho MK ≠ MA . Qua K kÎ çc ®êng th¼ng song song

víi AB & AC lÇn lît c¾t AC & AB t¹i F & E . Chøng minh r»ng : FE // BC .

N¨m häc ®ã , t«i thêng gäi m« h×nh nµy lµ §Þnh lý NguyÔn KÞm S¬n , HS síng l¾m , khi ®éng vµo b¶n chÊt cña con ngêi : Sù khao kh¸t ®îc

lµ ngêi quan träng , th× ®· cã mét

t¸c dông rÊt lín kÝch thÝch sù say mª häc tËp nghiªn cøu TH cña em S¬n , kÕt qu¶ lµ em NguyÔn Kim S¬n n¨m líp 11 , ®· dµnh ®îc huy ch¬ng Vµng trong kú thi To¸n Q TÕ ë A Ten – Hy L¹p . Trong sè çc em häc sinh giái cã rÊt nhiÒu thiªn tµi , nÕu chóng ta biÕt kh¬i d¹y th× rÊt lµ kú diÖu , ®em l¹i nh÷ng kÕt qu¶ kh«ng ngê .

K

M

FE

CB

A

M« h×nh song song thø ba liªn quan ®Õn ®êng trung tuyÕn :

Cho tam gi¸c ABC cã ®êng trung tuyÕn AD . §êng ph©n gi¸c cña çc gãc

ADB & ADC c¾t çc c¹nh t¬ng øng AB , AC t¹i E , F .

Chøng minh r»ng ; FE // BC

Bµi to¸n ¸p dông rÊt thó vÞ nh sau :

Cho h×nh thang ABCD (AB // CD , CD < AB ) Hai ®êng chÐo AC & BD c¾t

nhau t¹i G . Gäi M lµ trung ®iÓm cña c¹nh ®¸y AB . Tia ph©n gi¸c cña gãc

AMG c¾t çc tia AC & AD t¹i I vµ E t¬ng øng . Tia ph©n gi¸c cña gãc BMG

c¾t çc tia BD & BC t¹i çc ®iÓm t¬ng øng K & F . Chøng minh r»ng :

1) Chøng minh r»ng çc ®êng th¼ng AD , BC vµ MG ®ång quy t¹i mét ®iÓm

2) Gi¶ sö r»ng AI = AE ; CMR khi ®ã ta cã BK = BF .

--------HÕt -------

Documents

Chuyen de Dinh ly Ta let.pdf