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“Conocer para desarrollar prácticas pedagógicas en dos áreas
de la Matemática: la Geometría y la Estadística”
Junio, 2011
Convocatoria 2008 - Proyectos de Investigación Pedagógica
Equipo de Investigación: Profesora Maria Laura Boidi – D.N.I. 27.180.015 Profesora Noelia Maldonado – D.N.I. 29.687.684
Profesora Rosa Zarotti – D.N.I. 13.420.062 Alumno Martín Comoglio – D.N.I. 33581441 Alumna Teresa Gemmi – D.N.I. 31.580.316
Instituto de Enseñanza Superior
“Eduardo Lefébvre de Laboulaye”
C.U.E. 1402987-00
Independencia 475
Laboulaye – Córdoba
Proyecto Nº 572
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INDICE
1. Resumen
2. Introducción
3. Metodología
3.1. Conocimientos de Geometría y Estadística de los alumnos ingresantes al
Profesorado
3.2. Observación de clases de Matemática
3.3. Entrevistas grupales a docentes de Matemática
3.4. Herramientas pedagógicas
4. Análisis descriptivo
4.1. Conocimientos de Geometría y Estadística de los alumnos ingresantes al
Profesorado
4.2. Observación de clases de Matemática
4.3. Entrevistas grupales a docentes de Matemática
4.4. Herramientas pedagógicas
5. Interpretación de los resultados
5.1. Conocimientos de Geometría y Estadística de los alumnos ingresantes al
Profesorado
5.2. Observación de clases de Matemática
5.3. Entrevistas grupales a docentes de Matemática
6. Discusión de los resultados
6.1. Conocimientos de Geometría y Estadística de los alumnos ingresantes al
Profesorado
6.2. Observación de clases de Matemática
6.3. Entrevistas grupales a docentes de Matemática
6.4. Herramientas pedagógicas
7. Conclusiones
8. Referencias bibliográficas
9. Anexos
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1. Resumen
En los alumnos ingresantes a la carrera “Profesorado en Matemática” del Instituto de
Enseñanza Superior “Eduardo Lefébvre de Laboulaye”, se han observado escasos contenidos
geométricos y limitados saberes relacionados con la Estadística. A través de este trabajo nos
hemos propuesto indagar acerca de las motivaciones de estos hechos y conocer la realidad
aúlica de las clases de Matemática de las escuelas del radio de influencia del Profesorado. Al
mismo tiempo hemos planeado realizar una búsqueda de estrategias didácticas que incidan en
la mejora y fortalecimiento de los procesos educativos en Geometría y Estadística, como
alternativa para mejorar la calidad de la educación matemática.
El alcance de los objetivos se llevó a cabo a través del análisis de la resolución de las
actividades propuestas a los alumnos ingresantes del profesorado durante el Curso Único de
Ingreso (CUI), de observaciones de clases, de entrevistas grupales a docentes de Matemática
en ejercicio y de recolección y análisis de propuestas didácticas.
Cabe notar que, se ha podido corroborar la escases de contenidos geométricos y estadísticos
en los ingresantes a la carrera, como así también que los actuales docente de Matemática
reconocen, en la mayoría de los casos, no dictar estos contenidos por diversos motivos o
hacerlo, muy brevemente y sin el empleo de alguna competencia alterna, como por ejemplo
alguna de las Nuevas Tecnologías.
Como alternativa a estas carencias se sugieren el uso de software de Geometría Dinámica y la
enseñanza de la Estadística basada en Proyectos como posibles herramientas pedagógicas
alternativas.
4
2. Introducción
En el Instituto de Enseñanza Superior “Eduardo Lefébvre de Laboulaye”, al comienzo de cada
ciclo lectivo, se lleva a cabo un análisis exploratorio en relación a los contenidos específicos
matemáticos con que cuentan los alumnos ingresantes a la carrera “Profesorado en
Matemática”. En esta práctica se han observado escasos contenidos geométricos y limitados
saberes relacionados con la Estadística. Así, la Geometría y la Estadística parecieran ser las
áreas de la matemática que presentan mayores dificultades para ser enseñadas y aprendidas.
Algunos estudios realizados en este ámbito (Espinoza, Barbé, 2004; Batanero, 2001) muestran
que los profesores de los distintos niveles educativos tienen serias dificultades para ir más allá
de una enseñanza de la Geometría y la Estadística centrada en la clasificación rígida y formal de
figuras y cuerpos, en el cálculo de áreas, perímetros, medidas descriptivas y probabilidades de
sucesos; como también en la memorización de fórmulas y propiedades. De esta forma no se
considera una participación real del alumno en la construcción del conocimiento.
La enseñanza de la Matemática, recorre, casi, el camino común de dar definiciones,
enunciando y demostrar teoremas, explicar procedimientos y luego pedir a los alumnos que
apliquen esas ideas a problemas especialmente elegidos. Se oculta parte importante del
proceso de hacer matemática, de pensar, de dudad, de buscar soluciones y el resultado es una
versión aguada de la experiencia matemática.
El tipo de saber que predomina actualmente en nuestras escuelas es fuertemente atomizado,
memorístico y enciclopédico. Está profundamente desvinculado de la realidad y no ayuda a la
comprensión de los procesos tecnológicos y sociales que ocurren fuera de ellas (Filmus, D.,
2003).
Por un lado tenemos la formación docente que podríamos denominar “tradicional” impartida a
través de los institutos superiores de formación. Por otro lado, en los últimos años, esta
situación se ha visto modificada, por la influencia de nuevos enfoques didácticos y por la
proliferación de recursos informáticos.
Carmen Batanero cita a Piaget, quien postula que, además del desarrollo físico, son necesarias
para el aprendizaje la experiencia adquirida en forma activa, las interacciones o transmisiones
sociales y la resolución de situaciones problemáticas. El conocimiento es construido activamente
por el sujeto y no recibido pasivamente del entorno. (Batanero, 2001).
Otra influencia muy fuerte en educación viene de Vigostky, quien basa su teoría del aprendizaje
en la actividad, considerando que el sujeto no sólo responde a los estímulos que le
5
proporcionamos sino que actúa sobre ellos y los transforma, usando instrumentos mediadores de
dos tipos: herramientas y símbolos (o signos).
Cabe notar que las teorías anteriores son generales. El carácter específico del conocimiento
matemático y la importancia particular de las situaciones que se empleen en la enseñanza y la
gestión de las mismas por parte del profesor son subrayadas por Brousseau.
Guy Brousseau desarrolla la “Teoría de Situaciones Didácticas”. Se trata de una teoría de la
enseñanza, que busca las condiciones de una génesis artificial de los conocimientos matemáticos,
bajo la hipótesis de que los mismos no se construyen de manera espontánea. Este autor plantea
las Situaciones Didácticas como una forma para “modelar” el proceso de enseñanza-aprendizaje.
Se refiere al conjunto de interrelaciones entre sujetos: profesor – estudiante – medios
didácticos, que contiene intrínsecamente la intención de que alguien aprenda algo.
Así la Situación Didáctica es una situación construida intencionalmente con el fin de hacer adquirir
a los alumnos un saber determinado.
Las teorías anteriores señalan la conveniencia de cambiar el enfoque tradicional expositivo en
la clase, abandonar el énfasis excesivo en los aspectos teóricos y reforzar el trabajo práctico en
forma grupal, a partir de los problemas que dan sentido a los conceptos.
En tal sentido, en las instituciones de formación docente y en las aulas del nivel secundario es
necesario incorporar innovaciones que permitan el desarrollo de nuevas estrategias, de nuevas
posibilidades para un sujeto que necesita adecuarse a las demandas sociales.
“Los maestros y profesores de, al menos, la primera mitad del siglo XXI son los jóvenes que hoy
están en los institutos de formación docente. Es ahora, en consecuencia, cuando es preciso
actuar si se quiere garantizar efectivamente una educación de buena calidad en el próximo
siglo.” (Tedesco, J.C.)
Por otra parte, según algunos informes de la UNESCO, con el advenimiento de las nuevas
tecnologías, el énfasis de la profesión docente está cambiando desde un enfoque centrado en
el profesor y basado en clases magistrales, hacia una formación centrada principalmente en el
alumno dentro de un entorno interactivo de aprendizaje. El diseño e implementación de
programas de formación continuada de docentes que utilicen las TICs efectivamente es un
elemento clave para lograr reformas educativas profundas y de amplio alcance. Para que la
educación pueda explotar al máximo los beneficios de las TICs en el proceso de aprendizaje, es
esencial que tanto los futuros docentes como los docentes en actividad sepan utilizar estas
herramientas. Las instituciones y los programas de formación deben liderar y servir como
6
modelo en lo que respecta a nuevos métodos pedagógicos y nuevas herramientas de
aprendizaje.
Con los recursos informáticos se facilita la creación de situaciones problemáticas reales y
actualizadas, contribuyendo al fortalecimiento de valores y el desarrollo multilateral del
estudiante. (Lujan, M., Pochulu, M.; 2006). Por lo que se evidencia la necesidad de profundizar
sobre el papel de las Nuevas Tecnologías y su incorporación al currículum de Matemática para,
al mismo tiempo, rescatar las áreas que son dejadas de lado en el transcurso de la actividad en
el aula, como son la Geometría y la Estadística.
Actualmente disponemos de las herramientas necesarias para que la formación del alumno sea
más completa. Los programas de Geometría Dinámica han demostrado su capacidad de ayuda
para adquirir destrezas en el campo geométrico, ya que proporcionan una ayuda
extraordinaria para la experimentación, la construcción de conceptos y la visualización de
resultados y propiedades geométricas a través de la práctica experimental.
En Estadística también se evidencia la influencia del avance tecnológico actual. Las Nuevas
Tecnologías han favorecido el desarrollo de la Estadística como disciplina, han facilitado el
acceso a ella, y han promovido un cambio en los contenidos, dándosele mayor importancia a
los aspectos interpretativos y conceptuales por sobre los algoritmos de cálculo. La
incorporación de estas innovaciones a la enseñanza de la Estadística, permite experimentar y
explorar todos los aspectos de los procesos estadísticos, dando la oportunidad de mostrar a los
alumnos las aplicaciones de la Matemática para resolver problemas reales a través de la
Enseñanza por Proyectos.
A nivel local, la Geometría Dinámica y la Enseñanza por Proyectos se encuentra en un estado
incipiente de desarrollo. Si bien existen estudios que reportan sobre el tema, éstos tienen sus
cometidos en el ámbito internacional y aún no han sido apreciadas por los estudiantes del
Instituto de Formación Docente, ni por los actuales docentes de Matemática de la localidad.
3. Metodología
Este proyecto se enmarca dentro de la investigación cualitativa. Más precisamente en la
Entrevista y en la Investigación – Acción. Las unidades de análisis son los docentes del nivel
medio de la ciudad de Laboulaye. Se invitó a participar a toda la población de docentes de la
localidad. El aporte de cada uno de ellos fue voluntario.
7
3.1. Conocimientos de Geometría y Estadística de los alumnos ingresantes al Profesorado
El punto de partida de este trabajo fue el análisis de las actividades de tipo diagnósticas1
realizadas a los alumnos ingresantes a la carrera “profesorado en Matemática” a comienzos del
año 2010. Durante las semanas previas al inicio del cursado del ciclo lectivo, los alumnos que
comienzan primer año asisten al “Curso único de Ingreso” (CUI). Este período de encuentros
resulta propicio para estimar cuáles son los conocimientos con que cuenta el alumnos al iniciar
esta carrera de Nivel Terciario, teniendo en cuenta que la edad de los ingresantes es
totalmente heterogénea, como así también el tiempo que ha transcurrido desde que han
finalizado el Nivel Medio y la modalidad que han cursado.
Ante los escases de contenidos geométricos y estadísticos al momento de ingresar a la carrera
se ha intentado analizar cuáles son los contenidos de Geometría y Estadística que faltan
desarrollar en las aulas de las escuelas del nivel medio del radio de influencia del Profesorado.
Como así también indagar acerca de las motivaciones de estos hechos, y detectar que aspectos
de la enseñanza de la Geometría y la Estadística dificultan la gestión de los profesores en el
aula, y cuáles la facilitan.
Para esto se intentó conocer el desarrollo áulico actual de los contenidos de Geometría y
Estadística en las escuelas del área de influencia del Instituto de Formación Docente “Eduardo
Lefébvre de Laboulaye” a través de la observación de clases y de entrevistas con docentes que
se encontraban dictando la materia “Matemática” en todas las Escuelas de Enseñanza Media
de la ciudad de Laboulaye y en algunas de la zona de influencia. Estas últimas fueron
seleccionadas “por conveniencia”, según la localidad de la cuál provenían los alumnos
cursantes del Espacio Curricular “Práctica Docente IV” del profesorado.
3.2. Observación de clases de Matemática
La observación de clases fue no participante y se llevó a cabo con los alumnos que se
encontraban cursando la “Práctica Docente” en el último año del profesorado. Se desarrollaron
en dos escuelas de la ciudad, las cuales acopian la mayor matrícula de alumnos de la localidad.
Esta característica fue el principal motivo de selección, como también lo fue la disposición del
docente para permitir la observación de sus clases y la compatibilidad horaria de los
estudiantes del profesorado participantes.
1 Ver las actividades en el ANEXO 1
8
La principal consigna a observar radicó en los contenidos desarrollados durante el transcurso
del año y en las herramientas pedagógicas empleadas por el docente para llevar a cabo la
enseñanza de los mismos.
3.3. Entrevistas grupales a docentes de Matemática
Las entrevistas fueron grupales, del tipo focus group. Se planificó y concertó un taller llamado
“Espacio para reflexión acerca de los Procesos Educativos en Matemática”. Dicha actividad se
desarrolló en el transcurso de un día en el establecimiento del profesorado, fue coordinado
por los miembros del equipo de investigación y contó con el aval de la Inspectora zonal2. Se
cursó invitación, por escrito, a todos los docentes de Matemática de las escuelas con nivel
secundario de la ciudad de Laboulaye. Los interrogantes que guiaron esta actividad fueron las
siguientes: ¿Qué ocurre actualmente con la enseñanza de la Geometría? ¿Es necesario llevar
adelante un “rescate de la enseñanza de la Geometría”? ¿Es necesario plantear un cambio en
la enseñanza de esta disciplina? ¿Qué se debería enseñar en Geometría? ¿Qué es más
importante, el álgebra o la Geometría? ¿Qué Geometría enseñar, la Euclideana o la Analítica?
¿Cómo desarrollar la enseñanza de la Geometría? ¿Con qué herramientas? ¿Los libros de
textos son adecuados son apropiados para esta área de la Matemática? ¿Qué cambios pueden
y deben ser hechos en la enseñanza y aprendizaje de la Geometría en la perspectiva de
incrementar el acceso a software, videos, materiales concretos y otros artefactos tecnológicos?
¿Cuáles problemas y limitaciones pueden surgir del uso de tales herramientas y cómo podrían
ser superados? ¿Cuáles recursos para la enseñanza (libros, videos, software, etc.) debieran
estar disponibles para la capacitación de profesores en servicio? La Estadística y la
probabilidad, ¿han sido incorporadas en la escuela de los últimos años? ¿De qué forma?
¿Cómo enseñar Estadística? Los libros de textos y el material curricular disponible, ¿son
suficientes para la enseñanza de estos conceptos? ¿Cuáles son las problemáticas que se
perciben en su enseñanza y en su aprendizaje? ¿Se evidencia una necesidad de un mayor
desarrollo de la Estadística en los profesorados? ¿Qué rol juegan las “Nuevas Tecnologías” en
este campo?.
Como corolario de la actividad mencionada antes se llevaron a cabo dos capacitaciones. La
primera de ellas fue un Taller Presencial denominado "Aprender, enseñar e innovar con las
2 De esta forma, a los docentes que asistieron al taller no se les computó la inasistencia a su trabajo.
9
TIC" brindado por la profesora Gabriela Alfie3 con el auspicio y financiamiento de Alianza por la
Educación de Microsoft de Cono Sur. Dicho taller se desarrolló en una instancia presencial y
luego continuaba en forma virtual en el aula de e-Learning de Alianza por la Educación con
tutoría y evaluaciones.
La segunda capacitación fue brindada por la profesora Alicia Fayó4. Consistió en un taller
presencial en el que, además de la práctica, se reflexionó en la metodología de cómo arribar a
conceptos geométricos a partir de gráficas dinámicas construidas con el software Cabri.
En la etapa final, se procedió a la búsqueda, recopilación y análisis de algunas herramientas
didácticas alternativas para la enseñanza – aprendizaje de la Geometría y la Estadística con el
objeto de promover y facilitar la inclusión de contenidos referentes a las mencionadas ramas
de la Matemática. Dicho trabajo se realizó en conjunto con los alumnos del Espacio Curricular
“Computación Aplicada a la Matemática” de la carrera Profesorado en Matemática.
3.4. Herramientas pedagógicas
Habiendo contemplado como las computadoras también pueden ser usadas para obtener un
entendimiento más profundo de las estructuras geométricas gracias a software
específicamente diseñados para fines didácticos, se trabajó en la búsqueda en la red y en el
análisis de programas de Geometría Dinámica Libres. Los alumnos participantes del proyecto
llevaron a cabo una exploración en Internet relacionada a los Software Geométricos, realizaron
una selección de los mismos teniendo en cuenta la licencia y el idioma de cada uno de ellos.
Luego, conjuntamente con el equipo de investigación, se descargaron y/o elaboraron tutoriales
respectivos a cada software y se evaluaron mediante distintas actividades.
Además, puesto que las Nuevas Tecnologías también han favorecido el desarrollo de la
Estadística como disciplina, han facilitado el acceso a ella, y han promovido un cambio en los
contenidos, dándosele mayor importancia a los aspectos interpretativos y conceptuales por
sobre los algoritmos de cálculo. La incorporación de estas innovaciones a la enseñanza de la
Estadística, permite experimentar y explorar todos los aspectos de los procesos estadísticos,
dando la oportunidad de mostrar las aplicaciones de la Matemática para resolver problemas
reales. Así se plantea una mirada alternativa a la forma tradicional de enseñarla. En este marco
3 Para más información acerca de la capacitación ver ANEXO 2 4 Para consultar el currículum de la capacitadora ver ANEXO 3
10
se llevó a cabo una recopilación bibliográfica de actividades pensadas para un proceso de
enseñanza – aprendizaje basado en Proyectos.
4. Análisis Descriptivo
4.1. Conocimientos de Geometría y Estadística de los alumnos ingresantes al Profesorado
En el Instituto de Enseñanza Superior “Eduardo Lefébvre de Laboulaye”, al comienzo del ciclo
lectivo 2010, se ha llevado a cabo una serie de actividades de tipo diagnósticas en relación a los
contenidos matemáticos con que cuentan los alumnos al momento de ingresar a la carrera
“Profesorado en Matemática”.
El grupo de ingresantes del ciclo lectivo 2010 estaba formado por 13 alumnos (10 mujeres y 3
varones). Casi la totalidad del grupo (80%) eran flamantes egresados de la escuela secundaria
(la mitad de ellos de la modalidad para adultos). El resto ya había cursado alguna otra carrera
de Nivel Superior.
Durante las tres semanas previas al inicio del cursado regular de clases, estos alumnos han
asistido al Curso Único de Ingreso (CUI). En este período se les han presentado actividades
relacionadas a saberes matemáticos desarrollables durante la etapa educativa anterior.
Conjuntamente con ellas se les brinda un material teórico de apoyo.
Las actividades se trabajan durante todo el cursado del CUI y abarcan contenidos de los ejes
numeración y álgebra, Geometría y Estadística. Al finalizar el curso, se lleva a cabo una
instancia práctica, individual, con una actividad de cada eje, con el objeto de apreciar cuáles
son las capacidades matemáticas y los saberes específicos con que cuenta el alumno
ingresante al Instituto al momento de iniciar la carrera “Profesorado de Matemática”.
Las evaluaciones fueron corregidas por los docentes del departamento de Matemática y, para
este trabajo, se clasificaron en “resueltas completamente”, “resueltas parcialmente” cuando
no se obtuvo el resultado final, y “no resueltas”
Los resultados obtenidos se pueden observar resumidos a continuación.
Completa
Parcial Nula
Gráfico 1: Resolución de Actividades Numéricas y
Algebraicas
Completa
Parcial
Nula
Gráfico 2: Resolución de Actividades Geométricas
Completa
ParcialNula
Gráfico 3: Resolución de Actividades Estadísticas
11
Así se evidencia que los alumnos ingresantes tienen mayor dominio de los contenidos
relacionados a los saberes numéricos y algebraicos.
4.2. Observación de clases de Matemática
Durante las clases observadas se han podido distinguir distintos tipos de dinámicas de clases
de matemáticas, basadas principalmente en el grupo de alumnos, pero la gran mayoría con
una metodología común en lo que concierne al desarrollo de los conceptos.
En muchas clases los conceptos y el conocimiento matemático son introducidos por el profesor
y los alumnos tienen un papel de meros receptores de la información. Sólo en el desarrollo de
algún tema algebraico en particular, los conceptos y/o propiedades se han construido en el
transcurso de la propia actividad matemática, dando a los alumnos un papel de participación
activa y al profesor un papel de organizador y dinamizador del aprendizaje.
En general, la enseñanza de la Matemática es atravesada por el proceso concepto – ejercicios –
evaluación. Proceso en el que sólo se da importancia al cálculo. Se emplean procesos rutinarios
y la única actividad que se demanda es encontrar una solución. El docente recurre a tareas
planteadas en los manuales escolares, generalmente, sin adaptar y/o elaborar sus propios
materiales de acuerdo con las características de sus alumnos de modo que los anime a razonar
sobre las ideas matemáticas y a establecer relaciones entre ellas.
4.3. Entrevistas grupales a docentes de Matemática
Para el llevar a cabo el taller “Espacio para la reflexión
acerca de los Procesos Educativos en Matemática” se
cursó la invitación a todos los docentes de
Matemática de escuelas secundarias de la ciudad de
Laboulaye y se contó con la presencia de 11 docentes
del área, en su totalidad mujeres.
La totalidad de las docentes que asistieron al espacio
de reflexión ejercen en el Nivel Medio, y sólo 2 de
ellas lo hacen, también, en el Nivel Superior. Cada una de ellas se desempeña en diferentes
cursos, de modo tal que estaban representadas todas las posibles edades de los alumnos de la
escuela secundaria.
SI50%
NO50%
Gráfico 4: Docentes que asistieron al taller "Espacio para la reflexión acerca de los procesos educativos en Matemática"
12
La mayoría de las profesoras que asistieron se desempeñan en los establecimientos con mayor
matrícula de alumnos. Sólo una de las presentes lo hace en una institución privada y, también,
solo una de ellas se desempeña en la escuela para adultos. Cabe notar que no hubo presencia
de docentes de sólo una escuela secundaria de la localidad.
Teniendo en cuenta los interrogantes que guiaron esta instancia de reflexión, se ha notado que
las docentes coinciden en que los contenidos de Geometría y de Estadística se han disipado
dentro del transcurso anual áulico en casi todos los cursos y años. Los motivos postulados son
de lo más variados: “están como ultima unidad, y no se llega con el tiempo”, “por la falta de
conocimientos previos en el tema, hay que comenzar muy desde el principio”, “se da Geometría
Analítica, cuando se enseñan algunos otros conceptos, por ejemplo, Función Lineal”, “es difícil
plantear situaciones reales porque, por ejemplo, los chicos no se cruzan con ángulos entre
paralelas y una transversal por la vida”, “en Estadística, la falta de conocimientos específicos de
parte del docente”, “cuando cursamos la carrera no teníamos Estadística”, “lo que sé de
Estadística lo aprendí sola mirando los libros, y por eso no me siento capaz de dar ese tema”.
En referencia al uso de herramientas tecnológicas como alternativa pedagógica la respuesta
fue prácticamente generalizada en relación al no uso de las mismas. Las razones esbozadas se
centran en torno al desconocimiento de tales instrumentos y la falta de tiempo para realizar
una búsqueda y estudio de los mismos. Al mismo tiempo, las docentes convergen en suponer
que el empleo y manejo de las Nuevas Tecnologías en el ámbito educativo pueden mejorar la
calidad del proceso de enseñanza – aprendizaje. También, remarcan que incorporar las TIC a la
educación no sólo es un desafío, sino que se convierte, hoy, en una necesidad para que los
jóvenes puedan desenvolverse sin problemas dentro de la nueva sociedad.
4.4. Herramientas pedagógicas
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
Primero Segundo Tercero Cuarto Quinto Sexto Superior
% d
e d
oce
nte
s
Gráfico 5: Curso en el que se desempeña cada docente que asistió al taller
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
50%
IPEM 257 IPEM 278 CENMA San José Gorriti
% d
e d
oce
nte
s
Gráfico 6: Institución en la que se desempeña cada docente que asistió al taller
13
Se levó cabo una búsqueda en Internet relacionada a los Software Geométricos y Estadísticos,
con el objeto de utilizarlos como herramientas pedagógicas a fin de promover la enseñanza y
facilitar el aprendizaje de los contenidos vinculados a estas áreas de la Matemática. Para la
exploración se consultaron páginas educativas pertenecientes al Ministerio de Educación de la
Nación y de diversas universidades que han desarrollado investigaciones en el tema y demás
portales educativos.
La selección de los software se realizó teniendo en cuenta la licencia, es decir que sean
“software libres” y el idioma, preferentemente español. Así se ha podido elaborar un listado
de los mismos, con sus principales características, ventajas y desventajas5.
Software Geométricos
Software Libre Software con Licencia
Español Otro Idioma Español Otro Idioma
Geogebra
Regla y
Compás
Cinderella
Dr. Geo
Cabri
Poly Pro
Geonext
GEUP
Software Estadísticos
Software Libre Software con Licencia
Español Otro Idioma Español Otro Idioma
Para la evaluación de estas herramientas se planteó la resolución de diversas actividades
concernientes a cada tema. Posterior a la elección de los software, se los descargó y/o utilizó
5 Para observar más detalles ver ANEXO 4
14
on line para elaborar los tutoriales respectivos de cada uno en caso de que no estuvieran en
el sitio de descarga o en la página oficial del software.
5. Interpretación de los Resultados
5.1. Conocimientos de Geometría y Estadística de los alumnos ingresantes al Profesorado
El planteo inicial de este trabajo se centra en los limitados saberes geométricos y estadísticos
con los que arriban a la institución los alumnos ingresantes a la carrera Profesorado en
Matemática. Dicha apreciación trasciende luego de tomar en consideración la resolución de
las actividades propuestas a los alumnos durante el CUI.
Los resultados indican que los conocimientos sobre temas, conceptos y procedimientos
indagados en las actividades que se refieren a las habilidades y conocimientos básicos de
representación y tratamiento de la información, conocimiento y manejo del lenguaje gráfico y
algebraico, que deberían ser fluidamente manejados por los estudiantes para obtener éxito
en las asignaturas de primer año, son insuficientes.
Un comentario aparte merece el hecho de notar que las mayores dificultades se ha
presentado en aquellos alumnos ingresantes que han dejado transcurrir un tiempo entre el
egreso de la escuela secundaria y el comienzo de una carrera de nivel superior, y también para
aquellos que son egresados de la escuela para adultos.
Esta demostración se contrasta con lo postulado por los diseños curriculares, tanto
provinciales como nacionales.
En la provincia de Córdoba, según la Ley 9870, la educación secundaria se divide en dos ciclos:
a) Un ciclo básico de carácter común a todas las orientaciones, y b) Un ciclo orientado de
carácter diversificado según las distintas áreas del conocimiento, del mundo social y del
trabajo. La duración es de seis años y se extenderá un año más en la modalidad técnico
profesional y artística, en el marco de sus regulaciones específicas.
En el Diseño Curricular del Ciclo Básico de la Educación Secundaria del Ministerio de Educación
de la Provincia de Córdoba se plantean como objetivos “Emplear y explicitar las propiedades
de figuras y cuerpos geométricos en la resolución de problemas”, “Producir y analizar
construcciones geométricas - utilizando cuando sea posible software geométrico- acudiendo a
argumentos deductivos, según ciertas condiciones y propiedades puestas en juego,
reconociendo el límite de las pruebas empíricas”, “Reflexionar sobre la necesidad de estimar y
de medir efectivamente”, “Producir y validar enunciados sobre relaciones y propiedades
15
numéricas y geométricas, sin recurrir a la constatación empírica”, “Organizar e interpretar
datos estadísticos mediante tablas (de serie simple, de frecuencia) y gráficos, eligiendo la
forma más adecuada”, “Recurrir a nociones de probabilidad para cuantificar la incertidumbre”.
Al mismo tiempo los aprendizajes y contenidos propuestos para este período educativo giran
en torno a figuras bidimensionales (triángulos, cuadriláteros, polígonos y círculos) y
tridimensionales (prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas) para caracterizarlas,
clasificarlas y construirlas, análisis de sus propiedades y además se mencionan Teorema de
Thales, Teorema de Pitágoras y cálculo de área y volumen, en el área de Geometría. En
Estadística y Probabilidad se expresan variables cuantitativas (discretas y continuas) y
cualitativas; tablas y gráficos estadísticos; media aritmética, mediana y modo; probabilidad
frecuencial y probabilidad clásica, análisis combinatorio.
Cada contenido propuesto varía en complejidad según sea el año del Ciclo Básico de la
Educación Secundaria en el que se desarrolle.
La interpretación anterior es una secuela directa de lo planteado anteriormente como análisis
de las entrevistas grupales efectuadas a las docentes de matemática del nivel medio que
asistieron al taller.
5.2. Observación de clases de Matemática
A partir de la observación de clases de matemática en las que se han dictado contenidos de
Geometría y/o Estadística se ha evidenciado que el significado del trabajo en torno a
problemas y las formas de encarar dicho trabajo no son, en general, muy diferentes unas de
otras. La perspectiva de enseñanza-aprendizaje más empleada se podría vincular a un modelo
explicación-ejemplos-ejercitación, en el cual el docente explica un tema, en general a partir de
su definición, resuelve algunos ejemplos, y da ejercitación a los alumnos. El único modelo que
los alumnos tienen del hacer Matemática es el docente resolviendo un problema sin dudar,
sabiendo exactamente qué herramienta utilizar (la que se está enseñando). La lista de
problemas que los alumnos tienen que resolver también se hará con la herramienta recién
enseñada.
La selección de la estrategia de solución no forma parte de la actividad del alumno. La toma de
decisiones no es una actividad que aparece seguido en este modelo. No debería sorprender el
bajo rendimiento de los alumnos. No han aprendido lo fundamental de un conocimiento
matemático, que es cuándo se aplica. Se han quedado con el “cómo” y se ha perdido el “qué”.
16
La enseñanza se reduce a una técnica, pero sin un dominio de validez. Los alumnos reciben el
mensaje de que resolver un problema es algo rápido. O bien se dan cuenta cómo se debe hacer
al leerlo o no les sale.
No hay en este modelo un verdadero trabajo matemático, con hipótesis, búsquedas, idas y
vueltas, afirmaciones verdaderas y falsas a analizar, discusiones. Se trabaja con los resultados a
los que llegaron los matemáticos, ocultando el proceso que los llevó a ellos.
Uno de los desafíos mayúsculos para los docentes, hoy día, es precisamente adquirir las
destrezas didácticas necesarias para la enseñanza de la matemática. Dichas destrezas
trascienden el dominio que se tenga de la ciencia misma; implica desmitificar la complejidad de
su enseñanza como de su aprendizaje. Implica sensibilizar hacia el cambio de patrones de
enseñanza mecanicistas por un aprendizaje significativo. Asimismo, implica aprender la
aplicación de una metodología basada en el desarrollo del pensamiento lógico de los
estudiantes como herramienta que le será útil para toda la vida.
5.3. Entrevistas grupales a docentes de Matemática
Desde hace ya algún tiempo, con el auge de la denominada “Matemática Moderna”, es de
público conocimiento que la enseñanza de la Geometría ha perdido trascendencia dentro de
los parámetros de la Escuela Secundaria. Pareciera que se le resta importancia dentro del
currículum, fomentando la enseñanza del Álgebra y revalorizando tal vez excesivamente las
operaciones aritméticas en base a cálculos abstractos. Los motivos son de lo más variados: los
docentes no encuentran situaciones que resulten verdaderos retos, los contenidos son muy
amplios y no alcanza el tiempo y, hasta en alguno casos, manifiestan su disgusto por el tema o
el hecho de haberlos casi olvidados.
En lo que respecta a la enseñanza de la Estadística, son muy pocos los profesores que incluyen
este tema en el aula. En general, sólo quienes lo hacen, lo ha llevado a cabo en forma
excesivamente formalizada o lo han compartido con algún grupo de alumnos que ha
participado en alguna competencia educativa, del tipo Olimpíadas.
El principal obstáculo ante esta problemática radica en el hecho de la falta de formación
específica en este ámbito. Como también el hecho de que siempre sea la última, o anteúltima
unidad del programa, y así sostener que la falta de tiempo ha sido la causa de no desarrollar
estos saberes en el aula.
17
6. Discusión de los resultados
6.1. Conocimientos de Geometría y Estadística de los alumnos ingresantes al Profesorado
La falta de conocimientos geométricos y estadísticos de los alumnos ingresantes al nivel
superior en la carrera profesorado en Matemática tiene un antecedente en los resultados
mostrados por el programa de Evaluación de la Calidad de los Aprendizajes.
“Comparando los resultados entre los años
2000 y 2005 preocupa la situación de nuestra
Jurisdicción y será tema de análisis posterior
más profundo el hecho de que se haya
producido una baja tan evidente en algunas
áreas, teniendo en cuenta que en el año 2000
los porcentajes de logros obtenidos por los
alumnos de Córdoba estaban en primer lugar
en la Región Centro y apenas por debajo de Ciudad de Buenos Aires superando en todos los
casos la media Nacional” (Evaluación de la Calidad Educativa - Síntesis Estadística Nro. 3, Años
1995 – 2006, p. 8).
El porcentaje de estudiantes por nivel de desempeño en Matemática de 5º/6º año de
Secundaria, en la provincia de Córdoba, se discrimina de la siguiente forma: Bajo (33,2%),
Medio (43,2%), Alto (23,6%). (Estudio Nacional de Evaluación y Consideraciones
Conceptuales–Operativo Nacional de Evaluación–2007, p.59), es decir se sitúa por debajo del
promedio nacional.
En nuestro país existe la idea respecto de la baja calidad de la educación. Este juicio se basa en
los no muy alentadores resultados de aprendizaje obtenidos en las evaluaciones nacionales e
internacionales, en las áreas de Lengua, Matemática, Ciencias Sociales y Ciencias Naturales.
(Estudio Nacional de Evaluación y Consideraciones Conceptuales–Operativo Nacional de
Evaluación–2007, p. 15).
6.2. Observación de clases de Matemática
Las situaciones aúlicas descriptas en este trabajo se orientan en un enfoque tradicional. Así la
relación estudiante – profesor se plantea de forma en que el profesor simplemente provee (o
deposita) los contenidos, instruye al estudiante, quien captura (o “ingiere”) dichos conceptos y
18
los reproduce. Dentro de este enfoque no se contextualiza el conocimiento, no se tiene un
aprendizaje significativo.
Segura y Chacón (1996) indican que los sistemas tradicionales de enseñanza en la educación
no dan al estudiante las herramientas para indagar, analizar y discernir la información, que lo
lleve a la verdadera toma de decisiones. Los conocimientos impartidos son más bien
atomizados, memorísticos y no fomentan el desarrollo de la iniciativa, la creatividad, ni la
capacidad para comunicarse efectivamente por distintas vías.
El carácter específico del conocimiento matemático y la importancia particular de las situaciones
que se empleen en la enseñanza y la gestión de las mismas por parte del profesor son subrayadas
por Brousseau, quien plantea un enfoque en el intervienen tres elementos fundamentales:
estudiante, profesor y medio didáctico. En esta terna, el profesor es quien facilita el medio en
el cual el estudiante construye su conocimiento, un medio que no representa una dimensión
pasiva, sino que es un “sujeto” dentro de las situaciones didácticas.
Concepciones actuales de la enseñanza van a exigir al maestro que provoque en el alumno –
por medio de la elección sensata de los “problemas” que propone– las adaptaciones deseadas.
Esos problemas, elegidos de modo tal que el alumno pueda aceptarlos, deben logar por su
propio movimiento, que actúe, hable, reflexione y evolucione. Entre el momento en que el
alumno acepta el problema como suyo y aquel en que produce su respuesta, el profesor se
rehúsa a intervenir en calidad de oferente de los conocimientos que quiere ver aparecer. El
alumno sabe que el problema fue elegido para hacer que adquiera un conocimiento nuevo,
pero debe saber también que este conocimiento está enteramente justificado por la lógica
interna de la situación y que puede construirlo sin tener presentes razones didácticas. No sólo
puede, sino que también debe, porque no habrá adquirido verdaderamente este conocimiento
hasta no ser capaz de utilizarlo en situaciones que encuentre fuera de todo contexto de
enseñanza y ausencia de cualquier indicación intencional. (Brousseau, 1997).
6.3. Entrevistas grupales a docentes de Matemática
Enseñanza de la Geometría: Es reconocido por quienes tienen un vínculo con la enseñanza de
la Matemática, el hecho de que el trabajo geométrico ha ido perdiendo espacio y sentido,
tanto en los colegios como en la formación docente (Itzcovich, 2005). Varios estudios
evidencian que los docentes tienden a no enseñar contenidos geométricos, a pesar de figurar
19
en los programas, por desconocimiento tanto de sus aspectos disciplinares como de su
importancia (Báez e Iglesias, 2007).
A menudo, los aprendizajes de Geometría se han basado, casi exclusivamente, en un estudio
memorístico de áreas, volúmenes, definiciones geométricas, y en construcciones de tipo
mecanicista y completamente descontextualizadas. Es sabido, por otra parte, que la escuela
confinó la enseñanza de la Geometría a los aspectos métricos (aritmetización) y a una
introducción a la Trigonometría, caracterizándose, a la vez, por una fuerte tendencia a la
resolución automática de problemas (Afonso Martín, 2003). En el aspecto algebraico, se puso
el énfasis en la resolución de ecuaciones y sistemas, y se relegó a un segundo plano su interés
geométrico. De esta forma, resultó habitual que los docentes desplazaran paulatinamente los
contenidos relativos a Geometría hacia las últimas unidades didácticas de su planificación
escolar, llegándose, inclusive, a prescindir de su tratamiento en muchos cursos del Nivel Medio
(Abrate, R. S.; Delgado, G. I. & Pochulu, M. D., 2009).
En contraste, los investigadores acuerdan que la Geometría debería ser una parte importante
de la Educación Matemática (Lehrer & Chazan, 1998), por ser un buen punto de partida para:
enseñar y aprender argumentación matemática, explorar los conceptos matemáticos, llenar el
hueco entre la vida cotidiana y la Matemática, y valorar la Matemática como una parte de la
cultura humana. Justamente Jones (2002) reconoce que la mayoría de nuestra vida cultural es
visual. La apreciación estética del arte, la arquitectura, la música y demás artefactos culturales
involucra principios geométricos -simetría, perspectiva, escala, orientación, etc.-. Además,
entender la mayoría de los principios científicos y fenómenos tecnológicos requiere conciencia
geométrica.
Numerosas aplicaciones actuales de la Matemática requieren conocimiento geométrico
sustancial (Jones, 2002) y recientemente hay un renacimiento de la Geometría de la mano de
los desarrollos tecnológicos (Jones & Mooney, 2003).
Enseñanza de la Estadística: Los nuevos currículos de educación primaria y secundaria incluyen
en forma generalizada recomendaciones sobre la enseñanza de la Estadística. Sin embargo, en
la práctica son todavía pocos los profesores que incluyen este tema y en otros casos se trata
muy brevemente o en forma excesivamente formalizada (Batanero, 2001). Más aún, teniendo
en cuenta que “son los profesores en matemáticas quienes, sin tener una formación
demasiado específica (distinguiéndolos de los profesores en Estadística) mayoritariamente
enseñan Estadística en las escuelas secundarias” (Bayer y Petrone, 2004).
20
No hay que olvidar que la Estadística es la ciencia de los datos y los datos no son números, sino
números en un contexto (Batanero, 2001). Para tal contextualización se propone trabajar la
Estadística por medio de proyectos.
La enseñanza basada en proyectos es una estrategia educativa integral (holísitca), en lugar de
ser un complemento. El trabajo por proyectos es parte importante del proceso de aprendizaje.
Este concepto se vuelve todavía más valioso en la sociedad actual en la que los maestros
trabajan con grupos de niños que tienen diferentes estilos de aprendizaje, antecedentes
étnicos y culturales y niveles de habilidad. Un enfoque de enseñanza uniforme no ayuda a que
todos los estudiantes alcancen estándares altos; mientras que uno basado en proyectos,
construye sobre las fortalezas individuales de los estudiantes y les permite explorar sus áreas
de interés dentro del marco de un currículo establecido (Project-Based Instruction: Creating
Excitement for Learning” publicado por Northwest Regional Educational Laboratory, traducido
por EDUTEKA, 2006).
Los proyectos permiten contextualizar la Estadística y hacerla más relevante. Si los datos
surgen de un problema, son datos con significado y tienen que ser interpretados. Los proyectos
refuerzan el interés, sobre todo si es el alumno el que elige el tema. El alumno quiere resolver
el problema, no es impuesto por el profesor. Se aprende mejor qué son los datos reales, y se
introducen ideas que no aparecen con los “datos inventados por el profesor”: precisión,
variabilidad, fiabilidad, posibilidad de medición, sesgo. Se muestra que la Estadística no se
reduce a contenidos matemáticos (Holmes, 1997).
Este recurso es ya habitual en algunos países, que incluso organizan competiciones de
proyectos estadísticos en las escuelas y universidades, semejantes a lo que nosotros
conocemos como Olimpiadas Matemáticas (Hawkins, 1991; Holmes, 1997). Por ejemplo,
Connor, Davies y Payne (2002) indican que cada vez es más frecuente la realización de estos
proyectos por los alumnos de secundaria de entre 14 y 16 años en Inglaterra y el País de Gales,
debido a que en su currículo de matemáticas se contempla la realización obligatoria de
proyectos (Batanero, 2001).
6.4. Herramientas pedagógicas
El Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (NCTM, por sus siglas en inglés) declara que
la Tecnología es una herramienta básica para la enseñanza y el aprendizaje efectivos de las
21
matemáticas; amplía las matemáticas que se pueden enseñar y mejoran el aprendizaje de los
estudiantes.
Las nuevas tecnología han venido a cambiar por completo el panorama tradicional como se
hacían, se veían y se enseñaban las matemáticas (Orozco, 2004). Insertarse en este nuevo
panorama implica realizar profundo cambios en nuestros programas educativos, reconociendo
la mediación que juega la computadora en la relación cognitiva que se establece entre sujeto y
objeto del conocimiento.
Para la Geometría: Los contenidos de Geometría no han cambiado de manera importante en
las últimas décadas; lo que se intenta ofrecer es una forma diferente de enseñarlos.
Actualmente disponemos de las herramientas necesarias para que la formación del alumno sea
más completa. Los programas de Geometría dinámica han demostrado en las dos últimas
décadas su capacidad de ayuda al usuario para adquirir destrezas en uno de los campos más
creativos de las matemáticas (Perez Sanz, A., 2007).
Con un programa de Geometría dinámica se pueden construir distintos objetos de manera fácil
y rápida, con un trazado exacto y real, que además, revelarán las relaciones existentes en la
figura construida; además, permitirá las transformaciones de los objetos que la componen,
actualizando las relaciones existentes con facilidad y rapidez (Carrillo de Albornoz, A. & Llamas,
I., 2009).
Proporcionan, sin duda una ayuda extraordinaria para la experimentación, es decir, para la
construcción de conceptos y la visualización de resultados y propiedades geométricas a través
de la práctica experimental. Un programa de la categoría de Sistemas de Geometría Dinámica
(DGS) permite construcciones de Geometría elemental, donde los elementos que se
construyen se definen fundamentalmente por propiedades cualitativas no mediante
ecuaciones y Geometría analítica, aunque ésta esté detrás, en el funcionamiento interno del
programa y en algunos casos como Geogebra también delante y en pantalla (Rafael Losada, LA
GACETA 10, nº 1, pp. 223-239).
Para la Estadística: La utilización de las nuevas tecnologías de la información para acercar a los
estudiantes al mundo real (datos) permite, cuando menos, paliar dos de los problemas más
habituales planteados por éstos: a) la dificultad conceptual de la asignatura, y b) su escasez de
contenido práctico (Aparicio Acosta, F., 2000).
En general, las tecnologías de la información han acelerado el avance hacia un enfoque
constructivista en la enseñanza de la Estadística. En efecto, hoy en día existe una demarcada
22
tendencia a entender el aprendizaje de la Estadística como una labor personal del alumno, en
la que éste es considerado el protagonista, o al menos un participante activo (Aparicio Acosta,
F., 2000).
Los ordenadores actuales, con sus posibilidades interactivas, favorecen la introducción, desde
los primeros niveles de enseñanza, de una nueva filosofía en los estudios estadísticos (Godino,
J.D., 1995).
Conclusiones
En nuestro sistema educativo, la enseñanza verbalista tiene una larga tradición y los alumnos
están acostumbrados a ella. Esta poderosa inercia ha impedido a los estudiantes percatarse
que en las ciencias, en particular en las matemáticas, lo importante es entender.
En lo general, los alumnos en lugar de estar atentos a los razonamientos y participar en clase,
se limitan, por tradición de aprendizaje, a tomar apuntes que después tratarán de memorizar
al estudiar para sus exámenes. Y las realidades aúlicas locales observadas no resultan ajenas a
tal descripción.
Los postulados actuales señalan la conveniencia de cambiar el enfoque tradicional expositivo
en la clase, abandonar el énfasis excesivo en los aspectos teóricos y reforzar el trabajo práctico
en forma grupal, a partir de los problemas que dan sentido a los conceptos. Por su parte, la
incorporación de las TIC en la educación supone una vía para mejorar la calidad de la
enseñanza y un camino para dar respuesta a las nuevas exigencias que plantea la “Sociedad de
la Información” en la que estamos inmersos. Algunos autores, consideran que las TIC son no
sólo una oportunidad sino también la excusa perfecta para introducir en la educación nuevos
elementos que realicen una transformación profunda de la práctica educativa.
Las herramientas tecnológicas ofrecen al docente la oportunidad de crear ambientes de
aprendizaje enriquecidos para que los estudiantes perciban la Matemática como una ciencia
experimental y un proceso exploratorio significativo dentro de su formación.
Se puede ampliar el conjunto de problemas entre los que se puede escoger y la forma en que
se pueden presentar. Algunos son muy difíciles de plantear en las aulas empleando solamente
lápiz – papel y pizarrón – tizas. Si las clases se desarrollan con concepciones de un aprendizaje
constructivo, las tecnologías pueden incrementar la cantidad de situaciones que pueden
pensar y resolver los estudiantes. Permitirán que se logre experimentar sobre búsqueda de
regularidades, estructuras y patrones, y comportamientos de los objetos matemáticos,
23
conjeturando sobre ellos e iniciándose en un camino de argumentaciones tendientes a la
demostración.
Hasta el momento se ha desarrollado una diversidad de software matemáticos con propósitos
diferentes, de acuerdo al el contenido matemático que se desee enseñar. En álgebra y cálculo
existen software que buscan aprovechar el manejo de múltiples registros de representación y
la interacción del estudiante con la herramienta, para lograr un conocimiento distinto al
tradicional.
En Estadística, los programas no han avanzado mucho respecto del modelo de aprendizaje
subyacente. La mayoría de los software sólo simplifican el manejo de datos, no hacen explorar
al estudiante sobre el manejo de los datos, los métodos estadísticos, los modelos
probabilísticos y simulaciones de situaciones reales. Es decir, no están pensados para
desarrollar competencias para seleccionar, combinar y analizar métodos, además de manipular
eficientemente los datos. Aún así, en esta área de la matemática también se evidencia la
influencia del avance tecnológico actual. Las Nuevas Tecnologías han favorecido el desarrollo
de la Estadística como disciplina, han facilitado el acceso a ella, y han promovido un cambio en
los contenidos, dándosele mayor importancia a los aspectos interpretativos y conceptuales por
sobre los algoritmos de cálculo. La incorporación de estas innovaciones a la enseñanza de la
Estadística, permite experimentar y explorar todos los aspectos de los procesos estadísticos,
dando la oportunidad de mostrar a los alumnos las aplicaciones de la Matemática para resolver
problemas reales. Y es el docente quien plantea las situaciones donde se los va a utilizar, la
forma de estructurar y organizar la enseñanza en el aula, la manera de obtener información, la
forma de proponer actividades y tareas.
Geometría es, quizás, el área en la que se han producido los avances importantes. El
estudiante puede ver y manipular los objetos matemáticos. Así, el conocimiento geométrico
obtenido a través de la exploración de los objetos asume características no tradicionales. Los
software de Geometría dinámica favorecen el desarrollo de los conceptos matemáticos,
permitiendo visualizar, experimentar, consultar propiedades, simular, descubrir regularidades,
etcétera. Con estos programas, algunos temas de Geometría pueden ser tratados sin exigir
grandes conocimientos matemáticos, favoreciendo una metodología en la que el alumno
participa de forma activa en su aprendizaje, haciendo hincapié en la importancia de que
realicen sus propios descubrimientos.
24
Para este trabajo se han analizado algunas de las posibilidades didácticas que brindan los
software matemáticos que se pueden emplear para la enseñanza de la Geometría y la
Estadística. Los programas a los que se ha hecho referencia son sólo una muestra de la gran
variedad disponible.
Aún así, vale también mencionar que estos programas por sí mismos no resuelven el problema
de la enseñanza. Sólo son una herramienta pedagógica más. Será necesaria una gran labor de
reflexión e investigación para elaborar las correspondientes "guía didáctica" adecuadas a la
enseñanza de conceptos específicos. Con ayuda de ellas podríamos proporcionar al alumno un
micromundo, esto es, un entorno operativo que le permite generar, observar, reflexionar e
interactuar sobre fenómenos que les serían más difícilmente de abordar sin la herramienta
informática. En estos micromundos se usa un núcleo de conceptos y procedimientos
matemáticos interrelacionados, en situaciones problemáticas particulares, mediante sistemas
de representación múltiples, dinámicos y simultáneos. Por lo tanto, es de esperar un énfasis en
componentes nuevos del significado de los objetos matemáticos implícitos. Las situaciones
didácticas deben configurarse de tal modo que el alumno tenga que resolver problemas cuya
apertura sea graduable y en las cuales se destaquen las fases de acción, formulación de
conjeturas y validación (Brousseau, 1986), que el profesor deberá completar con la fase de
institucionalización de los conocimientos puestos en juego.
Hasta ahora, la práctica escolar ha sido sólo marginalmente influida por estas innovaciones. La
inclusión de las nuevas tecnologías en los ambientes educativos se está haciendo en forma
paulatina, acompañada por la llegada de las “netbooks” a las escuelas. Por lo que es de esperar
que las situaciones descriptas en este trabajo puedan ser revertidas, con la mera esperanza de
un mejoramiento en la calidad educativa de la Matemática. Es posible que, en un futuro
cercano, al menos algunos contenidos encuentren su camino dentro de las prácticas aúlicas.
No obstante, surgen nuevos interrogantes como, ¿Cuál es la formación de recursos humanos
capacitados para su uso? ¿Se repensarán los modelos didácticos para su implementación como
medio de aprendizaje en las aulas de todos los niveles? A su vez, ¿El uso de las computadoras
afectará la enseñanza de la Geometría y la Estadística?, ¿Se “impartirán” en forma dinámica, o
se hará en forma tradicional sólo agregando un simple “condimento”?.
25
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http://www.ugr.es/~batanero/index.htm
XLSTAT: http://www.xlstat.com/
30
ANEXO
ANEXO Nro. 1: Actividades propuestas en el CUI
Actividad 1: En el curso de una determinada escuela, el alumno A y el alumno B tienen las
siguientes calificaciones:
Alumno A 2 2 3 3 4 4 7 7 7 8 8
Alumno B 4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 6
¿A cuál de los alumnos elegiría para formar parte del grupo que portará la bandera de
ceremonias? ¿En base a qué criterios elegirías a uno u otro?
Actividad 2: Un tanque para exhibición de especies marinas contiene 2000 litros de agua de
mar. El agua de mar contiene un 7.5% de sal. ¿Cuántos litros, redondeando al litro más
próximo, de agua fresca se necesitan añadir al tanque para que la mezcla contenga sólo un 7%
de sal?6
Actividad 3: Haciendo uso del compás y la regla,
a) Construir un paralelogramo en el cual un lado mida 6cm y otro lado mida 4cm. ¿Habrá
un solo paralelogramo que cumpla estas condiciones?7
b) Construir un paralelogramo en el cual un lado mida 7cm, otro lado mida 3cm y la altura
correspondiente al lado de 7cm sea de 4c. ¿La construcción es la única posibilidad?8
Justifica tus respuestas y menciona los pasos que empleaste para arribar a la construcción.
Actividad 4: Los gráficos mostrados a continuación corresponden a los montos de ventas de
una determinada empresa, durante el año 2005, discriminadas por sucursales. Al dueño de esta
cadena de comercios sólo le interesa analizar las ventas en las sucursales de mayor
importancia. ¿Cuál de los gráficos le aconsejarías que interprete? ¿Por qué ese y no el otro?
6 Bittinger, M.; Charles, R.; Dossey, J.; Keedy, M. & Smith, S. (1999): älgebra y Trigonometría. Mexico: Addison Wesley Longman, p. 74 7 Itzcovich, H., (2005), Iniciación al estudio didáctico de la Geometría. De las construcciones a las demostraciones. Buenos
Aires, Argentina: Libros del Zorzal, p.19
8 Itzcovich, H., (2005), Iniciación al estudio didáctico de la Geometría. De las construcciones a las demostraciones. Buenos
Aires, Argentina: Libros del Zorzal, p.27
31
Actividad 5: Eduardo corrió 3416 yardas durante los tres años en que jugó al futbol americano
colegial. Durante el último año, corrió tantas yardas como en el primero y el segundo años
juntos. El primer año corrió 426 yardas más que el segundo año. ¿Cuántas yardas corrió cada
año?9
9 Bittinger, M.; Charles, R.; Dossey, J.; Keedy, M. & Smith, S. (1999): älgebra y Trigonometría. Mexico: Addison Wesley Longman, p. 318
Total de ventas del comercio durante el año 2005
en las sucursales más importantes
6248
4791
3025
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
6000
6500
CENTRO NORTE SUR
Sucursal
Monto de las ventas
($)
Total de ventas del comercio durante el año 2005
en las sucursales más importantes
6248
4791
3025
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
CENTRO NORTE SUR
Sucursal
Monto de las ventas
($)
32
ANEXO Nro. 2: “Aprender, enseñar e innovar con las TIC" brindado por la profesora Gabriela
Alfie
Desarrollo la capacitación
La capacitación es gratuita pues cuenta con el apoyo de Alianza por la Educación. Se inicia en
un taller presencial y continúa en forma virtual.
Taller presencial
Se desarrolla durante tres horas dentro de la institución educativa con la presencia de los
alumnos y docentes de la institución.
Qué se requiere de la institución –Profesorado o centro educativo-
Un espacio para el taller presencial (aula, salón, auditorio), un cañón con una pantalla, sonido y
micrófono. Contar con la asistencia de un mínimo de 100 alumnos. No se requieren
computadoras para los asistentes.
En esta primera parte presencial se trabaja con proyecciones multimedia, se debate sobre las
redes sociales y la comunicación, las nuevas formas de enseñar y aprender con el potencial de
las TIC. También se presentan los temas propuestos para la capacitación virtual y se dan
las orientaciones prácticas: acceso, cómo bajar y realizar los trabajos prácticos, utilización de
tutoriales y videos, evaluaciones, interacciones del aula virtual, entre otros temas.
Talleres virtuales
Se desarrollan en dos módulos, ambos con evaluación.
Módulo 1: Estrategias para la investigación centrada en Internet y su integración en
actividades de enseñanza. Recursos de la Web 2.0.
Módulo 2: Capacitación en aula virtual de Alianza por la educación de Microsoft.
Se trata de cursos de capacitación gratuitos orientados a favorecer la incorporación y uso de
tecnologías en las prácticas de la enseñanza. El aula virtual cuenta con tutoría, seguimiento del
alumno y evaluación.
Certificación: se otorga certificado de asistencia.
Certificados de módulos virtuales: con las horas de capacitación realizadas, avalados por la
entidad educativa y Alianza por la Educación.
Para datos de la capacitadora consultar: www.gabrielaalgie.com
33
ANEXO Nro. 3: Resumen del Currículo de la Profesora Alicia Fayó.
Curriculum Alicia Noemí Fayó:
Cursa la Maestría en Enseñanza de la Matemática. Universidad Nacional de Cuyo.
Títulos obtenidos
Licenciada en Ciencias Aplicadas. U.T.N. Tesis: Investigación sobre Estudio y Caracterización del
comportamiento de los Atractores Extraños de Sistemas Dinámicos Continuos. Dirigida por el
Dr. Néstor Aguilera. Actualización Académica en la Disciplina Matemática. U.B.A. (Circuito E).
Profesora de Computación. Profesora de Matemática y Cosmografía. Maestra Normal
Nacional. Con especialidad en francés.
Cargos:
Profesora adjunta. e Investigadora. Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional
General Pacheco. (UTNFRGP)
Actualmente dicta las materias:
Fundamentos de la Geometría y Ciencia Tecnología y Sociedad en UTNFRGP en la carrera
Licenciatura en Enseñanza de la Matemática.
Como investigadora:
Co-Directora del Proyecto Red Académica Internacional de Investigación y Enseñanza de la
Geometría Dinámica”,aprobado por el Ministerio de Educación (2006)
Coordinadora del Proyecto: Investigación sobre la reformulación de la enseñanza de conceptos
de Matemática en carreras de Ingeniería utilizando Geometría Dinámica. UTN (2009 continúa)
Actividades académicas:
Miembro del Comité Científico de la organización IberoCabri. Presidente de la Organización del
IberoCabri 2008 en la República Argentina. Presidente del Grupo XVIII. Investigación
Matemática Educativa. Argentina. período 2000-2006. Formación y capacitación de profesores
en Tecnología y Geometría Dinámica con Cabri. Participación en numerosos congresos
mediante conferencias y talleres. Co-autora del libro: Cabri- classe II. Metodología para el
aprendizaje de la geometría con Cabri-Géomètre II. Publicaciones sobre Geometría Dinámica
en revistas. Creadora del proyecto telemático “Patrulla de Rescate” con metodología de
trabajo colaborativo sobre aprendizaje de Geometría Dinámica con Cabri, para escuelas de
nivel medio.(2007- 2009)
34
ANEXO Nro. 4:
Software Geométricos
Permite realizar construcciones de Geometría, álgebra y cálculo,
tanto con puntos, vectores, segmentos, rectas, secciones cónicas
como con funciones que a posteriori pueden modificarse
dinámicamente. La gran ventaja sobre otros programas de
Geometría dinámica es la dualidad en pantalla: una expresión en la
ventana algebraica se corresponde con un objeto en la ventana
geométrica y viceversa. (Rafael Losada, LA GACETA 10, nº 1, pp.
223-239).
Gratuito. En Español. Se encuentra instalado en las netbook
entregadas a los alumnos por el proyecto “Conectar Igualdad”. En
caso de ser necesario, permite trabajar “on line”.
Programa para Geometría interactiva. Incluye Geometría analítica,
transformacional y Euclidiana. Posibilita el manejo de coordenadas
cartesianas y polares. El plano y el Espacio. Muy adecuado para la
exploración de conceptos avanzados en Geometría. La versión de
prueba es totalmente funcional, pero solo trabaja 15 minutos en
cada sesión. En Español.
Cinderella, tiene la ventaja de estar programado en Java, posee
potentes algoritmos utilizando Geometría proyectiva compleja, un
comprobador automático de resultados y la posibilidad de realizar
construcciones y visualizar en Geometría esférica e hiperbólica. Por
el lado negativo no admite "macros", pequeñas construcciones
auxiliares que son de utilidad. (Antonio F. Costa, LA GACETA V. 4,
nº 1, pp. 273-278)
R y C (Regla y Compás), está también programado en Java, está
traducido al castellano y tiene la ventaja de ser de libre uso y
gratuito. Permite la exportación de ficheros a formato html para
visualizarlos con cualquier navegador. Tiene prestaciones similares
a Cinderella o Cabri aunque es menos versátil. Desarrollado por R.
Grothmann.
35
Dr. Geo
Programa para plataforma LINUX y Windows que permite construir
figuras geométricas en forma similar a Cabri. Tiene diversas
herramientas para construcción de: puntos, rectas, circunferencias,
puntos medios, y medición de longitudes y ángulos. Gratuito.
Utilizando Geonext como un programa individual actúa como una
herramienta para crear construcciones geométricas con un
número variado de herramientas para la construcción. Es un
software gratuito creado por el Departamento de Matemática y su
Didáctica de la Universidad de Bayreuth.
Poly Pro
Herramienta para visualizar una inmensa variedad de poliedros:
platónicos, de Arquímedes, prismas y antiprismas, sólidos de
Johnson y Catalán, entre otros. Además, posibilita la impresión de
plantillas para construirlos con papel. Se puede descargar una
versión de prueba y está en Español.
GEUP.net produce software de cálculo y visualización de
aplicación en matemáticas, ciencia e ingeniería. Sus productos
GEUP 4 y GEUP 3D son herramientas de fundamentación
geométrica potentes y fáciles de usar, diseñadas para crear
aplicaciones matemáticas interactivas.
Se puede descargar una versión de prueba en la que se
encuentran deshabilitadas las funciones “guardar” e “imprimir”
Software Estadísticos
Microsoft Excel ofrece un conjunto de herramientas para el análisis
de los datos (denominado Herramientas para análisis) con el que
podrá ahorrar pasos en el desarrollo de análisis estadístico. No es
gratuito. En Español. Se encuentra instalado en las netbook
entregadas a los alumnos por el proyecto “Conectar Igualdad”. Es
la planilla de cálculo más conocida por los usuarios.
XLSTAT ofrece las funciones que hacen de Excel una herramienta
potente y de acceso fácil para satisfacer a la mayoría de sus
necesidades en análisis de datos. XLSTAT funciona con cualquier
36
versión de Excel. No es gratuito. Se puede descargar una versión de
prueba en español que dura 30 días.
R es un sistema para cómputos y gráficos estadísticos. Consiste en
un lenguaje, un entorno de ejecución, un debugger y la habilidad
de correr programas guardados en archivos de tipo script.
Es libre. Su idioma es el Inglés.
SPSS es un programa estadístico informático muy usado en
las ciencias sociales y las empresas de investigación de mercado.
Como programa estadístico es muy popular su uso debido a la
capacidad de trabajar con bases de datos de gran tamaño. El
programa consiste en un módulo base y módulos anexos que se
han ido actualizando constantemente con nuevos procedimientos
estadísticos. Cada uno de estos módulos se compra por separado.
Actualmente, compite no sólo con software licenciados como lo
son SAS, MATLAB, Statistica, Stata, sino también con software de
código abierto y libre, de los cuales el más destacado es el
Lenguaje R. Recientemente ha sido desarrollado un paquete libre
llamado PSPP, con una interfaz llamada PSPPire que ha sido
compilada para diversos sistemas operativos. Tiene licencia.
PSPP es un una aplicación de software libre para el análisis de
datos. Se presenta en modo gráfico y está escrita en el lenguaje de
programación C. Usa la biblioteca científica GNU para sus rutinas
matemáticas, y plotutils para la generación de gráficos. Es un
reemplazo libre para el software propietario SPSS.
Herramienta Estadística constituida por 3 módulos con más de 150
procedimientos. El Módulo Básico aporta todas las herramientas
Estadísticas fundamentales que incluyen realización de gráficos y
análisis estadístico.
Se puede hacer uso de su versión de prueba por 30 días o utilizar la
posibilidad “on line” con algunas limitaciones. Está en Inglés.
