Universidad de Oriente

Ncleo de Bolvar

Unidad de Estudios Bsicos

rea de Matemticas

Asignatura: Matemticas IV

Deflexin DE vigas

Profesor: Realizado por:

Cristian Castillo Barrios, Yasnahir

Campos, Joseyvis

Gruber, Luindy

Seccin 01

Marzo, 2010

Deflexin de vigas

Una buena cantidad de estructuras se construyen a base de vigas, siendo sta barras prismticas y

largas que estn diseadas para soportar cargas aplicadas en varios puntos a lo largo de ellas.

No obstante, debido a la distribucin de las cargas o fuerzas a las que se encuentran sometidas y la

manera en que estn apoyadas, las vigas se pueden desviar o distorsionar por accin de su propio

peso, la influencia de cargas externas o una combinacin de ambas. Esta desviacin se

conoce como deflexin y se puede determinar por una ecuacin diferencial lineal de cuarto orden,

relativamente sencilla.

Construccin de la Ecuacin Diferencial de la Deflexin de una Viga

Para empezar, supongamos que una viga de longitud L es homognea y tiene una seccin

transversal uniforme en toda su longitud como se muestra en la Figura 1.1 (a). Cuando no recibe

carga alguna, incluyendo su propio peso, la curva que une los centroides de las secciones

transversales es una recta que se llama eje de simetra. Si a la viga se le aplica una carga

perpendicular al eje de simetra, debido a su elasticidad, puede distorsionarse como se observa en la

Figura 1.1 (b), y el eje de simetra distorsionado resultante se llama curva de desviacin, curva

elstica o simplemente elstica , que es lo que se conoce como la deflexin de la viga.

(a) Eje de simetra

(b) Curva elstica

Figura 1.1

Supongamos que el eje coincide con el eje de simetra, tomado como positivo a la derecha y con

origen en 0; y que la desviacin representada por el desplazamiento de la curva elstica, es

positiva si es hacia abajo. Sea el momento flexionante en un punto a lo largo de la viga,

por la teora de la elasticidad se demuestra que se relaciona con la carga por unidad de

longitud mediante la ecuacin

(1)

Como y son dos funciones con la misma variable independiente pero distintas

variables dependientes, para que ambas queden expresadas en trminos de sabemos que el

momento flexionante es proporcional a la curvatura de la elstica:

(2)

Donde e son constantes, es el mdulo de Young de elasticidad del material de la viga e es

el momento de inercia de la seccin transversal de sta; y el producto de se denomina rigidez a

la flexin.

Ahora, segn el clculo diferencial, tambin sabemos que . Cuando la desviacin

es pequea, la pendiente de la curva elstica es tan pequea que su cuadrado es

despreciable comparado con 1, de modo que , por lo tanto como la

ecuacin se transforma en , obteniendo as que la segunda derivada de sea

(3)

la cual al ser sustituida en la ecuacin (1), vemos que la desviacin satisface la ecuacin

diferencial de cuarto orden

(4)

que al ser una ecuacin diferencial no homognea de orden superior se puede resolver de la

forma acostumbrada: se determina teniendo en cuenta que es una raz de multiplicidad

cuatro de la ecuacin auxiliar , para despus hallar una solucin particular por el mtodo

de coeficientes indeterminados; o simplemente integramos la ecuacin cuatro veces sucesivas.

Si es una viga en voladizo, empotrada en un extremo y libre en el otro, la desviacin debe

satisfacer las dos condiciones siguientes:

Para el extremo empotrado en :

porque no hay desviacin en ese lugar y

porque la curva de desviacin es tangente al eje x (en otras palabras, la

pendiente de la curva de desviacin es cero en ese punto).

Para el extremo libre en :

porque el momento flexionante es cero

porque la fuerza cortante es cero

Si es una viga simplemente apoyada, con apoyos en ambos extremos, se debe cumplir que

y en stos.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 1. Viga empotrada

Una viga de longitud L est empotrada en ambos extremos. Determine la desviacin de esa viga si

sostiene una carga constante, , uniformemente distribuida en su longitud; esto es, ,

.

SOLUCIN

Segn lo que acabamos de plantear, la desviacin satisface a

Puesto que la viga est empotrada en su extremo izquierdo y en su extremo derecho

, no hay desviacin vertical y la curva elstica es horizontal en esos puntos. As, las

condiciones en la frontera son

, , ,

Como resolveremos integrando cuatro veces sucesivas, podemos expresar como una

ecuacin diferencial de variables separables, de modo que

1 Integracin

2 Integracin

3 Integracin

4 Integracin

Solucin General

Ahora bien, para aplicar las condiciones iniciales derivamos la solucin general de la ecuacin y se

obtiene que

Sustituyendo las condiciones y tenemos

mientras que las condiciones restantes, y , originan las siguientes ecuaciones

(1)

(2)

Como y , el sistema se reduce a

(1)

(2)

Al resolver este sistema mediante eliminacin, multiplicando la ecuacin (2) por se tiene

(1)

(2)

(3)

despejando de la ecuacin (3) nos queda que

y sustituyendo en la ecuacin (1)

(4)

finalmente despejamos de la ecuacin (4)

Por lo tanto, la desviacin es

Para conocer el valor de la mxima desviacin producida en la viga, sabemos que sta ocurre en el

punto en que , de modo que la ecuacin que me dar la mxima desviacin es

la cual se puede expresar como

es decir,

y se despeja el valor de , utilizando la ecuacin de segundo grado donde

Menor valor

como el menor valor de es , la mxima deflexin ocurre en este punto.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 2. Viga en voladizo

Una viga de longitud L est empotrada en ambos extremos. Determine la desviacin de esa viga si

sostiene una carga constante, , uniformemente distribuida en su longitud; esto es, ,

.

SOLUCIN

Puesto que la viga est empotrada en su extremo izquierdo no hay desviacin vertical y la

curva elstica es horizontal en ese punto, mientras que en su extremo derecho como esta

libre, la desviacin tiende a producirse all, de modo que la fuerza cortante y el momento flexionante

son iguales a cero. As, las condiciones en la frontera son

, , ,

Igualmente, resolvemos integrando cuatro veces sucesivas, de modo que la solucin general de la

ecuacin es

Solucin General

Ahora bien, para aplicar las condiciones iniciales es necesario derivar tres veces la solucin general de la ecuacin y se obtiene que

Sustituyendo las condiciones y tenemos

mientras que las condiciones restantes, y , originan las siguientes

ecuaciones

(1)

(2)

despejando de la ecuacin (2) nos queda

y sustituyendo en la ecuacin (1)

(3)

finalmente despejamos

Por lo tanto, la desviacin es

Y la ecuacin que expresa el valor de la mxima desviacin producida es

la cual se puede expresar como

es decir,

y se despeja el valor de , utilizando la ecuacin de segundo grado donde

Como el valor de la raz es negativo el resultado de sern nmeros imaginarios, lo que significa que no hay extremos relativos (mximos y mnimos) en la pendiente de la curva. Por lo tanto, evaluamos los extremos de la viga para verificar que ocurre en ellos y se obtiene que

cuando no hay desviacin, pero cuando la desviacin mxima ocurre en ese extremo.