1

DUALITAS

2

Teori Dualitas• Konsep Program Linier yang penting dan

menarik• Setiap persoala Program Linier (primal)

mempunyai suatu Proram Lnier Lain yang saling berkaitan yang disebut dengan dual

• Pemecahan Program Linier bisa didekati secara Primal maupun Dual. Maka hasilnya Primal harus = Dual

3

Cara merubah primal dual

• Pada primal jadikan bentuk normal– Jk f.tujuan = max, maka seluruh pembatas jadikan

<=– Jk f. tujuan = min, maka seluruh pembatas jadikan

>=

• F. tujuan berubah bentuk– primal max, maka dual min– Primal min, maka dual max

• Kons. Kanan primal koef.f.tujuan dual• Koef.f.tujuan primal kons. Kanan dual

4

Cara merubah primal dual

• Untuk tiap pembatas primal ada 1 var dual

• Untuk tiap var.primal ada 1 pembatas dual

• Tanda pembatas pada dual akan tergantung pada f.tujuannya– f.tujuan max, maka pembatas <=– F.tujuan min, maka pembatas >=

• Dual dari dual primal

5

Primal Perusahaan PT Sayang Anak

• max Z = 3x1 + 2x2• batasan :

2x1 + x2 <= 100X1 + x2 <= 80X1 <= 40X1, x2 >= 0

• X1 = boneka• X2 = kereta api• Waktu poles max 100 jam• Waktu kayu max 80 jam

Primal mencari keuntungan max

Berapa boneka dan kereta api yangHarus di produksi agar keuntungan max

Dual mencari berapa kebutuhan optimalDari sumber daya yang ada

Berapa jam waktu poles dan waktu kayuYang dipakai sesungguhnya, agar hasil tetapoptimal

6

Dengan grafis

7

Dengan simpleks

1. Jadikan standard– max Z = 3x1 + 2x2 + 0S1 + 0S2 + 0S3

z – 3x1 – 2x2 = 0

– batasan 2x1 + x2 + S1 = 100

X1 + x2 + S2 = 80

X1 + S3 = 40

X1, x2, S1, S2, S3 >= 0

2. BV S1, S2, S3

NBV x1, x2

8

3. table

pivotEV

pivot

pivot

LV

1 -1 0 20

9

• Optimal x1 = 20X2 = 60 Z = 3.20 + 2.60 = 180

• Keuntungan maksimum adalah 180• X1 = boneka yang diproduksi sebanyak 20

buah• X2 = kereta api yang di produksi sebanyak

60 buah

10

Dual dari Primal

• Min w =100 y1 + 80 y2 + 40 y3

• Batasan

2 y1 + y2 + y3 >= 3

y1 + y2 >= 2

y1, y2, y3 >= 0

11

Dual TORA

12

13

Bahasan

• Min w =100 y1 + 80 y2 + 40 y3• Batasan

2 y1 + y2 + y3 >= 3y1 + y2 >= 2

Jawaban :y1 = 1y2 =1

Maka min w = 100.1 + 80.1 = 180Hasil sama dengan max Z = 180Artinya sumber daya poles perlu 100 jam dan sumber

daya kayu perlu 80 jam agar mendapat hasil optimum

14

Contoh SoalPrimalMaks Z = 60X1 + 30X2 + 20X3

Kendala 8X1 + 6X2 + X3 ≤ 48 4X1 + 2X2 + 1,5X3 ≤ 20

2X1 + 1,5X2 + 0,5X3 ≤ 8

15

Primal dengan TORA

16

Primal dengan TORA

17

Dual dengan TORA

18

Dual dengan TORA

19

Dual dengan TORA

20

Model Primal :

memaksimumkan Z = $160x1 + 200x2

terbatas pada

2x1 + 4x2 ≤ 40 jam tenaga kerja

18x1 + 18x2 ≤ 216 pon kayu

24x1 + 12x2 ≤ 240 M2 tempat penyimpanan

x1, x2 ≥ 0

dimana

x1 = jumlah meja yang diproduksi

x2 = jumlah kursi yang diproduksi

21

22

• Hasil optimum

• X1 = meja 4

• X2 = kursi 8

• Jadi keuntungan max adalah :– Max Z =2.240

23

Model primal : maks Model dual : min • Model DUAL :

meminimumkan Z = 40y1 + 216y2 + 240y3

terbatas pada

2y1+ 18y2 + 24y3 ≥ 160

4y1 + 18y2 + 12y3 ≥ 200

y1, y2, y3 > 0

24

25

• Hasil optimum

• y1 20

• y2 6,67

• Jadi min w =2.240

26

Contoh 2 :

meminimumkan Z = 6x1 + 3x2

terbatas pada

2x1 + 4x2 ≥ 16 pon nitrogen

4x1 + 3x2 ≥ 24 pon phospate

x1, x2 ≥0

dimana

x1 = jumlah sak pupuk Super‑gro

x2 = jumlah sak pupuk Crop‑quik

Z = total biaya pembelian pupuk

27

Dual :

memaksimumkan Zd = 16y1 + 24y2

terbatas pada

2y1 + 4y2 ≤ 6, biaya dari Super‑gro

4y1 + 3y2 ≤ 3, biaya dari Crop‑quik

y1 , y2 ≥0

dimana

y1 = nilai marjinal nitrogen

y2 = nilai marjinal phospate

28

Contoh 3:

memaksimumkan Z = 10x1 + 6x2

terbatas pada

x1 + 4x2≤ 40

3x1 + 2x2 = 60

2x1 + x2 ≥ 25

x1, x2 ≥0

29

Shg Perubahan Batasan :memaksimumkan Zp = 10x1 + 6x2 terbatas pada

x1 + 4x2 ≤ 40

3x1 + 2x2 ≤ 60

‑3x1 – 2x2 ≤ ‑60

‑2x1 – x2 ≤ -25

x1, x2 ≥ 0

30

• Bentuk dual :

meminimumkan

Zd = 40y1 + 60y2 – 60y3 – 25y4

terbatas pada

y1 + 3y2 –3y3 – 2y4 ≥ 10

4y1 + 2y2 –2y3 – y4 ≥ 6

y1, y2, y3, y4 ≥ 0

31

primal

• Max z = 5 x1 + 12 x2 + 4 x3

• Batasan x1 + 2 x2 + x3 <= 10

2 x1 – x2 + 3 x3 = 8

x1, x2, x3 >= 0

32

Primal normal

• Max z = 5 x1 + 12 x2 + 4 x3

• Batasan x1 + 2 x2 + x3 <= 10

2 x1 – x2 + 3 x3 <= 8

- 2 x1 + x2 - 3 x3 <= - 8

x1, x2, x3 >= 0

33

dual

• Min W = 10 y1 + 8 y2 - 8 y3’

• Batasan y1 + 2 y2 - 2 y3 >= 5

2 y1 – y2 + y3 >= 12

y1 + 3 y2 - 3 y3 >= 4

y1 , y2 , y3 >= 0

34

Primal dengan TORA

35

36

Dual dengan TORA

37

38

39

Primal dengan manual

Itr BV x1 x2 x3 s1 R2 Solusi

0 z -(2M+5) M-12 -(3M+4) 0 0 -8M

s1 1 2 1 1 0 10

R2 2 -1 3 0 1 8

1 z -7/3 -40/3 0 0 4/3+M 32/3

x2 1/3 7/3 0 1 -1/3 22/3

s2 2/3 -1/3 1 0 1/3 8/3

2 z -3/7 0 0 40/7 -4/7+M 368/7

x2 1/7 1 0 3/7 -1/7 22/7

x1 5/7 0 1 1/7 2/7 26/7

40

Itr BV x1 x2 x3 s1 R2 Solusi

3 z 0 0 3/5 29/5 -2/5+M 54 4/5

x2 0 1 -1/5 2/5 -1/5 12/5

x1 1 0 7/5 1/5 2/5 26/5

Primal (cont’d)

41

Dual dengan manual

42

Contoh Lain

Reddy Mikks model :Primal Dual

max z = 5x1+4x2 min w = 24y1+6y2+y3+2y4

st: st:

6x1 + 4x2 ≤ 24 (M1) 6y1+y2-y3 ≥5

x1 + 2x2 ≤ 6 (M2) 4y1+2y2+y3+y4 ≥4

-x1 + x2 ≤ 1 y1, y2, y3, y4 ≥ 0

x2 ≤ 2

x1, x2 ≥ 0Optimal solution : Optimal solution :

x1 = 3, x2 = 1.5, z = 21 y1=0.75, y2=0.5, y3=y4=0, w=21

43

PR

• Cari bentuk dual dari primal berikut ini dan cari jawaban primal dan dual

• Max Z = -5x1 + 2x2

• Batasan

-x1 + x2 <= -2

2x1 + 3x2 <= 5

X1, x2 >=0

44

Prinsip Complementary Slack

• Jika suatu kendala adalah tidak aktif, sehingga terdapat variabel slack atau surplus, maka variabel dualnya adalah 0 dalam solusi optimal dual.

• Jika suatu kendala adalah aktif sehingga tidak terdapat variabel slack atau surplus, maka variabel dualnya adalah positif dalam solusi otpimal model dual

Variabel Model Primal Variabel Model Dual

Basis ≥ Non Basic = 0

Nons Basic = 0 Basis ≥

45

Contoh:PrimalMaks Z = 3X1 + 4X2

Kendala -4X1 + 5X2 ≤ 10 5X1 + 2X2 ≤ 50

X1 + X2 ≤ 10DualMin Z = 10X1 + 50X2 + 10X3

Kendala -4Y1 + 5Y2 + Y3 ≥ 3 5y1 + 2Y2 + Y3 ≥ 4

Solusi optimal dari soal primal adalah:X1=4,44; X2=5,56; X3=0.00; X4 = 16,67; X5 = 0,00; Z = 35,56Solusi optimal dari dual adalah:Y1=0,11; Y2=0,00; Y3=3.44; Y4 = 0,00; Y5 = 0,00; Z = 35,56

46

Untuk kedua solusi optimal, hubungan dalam prinsip comlementary slackness Terpenuhi, yaitu

Variabel Model Primal Variabel Model DualBasis Non BasisX1 = 4,44 Y1 = 0 (variabel surplus)X2 = 5,56 Y1 = 0 (variabel surplus)Non Basis BasisX3 = 0 (variabel slack) Y1 = 0,11X4 = 0 (variabel slack) Y2 = 0,00X5 = 0 (variabel slack Y3 = 3,44

KESIMPULAN

47

Model Primal Model DualMaksimasi MinimasiKoefisien fungsi tujuan Koefisien sisi sebelah kananKendala ke i ≥ Variabel ke yi ≤ 0Kendala ke i ≤ Variabel ke yi ≥ 0Kendala ke i = Variabel yi (unrestricted)Variabel ke i ≥ Kendala ke I ≥Variabel ke i ≤ Kendala ke I ≤