DIFERENSIABEL KONTINUMakalah ini disusun untuk memenuhi Tugas Akhir

Mata Kuliah Analisis Riil 1

Disusun oleh:

Dewanti Kumala Sari (3125120199)

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA

2014

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Analisis Riil dalam hampir keseluruhan materinya tidak terlepas dari gagasan yang berhubungan dengan fungsi. Fungsi mempunyai peranan penting dalam merumuskan konsep-konsep lainnya seperti: kontinu, turunan dan limit yang dihubungkan dengan berbagai teorema atau lema lainnya. Konsep kekontinuan fungsi sangat penting dalam kalkulus, baik kalkulus differensial maupun integral. Konsep ini didasarkan atas konsep limit. Jika konsep limit dipahami dengan baik, tidaklah sulit untuk memahami konsep kekontinuan. Konsep-konsep limit kiri, limit kanan, dan limit fungsi di suatu titik akan digunakan dalam pengertian kekontinuan fungsi di suatu titik. Kekontinuan juga tidak dapat dilepaskan dengan turunan. Seringkali kita dapati kasus dimana kekontinuan selalu menghasilkan turunan demikian pula sebaliknya, turunan selalu menghasilkan kekontinuan. Inilah yang kemudian melatar belakangi penulis untuk mengangkat judul ini dan untuk mengetahui seperti apa hubungan antara turunan dan kekontinuan.

1.2 Permasalahan

Berdasarkan latar belakang di atas dapat diketahui bahwa permasalahan yang akan dikaji adalah bagaimana hubungan antara turunan dengan kekontinuan.

1.3 Pembatasan Masalah

Dari permasalahan yang dihadapi tersebut akan dikaji mengenai bagaimana turunan mengakibatkan kekontinuan dan sebaliknya apakah kekontinuan selalu menghasilkan turunan.

1.4 Tujuan Penulisan

Berdasarkan permasalahan yang telah diuraikan sebelumnya, maka tujuan pokok dari penulisan tugas akhir ini adalah untuk menunjukkan apakah benar bahwa teori kekontinuan selalu menghasilkan turunan.

1

1.5 Sistematika Penulisan

Di dalam penyusunan tugas akhir ini secara keseluruhan terdiri dari pendahuluan, pembahasan, dan kesimpulan. Pada pendahuluan, dikemukakan tentang latar belakang masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan tugas akhir. Pada pembahasan, akan dibahas mengenai bagaimana hubungan antara turunan dengan kekontinuan suatu fungsi. Pada kesimpulan, memuat kesimpulan dari seluruh proses penyelesaian tugas akhir ini. Terakhir, terdapat daftar pustaka pada bagian akhir makalah.

BAB II

2

PEMBAHASAN

2. 1 TurunanTurunan fungsi f pada x didefinisikan sebagai

apabila limitnya ada. Untuk setiap x sedemikian sehingga limitnya ada, f ’ adalah fungsi terhadap x. Proses untuk menentukan turunan dari suatu fungsi disebut penurunan (differentiation). Suatu fungsi dapat diturunkan (diferensiabel) di x jika turunannya ada di x, dan terturunkan di selang buka (a, b) jika fungsi tersebut terturunkan di setiap titik dalam selang. Yang patut dicatat adalah turunan dari suatu fungsi juga merupakan fungsi terhadap x. Fungsi “baru” ini memberikan gradien dari garis singgung terhadap grafik f di titik (c, f(c)), asalkan grafik fungsi tersebut memiliki garis singgung di titik (c, f(c)). Sebagai tambahan, selain f ’(x), notasi lain juga dapat digunakan untuk menyatakan turunan dari y = f(x).

2.2 Kekontinuan

Pemahaman secara intuisi tentang pengertian kekontinuan fungsi sangat diperlukan. Pandang tiga buah grafik fungsi berikut:

Grafik 1 Grafik 2 Grafik 3

Tampak dari grafik 1. dan 2., bahwa fungsi terputus di suatu titik (sebut di titik c) berarti bahwa kedua fungsi tidak kontinu di titik c tersebut. Dari ketiga grafik fungsi di atas, hanya grafik 3. yang

3

menunjukkan fungsi kontinu, sehingga fungsi tersebut kontinu di titik c. Jika dicermati nilai limit fungsi di titik c, maka grafik 1. memperlihatkan bahwa limit kiri tidak sama dengan limit kanannya, jadi nilai limitnya tidak ada. Berbeda dengan grafik 2., meskipun terputus di titik c tetapi nilai limitnya ada karena limit kiri sama dengan limit kanan, namun nilai fungsi di titik tersebut tidak sama dengan nilai limitnya.

Suatu fungsi f dikatakan kontinu di titik c jika memenuhi 3 syarat berikut:

1. f(c) ada dan berhingga

2. ada dan berhingga

3. f(c) =

Suatu fungsi f(x) dikatakan diskontinu di titik x=x0 jika satu atau lebih syarat kekontinuan fungsi di atas tidak dipenuhi di titik tersebut.

2. 3 Hubungan antara Turunan dan Kekontinuan

Bentuk limit alternatif dari turunan yang berguna untuk menyelidiki hubungan antara turunan dan kekontinuan. Turunan f di c adalah

apabila limitnya ada.

Perhatikan gambar berikut.

4

Yang perlu diperhatikan adalah bahwa nilai limit pada bentuk alternatif ini dikatakan ada apabila

ada dan sama. Limit seperti ini secara berturut-turut disebut turunan dari kiri dan dari kanan. Dari uraian tersebut kita dapat mengatakan bahwa f memiliki turunan pada selang tutup [a, b] jika f memiliki turunan pada (a, b) dan jika turunan dari kanan a dan turunan dari kiri b, kedua-duanya ada.

Jika suatu fungsi tidak kontinu pada x = c, maka fungsi tersebut juga tidak akan memiliki turunan di x = c. Sebagai contoh, fungsi bilangan bulat terbesar

tidak kontinu di x = 0, yang menyebabkan tidak akan memiliki turunan di x = 0.

Perhatikan gambar di bawah.

5

Kita dapat membuktikan bahwa f tersebut tidak memiliki turunan di x = 0, sebagai berikut.

dan

Walaupun benar bahwa turunan mengakibatkan kekontinuan, akan tetapi konvers dari pernyataan ini belum tentu benar. Dengan kata lain, ada kemungkinan suatu fungsi kontinu di x = c, tetapi tidak memiliki turunan di x = c. Contoh 1 dan 2 berikut mengilustrasikan kemungkinan tersebut.

Contoh 1: Grafik dengan Belokan Tajam

Fungsi f(x) = |x – 1| seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah, merupakan fungsi yang kontinu di x = 1. Akan tetapi,

6

dan

tidak sama. Sehingga f tidak memiliki turunan di x = 1 dan grafiknya tidak memiliki garis singgung di titik (1, 0).

Contoh 2: Grafik dengan Garis Singgung Vertikal

Fungsi f(x) = x1/3 kontinu pada x = 0, seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Akan tetapi karena limit

7

tak terhingga, kita dapat menyimpulkan bahwa garis singgungnya vertikal ketika x = 0. Sehingga, f tidak memiliki turunan pada x = 0.

Dari contoh 1 dan 2, kita dapat melihat bahwa suatu fungsi tidak memiliki turunan pada suatu titik ketika grafiknya belok tajam dan garis singgungnya vertikal.

Teorema: Turunan Menyebabkan KekontinuanJika f memiliki turunan pada x = c, maka f kontinu pada x = c.

Bukti: Kita dapat membuktikan bahwa f kontinu pada x = c dengan menunjukkan bahwa f(x) mendekati f(c) ketika x → c. Untuk menunjukkan ini, kita gunakan turunan pada x = c dan menentukan limit berikut.

Karena selisih f(x) – f(c) mendekati 0 ketika x → 0, kita dapat menyimpulkan bahwa limit f(x) dengan x → c sama dengan f(c). Sehingga, f kontinu pada x = c.

BAB III

KESIMPULAN

8

Dari hasil analisis dan pembahasan dapat ditarik beberapa kesimpulan sebagai berikut :

1. Jika suatu fungsi memiliki turunan pada x = c, maka fungsi tersebut kontinu pada x = c. Sehingga, turunan mengakibatkan kekontinuan.

2. Ada kemungkinan suatu fungsi kontinu pada x = c, tetapi tidak memiliki turunan pada x = c. Sehingga, kekontinuan tidak menjamin adanya turunan.

DAFTAR PUSTAKA

9

[1]Purcell.Varberg.dan Rigdon.2003.Kalkulus Edisi 8.Jakarta:Erlangga.

[2]Iryanto. 2004. Hubungan antara Turunan Parsial dan Kekontinuan Fungsi dengan Dua Peubah. Tersedia : http://repository.usu.ac.id/bitstream/123456789/1877/1/matematika-iryanto.pdf / (diakses tanggal 2 Mei 2014 pukul 19:17)

[3]Kristanto, Yosep. 2013. Turunan dan Kekontinuan. [ONLINE]. Tersedia : http://yos3prens.wordpress.com/2013/03/28/turunan-dan-kekontinuan/ (diakses tanggal 22 April 2014 pukul 20:53)

10