MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA

Katedra matematiky

Historie matematiky ve vztahu k vyu�ování

matematiky na 2. stupni ZŠ

Diplomová práce

Brno 2009

Autor práce: Bc. Eva Sklá�ová

Vedoucí práce: doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc.

Prohlášení

Prohlašuji, že jsem celou diplomovou práci vypracovala samostatn�. Všechny zdroje,

prameny a literaturu, z nichž jsem p�i zpracování diplomové práce �erpala, �ádn� cituji a

uvádím v seznamu použité literatury.

Souhlasím, aby práce byla uložena na Masarykov� univerzit� v knihovn� Pedagogické

fakulty a zp�ístupn�na ke studijním ú�el�m.

V Brn� dne 7. dubna 2009 …………………….

podpis

Pod�kování

D�kuji doc. RNDr. Jaroslavu Beránkovi, CSc. za vedení diplomové práce a velmi cenné

rady.

Anotace Cílem diplomové práce „Historie matematiky ve vztahu k vyu�ování matematiky

na 2. stupni ZŠ“ je rozvíjet zájem žák� na základní škole o matematiku prost�ednictvím

historie matematiky.

V diplomové práci se autor zabývá historií matematiky a �ešením historických

úloh. V první �ásti popisuje autor historii matematiky. Druhá �ást diplomové práce je

zam��ena na �ešení historických úloh.

Annotation The aim of master’s project “The History of Math in the Upper-Level Primary

School Math teaching” is to encourage the interests of pupils about mathematics

through the history of math.

In this master’s project the author looks at the history of math and at solving

of historical exercises. In the first part the author deals with the history of math.

The second part of the master’s work concentrates on the solving historical exercises.

5

Obsah

1 Úvod.......................................................................................................................... 6

2 Historie matematiky.................................................................................................. 7

2.1 Období vzniku a formulace základních abstraktních matematických pojm� ... 8

2.1.1 Po�átky...................................................................................................... 8

2.1.2 Starý Orient............................................................................................... 9

2.1.2.1 Egyptská matematika.......................................................................... 10

2.1.2.2 Matematika Mezopotámie .................................................................. 12

2.1.2.3 �ínská matematika.............................................................................. 14

2.1.2.4 Indická matematika............................................................................. 14

2.2 Období matematiky konstantních veli�in ....................................................... 16

2.2.1 Období vytvo�ení matematiky jako v�dy v �ecku ................................. 16

2.2.1.1 Antické �ecko..................................................................................... 17

2.2.1.2 Helénistické období ............................................................................ 18

2.2.1.3 Období �ímské nadvlády..................................................................... 20

2.2.2 Období elementární matematiky ve st�edov�ku ..................................... 21

2.2.2.1 Orient po úpadku �ecké spole�nosti.................................................... 21

2.2.2.1.1 Indická matematika....................................................................... 21

2.2.2.1.2 Arabská matematika ..................................................................... 22

2.2.2.2 Po�átky rozvoje matematiky v západní Evrop�.................................. 24

2.3 Období matematiky prom�nných veli�in........................................................ 27

2.3.1 17. století................................................................................................. 27

2.3.2 18. století................................................................................................. 29

2.4 Období matematiky zobecn�ných kvantitativních a prostorových vztah� ..... 32

2.4.1 19. století................................................................................................. 32

2.4.2 20. století................................................................................................. 35

3 Praktická �ást .......................................................................................................... 37

3.1 Vybrané historické slovní úlohy vztahující se k u�ivu základní školy........... 38

3.2 �ešené úlohy................................................................................................... 49

3.3 Úlohy �ešené ve výuce, dotazník .................................................................... 74

4 Záv�r ....................................................................................................................... 76

5 Literatura................................................................................................................. 77

6

1 Úvod

Matematika je jednou z nejstarších v�d, jelikož matematické poznatky vznikaly

od nejran�jších dob lidstva.

Matematika pat�í k mén� oblíbeným p�edm�t�m vyu�ovaných na 2. stupni

základní školy. Žáky je proto nutné lépe motivovat k práci. Historie matematiky a �ešení

historických úloh m�že posloužit jako dobrá motivace pro žáky.

Cílem práce je motivovat žáky pomocí historických úloh. Diplomová práce má

dv� �ásti – teoretickou a praktickou.

V teoretické �ásti je zpracován stru�ný p�ehled d�jin matematiky ve �ty�ech

hlavních etapách. Tyto období zahrnují vývoj matematiky od neolitu až

po „sou�asnost“. V práci jsou zahrnuty pouze významné události z historie matematiky.

Praktická �ást obsahuje zásobník historických úloh, které se vztahují k výuce

matematiky na 2. stupni základní školy. Úlohy jsou �azeny dle procvi�ovaného u�iva.

Historické úlohy, které zastupují dané u�ivo, jsou dále podrobn� �ešeny.

S vybranými historickými úlohami bylo pracováno s žáky 6. ro�níku základní

školy. Sv�j postoj k �ešení historických úloh sd�lili v krátkém dotazníku.

7

2 Historie matematiky

Matematika se vyvíjela ve �ty�ech hlavních obdobích.

1. Období vzniku a formulace základních abstraktních matematických pojm�,

- od doby prehistorické až do 6. století p�. n. l.

2. Období matematiky konstantních veli�in,

a. období vytvo�ení matematiky jako v�dy v �ecku,

- od 6. století p�ed n. l. do 4. století n. l.

b. období elementární matematiky ve st�edov�ku,

- v Evrop� trvající až do konce 16. století.

3. Období matematiky prom�nných veli�in,

- 17., 18. a za�átek 19. století.

4. Období matematiky zobecn�ných kvantitativních a prostorových vztah�,

- od první poloviny 19. století do sou�asné doby.

8

2.1 Období vzniku a formulace základních abstraktních matematických pojm�

První vývojové období matematiky zahrnuje dobu vzniku matematiky, kdy se

za�aly pozvolna objevovat a používat matematické pojmy a epochu matematiky starého

orientu.

Hlavními podn�ty rozvoje matematiky, té doby, byly pot�eby spole�nosti. Nutná

byla nap�íklad znalost velikosti pozemk� k rozpis�m dodávek zem�d�lských plodin.

Geometrické poznatky se uplat�ovaly p�i stavbách pyramid. Zdrojem prvních

aritmetických algoritm� byla výroba potravin, obchod, ú�etnictví a astronomie.

2.1.1 Po�átky

První p�edstavy o �ísle a tvaru pochází ze starší doby kamenné – paleolitu.

�lov�k tehdy žil v jeskyních a jeho hlavní �inností bylo obstarávání potravy. Za�al

vyráb�t zbran� pro lov a rybolov. Postupn� se za�ala vyvíjet i �e� jako nástroj

k vzájemnému dorozumívání. V pozd�jším paleolitu si za�ali lidé projevovat i

um�lecky. V mladší dob� kamenné (neolitu) se zm�nil postoj �lov�ka k p�írod�. Tento

postoj již nebyl pouze pasivní. Od pouhého sb�ru potravy se p�ešlo k její výrob�,

od lovení a ryba�ení k zem�d�lství.

Tato zm�na se uskute�nila asi p�ed 10 000 lety. Za�al tát ledový povlak, který

pokrýval Evropu a Asii a uvolnil tak místo pro lesy a poušt�. Pomalu kon�ilo ko�ovné

putování lidstva za hledáním obživy. Rolníci se usazovali na místech s úrodnou p�dou,

za�ali si stav�t obydlí. Za�ala se také rozvíjet první jednoduchá �emesla (hrn�í�ství,

tesa�ství a tkalcovství). V pozdním neolitu lidé tavili a upravovali m�� a bronz.

Mezi jednotlivými sídlišti byl navazován obchod, �ímž se dále utvá�ela �e�.

Názvy �ísel – �íslovky m�ly zpo�átku kvalitativní než kvantitativní charakter.

Rozlišovalo se pouze mezi jedním, dv�ma a více. Nap�íklad výraz „jeden muž“

ozna�oval spíše „n�jakého, ur�itého muže“. P�i rozši�ování pojmu �íslo se za�ala

vytvá�et spojováním �ísla v�tší. Nap�íklad �íslo 3 vznikalo se�tením 2 a 1, 4 se�tením

2 a 2,…

�íselné zprávy se uchovávaly nap�. uzlíky, zá�ezy na holi, lasturami nebo

oblázky. Za nejstarší p�ímý doklad matematické �innosti lidí bývá n�kdy považována

tzv. V�stonická vrubovka, která byla nalezena profesorem Karlem Absolonem dne

9

19. srpna 1936. Jedná se o 18 cm dlouhou v�etenní kost mladého vlka s 55 vyrytými

zá�ezy. Prvních 25 zá�ez� je uspo�ádáno do skupin po p�ti, po nich následuje dvakrát

tak dlouhý zá�ez, jímž �ada kon�í. Poté za�íná nová �ada op�t dvojnásobn� dlouhým

zá�ezem. Tato �ada dosahuje po�tu t�iceti vrub�.

Vznik operace násobení spadá do doby, kdy se nap�íklad �íslo 20 za�alo

vyjad�ovat nejen jako 10 +10, ale také jako 2 x 10. Za�átky d�lení pak do doby, kdy se

�íslo 10 za�alo vyjad�ovat jako „polovina t�la“. Zlomky se však vytvá�ely velmi z�ídka.

Mezi d�ležité �innosti �lov�ka pat�ilo m��ení délek a zjišování objem� r�zných

t�les. M�rné jednotky se �asto odvozovaly z �ástí lidského t�la. Tímto zp�sobem

vznikly nap�íklad jednotky, jako jsou palce, stopy a hrsti. P�i stavbách dom� se za�aly

nalézat zp�soby jak stav�t podle p�ímky a jak vyty�ovat pravé úhly.

P�i lidských �innostech se v neolitu za�alo objevovat a rozvíjet cít�ní

pro geometrickou ornamentiku. P�i zdobení výrobk� využívali výrobci vztahy útvar�

v rovin� a v prostoru. Ornamenty, které pocházejí z této doby, obsahují velké množství

shodností, symetrií a podobností.

Mnohé matematické poznatky vycházely z astronomie. Již velmi primitivní

kmeny dokázaly ur�itým zp�sobem d�lit �as. Setkáváme se u nich i s poznatky

o pohybu Slunce, M�síce a hv�zd. S rozší�ením zem�d�lství a obchodu dosáhly tyto

znalosti v�de�t�jšího charakteru. Spojováním vegeta�ních zm�n s periodickými

zm�nami M�síce se za�íná užívat lunární kalendá�. Primitivní národy pozorovaly také

slunovraty, východy souhv�zdí p�i stmívání a používaly souhv�zdí jako vodítek

p�i mo�eplavb�.

2.1.2 Starý Orient

Mezi státy Starého Orientu pat�í Egypt, Mezopotámie, Indie a �ína. Na b�ezích

velkých �ek v Africe a v Asii se b�hem 5. až 3. tisíciletí rozvinuly z neolitických

spole�enství nové a pokrokové státní formy. Jakmile byly p�erušeny záplavy a vysušeny

mok�iny v povodí t�chto �ek, staly se z nich pole s velmi bohatou úrodou.

Zdokonalovalo se zem�d�lství a nastal p�echod od kamenných nástroj� k m�d�ným,

bronzovým a pozd�ji železným. Za�alo se objevovat soukromé vlastnictví výrobních

prost�edk�; za�ala se vytvá�et t�ídní spole�nost.

Nov� vzniklé státy v Egypt�, Mezopotámii, �ín� a Indii byly otroká�ské.

S rozvojem obchodu a �emesel vznikala m�sta. Stav�ly se paláce, chrámy i opevn�ní a

10

zna�n� se rozvíjela stavební technika. Z d�vodu �etných válek byla vytvo�ena také

vojenská technika. Výrobní ekonomická a technická �innost vyžadovala velké množství

znalostí. Ty byly soust�ed�ny v rukou zvláštní skupiny ú�edník�, mezi které pat�ili také

kn�ží a písa�i.

Orientální matematika vznikala jako praktická v�da, aby usnadnila výpo�et

kalendá�e, �ízení sklizní, organizaci ve�ejných staveb a vybírání daní. Zpo�átku byla

v�nována pozornost praktické aritmetice a zem�m��ictví. ([15], str. 19)

S povinností platit dan� a clo se zvýšily požadavky na p�esnost výpo�t�.

Matematika se za�ala rozvíjet sm�rem k abstrakci. Aritmetika se rozvinula v algebru.

Znalosti orientální matematiky jsou velmi útržkovité. Pro staletí p�ed rozvojem

�ecké v�dy jsme odkázání skoro výlu�n� na materiál z Mezopotámie nebo Egypta.

To souvisí i s materiálem užívaným k zaznamenávání. V Mezopotámii to byly hlin�né

tabulky, které byly po vypálení prakticky nezni�itelné. V Egypt� používali papyru.

Zna�ná �ást egyptského písemnictví se dochovala díky suchému klimatu. �í�ané a

Indové používali mén� odolný materiál – k�ru a bambus. Pozd�ji však za�ali �í�ané

používat papír.

2.1.2.1 Egyptská matematika

Mezi základní památky egyptské matematiky pat�í Moskevský a Rhid�v

papyrus. Moskevský papyrus pochází z doby kolem roku 1850 p�ed n. l. Získal jej ruský

sb�ratel Goleniš�ev v roce 1893. V roce 1912 p�ešel do majetku moskevského Musea

krásných um�ní. Tento papyrus je dlouhý 544 cm a široký 8 cm. Je dosti poškozen a

�itelných je pouze 25 úloh s �ešeními.

Moskevský papyrus p�edstavoval sbírku s nevýrazným systémem uspo�ádání, ale

s jednotnou formou zápisu textu a �ešení. Úlohy se týkají výpo�tu neznámé veli�iny

„aha“, obsah� n�kterých obrazc� a množství obilí pot�ebného k upe�ení požadovaného

množství chleb�, resp. k uva�ení požadovaného množství piva. ([7], str. 45)

Rhid�v papyrus pochází z doby kolem roku 1700 p�ed n. l. Je nazván podle

jména egyptologa, který ho nalezl a získal v roce 1858. Dnes je uložen v Britském

muzeu v Londýn�, �ást se však nachází v New Yorku. Jedná se o svitek dlouhý

p�es 5 metr� a široký 33 centimetr�. Obsahuje 84 úloh. Úlohy jsou pestrého nám�tu, ale

jsou �ešeny mén� pe�liv� než na p�edcházejícím papyru. Mezi nové okruhy témat pat�í

11

nap�íklad rozd�lování chleb� na stejné dávky pro daný po�et osob, výpo�ty objemu

sýpek a sklonu pyramid.

Mezi další egyptské písemné památky pat�í kožený svitek, který pochází asi

z roku 1650 p�ed. n. l. a zakoupil ho rovn�ž A. H. Rhind v roce 1858 n. l. Pro špatný

stav byl rozbalen až v roce 1912. Historici byli velmi zklamáni, jelikož obsahoval pouze

26 rovností pro zlomky tvaru 1 : n.

Ve starém Egypt� používali k psaní i po�ítání znaky, dnes známé jako

hieroglyfy. Numerace byla desítková, ale ne pozi�ní. �íslice od 1 do 9 se zapisovaly

�árkami. Pro �ísla tvaru 10n, od 10 do 107, m�li starov�cí Egypané zvláštní znaky.

P�i rychlém zapisování vznikaly znaky zkrácených a zjednodušených forem. Vzniklo

tak písmo hieratické, užívané p�edevším kn�žími.

Egypané rozvinuli matematiku aditivního charakteru - p�evedení všechno

násobení na opakované s�ítání. Po�etní výkony s�ítání a od�ítání se provád�ly

na po�ítadlech. Násobení se p�evád�lo, jak už bylo zmín�no, na násobení. Nej�ast�ji se

jednalo o násobení pomocí „zdvojování“. Podle zdatnosti po�tá�� se užívalo nap�íklad i

p�tinásobk�, desetinásobk� �i dvacetinásobk� �initele. D�lení se p�evád�lo

na zdvojnásobování a p�lení.

Egypané znali tzv. kmenné (alikvotní) zlomky tvaru n1

. Pro n�které zlomky

m�li zvláštní hieroglyfy. Všechny zlomky se p�evád�ly na sou�ty kmenných zlomk�.

Pro toto p�evád�ní existovaly tabulky.

Druhé mocniny se ur�ovaly aproximativn�. K odmocn�nci n se našlo p�irozené

�íslo a, jehož druhá mocnina je k n�mu nejblíže nižší: a

baban

22 +=+= . Podíl se

dále vyjad�oval pomocí kmenných zlomk�.

Rovnice, které se objevují ve slovních úlohách o majetku „aha“, byly v�tšinou

lineární typu. Tyto rovnice se ne�ešily vždy d�lením. Již ve starov�kém Egypt�

využívali metodu falešného p�edpokladu. Nejprve bylo odhadnuto �ešení, poté se

dosadilo do zadání. Správný výsledek se získal úm�rným zv�tšením nebo zmenšením

odhadu. �ada úloh se omezovala na výpo�et sou�tu aritmetické nebo geometrické

posloupnosti.

Geometrické úlohy vznikaly z praxe. B�žn� se provád�ly výpo�ty vým�r

trojúhelníkových, obdélníkových, lichob�žníkových i kruhových pozemk�. Názvy

pro tvary pozemk� však ješt� neznali. Hovo�í se tedy jen o p�ímém, šikmém �i

12

okrouhlém pozemku s mezí, ší�kou a délkou. Egyptští písa�i znali vzorec pro výpo�et

komolého �ty�bokého jehlanu (pyramidy): )(3

22 babav

V ++= . Kde a, b jsou strany

�tverc� základen a v je výška.

Sklon pyramid udával seked - kolik dlaní vodorovn� p�ipadá na jeden loket

svisle. Normou p�i stavbách pyramid byl seked mezi 5 dlan�mi a 5 dlan�mi a 2 palci.

Obdivuhodná je také p�esná orientace egyptských pyramid podle sv�tových stran.

Egypané se také zabývali astronomií, která vycházela z dlouhodobých

pozorování oblohy, pohyb� míst východu Slunce a fází M�síce. Pevným bodem

kalendá�e bylo vyno�ení Siria nad obzor p�ed východem Slunce; zpravidla za�al stoupat

Nil.

2.1.2.2 Matematika Mezopotámie

Nejstarší písemné památky z území Mezopotámie pocházejí už z poloviny

4. tisíciletí p�ed n. l. Zachovalo se n�kolik set tisíc hlin�ných tabulek, ale jen n�kolik set

z nich má n�jaký vztah k matematice. ([7], str. 51)

Texty a �ešení úloh obsahuje 150 tabulek. �íselných tabulek se dochovalo 200.

Na v�tšin� tabulek se nachází 18 až 100 úloh, jedna však obsahuje úloh 148.

Matematické texty byly ur�eny p�evážn� jako p�íru�ky pro žáky písa�ských škol.

Základy kultury starov�ké Mezopotámie položili Sumerové, kte�í užívali klínové

písmo. Znaky, ze kterých se skládala písmena a �ísla, m�ly v�tšinou tvar klín�. �íselné

soustavy se vyvíjely od desítkové nepozi�ní, která byla obdobná egyptské,

p�es smíšenou, k šedesátkové pozi�ní soustav�.

P�í�innou vývoje šedesátkové soustavy byly nepochybn� hospodá�ské d�vody,

jelikož na sousedních územích existovaly dv� m�ny. (1 sumerská mina se rovnala

60 akkadským šekel�m a 1 talent se rovnal 60 minám.)

K zápisu �ísel se používaly dva typy klín� – svislý pro jednotky a vodorovný

pro desítky. �ísla 1, 2,…, 58, 59 byla jednotkami prvního �ádu, 60 jednotek prvního

�ádu dávalo jednotku �ádu druhého. 60 jednotek druhého �ádu dávalo jednotku t�etího

�ádu atd. V mezích každého �ádu se �íslo vyjad�ovalo v desítkové nepozi�ní soustav�.

P�i p�echodu do vyššího �ádu se však uplat�ovala šedesátková pozi�ní soustava.

S pot�ebami astronomie se v 5. století p�. n. l. objevil zvláštní znak, který plnil

roli nuly. Tímto znakem byly dva vodorovné klíny nad sebou. Znak pro nulu se

13

používal tehdy, když uprost�ed �ísla chyb�ly jednotky n�jakého �ádu. P�edtím se

chyb�jící jednotky n�jakého �ádu vyjad�ovaly mezerami mezi klínopisnými znaky. Nulu

však Babyló�ané používali jen uprost�ed �ísla. Zápis �ísel, která nemají jednotky

jednoho, nebo n�kolika nejnižších �ád� zp�soboval vícezna�nost zápis�. Pouze

z podmínek úlohy a z výsledk� výpo�t� bylo možné ur�it �íslo, které daný zápis

ozna�uje.

Mezopotamská šedesátková soustava numerace byla tudíž pozi�ní jen

ned�sledn�. P�esto to byl ohromný krok vp�ed; dodnes m��íme �as a úhly v šedesátkové

soustav�, kterou nalezli Sumerové p�ed 5000 lety. ([13], str. 25)

Postupy p�i s�ítání a od�ítání se nedochovaly, pravd�podobn� se používala

po�ítadla. Pro násobení si sestavovali tabulky násobk� jednotlivých �ísel, pro d�lení

užívali tabulky p�evrácených hodnot. Existovaly také matematické tabulky, které

obsahovaly druhé a t�etí mocniny a odmocniny z �ísel, sou�iny n x m a výpo�ty sou�t�

tvaru m2 + n2 . V Mezopotámii byla rozvinuta p�edstava o aritmetické a geometrické

posloupnosti. Znali již vzorec naa

S nn ⋅

+=

21 .

Již ve 2. tisíciletí se v Mezopotámii, narozdíl od Egypta, �ešily n�které

kvadratické i kubické rovnice s jednou neznámou. Neznámá se nazývala „strana“ a její

druhá mocnina „�tverec“; pro dv� neznámé volili termíny „délka, ší�ka“ a jejich sou�in

„obsah, vým�ra“; pro t�i neznámé „délka, ší�ka, výška“ a „objem“. Dále také �ešili

soustavy lineárních rovnic. Jelikož Babyló�ané znali jen kladná racionální �ísla, volili

koeficienty rovnic tak, aby byly kladné.

Na základ� jednoduchých praktických úloh se též rozvíjela geometrie.

Babyló�ané znali vzorce pro výpo�et obsahu jednoduchých pravoúhelník� a objem�

jednoduchých t�les. Známá také byla Pythagorova v�ta nejen ve speciálních p�ípadech,

ale také v plné obecnosti.

Ke zdokonalování matematických metod p�ispívala stejn� jako ve starov�kém

Egypt� astronomie. V mezopotamských astronomických spisech se objevovaly

„schodové“ funkce, periodické funkce a aritmetické posloupnosti. Do Mezopotámie se

jezdili u�it p�íslušníci st�edomo�ských národ�.

Mezopotamská matematika dosáhla vyšší úrovn� než matematika egyptská.

14

2.1.2.3 �ínská matematika

Nejstarší dochované �ínské matematické texty pocházejí z 1. tisíciletí p�ed n. l.

Mezi tyto texty pat�í Matematický traktát o �ou pi a Matematika v devíti knihách.

Traktát o �ou pi (Traktát o m��ící ty�i) má 3 �ásti. První dv� �ásti se skládají

z dialog� a pocházejí ze 3. století p�ed n. l. Rozmlouvá se zde o pravoúhlých

trojúhelnících, slune�ních hodinách a o m��ení pr�m�ru Slunce. T�etí �ást traktátu se

zabývá astronomií. V traktátu se užívá podobnosti trojúhelník�, Pythagorovy v�ty a

operací se zlomky. P�i aplikaci Pythagorovy v�ty jsou zapot�ebí druhé mocniny a

odmocniny. Druhé odmocniny se nevypo�ítávají, vyjad�ují se jen p�ibližn�. (Nap�. 5

se vyjad�uje jako „2 a kousek“.)

Matematika v devíti knihách byla vytvo�ena ve 3. století n. l. z nedochovaných

ran�jších pramen�, pocházejících snad z doby 1. tisíciletí p�ed n. l. Obsahuje 246 úloh

s odpov��mi a návody k �ešení. Úlohy jsou rozt�ízeny podle v�cné tématiky, nap�.

vym��ování polí, oce�ování prací, pom�rné rozd�lování. Obsah této sbírky odpovídá

praktickým pot�ebám �ínské spole�nosti. Nacházejí se zde typového úlohy d�ležité

pro práci obchodník�, �emeslník�, státních ú�edník�, stavitel�, zem�m��i�� i

vojenských velitel�. Texty úloh však nemají žádné vysv�tlivky, za textem úlohy se

nachází pouze výsledek a nazna�ený postup �ešení. V Matematice v devíti knihách se

objevil desítkový pozi�ní systém jako základ numerace, po�ítání se zápornými �ísly

(záporná �ísla se barevn� odlišovala od kladných), metoda výpo�tu druhých a t�etích

odmocnin, Pythagorova v�ta a výpo�ty objem� a obsah�. Lineární rovnice o jedné

neznámé byly �ešeny metodou p�ebytku a nedostatku. Pro soustavu lineárních rovnic

s více neznámými se uplat�ovala metoda fang �cheng (maticová metoda). �ešily se zde

také kvadratické rovnice.

2.1.2.4 Indická matematika

Nejstarší indické texty pocházejí snad z 1. století našeho letopo�tu. Matematické

poznatky se objevují ve spisech s jiným ur�ením.

Sta�í Indové znali desítkovou �íselnou soustavu bez pozi�ního zápisu. Tento

systém byl vytvo�en z takzvaných �ísel Bráhmí, kde byl zvláštní znak pro každé

z následujících �ísel: 1, 2, 3, ... , 9, 10; 30, ... , 100, 200, 300, ... , 1000; 2000 ... atd.

([15], str. 29)

15

Z mnoha dochovaných (ne p�ímo matematických) spis� má k matematice blízko

spis Súlvasútra (Pravidla provazce, 500 let p�. n. l.). Poskytoval pravidla

pro vym��ování a stavbu ob�tních oltá��. Nejstarší dochovaná verze tohoto spisu má

525 verš�, 116 verš� je v�nováno matematice. Jedná se o výpo�ty obsah� obrazc�

(podstav oltá��) a objem� t�les. P�i výpo�tech se b�žn� pracovalo s iracionálními �ísly.

Dále se zde nacházejí návody pro konstrukci �tverc� a pravoúhelník�, výrazy pro pom�r

úhlop�í�ky ke stran� �tverce a pro porovnání velikostí kruh� a �tverc�. N�které úlohy

z Súlvasútry vedou k lineárním a kvadratickým rovnicím i k soustavám lineárních

rovnic o více neznámých. N�které typy rovnic vyžadovaly výpo�et druhé mocniny.

Itera�ní metodou dosáhli Indové hodnot: 3443

143

131

12⋅⋅

−⋅

++= ,

52531

531

32

13⋅⋅

−⋅

++= .

Ve stereometrických úlohách se „unikalo“ k problematice rovinných obrazc�,

zejména pravoúhlých trojúhelník�. Bylo to možné díky tomu, že oltá�e m�ly tvar hranol�

a válc�, takže roz�ešením úlohy o mnohoúhelníku podstavy byla vystižena problematika

hranol� a válc�. �tverec o obsahu a2 se má nap�íklad zv�tšit na �tverec o obsahu n⋅a2.

To znamená, že strana nového �tverce je výškou rovnoramenného trojúhelníku se

základnou ( )an 1− , ramenem ( )an 121 + . ([7], str. 68)

V Súlvasút�e se objevují také pravoúhlé trojúhelníky o rozm�rech: 3, 4, 5; 5, 12,

13; 8, 15, 17; 7, 24, 25; 12, 35, 37; 15, 36, 39. Mezi další dochované úlohy pat�í

prom�ny obrazc�, nap�. obdélník na �tverec o stejném obsahu. Z konstruk�ních,

sestrojení �tverce, který má obsah rovný sou�tu (rozdílu) obsah� daných �tverc�.

Stavitelské um�ní, které vyžadovalo skládání �tverc�, trojúhelník� nebo

mnohoúhelník�, dalo pravd�podobn� podn�t k vypracování nauky o trojúhelníkových,

�tvercových a všeobecn� mnohoúhelníkových �íslech. Mezi trojúhelníková �ísla pat�ila

nap�íklad: 1, 3, 6, 10, 15; �tvercová: 1, 4, 9, 16, 25.

16

2.2 Období matematiky konstantních veli�in

Období matematiky konstantních veli�in je d�leno na dv� odlišující se epochy –

období vytvo�ení matematiky jako v�dy v �ecku a období elementární matematiky ve

st�edov�ku.

2.2.1 Období vytvo�ení matematiky jako v�dy v �ecku

Matematika jako v�da vznikla v �ecku v 6. - 5. století p�ed n. l. P�edpoklady

pro vznik matematické v�dy existovaly již v Babylónii a Egypt�. Na tyto tradice

�ekové navázali ve svých poznatcích. Pro rozvoj v�dy byly však rozhodujícími odlišné

a daleko podn�tn�jší ekonomické, filosofické, kulturní a technické podmínky

spole�nosti.

�ecká matematika se od 6. století p�. n. l. za�ala rychle obohacovat novými

základními fakty. P�edm�tem studia matematiky se stávají matematické objekty.

Matematika se stává deduktivní v�dou. P�i zkoumání matematických objekt� se za�íná

logicky odvozovat. Logické odvozování je založeno na systému axiom� a na již d�íve

dokázaných v�tách. �ekové došli jako první k ideji d�kazu a d�kaz�m dali logickou

formu.

�e�tí matematikové �inili rozdíl mezi „aritmetikou“ neboli v�dou o �íslech a

„logistikou“ neboli praktickým po�ítáním. ([15], str. 61)

P�vodní �ecká numerace vycházela z aditivního desítkového systému jako

u Egyp�an� nebo �íman�. V alexandrijském období, a možná že již d�íve, se objevil

zp�sob zápisu �ísel, který byl užíván až do 15. století nejen v�dci, ale též obchodníky a

správnými ú�edníky. K vyjád�ení našich symbol� 1, 2, 3,…, 9, desítek od 10 do 90 a

posléze stovek od 100 do 900 se postupn� užívalo symbol� �ecké abecedy (α = 1, � = 2

atd.) K 24 písmen�m �ecké abecedy se p�idala t�i zvláštní archaická písmena, aby bylo

dosaženo pot�ebných 27 symbol�. ([15], str. 62)

Tento desítkový systém avšak nebyl pozi�ní. S tímto systémem lze již snadno

provád�t �ty�i základní operace. Snadno se také po�ítalo se zlomky, které m�ly vlastní

symboliku. Systém �ek� však postrádal jednotu; užívali egyptské kmenné zlomky i

babylónské šedesátinné zlomky.

17

2.2.1.1 Antické �ecko

O po�átek rozvoje v�dy v antickém �ecku se zasloužil kupec, Thales z Milétu

(638/637 – 548/547 p�. n. l.), který v první polovin� 6. století p�ed n. l. navštívil

Babylónii a Egypt. Díky jemu možná zapo�alo p�etvá�ení babylónské a egyptské

praktické po�etní matematiky v deduktivní v�du. Thales uvažoval nad geometrickými

poznatky a po�ídil seznam jednoduchých tvrzení o vlastnostech základních

geometrických útvar� jako nap�. shodnost vrcholových úhl� a shodnost úhl�

p�i základn� rovnoramenných trojúhelník�. Thales se snažil „p�ijít v�cem na kloub“ a

nespokojil se z nezd�vodn�nými tvrzeními. Rozumovou úvahou se snažil p�ejít

od z�ejmých tvrzení k tvrzením mén� z�ejmým.

O slávu zakladatele �ecké matematiky se s Thaletem d�lí Pythagoras ze Samu

(571/570 – 497/496 p�. n. l.), který byl mystikem, v�dcem a aristokratickým politikem.

Pythagoras se stal zakladatelem pythagorejské školy, v níž se zrodila teorie �ísel a

studium pravidelných mnohoúhelník�. Každou prostorovou formu nebo jev se snažili

pythagorejci vyjád�it jednozna�n� ur�eným kvantitativním modelem, �íslem. Roli �ísla

však zveli�ili; �ísla prohlásili za všemocné vládce a za prvotní základ v�cí a jev�

obklopující nás reality. Objev Pythagorovy v�ty p�ipisovali pythagorejci svému

mistrovi, i když byla známa již Babyló�an�m. Možné však je, že první d�kaz

Pythagorovy v�ty pocházel z pythagorejské školy.

Nejzávažn�jším objevem p�ipisovaným pythagorejc�m bylo odhalení iracionality

jako nesoum��itelnosti úse�ek. Tento objev byl možná výsledkem jejich zájmu o st�ední

geometrickou úm�rnou cbba :: = , která byla symbolem aristokrati�nosti. Co bylo

st�ední geometrickou úm�rnou dvou posvátných �ísel 1 a 2? Tato otázka vedla ke studiu

vztahu strany a úhlop�í�ky �tverce a pythagorejci došli k výsledku, že pom�r t�chto

dvou úse�ek nelze vyjád�it „�íslem“, tj. tím co dnes nazýváme racionálním �íslem, které

bylo tehdy jedinou uznávanou �íselnou hodnotou. ([15], str. 39)

Objev nesoum��itelnosti se stal skute�nou katastrofou pythagorejské filosofie a

stal se tak podn�tem k p�echodu od aritmetického základu matematiky ke geometrizaci

matematických pojm� a k posílení „geometrické algebry“. Tento objev spadá

pravd�podobn� do posledních desetiletí 5. století p�ed n. l.

Zárove� s nesoum��itelností úse�ek se objevila ješt� další obtíž, která pramenila

ze spor� týkajících se reality zm�ny. Formulace t�chto nesnází se p�ipisuje filosofovi,

Zenonovi z Elea (p�ibližn� 490 – 430 p�. n. l.), který p�edložil 45 aporií. Mezi

18

nejznám�jší dochované aporie jsou: Achilles, šíp, dichotomie a stadion. V Zenonových

aporiích vyniká rozpor mezi pojmy pohyb a �as.

V 5. století p�. n. l. byly také zformulovány „t�i proslulé matematické problémy

starov�ku“ mezi které pat�í: trisekce úhlu (tj. d�lení daného úhlu na t�i stejné �ásti),

zdvojení krychle (tj. nalezení hrany krychle, jejíž objem je dvojnásobkem dané krychle)

a kvadratura kruhu (tj. nalezení �tverce o ploše rovné ploše danému kruhu). Tyto

problémy vzbudily všeobecný zájem a sehrály v historii matematiky významnou roli.

Pokusy roz�ešit je prost�edky klasické geometrické algebry i neklasickými

zp�soby �ešení p�isp�ly k zavedení nových matematických pojm� a rozpracování

r�zných metod �ešení úloh. Odpov� na otázky, které v t�chto úlohách položili starov�cí

�e�tí u�enci, dali matematici až ve druhé polovin� 19. století. ([13], str. 35)

Atomistickou teorii matematiky vypracoval významný v�dec-materialista

Démokritos z Abdéb (kolem 460 – 380 p�. n. l.). Ve své teorii uplatnil sv�j filosofický

názor; body považoval za ned�litelné atomy prostoru, které mají kone�ný objem.

Úse�ku, plochu �i objem vytvá�el zna�ný, ale kone�ný po�et ned�litelných atom�.

Hippokrates z Chiu (2. polovina 5. století p�. n. l.) objevil jako první útvary omezené

oblouky kružnic zvané „m�sí�ky“. Obsah t�chto útvar� se rovná obsahu pravoúhlého

trojúhelníku sestrojitelného pravítkem a kružítkem. S teorií proporcí a „exhaustivní“

metodou je spojován Eudoxos z Knidu (kolem 406 – 365 p�. n. l.). Teorie proporcí

platila jen pro soum��itelné veli�iny a odstranila tak aritmetickou teorii pythagorejc�.

Eudoxova teorie byla �ist� geometrická. Exhaustivní metoda byla prvním u�ením

o limitách, umož�ovala p�esné výpo�ty obsah� a objem�.

To, že iracionality nejsou nijak výjime�nými jevy ukázal Thaitetos z Atén

(kolem 410 – 368 p�. n.l.), který provedl i jejich klasifikaci. Na matematiku m�la vliv

také filosofie. Mezi nejvýznamn�jší antické filosofy, kte�í ovlivnili vývoj matematiky

pat�í Sókratés (469 – 399 p�. n. l.), Platón (427 – 347 p�. n. l.) a Aristotelés (384 – 322

p�. n. l.). Aristotelés je považován za zakladatele logiky.

2.2.1.2 Helénistické období

Epocha helénismu za�ala v dob� pochod� Alexandra Makedonského za hranice

�ecka (332 – 323 p�. n. l). Po Alexandrov� smrti se jím vytvo�ená �íše rozpadla

na jednotlivé zem�. Nejv�tšího úsp�chu dosáhly v�dy v Egypt�. Vzniklo v�decké

19

centrum – Múseion s knihovnou. Nejv�tší v�dci té doby pracovali práv� v tomto centru

a matematika dosáhla mimo�ádného rozkv�tu.

Mezi významné u�ence antického sv�ta helénistického období pat�í Euklides

(kolem 340 – 287 p�. n. l.), Archimédes ze Syrakus (kolem 250 – 170 p�. n. l.),

Apollónios z Pergy (kolem 250 – 170 p�. n. l.).

O život� Euklida není známo nic ur�it�jšího. Tehdejšímu vládci nazna�il, že

neexistuje žádná královská cesta k pochopení geometrie. Nejznám�jším a v�decky

nejvýznamn�jším dílem Euklida je t�ináct knih Základ�. První �ty�i knihy jsou

planimetrické, pátá a šestá kniha jsou v�novány teorii proporcí. Další t�i knihy bývají

nazývány jako knihy aritmetické. Desátá kniha obsahuje teorii iracionalit a poslední t�i

knihy jsou stereometrické. Základy jsou prvním pokusem o axiomatickou výstavbu

matematiky. Originální text se však nedochoval.

Euklidovy základy lze považovat za jeden z vrchol� �ecké matematiky. Výrazn�

p�ekonaly starší u�ební texty, staly se vzorem a autoritou na více než dva tisíce let. Snad

ješt� významn�jší než obsah Základ� je jejich struktura a forma, dodnes je lze

považovat za u�ebnici deduktivního myšlení. Metoda, která byla v Základech

prezentována, postupn� pronikala do všech oblastí matematiky. Metodický p�ínos

Základ� byl obrovský. ([3], str. 21)

Nejvýznamn�jším matematikem helénistického období byl Archimédes

ze Syrakus. Mezi nejvýznamn�jší Archimédovy matematické práce pat�í rozpracování

metod výpo�tu ploch a objem�. Archimédes aproximoval �íslo (71

3 ).

Mezi Archimédovi práce pat�í: O rovnováze ploch, O kouli a válci, O plovoucích

t�lesech, O spirálách, O konoidech a sféroidech, Kvadratura paraboly, M��ení kruhu,

O po�ítání písku. Archimédes p�isp�l také k rozvoji fyziky, mechaniky a astronomie.

Apollónios z Pergy byl autorem mnoha matematických prací.

Mezi nejvýznamn�jší pat�í 8 knih O kuželose�kách, z nichž se zachovalo jen 7. V t�chto

knihách je vyložena Apollóniova teorie o kuželose�kách 2. stupn�. V Apollóniových

knihách nalezneme problém konstrukce kružnice dotýkající se t�í daných kružnic,

p�i�emž tyto kružnice mohou být zam�n�ny p�ímkami nebo body. U Apollónia se

poprvé setkáváme s výslovným požadavkem, kdy se p�i geometrických konstrukcích

m�že použít pouze kružítko a pravítko.

20

2.2.1.3 Období �ímské nadvlády

Období �ímské nadvlády za�alo �ímskými výboji (konec 3. století p�. n. l.).

�ímští legioná�i získali �etná území. Zpustošeno bylo tém�� celé �ecko.

Roku 31. p�. n. l. byla dobyta také Alexandrie (sho�ela i �ást knihovny Músea).

Alexandrie však z�stala i nadále st�ediskem st�edov�ké matematiky. Podmínky

pro v�deckou práci byly ale nep�íznivé.

Mezi první alexandrijské matematiky tohoto období pat�í Nikomachos z Gerasy

(kolem roku 100 n. l.), díky kterému se dochoval výklad pythagorejské matematiky

(Úvod do aritmetiky). Heron z Alexandrie (1. století n. l.) byl talentovaným inženýrem a

vynálezcem; vyu�oval v Múseu. O Heronovi je známo, že p�esn� popsal zatm�ní

M�síce roku 62 n. l. V jeho díle Metrika je uveden známý vzorec pro výpo�et obsahu

trojúhelníku – „Heron�v vzorec“. Asi v téže dob� jako Heron z Alexandrie žil také

Meneláos z Alexandrie, který podal systematický výklad sférické geometrie (Sférika).

Významným dílem helénistického období byla Velká sbírka (kolem roku 150

n. l.), jejíž autorem je astronom Klaudios Ptolemaios (kolem 100 – 170 n. l.).

Tato sbírka je znám�jší pod arabským názvem Almagest. Obsahovala matematický

model viditelného pohybu nebeských t�les. Vliv Orientu je patrný v díle Diofanta

z Alexandrie – Aritmetice. Tato kniha pochází z doby kolem roku 250 n. l., z originálu

se dochovalo jen šest knih a p�vodní rozsah není znám. V knize se objevuje velké

množství nových idejí, zajímavých úloh a také záhad, které nebyly doposud vy�ešeny.

V knize se nachází nap�. �ešení neur�itých rovnic, kdy autor p�ipouští pouze kladná a

racionální �ešení; iracionální �ešení nazývá „nemožná“. Diofantos zde také vyslovil

n�kolik v�t z teorie �ísel. Diofantos poprvé užívá systematicky algebraické symboly,

zvláštní znaky m�l pro „minus“, pro neznámou a pro p�evrácenou hodnotu. Znaky byly

formou zkratek, vytvá�el tzv. „rétorickou“ algebru. Posledním významným

matematikem alexandrijského období byl Pappos (2. polovina 3. století). Pappos napsal

Matematickou sbírku, ve které shromáždil n�které výsledky antické matematiky

(d�ležité elementární v�ty a projektivní geometrie) a p�inesl sv�dectví o jejich autorech.

S úpadkem antické spole�nosti odumírala i alexandrijská škola. Za�alo se ší�it

k�esanství. Rozpadlo se otroká�ství a byla narušena ekonomika spole�nosti. V roce 529

byla uzav�ena aténská Akademie a u�enci opustili Atény. P�estala tedy existovat

v�decká centra antického sv�ta.

21

2.2.2 Období elementární matematiky ve st�edov�ku

Druhá etapa období konstantních veli�in byla zam��ena k rozpracování

elementární matematiky. Oživila po�tá�ský charakter matematiky; z orientu �erpala

tzv. indicko-arabský pozi�ní �íselný záznam a hlavní aritmetické algoritmy.

Od 11. až do 15. století se Evropa seznamovala s výsledky jak antické

matematiky, tak i arabských komentá�� a rozpracování. Na konci této etapy se

evropským matematik�m poda�ilo dosp�t k samotným výsledk�m v oblastech

souvisejících práv� s výpo�tá�skou praxí (trigonometrické výpo�ty a tabulky nezbytné

pro rozvoj astronomie, logaritmy, �e�ení rovnic 3. a 4. stupn� apod.). ([7], str. 14)

2.2.2.1 Orient po úpadku �ecké spole�nosti

I p�es helénistický vliv nikdy nezmizela starov�ká civilizace Blízkého východu.

Politická nadvláda �ek� nad celým Blízkým východem zmizela skoro úpln� s rychlým

vzestupem islámu. Na územích dobytých Araby se stala oficiální �e�í arabština.

Nahradila tak �e�tinu a latinu.

2.2.2.1.1 Indická matematika

S úpadkem �ímského impéria se p�esunula st�ediska matematického bádání

do Indie. Ze 4. století pochází významný soubor v�deckých d�l - Siddhántás. Jedná se

p�evážn� o astronomická díla, kde je patrný vliv �ecké astronomie. Výklad v nich je

bez ná�rtk�, vzorc� i d�kaz�. Jsou zde formulovány algoritmy pro ur�ité operace s �ísly

a pravidla pro �ešení úloh.

Od 5. století n. l. se zachovala knihy konkrétních indických matematik�.

Nejznám�jší z nich byli Árjabhata (zvaný „první“, kolem roku 500 n. l.) a Brahmagupta

(kolem roku 625 n. l.). Charakteristické pro jejich dílo jsou aritmeticko-algebraické

�ásti a obliba neur�itých rovnic. Árjabhata aproximoval hodnotu (3,1416); jeho traktát

se stal východiskem rozvoje exaktních v�d. U Brahmagupty se objevují první obecná

�ešení neur�itých rovnic prvního stupn�. Na rozdíl od Diofanta Indové p�ijímali jen

celo�íselné �ešení t�chto rovnic, p�ipoušt�li však i záporné ko�eny. Brahmagupta

nazýval kladná �ísla jako majetek a záporná �ísla jako dluh. Komentátorem idejí

Árjabhata byl Bháskara I, který v 7. století rozpracoval teorii diofantovských rovnic a

astronomické problémy. Do poloviny 9. století spadá tvorba Mahávíra, autora Krátkého

22

kursu matematiky. Toto dílo je první indické pojednání, které je pln� v�nováno

matematice.

Velký význam pro rozvoj fyzikáln�-matematických v�d, v Indii, m�la tvorba

významného indického matematika a astronoma Bhánskary II. (1115 – asi 1183).

Za jeho života byly organizovány školy, kde se vyu�ovala jeho díla. Bhánskarova

pojednání Lílávátí a Bídžaganíta jsou v�nována matematice. Dílo Lílávátí se na dlouhou

dobu standardním orientálním aritmetickým a m��ickým dílem.

Nejznám�jším výsledkem indické matematiky je náš dnešní desítkový pozi�ní

systém. Desítkový i pozi�ní systém jsou velmi staré, avšak jejich spojení vzniklo asi

v Indii, kde b�hem doby postupn� nahradilo starší nepozi�ní systémy. Jeho první známý

výskyt je na desce z roku 595 n. l., kde je napsán v desítkovém pozi�ním záznamu

letopo�et 346. ([15], str. 66)

Již dlouho p�ed tímto písemným dokladem m�li Indové systém, který velká �ísla

vyjad�oval metodou pozi�ních hodnot. V rukopise Bakhšálí, který se skládá

ze sedmnácti proužk� b�ezové k�ry neznámého data a p�vodu se objevuje slovo

„súnya“, které vyjad�uje nulu. Vznik tohoto textu se datuje do doby od 3. do 12. století

n. l. Text obsahuje tradi�ní indický materiál o neur�itých rovnicích, kvadratických

rovnicích a aproximacích; te�kou vyjad�uje nulu.

Nejstarší písemný doklad symbolu nuly pochází z 9. století. Je to tedy mnohem

pozd�ji než v babylónských textech. Symbol 0 pro nulu mohl vzniknout �eckým vlivem

(„ouden“ je �ecký výraz pro nic); zatímco babylónská te�ka se psala jen mezi ciframi,

objevuje se indická nula též ne konci, a tím se cifry 0, 1, 2,…, 9 staly rovnocennými

([15], str. 67)

2.2.2.1.2 Arabská matematika

Arabové p�ejímali a dále rozvíjeli v�decké a kulturní výsledky porobených

národ�. Pomocí obchodních a diplomatických styk� získávali další poznatky i z oblasti

matematiky. Pronásledovaní u�enci nacházeli azyl v Byzanci. Prvním v�deckým

centrem arabské (islámské) matematiky se stal Bagdád, kde se koncem 8. a po�átkem

9. století soust�edilo mnoho u�enc�. V�decká �innost v tomto období byla velmi

podporována, v Bagdádu vznikl „D�m moudrosti“ s knihovnou a observato�í.

23

Islámské práce v exaktních v�dách za�aly al-Fazáriho p�ekladem Siddhántás.

Prvního vrcholu však dosáhl kolem roku 825 Muhammad ibn Músá al-Chvárizmí, který

napsal n�kolik knih o matematice a astronomii.

Název p�ekladu Algorithmi de numero Indorum zavedl do naší matematické �e�i

termín „algoritmus“, který je latinizovaným jménem autora. Obdobná v�c se stala

s Muhammadovou algebrou, která m�la název Hisab al-džebr val-muquaba (doslova

„v�da o redukci a vzájemném rušení“, což asi znamenalo „v�da o rovnicích“).

Tato algebra, jejíž arabský text se zachoval, se stal známou na Západ� díky latinskému

p�ekladu a slovo „al-džebr“ se stal synonymem celé matematické disciplíny „algebry“.

([15], str. 69)

Dílo al-Chvarízmího hraje v d�jinách matematiky d�ležitou roli, jelikož bylo

jedním z hlavních pramen�, jimiž do západní Evropy pronikly indické �íslice a arabská

algebra.

Trigonometrii se v�noval al-Battání (asi 858 – 929), který znal kosinovu v�tu

pro sférický trojúhelník a sestavil tabulku kotangent s intervalem jednoho stupn�. Abu-

I-Vafá (940 – 9997/8) odvodil sinovou v�tu sférické trigonometrie a vypo�ítal tabulky

sin� s intervalem 15' (hodnoty mají správných 8 desetinných míst). Po�átkem 11. století

al-Karchí rozpracoval algebru, která navazovala na Diofanta. Na základ� antické teorie

kuželose�ek vytvo�il arabský matematik Omar Chajjám (asi 1038/48 – 1123/24)

rozsáhlou geometrickou teorii rovnic t�etího stupn�.

Po roce 1256, kdy Bagdád vyplenili Mongolové, vzniklo nové st�edisko

u�enosti, observato� Marágha. Toto st�edisko bylo vybudované tehdejším vládcem

pro Násiruddína Túsího (1201 – 1274) a stalo se institucí, která okolo sebe soust�edila

celou orientální v�du. Násir vyd�lil trigonometrii z astronomie jako samostatnou v�du.

Velmi obratný p�i výpo�tech byl v první polovin� 15. století perský matematik,

al-Kaší. Al-Kaší znal správn� hodnotu na 17 desetinných míst.

�ešil kubické rovnice iteracemi a trigonometrickými metodami a znal zp�sob

�ešení ur�itých algebraických rovnic vyšších �ád�, který zobec�uje po�ítání odmocnin

vyšších stup�� z oby�ejných �ísel. Tato metoda, dnes zvaná Hornerovo schéma, vznikla

pravd�podobn� vlivem �ínské matematiky. ([15], str. 72)

V Egypt� byl významnou osobností Ibn-Hajtham (Alhazen, kolem 965 – 1039),

který vy�ešil „Alhazen�v problém“, ve kterém se požaduje ze dvou bod� ležících

v rovin� dané kružnice vést p�ímky protínající se v bod� kružnice tak, aby svírali

s normálou tohoto bodu shodné úhly. Tento problém vede k bikvadratické rovnici a byl

24

�ešen v duchu �ecké tradice pr�se�íkem hyperboly a kružnice. Sto let p�ed Alhazenem

žil v Egypt� Abú Kámil, který rozši�oval dílo al-Chvárázmího.

2.2.2.2 Po�átky rozvoje matematiky v západní Evrop�

Hospodá�sky i kulturn� nejvysp�lejší z�stávala stále východní �ást �ímského

impéria. Hospodá�ství západní �ásti se nikdy neopíralo o zavod�ování a zem�d�lství

neposkytovalo žádné popudy pro studium astronomie. Západ si vysta�il s minimem

astronomie, trochou praktické aritmetiky a m��ictví. Základem hospodá�ského života

bylo zem�d�lství, ve kterém otroky postupn� nahrazovali svobodní sedláci a nájemci.

Prvky �ecko-�ímské vzd�lanosti, po pádu �ímského impéria v roce 476,

udržovaly kláštery a vzd�laní laici. Jedním z t�chto laik� byl diplomat a filosof

Anicius Manilius Severinus Boetius (asi 480 – 524). Boetius napsal matematické spisy,

které byly v západním sv�t� považovány za sm�rodatné více než tisíc let. Spisy

odrážely tehdejší kulturní podmínky, a proto byly velmi chudé na v�decký obsah.

V roce 800 byl odtržen Východ od Západu. Západní spole�nost se stala feudální

a církevní a pomalu se rozši�ovala k severu. B�hem prvních století západního

feudalismu nacházíme jen nepatrné ocen�ní matematiky. Klášterní matematika

obsahovala trochu církevní aritmetiky používané k výpo�tu dat Velikonoc;

s primitivním zem�d�lstvím nebyla v�bec podporována matematika praktická.

Nejvyšším zdrojem autority byl Boetius. Významné místo mezi církevními matematiky

zaujímal Alcuin. Mezi jeho dílo pat�í latinsky psaná sbírka úloh - Úlohy k ost�ení

rozumu, která ovlivnila po dlouhá staletí autory u�ebnic. Dalším církevním

matematikem byl francouzský mnich Gerbert (pozd�ji papež Silvestr II.), který jako

první západní u�enec studoval ve Špan�lsku matematiku arabského sv�ta.

Ve 12. a 13. století vznikla první mocná obchodní m�sta v Itálii (Janov, Pisa,

Benátky, Milán a Florencie), která úsp�šn� obchodovala s arabským i evropským

severem. Obchodníci navšt�vovali Orient a studovali jeho kulturu. Jedním

z obchodník�, byl i Leonard Pisanský, nazývaný také Fibonacci (asi 1170 – po 1240).

Po návratu z cest napsal Liber Abaci (Kniha o Abaku, 1202), která obsahuje aritmetické

a algebraické znalosti posbírané z cest. Podobn� sepsal znalosti z geometrie a

trigonometrie (Geometrická praktika, 1220). Abakus pro Leonarda Pisanského nebyl

pouze po�etní p�ístroj, ale po�ítání v�bec. (Abakus je jednou z pom�cek, kterou byl

25

do západní Evropy p�enesen indicko-arabský zp�sob psaní �íslic. Tento zápis �íslic

však narážel na velký odpor ve�ejnosti.) V matematice známe Fibonacciova �ísla -

�leny posloupnosti 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…

S rozši�ováním obchodu se ší�il do severn�jších m�st i zájem o matematiku.

Tento zájem byl p�edevším praktický. Algebru a aritmetiku u�ili �emeslní po�tá�i.

Teoretickou matematiku studovali scholasti�tí filosofové. Nejvýznamn�jším

st�edov�kým církevním matematikem byl Mikuláš Oresme (asi 1323 – 1382), který se

zabýval lomenými mocninami a zavedl závisle prom�nnou (ší�ku) v��i nezávisle

prom�nné (délce), kterou lze m�nit.

Matematický pokrok závisel na r�stu obchodních m�st. Velmi ho ovliv�oval

obchod, navigace, astronomie a zem�m��ictví. M�stské obyvatelstvo za�alo mít zájem

o matematiku, hlavn� ve spojení s ú�etnictvím a praktickými výpo�ty. St�ediskem

života se v 15. a 16. století stala italská a st�edoevropská m�sta (Norimberk, Víde� a

Praha). Po zániku byzantské �íše (1453) se mnoho �eckých u�enc� uchýlilo

do západních m�st. Vzrostl zájem o p�vodní �ecké texty.

V�d�ím matematikem 15. století byl Johannes M�ller, zvaný Regiomontanus

(1436 – 1476). Tento u�enec byl nejen pozoruhodným po�tá�em, ale i tv�rcem p�ístroj�

a tiska�em. Regiomontanus se podílen na p�ekladech a vydáních klasických

matematických rukopis�. Hlavním dílem tohoto matematika bylo De triangulius

omnimodus libri quinque (1464, vytišt�no až 1533), které obsahuje sinovou v�tu

pro sférické trojúhelníky. Mnoho úsilí také v�noval sestavování trigonometrických

tabulek.

V 15. století italští po�tá�i spolehliv� ovládali aritmetické výpo�ty v�etn�

výpo�t� s iracionálními �ísly a italští malí�i byli dobrými geometry.

Jedna z prvních tišt�ných knih je Summa Arithmetica (1494). V této knize shrnul

františkánský mnich Luca Pacioli výsledky vývoje aritmetiky. �ešením kubických

rovnic se v 16. století zabývali matematikové: Scipio Del Ferro (asi 1465 – 1526),

Niccolo Tartaglia (asi 1499 – 1557), Hieronymus Cardano (1501 – 1576) a Ludovico

Ferrari (1522 – 1565). Roku 1545 uve�ejnil Cardano svou knihu o algeb�e Ars magna,

která obsahovalo ukradené myšlenky Tartaglia. Kniha obsahuje vynikající výsledky,

jako nap�íklad Ferrariho metodu �ešení obecné bikvadratické rovnice, která spo�ívala

v p�evedení této rovnice na kubickou. Cardano uvažoval také o záporných (tzv.

fiktivních) �íslech.

26

D�slednou teorii ryze imaginárních �ísel zavedl bolognský matematik Raffael

Bommbelli (asi 1530 – po 1572) v knize Algebra (1572) a rukopise Geometrie (1550).

Komplexní �ísla byla zavedena v teorii kubických rovnic.

D�ležitou oblastí matematického úsilí z�stávala i nadále astronomie. Vznikaly

velké astronomické teorie Koperníka, Tychona Brahe a Keplera a vytvá�elo se nové

pojetí vesmíru. Vznikaly trigonometrické a astronomické tabulky, u kterých stoupala

p�esnost.

V roce 1593 u�inil belgický matematik Adriaen van Roomer ve�ejnou výzvu,

která požadovala �ešení rovnice 45. stupn�.

Axxxxxx =+−+−+− 4537951230094545 339414345�

�ešením této rovnice se také zabýval Francois Viéte (1540 – 1603), který hledal

�ešení pomocí tabulek vyjád�ením sin � jako pravé strany rovnice. Viétovy hlavní

myšlenky tkví ve zdokonalení teorie rovnic; jako jeden z prvních vyjad�oval �ísla

písmeny.

Zdokonalovala se i po�etní technika. Ludolph van Ceulen (1540 - 1610)

vypo�etl na 35 míst. Užil vepsaných a opsaných mnohoúhelník� se stále rostoucím

po�tem vrchol�. V 17. století zavedl Simon Stevin (1548 – 1620) desetinné zlomky jako

sou�ást návrhu na sjednocení systému m�r na desetinném základ� a umožnil tedy

všeobecné zavedení indicko-arabského �íselného zápisu. Stevin spojoval praktický

smysl s teoretickým pohledem a originalitou. Dalším podstatným zlepšením

po�tá�ských metod byl objev logaritm�. Skotský zeman John Neper (1550 – 1617)

uve�ejnil v roce 1614 svou práci Mirifici logarithmorum canonis descriptio. V této práci

se zabýval myšlenkou jak konstruovat dv� vzájemn� svázané �íselné posloupnosti,

z nichž jedna byla rostoucí aritmetická, druhá klesající geometrická. Tímto tématem se

zabýval spole�n� s profesorem Henrim Briggsem (1561 – 1631). Po smrti Nepera

uve�ejnil Briggs roku 1624 �trnáctimístné logaritmy celých �ísel od 1 do 20000 a

od 90000 do 100000. Mezeru vyplnil roku 1627 holandský zem�m��i� Ezechiel de

Decker (kolem roku 1630). Nový objev byl uvítán nejen matematiky, ale i astronomy.

27

2.3 Období matematiky prom�nných veli�in

Již na za�átku 17. století se velmi d�razn� projevila podstatná zm�na v celé

tvá�nosti matematiky. Týkala se hlavn� samého p�edm�tu matematiky. Zatímco do té

doby matematika zkoumala vlastn� jen konstantní veli�iny �i tvary a jejím obsahem byla

p�evážn� „elementární matematika“, která byla jen nahodile dopln�na výsledky jiného

charakteru, za�ínají matematikové 17. a 18. století obracet svou pozornost stále více

k otázkám funk�ních závislostí, nekone�ných proces�, limit, nekone�n� malých veli�in,

derivací, projektivních transformací apod. Od 17. století se staly p�edm�tem matematiky

také prom�nné veli�iny a geometrické transformace. ([15], str. 210)

V 17. a 18. století získává matematika vahou svých výsledk� všeobecnou

podporu. Vznikly r�zné matematické instituce a první matematické �asopisy.

2.3.1 17. století

Rozvoj obchodu a vzestup výroby zboží nebyl možný beze zm�n v ekonomice a

bez rozvoje �emesel, techniky a v�dy. Vznikaly první manufaktury a v nich první stroje.

Systematické užívání stroj� p�ineslo �adu poznatk� mechanice, která se snažila tyto

poznatky zvládnout matematicky. Na p�ímé popudy z kartografie a hodiná�ství vzniká

„matematická p�írodov�da“, která se snaží objasnit jednotlivé p�írodní jevy pomocí

matematicky formulovaných obecných p�írodních zákon�. Matematických prost�edk�

k formulaci zákon� využívala zejména mechanika a optika.

První systematický výklad výsledk� dosažených v oboru, který dnes nazýváme

infinitesimálním po�tem, podal Bonaventura Cavalieri (asi 1598 – 1647) v knize

Geometrie (1635). Opíral se o teorii „indivisibilií“, podle které pohybem bodu vznikne

p�ímka a pohybem p�ímky roviny. Své výsledky shrnul v tzv. „Cavalieriho principu“,

tj. dv� t�lesa o stejné výšce mají stejný objem, jestliže rovinné �ezy, vedené ve stejných

výškách, mají vždy stejnou plochu. Postupný vývoj infinitesimálního po�tu zna�n�

urychlilo vydání Geometrie René Descarta (1596 – 1650). Descartova Geometrie

(1937) podrobila klasickou geometrii metodám algebraik� a vznikla p�vodn� jako

dodatek k práci Discours de la méthode (Rozprava o metod�). Je to první tišt�ná práce,

která obsahuje prvky analytické geometrie. Velkou �ást knihy zabírá teorie

28

algebraických rovnic. Obsahuje „Descartovo pravidlo“, ur�ující po�et kladných a

záporných ko�en�.

A�koliv údajn� nestudoval díla F. Viéty, dosp�l k analogické algebraické

symbolice. Zvolil symboly a, b, c, . . . pro ozna�ovaní koeficient�, x, y, z, . . .

pro ozna�ení neznámých. Pro ozna�ovaní mocnin se až do té doby užívalo r�zných

zkratek slov „�tverec“, „krychle“, apod. Descartes zavedl dnešní ozna�ení x2, x3 atd.

Jeho zápisy rovnic — až na rovnítko — jsou tedy zcela moderní. ([8], str. 88)

P�i �ešení jednoho z Pappových problém� využil metody sou�adnic. Sm�ry os

však nevolil kolmé; zakreslil jen jednu z os a od jejích bod� vynášel na p�ímky druhého

sm�ru úse�ky požadované velikosti. Tato soustava sou�adnic však nebyla v dnešním

slova smyslu kartézská (podle latinské podoby Descartova jména).

Základy analytické geometrie položil spole�n� s Descartem Pierre Fermat

(1601 – 1665). Základy sou�adnicové metody zpracovával ješt� d�íve než Descartes.

Fermat odvodil, že p�ímky lze popsat rovnicemi 1. stupn� a kuželose�ky rovnicemi 2.

stupn�. Významných výsledk� dosáhl v teorii �ísel, známá je malá a velká Fermatova

v�ta. V roce 1638 objevil Fermat metodu ur�ování maxim a minim. V jednoduché

algebraické rovnici zm�nil prom�nnou o malou diferenci a pak za tuto diferenci dosadil

nulu. Diferencování využil také k hledání te�ny. Fermat pat�í také mezi zakladatele

teorie pravd�podobnosti. �ada Fermatových výsledk� vešla ve známost až po jeho

smrti, kdy byl publikován sborník jeho prací.

Spole�n� s Fermatem se na vytvo�ení teorie pravd�podobnosti podílel i Blaise

Pascal (1623 – 1662). První výsledky z teorie pravd�podobnosti a z kombinatoriky lze

nalézt v jejich vzájemné korespondenci. Svou první práci uve�ejnil již v roce 1640.

Jedná se o práci o kuželose�kách, ve které je obsažena jedna ze základních v�t

projektivní geometrie, tzn. velká Pascalova v�ta. Pascal se obsáhle v�noval �íselným

�adám a binomickým koeficient�m. V práci Traktát o aritmetických trojúhelnících

zavedl známý tzv. Pascal�v trojúhelník. V roce 1642 zkonstruoval první mechanický

po�ítací stroj. Tento stroj dokázal s�ítat a od�ítat.

V 60. – 70. letech 17. století vybudovali nezávisle na sob� Isaac Newton (1642 –

1727) a Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) diferenciální a integrální po�et.

Koncepce obou matematik� však byla zcela odlišná. Leibniz, vycházeje z abstraktních

koncepcí a budoval tak „�istou“ matematickou analýzu, Newton chápal matematiku

jako nástroj fyzikálního poznávání sv�ta.

29

Newton vybudoval v algeb�e také metodu numerického �ešení kvadratických

rovnic a odvodil d�ležité v�ty o symetrických funkcích ko�en� algebraických rovnic.

V práci Philosophiae naturalis principia mathematica (Matematiské základy

p�írodov�dy, 1687) pospal rozvinutou teorii kuželose�ek. Svými pracemi p�isp�l také

k rozvoji analytické a projektivní geometrie. Jeho práce zcela zm�nily koncem

17. století nazírání na sv�t a postavení �lov�ka v n�m.

Leibniz definoval derivaci a integrál, zavedl symboly dx a R, odvodil základní

vzorce pro derivování, popsal vzájemný pom�r diferencování a integrování. Vybudoval

základy teorie nekone�ných �ad a teorie diferenciálních rovnic. Od n�ho pocházejí dnes

tak b�žn� používané pojmy jako nap�íklad funkce, diferenciál, diferenciální rovnice,

algoritmus aj. ([8], str. 225)

Leibnitz významn� p�isp�l i k rozvoji logiky. Dále také vynalezl vlastní po�ítací

stroj, na kterém již bylo možné násobit i d�lit.

2.3.2 18. století

Toto století je p�edevším stoletím rozvinutí a využití metod infinitesimálního

po�tu. Tento kalkul aplikovala �ada matematik� na jiné oblasti matematiky a

mechanické problémy. V matematice se objevují i nové obory jako nap�íklad po�et

pravd�podobnosti, diferenciální geometrie a na konci 18. století deskriptivní geometrie.

Díky stále rostoucí vým�n� informací se od 18. století vytvá�í celosv�tový proud

vývoje matematiky. Matematikové se za�ínají výhradn� v�novat matematice.

Matematika již není p�stována jen vedle jiného hlavního zam��ení, nap�íklad

fyzikálního.

Vývoj nejen matematiky velmi ovlivnila švýcarská rodina Bernoulli�. Jakob

Bernoulli (1654 – 1705) se zabýval matematickou analýzou, teorií pravd�podobnosti a

mechanikou. Poprvé ve sv�tové literatu�e použil slovo „integrál“. Dokázal divergenci

harmonické �ady a �ešil n�které kombinatorické úlohy. Jméno Jakoba Bernouliho je

spojeno s Bernoulliovými �ísly, Bernoulliovou v�tou a Bernoulliovým schématem.

Spole�n� s bratrem Johannem Bernoulliem (1667 – 1748) položil Jacob základy

varia�ního po�tu a vy�ešil úlohu o brachystron�. Dalším z rodu Bernoulli� byl Daniel

Bernoulli (1700 – 1782), syn Johanna. Daniel je považován za jednoho z nejslavn�jších

Bernoulli�. Výborných výsledk� dosáhl v hydromechanice – odvodil tzv. Bernoulliho

30

rovnici. V matematice se nejvíce zabýval algebrou, teorií pravd�podobností, teorií �ad a

diferenciálními rovnice.

Definoval �íslo e jako n

n n��

���

� +∞→1

1lim . Jako první využil k �ešení parciálních

derivací diferenciálních rovnic trigonometrických �ad, které byly pozd�ji nazvány

Fourierovými �adami. ([8], str. 35)

Stejn� jako Bernoulliové pocházel z Basileje také další velmi významný

matematik a fyzik Leohnard Euler (1707 – 1783). V�decké zájmy Eulera se týkaly

prakticky všech p�írodních v�d. Zvlášt� významné jsou práce z matematické analýzy,

kterou systematicky rozpracovával po celý sv�j život. Desítky jeho prací byly shrnuty

do díla Introductio in analysin infinittorum (Úvod do analýzy nekone�n� malých

veli�in, 1748). Poté vydal �ty�dílný traktát z analýzy. První díl byl v�nován

diferenciálnímu po�tu, zbylé t�i po�tu integrálnímu. V posledním díle je též vybudován

varia�ní po�et, jehož je Euler spole�n� s Lagrangem zakladatelem.

Jako první zavedl funkce komplexní prom�nné, objevil neo�ekávané vztahy mezi

goniometrickými a exponenciálními funkcemi, prakticky do dnešní podoby vybudoval

trigonometrii. Vybudoval analytickou teorii �ísel. Byl jedním z tv�rc� moderní

diferenciální geometrie, p�isp�l k vybudování základ� diskrétní matematiky

(kombinatoriky a teorie graf�). Zavedl �adu pojm�, které se po staletích objevily

v algebraické topologii. S jeho jménem se dnes setkáváme prakticky ve všech oblastech

matematiky. ([8], str. 111)

Euler publikoval 685 v�deckých prací. Poslední léta svého života byl slepý, což

mu nebránilo v tvorb�. Tém�� polovinu svých prací vytvo�il v posledních 10 letech

života.

Základní matematické práce Jeana Baptisty d'Alemberta (1771 – 1783) se týkají

diferenciálních rovnic. Spole�n� s Eulerem a Danielem Bernoullim je považován

za zakladatele matematické fyziky. Významných výsledk� dosáhl v hydrodynamice a

mechanice, v roce 1743 zformuloval d'Alembert�v princip.

Teorií �ad, teorií pravd�podobnosti a komplexními �ísly se p�evážn� zabýval

anglický matematik Abraham de Moivre (1667 - 1754). Moivre objevil souvislosti mezi

rekurentními formulemi a diferen�ními rovnicemi a zformuloval pravidla pro po�ítání

s komplexními �ísly – Moivreova v�ta.

Matematik a mechanik italského p�vodu Joseph Louis Lagrange (1736-1813) se

zabýval matematickou analýzou a organizoval v�deckou spole�nost. Spole�n�

31

s Eulerem vydal roku 1774 práci, kterou se datuje vznik varia�ního po�tu. Výsledky své

práce z oblasti mechaniky shrnul v díle Analytická mechanika (1788); vybudoval

jednotnou teorii - klasickou analytickou mechaniku jako teorii o obecných

diferenciálních pohybových rovnicích. Ve dvou dílech vydal kurs analýzy (Teorie

analytických funkcí, 1797; Kapitoly z teorie funkcí, 1801 – 1806). V teorii

diferenciálních rovnic zavedl Lagrange metodu variace konstant.

Posledním z v�d�ích matematik� 18. století byl Peirre Simon Laplace (1749 –

1827). V�decká �innost Laplace byla velmi rozmanitá. Významných výsledk� dosáhl

nejen v matematice (teorie parciálních diferenciálních rovnic, teorie pravd�podobnosti

aj.), ale i v nebeské matematice (teorie vzniku slune�ní soustavy) a experimentální a

teoretické fyzice. Podrobn� studoval rovnici 0=++ zzyyxx uuu , která hraje významnou

roli v teorii potenciálu a je dnes nazývána Laplaceovou rovnicí. Laplace systematicky

rozvíjel výsledky z teorie pravd�podobnosti, p�evážn� Pascalovy, Fermatovy a

Bernoulli�. Zdokonalil d�kazové metody a odvodil limitní v�tu – Laplace-Moivreovu

v�tu. Dále také zavedl vytvo�ující funkce a studoval integrální transformaci.

32

2.4 Období matematiky zobecn�ných kvantitativních a prostorových

vztah�

Poslední období vývoje matematiky je spjato s rostoucím využitím matematiky

v r�zných oblastech života. Matematika se stává nepostradatelným prost�edkem nejen

celé fyziky, ale i jiných v�deckých a technických oblastí. Vzr�stá v�domí, že

p�edm�tem matematiky nejsou jen p�írodní jevy, ale i jevy spole�enské.

2.4.1 19. století

V první polovin� 19. století se za�al m�nit vztah matematiky a jejích aplikací.

Matematika již nahromadila tolik poznatk�, že jakýkoliv p�edložený problém mohla

�ešit známými metodami. Nahromad�né výsledky a jejich uplatn�ní v aplikacích si

vynutily pro další vývoj novou abstrakci p�edm�tu matematiky. Aby mohla matematika

proniknout hloub�ji do problematiky reálného sv�ta, p�ešla na vyšší úrove� abstrakce.

Matematika se již nesoust�edila na zodpovídání podn�t� z jiných oblastí, za�ala se

soust�edit více na své problémy. Matematika se rozvíjela nejsiln�ji ve Francii a pozd�ji

v N�mecku.

Matematikové 19. století již nežili kolem královských dvor� �i v aristokratických

salónech. Jejich hlavním zam�stnáním již nebyla �innost v u�ených spole�nostech; byli

obvykle zam�stnáni na univerzitách nebo technických školách a byli stejn� u�iteli jako

badateli. ([8], str. 145)

Jedním z nejv�tších matematik� nejen 19. století je Karl Friedrich Gauss

(1777 – 1855). V�decká práce Gausse byla neoby�ejn� mnohostranná. Prvo�adých

výsledk� dosáhl v algeb�e, teorii �ísel, diferenciální geometrii, geodézii, nebeské

mechanice, teoretické astronomii, teorii elekt�iny a magnetismu. V mnoha t�chto

sm�rech p�edznamenal jejich další vývoj. Ve své diserta�ní práci (1799) podal první

d�kaz základní v�ty algebry. V práci Aritmetické výpo�ty (1801) odvodil n�které

základní výsledky z teorie �ísel a moderní algebry. Uvedena je zde také teorie

kvadratických zbytk� a zkoumání d�lení kruhu – hledání ko�en� rovnice 01 =−nx . To

vedlo ke zjišt�ní, že stranu pravidelného sedmnáctiúhelníku (obecn�ji pravidelného n –

33

úhelníku, 12 += pn , kp 2= , n je prvo�íslo, k = 0, 1, 2…) lze konstruovat pouze

pomocí kružítka a pravítka. Gauss dosahoval neuv��itelné zru�nosti i ve výpo�tové

technice. Pro základní v�tu algebry našel celkem šest rozdílných d�kaz�. (Základní v�tu

algebry poprvé zformuloval v 17. století Albert Girand.) V letech 1821 – 1823

publikoval metodu nejmenších �tverc�, která se užívá v numerické matematice dodnes.

P�isp�l také k rozvoji geometrie. Jako první dosp�l k princip�m neeuklidovské

geometrie, i když své výsledky z této oblasti nikdy nepublikoval.

Matematickou analýzou a teorií �ísel se zabýval francouzský matematik Adrien-

Marie Legendre (1752 – 1833). Mezi jeho nejd�ležit�jší práce pat�í ty, které se týkají

trigonometrie na kulové ploše. K tomuto ú�elu zavedl Legendreovy polynomy a také

vybudoval jejich teorii. Nezávisle na Gaussovi vybudoval teorii nejmenších �tverc�.

Popsal vlastnosti prvo�ísel a p�isp�l k rozvoji teorie �ísel. Napsal také u�ebnici

geometrie.

Dalším významným matematikem je zakladatel deskriptivní geometrie –

Gaspard Monge (1746 – 1818). Monge se zabýval také matematickou analýzou, chemií,

metrologií a mechanikou. Je jedním ze zakladatel� pa�ížské Polytechniky. Monge je

také autorem dodnes užívaného zna�ení parciálních derivací v diferenciální geometrii.

Mongeovým žákem byl Victor Poncelet (1788 – 1867), který je zakladatelem

projektivní geometrie.

S prvními léty pa�ížské polytechniky byli spjati mimo Lagrange a Monge i další

významní matematici – Simeón Poisson, Joseph Fourier a Augustin Cauchy. Všichni t�i

se zajímali o užití matematiky ve fyzice; tímto zájmem byli vedeni k objev�m v „�isté“

matematice.

Jméno Simeóna Denise Poissona (1781 – 1840) je známo ve spojení

s Poissonovými závorkami v diferenciálních rovnicích, Poissonovou konstantou v teorii

elasticity, Poissonovým integrálem, Poissonovou rovnicí v teorii potenciálu a zákonem

z teorie pravd�podobnosti.

Jedním ze zakladatel� matematické fyziky byl Jean Baptiste Joseph Fourier

(1768 – 1830). Hlavním oborem tohoto francouzského matematika byla matematická

analýza, i když jeho první matematické výsledky se týkaly algebry (v roce 1796 dokázal

tvrzení o po�tu reálných ko�en� algebraické rovnice ležící v zadaném intervalu –

tzv. Fourierova v�ta). V roce 1822 zve�ejnil své výsledky o studiu vedení tepla

v pevných látkách (Analytická teorie tepla). Zde uve�ejnil Fourierovu metodu �ešení

34

parciálních diferenciálních rovnic a rozvoj funkcí v trigonometrické �ady,

tzv. Fourierovy �ady. Fourier také vypracoval teorie tzv. Fourierova integrálu.

Velmi plodná byla tvorba Augustina Louise Cauchyho (1789 – 1857), který

napsal p�es 800 prácí z matematické analýzy, matematické fyziky, teorie �ísel, algebry a

teoretické a nebeské mechaniky. Na vyšší úrove� povznesl p�esnost matematických

d�kaz�. Teorii matematické analýzy budoval s využitím pojmu limity. Nap�íklad

definoval spojitost funkce, vybudoval teorii konvergentních �ad, stanovil podmínky

konvergence Taylorovy �ady k dané funkci, rozvíjel teorii determinant�, zavedl n�které

integra�ní metody v teorii parciálních diferenciálních rovnic a také pojmy: komplexn�

sdružená �ísla, modul komplexního �ísla, polom�r konvergence a ur�itý integrál jako

limitu vhodných sou�t�. Dále m�žeme znát Cauchyho integrál a Cauchyho úlohu.

Mezi významné matematiky 19. století pat�í i pražský matematik Bernard

Bolzano (1781 – 1848), který se zabýval matematickou analýzou, logikou, mechanikou

a fyzikou. I když celý život prožil v �echách, své práce psal n�mecky. Bolzano udal

jako první p�íklad spojité funkce, která nemá v žádném bod� derivaci. Tohoto objevu si

však nebyl v�dom. Významn� p�isp�l k up�esn�ní pojmu limita a ke vzniku teorie

množin.

R�zné partie matematiky obohatil i norský matematik Niels Henrik Abel (1802 –

1829). Abel podal d�kazy mnoha závažných v�t. Nejznám�jší je d�kaz, že v obecných

p�ípadech nejsou algebraické rovnice n-tého stupn� p�i 5≥n �ešitelné pomocí

odmocnin. Dále se zabýval matematickou analýzou a teorií funkcí.

Za zakladatele moderní algebry je považován francouzský matematik Éveriste

Galois (1811 – 1832). Galois na základ� kone�ných grup permutací vyložil teorii

�ešitelnosti algebraických rovnic pomocí odmocnin. Tato práce, která byla vydaná až

v roce 1845, p�isp�la ke vzniku teorie grup kolem roku 1870. Galois zavedl

do matematiky pojmy grupa, pologrupa, normální d�litel, aj.

Teorii eliptických funkcí se �ty�mi základními funkcemi definovanými

nekone�nými �adami vybudoval Carl Gustav Jacob Jacobi (1804 – 1851). Tento

n�mecký matematik dosáhl významným výsledk� v teorii funkcí, teorii �ísel, teorii

diferenciálních rovnic, lineární algeb�e a mechanice.

Za den „zrození“ neeuklidovské geometrie bývá považován 23. únor 1826, kdy

ruský matematik Nikolaj Ivanovi� Loba�evskij (1792 – 1856) p�edložil svou práci

Zkrácený výklad základ� geometrie a poreferoval o ní na kaza�ské univerzit�. Úplný

35

výklad své geometrie podal v práci Nové základy geometrie s úplnou teorií rovnob�žek

(1835 – 1838). B�hem svého života se však jeho práce nedo�kaly všeobecného uznání.

O rozvoj geometrie se významn� zasloužil také n�mecký matematik Bernard

Georg Friedrich Riemann (1826 – 1866). Riemann dosáhl mimo�ádných výsledk�

v teorii funkcí, v diferenciálních rovnicích, v matematické a teoretické fyzice. Zavedl

tzv. Riemannovu geometrii (1854). Rozvíjel teorii matematického prostoru, do kterého

zahrnoval funkcionální a topografické prostory. Formáln� zavedl p�esnou definici

integrálu a zárove� dokázal jeho existenci. Jeho jméno nese �ada tvrzení z r�zných

oblastí matematiky (Riemannov�v integrál, k�ivka, plocha, prostor aj.).

Dalším krokem k zp�es�ování základ� matematiky byla teorie množin vytvo�ená

n�meckým matematikem, Georgem Ferdinandem Ludwigem Philippem Cantorem

(1845 – 1918). Základy teorie množin položil v letech 1873 – 1884. V roce 1974

publikoval d�kaz o nespo�etnosti množiny reálných �ísel. Teorii množin vybudoval

prakticky do dnešní podoby. Zabýval se také problémy teorie �ísel, algebry a

matematické analýzy.

2.4.2 20. století

Matematika 20. století se obohatila ohromným množstvím teorií, jejichž

p�edm�tem studia jsou abstraktní objekty. P�es vysokou úrove� abstrakce sou�asné

matematiky je t�eba vždy pamatovat, že jejími zdroji a ko�eny byla objektivní realita.

([13], str. 165)

Velkému rozmachu se ve 20. století t�šily teorie pravd�podobnosti a

matematická statistika, které vyrostly z problematiky zpracování dat a statistických

šet�ení. Rozvíjela se teorie množin a vznikly také nové teorie jako nap�íklad teorie her a

matematická informatika. Do matematiky za�ala zasahovat výpo�etní technika.

Na p�elomu 19. a 20. století ovlivnil vývoj matematiky David Hilbert (1862 –

1943). Hilbert se zajímal prakticky o všechny oblasti matematiky a mnoha dosáhl

mimo�ádných výsledk�. V roce 1899 podal, v monografii Základy geometrie, úplný

systém axióm� euklidovské geometrie. Ve 20. letech 20. století formuloval

tzv. Hilbert�v program, který byl pokusem o vybudování formální matematiky a

prokázání její bezespornosti. Zformuloval také 23 Hilbertových problém�, které

považoval za významné pro další vývoj matematiky. Hilbert�v program zhroutil

36

americko-rakouský matematik a logik Kurt Gödel (1906 – 1978) svou v�tou

o neúplnosti (1930).

Funkcionální analýzou a teorií množin se nap�íklad zabývali: polský matematik

Stefan Banach (1892 – 1945) britský fyzik a matematik Paul Adrien Maurice Dirac

(1902 – 1984).

Za nejv�tšího odborníka v teorii �ísel první poloviny 20. století je považován

anglický matematik Godfrey Harold Hardy (1877 – 1947).

První monografie z teorie množin pochází od n�meckého matematika Felixe

Hausdorffa (1868 – 1942). Základy teorie množin napsal v roce 1910. Hausdorffa lze

považovat za zakladatele obecné topologie a teorie metrických prostor�. Teorií množin

a základy matematiky se také zabýval izraelský matematik Abraham Adolf Frankel

(1891 – 1965).

Dalším významným matematikem 20. století byl John von Neumann (1903 –

1957). Oblast zájmu Neumanna v matematice byla velmi široká, zabýval se nap�íklad

logikou, teorií množin, algebrou, teorií pravd�podobnosti a vývojem elektronických

po�íta��. Od t�icátých let se zásluhou Neumanna za�ala rozvíjet teorie her. Spole�n�

s Oscarem Morgensternem (1902 – 1977) zve�ejnil roku 1944 práci – Teorie her a

ekonomické chování, ve které aplikovali teorii her na ekonomii.

Vynikajících výsledk� v matematice dosáhl také �eský matematik Otakar

Bor�vka (1899 – 1995), který se zabýval projektivní geometrií, matematickou analýzou,

teorií diferenciálních rovnic a algebrou. Bor�vka vybudoval teorii rozklad�, která má

sv�tový význam.

37

3 Praktická �ást

Praktická �ást diplomové práce obsahuje 54 historických slovních úloh

s výsledky. Úlohy, které zastupují možné procvi�ované u�ivo 2. stupn� základní školy,

jsou dále podrobn� �ešeny. �ešených úloh je celkem 23. K p�ti historickým úlohám

vznikly také pracovní listy (viz P�íloha 4). �ešení pracovních list� je z�ejmé z �ešení

úloh uvedených v kapitole 3.2.

Zpracované historické úlohy mohou pomáhat u�itel�m základních škol p�i výuce

matematiky. V práci jsou zahrnuty úlohy pro všechny ro�níky 2. stupn� základní školy.

N�které úlohy se vztahují k p�ímo probíranému u�ivu, jiné mohou sloužit jako zpest�ení

ve výuce �í rozvoji logického myšlení.

Se t�emi historickými úlohami bylo pracováno v kroužku zájmové matematiky

na Základní škole v Morkovicích. Vztah k historii matematiky a �ešení historických

úloh vyjád�ili žáci v dotazníku.

38

3.1 Vybrané historické slovní úlohy vztahující se k u�ivu základní školy

Klasifikace vybraných historických úloh dle procvi�ovaného u�iva a za�azení

v ro�níku základní školy:

�íslo úlohy procvi�ované u�ivo možné za�azení v ro�níku

ZŠ

1. - 4. operace s p�irozenými �ísly 6.

5. - 6. posloupnosti (operace s p�irozenými �ísly) (6.)

7. - 22. úsudek (základní po�etní operace) 6.

23. - 36. jedna lineární rovnice o jedné neznámé 7.

37. - 45. soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých 9.

46. kvadratická rovnice 8.

47. pom�r 7.

48. - 51. geometrické úlohy 6.

52. - 54. Pythagorova v�ta 8.

Texty úloh:

1. Sedm lidí má po sedmi ko�kách, každá ko�ka sežere sedm myší, každá myš sežere

sedm klas�, z každého klasu m�že vyr�st sedm m��ic je�mene. Jak velké jsou

jednotlivé po�ty a jejich celkový sou�et? ([13], str. 17)

(7, 79, 343, 2401 a 16807; 19607)

2. Homér Hesiodovi na otázku, jak velký byl po�et Helén�, kte�í táhli do pole proti

Tróji. Bylo tam sedm ohniš, mocný žár, ohništ� pak obsahovalo padesát rož�� a

na každém rožni byl kus masa. Ale každý ten kus obklopilo dev�t set Achaj�.

([14], str. 56)

(315 000)

39

3. Rozd�lte �íslo 100 do dvou �ástí, jejichž rozdíl je 40. ([14], str. 94)

(30 a 70)

4. Myslete si �ty�i jednociferná �ísla. První vynásobte dv�ma a p�i�t�te 5, sou�et

vynásobte p�ti, p�i�tete 10 a druhé �íslo. Získaný sou�et vynásobte deseti a p�i�t�te

t�etí �íslo, nový výsledek vynásobte deseti a p�idejte �tvrté �íslo. Od získaného

�ísla ode�t�te 3500. ([13], str. 137)

(Rozdíl bude �ty�ciferným �íslem zapsaným p�vodn� myšlenými �ísly)

5. N�jaký král na�ídil svému sluhovi sebrat ze t�iceti vesnic vojsko takovým

zp�sobem, že z každé vesnice vezme tolik muž�, kolik do ní vstoupilo. Šel tedy

sám do první vesnice, do druhé šel s dalším, tedy do t�etí šli �ty�i. �ekni, kdo

m�žeš, kolik muž� bylo sebráno z on�ch t�iceti vesnic. ([14], str. 22)

(230 = 1073741824)

6. Jeden žeb�ík m�l sto p�í�lí. Na prvním sed�l jeden holub, na druhém dva, na t�etím

t�i, na �tvrtém �ty�i, na pátém p�t, a tak na všech p�í�lích až do stého. �ekni, kdo

m�žeš, kolik bylo celkem holub�. ([14], str. 22)

(5050)

7. Hádanka

Jednou šel po cest� mul s oslicí, oba obtíženi vínem.

Oslice pod nákladem zasténala, tehdy se mul,

Kterého on as kon�m jako syna m�la, zeptal:

„Mámo, pro� jsi zavzdychala jako mladá dív�ina?“

Oslice odpov�d�la, že se jen t�žko pohybuje.

„Oho, cht�la bys jako dív�ina poskakovat!

Já nesu víc, a není mi to zat�žko:

Kdybych od tebe vzal jeden m�ch, m�l bych dvakrát víc než ty,

a kdybys mi ty jeden odebrala, m�li bychom oba stejn�.“

Kdo chce ta �ísla uhádnout, nemusí spo�ítat ani prsty obou rukou. ([13], str. 75)

(mul 7 a oslice 5)

40

8. 12 osob, muži a ženy, utratili p�i hostin� 82 zlatých. Každý muž utratil 8 zlatých,

žena 6 zlatých. Kolik bylo muž� a kolik žen? ([14], str. 100)

(5 muž� a 7 žen)

9. Pes se žene za králíkem, který je 150 stop p�ed ním. Pes urazí každým skokem

dev�t stop, zatímco králík urazí sedm stop. Kolik skok� musí ud�lat pes, aby

dohonil králíka? ([13], str. 111)

(75)

10. Lovec poštval psa na lišku, která má p�ed psem náskok 60 skok�. Zatímco liška

ud�lá 9 skok�, pes ud�lá 6 skok�, ale t�i skoky psí jsou rovny sedmi skok�m

liš�ím. Kolik skok� ud�lá pes, než dožene lišku? ([14], str. 98)

(pes 72, liška 108)

11. Kdosi má 24 liber vzácného oleje. Má k dispozici nádoby, které pojmou 13, 11 a 5

liber. Jak m�že pomocí t�chto nádob rozd�lit olej na t�i stejná množství?

([13], str. 128)

(po �ad� nádoby o objemu 24, 13, 11 a 5 liber, výsledky p�elévání: 24, 0, 0, 0; 0, 8,

11, 5; 16, 0, 8, 0; 3, 13, 8, 0; 3, 8, 8, 5; 8, 8, 8, 0)

12. Kdosi m�l 12 pint vína. Dále m�l dv� nádoby, jednu na 8 pint, druhou na 5 pint.

Jak lze nalít 6 pint vína do nádoby, který má objem 8 pint? ([13], str. 168)

(po �ad� nádoby o objemu 12, 8 a 5 pint, výsledky p�elévání: 12, 0, 0; 4, 8, 0; 4, 3,

5; 9, 3, 0; 9, 0, 3; 1, 8, 3; 1, 6, 5; 6, 6, 0)

13. Jedním tahem tužky nakreslete obrazec a) a potom obrazec b) na obrázku. Jak lze

vysv�tlit výsledky �ešení t�chto dvou úloh? ([13], str. 178)

(a) lze, b) nelze)

41

14. Deset mincí je rozmíst�no v rovin� po �ádcích (viz obr.). Mají se p�emístit nejvýše

�ty�i mince, a to do takových poloh, aby se na p�ti r�zných p�ímkách objevilo

po �ty�ech mincích. ([13], str. 179)

(Sta�í p�emístit jednu minci jedné �ady a t�i mince druhé �ady)

15. N�jaký muž m�l p�evézt p�es �eku vlka a kozu a hlávku zelí a nemohl najít jinou

lo�ku než takovou, která byla schopna uvézt jen dva z nich. Bylo mu však

na�ízeno, že má všechny p�evézt úpln� nepoškozené. �ekni, kdo m�žeš, jak je

mohl nepoškozené p�evézt. ([14], str. 11)

16. Muž a žena, z nichž každý vážil jeden centné�, mající dv� d�ti, které dohromady

váží také jeden centné�, se m�li p�epravit p�es �eku. Nalezli lo�ku, která nem�že

uvést více než jeden centné�. Nech uskute�ní p�epravu, kdo m�že, aniž by se

lo�ka potopila. ([14], str. 11)

17. Hlemýž� byl od vlaštovky pozván na sva�inu ve vzdálenosti jedné galské míle.

Hlemýž� však nemohl za den ujít více než jednu unci stopy. A �ekne, kdo by

cht�l, za kolik dní by hlemýž� dorazil na onu sva�inu. ([14], str. 29)

(v zadání úlohy: 1 galská míle = 1500 dvojkrok� = 2,25 km, 1 dvojkrok = 5 stop, 1

stopa = 12 uncí)

(90 000)

18. N�jaký �lov�k jdoucí po cest� nalezl m�šec se dv�ma talenty. Vid�li to n�jací jiní

(lidé) a �ekli mu: „Brat�e, dej nám �ást svého nálezu.“ On odmítl a necht�l jim nic

dát. Oni ho však napadli, roztrhli mu m�šec a každý si vzal 50 zlatých. A když (on)

potom vid�l, že se nem�že ubránit, vztáhl ruku a uchvátil 50 zlatých. A �ekne, kdo

chce, kolik bylo lidí. ([14], str. 30)

(216)

42

19. N�jaký umírající otec rodiny zanechal svým �ty�em syn�m �ty�i nádobky s vínem.

V jedné nádob� bylo 40 m��ic, ve druhé 30, ve t�etí 20 a �tvrté 10 (m��ic). Zavolal

správce svého domu a �ekl: „Tyto �ty�i nádobky s vínem zanechaným uvnit�,

rozd�l mezi mé �ty�i syny a to tak, aby každý z nich m�l stejný díl jak vína, tak

nádob.“ A �ekne, kdo chápe, jakým zp�sobem je t�eba rozd�lit, aby všichni z toho

mohli dostat stejn�. ([14], str. 35)

(každý dostane 25 litr�, nádoby s 10 a 40 m��icemi se slijí a rozd�lí na p�l, totéž

nádoby s 20 a 30 m��icemi)

20. N�jaký zem�elý otec zanechal jako d�dictví t�em syn�m t�icet sklen�ných lahvi�ek,

z nichž deset bylo plných oleje, dalších deset do poloviny, t�etích deset bylo

prázdných. A rozd�lí, kdo m�že, olej i lahvi�ky, aby každému ze t�í syn� p�ipadlo

stejn� jak lahvi�ek, tak oleje. ([14], str. 31)

(jeden 10 zapln�ných do poloviny, druhý a t�etí 5 prázdných a 5 plných)

21. Žádám t�, abys mi �ekl, kolik brázd má na svém poli vyoraných muž, když na obou

koncích pole ud�lal t�i obraty. ([14], str. 31)

(7)

22. Sedm kol� ud�lalo po sedmi kolech. A �ekne, kdo chce, kolik voz� postavili.

([14], str. 32)

(4)

23. Zem�elý manžel zanechal d�dictví 2625 zlatých s podmínkou, že syn dostane

dvakrát víc než matka a matka dvakrát víc než dcera. Kolik každý dostal?

([14], str. 99)

(dcera 375, matka 750, syn 1500)

24. Pastý�e, který hnal 70 býk�, se zeptali: „Jak velkou �ást svého po�etného stáda

býk� ženeš?“ Odpov�d�l: „Ženu dv� t�etiny z t�etiny dobytka.“ Kolik býk� bylo

v celém stádu? ([13], str. 16)

(315)

43

25. Ze �ty� lidí, kte�í ob�tovali v chrámu, druhý dal dvakrát více než první, t�etí t�ikrát

více než druhý a �tvrtý �ty�ikrát více než t�etí, a všichni dohromady dali 132. Kolik

dal první? ([13], str. 69)

(4)

26. Holubice sedící na strom� vid�la jiné letící (holubice) a �ekla jim: „Kdybych vid�la

ješt� tolik a pot�etí tolik, pak by jich spole�n� se mnou bylo sto.“ A �ekne kdo

m�že, kolik holubic let�lo na za�átku. ([14], str. 29)

(33)

27. Kde z�stala jablka, mé dít�? Dv� šestiny má Ino, osminu mi však vzala Semele,

Autonoe mi ukradla �tvrtinu, Aqaue mi zase p�tinu vybrala z klína, pak hbit�

zmizela. Pro tebe je zde ješt� deset jablek, pro sebe však vskutku – p�i Kypris

p�ísahám – mámen jedno. ([14], str. 48)

(120)

28. Denní doby

„Ó p�emoudrý znal�e �asu, jaký díl dne prošel již?“

„Z toho, co už prošlo dnes, vezmi dv� t�etiny, pro sv�j volný �as budeš mít ješt�

dvakrát tolik.“ ([13], str. 78)

(ze zadání úlohy: 1 den = 12 hodin)

(71

5 )

29. �ekni, jak dlouho žil Demochares, který byl chlapcem �tvrtinu, mladíkem p�tinu a

mužem t�etinu života. A když se potom stal starcem s šedými vlasy, tu žil ješt�

t�ináct let a byla dosažena hranice vezdejšího života. ([14], str. 51)

(60)

30. N�jaký chlapec pozdravil otce: „Bu� pozdraven,“ pravil, „ot�e.“ Na to otec: „Bu�

zdráv, synu. A žiješ, kolik jsi žil, a tento dvojnásobek rok� ztrojnásobíš a p�idej

jeden z mých rok� budeš mít sto let.“ A �ekne, kdo m�že, kolik tenkrát m�l onen

chlapec. ([14], str. 28)

(16 let a 6 m�síc�)

44

31. Prolejte slzy, než p�jdete dále. Zde jsme poh�beni my, které ubil �ítící se Antioch�v

d�m. Hodující sed�li jsme zde, když b�h nám hodovní sí� prom�nil v hrob. �ty�i

Tegeaté to jsou, kte�í zde leží, dvanáct Messea�an� a p�t ješt� z Agru, ale polovina

host� byla z m�sta Sparty. Též Antiochie sám zahynul, p�tina z p�tiny byly

Athé�ané. Korint plá�e nad jediným Hylasem. ([14], str. 54)

(Máme ur�it celkový po�et ob�tí.)

(50)

32. Polovinu cesty jsem vykonal na koni, �tvrtinu p�šky a ob� tyto �ásti dohromady

�inily 48 mílí. Jak dlouhá byla celá cesta? ([13], str. 99)

(64)

33. V Aténách byl vodojem s t�emi rourami. První mohla naplnit vodojem za hodinu,

druhá za dv� hodiny, t�etí za t�i hodiny. Za jakou �ást hodiny mohly naplnit

vodojem všechny t�i roury spole�n�? ([13], str. 196)

(116

)

34. Vodní nádrž má p�t p�ívodních struh. Jestliže otev�eme jen první z nich, nádrž se

naplní za t�etinu dne, když jen druhou, naplní se za den, když jen t�etí – za dva a

p�l dne, když jen �tvrtou – za t�i dny, když jen pátou – za p�t dní. Za kolik dní se

nádrž naplní, když otev�eme všechny p�ívodní strouhy? ([13], str. 93)

(7415

)

35. Jsem bronzový lev. Z chodidla pravé nohy, z obou o�í a z úst proudí ven voda.

Za dva dny naplní nádrž pravé oko, levé pak za t�i, ale noha za �ty�i. Už šest hodin

sta�í úst�m. Jakpak dlouho to trvá, jsou-li sou�asn� otev�eny o�i a noha a ústa?

([14], str. 57)

(3733

3 + )

45

36. Jsou �ty�i fontány. První naplní nádrž za den, druhá za dva, t�etí za t�i a �tvrtá

za �ty�i dny. Jakpak dlouho trvá, jsou-li všechny otev�ené? ([14], str. 52)

(2512

)

37. Poslové dvou m�st, nap�. z Lyonu a Pa�íže se ve stejné dob� vydali na cestu proti

sob�. Pa�ížský posle urazil každý den o dv� míle více než lyonský a za �ty�i dny se

setkali. Ob� m�sta jsou od sebe vzdálena 104 mil. Má být stanoveno, kolik mil

každý z nich urazil za den a kolik celkem. ([14], str. 98)

(lyonský 12 mil za den, pa�ížský 14; za 4 dny: 48 a 56)

38. Pán se dohodl se sluhou takto: „Budeš-li pracovat, dám ti za den krom� stravy 12

groš�. Když budeš odpo�ívat, zaplatíš za stravu 8 groš�.“ Za rok, tedy za 365 dní,

pán nedlužil nic sluhovi ani sluha pánovi. Kolik dní sluha pracoval a kolik

odpo�íval? ([14], str. 100)

(pracoval 146 dní, odpo�íval 219 dní)

39. B�hem souboje kohout� se jeden z divák� dohodl s jejich majiteli. Prvnímu �ekl:

„Když zvít�zí tv�j kohout, dáš mi svou výhru, když prohraješ, zaplatím ti dv�

t�etiny možné výhry.“ Druhému soupe�i �ekl: „Když zvít�zí tv�j kohout, dáš mi

svou výhru, když prohraješ, zaplatím ti t�i �tvrtiny možné výhry.“ V obou

p�ípadech získá divák 12 peníz�. Jakou výhru mohl získat každý ú�astník (majitel

kohouta)? ([13], str. 84)

(42 a 40)

40. N�kolik lidí spole�n� kupuje berana. Když každý p�isp�je p�ti penízi, bude chyb�t

45 peníz� do ceny berana. Když každý p�isp�je sedmi penízi, budou chyb�t t�i

peníze. Kolik je lidí a jakou cenu má beran? ([13], str. 93)

(21 lidí, 150 peníz�)

41. N�jaký u�itel m�l tolik žák�, že kdyby každý p�inesl 5 zlatých na zakoupení domu,

chyb�lo by ješt� 30 zlatých, kdyby však každý p�inesl 6 zlatých, p�ebývalo by

40 zlatých. Kolik bylo žák� a jaká byla cena domu? ([14], str. 95)

(70 žák�, 380 zlatých)

46

42. Jeden bohá� daroval chu�as�m almužnu; každý chu�as dostal 7 groš� a 24 groš�

zbylo. Kdyby každý chu�as dostal 9 groš�, nedostávalo by se 32 groš�. Kolik bylo

chu�as� a kolik bylo groš�. ([14], str. 100)

(28 chu�as� a 220 groš�)

43. Dva lidé A, B obdrželi ur�itý po�et mincí, který se má mezi n� rozd�lit tak, že když

k mincím A p�idáme polovinu mincí B nebo k mincím B p�idáme dv� t�etiny mincí

A, v obou p�ípadech dostaneme 48. Kolik mincí obdržel každý z lidí A, B?

([13], str. 95)

(36 a 24)

44. T�em sochám: Zethovi, Amphionovi a jejich matce.

My dva jsme dohromady t�žcí dvacet min, já Ethos a bratr. Když mi vezmeš t�etinu

a Amphionovi �tvrtinu, vyjde práv� mat�ina váha, šest min. ([14], str. 58)

(12 a 8)

45. 4 lokty �erveného plátna a 3 lokty �erného plátna stojí 29 zlatých, 2 lokty

�erveného plátna a 5 lokt� �erného plátna stojí 25 zlatých. Kolik stojí loket

�erveného a kolik loket �erného? ([14], str. 100)

(�ervený 5, �erný 3)

46. Stádo opic bavících se v háji se rozd�lilo na dv� �ásti. �tverec osminy jejich po�tu

se bavil skákáním ve v�tvích. Dvanáct opic vítalo radostným k�ikem tichý rozb�esk

dne. A te� �ekni, jinochu, kolik opic bylo v háji. ([13], str. 90)

(48, 16)

47. Staro�ímská úloha (2. století). Jeden umírající �lov�k �ekl: „Jestliže se mé žen�

narodí syn, a mu pat�í dv� t�etiny jm�ní a zbytek mé žen�. Jestliže se narodí dcera,

a jí pat�í t�etina a žen� dv� t�etiny.“ Narodila se dvoj�ata – syn a dcera. Jak se má

rozd�lit jm�ní, aby se splnila záv�t nebožtíka? ([13], str. 70)

(syn : dcera : manželka - 4:1:2)

47

48. Jednotkový �tverec se má rozd�lit na 12 shodných trojúhelník� a �ty�i shodné

�tverce. Je t�eba vypo�ítat obsah trojúhelníku a �tverce.

([13], str. 91)

(161

)

49. Jednotkový �tverec se má rozd�lit 8 shodných trojúhelník�. Jaká jsou jejich

plochy?

([2], str. 366)

(81

)

50. Mám ln�né plátno dlouhé 60 lokt�, široké 40 lokt�. Chci je rozd�lit na �ásti tak,

aby každá �ást m�la na délku 6 lokt� a na ší�ku 4, a sta�í na obvyklou tuniku.

A �ekne, kdo chce, kolik tunik z n�j lze zhotovit. ([14], str. 23)

(100)

51. Mám sukno, které má na délku 100 lokt� a na ší�ku 80 lokt�. Chci z n�j d�lením

zhotovit plášt� tak, aby každý díl m�l na délku 5 lokt� a na ší�ku 4 lokty. �ekni,

žádám mudrci, kolik pláš� z n�j lze zhotovit. ([14], str. 23)

(400)

48

52. Ošt�p stojí svisle ve vod� a nad její hladinou vy�nívá o t�i lokty. Vítr ho nachýlil

tak, že jeho vrchol je na hladin�, ale spodní hrot nezm�nil svou polohu. Ur�ete

délku ošt�pu, jestliže vzdálenost nové polohy vrcholu od p�vodního místa vno�ení

ošt�pu do vody se rovná 5 lok�m. ([13], str. 106)

(32

5 )

53. Rákos �ní nad vodou o jeden aršin. Máme ur�it hloubku �í�ky, kde rákos roste, ale

nesmíme rákos vytrhnout ani m��it hloubku veslem �i jiným p�edm�tem.

([13], str. 203)

(4)

54. Dv� v�že stojí ve vzdálenosti 50 stop, jedna je vysoká 40 stop a druhá 30 stop.

Ke kašn� umíst�né mezi nimi slétávají sou�asn� ptáci, kte�í sed�li na vrcholcích

v�ží. Protože letí stejnou rychlostí, doletí na kašnu sou�asn�. Ur�ete vzdálenost

kašny od v�ží. ([13], str. 115)

(18 a 32)

49

3.2 �ešené úlohy

�íslo úlohy: 1

Text úlohy:

Sedm lidí má po sedmi ko�kách, každá ko�ka sežere sedm myší, každá myš sežere sedm

klas�, z každého klasu m�že vyr�st sedm m��ic je�mene. Jak velké jsou jednotlivé po�ty

a jejich celkový sou�et?

Rozbor úlohy:

Úlohy m�že být �ešena úsudkem, �ešení zvládnou žáci i bez znalosti mocnin. Postupn�

zjišujeme jednotlivé po�ty.

�ešení úlohy:

Máme 7 lidí,

sedm lidí má po sedmi ko�kách – každý �lov�k má 7 ko�ek � ko�ek je celkem

49 (7⋅7 = 72),

každá ko�ka sežere sedm myší – každá ze 49 ko�ek sežere 7 myší � myší celkem

sežerou 343 (7⋅7⋅7 = 73),

každá myš sežere sedm klas� – každá z 343 myší sežere 7 klas� � klas� sežerou myši

celkem 2401 (7⋅7⋅7⋅7 = 74),

z každého klasu m�že vyr�st sedm m��ic je�mene – z každého z 2401 klasu m�že

vyr�st 7 m��ic je�mene � celkem m��ic je�mene 16807 (7⋅7⋅7⋅7⋅7 = 75).

Jednotlivé po�ty jsou: 7, 79, 343, 2401 a 16807.

Celkový sou�et: 7 + 79 + 343 + 2401 + 16807 = 19607.

Jednotlivé po�ty jsou: 7, 79, 343, 2401 a 16807. Celkový sou�et jednotlivých po�t� je

19607.

50

�íslo úlohy: 6

Text úlohy:

Jeden žeb�ík m�l sto p�í�lí. Na prvním sed�l jeden holub, na druhém dva, na t�etím t�i,

na �tvrtém �ty�i, na pátém p�t, a tak na všech p�í�lích až do stého. �ekni, kdo m�žeš,

kolik bylo celkem holub�.

Rozbor úlohy:

Žeb�ík má celkem 100 p�í�lí. Na poslední p�í�li bude tedy sed�t 100 holub�. Musíme

zjistit sou�et 1 + 2 + 3 + 4 + …+ 96 + 97 + 98 + 99 +100. Pokud si uv�domíme, že

po�et holub� sedících na první p�í�li a po�et holub� sedících na 99. p�í�li nám dá sou�et

100, je pro nás výpo�et mnohem jednodušší. Na druhé p�í�li sedí 2 holubi a na 98. p�í�li

sedí 98 holub�, jejich sou�et je také 100 holub�. Takto získáme 49 pár�, jako poslední

se�teme 49 + 51. Padesátá a stá p�í�le nám z�stanou samostatn� (nemají žádnou p�í�li

do páru), tyto p�í�le poté p�i�teme k výsledku.

�ešení úlohy:

Po�et holub� sedících na p�í�lích, kte�í jsou do páru

(sou�et je 100):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )490010049

51495248973982991=⋅=

=++++++++++ �

Po�et holub� sedících na p�í�lích, kte�í nejsou do páru:

15050100 =+

Celkem holub�:

50501504900 =+

Celkem bylo 5050 holub�.

51

�íslo úlohy: 7

Text úlohy:

Hádanka

Jednou šel po cest� mul s oslicí, oba obtíženi vínem.

Oslice pod nákladem zasténala, tehdy se mul,

Kterého ona s kon�m jako syna m�la, zeptal:

„Mámo, pro� jsi zavzdychala jako mladá dív�ina?“

Oslice odpov�d�la, že se jen t�žko pohybuje.

„Oho, cht�la bys jako dív�ina poskakovat!

Já nesu víc, a není mi to zat�žko:

Kdybych od tebe vzal jeden m�ch, m�l bych dvakrát víc než ty,

a kdybys mi ty jeden odebrala, m�li bychom oba stejn�.“

Kdo chce ta �ísla uhádnout, nemusí spo�ítat ani prsty obou rukou.

Rozbor úlohy:

Úloha m�že být �ešena úsudkem nebo pomocí rovnic.

�ešení úlohy:

Hledaná �ísla jsou menší než 10. Mul nesl více m�ch� než oslice.

Nejprve se budeme snažit vy�ešit druhý úkol: …kdybys mi ty jeden odebrala, m�li

bychom oba stejn�. Vyplníme tabulku, jaký náklad mohli mul a oslice vést. Dále víme,

že hledaná �ísla jsou menší než 10.

Mul 3 4 5 6 7 8 9 10

Oslice 1 2 3 4 5 6 7 8

Nakonec otestujeme získané hodnoty v tabulce podle první informace: „Kdybych

od tebe vzal jeden m�ch, m�l bych dvakrát víc než ty.“ Zjistíme, že jediné �ešení, které

vyhovuje zadání je �ešení [7,5].

Mul nesl 7 m�ch� obilí a oslice nesla 5 m�ch� obilí.

52

�íslo úlohy: 9

Text úlohy:

Pes se žene za králíkem, který je 150 stop p�ed ním. Pes urazí každým skokem dev�t

stop, zatímco králík urazí sedm stop. Kolik skok� musí ud�lat pes, aby dohonil králíka?

Rozbor úlohy:

Úloha m�že být �ešena úsudkem nebo pomocí lineární rovnice o jedné neznámé.

�ešení úlohy:

králík má náskok 150 stop

pes urazí jedním skokem 9 stop

králík urazí jedním skokem 7 stop

kolik skok� musí ud�lat pes, aby dohonil králíka?

Pes se každým svým skokem p�iblíží ke králíkovi o dv� stopy. Ud�lá-li jeden skok,

králík má náskok 148 stop p�ed psem, ud�lá-li dva skoky, náskok je 146 stop. Aby pes

králíka dohonil, musí ud�lat (150 : 2) skok�.

(150 : 2) = 75

Pes musí ud�lat 75 skok�, aby dohonil králíka.

53

�íslo úlohy: 11

Text úlohy:

Kdosi má 24 liber vzácného oleje. Má k dispozici nádoby, které pojmou 13, 11 a 5 liber.

Jak m�že pomocí t�chto nádob rozd�lit olej na t�i stejná množství?

Rozbor úlohy:

Úloha je �ešena úsudkem. Postupn� budeme „p�elévat“ olej do nádob, až dojdeme

k požadovanému rozd�lení oleje.

�ešení úlohy:

�ešení m�žeme zapsat do následující tabulky. V prvním �ádku je uveden objem nádob,

které máme k dispozici. Na dalších �ádcích je již uvedeno, kolik oleje se práv� nachází

v jednotlivých nádobách. Na za�átku máme olej pouze v nádob�, která pojme 24 liber

oleje, poté již za�neme olej „p�elévat“.

24 13 11 5

24 0 0 0

0 8 11 5

16 0 8 0

3 13 8 0

3 8 8 5

8 8 8 0

Olej se nám poda�ilo rozd�lit na požadované množství po 5 p�elitích.

54

�íslo úlohy: 13

Text úlohy:

Jedním tahem tužky nakreslete obrazec a) a potom obrazec b) na obrázku. Jak lze

vysv�tlit výsledky �ešení t�chto dvou úloh?

Rozbor úlohy:

Nejprve se budeme snažit jednotlivé obrazce na�rtnout jedním tahem, poté zjistíme, kdy

obrazec jde a kdy nejde nakreslit jedním tahem.

�ešení úlohy:

Obrazec a) nelze nakreslit jedním tahem tužky.

Obrazec b) lze nakreslit jedním tahem tužky.

Pro rozhodování, zda uvedený obrazec jde nebo nejde nakreslit jedním tahem tužky,

jsou d�ležité body, ve kterých se stýkají jednotlivé �áry.

Jedním tahem nakreslíme obrazec:

- který má samé takové body, ve kterých se setkává sudý po�et �ar,

- který má práv� dva body, ve kterých se setkává lichý po�et �ar.

55

�íslo úlohy: 16

Text úlohy:

Muž a žena, z nichž každý vážil jeden centné�, mající dv� d�ti, které dohromady váží

také jeden centné�, se m�li p�epravit p�es �eku. Nalezli loku, která nem�že uvést více

než jeden centné�. Nech� uskute�ní p�epravu, kdo m�že, aniž by se loka potopila.

Rozbor úlohy:

Tato úloha je tzv. P�evoznická úloha. Úlohu �ešíme úsudkem, jednotlivé kroky p�evozu

je vhodné si rozkreslit nebo rozepsat. Dít� m�že samo veslovat a na lo�ce se vždy musí

n�kdo p�epravovat.

Pro zajímavost: 1 centné� = 61,65 kg.

�ešení úlohy:

Lo� uveze 1 centné�. Na lo�ce se tedy m�že p�epravovat: žena (Ž), muž (M), první dít�

(D1), druhé dít� (D2) nebo ob� d�ti spole�n�.

Jedno z možných �ešení (rozpis na jednotlivých b�ezích):

Ž, M, D1, D2 -

Ž, M D1, D2

Ž, M, D1 D2

M, D1 Ž, D2

M, D1, D2 Ž

M Ž, D1, D2

M, D1 Ž, D2

D1 M, Ž, D2

D1, D2 M, Ž

- M, Ž, D1, D2

Nejprve se p�epraví ob� d�ti a jedno se vrátí s lo�kou nazp�t. Poté se p�epraví žena a

druhé dít� se vrátí nazp�t. Op�t se p�epraví ob� d�ti na druhý b�eh a jedno se vrátí

nazp�t. P�epraví se muž a druhé dít� se vrátí na první b�eh. Nyní se na druhý b�eh

p�epraví ob� d�ti a všichni jsou již p�epraveni.

56

�íslo úlohy: 17

Text úlohy:

Hlemýž byl od vlaštovky pozván na sva�inu ve vzdálenosti jedné galské míle. Hlemýž

však nemohl za den ujít více než jednu unci stopy. A� �ekne, kdo by cht�l, za kolik dní by

hlemýž dorazil na onu sva�inu.

Rozbor úlohy:

Úloha se zabývá p�evád�ním jednotek. P�evedeme-li galskou míli na unce a vyd�líme

takto získanou vzdálenost rychlostí hlemýžd�, získáme po�et dn�, které stráví hlemýž�

na cest� na sva�inu. Vztah mezi jednotkami je z p�vodního zadání této úlohy.

�ešení úlohy:

Vzdálenost hlemýžd� od vlaštovky 1 galská míle

Hlemýž� ujde za den 1 unci

Kolik dní mu bude trvat cesta?

1 galská míle = 1500 dvojkrok� = 75000 stop = 90000 uncí

Za jeden den urazí hlemýž� 1 unci � cesta bude hlemýždi trvat (90000 : 1) dní, tedy

90000 dní

Hlemýž� by na sva�inu dorazil za 90000 dní.

57

�íslo úlohy: 19

Text úlohy:

N�jaký umírající otec rodiny zanechal svým �ty�em syn�m �ty�i nádobky s vínem.

V jedné nádob� bylo 40 m��ic, ve druhé 30, ve t�etí 20 a �tvrté 10 (m��ic). Zavolal

správce svého domu a �ekl: „Tyto �ty�i nádobky s vínem zanechaným uvnit�, rozd�l

mezi mé �ty�i syny a to tak, aby každý z nich m�l stejný díl jak vína, tak nádob.“

A� �ekne, kdo chápe, jakým zp�sobem je t�eba rozd�lit, aby všichni z toho mohli dostat

stejn�.

Rozbor úlohy:

K dispozici máme celkem 100 m��ic vína ve �ty�ech nádobách. Každý ze syn� musí

dostat stejný díl vína i nádob. Víno m�žeme slévat a p�elévat. Každý ze syn� dostane

jednu nádobu s 25 m��icemi

�ešení úlohy:

40 m��ic 30 m��ic 20 m��ic 10 m��ic

Celkem máme: ( ) 10010203040 =+++ m��ic vína.

Každý ze syn� dostane: (100 : 4) = 25 m��ic vína v jedné nádob�.

Rozd�lení m��ic vína (víno m�žeme slévat a rozlévat):

Víno v první a poslední nádob� slijeme � získáme 50 m��ic vína a rozlijeme nap�l �

� získáme dvakrát 25 m��ic vína.

Víno v druhé a t�etí nádob� také slijeme, získáme 50 m��ic vína a znovu rozlijeme

nap�l a získáme op�t dvakrát 25 m��ic vína.

Každý ze syn� získá v jedné nádob� 25 m��ic vína.

58

�íslo úlohy: 24

Text úlohy:

Pastý�e, který hnal 70 býk�, se zeptali: „Jak velkou �ást svého po�etného stáda býk�

ženeš?“ Odpov�d�l: „Ženu dv� t�etiny z t�etiny dobytka.“ Kolik býk� bylo v celém

stádu?

Rozbor úlohy:

Pastý� žene 70 býk�. Tento po�et býk� se rovná dvou t�etinám z t�etiny dobytka. Úlohu

budeme �ešit pomocí lineární rovnice o jedné neznámé.

�ešení úlohy:

Pastý� hnal 70 býk�

Pastý� hnal 32

z 31

dobytka (býk�)

Býk� v celém stádu x

32

z 31

dobytka (býk�) = 32

⋅ 31

x

Zápis a �ešení rovnice:

315

2:6302

97092

7031

32

==

⋅=

=⋅

x

x

x

x

V celém stádu bylo celkem 315 býk�.

59

�íslo úlohy: 25

Text úlohy:

Ze �ty� lidí, kte�í ob�tovali v chrámu, druhý dal dvakrát více než první, t�etí t�ikrát více

než druhý a �tvrtý �ty�ikrát více než t�etí, a všichni dohromady dali 132. Kolik dal

první?

Rozbor úlohy:

Úlohu �ešíme pomocí jedné lineární rovnice o jedné neznámé.

�ešení úlohy:

první dal x

druhý 2krát více než první (2 ⋅ x)

t�etí 3krát více než druhý (3 ⋅ 2 ⋅ x)

�tvrtý 4krát víc než t�etí (4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ x)

celkem dali 132

Zápis a �ešení rovnice:

4132331322462

===+++

x

x

xxxx

První dal v chrámu 4.

60

�íslo úlohy: 28

Text úlohy:

Denní doby

„Ó p�emoudrý znal�e �asu, jaký díl dne prošel již?“

„Z toho, co už prošlo dnes, vezmi dv� t�etiny, pro sv�j volný �as budeš mít ješt� dvakrát

tolik.“

Rozbor úlohy:

Pokud budeme �ešit úlohu jak byla �ešena v originále, musíme si uv�domit, že denní a

no�ní doby byly rozd�leny. Každá m�la tedy 12 hodin. 1 den = 12 hodin. Dnes bychom

úlohu �ešili: 1 den = 24 hodin. Úlohu �ešíme pomocí jedné lineární rovnice o jedné

neznámé.

�ešení úlohy:

Prošlo x hodin

Pro volný �as x⋅⋅32

2 hodin

Den 12 hodin

Zápis a �ešení rovnice:

hodinx

x

x

x

xx

71

5

736367

1237

1234

=

=

=

=

=+

Dnes prošlo p�ibližn� 5 hodin 9 minut.

61

116

11:611

6236

6132

=

==++

⋅=++

x

x

xxx

xxx

�íslo úlohy: 33

Text úlohy:

V Aténách byl vodojem s t�emi rourami. První mohla naplnit vodojem za hodinu, druhá

za dv� hodiny, t�etí za t�i hodiny. Za jakou �ást hodiny mohly naplnit vodojem všechny

t�i roury spole�n�?

Rozbor úlohy:

Úlohu �ešíme pomocí jedné lineární rovnice o jedné neznámé. Nejd�íve zjistíme, jakou

�ást vodojemu naplní každá roura za dobu napl�ování. Všechny t�i roury naplní jeden

vodojem. Tedy sou�et jednotlivých �ástí, které naplní roury je roven jedné.

�ešení úlohy:

1. roura za 1 h 1 vodojem

x h x vodojemu

2. roura za 2 h 1 vodojem

1 h 21

vodojemu

x h 2x

vodojemu

3. roura za 3 h 1 vodojem

1 h 31

vodojemu

x h 3x

vodojemu

všechny t�i roury: za x hodin ��

���

� ++32xx

x vodojemu

za x hodin 1 vodojem

Zápis a �ešení rovnice:

Vodojem se naplní t�emi rourami p�ibližn�

za 116

hodiny.

62

�íslo úlohy: 37

Text úlohy:

Poslové dvou m�st, nap�. z Lyonu a Pa�íže se ve stejné dob� vydali na cestu proti sob�.

Pa�ížský posel urazil každý den o dv� míle více než lyonský a za �ty�i dny se setkali.

Ob� m�sta jsou od sebe vzdálena 104 mil. Má být stanoveno, kolik mil každý z nich

urazil za den a kolik celkem.

Rozbor úlohy:

Každý z posl� m�l jinou rychlost po�ítanou v jednotkách míle za den. Každý tedy urazil

jinou dráhu, kterou vypo�ítáme ze vzorce tvs ⋅= . Sou�et jednotlivých drah, nám dá

104 míle, vzdálenost m�st. Máme ur�it rychlost obou posl� (kolik mil urazili za den) a

kolik mil urazil každý za 4 dny.

�ešení úlohy:

v (míle/den) t (den) s (míle)

Lyonský posel x 4 4 ⋅ 4x

Pa�ížský posel x + 2 4 4 ⋅ (x + 2)

Zápis a �ešení rovnice:

( )

12968104844104244

===++=++

x

x

xx

xx

lyonský posel urazil 12 mil za jeden den,

pa�ížský posel urazil (12+2) = 14 mil za den

Za 4 dny urazili: lyonský posel (4 ⋅ 12) = 48 mil

pa�ížský posel (4 ⋅ 14) = 56 mil

Lyonský posel urazil za jeden den 12 mil a pa�ížský 14 mil. Za 4 dny urazili 48 a

56 mil.

63

�íslo úlohy: 38

Text úlohy:

Pán se dohodl se sluhou takto: „Budeš-li pracovat, dám ti za den krom� stravy 12

groš�. Když budeš odpo�ívat, zaplatíš za stravu 8 groš�.“ Za rok, tedy za 365 dní, pán

nedlužil nic sluhovi ani sluha pánovi. Kolik dní sluha pracoval a kolik odpo�íval?

Rozbor úlohy:

Po�et odpracovaných a odpo�inkových dn� nám dá dohromady 365 dní, tedy jeden rok.

Za neznámou nám sta�í dát po�et odpracovaných dn� a dny odpo�inkové vyjád�íme

pomocí dn� odpracovaných, nebo naopak. Za rok nedluží pán sluhovi nic, tedy rozdíl

p�íjmu a toho, co sluha musí dát panovi, je roven nule. Groše, které sluha dostane, vrátí

všechny zp�t pánovi.

�ešení úlohy:

Mohl pracovat 365 dní

Pracoval x dní

Nepracoval (365 – x) dní

Za odpracovaný den dostal 12 groš�

Za odpo�inkový den vrátil 8 groš�

Za jeden rok m�l 0 groš�

Zápis a �ešení rovnice:

( )

146292020082920120365812

===+−=−−⋅

x

x

xx

xx

Sluha pracoval: 146 dní

Sluha odpo�íval: 219146365 =− dní

Sluha pracoval 146 dní a odpo�íval 219 dní.

64

�íslo úlohy: 39

Text úlohy:

B�hem souboje kohout� se jeden z divák� dohodl s jejich majiteli. Prvnímu �ekl: „Když

zvít�zí tv�j kohout, dáš mi svou výhru, když prohraješ, zaplatím ti dv� t�etiny možné

výhry.“ Druhému soupe�i �ekl: „Když zvít�zí tv�j kohout, dáš mi svou výhru, když

prohraješ, zaplatím ti t�i �tvrtiny možné výhry.“ V obou p�ípadech získá divák 12

peníz�. Jakou výhru mohl získat každý ú�astník (majitel kohouta)?

Rozbor úlohy:

�ešitel si musí uv�domit, že jeden kohout vždy zvít�zí a druhý prohraje. Tato úloha se

dá �ešit soustavou dvou lineárních rovnic o dvou neznámých. Do rovnice zapíšeme vždy

jednu z možností, vyhraje ur�itý po�et peníz� a musí zaplatit ur�itou �ást pen�z z jiné

možné výhry. V obou p�ípadech divák získal 12 peníz�.

�ešení úlohy:

Prvnímu �ekl:

zvít�zí tv�j kohout dáš mi výhru x peníz�

prohraje tv�j kohout zaplatím ti 32

x

Druhému �ekl:

zvít�zí tv�j kohout dáš mi výhru y peníz�

prohraje tv�j kout zaplatím ti 43

y

V obou p�ípadech získal divák 12 peníz�

Jakou výhru mohl získat každý z ú�astník�?

65

Zápis a �ešení rovnic:

12

32

1243

=−

=−

xy

yx

36234834

=−=−

xy

yx

72644834

=+−=−

yx

yx

401203

==

y

y

42842362403

==−=−⋅

x

x

x

První majitel kohouta mohl získat výhru 42 peníz�, druhý 40 peníz�.

66

�íslo úlohy: 40

Text úlohy:

N�kolik lidí spole�n� kupuje berana. Když každý p�isp�je p�ti penízi, bude chyb�t 45

peníz� do ceny berana. Když každý p�isp�je sedmi penízi, budou chyb�t t�i peníze. Kolik

je lidí a jakou cenu má beran?

Rozbor úlohy:

Úlohu m�žeme �ešit úsudkem nebo pomocí dvou lineárních rovnic o dvou neznámých.

Jedna neznámá pro nás bude po�et kupujících, druhá cena berana.

�ešení úlohy:

Berana kupuje x lidí

Cena berana y peníz�

Každý zaplatí 5 peníz� bude chyb�t 45 peníz�

Každý zaplatí 7 peníz� budou chyb�t 3 peníze

Zápis a �ešení rovnic:

37455

−=−=

yx

yx

37455

−=−−=−

yx

yx

1504510545215

=−=−=⋅

y

y

y

37

455−=

=−x

x

21422

==

x

x

Lidí kupujících berana bylo 21, cena berana byla 150 peníz�.

67

�íslo úlohy: 46

Text úlohy:

Stádo opic bavících se v háji se rozd�lilo na dv� �ásti. �tverec osminy jejich po�tu se

bavil skákáním ve v�tvích. Dvanáct opic vítalo radostným k�ikem tichý rozb�esk dne.

A te �ekni, jinochu, kolik opic bylo v háji.

Rozbor úlohy:

V úloze máme za úkol zjistit, kolik opic bylo v háji. Opice se rozd�lily na dv� nestejné

�ásti. V první �ásti jich byl �tverec osminy, tedy 81

z celkového po�tu opic na druhou.

V druhé �ásti jich bylo 12.

�ešení úlohy:

celkem opic x

po�et opic v první �ásti 2

8��

���

� x

po�et opic v druhé �ásti 12

Zápis a �ešení rovnice:

076864

64768

1264

128

2

2

2

2

=+−=+

=+

=+��

���

�

xx

xx

xx

xx

V háji bylo 16 nebo 48 opic, ob� �ešení kvadratické rovnice odpovídají zadání.

48

162

32642102464

230724096(64

27684)64()64(

24

2

1

2,1

2,1

2,1

2

2,1

2

2,1

==

±=

±=

−±=

⋅−−±−−=

−±−=

x

x

x

x

x

x

aacbb

x

68

�íslo úlohy: 47

Text úlohy:

Staro�ímská úloha (2. století). Jeden umírající �lov�k �ekl: „Jestliže se mé žen� narodí

syn, a� mu pat�í dv� t�etiny jm�ní a zbytek mé žen�. Jestliže se narodí dcera, a� jí pat�í

t�etina a žen� dv� t�etiny.“ Narodila se dvoj�ata – syn a dcera. Jak se má rozd�lit

jm�ní, aby se splnila záv�t nebožtíka?

Rozbor úlohy:

Úlohu �ešíme pomocí pom�ru. Zapíšeme jednotlivé pom�ry a rozší�íme tak, abychom

jsme z nich mohli vytvo�it postupný pom�r.

�ešení úlohy:

Narodí-li se syn, získá 32

jm�ní, zbytek z�stane žen� (2 : 1)

Narodí-li se dcera, získá 31

jm�ní, žen� pat�í 32

jm�ní (1 : 2)

Narodila se dvoj�ata, jak se rozd�lí jm�ní, aby se splnila záv� nebožtíka?

Syn Dcera Žena

2 díly jm�ní 1 díl jm�ní

1 díl jm�ní 2 díly jm�ní

Získané pom�ry dáme dohromady:

Syn Dcera Žena

4 díly jm�ní 2 díl jm�ní

1 díl jm�ní 2 díly jm�ní

� pom�r majetku 4:1:2

P�i narození dvoj�at se majetek d�lil mezi syna, dceru a matku v pom�ru 4:1:2.

69

�íslo úlohy: 48

Text úlohy:

Jednotkový �tverec se má rozd�lit na 12 shodných trojúhelník� a �ty�i shodné �tverce

(viz obr.). Je t�eba vypo�ítat obsah trojúhelníku a �tverce.

Rozbor úlohy:

Rozd�lený �tverec je jednotkový, jeho rozm�r je tedy 1. Abychom získali rozm�ry

trojúhelníku, vypo�ítáme nejprve obsah dvou trojúhelníku, které jsou u každého vrcholu

�tverce. Jedná se o rovnostranný trojúhelník, má dv� strany stejn� dlouhé (0,5), délku

t�etí strany (p�epony) m�žeme vypo�ítat pomocí Pythagorovy v�ty, ale pro výpo�et

obsahu dvou trojúhelníku tuto délku nebudeme pot�ebovat. Pro výpo�et obsahu

pravoúhlého trojúhelníku platí:2

baS

⋅= , v našem p�ípad� a = b. Obsah jednoho

trojúhelníku získáme, když vyd�líme obsah dvou trojúhelník� dv�ma. Pokud se pozorn�

podíváme na obrázek, vidíme, že se nám opakují stále shodné trojúhelníky. Trojúhelník

sestrojený nad stranou �tverce má délku základy 0,5. Obsah �ty� �tverc� je aaS ⋅= ,

obsah jednoho �tverce získáme tak, že vyd�líme obsah �ty� �tverc� �íslem 4.

70

�ešení úlohy:

Obsah dvou trojúhelník�:

délka ramen je rovna 21

,

81

221

212

=

⋅=

⋅=

S

S

aaS

Obsah trojúhelníku:

161281

=

=

S

S

Obsah �ty� �tverc�:

41

21

21

=

⋅=

⋅=

S

S

aaS

Obsah �tverce:

161441

=

=

S

S

Obsah trojúhelníku i �tverce je stejný, 161

jednotkového obsahu.

71

�ešené úlohy

�íslo úlohy: 51

Text úlohy:

Mám sukno, které má na délku 100 lokt� a na ší�ku 80 lokt�. Chci z n�j d�lením zhotovit

plášt� tak, aby každý díl m�l na délku 5 lokt� a na ší�ku 4 lokty. �ekni, žádám mudrci,

kolik pl�� z n�j lze zhotovit.

Rozbor úlohy:

Sukno se snažíme pokrýt díly plášt�.

�ešení úlohy:

Sukno má rozm�ry 100 x 80 lokt� 100 lokt�

Díl plášt� musí mít rozm�r 5 x 4 lokty

Kolik lze zhotovit pl�?

80 lokt�

Ze sukna o délce 100 lokt� m�žeme ust�ihnout (100 : 5) = 20 pruh� sukna o délce

5 lokt� a ší�ce 80 lokt�.

Z jednoho pruhu o ší�ce 80 lokt� m�žeme ust�ihnout (80 : 4) = 20 díl� sukna

o rozm�rech 5 x 4. Z 20 pruh� sukna o ší�ce 80 lokt� vznikne tedy (20 ⋅ 20) = 400 díl�

na ušití plášt�.

Ze sukna o velikosti 100 x 80 lokt� lze ust�ihnout 400 díl� sukna na ušití plášt�.

72

�íslo úlohy: 52

Text úlohy:

Ošt�p stojí svisle ve vod� a nad její hladinou vy�nívá o t�i lokty. Vítr ho nachýlil tak, že

jeho vrchol je na hladin�, ale spodní hrot nezm�nil svou polohu. Ur�ete délku ošt�pu,

jestliže vzdálenost nové polohy vrcholu od p�vodního místa vno�ení ošt�pu do vody se

rovná 5 lok�m.

Rozbor úlohy:

Pro �ešení úlohy je d�ležitý ná�rt situace. Úloha bude �ešena pomocí Pythagorovy v�ty

(pro výpo�et p�epony v pravoúhlém trojúhelníku platí: 222 bac += ).

�ešení úlohy:

P�vodn�: Po odchýlení v�trem:

Pythagorova v�ta pro výpo�et p�epony v pravoúhlém trojúhelníku:

lokt�x

x

x

xxx

xx

32

2

16692562569

5)3(22

222

=

=−=+=++

+=+

Celková délka ošt�pu = 32

532

23 =+ lokt�

Délka ošt�pu je 32

5 lokt�.

73

�íslo úlohy: 54

Text úlohy:

Dv� v�že stojí ve vzdálenosti 50 stop, jedna je vysoká 40 stop a druhá 30 stop. Ke kašn�

umíst�né mezi nimi slétávají sou�asn� ptáci, kte�í sed�li na vrcholcích v�ží. Protože letí

stejnou rychlostí, doletí na kašnu sou�asn�. Ur�ete vzdálenost kašny od v�ží.

Rozbor úlohy:

Pro �ešení této úlohy je d�ležitý ná�rt situace. Dále použijeme Pythagorovu v�tu. Délka

p�epon v obou trojúhelnících je stejná. Kašna od jedné z v�ží vzdálená x stop, od druhé

(50 – x) stopy.

�ešení úlohy:

Ná�rt:

Zápis a �ešení rovnice:

181800100

90010025001600

30)50(4022

2222

==

++−=+

+−=+

x

x

xxx

xx

Vzdálenost kašny od v�že, která m��í 40 stop, je 18 stop, od v�že, která m��í 30 stop, je

(50 – x) = 32 stop.

Kašna se nachází 18 stop od 40ti stopové v�že a 32 stop od 30ti stopové v�že.

74

3.3 Úlohy �ešené ve výuce, dotazník

T�i vybrané historické úlohy �ešili žáci a žákyn� 6. ro�ník� základní školy

v kroužku zájmové matematiky. �ešeny byly následující historické úlohy.

A: N�jaký umírající otec rodiny zanechal svým �ty�em syn�m �ty�i nádobky

s vínem. V jedné nádob� bylo 40 m��ic, ve druhé 30, ve t�etí 20 a �tvrté 10 (m��ic).

Zavolal správce svého domu a �ekl: „Tyto �ty�i nádobky s vínem zanechaným uvnit�,

rozd�l mezi mé �ty�i syny a to tak, aby každý z nich m�l stejný díl jak vína, tak nádob.“

A �ekne, kdo chápe, jakým zp�sobem je t�eba rozd�lit, aby všichni z toho mohli dostat

stejn�.

B: Mám sukno, které má na délku 100 lokt� a na ší�ku 80 lokt�. Chci z n�j

d�lením zhotovit plášt� tak, aby každý díl m�l na délku 5 lokt� a na ší�ku 4 lokty.

�ekni, žádám mudrci, kolik pláš� z n�j lze zhotovit.

C: Muž a žena, z nichž každý vážil jeden centné�, mající dv� d�ti, které

dohromady váží také jeden centné�, se m�li p�epravit p�es �eku. Nalezli lo�ku, která

nem�že uvést více než jeden centné�. Nech uskute�ní p�epravu, kdo m�že, aniž by se

lo�ka potopila.

Vybrané historické úlohy �ešilo celkem 17 d�tí (9 chlapc� a 8 dívek).

P�ed �ešením každé úlohy prob�hl krátký rozbor úlohy a byly zodpov�zeny p�ípadné

dotazy. Poté �ešili žáci úlohu samostatn�. Se správným �ešení každé z úloh byli žáci

seznámeni vždy po samostatném �ešení.

�ešení úloh, které byly zadané žák�m, se nachází v kapitole 3.2. Úloha A

odpovídá úloze �íslo 19, B úloze 51 a C úloze 16.

Po vy�ešení úloh žáci vyplnili krátký dotazník vyjad�ující jejich postoj k �ešení

historických úloh. Žák�m byly položeny následující otázky:

1. Zaujalo t� �ešení historických úloh? ANO / NE

2. Která úloha se ti nejvíce líbila?

3. Která úloha byla pro tebe nejjednodušší?

4. Která úloha byla pro tebe nejt�žší?

5. Líbilo by se ti �ešit historické úlohy v hodinách matematiky?

6. �ešíte historické úlohy v hodinách matematiky?

75

Z odpov�dí na otázky z krátkého dotazníku vyplynulo:

− �ešení vybraných historických úloh zaujalo všech 17 d�tí,

− nejvíce se líbila úloha C

(odpov�di na 2. otázku: úloha A – 4 d�ti, úloha B – 0, úloha C – 13),

− úloha C byla zárove� pro nejvíce d�tí nejjednodušší

(odpov�di na 3. otázku: úloha A – 6 d�tí, B – 2, C – 9),

− nejt�žší byla úloha B

(odpov�di na 4. otázku: úloha A – 2 d�ti, B – 13, C – 2),

− všem dotazovaným žák�m a žákyním by se líbilo �ešit historické úlohy

v hodinách matematiky,

− v�tšina d�tí historické úlohy v hodinách matematiky ne�ešila

(odpov�di na 5. otázku: ne – 14 d�tí, z�ídka – 1, n�kdy – 1, spíše ne – 1).

76

4 Záv�r

Historie matematiky a �ešení historických úloh m�že být vhodnou motivací

pro práci žák� v matematice na základní škole. Matematika se za�azením vhodných

historických prvk� m�že pro žáky stát zajímav�jší a poutav�jší.

D�jiny matematiky jsou, v první �ásti diplomové práce, pospány stru�n� a

srozumiteln�. Tento text mohou použít i p�ípadní zájemci o historii matematiky z �ad

žák� 2. stupn� základní školy.

Historické úlohy, které jsou za�azeny v druhé �ásti diplomové práce, mohou být

za�azeny p�ímo ve výuce matematiky nebo i v zájmových kroužcích. Zásobník

historických úloh m�že sloužit u�itel�m matematiky k obohacení výuky matematiky

o prvky historie.

S historickými úlohami bylo pracováno v kroužku zájmové matematiky

na Základní škole v Morkovicích. Žáci 6. ro�ník� byli seznámeni se t�emi historickými

slovními úlohami. �ešení historických úloh žáky velmi zaujalo. Z krátkého dotazníku

také vyplynulo, že historické úlohy v hodinách matematiky žáci ne�eší, ale rádi by je

�ešili.

77

5 Literatura

[1] BE�VÁ�, J. a kol.: Matematika ve st�edov�ké Evrop�. Praha: Prometheus,

2001. 445 s. ISBN 80-7196-232-5.

[2] BE�VÁ�, J., BE�VÁ�OVÁ, M., VYMAZALOVÁ, H.: Matematika

ve starov�ku. Egypt a Mezopotámie. Praha: Prometheus, 2003. ISBN 80-7196-

255-4.

[3] BE�VÁ�OVÁ, M.: Euklidovy základy, jejich vydání a p�eklady. Praha:

Prometheus, 2002. 297 s. ISBN 80-7196-233-3.

[4] BALADA, F.: Z d�jin elementární matematiky. Praha: Státní pedagogické

nakladatelství, 1959. 238 s.

[5] DEPMAN, I.: Besedy o matematice. Praha: Státní pedagogické nakladatelství,

1957. 123 s.

[6] FOLTA, J., ŠEDIVÝ, J.: D�jiny matematiky a fyziky v obrazech. První soubor.

Praha: Prometheus, 1982. 39 list�.

[7] FOLTA, J., ŠEDIVÝ, J.: Sv�tonázorové problémy matematiky I. Praha: Státní

pedagogické nakladatelství, 1983. 200 s.

[8] FUCHS, EDUARD. Diskrétní matematika a Teorie množin pro u�itele (CD-

ROM). Brno: Masarykova univerzita, 2000. 890 s. ISBN 80-210-2463-1.

[9] HRUBEŠ, J.: Historie matematiky v p�íkladech – 1. díl. Ostrava: Ateliér Milata,

1995. 30 s.

[10] HRUBEŠ, J.: Historie matematiky v p�íkladech – 2. díl. Ostrava: Ateliér Milata,

1995. 26 s.

[11] JUŠKEVI�, ADOLF P.: D�jiny matematiky ve st�edov�ku. Praha: Academia,

1977. 446 s.

[12] KOLMAN, A.: D�jiny matematiky ve starov�ku. Praha: Academia, 1969. 121s.

[13] KONFOROVI�, A. G.: Významné matematické úlohy. Praha: SPN, 1989. 208 s.

ISBN 80-04-21848-2.

[14] MA�ÁK, K.: T�i st�edov�ké sbírky matematických úloh. Praha: Prometheus,

2001. 102 s. ISBN 80-7196-215-5.

[15] STRUIK, D., J.: D�jiny matematiky, Praha: Orbis, 1963. 250 s.

Seznam p�íloh

P�íloha 1 – V�stonická vrubovka

P�íloha 2 – Zápis �íslic

P�íloha 3 – Významní matematici

P�íloha 4 – Pracovní listy

P�íloha 1 – V�stonická vrubovka

Obr. 1 - V�stonická vrubovka ([6], str. 34)

P�íloha 2 – Zápis �íslic

Obr. 2 – Egyptské hieroglyfické �íslice ([4], str. 41)

Obr. 3 – Mezopotamské klínové �íslice ([4], str. 43)

Obr.4 – Staro�ecké �íslice ([6], str. 35)

Obr. 5 – Indické �íslice Bráhmí (po�átek letopo�tu – 9. století) ([6], str. 35)

Obr. 6 – Arabské �íslice (10. století) ([6], str. 35)

P�íloha 3 – Významní matematikové (p�evzato z [8])

René Descartes

(1596–1650)

Bernard Bolzano

(1781–1848)

David Hilbert

(1862–1943)

Daniel Bernoulli

(1700–1782)

Augustin Louis Cauchy

(1789–1857)

John von Neumann

(1903–1957)

Leonhard Euler

(1707–1783)

Georg Ferdinand Ludwig

Philipp Cantor (1845–1918)

Otakar Bor�vka

(1899–1995)

P�íloha 4 - Pracovní listy

Jedním tahem

Jedním tahem tužky nakreslete obrazec a) a potom obrazec b). Lze oba obrazce nakreslit

jedním tahem? Vezmi si barevnou tužku a pokus o to. Pro� nejdou všechny obrázky

nakreslit jedním tahem tužky?

Obrázek a) jsem nakreslil(a) / nenakreslil(a) jedním tahem tužky,

b) jsem nakreslil(a) / nenakreslil(a) jedním tahem tužky.

Podívej se na obrázky a pokus se zjistit, pro� lze n�které obrázky nakreslit jedním

tahem tužky. Znáš ješt� n�jaký obrázek, který lze nakreslit jedním tahem tužky? Pokus

se ho na�rtnout.

Jak musí obrázek vypadat, aby šel nakreslit jedním tahem tužky?

P�emíst�ní mincí

Deset mincí je rozmíst�no v rovin� po �ádcích (viz obr.). Mají se p�emístit nejvýše �ty�i

mince, a to do takových poloh, aby se na p�ti r�zných p�ímkách objevilo po �ty�ech

mincích.

Mince rozmísti podle obrázku a pokus se o spln�ní úkolu.

Výsledky svého snažení zaznamenej do následujícího obrázku. Mince, které z�staly

v �ádcích vymaluj, p�emíst�né mince dokresli. Vyzna� také p�t p�ímek na kterých se

objeví práv� �ty�i mince.

Nápov�da: Sta�í p�emístit jednu minci jedné �ady a t�i mince druhé �ady.

St�íhání sukna

Mám sukno, které má na délku 100 lokt� a na ší�ku 80 lokt�. Chci z n�j d�lením

zhotovit plášt� tak, aby každý díl m�l na délku 5 lokt� a na ší�ku 4 lokty. �ekni, žádám

mudrci, kolik pl� z n�j lze zhotovit.

Rozm�ry sukna: délka , ší�ka .

Rozm�ry jednoho dílu na ušití plášt�: délka , ší�ka .

Kolik lze ze sukna ust�ihnout díl� na ušití plášt�?

Jak budeš postupovat p�i d�lení sukna?

1. Narýsuj sukno, jestliže 1 loket sukna odpovídá 0,1 cm ve skute�nosti.

2. Do tohoto nákresu nazna�, jak budeš postupovat p�i st�íhání. Zakresli jednotlivé

st�íhané díly.

3. Stru�n� popiš postup p�i d�lení sukna:

4. Kolik je možné ust�ihnout ze sukna díl� k ušití plášt�? Prove� výpo�et.

Ze sukna je možno ust�ihnout díl� na ušití plášt�.

Rozd�lení d�dictví

N�jaký umírající otec rodiny zanechal svým �ty�em syn�m �ty�i nádobky s vínem.

V jedné nádob� bylo 40 m��ic, ve druhé 30, ve t�etí 20 a �tvrté 10 (m��ic). Zavolal

správce svého domu a �ekl: „Tyto �ty�i nádobky s vínem zanechaným uvnit�, rozd�l

mezi mé �ty�i syny a to tak, aby každý z nich m�l stejný díl jak vína, tak nádob.“ A

�ekne, kdo chápe, jakým zp�sobem je t�eba rozd�lit, aby všichni z toho mohli dostat

stejn�.

Otec m�l syny.

Svým syn�m zanechal nádoby s vínem.

V nádobách bylo celkem m��ic vína.

Zakresli množství vína v jednotlivých nádobách.

40 m��ic m��ic m��ic m��ic

Kolik nádob a jaké množství vína dostane každý ze syn�?

- výpo�et množství nádob pro každého syna:

- výpo�et množství m��ic vína pro každého syna:

Jakým zp�sobem lze rozd�lit zanechané víno mezi syny, aby každý dostal stejné

množství? Navrhni postup, jakým lze víno rozd�lit.

Každý ze syn� dostane nádob s vínem a m��ic vína.

P�evoz rodiny p�es �eku

Muž a žena, z nichž každý vážil jeden centné�, mající dv� d�ti, které dohromady váží

také jeden centné�, se m�li p�epravit p�es �eku. Nalezli lo�ku, která nem�že uvést více

než jeden centné�. Nech uskute�ní p�epravu, kdo m�že, aniž by se lo�ka potopila.

Muž a žena váží centné�. Každé dít� váží centné�e.

Lo� uveze centné�.

Na lodi se m�že plavit:

, , , nebo .

Kdo se bude plavit p�es �eku jako první? Nezapome�, že na lodi musí vždy n�kdo být!

Na prvním b�ehu máme: M (muže), Ž (ženu), D1 (1. dít�) a D2 (2. dít�).

Na lo� jako první nasedne . Na prvním b�ehu z�stane: (∗).

Po prvním p�eplavení �eky bude na druhém b�ehu: (∗∗).

Nyní zaznamenávej pouze osoby na jednotlivých b�ezích. Do �eky zakresli šipku,

kterým sm�rem lo�ka jela. (Stavy na jednotlivých b�ezích po prvním p�evozu již znáš,

dopl� tedy údaje za hv�zdi�ky.)

PRVNÍ B�EH �EKA DRUHÝ B�EH

M, Ž, D1, D2

(∗) → (∗∗)

←

Lo�ka se p�i p�evezení celé rodiny na druhý b�eh celkem dotkla b�ehu.