銘傳大學 99 學年度下學期

教學卓越計畫子計畫一

「課程重構計畫」結案報告

課程名稱： 微積分______

教師姓名： 周子敬

系所單位： 應用統計資訊學系

撰寫日期： 100 年 6 月 2 日

壹、計畫動機

研究者教授微積分課程也超過 10 年了，散落了許多的教材內容在不同的網

站及 WWW 中，惟幸銘傳大學推動資訊化，從以往的數位化教學、Moodle 及雲

端技術，推使課程的運作非常成功，實際上銘傳大學的每門課程除早已具有電腦

輔助教學外，邁向智慧化、創新化及社群化的數位教學是非常有目共睹的；是故，

研究者有感於「深化優質教學」是未來的資訊教育趨勢，也是精進教師教學的走

向，遂引起研究者強烈的動機申請「微積分」課程重構計畫，以落實學習為中心，

提升學習動機的微積分優質課程；另一面研究者可以進行課程重新設計、教材編

修、以及課程實驗，以傳承優質的教學經驗。

貳、執行內容

一、教學目標 （教學目標是什麼）

本課程主要目的在於精進微積分教學，未達此目標，遂將教學目標系分為以

下 5 點，已進行比對、追蹤及精進：

1. 學生提高學習微積分成效

2. 提升教師與學生之間的數位互動

3. 學生問題即時回應及解決

4. 教師掌控學生學習障礙

5. 課程預習及複習的目的

二、教學內容 （主要的教學內容）

在教學內容方面，主軸上包括：（1）積分觀念；（2）定積分的應用；（3）

積分方法；（4）瑕積分；（5）偏微分；（6）雙變數微分；（7）二重積分；（8）

微積分實務上的應用等相關議題。課程上除傳統面對面教學外，並輔以數位技術

如 MCU-Moodle 教學網，MCU 雲端技術、FACEBOOK 社群網站，打造一個如

便利商店的環境，隨時提供同學所需的資訊及問題解答；另外，因課堂上時間有

限，特聘請一位 TA 及一位工讀生負責班上同學有關於生活上微積分相關的議

題，因本課程每個章節後面的習題，幾乎都有應用題方面的習題，舉凡生物、商

管、物理、會計、政府統計，故本課程適時的提供同學們相關資訊的解答與詢問，

TA 也很稱職的應答各式各樣有關於同學提出來的問題，相關課程大綱列示如表

1。在結案報告中，有整體完整 Moodle 課程實施的詳盡記錄，請參閱。

表 1 MCU-99 下學期微積分課程重構計畫課程大綱

週別 單元 單元大綱 Moodle 活動（詳如 MCU-Moodle 網頁

之課程）

1 5.4 定積分的應用:曲線及平均值間的面積

(1)

課程主題簡介、加分題思考、主題瞭

解度調查、智慧小語

2 5.4 定積分的應用:曲線及平均值間的面積

(2)

如第一週規劃內容

3 6.1 分部積分 如第一週規劃內容並加入生活應用題

4 6.1 分部積分的重複性應用 如第一週規劃內容、補充積分表及三

角代換法解題技巧表

5 6.1 積分表:其他積分方法補充說明(1) 如第一週規劃內容、考古題、生活應

用題

6 6.1 積分表:其他積分方法補充說明(2) 如第一週規劃內容、期中考題預備

7 6.1 積分表:其他積分方法補充說明(3) 如第一週規劃內容、期中教學反應調

查(統資系)

8 6.2 瑕積分(1) 如第一週規劃內容、TA 引介及工作介

紹(負責生活應用題解答)

9 期中考週 期中考週 期中考週

10 6.2 瑕積分(2) 如第一週規劃內容、生活應用題及主

題習題

11 7.1 多變數函數 期中教學反應調查(教學暨學習資源中

心)

12 7.2 偏微分(1) 期中教學反應調查(教學暨學習資源中

心)

13 7.2 偏微分(2) 如第一週規劃內容、生活應用題及主

題習題

14 7.3 雙變數微分 期中考前課堂問卷分析結果(教學暨學

習資源中心)

15 7.5 拉格蘭吉乘數法 期末教學反應調查(教學暨學習資源中

心)

16 7.6 二重積分(1) 期末教學反應調查(教學暨學習資源中

心)

17 7.6 二重積分(2) 期末考前課堂問卷分析結果(教學暨學

習資源中心)

18 期末考週 期末考週 學習動機問卷分析結果(教學暨學習

資源中心-王豐緒主任)

三、教學活動設計 （如何達到教學目標的教學活動設計）

課程設計將以本校 Moodle 數位教學為主，配合傳統教學督促學生學習成

效，除 Moodle 以外，並輔以雲端技術及 Facebook 進行網路社群輔導。

四、教學評量 （如何評量教學目標達到與否）

在教學評量方面，有進行兩次雙方面的評量，此兩次為「期中考前」與「期

中考後」，而雙方面分別為「學生面的學習動機與策略自評」及「教師面的教師

教學反應問卷」；因為本計畫偏在學生的學習成效，故會進一步對「學生面的學

習動機與策略自評」進行獨立樣本 t 檢定，以追蹤教學目標是否有達到。

參、計畫成果

一、摘述辦理情形

本課程在申請過程中就已經在進行了，因為進行的早，任課教師很快的就進

入 MCU Moodle Top 50 的教師行列中，並排名為第一名。在正常的課程 18 週中，

教師堅守崗位的在每週課程進度的掌控（詳如教學內容）、學生問題的回答、學

習策略的引導、學習進度落後的提醒等等。

此次重構課程「微積分」隸屬於基礎課程，在 MCU 重修課程中，排名是屬

一屬二，加上時代變遷確有其重構的必要性，以下介紹實驗課程的「班上結構」

及「教師資料」以作實驗處理對照。

1. 班上結構

基礎課程

應用統計資訊學系一年級必修

一年級約 3/5 及其他年級約 2/5

Moodle 上約為 80 人的班級

2. 教師資料

教學年資 13 年

統計資訊專長

該班一年級導師

口耳相傳修過的機率較高

所以，剛開始~80 人

課程設計將以本校 Moodle 數位教學為主，配合傳統教學督促學生學習成

效，相關實施進度規劃如前述相關 18 週的進度。

二、課程實驗結果

在「學生面的學生動機與策略自評」實驗結果分析方面，由於當初 MCU-

教學暨學習資源中心所設計的問卷，是讓學生以不記名的方式填寫，故在實驗結

果分析上，較難追蹤個別同學學習的狀況；另一面，因為未記名，故較難採取多

變量因素分析方面的推論，故教師們較關心的學生面的學習動機與策略自評是否

會影響到教師們的教學反應，反而不能達成。

在期末計畫結束前，MCU-教學暨學習資源中心主任 王豐緒教授提供了兩

次（期中考前 vs 期末考前）平均數的直方圖比較，該資訊非常的有用，從實驗

結果的角度來看，有關於學生面的學生動機與策略自評的 12 個面向中，其中有

6 個面向的平均數從期中考前到期末考前有增加的有 6 個項目（亦可以用增加百

分比來探討），平均數增加幅度從大到小分別列示如下：

1. 時間管理（I6）

2. 自我效能（I5）

3. 自律學習（I7）

4. 持續力（I8）

5. 學習控制（I4）

6. 效能預期（I12）

雖然，就敘述統計上的平均數及排名來看這六個項目是增加的，但實際要來

看實驗結果的效應，還是沒有非常好的立基；換句話說，學生們從期中考後到期

末考後的實驗期間，其學習動機與策略是否有提昇?是否達到統計上顯著?才是課

程實驗的主軸，故本研究後續再仔細思索並實際檢核實驗的評量工具，相關課程

實驗結果分析路徑規畫及建核結果，茲摘錄如下：

1. 檢核期中考前及期末考後的問卷信度

2. 發現部分面向信度，因為反向題的影響，導致信度低落，甚至是負的

3. 構思二次資料可以進行比對的分析

4. 決定以獨立 t 檢定檢核實驗結果（二個不同時間點）

5. 對課程實驗結果下結論

6. 進一步推論課程實施效應

一些實驗結果統計分析方面的建議，以彙整在最後「其他補充資料中」，請

參閱。

三、執行成效評估

為了積極執行本課程重構計畫，本人除了積極維護課程的進度、運作及執

行，當然也竭力的與同學進行互動，所以，很快的第一個成效，就是教師本身獲

得 MCU 全校數位教學「TOP 50」教師的第一名（或稱為 Moodle 教學網頁競賽），

該項評比主要內容有「檔案數」、「線上資源」、「作業」、「測驗」、「平均討論文章」

及「師生互動」（如圖 1）。

圖 1 執行成效之授課教師表現

另外，有關於執行成效評估-學生學習動機與策略自評，已於上一章節作說

明，故不再贅述，整體來說，執行成效評估歸納如下：

1. 學生學習微積分成效提高

2. 教師與學生之間的數位互動學習

3. 學生問題及時回應及解決

4. 教師掌控學生學習障礙

5. 課程預習及複習的目的

6. 教師間教學經驗分享、互動及股勵

7. 走出埋頭教學的迷思

8. 深入了解學生對於課程的需求

9. 評量有助於課程重構的效益

10. 融入生活實務方面的議題

四、成果與反思

當教師的，多半是將時間及心血放在同學們身上，在教學上是很需要同學們

的肯定，經過實驗結果的分析資料得知，同學們經過實驗處理（Moodle、

Facebook、E-mail 等等）後，確實他們的（1）時間管理（I6）；（2）自我效能（I5）；

（3）自律學習（I7）；（4） 持續力（I8）；（5）學習控制（I4）及（6）效能預期

（I12）有提昇。

在成果發表會上，有教師提到「經濟學」、「微積分」、「統計學」這類的課程，

在 MCU 都是「憂鬱」（blue）課程，也聽到教授「微積分」課程的教師們抱怨同

學們都「興趣缺缺」，甚至時有同學直言「為什麼要學微積分?」、「學微積分有什

麼幫助?」本人多半在聽到這樣的言語後，在短時間內會對全班作機會教育，並

提供許多微積分在生活上及各個領域方面的研究，在學期末最後的一個 Moodle

討論區上，本人也一如往常的引介微積分與我們切身相關的生活應用，以拉近同

學對此所謂 blue 課程之間的距離（圖 2）。

該討論區所張貼內容如下所示：

科學無法或缺的數學 - 微分、積分

1665 年，23 歲的牛頓創造出改變科學歷史，革命性的數學手法，這就是

「微積分（微分和積分）」（Calculus）。在今天，微積分普遍運用於人造衛星的

軌道、建築物的強度、經濟狀況的變化等廣範圍的計算。即使說微積分撐起現

代的文明社會，應該也不為過。

微積分為何具有如此強大的「威力」呢？讓我們在回顧促使微積分誕生

的時代背景、牛頓的思考邏輯的同時，好好地思索「微積分到底是什麼」吧！

內文：

「Part1」以微積分誕生的前夕為題，介紹與牛頓之微積分（微分和積分）息息

相關的事件。

首先要談的話題就是「砲彈的軌跡（彈道）」。研究砲彈飛行時會畫出什麼

樣的軌跡，跟微積分的發展有密切的關聯。16∼17 世紀的歐洲，為了爭奪歐洲

霸權，各地烽火連天。在戰爭中，要求具有強大威力的大砲一定要正確命中目

標，因此研究砲彈軌跡的「彈道學」大為興盛。只要看過一次，就會明白砲彈

的飛行軌跡是「曲線」。但是在過去，很長一段時間人們無法正確地計算出砲

彈的飛行軌跡會是什麼樣的形狀。解開這個疑問的是，16 世紀義大利的科學家

伽利略（Galileo Galilei，1564～1642 年）。

朝空中發射的砲彈，如果沒有地球重力的話，它會朝著發射方向筆直飛

去。此稱為「慣性定律」（law of inertia）。但是因為地球重力的關係，砲彈朝地

面的方向落下。伽利略將砲彈的前進速度分為受到重力的方向（往下）和水平

方向來思考。因此呈現出水平方向的速度沒有變化，只有向下的速度會隨著時

間的經過而加速。像這樣的運動，結果砲彈會畫出稱為「拋物線」（parabola）

的曲線軌跡。

進入 17 世紀，微積分發展所不可或缺的「工具」出現了。這就是法國的

數學家笛卡兒（René Descartes，1596∼1650 年）和費馬（Pierre de Fermat，

1601∼1665 年）創造出來的「座標」（coordinate）。座標是指平面上的某一點，

可以用與原點相距的「縱」和「橫」的距離來表示者。想法就跟地圖的「經度」、

「緯度」一樣。

在數學中，從原點出發的橫軸稱為「x 軸」、從原點出發的縱軸稱為「y

軸」，通常是以 x 和 y 的值寫成數對來表現座標。例如，原點的座標 x 和 y 當

然都為零，因此就可以表示為（x,y）＝（0, 0）。若使用座標的話，直線和曲線

皆可以 x 和 y的式子來表示。例如，讓我們思考一下通過（x,y）＝（0, 0）、（1,

1）、（2, 2）……的直線。我們知道各點的座標 x 與 y的值是相等的，因此通過

這些點的直線可以用「y＝x」來表現。

假設以發射砲彈的地點為原點，x 軸為從發射地點算起的水平方向距離，

y 軸為高，則發射出之砲彈所畫出的拋物線也可以用 x 和 y 的式子來表現。換

言之，在現實世界所發生的現象，可用數學表示式來表現。由於座標的出現，

現實世界的現象變為得以視為數學問題來處理了。

當可以用數學表達式表示砲彈的軌跡之後，有關「砲彈在前方多少公尺

處著地？」的問題，既可以不用實際發射砲彈，也不必加以觀測，只要經過計

算一下就可以得到答案。

那麼，下面這個問題您是否答得出來呢？

「發射後砲彈的『行進方向』如何隨著時間的經過而改變呢？」

往斜上方發射的砲彈，正如下面插圖所示，它的行進方向會慢慢地往下傾

斜※。發射的瞬間與發射的 1 秒後，砲彈的行進方向是不同的。而即使只是

0.0001 秒後，行進方向也會變化。

飛行中的砲彈行進方向，時時刻刻都在變化，沒有任何瞬間是一樣的。

前頁所示表示砲彈軌跡之數學表達式是表示在空中飛行之砲彈的距離

（x）與高度（y）的關係。但是，卻無法解讀出在砲彈的飛行過程中，它的行

進方向是如何改變的。因此，不管在表示彈道的數學表達式中代入什麼樣的數

值，都無法求出砲彈的行進方向。

如何才能求出不斷變化中的砲彈行進方向呢？這個問題困擾著當時的學

者。而要解決該問題，必須要有計算變化的「新數學」。這個「新數學」就是

後來出現的「微分法」（method of fluxions）。

而掌握該「新數學」之關鍵的就是下一頁要介紹的「切線」（tangent）。

※：因為正如 27 頁已經介紹過的，受到重力影響的關係，只有上下方向之向

下的速度會隨著時間經過而加速。伽利略雖然知道向下的速度會隨時間而加

速，但是並沒有獲知行進方向所需之計算「瞬間速度」的方法。若使用後來出

現的微分法，即可計算瞬間速度。

到底要怎麼做才能求出砲彈之行進方向的變化呢？

掌握其中關鍵的就是「切線」。所謂切線，簡單地說就是與圓或是拋物線

等曲線「只有一點相切的直線」（左頁插圖中的紅色直線）。某一點上所能畫出

的切線只有 1 條，這是因為只要直線的位置或斜率有些微偏差，可能就完全無

法與曲線相交，也可能相交的點有 2 點。

在運動物體軌跡上畫出的切線，表示各個瞬間的行進方向。投擲鏈球時，

首先以自己的身體為中心使鏈球做圓周運動，然後再趁勢擲出鏈球。做圓周運

動的鏈球，在各個瞬間都是朝著圓的切線方向前進的。其證據就是將拉緊的球

鏈放開，鏈球便往圓的切線方向飛出。

切線指示瞬間的行進方向對於拋物線運動來說也是一樣的。諸如大砲砲

彈這類拋物線運動的飛行物體，在各個瞬間皆朝著拋物線的切線方向前進（右

頁下方插圖）※1。

如果能畫出切線，好像就能獲知砲彈之行進方向的變化。在曲線上畫出

切線的問題稱為「切線問題」。像笛卡兒、費馬等當時的大學者也都處理過接

線問題※2。

不過，此時尚未發明出不管任何曲線皆可畫出正確切線的「萬能方法」。

解決接線問題與「新數學」――微分法的發現息息相關。

※1：最早表示曲線之切線與運動物體之行進方向一致的人是 17 世紀的法國數

學家羅伯瓦（Gilles Personne de Roberval，1602∼1675 年）。

※2：笛卡兒跟費馬等人不一定是為了研究砲彈軌跡才處理切線問題的，大部

分的學者都把切線問題當成應該解決的「數學課題」來處理。

在接下來的「Part2」中，我們將回顧牛頓解決切線問題的過程，亦即探究「微

分法」的誕生。

要畫出圓的切線非常容易，首先將切點與圓心連一直線，再經切點畫出

與該線垂直的直線即可。但是如下圖拋物線這類因點的位置不同而有不同曲率

的曲線，沒有簡單的方法可以畫出切線。又，此處所說的「畫切線」是指「以

數學表達式表示切線」。即使能夠用紙和鉛筆在拋物線上「適當地」畫出切線，

不過還是很難嚴謹地以數學表達式來表示。

究竟如何才能畫出正確的切線呢？

想要畫出正確的切線，只要知道切線的正確「斜率」（slope）即可。所謂

斜率就是相對於水平直線，表示該直線的傾斜度多少的值。只要能夠算出通過

A 點之切線的正確「斜率」，就可以定出一條直線。換言之，即可畫出切線。

正如前頁所述，在 17 世紀的當時，尚未有計算曲線之切線斜率的一般方

法※。牛頓想出該計算方法，導引出解決困擾眾人已久之切線問題的方法。

※：舉凡笛卡兒和費馬等眾多的學者，也在思考計算拋物線等多種曲線之切線

斜率的方法，但是均未找到不管任何曲線皆可求出其切線斜率的一般計算方

法。其中，費馬所提出的方法最接近一般的計算方法。而牛頓在思考時也參考

費馬的方法。

1664 年，當時 22 歲，英國劍橋大學三年級學生的牛頓閱讀笛卡兒等人撰

寫的書籍，開始學習最尖端的數學。在不到一年的時間內，他已經完全學會書

中所說的知識。更進一步地，牛頓開始研究出自己獨特的數學手法。牛頓也著

手處理讓各個學者困擾已久的「切線問題」。他著眼於下列所述之想法，完成

了畫切線的方法。

該想法就是「紙上所繪之曲線和直線，是一個小點隨著時間經過而移動

的軌跡」。如果想成是點的移動，則曲線上所有的點都具有「瞬間的行進方向」。

正如先前已介紹過的，在運動物體之軌跡上所畫的切線表示瞬間的行進方向。

牛頓相反地，想藉由計算移動之點的行進方向求出切線的斜率。

在這樣想法的基礎下，牛頓研究出獨特的計算方法。

牛頓採用「ο（omicron）」這個符號表示極短暫的瞬間，以計算點的行進

方向，也就是切線的斜率。「ο」（omicron）是希臘字母之一。牛頓使用「ο」

這個符號表示無限靠近零但不為零之無限小的「極微時間」，而不是具體規定

是多少秒。

假設在曲線上移動的點在某瞬間來到「A 點」。從該瞬間經過「ο」的時

間，移動點從「A 點」來到稍有距離的「A'點」。此時，將移動點往 x 軸方向移

動的距離設為「οp」，往 y 軸移動的距離設為「οq」。牛頓為什麼會想出「ο」、

「p」、「q」這些我們不太熟悉的符號？它們到底可以求出什麼？

在數學上，直線的「斜率」可以用「相對於水平方向的前進距離上升多

少」，換言之，就是「傾斜的程度」來表示。例如，往 x 軸方向（水平方向）

前進「3」、往 y 軸方向（鉛直方向）上升「2」的直線斜率可用「2╱3」來表

示。右圖的情況為在「ο」的時間內，移動點往 x 軸方向前進了「οp」、往 y

軸方向前進了「οq」。換言之，點瞬間移動所形成之直線 A-A'的斜率，可用「ο

q╱οp」（＝q╱p）來表示。該直線 A-A'為在 A 點之點的行進方向，也就是切

線。

而且，即使不知道「ο」、「p」、「q」等各別的值也可以求出「q╱p」的

值。這就是牛頓求切線斜率的方法，在 40 頁我們將介紹具體的計算方法。牛

頓所研究出來求切線斜率的方法稱為「流數法」（method of fluxions），這是因

為牛頓將在圖上移動之點的速度稱為「流數」（fluxion）的緣故※2。牛頓利用

流數法解決了切線問題。該流數法就是「微分法」，所謂微分法便是計算切線

斜率的方法。

一般認為，流數法的基本構想在 1665 年就想出來了。這是牛頓在正式研

究數學一年後的事，當時他才 23 歲。

※1：本頁介紹之使用「ο」（讀法 omicron）的方法是為了說明牛頓求切線斜

率「q╱p」之計算流程才使用的詳細方法。牛頓在沒有需要特別證明時，會使

用更簡略的計算方式。此外，在求切線斜率時，先求出相當於「導函數」

（derivative of function）的值（42 頁將有詳細介紹）。

※2：所謂流數，具體來說就是在前頁及本頁出現之「p」（點往 x 軸方向移動

的速度）、「q」（點往 y 軸方向移動的速度）。

你知道什麼是微分、積分嗎?又是怎樣的發現呢?快看本期（Newton 牛頓科學雜

誌 43 號 2011/5）。

協助

高橋秀裕日本大正大學人類學部人類學科教育人類學專攻副教授

翻譯賴貞秀

資料來源: http://www.inewton.com.tw/news2.asp?sn=150

在課程反思方面，其實有很多可以說的（或說建言），歸納如下：

1. 既是口語歸類為 blue 課程，但式授課教師不能 blue

2. 在學習過程中，教師除了是稱職的問題回應者，還需做引導者

3. 實驗結果給了本人許多正向的回饋，這是教師們最關心的一件事，讓本人更

有動力及耐心來關懷學生們

4. 其實，基礎課程更有其重構的必要性，不僅提昇學生們的興趣，同學們也不

易落在狹窄的空間裏，而否定了基礎科目的墊底性及必要性。

5. 本課程因時間的關係，未能對教師面作進一步詳細的分析，但是看到學生的

回饋，本人推估應對全校性的教學反應評量的分數提昇，有所助益。

五、後續調整規劃

請參閱建議與改進。

肆、建議與改進

以下是幾點在過程中所發現的現象，茲提出來，以作為後續建議與改進的參

考：

1. 問卷題目多，影響填答的真實性

2. 問卷題目的方向性（難易度等等）、信效度精進

3. 應用實驗法，進行相依 t 檢定 (限 ID)，追蹤個案問題及表現

4. Moodle = 便利商店?（學生們所企盼的數位學習環境）

5. Moodle < FB（數位教學軟體的吸引力）

6. 實驗結果的面向，可以直接就命名為『持續力』以追蹤學生學習成果的具體

數據；如此，即可下結論：『該課程經過重構計畫後，學生們的持續力增加

15%』

7.

8.

伍、補充說明

一、課程照片（補充 Facebook 上同學們自行架構的網站）

二、其它相關資料（統計分析資料）

1. 王豐緒處長所提供學生學習動機與策略自評整體直方圖比較及相關序數統

計（本人在細部進行實驗結果統計顯著性之檢定）

2. 獨立樣本 t 檢定（期中考前對到期末考前）符號說明

3. 第一個面向：學習動機（內部動機）信度及實驗顯著性檢定結果

4. 第二個面向：學習動機（外部動機）信度及實驗顯著性檢定結果

5. 第三個面向：學習動機（對課程內容的看法）

第四個面向：學習動機（對學習結果的掌控）

第五個面向：學習動機（對學習能力與績效的預期）

第六個面向：學習策略（時間管理）

第七個面向：學習策略管理

第八個面向：學習策略（持續力）

第八個面向：學習策略管理

第九個面向：學習策略（持續力）

第十個面向：對課程難易度的認知

第十一個面向：對課程難易度的認知

第十二個面向：對課程難易度的認知