163

제 장7

다변수함수의미분

지금까지 독립변수가 하나인 함수를 대상으로 도함수를 구하는 방법을 살펴보았다 그.

러나 경제학과 경영학에서 사용되는 많은 이론은 여러 변수들에 의해 함수값이 결정되

는 다변수함수 형태를 띠고 있다.

예를 들면 수요함수는 자신의 가격 뿐만 아니라 타 재화의 가격 ⋯ 소

득 기호, 에 의해서 결정된다 따라서 수요함수는. ⋯

로 나타낼 수 있다 이때 이들 독립변수가 변하면 수요의 변화는 어떻게 될까. ?

이 장에서는 먼저 가장 간단한 복수인 독립변수가 개인 함수를 상정하여 도함수2

구하는 방법을 살펴보고 그것의 의미에 대해서 정리한다 그리고 이것의 원리를 자연.

스럽게 확장하여 다변수함수를 미분하는 방법을 도출한다.

1 편도함수

(1) 차편도함수1

변수함수2 에서 변수가 특정한 값에 고정되어 변하지 않는다고 가정하면

164

기초 경영경제수학

(변수를 상수로 가정하면 변수함수는 실질적으로 독립변수가 하나인 변수함수가) 2 1

된다 이 함수를. 로 미분하면 도함수가 구해지는데 이것을 의 편도함수(partial

deriva 라 한다 마찬가지로tive) . 변수가 특정한 값에 고정되어 변하지 않는다고 가정

하면 의 편도함수를 구할 수 있다 이와 같은 편도함수는 다음과 같이 정의된다. .

함수 가 모든 점에서 미분 가능할 때 와 에 대한 각각의 편도함수는 다

음과 같이 정의된다.

lim→

lim→

<정의 7.1>은 제 장에서 언급된 도함수의6 <정의 6.5>처럼 한 변수의 평균변화율

을 나타내는 차원에서 실질적으로 동일한 의미를 갖는다 다만 이와 같은 편도함수를.

나타내기 위해 등의 기호로 다르게 표시할 뿐이다.

어떤 특정한 점 에서 의 편미분계수는 ∣ 또는 로, 의 편미

분계수는 ∣ 또는 로 표시한다 점. 에서 편미분계수 는

로 고정되어 있는 상태에서 에서 단위 변화에 대한 의 변화율을 나타낸

다 다변수함수의 경우에도 관심대상의 변수 외의 모든 변수는 상수 취급하므로 실질.

적으로 변수함수가 된다 그러므로 앞 장에서 배운 미분법을 그대로 적용할 수 있다1 . .

이와 같이 편도함수를 구하는 것을 ‘편미분한다’라고 한다.22)

이제 함수 의 와 의 편도함수를 구해 보자. 의 편도함수는

를 상수로 하고 에 대해서만 미분을 하므로 가 구해진다 마찬.

22) 여기서 부호 는 편미분을 나타내고 ‘라운드’라고 읽는다.

정의 7.1

165

제 장7 다변수함수의 미분

가지로 편도함수는 를 상수로 하고 에 대해서만 미분하므로

이 구해진다 점 에서. (1, 2) 의 편미분계수를 구하면 ⋅⋅ 이

고 의 편미분계수는 ⋅⋅ 가 된다.

예제 1 에서 , 를 구하고 점 에서 각 변수의 편

미분계수를 구하라.

| 풀이 | 라고 놓으면 가 된다 연쇄법칙에 의해서.

⋅

⋅

⋅

⋅

가 성립한다.

의 편미분계수

이고 의 편미분계수

이 된다.

이제 편도함수 의 기하학적인 의미를 살펴보자 변수함수. 2 의 그

래프는 차원 공간에 그려진다 그림 에서처럼 함수3 . [ 7.1] 가 ‘둥근 산’처럼

생겼다고 하자.

그림 7.1 의 그래프

는 기하학적으로 평면에 평행하고 선을 지나는 평면이다 이 평면으로.

의 곡면을 절단하면 그림 과 같은 단면이 나타난다 이것을[ 7.1] . 평면에

166

기초 경영경제수학

다시 그리면 그림 와 같은 단면이 나타난다 이때 단면에 나타나는 함수는[ 7.2] .

임을 알 수 있다.

그림 7.2 의 편미분계수:

는 그림 에서 보듯이 함수[ 7.2] 의 에서 그은 접선의 기울기

와 일치한다 즉. , 방향으로 전혀 움직이지 않고 점에서 축 방향으로 단위 변화

할 때 의 변화율을 나타낸다 마찬가지로. 의 편도함수 에도 적용된다 즉. ,

평면으로 공간을 자르고 나타난 함수 의 에서 그은

접선의 기울기가 된다.

에서 각 변수의 편도함수를 구하는 방법을 변수 이상의 다변수함수로3

확대 적용할 수 있다 다변수함수. ⋯ 에서 를 제외한 모든 변수가

고정되었다고 하면(를 제외한 모든 변수가 상수라 하면) 의 편도함수는 다음과 같

이 나타낸다.

⋯ ⋯

예제 2 함수 의 차편도함수를 구하라1 .

| 풀이 | 의 차편도함수는1 를 상수로 하고 에 대해서만 미분하면 로

구해진다 마찬가지 방법으로. 의 차편도함수는1 이며 의 차편도1

함수는 가 된다.

167

제 장7 다변수함수의 미분

(2) 차편도함수2

함수 의 차편도함수1 , 도 앞 절에서 살펴보았듯이 의

함수 형태를 띤다 그러므로 차편도함수가 미분 가능하면 편도함수 정의에 의해서. 1 1

차편도함수를 가지고 차편도함수를 구할 수 있다 차편도함수는 차편도함수2 . 2 1

를 각각 에 대해 편미분한 것인데 <정의 7.2>와 같다.

차편도함수2

여기서 영의 정리(Young’ 에 의해서theorem) 가 성립한다 영의 정리의 의.

미는 가 단위 변화할 때 임의의 한 점1 의 차편미분계수의 변화율이1 가 단위1

변화할 때 임의의 한 점 의 차편미분계수의 변화율과 일치한다는 것이다 이것을1 .

기하학적으로 설명하면 가 변화할 때 평면에서 점의 기울기 변화율이 가 변화

할 때 평면에서 점의 기울기 변화율과 일치한다는 것이다.

차편도함수도2 의 함수로 나타나는데 미분 가능하다면 차편도함수를 가지고2 3

차편도함수를 구할 수 있다 이런 방법으로 계속해서 확대하면. 차편도함수를 구할

수 있다 이때. 차편도함수의 개수는 이 된다.

예제 3 함수 의 차편도함수를 구하라2 .

| 풀이 | 에 대해 편미분하면 차편도함수는1

이다 이것을.

바탕으로 에 대한 편도함수를 구하면 다음과 같은 차편도함수를 얻을 수2

있다.

정의 7.2

168

기초 경영경제수학

연습문제 7-1

1. 다음 함수들에서 각 변수에 대해 차편도함수를 구하라1 .

(1)

(2)

(3)

(4) ⋅

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

2. 일 때 점, 에서 의 값을 구하고 그 결과가 의

미하는 것을 설명하라.

3. 다음 함수의 차편도함수를 구하라2 .

(1)

(2)

(3)

169

제 장7 다변수함수의 미분

(4)

(5)

(6)

2 전미분

앞 절에서 설명한 것처럼 함수 의 차편도함수1 는 가 고정되어 있는 상

태에서 단위 변화에 대한 의 변화율을 나타낸 것이다 또한. 도 가 고정되어 있는

상태에서 단위 변화에 대한 의 변화율을 나타낸 것이다 이제 두 독립변수. 가

동시에 변화할 때 의 총변화량은 어떻게 될까 전미분의 개념은 여기에서 출발한다? .

(1) 전미분의 개념

지금까지 배운 도함수는 독립변수가 여러 개 있는 것처럼 보이지만 하나를 제외한 나

머지 독립변수를 상수 취급함으로써 실질적으로는 독립변수가 하나인, 의 단위 변화

에 따른 종속변수 의 변화율을 나타내는 개념으로 미분을 이해하였다 예컨대 두 사.

람이 조깅 을 하는데(jogging) 는 분 동안 를 달리고10 10km , 는 초 동안30 0.75km

를 달린다고 하자 단위시간을 분으로 하면. 1 는 분 동안1 1km 를, 는

분 동안1 1.5km 속도로 달린 것이다.23) 즉, 시간의 단위 변화(의 단위

변화 에 따른 각 개인의 위치 변화 각 개인의 속도 개념으로 도함수를 이해한 것이다) , .

앞에서처럼 거리와 시간을 알면 속도를 계산할 수 있듯이 이제 각 개인의 속도와,

달린 시간을 알면 그 시간 동안 각 개인의 조깅거리를 구할 수 있다. 가 분 동안2

23) 여기서 는 시간, 는 각각 와 가 간 거리, , 는 속도를 나타낸다.

170

기초 경영경제수학

달리고 가 분 동안 달렸다면3 가 달린 거리는 × 이고km 가 달린 거리는

× 가 된다 이것을 일반화하면 일정 시간 동안km . ( ) 가 달린 거리 변화

는 가 되고 일정 시간 동안, () 가 달린 거리 변화는 가

된다 이 때. 두 사람이 달린 총거리 변화는

로 나타낼 수 있다.

이와 같은 내용을 함수 의 그래프를 이용하여 설명해보자 함수.

가 다음 그림 과 같다고 하자 앞의 예와 연결시켜[ 7.3] . 는 시간, 는 거리로 생각하면

이해하기가 더 쉬울 것이다.

그림 7.3 함수와 전미분

시간이 만큼 변화할 때 위치는 점에서 점으로 이동하였다 이때 속도는 사선.

의 기울기 즉,

가 된다 그러면 거리 변화. 는 속도

에 시간의 변화량

를 곱한 것과 같다.

(7-1)

이제 가 에 가까울 정도로 미세하게 변화한다면0 <식 7-1>은 다음과 같이 된다.

′ (7-2)

여기서 를 의 미분이라 한다. <식 7-2>를 변형하면 <식 7-3>을 구할

171

제 장7 다변수함수의 미분

수 있다.

′ (7-3)

앞의 예를 통해 이 식의 의미를 보면 단위시간당 거리 변화율 속도 은 일정 시간 동( )

안 변화된 총거리를 시간으로 나눈 값과 같다 즉. , 한 묶음으로서의 도함수 는

다시 개의 미분2 의 비율로 나타낼 수 있다 이처럼 도함수를 이용하여. 의 무

한소 변화에 대한 의 변화량을 구하는 것을 ‘전미분한다’라고 한다 이것은 그림. [ 7.3]

을 통해서 설명하면 임의의 한 점 근방에서 가 아주 미세하게 변했을 때 의 변화

량이 ′가 된다는 것을 의미한다.

예제 4 함수 를 전미분하라.

| 풀이 | ′ 이므로 ′

가 된다.

이제 변수함수인 경우 전미분을 생각해 보자 앞의 예로 돌아가서 개인별로 일정2 .

시간 동안 달렸을 때 두 사람이 달린 총거리 변화는 가 간 거리와 가 간 거리

의 합으로 나타난다는 것을 이미 배웠다.

(7-4)

결국 총거리 변화는 의 속도 와 가 달린 시간 의 곱과 의 속도 와

가 달린 시간 의 곱을 합해서 구해진다 여기서 총거리 변화는 바로 변수함수. 2

에서의 전미분을 의미한다 그런데. 의 속도 는 가 간 거리와 관계없이 의 단

위시간당 거리로, 의 속도 도 가 간 거리와 관계없이 의 단위시간당 거리로

구해지므로 각 개인의 속도는 편미분의 의미를 갖는다.

<식 7-4>를 일반화시켜 변수함수2 를 전미분하면 다음과 같은 식으로

나타낼 수 있다.

172

기초 경영경제수학

(7-5)

즉, 의 총변화량은 변수에 의한 의 총변화량과 변수에 의한 의 총변화량의

합으로 표시된다 이때. 변수에 의한 의 총변화량은 의 단위 변화에 대한 변화율

에 의 변화량을 곱한 값으로 구해진다. 의 총변화량도 마찬가지로 의 단위

변화에 대한 변화율 에 의 변화량을 곱한 값으로 구해진다.

함수가 변수함수라면1 <식 7-5>는 로 되므로 가 성립되어 전

미분과 편미분이 일치하게 된다 그러므로 변수함수에서는 전미분과 편미분을 구분. 1

할 필요가 없다.

이제 이러한 전미분 개념을 다변수함수 ⋯ 으로 확장하면 다음

과 같다.

⋯

⋯

(7-6)

각 변수의 편미분에 변수의 변화량을 곱한 값의 합으로 표시된다.

예제 5 를 전미분하라.

| 풀이 | 각 변수의 차편도함수는 각각1

이므로 전미분을 하면

가 된다.

(2) 전도함수

지금까지 변수함수2 를 중심으로 살펴보았다 그런데 독립변수. 가 다

른 변수의 함수 형태를 띠게 되면 변수 는 독립성을 잃게 된다 변수함수에서. 2

가 독립성을 잃게 되는 두 가지 예를 들어 설명하자.

173

제 장7 다변수함수의 미분

1) 인 경우

두 독립변수 사이에 함수관계가 형성되어 있는 경우이다. 변수는 더 이상 독립변수

역할을 하지 못하고 변수의 종속변수가 된다 이때 변수함수는. 2 로 변

화된다 그러면. 함수는 외형적으로는 변수함수 형태를 띠지만 실질적으로는 변수2 1

함수가 된다 이렇게 되면. 에 대한 변수함수의 도함수를 구할 수 있다1 .

변수의 변화는 개의 루트를 통해2 에 영향을 미친다 첫째. , 가 직접적으로 에

영향을 미치는 것이고 둘째, , 를 통해 에 간접적으로 영향을 미치는 것이다.

이제 에 대한 의 도함수를 구해 보자. 와 변수 사이에 함수관계가

있으면 도함수

를 구하기 위해서 를 원래 함수 에 대입하여

형태로 바꾸어 변수함수로 만든 다음 도함수를 구해야 할 것이다 그1 .

러나 이런 경우 함수로 하는 것이 어려울 뿐만 아니라 계산이 아주 복

잡하게 된다 따라서 앞서 배운 전미분을 활용하면 용이하게. 에 대한 의 도함수를

구할 수 있게 된다 이렇게 전미분을 이용하여 구한 도함수를. 전도함수라고 한다.

먼저 함수 를 전미분하면 가 된다 이 함수는. 에 대한

변수함수이므로 도함수를 구하기 위해 미분1 를 양변으로 나누면 에 대한 도함수

가 된다 그런데 함수. 에서

′를 구할 수 있으므로

도함수 ′가 된다. 의 단위 변화에 따른 의 변화율

는 의 단

위 변화가 직접적으로 에 영향을 미치는 부분 과 의 변화를 통해서 에 간접적

으로 영향을 미치는 부분′의 합임을 알 수 있다 이것을 그림으로 그리면 그. [

림 와 같이 나타날 수 있다7.4] .

그림 7.4 변화가 에 미치는 영향

′