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Estadistica Trabajo

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25

8Se lanza un dado al aire Cul es la probabilidad de que salga el nmero 4? Si sabemos que el resultado ha sido un nmero par, se ha modificado esta probabilidad?

y entonces

9En una universidad el 50% de los alumnos habla ingls, el 20% francs y el 5% los dos idiomas Cul es la probabilidad de encontrar alumnos que hablen alguna lengua extranjera? Solucin: Sea A el suceso hablar ingls: . Sea B el suceso hablar francs: . El suceso hablar francs e ingls es : . As:

10Se tienen dos urnas, y cada una de ellas contiene un nmero diferente de bolas blancas y rojas: Primera urna, U1: 3 bolas blancas y 2 rojas; Segunda urna, U2: 4 bolas blancas y 2 rojas. Se realiza el siguiente experimento aleatorio: Se tira una moneda al aire y si sale cara se elige una bola de la primera urna, y si sale cruz de la segunda. Cul es la probabilidad de que salga una bola blanca? Solucin: La situacin que tenemos puede ser esquematizada como

U1

U2

Como U1 y U2 forman un sistema incompatible y excluyente de sucesos (la bola resultado debe provenir de una de esas dos urnas y de una slo de ellas), el teorema de la probabilidad total nos permite afirmar entonces que

11Se tienen tres urnas. Cada una de ellas contiene un nmero diferente de bolas blancas y rojas: Primera urna, U1: 3 bolas blancas y 2 rojas; Segunda urna, U2: 4 bolas blancas y 2 rojas; Tercera urna, U3: 3 bolas rojas. Se realiza el siguiente experimento aleatorio: Alguien elije al azar y con la misma probabilidad una de las tres urnas, y saca una bola. Si el resultado del experimento es que ha salido una bola blanca, cul es la probabilidad de que provenga de la primera urna? Calcular lo mismo para las otras dos urnas. Solucin: Vamos a representar en un esquema los datos de que disponemos:

U1

U2

U3

En este caso U1, U2 y U3 forman un sistema incompatible y excluyente de sucesos (la bola resultado debe provenir de una de esas tres urnas y de una slo de ellas), por tanto es posible aplicar el teorema de Bayes:

Con respecto a las dems urnas hacemos lo mismo:

18Con el objeto de diagnosticar la colelietasis se usan los ultrasonidos. Tal tcnica tiene una sensibilidad del 91% y una especificidad del 98%. En la poblacin que nos ocupa, la probabilidad de colelietasis es de 0,2. 1. Si a un individuo de tal poblacin se le aplican los ultrasonidos y dan positivos, cul es la probabilidad de que sufra la colelietasis? 2. Si el resultado fuese negativo, cul sera la probabilidad de que no tenga la enfermedad? Solucin: Vamos a utilizar la siguiente notacin: Padecer la enfermedad (colelietasis); No padecer la enfermedad; El resultado del test es positivo; El resultado del test es negativo; Los datos de que disponemos son las probabilidades condicionadas

y la incidencia de la enfermedad en la poblacin

En el primer apartado se pide calcular el ``ndice Predictivo de Verdaderos Positivos'', , que por el teorema de Bayes es:

En el segundo apartado, se ha de calcular el ``ndice Predictivo de Verdaderos Negativos'', ,

Este problema puede ser resuelto de otro modo, utilizando tablas bidimensionales e identificando las probabilidades con las frecuencias relativas de la siguiente tabla E

T+

T-

1

de modo que se puede calcular como la probabilidad condicionada de E sobre la primera fila (T+):

13El 60% de los individuos de una poblacin estn vacunados contra una cierta enfermedad. Durante una epidemia se sabe que el 20% la ha contraido y que 2 de cada 100 individuos estan vacunados y son enfermos. Calcular el porcentaje de vacunados que enferma y el de vacunados entre los que estan enfermos.Solucin:

Cada 100 personas ...........................60 estn vacunadas ==> 60 %

Cada 100 personas............................20 estn enfermas ==> 20 %

Cada 100 personas ..........................2 estn vacunadas y enfermas ==> 2 %

Por lo tanto calculamos:

El porcentaje de vacunadas que enferman:

en 60 personas vacunadas .............. 100 % de la poblacin vacunadahay 2 personas vac y enf .............. X % = (2 * 100 ) / 60 = 3.33 %

El porcentaje de vacunadas entre las que estn enfermas:

cada 20 personas enf........................... 100 % de la poblacin de enfermashay 2 vac y enf ............................ X % = (2 * 100) / 20 = 10.00 %15Dos tratamientos A y B curan una determinada enfermedad en el 20% y 30% de los casos respectivamente. Suponiendo que ambos actan de modo independiente Cul de las dos siguientes estrategias utilizara usted para curar a un sujeto con tal enfermedad?a) Aplicar ambos tratamientos a la vez.b) Aplicar primero el tratamiento B y, si no hace efecto, aplicar el A.a)P(AB)=0.2*0.3=0.06 (por independencia)P(A U B)=0.2+0.3-0.06=0.44

b)P(B)=0.3P(A)=0.2

P(C)=P(B)+P(A)*P(No B)P(No B)=1-0.3=0.7P(C)=0.3+0.2*0.7=0.3+0.14=0.44

16Se eligen al azar 3 deportistas de un equipo de 10 integrantes para realizar un control antidopaje; Se sabe que 2 de los jugadores del equipo han tomado sustancias prohibidas. Cul es la probabilidad de elegir para el anlisis a alguno de los infractores?a ver, la probabilidad de que haya algn infractor entre los tres elegidos es uno menos la probabilidad de que no haya ningunoA - al menos un infractor entre los tres elegidos

P(A) = 1 - P(A')

la probabilidad de que no haya ningn infractor es: casos favorables / casos posiblesson combinaciones, ya que el orden en que son elegidos no importa, y no se pueden repetir

P(A') = C(8, 3) / C(10, 3) = (8! / 5! 3!) / (10! / 7! 3!) = 8! 7! 3! / 10! 5! 3! = 7 6 / 10 9 = 7 / 15P(A) = 1 - P(A') = 1 - 7/15 = 8/15 = 0,533333333 = 53,33%

es decir, ms de la mitad de probabilidad de seleccionar al menos un infractor17Estamos interesados en saber cul de dos anlisis A y B es mejor para el diagnstico de una determinada enfermedad, de la cual sabemos que la presentan un 10% de individuos de la poblacin. El porcentaje de resultados falsos positivos del anlisis A es del 15% y el de B es del 22%. El porcentaje de falsos negativos de A es del 7% y de B es del 3%. Cul es la probabilidad de acertar en el diagnstico con cada mtodo?MTODO A

Este mtodo tiene 15% de falsos positivos. Los falsos positivos son personas que no tienen la enfermedad pero en el anlisis arrojan resultado positivo. Por lo tanto este mtodo fallar un 15% de las veces en ese 90% de la poblacin que no tiene la enfermedad:Fp = 0,90 * 0,15 = 0,135

Por otro lado, este mtodo tiene 7% de falsos negativos. Los falsos negativos son personas que tienen la enfermedad pero en el anlisis aparecen como sanas. Este mtodo fallar en un 7% de las veces en el 10% de la poblacin que tiene la enfermedad:Fn = 0,10 * 0,07 = 0,007

La probabilidad de errar el diagnstico por este mtodo es:F = Fp + Fn = 0,135 + 0,007 = 0,142

La probabilidad de acertar el diagnstico ser:A = 1 F = 1 0,142 = 0,858

MTODO B

Este mtodo tiene 22% de falsos positivos. Por lo tanto este mtodo fallar un 22% de las veces en el 90% de la poblacin que no tiene la enfermedad:Fp = 0,90 * 0,22 = 0,198

Por otro lado, este mtodo tiene 3% de falsos negativos. Este mtodo fallar en un 3% de las veces en el 10% de la poblacin que tiene la enfermedad:Fn = 0,10 * 0,03 = 0,003

La probabilidad de errar el diagnstico por este mtodo es:F = Fp + Fn = 0,198 + 0,003 = 0,201

La probabilidad de acertar el diagnstico ser:A = 1 F = 1 0,201 = 0,799

22Una enfermedad puede estar producida por tres virus A, B, y C. En el laboratorio hay 3 tubos de ensayo con el virus A, 2 tubos con el virus B y 5 tubos con el virus C. La probabilidad de que el virus A produzca la enfermedad es de 1/3, que la produzca B es de 2/3 y que la produzca el virus C es de 1/7. Se inocula un virus a un animal y contrae la enfermedad. Cul es la probabilidad de que el virus que se inocule sea el C?Solucin.Las probabildades de cada tubo son

P(A) = 3/10 = 0.3P(B) = 2/10 = 0.2P(C) = 5/10 = 0.5

La probabilidades de porducirse la enfermedad (E) por cada virus es

P(E|A) = 1/3P(E|B)= 2/3P(E|C) = 1/7

Debemos calcular la probabilidad de que el animal que ha contaido la enfermedad haya sido por el virus C

P(C|E)

La calculamos por el teorema de Bayes:

P(C|E) = P(E|C)*P(C) / { P(E|A)*P(A) + P(E|B)*P(B) + P(E|C)*P(C) }

P(C|E) = 1/7*0.5 / { 1/3*0.3 + 2/3*0.2 +1/7*0.5 }

P(C|E) = 15/64 = 0.23437523El 70% de los estudiantes aprueba una asignatura A y un 60% aprueba otra asignatura B. Sabemos, adems, que un 35% del total aprueba ambas. Elegido un estudiante al azar, calcular las probabilidades de las siguientes situaciones:

1.Haya aprobado la asignatura B, sabiendo que ha aprobado la A.

2.Haya aprobado la asignatura B, sabiendo que no no ha aprobado la A.

3.No haya aprobado la asignatura B, sabiendo que ha aprobado la A.

4.No haya aprobado la asignatura B, sabiendo que no ha aprobado la ASolucin:P(A) = 0.70P(B) = 0.60

P(AB) = 0.35

1)

P(B|A)= P(AB)/P(A) = 0.35 / 0.70 = 0.50

2)

P(B|A') = P(A'|B)*P(B) / P(A')

P(A'|B) = 1-P(A|B) = 1-P(AB)/P(B) 1-0.35/0.60 = 5/12

P(A') = 1-P(A) = 1-0.70 = 0.30

Por lo que

P(B|A') = P(A'|B)*P(B) / P(A')

P(B|A') = 5/12*0.60/0.30 = 5/6 = 0.8333

3)

P(B'|A) = 1-P(B|A) = 1 - 0.50 = 0.50 (ver punto 1)

4)

P(B'|A') = 1 - P(B|A') = 1-5/6 = 1/6 = 0.1667 (ver punto 2)6Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer yver la televisin. Los resultados son:- A 32 personas les gusta leer y ver la tele.- A 92 personas les gusta leer.- A 47 personas les gusta ver la tele.Si elegimos al azar una de esas personas:a Cul es la probabilidad de que no le guste v