Malmö högskola

Lärarutbildningen

Natur, miljö, samhälle

Examensarbete

15 högskolepoäng

Elevers uppfattningar kring bråk

Students´ perception of fractions

Ulrika Holgersson

Lärarexamen och fritidspedagog 210hp

Matematik och lärande

2010-06-04

Examinator: Eva Riesbeck

Handledare: Per-Eskil Persson

2

3

Sammanfattning

Detta arbete ger en uppfattning om vad elever i skolår 6 har för attityder kring området bråk

och sin bråkinlärning. Insamling av material skedde med undersökningsmetoden enkäter. Med

metoden ”Grounded Theory” har jag sammanställt och kategoriserat mina resultat. Det

innebär att man låter elevernas svar på enkäterna ”tala” till sig. Bland de slutsatser som dras i

studien är att många elever finner bråk vara ett tråkigt och svårt område. En mer

vardagsanknuten undervisning bör vidare tillämpas då vissa elever är inte medvetna om varför

de lär sig bråk i skolan. Många kan inte praktisera sina bråkkunskaper i sin vardag och ser

ingen mening med att lära sig det.

Nyckelord

Attityder

Bråk

Bråkuppfattning

Matematik

Rationellt tal

Vardagsmatematik

4

5

Förord

Ett stort och varmt tack till min farmor Berit Holgersson som har stöttat mig, bidragit med

konstruktiv kritik och gett mig vägledning till att åstadkomma mitt bästa. Jag vill även ge min

tacksamhet till Per- Eskil Persson som hjälpt mig och gett mig värdefull handledning under

skapandet av mitt examensarbete.

Tack till alla de pedagoger på skolorna som hjälpte till och samtliga elever som ställde upp

och deltog i min undersökning.

6

7

Innehållsförteckning

1. Inledning................................................................................................................................. 9

2. Syfte ..................................................................................................................................... 10

2.1 Frågeställningar .............................................................................................................. 10

3. Litteraturgenomgång ............................................................................................................ 11

3.1 Begreppsdefinitioner ...................................................................................................... 11

3.1.1 Bråk – ”brutet tal”.................................................................................................... 11

3.1.2 Division – ett av de fyra räknesätten ....................................................................... 11

3.1.3 Grounded Theory..................................................................................................... 12

3.1.4 Rationellt tal............................................................................................................. 12

3.1.5 Vardagsmatematik................................................................................................... 12

3.2 Lpo 94 och kursplanen i matematik ............................................................................... 13

3.3 Bråk i matematikundervisningen.................................................................................... 13

3.3.1 Räkning med tal i decimalform eller bråkform........................................................ 15

3.3.2 Koppling mellan skolmatematik och vardagsmatematik......................................... 15

3.3.3 Elevers eventuella svårigheter med bråk ................................................................ 17

3.3.4 Elevers prestationer i matematik och bråk.............................................................. 20

4. Metod ................................................................................................................................... 21

4.1 Datainsamlingsmetod ..................................................................................................... 21

4.2 Urval ............................................................................................................................... 22

4.3 Genomförande ................................................................................................................ 23

4.4 Databearbetning och tillförlitlighet ................................................................................ 24

4.5 Analysmetod................................................................................................................... 24

5. Resultat................................................................................................................................. 25

5.1 Hur kontrolleras elevernas bråkkunskaper i det nationella provet? ............................... 25

5.1.1 Delen självbedömning: Du och matematiken.......................................................... 25

5.1.2 Uppgift innehållande division på den del eleverna fick använda miniräknare ....... 25

5.1.3 Uppgift innehållande division på den del eleverna inte fick använda miniräknare 26

8

5.2 Sammanställning enkäter................................................................................................ 27

5.2.1 Vilka uppfattningar utrycker elever att de har om bråk?........................................ 27

5.2.2 Vilka svårigheter med bråk definierar eleverna? .................................................... 29

5.2.3 Varför anser eleverna att man lär sig bråk i skolan? ............................................... 30

5.2.4 Vilka kopplingar mellan vardagserfarenheter och bråk i skolan gör eleverna? ...... 31

5.3 Sammanfattning.............................................................................................................. 32

6. Diskussion ............................................................................................................................ 33

6.1 Reflektion över undersökningen..................................................................................... 33

6.2 Reflektion över de Nationella proven............................................................................. 34

6.3 Reflektion över enkäterna............................................................................................... 36

6.3.1 Vilka uppfattningar uttrycker elever att de har om bråk?....................................... 36

6.3.2 Vilka svårigheter med bråk definierar eleverna? .................................................... 38

6.3.3 Varför anser eleverna att man lär sig bråk i skolan? ............................................... 38

6.3.4 Vilka kopplingar mellan vardagserfarenheter och bråk i skolan gör eleverna? ...... 39

6.4 Mina egna slutsatser ....................................................................................................... 40

6.5 Förslag till fortsatt forskning .......................................................................................... 42

7. Referenser............................................................................................................................. 43

8. Bilagor .................................................................................................................................. 45

Bilaga 1 (Brev till föräldrar) ................................................................................................. 45

Bilaga 2 (Enkät).................................................................................................................... 47

Bilaga 3 (Remsor)................................................................................................................. 53

Bilaga 4 (Sökvägar) .............................................................................................................. 55

9

1. Inledning

Det område inom matematiken som behandlar bråk tyckte jag själv alltid var både svårt och

tråkigt i skolan. Bråk ansåg jag var ett komplicerat område som innehöll svårigheter med att

tillämpa de olika räknesätten, framförallt division. Detta bidrog till minskat intresse och

engagemang. Under kursen Tvärmatematiskt projekt (alfa 5) fick vi lärarstudenter i uppgift att

ta oss ut på gymnasieskolor i Malmö eller på annan ort. Där skulle vi ta kontakt med

gymnasielärare i matematik och fråga vad de ansåg att eleverna saknade mest grundkunskaper

i och hade svårast för i matematik när de kom från grundskolan. Majoriteten av

gymnasielärarna gav förslag på bråkuppgifter.

Min första vecka i termin sju under den verksamhetsförlagda tiden, funderade jag över en elev

som jag uppfattade som duktig i matematik. I en dialog med eleven frågade jag om hon tyckte

matematik var roligt. Svaret blev: ”Ja! Men inte bråk”. Under ytterligare diskussion på en

lektion där jag frågade om syftet med bråk, berättade eleven att det kan vara bra att kunna när

man lagar mat och bakar. Ibland är recepten inte gjorda för rätt antal personer och då tyckte

eleven att det var bra att kunna bråk. Ett annat förslag var att när man får något godis eller en

kaka och ska dela den med sina syskon eller kompisar, då var man tvungen att veta hur stor

del varje person skulle få. Eleven har förstått hur bråk används i sin vardag, men jag tror inte

alla elever är medvetna om detta i samband med sin bråkinlärning.

Om läraren kan få eleverna till att se en koppling mellan matematiken och vardagen, då tror

jag att det kan resultera i att man bygger upp positiva uppfattningar och attityder till

matematik hos eleverna. Ett mål för eleverna att uppnå i grundskolan är att de ska behärska

grundläggande matematiskt tänkande men även att de ska kunna tillämpa det i vardagslivet

(Skolverket, 1994, s. 10). Enligt Emanuelsson, Johansson & Ryding (1991a) råder idag

enighet om att matematikundervisningen bör ta sin utgångspunkt i elevernas

vardagserfarenheter. Pedagoger ska försöka att knyta matematiken till sådant som eleverna

redan kan och vet, och till situationer som känns välbekanta för dem.

10

2. Syfte

Syftet med mitt examensarbete är att få fram resultat som jag hoppas ska bidra till att hjälpa

andra matematiklärare i både grundskolan och gymnasiet till att få en bättre inblick i varför

många elever kanske har en bestämd uppfattning om bråk. Genom att se på de nationella

proven som genomfördes vårterminen 2009, vill jag belysa hur elevernas bråkkunskaper

kontrolleras. Arbetet ska undersöka och försöka få svar på om negativa attityder till bråk kan

ha sin utgångspunkt i att elever tycker det är svårt och inte känner att de förstår detta område.

Studien ska även ge en bättre inblick i om eleverna är medvetna om vad bråkundervisning i

skolan har för syfte för dem att lära sig och om eleverna vet när de tillämpar bråk i vardagen.

2.1 Frågeställningar

1. Hur kontrolleras elevernas bråkkunskaper i det nationella provet?

2. Vilka uppfattningar uttrycker elever att de har om bråk?

3. Vilka svårigheter med bråk definierar eleverna?

4. Varför anser eleverna att man lär sig bråk i skolan?

5. Vilka kopplingar mellan vardagserfarenheter och bråk i skolan gör eleverna?

11

3. Litteraturgenomgång

I min litteraturgenomgång tar jag upp definitioner på olika begrepp som till exempel bråk,

rationellt tal och vardagsmatematik som är centrala begrepp i mitt arbete. Jag ger även för

mitt arbete relevanta förslag på vad som står i läroplanen och kursplanen i matematik.

Eftersom jag har genomfört min undersökning bland elever i skolår 6, så ska de ha uppnått

målen för femte skolåret. Deras nya mål att uppnå blir de som gäller för skolår 9, vilka jag har

gett förslag på. Jag behandlar sedan fyra områden som är om eleverna borde tillämpa räkning

med tal i decimalform eller bråkform, vilken koppling görs mellan skolmatematik och

vardagsmatematik, vilka svårigheter med bråk kan elever eventuellt förfoga över och elevers

prestationer i bråk och matematik.

3.1 Begreppsdefinitioner

Nedan följer definitioner på ord som är viktiga att ha förståelse för då något av orden följer

med hela arbetet.

3.1.1 Bråk – ”brutet tal”

Nationalencyklopedin (2009) förklarar det som ett matematiskt uttryck av formen b

a, där a

kallas täljaren, b nämnaren och strecket bråkstreck. Nämnaren får aldrig vara noll för då blir

det ett naturligt tal. En division med de naturliga talen kan utföras i den mån täljaren är jämnt

delbar med nämnaren. Genom att man inför bråk utvidgas räkneområdet till de rationella

talen, där de fyra enkla räknesätten alltid kan utföras (utom division med noll).

Kilborn (1999) ger en förklaring på vilka former bråk kan visa sig i och utanför skolan. Dessa

kallar han ”bråkets olika ansikten” och formerna är som tal, del av en hel, del av ett antal,

proportion eller andel och som förhållande.

3.1.2 Division – ett av de fyra räknesätten

Division är det räknesätt där man dividerar ett tal som kallas täljare med ett tal som kallas

nämnare och får en kvot som resultat. I en division 3

15 är talet 15 täljare, talet 3 nämnare och

kvoten blir 5. Uttrycket 3

15är också ett bråk. (Nationalencyklopedin, 2009)

12

3.1.3 Grounded Theory

På svenska är översättningen grundad teori. Nationalencyklopedin (2010) beskriver grundad

teori som en vetenskaplig metod för att framställa nya teorier inom samhälls-, beteende- och

hälsovetenskaperna. De ger även följande klargörande att en undersökning gjord med denna

metod skiljer sig från traditionella induktiva och hypotesprövande undersökningar genom att

datainsamling och dataanalys sker samtidigt och påverkar varandra. Inledningsvis är

datainsamlandet öppet och inte påverkat av förutfattade föreställningar och teorier, men efter

hand som materialet analyseras växer teoretiska idéer fram och påverkar fortsatt urval och

insamlande av data. Urval och datainsamlande blir på detta sätt styrt av idéer som skapats ur

och är grundade i datamaterialet. Genom att datamaterial hela tiden jämförs kommer de

teoretiska idéerna att bli klarare samtidigt som forskaren kommer att utveckla en teoretisk

känslighet för materialet. Efter hand blir kärnproblemet mer synligt, dvs. det centrala problem

individerna man undersöker står inför. Den teori undersökningen resulterar i är främst en

beskrivning av den utveckling individerna går igenom när kärnproblemet hanteras.

3.1.4 Rationellt tal

Rationellt tal är tal som kan skrivas som kvoten mellan två heltal, q

p, där q inte får vara lika

med noll. (Nationalencyklopedin, 2009)

3.1.5 Vardagsmatematik

I ordet ”vardagsmatematik” så känner man igen båda orden som sammansättningen består av.

Det första ordet ”vardag” beskrivs enligt Nationalencyklopedin (2010) som alla dagar i

veckan förutom söndag eller helgdag, alltså arbetsdagar där det som sker eller förekommer

inte förefaller vara särskilt anmärkningsvärt högtidligt eller dylikt. Då kan man tänka sig att

den matematik som elever använder sig av under en sådan vardag, enligt ovanstående

definition, även kan benämnas som vardagsmatematik. De situationer som framkommer i

vardagen skiljer sig dock för olika personer.

Med vardagsmatematik i min undersökning syftar jag till den matematik eleverna möter

utanför undervisningen. Det kan vara på rasterna eller i deras vardagliga liv utan för skoltid

som till exempel om de ska baka hemma och receptet ska ändras om för att passa rätt antal

personer. Alla elever relaterar till och uppfattar vardagsmatematik på olika sätt då livet och

13

omvärldens inryck ser olika ut för alla människor. Den vardagsmatematik jag känner till är

inte den samma för eleverna i skolan, eftersom jag har en annan erfarenhet.

3.2 Lpo 94 och kursplanen i matematik

Skolan skall sträva efter att varje elev utvecklar ”nyfikenhet och lust att lära”, samt att

eleverna ”tillägnar sig goda kunskaper inom skolans ämnen och ämnesområden, för att bilda

sig och få beredskap för livet” (Skolverket, 1994, s. 9).

Mål för eleverna att uppnå i grundskolan är att de ”behärskar grundläggande matematiskt

tänkande och kan tillämpa det i vardagslivet” (Skolverket, 1994, s 10).

”Grundskolan har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som

behövs för att fatta välgrundade beslut i vardagslivets många valsituationer,” (Skolverket,

2000, s. 26).

Efter femte skolåret ska ”eleven ha förvärvat sådana grundläggande kunskaper i matematik

som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer och lösa konkreta problem i elevens

närmiljö”. Eleven ska även ha en ”grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal

och enkla tal i bråk- och decimalform” (Skolverket, 2000, s. 29). Efter nionde skolåret ska

eleven ”ha förvärvat sådana kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och

hantera situationer samt lösa problem som vanligen förekommer i hem och samhälle,”

(Skolverket, 2000, s. 30).

Bedömningen gällande elevens förmåga att reflektera över matematikens betydelse för kultur-

och samhällsliv, avser elevens ”insikter i och känsla för matematikens värde och

begränsningar som verktyg och hjälpmedel i andra skolämnen, i vardagsliv och samhällsliv”

(Skolverket, 2000, s. 31).

3.3 Bråk i matematikundervisningen

I det följande refereras bl.a. Arne Engströms avhandling, ”Reflektivt tänkande i matematik –

Om elevers konstruktioner av bråk” (1997). Engström ger exemplifieringar ur Behr (1992);

Bryant (1974); Hasemann (1987a); Padberg (1989); Piaget (1924); Rouche (1994); Sandel

14

(1956); Spinillo & Bryant (1991). Engström har behandlat ett antal områden som har visat sig

vara problematiska vid räkning med bråk.

I matematikundervisningen i skolan är mycket av den matematik eleverna lär sig väldigt

konkret och bråk är enligt Engström (1997) den första mer abstrakta matematik som eleverna

möter. Han anser att eleverna ska vara förtrogna med de naturliga talen innan de börjar arbetet

med de rationella. Det är först under det fjärde skolåret i grundskolan som eleverna

presenteras för tal i bråkform och decimalform. För att kunna räkna med bråk på det sätt

eleverna ska lära sig under grundskolans senare år måste man enligt Engström behärska

framförallt division. Division är det räknesätt som blivit föremål för flest diskussioner och

kanske därför också bedömts som det svåraste (Emanuelsson m.fl., 1991b). Ljung (1990) har

gjort en undersökning som visar på att en femtedel av eleverna uppfattar matematik som ett

svårt och tråkigt ämne. Enligt Ljung är det viktigt för eleverna att de lyckas i matematik och

gör de inte det kan det ge tendenser till aggressivitet och ångest hos eleverna som kan

utvecklas till en motvilja för ämnet.

Behr (1992) konstaterar att hur man ska arbeta med bråk i skolan är omdebatterat inte bara i

Sverige utan även utomlands, eftersom det är ett område eleverna stöter på problem i. Den

internationella forskningen är inte enig kring hur bråk bör arbetas med i skolan, men

överenskommelse ligger i att det finns ett problem med elevers prestationer i bråk. Med denna

förutsättning har Engström (1997) i sin forskning strävat efter att undersöka hur elever lär sig

bråk. Han ville ta reda på vilka problem eleverna stöter på i arbete med bråk. Hans avhandling

behandlar frågor som berör elevers föreställningar om och operationer med bråk. Engström

behandlar även dessas relevans för undervisningen det vill säga hur eleverna försöker skapa

sig en mening i sitt matematiska tänkande. Det som skiljer mitt och Engströms arbete är att

jag inriktat mig mer på elevernas attityder till hela området bråk. Jag sträva efter att låta

eleverna få förklara var deras uppfattningar kommer ifrån. Den största skillnaden mellan mitt

och Engströms arbete är att jag undersöker hur medvetna eleverna är om hur de använder sig

av räkning med bråk utanför skolans undervisning.

15

3.3.1 Räkning med tal i decimalform eller bråkform

Räkning med tal i decimalform istället för bråkform har börjat tillämpas mer. Motiveringen

till detta har legat i att det anses att eleverna möter tal i decimalform mer ofta i sin vardag som

till exempel priser och vikter än tal i bråkform. Det sägs även att det är lättare för eleverna att

räkna med tal i decimalform (Engström, 1997). Det sistnämnda argumentet ifrågasätter

Engström då han refererar till Padbergs (1989) tyska undersökning med 900 elever från 34

klasser. Undersökningen gjordes med elever i skolår 7, där det visade sig att eleverna inte

uppvisade några generellt bättre prestationer med räkning av bråk i decimalform än med

allmänna bråk. Prestationerna låg något högre vid räkning med bråk i decimalform gällande

addition och subtraktion, men med multiplikation och division låg prestationerna mycket

högre i räkning med bråkform. Padberg (1989) påpekar fördelarna med att tillämpa båda

formerna, då han anser att man bör hitta ett samspel i undervisningen, som ger eleverna

möjlighet att uppfatta det som olika sätt att beskriva samma matematiska objekt.

En del lärare försöker undvika problemen med bråkräkning genom att övergå till decimalform

och ser detta som ett exempel på kortsiktig metodik. De är uppenbarligen inte medvetna om

att decimaltalet endast är ett speciellt sätt att skriva bråk på och att reglerna för

decimaltalsräkning enklast bevisas med hjälp av bråk (Löwing & Kilborn, 2002). Man

använde bråkform i Mesopotamien och Egypten redan ett par årtusenden före vår tideräkning.

Inte förrän 1585 utkom en bok med den första systematiska genomgången av räkning med

decimalbråk. Enligt Engström (1997) tillämpades de allmänna bråken som till exempel 2

1

betydligt tidigare än decimalbråken som till exempel 0,5. Logiskt är det lättare att föreställa

sig ett äpple i två delar och du tar en bit, än ett äpple i tio delar och du ska ta fem bitar.

Thompson (1991) hävdar att bråkbegreppet är mer fantasiväckande än decimalbegreppet. En

didaktisk följd av att bråktalen presenterades långt före decimaltalen, är att bråk bör användas

flitigt i grundläggande matematikundervisning enligt Thompson.

3.3.2 Koppling mellan skolmatematik och vardagsmatematik

Att eleverna uppfattar att bråk är något de har lärt sig men glömt har noterats av Engström

(1997) som en faktor som påverkar lärandet. Detta kanske speglar en uppfattning hos elever

om bråk, som någonting de inte behöver komma ihåg.

16

Idag råder en enighet om att matematikundervisningen bör ta sin utgångspunkt i elevernas

vardagserfarenheter. Lärare försöker att knyta matematiken till sådant som eleverna redan

kan, vet och till situationer som är välbekanta för dem. Mycket talar för en sådan nära

koppling mellan elevers vardagserfarenheter och skolmatematik (Emanuelsson m. fl. 1991a).

Kilborn (1999) menar att när eleverna stöter på bråk i sitt vardagliga liv, gör de sig oftast inte

till synes som när de lär sig räkna med det i skolan. Han syftar till att det kan bland annat

innefatta storheter. Ett exempel är: ”Jag kommer om en kvart.” Kilborn menar att man inte

behöver ha uppfattning om vad bråk är för att förstå denna typ av uppgifter.

Wedege (2002a) behandlar i sin rapport “Mathematics – that’s what I can’t do” –

Peoples affective and social relationship with mathematics, vuxna individers förmåga att

uppfatta matematiken i sin vardag. Deras förmåga att upptäcka sambanden mellan den

formella och den informella matematiken, mellan skolmatematiken och vardagsmatematiken.

I rapporten konstaterar Wedege ett tydligt behov av en varierad undervisning och en

vardagsförankrad matematik. Vidare pekar hon på de stora skillnaderna när det gäller

uppfattningar och syn på matematiken hos vuxna beroende på vilken typ av matematik de har

mött det vill säga formell eller informell matematik. Wedege skriver om skillnader mellan

skolmatematik och vardagsmatematik, vilka konsekvenser dessa skillnader kan få för

människors föreställningar om matematik. Hennes forskning visar att en vanlig föreställning

bland vuxna är att vardagsmatematik har lite eller inget gemensamt med skolmatematik.

Vardagsmatematik uppfattas inte till skillnad från skolmatematik som matematik, utan snarare

som sunt förnuft. Enligt Wedege kan vuxnas motvilja eller bristande förmåga att betrakta

vardagsmatematik som matematik, bero på att det finns stora systematiska skillnader mellan

skolmatematik och den matematik som vuxna möter i sina arbeten. Det är rimligt att även den

matematik som elever möter utanför skolan skiljer sig från skolmatematiken och att den

skillnaden påverkar deras föreställningar om sambandet mellan skolmatematik och

vardagsmatematik. Många elever är inte medvetna om att de använder matematik i vardagen.

Elever måste få se sambandet mellan matematiken och vardagen för att förstå hur den

matematik de lärt sig i skolan kan tillämpas i vardagen. Matematik är mer än nyttig kunskap

och behöver göras relevant för eleverna till att passa deras liv så de kan dela denna mening

(Ernest, 2006). Får elever förståelse för sambanden mellan matematik och vardag blir

attityderna till matematik mer positiva enligt Wedege.

17

Enligt Boaler (1993) finnes en komplex relation för varje individ mellan den värld var

matematik är utvecklad och i den värld matematik tillämpas. Som lärare måste

undervisningen utformas på ett sätt så att eleverna finner sambandet mellan dessa två världar

och inte uppfattar dem som skilda fenomen. Enligt Boaler (1993) är användandet av

vardagsmatematikens sammanhang som eleverna ska identifiera sig med, ofta hämtad från

den värld vuxna lever i. Att arbeta fram en kunskap utifrån hushållsräkningar är en bra

verklighetsanknytning med det är inte elevernas verklighet. Wedege (2002b) presenterar i en

av delarna av hennes undersökning där hon har observerat en busschaufför och en kvinna som

arbetar på golvet i en affär med att bland annat fylla på mjölk. Båda fallen illustrerar arbete

med siffror när det gäller till exempel tid och datum. Detta är exempel som passar elevers

vardag. Hur mycket kostar min bussbiljett, hur länge gäller den, vilken tid går den ut, hur

gammal är mjölken?

Freudenthalinstitutets forskare kallar sin syn på hur undervisningen i matematik ska bedrivas

för ”Realistic Mathematics Education”, RME (2010). De teorier som förespråkas av RME har

haft stor betydelse långt utanför Europas gränser. RME framhåller vikten av att matematik ska

vara en meningsfull mänsklig verksamhet och utgå ifrån elevernas individuella matematik.

Elevernas matematikutveckling ska ges genom kontinuerlig matematisering av problem från

verkligheten och fantasin som eleverna kan identifiera sig med (Neuman, 1997).

3.3.3 Elevers eventuella svårigheter med bråk

Freudenthal (1983) anser att räkning med rationella tal är komplicerat och att det kan vara en

möjlig orsak till varför elever stöter på svårigheter när de ska genomföra uppgifter med bråk i

skolmatematiken. På det viset eleverna mött tal förut skiljer sig markant från de rationella

talen och eleverna kan ha svårigheter med att uppfattar de rationella talens mäktighet eller ser

dem helt enkelt inte som tal enligt Engström (1997). Nu representeras olika begreppsliga

tolkningar i en och samma symbol. Bråk sett som en del av en helhet, till exempel 2

1, kan nu

även skrivas som 4

2,

8

4, 0,5 eller 0,50. När det kommer till bråktal så finns det inget minsta

tal som det gör bland de naturliga talen. De kan inte heller på ett enkelt sätt storleksordnas.

18

Enligt Engström kan antas att alla lärare inte är medvetna om och/eller underskattar de

svårigheter eleverna känner när de kommer till att arbeta med de rationella talen.

Skott, Hansen, Jess, & Schou (2010) anser att de rationella talen är ett väldigt starkt redskap

för att beräkna saker och ting både inom och utanför matematiken. De menar på att de

rationella talen ska behandlas med stor omtanke i skolan för det är många saker inom

förståelsen för bråk som ska uppfattas och falla på plats. De ger exempel från Lampert (2001)

där han gav ett matematiskt problem som skulle lösas av elever som är elva år. De anser att

elever får problem i senare åldrar då de endast tar en formel och använder denna utan att

förstå vad uppgiften innebär eller klarar sätta den i ett vardagssammanhang.

Freudenthal (1983) ger oss en liten antydan om de rationella talens komplexitet och

kontextuella sammansatthet. Detta kan vara en grundtanke på de svårigheter eleverna får när

de ska börja sin inlärning av bråk. När eleverna möter tal som till exempel 5 som även kan

skrivas som förslagsvis 2+3 eller 7-2, menar Freudenthal att det man först oftast möter är

uttrycket 5 och befäster detta. När det kommer till de rationella talen anser han till exempel att

det lättaste sättet är att skriva 3

2, men att det finns så oändligt många rationella tal som har

samma innebörd att han inte kan tala om vilket han mötte först. Freudenthal har även gjort en

grundlig genomgång av hur bråk kommer till synes i vardagsspråket. Hans syfte var att visa

på de många olika sätt som vi möter bråk i vardagen. Rouche (1994) har pekat på en del

brister som han anser Freudenthal (1983) gör i samband med vardagsmatematik. Exempel på

vardagsmatematik som man ofta stöter på är att arbeta med rationella tal följt av storheter som

meter, kilo och liter. Rouche (1994) lägger sin kritik i klarheten mellan additiva och

multiplikativa strukturer hos bråk. Han syftar på att i vardagen kan man förstå additiva

strukturer när det handlar om till exempel längd. När det kommer till att multiplicera två

längder menar Rouche att man då inte får längd som resultat. För att då förstå multiplikation

av bråk måste man bortse från det verkliga sammanhanget som i detta fall handlar om längd

och bara utföra räkneoperationen. Även Skott m.fl. (2010) har kommenterat skillnaderna och

svårigheterna med att addera och multiplicera bråktal. De menar att så länge man tänker på

konkreta representationer av bråk som att lägga ihop 2

1 pizza med

2

1pizza framstår det

naturligt för eleverna. Men att multiplicera 2

1 pizza med

2

1 pizza känns meningslöst. De

19

syftar till att många förmodligen lärde sig operationerna för användandet av bråk som regel

utan en meningsstiftande kontext och detta är en följd av att vi inte har tillräckligt med

vardagliga erfarenheter att bygga på. Kilborn (1999) menar att det inte är själva bråket som är

svårt att förstå, utan det är vissa räkneoperationer som är svåra att åskådliggöra för eleverna.

Piaget (1924) anser att elevers föreställningar om bråk är beroende av två grundläggande

förhållanden vilka är del - helhet och del - del. Progressionen av sambandet mellan del och

helhet kan beskrivas som en samordning av olika delfunktioner hos eleverna enligt Engström

(1997). Att få erfarenhet av delning borde därför vara grundläggande att ge eleverna inför

förståelsen för de rationella talen. Yngre barn fokuserar på delarna eller helheten och har svårt

att integrera delarna i helheten enligt Piaget (1924) och detta kan gälla barn ända upp till 9-10

års ålder. Att bevara helheten av till exempel en tårta samtidigt som du ska behandla de olika

delarna är en utmaning för barn. I Sandels (1956) undersökning resulterade det i att små barn

som får en tårta väljer att antingen ge bort hela tårtan eller behålla den själv. Sandel påpekar

att begreppen helhet och del utvecklas genom ett samspel, då barnen slutligen ser delen som

något som ingår i helheten och att helheten består av delar.

Padberg (1989) hänvisar bland annat till förklaringen som uppstår när elever uppfattar 3

1 som

ett större tal än 2

1 för att 3 är ett större tal än 2, på en bristande förståelse där eleven antingen

riktar uppmärksamheten mot antalet delar eller mot delens storlek.

Hunting och Davis (1991) säger att bråket 2

1 har visat sig vara en grundläggande byggsten.

Det är oftast det bråktal eleverna först stöter på och en del använder en 2

1som referenstal när

de ska jämföra olika bråk med varandra. Betydelse av en 2

1 diskuterandes redan av Bryant

(1974), då han menar att innan eleverna uppfattar sambandet mellan del och helhet kan de

göra jämförelser i relationerna del - del. Eleverna använder sig då av relationer som

mindre/större än och lika med, där en 2

1kan vara deras referenstal. Detta har följts upp av

Spinillo och Bryant (1991) i senare forskning. Även Hasemann (1987a) diskuterar att bråk

20

genom upprepad halvering är en av de bråkföreställningar som kan finnas bland elever. Som

exempel att en fjärdedel uppfattas inte som en hel delad i fyra delar utan som hälften av en

halv. Hasemann gjorde en intervju med elever i fjärde klass, där de skulle markera en halv, en

fjärdedel och en tredjedel på en angiven sträcka. Eleverna klarade av att ange en halv och en

fjärdedel men när de skulle visa var en tredjedel var resulterade det i att de antingen visade

först ”en halv och en fjärdedel” eller ”tre fjärdedelar”.

3.3.4 Elevers prestationer i matematik och bråk

Nuvarande utbildningsminister Jan Björklund anser att elever blir allt sämre på matematik.

Enligt Björklund ligger en av förklaringarna i att det brister i lärarutbildningen för låg- och

mellanstadielärarna. En av de största satsningarna som kommer i förslaget till en ny

lärarutbildning kommer enligt Björklund vara med matematikundervisning. Ett halvårs

heltidsstudier kommer att vara lägsta kravet. (Svt, 2009a)

När TIMSS-rapporten (Trends in International Mathematics and Science Study) 2003

presenterades, visade det sig att svenska åttondeklassares kunskaper i matematik sjunkit mer

än i något annat land som deltog i undersökningen. Tidigare har de svenska eleverna klarat sig

ganska bra i jämförelse med de andra länderna men år 2003 låg de under genomsnittet. I

rapporten skriver man fram att matematikundervisningen ofta är för lite konkret och har för

lite anknytning till det praktiska livet. Man anför även att många elevers lust och förståelse för

matematik som eleverna haft i de tidigare skolåren försvinner från och med femte klass. Det

skrivs även i rapporten att när man inte förstår eller ser nytta med att lära något försvinner

också lusten att lära. (Svt, 2009b)

På slutet av 1980-talet gjordes en finländsk undersökning med 3000 elever i skolår 3-6

(Engström, 1997). Där kom man fram till att de svåraste uppgifterna för eleverna var att

representera bråk på en tallinje och framförallt om bråktalet var större än ett. Eleverna hade

även svårt att uppfatta storlek på bråk och att konstruera ett annat namn på ett fastställt bråk.

Magne (1990) menar att undersökningar gjorda för att undersöka elevernas prestationer i bråk

har en väldigt låg lösningsfrekvens. För att man ska kunna dra slutsatsen att eleven behärskar

det aktuella anser Magne att eleven ska befinna sig på en lösningsfrekvens runt 90 %. För tal i

bråkform och rationella tal som helhet ligger lösningsfrekvensen lägre. PRIM-gruppen utförde

21

vårterminen 1989 en nationell utvärdering gällande elevers kunskaper och färdigheter i

matematik i skolår två och fem (Figur 1).

Figur 1. Ett exempel på de bråktal som fanns för skolår fem och resultatet av lösningsfrekvenserna som till synes

är låga (Engström, 1997).

Efter att läst och sett lösningsfrekvenserna i figur 1, arbetar jag vidare med att bland annat

försöka ta reda på elevernas uppfattningar om bråk och var de uppfattar att dessa svårigheter

innefattar.

4. Metod

I denna del redovisas och motiveras mitt val av metod. Angivelser för tid och plats för

undersökningen. Beskrivning av mitt urval av elever enligt vissa kriterier och hur enkäterna

genomfördes.

4.1 Datainsamlingsmetod

Jag valde att genomföra en enkätundersökning (bilaga 2) med elever som går skolår 6 i

grundskolan. Syftet med enkäten är att ta reda på elevernas attityder till bråk och om de kan

ge exempel som visar att de har kunskap om området. Johansson & Svedner (2006) beskriver

intervjuer som att de ger en mer grundlig men smal information och enkäter bidrar till en

bredare men mer ytlig information i en undersökning. Jag har med undersökningsmetoden

enkäter delvis gjort en kvantitativ studie. Genom min analys och kategorisering gör jag

däremot en kvalitativ resultatredovisning. Något som ofta används i sammanhang då man vill

jämföra och generalisera är hög standardisering vilket innebär att jag ställer alla frågor i

samma ordning till alla elever. Detta kännetecknas väl i undersökningar som har enkäter som

metod (Patel & Davidson, 2003). Forskningsresultat ska gärna vara så generella som möjligt,

då man ska kunna generalisera resultaten till de övriga individer som kan betraktas som

jämförbara med individerna som deltagit i undersökningen (Patel & Davidson, 2003). Min

22

undersökning är endast gjord med 62 elever så underlaget är för litet för att kunna dra

generella slutsatser. Jag kan enbart jämföra och generalisera inom ramen av min undersökning

och min studie av elever.

Jag har även studerat de nationella proven i matematik som genomfördes för eleverna på den

första skolan när de gick i skolår 5, vårterminen 2009. Där valde jag ut och koncentrerade mig

på de uppgifter som berörde bråk, rationella tal och division.

4.2 Urval

Anledningen till att jag gjorde enkätundersökningen i skolår 6 var på grund av vad som står

skrivet i läroplanen och kursplanen för matematik. Detta val gjordes utifrån att eleverna då

enligt kursplanen i matematik ska ha uppnått målen för skolår 5. Målen innefattar att eleverna

ska ha grundläggande taluppfattning som omfattar enkla tal i bråkform (Skolverket, 2000).

Dessa mål borde ha gett dem tillräckligt med grundkunskaper för att kunna bilda sig en

uppfattning och inställning till bråk. Skolan jag bestämde mig för att genomföra enkäten i

valdes på så sätt att jag har personlig kontakt med personal på skolan. Den anställda tog

kontakt med den lärare som är ansvarig för matematikundervisningen för samtliga skolår 6

elever så jag fick mailadressen och kunde kontakta läraren själv.

Undersökningen på den första skolan ska genomföras med samtliga frivilliga skolår 6-elever,

som är 52 till antalet. Skolan är belägen i utkanten av en storstad i Skåne. Majoriteten av

skolans elever har invandrarbakgrund. Då jag inte visste hur stort antal elever som skulle välja

att delta i undersökningen tog jag även kontakt med en matematiklärare på en annan skola.

Dit var jag välkommen om det skulle bli ett stort bortfall av elever på första skolan så jag

ansåg att antalet besvarade enkäter blev för få för att ge ett intressant och diskutabelt resultat.

Denna skola ligger lite utanför en storstad i Skåne och har väldigt få elever med

invandrarbakgrund. Antalet elever i denna klass är 28 stycken.

För att det skulle bli en tyst och lugn miljö i klassrummet valde jag att genomföra

enkätundersökningen med hälften av eleverna åt gången. Under det första besöket kom 19

elever. Det blev ett bortfall på 7 elever som berodde på både giltig och ogiltig frånvaro. Vid

mitt andra besök kom 15 elever. Det blev ett bortfall på 11 elever som även det berodde på

både giltig och ogiltig frånvaro. Totalt blev det ett bortfall på 18 elever vilket jag anser är för

23

mycket för att kunna få ett acceptabelt resultat i mitt arbete. Jag ringde då den andra skolan

och genomförde enkäten med 28 elever i skolår 6.

4.3 Genomförande

Jag inledde med att skicka ut ett brev (bilaga 1) till elevernas föräldrar där jag berättade lite

om vem jag är, anledning till det aktuella brevet, hur jag kommer att hantera deras barns

anonymitet och att deras barn fick lov att avstå och dra sig ur undersökningen när som helst.

Föräldrarna fick ge skriftligt godkännande till att deras barn fick delta i undersökningen. När

brevet som skulle följa med hem till föräldrarna lämnades, gavs samtidigt samma grundliga

information till eleverna. Detta gav eleverna lite tid till att tänka över och besluta sig för om

de ville delta i min enkätundersökning. När eleverna genomförde enkäten var jag närvarande

under hela processen för att de skulle få möjlighet att ställa eventuella frågor. Alla elever fick

en timme på sig att besvara enkäten. Eleverna var placerade så att de inte kunde titta på eller

se någon av sina klasskamraters svar. Alla elever blev klara olika fort, så för de som lämnat in

innan timmen var slut, förklara jag att de fick gärna tillbaka sina enkäter igen om det var

något de skulle vilja förändra eller lägga till i efterhand.

Missivet som brukar följa med enkäterna valde jag att inte ha skriftligt utan genomföra

muntligt för att minska eventuella missförstånd. Några viktiga områden som fokuserades på

när jag skulle formulerar mitt muntliga missiv var att förklara för eleverna vad mitt syfte med

undersökningen är (Patel & Davidson, 2003). På så sätt ville jag försäkra mig om att motivera

eleverna till att genomföra undersökningen. Jag klargjorde varför deras insats är viktig och att

detta är deras chans att få påverka bråkundervisning.

När jag ville se resultaten från de nationella proven, fick jag komma till skolan och gå igenom

dem i ett avskilt rum. Jag har studerat resultaten för 33 elever som gick skolår 5 i våras, vilka

jag även genomfört enkäten med. Jag tittade på de angivna målen som var relevanta för mitt

arbete och där stod följande.

Eleven skall:

� ”ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och taluppfattning för

enkla tal i bråk- och decimalform” (Prövas ej).

24

När jag fann att elevernas kunskaper inom området bråk egentligen inte prövades i det

nationella provet, valde jag att läsa igenom de uppgifter som har med division och delning att

göra. För att eleverna måste enligt Engström (1997) behärska division för att kunna räkna med

bråk på det sätt de ska lära sig under grundskolans senare år. Piaget (1924) anser att elevers

föreställningar om bråk är beroende av förståelsen för delning. Erfarenhet av delning borde

därför vara grundläggande att ge eleverna.

4.4 Databearbetning och tillförlitlighet

Kvantitativa undersökningar kan vara mer bristfällande och osäkra (Johansson & Svedner,

2006). Genom att jag använder enkäter som undersökningsmetod kanske jag inte får det djup

på svaren som en intervju hade kunnat bidra till. Enligt Johansson & Svedner (2006) kan

oklara frågor eller slarv vid ifyllandet av enkäten vara en orsak till låg reliabilitet. Det som

kan ge en feltolkad bild i resultatet kan vara att eleverna har en inställning till ämnet

matematik. Vid ifyllandet av enkäten fokuserar eleverna kanske på sin inställning till

matematik och inte området bråk.

4.5 Analysmetod

Efter genomförd enkätundersökning började jag med att läsa igenom vad alla eleverna svarat.

Sedan sammanställde jag svaren i datorn uppdelade efter varje enkätfråga. När samtliga svar

var inskrivna sökte jag efter gemensamma faktorer med mina frågeställningar i åtanke, till att

fortsätta skapa lämpliga kategorier. Utifrån de enkätfrågor jag utformade till att besvara mina

frågeställningar delade jag in elevernas resultat till aktuell frågeställning. Efter dessa moment

sökte jag samband mellan samtliga svar till att bilda mina kategorier. Kärnan genom varje

kategori har genom en utsaga fått bilda rubrik. Jag har använt mig av metoden ”Grounded

Theory”, vilket innebär att jag låter elevernas svar ”tala” till mig. Avsikten är att den

framställda teorin ska grundas i det insamlade resultatet och inte i någon på förhand bestämd

teori.

25

5. Resultat

I följande avsnitt redogörs för resultaten från de utvalda frågorna på de nationella proven. Det

presenteras även en sammanfattning av de enkätfrågor eleverna fick möjlighet till att besvara.

5.1 Hur kontrolleras elevernas bråkkunskaper i det nationella provet?

Jag har tittat på resultaten för 33 elever i skolår 6, genomförda när de gick skolår 5

vårterminen 2009. Det första jag möter i samtliga nationella prov är uppnåendemålen för

skolår 5. Jag har valt ut det stycke som är väsentligt för mitt arbete.

5.1.1 Delen självbedömning: Du och matematiken

Inte svarat: 6 elever

Säker: 9 elever

Ganska säker: 10 elever

Osäker: 6 elever

Mycket osäker: 1 elev

Det var en elev som satte sitt kryss på gränsen mellan säker och ganska säker.

5.1.2 Uppgift innehållande division på den del eleverna fick använda miniräknare

Klarade uppgiften: 32 elever

Svarade fel: 1 elev

Sara ger bort de 459 stenkulorna till sina tre syskon så att de får lika många var.

Hur många får de var?

Du ska räkna ut 3

96 utan miniräknare.

Eleven skall:

� ”ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och taluppfattning för

enkla tal i bråk- och decimalform” (Prövas ej).

26

5.1.3 Uppgift innehållande division på den del eleverna inte fick använda miniräknare

Klarade uppgiften: 27 elever

Svarade fel: 6 elever

Inte svarat: 3 elever

Emma: 10 elever

Tim: 22 elever

Emil: 12 elever

Inte svarat: 6 elever

Rätt: 14 elever

Fel: 13 elever

Räkna ut följande uppgift på det sätt som du tycker är bäst. 8

816

Här ser du några exempel på hur några elever löser uppgiften 4

64:

Emma: Jag delar i divisioner som jag redan kan.

4

64=

4

40+

4

24=10+6=16

Tim: Jag tänker först hälften av 64 och sedan hälften igen.

4

64=

2

32=16

Emil: Jag använder kort division.

4

64=

4

462

=16

Vilken av elevernas lösningar förstår du?

Ringa in dessa.

Femmorna i Petros skola ska ha påskfest. De ska vara 4 i varje lag för att kunna göra en lek.

Hur många lag blir det om de är 52 elever?

27

5.2 Sammanställning enkäter

I följande avsnitt görs en sammanställning av de svar som angetts på enkäterna av samtliga

elever. De fyra huvudrubrikerna är från mina frågeställningar i examensarbetet.

5.2.1 Vilka uppfattningar utrycker elever att de har om bråk?

Detta är en sammanställning av de resultat som angetts på frågorna 1-4. Vad eleverna tänker

på när de hör ordet bråk samt deras konkreta exempel. Sammanställningen innefattar

elevernas attityder till bråk med deras egna formuleringar och beskrivningar.

Utsagor som kopplas till matematik generellt; ”När jag hör ordet bråk så tänker jag på

matte”.

Detta svar gavs med olika meningsformuleringar av 29 elever. Eleverna relatera bråk till

något som ingår i ämnet matematik.

Hur elever kan relatera bråk till något som har med delning att göra; ”Jag tänker på en kaka

som man delar i olika delar…”

För att få en djupare förståelse för vad delning innebär finnes fortsättningen på föregående

citat, ”… t.ex. 3

1så tänker jag att det är 3 personer och allihopa ska få kaka och sen ska man

skriva hur många bitar personerna ska få”. Bråk kan för dessa elever handla om att till

exempel dela in cirklar, tårtor och pizzor. Det var 20 elever som gjorde anknytningar till

någon form av delning.

Bråk har blivit relaterat till elevernas känslor och attityder; ”Att det är svårt…”

Det kan innebära att det kan vara komplicerat fast det är roligt men även att det är jobbigt.

Anknytningarna gjordes av 9 elever och där finnes både positiva och negativa svar.

Elevernas exempel på vad bråk är; ”Exempel på bråk är 4

2 eller

8

3”.

Det är 32 elever som angett förslag på bråk i form av exempel på rationella uttryck. 5 elever

beskriver bråk som ett rationellt uttryck men även att det kan innefatta räkneoperationer med

olika bråktal. 7 elever skriver ett rationellt uttryck och gör kopplingar till räknesättet division.

Det är 6 elever som antecknat att bråk är matte men inte förklarat eller angivet något konkret

exempel.

28

Vad eleverna tycker om bråk; ”Jag tycker bråk är kul”. ”Jag tycker att bråk är ganska

tråkigt.”

De har alla svarat inom områdena att de tycker det är kul eller tråkigt. Här följer även

elevernas beskrivningar på varför de har följande inställning till bråk.

21 av eleverna förklarade bråk som något de tycker är kul. En del av dem anser det vara svårt

och några betraktar det vara lätt. Trots olika inställning till om området bråk är svårt eller lätt

ansåg alla att det är roligt. 17 elever relaterar bråk till någonting som är tråkigt. Svaren har

ingen samhörighet med om de anser det vara ett svårt eller lätt ämne. 18 elever kan inte ge ett

exempel på vad de tycker om bråk då de syftar till att det var så länge sen de hade bråk att de

har glömt bort det. Många av dem anser att bråk är nu svårt och att det resulterar i att det blir

tråkigt. Men om de skulle lära sig att förstå det igen, kommer det nog att bli lätt och roligt. En

del kom ihåg att de tyckte bråk var antingen roligt eller tråkigt då, men nu har de ingen

uppfattning längre.

25 av eleverna gör beskrivningen att de anser bråk vara ett lätt område att arbeta med och för

en del resulterar det i att det blir roligt, medan en del finner alltid att bråk är kul. Några få

elever fler (27stycken) relaterar bråk till någonting tråkigt. Många av dem har den

uppfattningen på grund av att de inte har arbetat med det på ett tag och känner att de har glömt

det och tycker det är svårt.

Resultaten där eleverna inte har angett något korrekt svar eller inte visste vad de skulle svara

på aktuell enkätfråga; ”Vet inte”.

På första fråga där eleverna skulle få skriva vad de tänker på när de hör ordet bråk, var det 4

elever som gav intrycket att de inte vet vad bråk är. Förutom de som angav att de inte vet vad

bråk är gavs det förslag på geometriska figurer eller att det handlar om människor som bråkar.

När de skulle få ge exempel på bråk var det 12 elever som inte kunde ange korrekt exempel

utan skrev att de inte vet eller minns på grund av att det var längesedan de arbetade med det.

När eleverna fick möjligheten att skriva vad de tycker om bråk var det 6 elever som inte hade

någon åsikt och många av dem skrev att de inte visste. Eleverna skulle även ge en redogörelse

på varför de tycker som de gör om bråk men där var det 10 elever som inte beskrev sin

inställning till bråk.

29

0

5

10

15

20

25

30

35

Jätte

tråkigt

Lite

tråk

igt

Lite

rolig

t

Jätte

rolig

t

Elevernas definition på bråk

An

tal ele

ver

0

5

10

15

20

25

Jätte

svår

t

Lite

svå

rt

Lite

lätt

Jätte

lätt

Elevernas definition på bråk

An

tal ele

ver

5.2.2 Vilka svårigheter med bråk definierar eleverna?

I följande avsnitt finnes resultaten på frågorna 5-8. Resultaten här visar hur eleverna har fått

välja bland redan angivna svarsalternativ. De skulle ringa in det förslag som passade bäst in

på deras inställning till bråk. Nedan följer tabeller på hur många elever som ringade in varje

svar.

Figur 2. Resultat på enkätfråga 5 Figur 3. Resultat på enkätfråga 7

De elever som ringat in svårt; ”Det är lite svårt för att jag har glömt bråk lite”.

De som angivet att de tycker bråk är jättesvårt har gett anledning att de inte känner att de kan

det och tycker det är svårt. ”Jag tycker det är svårt med bråk och det är därför jag hatar bråk

men när vi jobbar med bråk så va det lätt och jag tyckte om det men nu tycker jag inte om

det.” Detta är ett exempel på svar som har svarats av en elev som ringa in alternativet lite

svårt. Många av dessa elever är osäkra på bråk i nuläget men tror att de kan finna bråk lättare

om de hade arbetat med det mer.

Elever som relaterar bråk till något som är lätt; ”Jag tycker det är lätt att förstå”.

De känner att de behärskar området bråk, vilket resulterar i att de känner att det är lite lätt.

”För det är enkelt att räkna ut talen. Det är lätt när man kan det, när man lär sig det är det

svårt.” Denna elevs svar är ett exempel på hur många elever har svarat. De elever som anser

att bråk är jättelätt känner sig säkra på detta område. Många skriver att de tycker bråk är roligt

och på så sätt bygger de upp ett intresse som enligt dem resulterar i att det blir lättare att lära

sig. 1 elev som ringade in svarsalternativet lite lätt och 8 av eleverna som ringade in

alternativet jättelätt var några av dem som inte kunde ge ett enda exempel på vad bråk är.

30

En elev har ringat in både lite svårt och lite lätt. Med beskrivningen att det är mittemellan och

olika från dag till dag.

Elever som finner bråk vara ett tråkigt ämne; ”Jag tycker det är tråkigt för att jag inte kan

det”.

De elever som tycker bråk är jättetråkigt, känner så för att de inte kan det. Det var en elev som

hade denna inställning till matematik generellt. ”För att det är inte roligt att göra det om man

inte kan det, det är roligare om man kan och förstår.” Många av eleverna anser att bråk är

tråkigt eftersom de känner sig osäkra och inte kan det så bra. 2 elever hade följande förklaring

då de anser att det var kul till en början men när de kan det och inte får någon utmaning, utan

räknar med samma typ av uppgifter hela tiden blir det tråkigt. 5 av eleverna gav förklaringen

att eftersom det är matematik så är det tråkigt.

Elever som anser bråk vara roligt; ”Det är kul när man förstår hur man ska göra”.

De eleverna som tycker att bråk är lite roligt har angett motiveringen för att det är lätt. När

eleverna i undersökningen känner att de förstår bråk tycker de att det blir roligare. Någon elev

hade även skrivet att bråk är ett av de områden som kan vara lite utmanande vilket bidrar till

ökad lust och intresse. De som finner bråk jätteroligt gav samma motivering som ovan. När

eleverna känner att de skapat sig en förståelse och byggt upp en kunskap i det de arbetar med

blir det lättare, vilket medverkar till att det blir roligare.

En elev har ringat in lite tråkigt och lite roligt med beskrivningen för det är mycket delar.

5.2.3 Varför anser eleverna att man lär sig bråk i skolan?

Här har en sammanställning gjorts på fråga 9, där eleverna skulle beskriva varför de tror man

lär sig bråk i skola.

Anknytningar till att bråk behöver man lära sig för framtiden; ”Man behöver det i

framtiden…”

Att bråk är någonting man lär sig för att det finns i matematik eller för att man behöver det i

framtiden, när man blir vuxen eller om man ska arbeta med något speciellt yrke är 40 elevers

uppfattning. De finns även de elever som har skrivet att det behövs i framtiden, men

skillnaden är att de även gett konkreta exempel på vad de använder bråk till i nuläget. Detta är

14 elever och ett exempel är: ”För att man ska kunna använda det i framtiden. T.ex. om jag

ska ha kalas och dela en tårta. Då kan jag använda mig av bråk.”

31

Elever som inte har något svar men även de som enligt min tolkning inte vet; ”Vet ej”

2 elever har gett de olika svaren att när man ska förstå diagram och en tredje tror att det kan

vara bra att kunna för att man använder det i division. Det var 6 elever som skrev att de inte

vet varför man lär sig bråk.

5.2.4 Vilka kopplingar mellan vardagserfarenheter och bråk i skolan gör eleverna?

Här finnes resultaten på frågorna 10-12. Elevernas exempel på hur de använder bråk i sin

vardag sammanfattas. Deras redogörelse för hur pedagogen startade upp bråkundervisningen i

skolan och vilka andra sätt eleverna vill arbeta på.

Svar från elever när de tror sig använda bråk och från dem som inte använder det; ”Jag

använder inte bråk i min vardag”.

Det är 28 elever som angett med lite olika meningsformuleringar att de inte brukar bråk i sin

vardag. 5 elever ger exempel som att de tror att de använder det hemma eller om någon frågar

dem något bråktal utanför skolan och 4 elever har ingen aning om när de använder bråk i sin

vardag.

Elevsvar med uppfattning om vad bråk är; ”När man handlar…”

Här finns två konkreta exempel från 2 av 25 elever som uppvisar trovärdighet i att det vet vad

området bråk innebär och hur de kan använda det utanför lektionstid. ”…då är det kanske ett

kanonpris på köttbullar. Det kanske är halva priset eller en fjärdedel. Då behöver man kunna

räkna ut vad det kostar.”

”Om jag ska handla godis för 20 kr och vi ska dela det på fyra personer, då tänker jag

54

20= .”

Utsagor som kopplar bråk till arbete i matteboken; ”Jag har bara arbetat i matteboken”.

24 elever berättar att de endast har arbetat i matteboken och inte använt några andra

läromedel. 14 av dessa elever fick en genomgång av pedagogen om vad bråk är innan de

började arbeta i boken.

Svar från elever som inte kommer ihåg eller var nöjda med bråkundervisningen; ”Jag tycker

det är bra som det är.”

Att de har glömt eller inte vet hur de arbetade med bråk har 21 elever angivet i sina enkäter.

12 elever var väldigt nöjda med hur arbetet har gått till än så länge och vill inte ändra på

32

något. Det var även 21 elever som inte kunde komma på några förslag på hur de skulle vilja

arbeta med bråk i skolan

Andra arbetssätt än mattebok; ”Man kan göra en lek eller något annat”.

Här finns exempel från elever som under sitt arbete med bråk haft lite andra arbetssätt än i

matteboken. Det redovisas även elevernas förslag på material och metoder hur de skulle vilja

att inlärningen kring bråk praktiseras. 17 eleverna hade arbetat med övrigt material som till

exempel med en tårta att dela i olika delar, dela på en bråkbricka, remsor (bilaga 3), spel och

bråklekar. 29 elever gav förslag på att de vill arbeta med följande material eller metoder. Som

att till exempel tydliggöra och förenkla inlärningen av bråk genom att spela spel, rita, göra

med klossar, leka någon lek, jobba med stenciler, bönor, gå ut, ha tävlingar och många

påpekar att de vill använda annat material än matteboken.

5.3 Sammanfattning

Det som genomsyrar resultaten är att vissa elever har glömt området bråk. Detta har följderna

för eleverna att de tappat lusten att arbeta med bråk. Skulle de få tillämpa sitt lärande kring

bråk igen anser eleverna att det genererar till att intresset för bråk blir mer positivt. Många

elever vet inte varför de behöver lära sig bråk i skolan och anser inte att de tillämpar det i sin

vardag.

33

6. Diskussion

I följande avsnitt görs reflektioner över min egen undersökning och tillförlitligheten av mina

resultats diskuteras. Var min metod hållbar eller skulle jag ha gjort någonting annorlunda? Jag

jämför och diskuterar det jag fann i litteraturen i förhållande till mina resultat. Detta

sammanfattas under mina frågeställningar som rubriker för att underlätta för läsaren. Vidare

ges en presentation av mina egna slutsatser och som avslutning introduceras de nya områden

jag funnit som skulle kunna vara intressanta att gå vidare med.

6.1 Reflektion över undersökningen

Med datainsamlingsmetoden enkäter känner jag i efterhand att jag inte riktigt fick det djup på

svaren som jag hade väntat mig. Då jag valde att låta eleverna få svara med egna ord och

förklaringar på nästan alla frågor och inte med så många på förhand valda svarsalternativ,

hade jag hoppats på att det skulle bidra till mer omfattande och beskrivande svar av eleverna.

Många av eleverna gav intrycket att vid det ifyllandet av enkäten fanns en viss problematik

hur de skulle uttrycka sina tankar kring frågorna. Mitt val av skolår anser jag var bra anpassat

då yngre elever nog hade haft ytterligare problem att formulera och uttrycka sina attityder.

Valet av skolår gjordes även utifrån kursplanen i matematik, vilket jag i många fall hos

eleverna inte kände fanns tillräckliga kunskaper. Mål för skolår fem innefattar att eleverna ska

ha grundläggande taluppfattning som omfattar enkla tal i bråkform (Skolverket, 2000), vilket

en del inte förfogade över och då fick problem vid ifyllandet av enkäten.

Den omgång enkäter som genomfördes på första skolan ansåg jag blev för få för att ge ett

intressant och användbart resultat. Totalt blev det ett bortfall på 18 elever. Detta berodde på

giltig frånvaro som sjukdom etc. men även ogiltig som till exempel skolk eller väldigt sen

ankomst. Vid introduktionen av mitt examensarbete förklarade jag för eleverna mitt syfte med

undersökningen, motiverade eleverna till att genomföra undersökningen, klargjorde varför

deras insats är viktig och att detta är deras chans att få påverka bråkundervisning, verkade

intresset till att delta stort.

Min undersöknings tillförlitlighet eller reliabilitet anser jag kanske vara något svag.

Obesvarade frågor och frågor där eleverna angivet fler svarsalternativ än det var tänkt

utgjorde dock endast ett fåtal, vilka jag inte anser vara många nog föra att påverka resultatet.

Tiden för genomförandet av enkäten och möjligheten till att fråga vid eventuella funderingar

anser jag var tillräcklig. Det som jag nämnt tidigare som kan ge en felaktig bild i resultatet

34

kan vara att eleverna har en inställning till ämnet matematik, så vid ifyllandet av enkäten

fokuserar eleverna kanske på denna och inte på området bråk. Detta har blivit bekräftat och

kategoriserat i mina resultat. En elev som ringade in svarsalternativet ”lite lätt” och åtta av

eleverna som ringade in alternativet ”jättelätt” angav att de inte visste vad bråk är och kunde

inte ge något exempel, men som ändå ansåg att bråk är ett lätt område. Detta anser jag ger en

tveksam bild av vad dessa elever har för bråkkunskaper.

I val av enkätfrågor har jag nu efter att ha sett resultaten upptäckt en del brister. Enkätfrågorna

3 och 4 fick väldigt lika svar som enkätfrågorna 5-8. Samtliga frågor har eleverna relaterat till

huruvida de anser bråk vara lätt, svårt, roligt och tråkigt. Jag hade förväntat mig mer ingående

och beskrivande svar inom området bråk. Jag tror att en intervju hade gett mig mer möjlighet

till att gräva djupare i vad eleverna grundar sina svar på. Vad det är eleverna anser vara lätt,

svårt, roligt respektive tråkigt. Enkätfråga 11 gav inte det utbud av svar som jag hade

föreställt mig. Denna fråga hade varit lämpligare att ställa till ansvarig pedagog, då många

elever hade glömt. En omformulering på enkätfråga 12, då det hade varit bättre och mer

väsentligt att eleverna istället fått ange förslag på hur de skulle vilja arbeta med bråk.

6.2 Reflektion över de Nationella proven

När jag tittade på resultaten från de nationella proven, inledde jag med de angivna målen som

var relevanta för mitt arbete där jag fann följande.

Eleven skall:

� ”ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och taluppfattning för

enkla tal i bråk- och decimalform” (Prövas ej).

När jag fann att elevernas kunskaper inom området bråk inte prövas, valde jag de uppgifter

som har med division och delning att göra. Detta val gjordes eftersom Engström (1997) anser

att eleverna ska behärska framförallt division för att kunna räkna med bråk. Några av dessa

uppgifter anser jag vara utformade på ett sätt så att om eleverna har bråkkunskaper är dessa

till deras fördel.

Delen 5.1.1 handlar om hur säkra eleverna är på att räkna 3

96 utan miniräknare. Det var

endast 9 av 33 elever som anger sig säkra på denna uträkning. Uppgiften i avsnittet 5.1.2 är en

likartad uträkning men då eleverna fick använda miniräknare när de skulle räkna ut 3

459. Där

35

var det endast en elev som inte klarade uppgiften och eftersom det är en benämnd uppgift

finns möjligheten att eleven kanske inte förstod uppgiften. Första uppgiften i 5.1.3 är väldigt

lik den ovannämnda uppgiften. Eleverna ska här lösa ett liknande problem men fick inte

använda miniräknare. Det var nu 6 elever som hade angivet fel svar. Eleverna visar att även

om det finns en viss osäkerhet på denna typ av uträkningar behärskar de flesta eleverna

uppgifterna både med och utan miniräknare.

Uppgiften där eleverna ska ringa in vilka lösningar de förstår anser jag vara bristfälliga när det

kommer till att kontrollera elevernas kunskaper. Det finns inga garantier eller undersökningar

där det visar om eleverna verkligen svarat sannenligt. Kan eleverna verkligen tillämpa de

metoder de ringat in? Denna uppgift anser jag ger mer svar på vilken metod är den mest

attraktiva bland eleverna att välja och i eventuella fall vilja komma att lära sig. Den metod

som är mest populär är Tims, som tillämpar upprepad halvering. Hunting och Davis (1991)

anser att bråket 2

1 har visat sig vara en grundläggande byggsten och somliga använder det

som referenstal. Betydelse av detta tal har även diskuterats av fler och att bråk genom

upprepad halvering är en av de bråkföreställningar som kan finnas bland elever.

På sista uppgiften i 5.1.3 har en del elever skrivit av uppgiften men inte angivet något svar.

Detta är en av de sista frågorna, så möjligheten finns att någon elev kanske hade klarat

uppgiften men inte hann på grund av tidsbrist. Denna uppgift kan vara svår när det kommer

till att tillämpa Tims metod. Eleverna måste då förfoga över att kunna halvera stora tal i

huvudet. Även Emmas metod kan vara en utmaning när eleverna ska räkna ut tal som sträcker

sig till hundratal. Den metod jag anser vara den lättaste att tillämpa i detta fall är Emils metod

med kort division, då du inte behöver räkna med så stora tal i huvudet. Det som är bra med

denna uppgift är att den uppmanar eleverna till att välja den metod som passar dem bäst. Den

skapar möjligheten till en mer individanpassad lösningsmetod. Uppgiften ger verkligen

eleverna möjlighet att visa om de kan tillämpa någon av de metoder de ringat in tidigare.

Möjligheten finns att eleverna förstår någon av Emmas, Tims och Emils lösningar men klarar

inte av att sätta dem i praktiken. Där syftar jag till det Kilborn (1999) menar med att vissa

räkneoperationer kan vara svåra att åskådliggöra för eleverna så att de klarar av att använda

dem själv.

36

6.3 Reflektion över enkäterna

I detta avsnitt knyter jag samman mina resultat med den litteratur jag läst. För att lätt kunna

återblicka till resultaten använder jag samma struktur som jag gjorde i avsnitt 5.2.

6.3.1 Vilka uppfattningar uttrycker elever att de har om bråk?

Nästan hälften av eleverna tänker endast på matematik när de hör ordet bråk. Bråk är något

som ingår i matematik och matematik måste man lära sig i skolan. Det fanns även tankar

kring ämnet matematik bland de anknytningar som gjordes av ytterligare 9 elever. Skillnaden

var att de även både positivt och negativt relaterade till sina känslor och attityder kring bråk.

Detta var en av de faktorer som jag misstänkte kunde skapa problem vid ifyllandet av

enkäten. Eleverna har inte funderat kring bråk utan drar slutsatsen om vad deras inställning till

matematik är. Ljungs (1990) undersökning visa att det är viktigt för eleverna att lyckas i

matematik och gör de inte det kan de börja utveckla en motvilja för ämnet. Har eleverna innan

min undersökning stött på problem vid tidigare inlärning av matematik, finns möjligheten att

de redan har bildat sig en uppfattning och då leds deras tankar till matematik och inte på vad

de anser om bråk.

Enligt Piaget (1924) är inlärningen av de två grundläggande förhållanden del – helhet och del

– del viktiga vid bildandet av elevers bråkföreställningar. Han menar att barn ända upp till 9-

10 års ålder kan ha svårt att integrera delarna i helheten. De 20 elever som relaterade bråk till

delning av exempelvis pizza och tårtor visar att de har kunskapen och behärskar begreppet

bråk. Detta anser jag visa hur viktigt det är ha grundläggande inlärning av delning för att

eleverna ska kunna bygga upp och utveckla en förståelse för de rationella talen och området

bråk.

Bråk är ett mäktigt område som skiljer sig markant från de naturliga talen. Jag har tidigare

nämnt en av Freudenthals (1983) grundtankar på de svårigheter elever kan få när de ska börja

sitt lärande av bråk. Hans funderingar visar även den finländska undersökningen gjord med

3000 elever, att nu kan olika tal som har samma resultat uttryckas på olika sätt och elever kan

ha svårt att konstruera ett annat namn på ett fastställt bråk. Det kan vara fler som förfogar

över denna kunskap men av 62 elever var det endast en som visade att två olika bråkuttryck

betyder samma sak. Mer än hälften av eleverna gav exempel på bråk som 4

2eller

8

3, vilket

37

visar att de har bråkuppfattning, eftersom det kan förklaras som ett matematiskt uttryck av

formen b

a (Nationalencyklopedin, 2009).

På enkätfråga 3 skulle eleverna ange vad de tycker om bråk och på fråga 4 skulle de ge en

beskrivning varför de tycker som de gör. Samtliga elever gjorde här anknytningar till om de

ansåg bråk vara ett roligt eller tråkigt ämne, antalet elever var ungefär lika många vid varje

kategori. Svaren på dessa två frågor hade jag hoppats på skulle skilja sig mer från frågorna 5-

8. Jag förväntade mig bredare svar, som inte enbart handlade om ifall de har en positiv eller

negativ inställning till bråk, utan till exempel vad inom bråkområdet finner de svårt att förstå,

anser de att det är ett viktigt ämne inom matematiken osv.

18 elever kunde inte ge ett exempel på vad de tycker om bråk. De syftar till att det var så

länge sen de hade bråk att de har glömt bort det. Många av dem anser att bråk nu är svårt och

att det resulterar i att det blir tråkigt. Av dem som relaterar bråk till någonting tråkigt har

många den uppfattningen för att de inte har arbetat med det på ett tag och känner att de har

glömt det och tycker det är svårt. I TIMSS-rapporten (2003) skrevs att många elevers lust och

förståelse för matematik försvinner från och med femte klass. Möjligheten finns bland dessa

elever att en positiv inställning till matematik försvunnit så allt som innefattar ämnet anses

numera vara tråkigt. Det skrevs även att när man inte förstår eller ser nyttan med att lära något

försvinner också lusten att lära. En del av eleverna i min undersökning har glömt bort området

bråk, kanske även vad det fyller för funktion till att lära sig och hur de använder det i sitt

vardagliga liv. Mina funderingar är om det kan vara så att dessa faktorer genererar till att

eleverna anser bråk vara tråkigt

När de skulle få ge exempel på bråk var det 12 elever som inte kunde ange korrekt exempel

utan skrev att de inte vet eller minns på grund av att det var längesedan de arbetade med det.

När eleverna fick möjligheten att skriva vad de tycker om bråk var det 6 elever som inte hade

någon åsikt och många av dem skrev att de inte visste. Eleverna skulle även ge en redogörelse

på varför de tycker som de gör om bråk men där var det 10 elever som inte gav uttryck för sin

inställning till bråk. Även Engström (1997) har uppfattat bråk som något eleverna lärt sig men

glömt som en faktor som påverkar lärandet. Detta kanske speglar en uppfattning hos elever

om bråk, som någonting de inte behöver komma ihåg.

38

6.3.2 Vilka svårigheter med bråk definierar eleverna?

Många av de elever som ringat in några av alternativen svårt, anser sig osäkra på bråk i

nuläget men tror att de kan finna bråk lättare om de hade arbetat med det mer. Skillnaden som

gör att de elever som relaterar bråk till någonting som är lätt, är att de eleverna känner att de

förfogar över detta område. En del mindes inlärningen som någonting svårt men nu behärskar

de bråk och besitter fortfarande kunskaper om det.

Eleverna som tycker bråk är tråkigt känner så för att de inte kan det. De som tycker att bråk är

roligt har angett motiveringen för att det är lätt. När eleverna i undersökningen känner att de

förstår bråk tycker de att det blir roligare och lättare. Jag finner att känslan som uppstår när

man upptäcker att man har skapat sig en kunskap om och förståelse för någonting är

inspirerande. Elevernas kunskaper i bråk har minskat då många av dem inte arbetet med det

på ett längre tag. Jag anser det är viktigt att inte bara lära eleverna något utan när tillfälle ges,

återblicka och repetera tidigare kunskaper så de inte glöms. Om man tittar på hur många

elever i min undersökning som uppfattar bråk som ett svårt och tråkigt ämne är det mer än

hälften som anser det vara ett tråkigt ämne. Bortser man från de 9 elever som anser bråk vara

ett lätt ämne men som inte kan ge ett exempel på vad det är, har även här mer än hälften

angett bråk som ett svårt ämne. Detta är betydligt mer än Ljungs (1990) undersökning där en

femtedel av eleverna uppfatta matematik som ett svårt och tråkigt ämne.

6.3.3 Varför anser eleverna att man lär sig bråk i skolan?

Enligt Boaler (1993) är världen där matematik utvecklas och världen där matematik tillämpas

en komplex relation. Boaler anser att undervisningen måste utformas på ett sätt så att eleverna

inte uppfattar dessa världar som skilda utan istället finner ett samband. Många elever ansåg att

bråk lär man sig för att det finns i matematik eller för att man behöver det i framtiden. Några

elever satte in det i ett vardagsförankrat sammanhang som visar på att de ser ett samband

mellan vardagsmatematik och skolmatematik. Att utforma undervisningen så att samtliga

elever finner ett syfte med sin inlärning är en utmaning som pedagog. Många elever förstår att

bråk är någonting man måste lära sig i skolan och att det säkert kan vara nyttigt att kunna.

Alla besitter inte kunskapen om varför vi lär bråk eller allt som ingår i ämnet matematik. Ett

av de mål vi pedagoger strävar efter är att eleverna uppnår att behärska grundläggande

matematiskt tänkande och kan tillämpa det i sin vardag. Efter femte skolåret ska eleven ha

grundläggande kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera

39

situationer och finna lösningar på problem i sin närmiljö. En del elever använder sig säkert av

bråk vid dessa tillfällen när de ska finna lösningar på olika problem. Vi pedagoger måste

tydliggöra för eleverna sambandet mellan matematiken och vardagen så de är medvetna om

att det är bråk de tillämpar och finner sambandet till varför de lär sig det i skolan. Även

Wedege (2002a) har konstaterat ett tydligt behov av en vardagsanknuten

matematikundervisning. Hon menar att många vuxna och elever inte tänker på att de använder

matematik i vardagen.

6.3.4 Vilka kopplingar mellan vardagserfarenheter och bråk i skolan gör eleverna?

I TIMSS-rapporten (2003) har det visat sig att matematikundervisningen ofta är för lite

konkret och har för lite anknytning till det praktiska livet. Emanuelsson m. fl. (1991a) är eniga

om att matematikundervisningen bör ta sin utgångspunkt i elevernas vardagserfarenheter. De

anser att lärare ska knyta matematiken till sådant som eleverna redan kan, vet och till

situationer som är välbekanta för dem. Även RME vill att matematik ska vara meningsfullt för

eleverna och utgå ifrån deras individuella matematik. Enligt Neuman (1997) ska elevernas

matematikkunskaper byggas genom problem från verkligheten och fantasin som eleverna kan

identifiera sig med. Ernest (2006) menar att matematik är mer än nyttig kunskap och behöver

göras relevant för eleverna till att passa deras liv så de kan dela denna mening. Får elever

förståelse för sambanden mellan matematik och vardag blir attityderna till matematik mer

positiva enligt Wedege (2002a).

Alla dessa ovannämnda personer är överens om att undervisningen måste knyta an till

elevernas fantasi och vardag. Även att inlärningen av matematiken måste tydliggöras så att

eleverna förstår och känner mening med att lära sig det aktuella. Mycket talar för en nära

koppling mellan elevers vardagserfarenheter och skolmatematik. Endast 25 elever uppvisar

trovärdighet i att det vet vad området bråk innebär och hur de kan använda det utanför

lektionstid. 28 elever angav att de inte använder bråk i sin vardag, 5 elever att de tror att de

använder det och 4 elever har ingen aning om när de använder bråk i sin vardag. Dessa elever

uppvisar tydliga tecken och bekräftar att de behöver få en ny genomgång av vad bråk innebär

och hur de kan använda det i sitt vardagliga liv.

Läroplanen och kursplanen i matematik har angett vad som anses vara relevant för eleverna

att kunna, men man får inte bortse från vad eleverna själva gör för koppling till vad de anser

40

är betydelsefull kunskap att ha med sig ut i livet. Som pedagog får man inte glömma bort att

lyssna på eleverna. 24 elever berättar att de endast har arbetat i matteboken och inte använt

några andra läromedel. 14 av dessa elever fick en genomgång av pedagogen om vad bråk är

innan de började arbeta i boken. Många elever påpeka i sina enkäter att de vill arbeta med

annat material än matteboken. Enligt läroplanen ska skolan sträva efter att utveckla nyfikenhet

och lust att lära hos eleverna. Jag har redovisat elevernas förslag på material och metoder hur

de skulle vilja att inlärningen kring bråk praktiseras. Med hjälp av detta kan man som

pedagog bygga upp en inlärning som eleverna finner inspirerande och underhållande. Viktigt

är att tänka på att bråkkunskaperna byggs upp från elevernas verklighet och inte vuxnas.

6.4 Mina egna slutsatser

Matematik är ett omdiskuterat ämne och precis som skolminister Björklund anser måste man

börja göra förändringar hos källan det vill säga lärarnas utbildning. Eftersom vi har den

struktur i skolan av arbetssätt, där man som pedagog tillämpar flera ämnen anser jag det vara

viktigt att höja kraven på vad lägsta utbildning innebär inom framförallt kärnämnena. Att ha

välutbildade lärare som brinner för matematik kan vara början till att arbeta bort de

förutfattade meningar om ämnet som jag mött så många gånger. Det krävs av oss som

blivande matematiklärare att vi hela tiden frambringar positiva känslor och attityder hos

eleverna kring matematik. Jag tror föreställningar och attityder kring matematiken sitter djupt

och har funnits så längre att det tar tid att arbeta bort. Om man börjar arbetet med barnen i

tidig ålder tror jag man som matematiklärare har bra förutsättningar till att ge eleverna en

positiv erfarenhet av matematik.

Wedege (2002a) pekar också på påståendet som jag hört så många uttrycka: - Jag har aldrig

varit duktig på eller kunnat matematik! Om vi tror på oss själva att vi klarar av matematiken

när den uttrycker sig i olika former av termer och dylikt, har vi redan där kommit en bit på

vägen när det gäller attityder och föreställningar till matematik. Som jag nämnt tidigare hade

jag hoppats på att få mer djupgående svar av eleverna. Vad är det inom bråkområdet som de

anser vara svårt? Är det vissa räkneoperationer eller att finna det i sammanhang utanför

skolans värld? Vid inlärning av till exempel räknesättet addition tror jag eleverna lättare kan

sätta in det i ett samband ur verkligheten, medan bråkinlärningen är svårare att åskådliggöra

för eleverna. Mina tidigare erfarenheter var att bråk är något man pluggar in när det behandlas

i skolan, men som man inte har någon användning för.

41

Wedeges (2002a) forskning har visat de stora skillnaderna som finns när det gäller

uppfattningar och syn på matematiken hos vuxna och var dessa skillnader kan komma ifrån.

En vanlig föreställning bland vuxna kan vara att vardagsmatematik har lite eller inget

gemensamt med skolmatematik. Vardagsmatematik uppfattas inte av vuxna som matematik,

utan som sunt förnuft. Denna uppfattning har jag mött från många människor genom åren vid

olika sammanhang och tillfällen. Om inte vuxna kan se syftet med matematikinlärning, hur

ska då eleverna kunna skaffa sig ett samband? Det är mer än tänkbart att samma gäller för

eleverna, så att den matematik som elever möter utanför skolan skiljer sig från

skolmatematiken, och den skillnaden påverkar deras föreställningar om sambandet mellan

skolmatematik och vardagsmatematik. De elever som i undersökningen gjorde anknytningar

till sina erfarenheter från vardagen har då valt sammanhang som de kan associera till, som

exempelvis kalas och delning av tårta. Hade bråkundervisningen haft förbindelser till alla

elevernas vardag så de får en bättre bild och ser nytta med att lära sig kunskaper om bråk, tror

jag fler elever kunnat återge exempel på vad bråk är och hur de kan använda det i sin vardag.

Som jag nämnt i min litteraturgenomgång utförde PRIM-gruppen 1989 en nationell

utvärdering gällande elevers kunskaper och färdigheter i matematik i skolår två och fem

(Figur 1). Redan då var elevernas bråkkunskaper bristande. Enligt TIMSS-rapporten (2003)

ökar inte elevernas kunskaper utan sjunker. Om man tittar på det nationella provet som

utfördes vårterminen 2009 så prövar man inte ens elevernas bråkkunskaper. Det kan i skenet

av detta vara hög tid att göra satsningar på arbetet inom bråkområdet. Jag anser att det behövs

fortsatt forskning inom området eftersom det är en del av kursplanerna för grundskolan. Som

jag visat tidigare i mitt arbete har många elever svårigheter med att hantera

matematikuppgifter med bråk. Eleverna ska efter skolår fem ha grundläggande taluppfattning

kring enkla tal i bråkform, vilket jag anser att många av de elever som deltog i min

undersökning inte har. Bråk tas även upp i de senare årskurserna i grundskolan men elevernas

inställning till tal i bråkform verkar inte diskuteras. Om lärarna görs medvetna om

processerna bakom elevers uppfattningar och svårigheter med bråk borde det leda till ett nytt

perspektiv på det didaktiska arbetet med bråk i skolan.

42

6.5 Förslag till fortsatt forskning

Nedan följer några punkter på vad som skulle kunna vara intressanta områden att arbeta

vidare med.

� Ur ett genusperspektiv: Finns det skillnader mellan pojkar och flickors

bråkföreställningar?

� Spelar det någon roll vilken etnisk bakgrund eleverna har för hur de klarar

bråkräkning?

� Det var väldigt skilda svar skolorna mellan. Göra jämförelse beroende på när de

arbetade med bråk senast. Hur länge sitter bråkkunskaperna eleverna tar in? Tillämpas

det yt- eller djupinlärning av bråk?

� Behärskar eleverna räknesättet division innan de börjar sin bråkinlärning?

� Enligt TIMSS - rapporten (2003) försvinner elevers lust och lärande efter femte

skolåret. Stämmer detta?

43

7. Referenser

Boaler, Jo. (1993). The role of contexts in mathematics classrooms. For the learning of

mathematics, 13(2), 12-17.

Emanuelsson, Göran, Johansson, Bengt & Ryding, Ronny. (1991a). Problemlösning. Lund:

Studentlitteratur.

Emanuelsson, Göran, Johansson, Bengt & Ryding, Ronny. (1991b). Tal och räkning 1. Lund:

Studentlitteratur.

Engström, Arne. (1997). Reflektivt tänkande i matematik – Om elevers konstruktioner av

bråk. Malmö: Graphic Systems AB

Ernest, Paul. (2006). Relevans och nytta. In J. Boesen, et al. (red.), Lära och undervisa –

internationella perspektiv (pp. 165-178). Göteborg: Nationellt Centrum för

Matematikutbildning.

Freudenthal, Hans. (1983). Didactical Phenomenology of Mathematical Structures.

Dordrecht: Reidel Publishing Company.

Hunting, Robert P & Davis, Gary. (1991). Early Fraction Learning. New York: Springer-

Verlag.

Johansson, Bo & Svedner, Per Olof. (2006). Examensarbetet i lärarutbildningen. Uppsala:

Kunskapsföretaget.

Kilborn, Wiggo. (1999). Didaktisk ämnesteori matematik. Del 2. Rationella och irrationella

tal. Stockholm: Elanders

Ljung, Bengt-Olov. (1990). Matematiken i nationell utvärdering. Vad barnen tycker om

matematik i årskurs 5. Rapport från PRIM-gruppen nr 3. Stockholm: Gotab

Löwing, Madeleine & Kilborn, Wiggo. (2002). Baskunskaper i matematik. Lund:

Studentlitteratur.

Magne, Olof. (1990). Medelsta-matematik. Hur väl behärskar grundskolans elever lärostoffet

enligt lgr 69 och lgr 80? Pedagogisk-psykologiska problem. Nr 539. Malmö: Lärarhögskolan.

Malmer, Gudrun. (2002). Bra matematik för alla. Lund: Studentlitteratur.

Nationalencyklopedin (2009). Hämtat 2009-11-28 från www.ne.se

44

Nationalencyklopedin (2010). Hämtat 2010-06-10 från www.ne.se

Neuman, Dagmar. (1997). Diagnoser i matematik år 2. Varför - hur - vad ger resultatet?

Nordisk matematikkdidaktikk,5(1), 33-58.

Patel, Runa & Davidson, Bo. (2003). Forskningsmetodikens grunder. Lund: Studentlitteratur.

Realistic Mathematics Education (2010). Freudenthal Institute. Hämtat 2010-05-17 från

http://www.fi.uu.nl/en/rme/

Skolverket(1994). Läroplan för det obligatoriska skolväsendet (Lpo94). Stockholm:

Skolverket.

Skolverket(2000). Grundskolan - kursplaner och betygskriterier. Stockholm: Fritzes

Skott, Jeppe, Hansen, Hans Christian, Jess, Kristine & Schou, John. (2010). Matematik för

lärare. Y Grundbok band 2. Malmö: Gleerups.

Svt (2009a). Heltidsmatte för lärarstudenter. Hämtat 2009-12-09 från

http://svt.se/2.58360/1.1805576/utskriftsvanligt_format?printerfriendly=true

Svt (2009b). Svenska elever halkar efter. Hämtat 2009-12-05 från

http://svt.se/2.58360/1.884729/utskriftsvanligt_format?printerfriendly=true

Thompson, Jan. (1991). Historiens matematik. Lund: Studentlitteratur.

Wedege, Tine. (2002a).”Mathematics- that´s what I can´t do” – Peoples affective and social

relationship with mathematics. Literacy and Numeracy Studies, 11(2), 63-78.

Wedege, Tine. (2002b). Numeracy as a basic qualification in semi-skilled jobs. For the

Learning of Mathematics, 22(3), 23-28.

45

8. Bilagor

I detta kapitel finnes brevet som skickades hem till föräldrar för godkännande till att deras

barn deltog i min undersökning och enkäten som eleverna fick fylla i. Det ges även förslag på

en lektionsplanering som eleverna nämnde i enkätfrågorna då de arbetat med remsor. Även

de sökvägar och sökord jag använde mig av när jag skulle finna min litteratur redovisas.

Bilaga 1 (Brev till föräldrar)

Till föräldrar med barn i skolår 6

Hej!

Mitt namn är Ulrika Holgersson och jag är lärarstudent på Malmö Lärarhögskola. Jag läser nu

min sista termin på utbildningen vilket innebär att jag nu håller på att skriva mitt

examensarbete. Det ämne som jag är mest intresserad av är matematik vilket jag även valt

som huvudämne i min utbildning. Bråk inom matematikens värld är ett av de kapitel som

tyvärr många inklusive jag själv kan tycka är svårt och tråkigt. Mitt examensarbete kommer

att handla om elevers attityder och inställningar till bråk. Genom en enkätundersökning med

samtliga frivilliga elever från skolår 6 hoppas jag att jag kan finna resultat som kan leda till

diskussion kring mina teorier. Med hjälp av enkäten avser jag att undersökningen ska ge

klarare uppfattning om elevernas mindre positiva attityd till bråk kan förklaras med att de

tycker det är svårt. Enkäten vill jag även ska leda till att man får en bättre inblick i om

eleverna anser bråk vara mer begripligt att förstå om de får en närmare koppling mellan

matematikens bråk i skolan och deras vardagserfarenheter.

Enkätundersökningen kommer vara helt anonym. Det innebär att era barn inte kan identifieras

genom denna undersökning. När jag sammanställt resultaten av enkätundersökningen kommer

alla enkäter att förstöras.

Jag hoppas att era barn ska finna det lärorikt och kul att få vara med och delta i

enkätundersökningen.

Tillsammans med detta brev följer ytterligare ett papper där ni skriver under om ert barn får

lov att delta i min enkätundersökning. Detta papper kommer jag att be om när jag kommer för

att genomföra undersökningen och endast de elever som har fått underskrift av målsman får

lov att fylla i enkäten. Om ni har några frågor får ni gärna höra av er på min mail.

46

Hälsningar Ulrika Holgersson

LL041010@stud.mah.se

Jag samtycker till att mitt barn får lov att delta i enkätundersökningen gällande Ulrika

Holgerssons examensarbete om bråk.

Datum:_____________________

Elevens namn

Målsmans underskrift

47

Bilaga 2 (Enkät)

Bråk i matematikens värld

Datum:_______________

Enkäten är anonym så din lärare kommer inte att läsa vad du svarat.

Kryssa i den ruta som stämmer för dig. Pojke Flicka

1. Vad tänker du på när du hör ordet bråk?

2. Ge några olika exempel på vad bråk är?

2

1

48

3. Vad tycker du om bråk?

4. Beskriv varför du tycker som du gör om bråk?

49

5. Ringa in ett svar som passar bäst in på hur du tycker bråk är.

Jättesvårt Lite svårt Lite lätt Jättelätt

6. Beskriv varför du tycker det är svårt eller lätt?

7. Ringa in ett svar som passar bäst in på hur du tycker bråk är.

Jättetråkigt Lite tråkigt Lite roligt Jätteroligt

Känn dig inte stressad utan ta den tiden du behöver för att svara på frågorna. Det är viktigt för mig att du besvara alla frågor så noga som du kan.

50

8. Beskriv varför du tycker det är tråkigt eller roligt?

9. Varför tror du man lär sig bråk i skolan?

51

10. Ge förslag på när du använder bråk i din vardag om du inte är i skolan?

11. Hur gjorde ni i er klass när ni började arbeta med bråk?

52

12. Ge förslag på hur ni skulle ha kunnat göra det på fler sätt?

Tack så mycket för att du valde att delta!

Vänliga hälsningar Ulrika Holgersson

53

Bilaga 3 (Remsor)

Remsor (Malmer, 2002)

Mål och syfte

Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven utvecklar sin förmåga att

förstå och använda grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och enkla tal i

bråkform (Kursplan i matematik för grundskolan).

Syftet är att eleven skall få förståelse för helhet, delar och bråktal.

Materiel

A4 ark i olika färger

Sax

Planering

Inledning

Innan aktiviteten startas upp har pedagogen en kort genomgång på tavlan där de diskuterar

fram olika delar av helhet och hur man tecknar talen. Pedagogen förbereder innan aktiviteten

med att klippa ut cirka 2cm breda remsor av alla färger. Alla elever skall få tillgång till en

remsa av varje färg. Pedagogen bestämmer vilken färg som utgör helheten. Sedan ger

pedagogen instruktioner om vilken färg eleverna skall välja och hur många delar av helheten

den ska utgöra. Eleverna skall först vika sina remsor för att sedan klippa vid de vikta

märkena.

Moment

• Ta er gråa remsa och dela i två lika stora delar.

• Ta er gröna remsa och dela i tre lika stora delar.

• Ta er rosa remsa och dela i fyra lika stora delar.

A4-ark

54

Eleverna fortsätter dela in efter pedagogens instruktioner tills alla remsor är delade. Eleverna

skall dela åtta olika remsor så de har till och med åttondelar. Sedan skall eleverna skriva på

varje del hur mycket den utgör av den röda remsan som är helheten.

Eleverna får nu bekanta sig och experimentera fritt med remsorna en stund. De kan arbeta i

par eller enskilt. Eleverna skall ställa utmanande frågor till varandra och förslag finns nedan.

Förslag på hur eleverna kan ställa frågor till varandra under diskussion:

•Hur många gråa remsor behöver ni för att få en röd?

•Hur många rosa remsor behöver ni för att få en grå?

•Hur många lila remsor behöver ni för att få en grön?

•Om ni tar en gul och en grön remsa, vad behöver ni för att få en röd?

•Är två blå remsor lika mycket som en grön? Om inte, vilka är det i så fall?

Avslutning

Pedagogen kan fortsätta att ställa utmanande frågor där eleverna måste kombinera mer än en

färg. När pedagogen anser det vara lämpligt diskuterar han/hon tillsammans med alla eleverna

om vad de har upptäckt och om de har kommit fram till några slutsatser. Dessa remsor kan

arbetas vidare med vid fler tillfällen.

55

Bilaga 4 (Sökvägar)

Sökmotorer Sökord

Find-e-journal bråk Svenska bråkräkning

MUEP, Student essays, bråk Lärarutbildningen, Matematik och lärande bråkräkning

Samsök bråk bråkräkning

Artikelsök bråk Alla år bråk OCH matematik Alla år, fulltext ”bråk matematik” matematikundervisning matematikundervisning björklund matematik björklund rationella tal

ERIC via EBSCO fraction match

Google bråk matematik

Presstext matematik björklund bråk bråkmatematik vardagsmatematik

LIBRIS bråk matematik bråkräkning

Mediaarkivet bråk matematik och björklund 2009

Sydsvenskan, DN