formelsamling

1

Funksjoner

1. Elementære funksjoner:

a) ln y x y ex a

x b x loga b

lnb

ln a

b) ln(AB) ln A ln B, lnA

B ln A ln B ln A

u uln A

c) sin2

x cos2

x 1 tan x sin x

cosx cot x

1

tan x

c) sin(x y) sin xcos y cos xsin y , cos(x y) cos xcos y sin xsin y

d) sin2x 2sinxcos x cos2x cos2

x sin2

x 2cos2

x 1 1 2sin2

x

e) tan(x y) tan x tan y

1 tan x tany

f) cosu cosv 1

2(cos(u v) cos(u v))

g) sinu cosv 1

2(sin(u v) sin(u v)) sinusin v

1

2(cos(u v) cos(u v))

h) Asin x Bcos x A2 B

2sin(x ) der A 0, B 0,tan

B

A og 0

2

2. Derivasjon og integrasjon:

a) d

dxf (g(x))

df

du

du

dx der u g(x) (kjerneregel)

b) df 1(x)

dx

1

f (y) der y f

1(x) (Regel for derivert av invers funksjon)

c) d

dxf (t)dt

a

u (x )

f (u)du

dx (a er en konstant)

d

dxf (t)dt

u (x )

v( x)

f (v)dv

dx f (u)

du

dx

d) (g(x) h( x))dx g(x)dx h(x)dx

e) kg(x)dx k g(x)dx (k er en konstant)

f) f (g( x)) g (x)dx f (u)du der u g(x) og du g (x)dx

g) u(x) v (x)dx u(x)v(x) v(x) u (x)dx

2

h)

2

2

2

2

2

2

1

1

1arccos

1

1arcsin

1

1arctan

sin

1

tan

1cot

tan1cos

1tan

sincos

cossin

ln

1ln

)()(

xx

xx

xx

xxx

xx

x

xx

xx

aaa

ee

xx

rxx

xfxf

xx

xx

rr

Cxxx

Cxx

x

Cxx

x

Cxx

Cxx

Cx

Cxx

Cxx

Cxx

Cxx

Cee

Cxx

Cn

xnnårx

dxxfxf

xx

nn

tantan

2sin4

1

2cos

2sin4

1

2sin

arcsin1

1

arctan1

1tan

1cot

sin

1

tancos

1cossin

sincos

||ln1

11

)()(

2

2

2

2

2

2

2

1

3. Moment og tyngdepunkt:

dA

akse

r

akse

r

G

G

Statisk moment av flateelement med hensyn

på akse: dM rdA

Treghetsmoment av flateelement med hensyn

på akse: dI r2dA

For kurveelement

ds: dM rds, dI r2ds

Statisk moment av flatestykke med hensyn

på akse:

M rG A der G er tyngdepunktet og A

arealet av flatestykket

For kurvestykke: M rG s der G er

tyngdepunktet og s er lengden av

kurvestykket.

3

4. Numeriske metoder

a) Rektangel- (midtpunkt-) formel:

f (x)dx b a

n(y1 y2 yn), yk f (a (2k 1)

b a

2n)

a

b

b) Trapesformelen:

f (x)dx

a

b

b a

n(1

2y0

1

2yn y1 y2 yn1), yk f (a k

b a

n)

c) Simpsons formel:

f (x)dx

a

b

b a

6n(y0 4y1 2y2 4y2n1 y2n), yk f (a k

b a

2n)

d) Newtons metode:

Velg x1 slik at f (x1) 0 La xn1 xn f (xn)

f (xn ), n 1,2, ...

Hvis lim xnn

a så er f (a) 0

e) Eulers metode for løsning av differensialligningen dy

dx f (x, y):

x0 a, y0 b og xn xn1 h, yn yn1 f (xn1, yn1)h, n 1,2, ...

5. Differensiallikninger av 2. orden

Differensiallikningen a y b y cy 0 , der a,b og c er konstanter og a 0,

har den generelle løsningen

a) y C1er1x

C2er2x

hvis a2 b c 0 har to ulike reelle røtter r1 og r2

b) y (C1C2x)erx

hvis a2 b c 0 har dobbelroten r

c) y ex

(Acosx Bsinx) hvis a2 b c 0 har komplekse røtter i

6. Komplekse tall:

a) Normal-form: z x iy . Her er

x Re(z) (realdelen) og y Im(z) (imaginærdelen)

b) z x iy (konjugert ), |z| x2 y

2 (modul)

c) Avstanden fra z1 til z2 : |z2 z1|

d) Polar / Eksponensiell form: z rei

der r | z| og arg z

e) Eulers formel: ei cos isin

f) De Moivres formel: (cos isin)n cos n i sinn

4

Lineær algebra

1. Vektorregning

a) Skalarprodukt mellom vektorene a a1,a2,a3 og b = b1,b2 ,b3

a b a1b1 a2b2 a3b3 a b a b cos der er vinkelen mellom vektorene (0 ) ) b) Vektorprodukt mellom vektorene a a1,a2,a3 og b = b1,b2 ,b3

a b

i j k

a1 a2 a3

b1 b2 b3

med lengde sin baba

c) Projeksjonen av en vektor a = ],[ 321 aaa på vektoren 321 ,, = bbbb

er gitt ved bbb

baab

proj

2. Linjer og plan i rommet Koordinater til et punkt P x y z( , , ) på en rett linje med retningsvektor

r a b c T , , som går gjennom punktet P x y z0 0 0 0( , , ) er gitt ved

OP OP P P OP t r

0 0 0

, det vil si

x

y

z

x

y

z

t

a

b

c

0

0

0

Et plan som går gjennom punktet P x y z( , , )0 0 0 og har normalvektor CBAn ,,

vil gå gjennom pnktet P x y z( , , ) dersom P P n0

0

Planets likning er altså 0)()()( 000 zzCyyBxxA

3. Avstandsformler a) Avstand fra punkt ),,( 000 zyx i rommet til plan DCzByAx

222

000

CBA

DCzByAxd

b) Avstand fra punkt P i rommet til linje gjennom punkt P0 med retningsvektor v

v

v PPd

0

5

4. Matrisemultiplikasjon

A = [aij] m p - matrise og B=[bij] p n - matrise.

AB= C = [ cij ] der cij= aikbkj

k1

p

, i 1,2, .. ,m, j 1,2, ... ,n

5. Regneregler for matriser

A og B er matriser, k og p er reelle (eller komplekse) konstanter

a) (kA)B = k(AB) = A(kB) Skrives kAB

b) A(BC) = (AB)C Skrives ABC

c) (A + B)C = AC + BC

d) C(A + B) = CA + CB

e) k(A + B) = kA + kB

f) (k+p)A= kA + pA

g) AA1

A1

A I

h) Merk at for matrisemultiplikasjon gjelder ikke den kommutative lov.

altså AB = BA gjelder ikke generelt.

i) (AB)1

B1

A1

j) (AB)T B

TA

T

k) (AT

)1

(A1

)T

6. Invers matrise (kofaktorform)

Anta A er en ikke-singulær n n -matrise.

Da er AA

1

11 21 1

12 22 2

1 2

1

det . . .

C C C

C C C

C C C

n

n

n n nn

der Cjk er kofaktoren til ajk i A.

7. Egenverdier, egenvektorer

Anta at A er en vilkårlig n n - matrise.

Dersom en vektor x 0 tilfredsstiller likningen Ax = x, er en egenverdi til A

og x en tilhørende egenvektor. Egenverdier finnes av likningen

det( )A I 0

8. Diagonalisering

Når A har n lineært uavhengige egenvektorer finnes en ikke- singulær matrise X slik at

X1

AX D er en diagonalmatrise med egenverdiene på diagonalen.

6

9. Cayley-Hamilton setningen Hvis A er en nn -matrise med karakteristisk likning

0... 01

2

2

1

1

cccc n

n

n

n

n , vil matrisen A tilfredsstille likningen

0IAAAA

01

2

2

1

1 ... cccc n

n

n

n

n

10. Rotasjonsmatriser

100

0cossin

0sincos

A

cossin

010

sin0cos

B

cossin0

sincos0

001

C

A roterer et objekt en vinkel rundt z-aksen (retning fra x til y)

B roterer et objekt en vinkel rundt y-aksen (retning fra z til x)

B roterer et objekt en vinkel rundt x-aksen (retning fra y til z)

11. Regneregler for determinanter

A og B n n - matriser

a) det A = det AT

b) Determinanten skifter fortegn hvis to rekker ( kolonner ) bytter plass.

c) Drsom rekkene (kolonnene) er lineært avhengige er determinanten = 0

d) En felles faktor i en rekke eller kolonne kan settes utenfor.

(Konsekvens det kA = kn det A)

e) En determinant kan utvikles etter en vilkårlig rekke eller kolonne.

f) Dersom en rekke eller kolonne er en sum med to ledd, kan

determinanten spaltes opp. F eks.a b c

d e f

a b

d e

a c

d f

g) Til en rekke (kolonne) kan adderes en konstant multiplisert med en

annen rekke (kolonne) uten at determinanten forandrer verdi.

h) Determinanten til en triangulær matrise er lik produktet av elementene på

hoveddiagonalen.

i) det (A B) = det A det B

det(A1

) 1

det A

k) det A 0 A ikke-singulær

7

Diskret matematikk

1. Mengdelære

a) Kommutative lover: AB BA, AB B A

b) Assosiative lover: (AB)C A(BC), (AB)C A(BC)

c) Distributive lover: A (BC) (AB)(AC), A(BC) ( AB) (AC)

d) Identitetslovene: AØ A, AU A, U er grunnmengden

e) Komplementærlovene: A A U, A A Ø, A A , U er grunnmengden

f) de Morgan's lover: AB AB, AB A B

2. Logikk

a) Dobbel negasjon: p p

b) Kommutative lover: (p q) (q p), (p q) (q p)

c) Assosiative lover: [( p q) r] [ p(q r)], [(p q)r][ p (q r)]

d) Distributive lover: [( p (q r)][( p q) (p r)], [( p(q r)] [(p q)( p r)]

e) de Morgans lover: (p q) (pq), ( p q) (pq)

3. Differenslikninger av 2. orden

Likningen un2 aun1 bun 0 , der a og b er konstanter,

har den generelle løsningen

a) un Ap1

n Bp2

n hvis p2 ap b 0 har to ulike reelle røtter p

1 og p

2

b) y (A Bn)pn

hvis p2 ap b 0 har dobbelroten p

c) un rn(Acosn Bsinn ) hvis p

2 ap b 0 har komplekse røtter i

Her er r i og arg( i)

8

Rekker

1. Aritmetisk rekke dnaan )1(1 d er rekkens differens

Summen av de n første leddene

i en aritmetisk rekke naa

s nn

2

1

Geometrisk rekke, ledd n 1

1

n

n kaa k er rekkens kvotient

Summen av de n første leddene i en

geometrisk rekke 1

)1(1

k

kas

n

n Gjelder for k 1. Hvis k=1 er

1nasn

Summen av en konvergent

geometrisk rekke k

as

1

1 Gjelder for –1<k<1

S = 0 når a1=0

Rentesrenteformelen

(sluttverdien) n

n

pKK )

1001(0

Verdien Kn om n år av et beløp

K0 i dag

Nåverdi n

n

p

KK

)100

1(0

Verdien 0K i dag svarer til et

beløp nK i dag

2. Konvergens

a) Forholdskriteriet:

Dersom limn

un1

un

k , så er rekken un

n1

konvergent hvis k < 1 og divergent hvis k > 1

3. Potensrekker

a) Taylorrekke: f (x)f (k)(a)

k!k0

(x a)k

b) Maclaurinrekke: f (x)f (k)(0)

k!k0

xk

9

c) Spesielle rekker:

ex

xk

k!k0

1 x x2

2!

x3

3!

cos x (1)k x2k

(2k)!k0

1x2

2!

x 4

4!

sin x (1)k x2k1

(2k 1)!k0

x x3

3!

x5

5!

1

1 x x

k

k0

1 x x2 x

3 1 x 1

ln(1 x)(1)k1xk

kk1

x x2

2

x3

3 for 1 x 1

(1 x)m

m

k

k0

xk

for 1 x 1 , m

k

m(m 1)(m 2)(m k 1)

k!

m

0

1

10

4. Fourierrekker

a) Periodiske funksjoner La f (t)være en periodisk funksjon med periode T =2L.

Fourier-rekken til f er en rekke på formen

s t a a n t b n tn n

n

( ) ( cos( ) sin( )),

0

1

der

L og koeffisientene er gitt ved

aL

f t dt aL

f t n t dt n

bL

f t n t dt n

L

L

n

L

L

n

L

L

0

1

2

11 2

11 2

( ) ( ) cos( ) , , ,

( ) sin( ) , , ,

b) Funksjoner definert på 0, L

Cosinusrekke: s t a a

n

Ltn

n

1 0

1

( ) cos( )

der

aL

f t dt

L

0

0

1 ( )

aL

f tn

Lt dtn

L

2

0

( ) cos( ) , n = 1,2...

Sinusrekke:

1

2 der ) sin()(n

n tL

nbts b

Lf t

n

Lt dtn

L

2

0

( ) sin( ) , n = 1,2,3...

c) Konvergens av Fourier-rekke

Fourier-rekken til f (t)konvergerer mot

s(t)

f (t) i punkter der f er kontinuerlig 1

2( f (t) f (t)) i punkter der f er diskontinuerlig

d) Spesielle trigonometriske integraler

1 x axdxax

a

x ax

acos

cos sin 2

2 x axdxax

a

x ax

asin

sin cos 2

3 x axdxax

a

x ax

a

x ax

a

23 2

2

2 2cossin cos sin

4 x axdxax

a

x ax

a

x ax

a

23 2

2

2 2sincos sin cos

5 x axdxax

a

x ax

a

x ax

a

x ax

a

34 3

2

2

3

6 6 3coscos sin cos sin

6 x axdxax

a

x ax

a

x ax

a

x ax

a

34 3

2

2

3

6 6 3sinsin cos sin cos

11

Laplacetransformasjoner 1. Generelle transformasjonsregler

I

0

)()()}({ dtetfsFtfL st

Definisjon

II )}({)}({)}()({ tgbLtfaLtbgtafL a,b konstanter

Linearitet

III )}({)( ),()}({1

tfLsFFktfLk

s

k

Skalaendring

IVa )0()}({)}({ ftfsLtfL

Transform av

derivert

IVb )0()0()}({)}({ 2 fsftfLstfL

IVc )0( ... )0()0()}({)}({ )1(21)( nnnnn ffsfstfLstfL

IVd )}({

1})({

0

tfLs

duufL

t

Transform sv

integral

V )}({)1()}({ tfLds

dtftL

n

nnn , n = 1, 2, 3, ...

Derivert av

transform

VI )}({)( der )()}({ tfLsFasFtfeL at

1.skiftsetning

s-forskyvning

VIIa 0 )},({)}()({ atfLeatuatfL as

2.skiftsetning

t-foskyvning

versjon1

VIIb 0 )},({)}()({ aatfLeatutfL as

2.skiftsetning

t-foskyvning

versjon2

VIIc 0 og )}({)( der )()()}({ 11 asFLtfatuatfsFeL as

VIIIa )}({L)}({)})({( tgtfLtgfL der ( )( ) ( ) ( )f g t f u g t u du

t

0

Konvolusjon

VIIIb })()({))(( }{}{1 tgLtfLLtgf

12

2. Spesielle transformasjoner

Tabell 2a Tabell 2b Inverstabell

f t( )

F s( )

F(s) )()}({1 tfsFL

1

1,u(t)

1

s

1

1

s

1,u(t)

2 t

12s

2

1

s2

t

3 t n n

sn

!1

3

1

sn , n 1,2,3,.. t

n

n

1

1( )!

4 eat 1

s a

4

1

s a e

at

5

sinh at

a

s a2 2

5

1

(s a)n , n 1,2,3,.. tn1eat

(n 1)!

6

cosh at

s

s a2 2

6

1

(s a)(s b), a b

1

b a(eat

ebt

)

7

sint

s2 2

7

s

(s a)(s b), a b

1

b a(be

bt ae

at)

8

cost

s

s2 2

8

1

s2

2 1

sint

9

)( atu eas

s

9

s

s2

2

cost

10

(t a)

eas

10

1

s2

2 1

sinht

11

s

s2

2

cosht

12

1

(s2

2)2

1

23 (sint t cost)

13

s

(s2

2)2

t

2sint

14 s2

(s2

2)2

1

2(sint t cost)

15 s3

(s2

2)2 cost

1

2t sint

16 eas

s )( atu

17 e

as

(t a)

13

Funksjoner av flere variable

1. 2.derivert-test

Klassifisering av kritiske punkter for funksjonen f=f(x,y)

Punktet (a, b) et kritisk punkt slik at f

x(a,b) 0

f

y(a,b) .

A 2 f

x2 (a,b), B

2 f

xy(a,b), C

2 f

y2 (a,b), AC B

2

f har lokalt minimum i (a, b) når > 0 og A > 0. f har lokalt maksimum i (a, b) når > 0 og A < 0. f har sadelpunkt i (a, b) når < 0 .

2. Lagrangelikningene

Ekstremalverdiene til funksjonen f skal finnes.

a) 2 variable og 1 betingelse g(x, y) 0 (1)

gradf gradg (2,3)

b) 3 variable og 1 betingelse g(x, y, z) 0 (1)

gradf gradg (2,3,4)

c) 3 variable og 2 betingelser

g(x, y, z) 0, (1)

h(x, y,z ) 0, (2)

gradf gradg gradh (3,4,5)

3. Multiple integraler

a ) Dobbeltintegral fra kartesiske- til polarkoordinater:

f (x, y)dA

R

f (rcos,rsin)rdrd

R*

b) Trippelintegral fra kartesiske- til sylinderkoordinater:

f x y z dV f r r z dzdA dA rdrd

T g r

g r

D

( , , ) ( cos , sin , ) ,

( , )

( , )

1

2

4. Areal av flaten S gitt ved z = h(x, y), (x, y) D:

A dS

S

1 hx2 hy

2 dA

D

14

Vektoranalyse 1. Divergens og curl til vektorfeltet F(x, y, z) = P Q R, ,

F Px Qy Rz , F Ry Qz ,Pz Rx ,Qx Py

2. Linjeintegral F r Fr

( , , ) ( , , )( ) ( ) ( )x y z d x t y t z td

dtdt

C

C: r x(t), y(t),z(t) , t

3. Green“s teorem:

Pdx Qdy Q P dA

C

x y

R

( )

4. Reduksjon av flateintegral til dobbeltintegral:

f (x,y,z)dS

S

f (x, y,h( x, y)) 1 hx2 hy

2

D

dA, S:z h(x, y), (x, y) D

5. Enhetsnormaler på en flate S:

a) Når S er gitt ved z = h(x, y) :

n = – hx , – hy , 1

1 + hx2 + hy

2

b) Når S er gitt ved f(x, y, z) = 0 :

n = f

f

6. Reduksjon av fluksintegral til dobbeltintegral:

F ndS

S

P,Q,R zh(x,y) hx, hy ,1

D

dA, S:z h(x, y), (x, y) D

7. Divergensteoremet:

Legemet T avgrenses av flatene S1; S2, .. Sk med enhetsnormaler n1, n2, .. nk

rettet ut av T.

F n F n F n F 1 2

1 2

dS dS dS dV

S S

k

S Tk

...

8. Stokes’ teorem:

F dr ( F) ndS

S

C

CCCcc

15

Lineære differensiallikninger av 1.&2. orden med konstante

koeffisienter.

1. Homogene differensiallikninger:

ay by cy y y x

a b c

b b ac

aa

c

ba

0 1

2 0 2

4

20 3

0 3

2

, ( ) ( )

( )

, ( )

, ( )

Karakteristisk likning:

Løsning av karakteristisk likning:

A

= B

Type av løsning (3) Basis til (1) Generell løsning av (1)

I 1, 2

relle eller komplekse

{e1x

, e2 x

} Ae1x

Be2x

II b

2 4ac 0

b

2a i

{e

b

2ax

cos(x), e

b

2ax

sin(x)}

e

b

2ax( Acos(x) Bsin(x))

III b

2 4ac 0, a 0

b

2a

{e

b

2ax

cosh(x), e

b

2 ax

sinh(x)}

e

b

2ax( Acosh(x ) Bsinh(x))

IV b

2 4ac 0

b

2a

{e

b

2ax, xe

b

2ax}

(A Bx)e

b

2ax

V

Når a = 0:

c

b

{e

c

bx}

Ce

c

bx

1

2a4ac b

2,

1

2ab

2 4ac

2. Inhomogene differensiallikninger ay by cy g x ( ) (4)

Løsning: y x y x y xh p( ) ( ) ( ) der y xh ( ) er generell løsning i homogen

likning (1), mens y xp ( ) er partikulær løsning i inhomogen likning (4)

16

Sannsynlighetsregning og statistikk 1. Generelle formler i sannsynlighetsregningen

a) Definisjon:

P er et sannsynlighetsmål på utfallsrommet S hvis P oppfyller

(i) 1)(0 AP for alle delmengder (begivenheter) i S

(ii) P(S) =1

(iii) )()()( BPAPBAP hvis A og B er disjunkte begivenheter

b) Addisjonssetning )()()()( BAPBPAPBAP

c) Komplementsetningen )(1)( APAP

d) Betinget sannsynlighet )(

)()|(

BP

BAPBAP

e) Multiplikasjonssetningen )()|()( BPBAPBAP

f) Uavhengighet : A og B er uavhengige hvis )()|( APBAP Dette medfører også at

)()()( BPAPBAP

g) Total sannsynlighet : )()|()()|()( BPBAPBPBAPAP

h) Bayes lov : )(

)()|()|(

AP

BPBAPABP

2. Setninger om forventning og varians for stokastiske variable

a) La nXXX ,....., 21 være stokastiske variable og baaa n ,,....., 21 være konstanter

(i) Da er bXEaXEaXEabXaXaXaE nnnn )(...)()()...( 22112211

(ii) Hvis nXXX ,....., 21 er uavhengige er

)(...)()()...(2

2

2

21

2

12211 nnnn XVaraXVaraXVarabXaXaXaVar

b) Spesialtilfelle av a) : Hvis nXXX ,....., 21 er uavhengige stokastiske variable og alle

har samme forventning og samme varians 2 vil )(XE og

nXVar

2

)(

der 1

1 n

i

i

X Xn

17

3. Diskrete sannsynlighetsfordelinger

a) Binomisk fordeling

P(X x)n

x

p

x(1 p)

n x x 0,1,n.

E( X) np Var(X) np(1 p)

b) Hypergeometrisk fordeling

P X x

M

x

N M

n x

N

n

x( ) , ,2,

0 1

E X np Var XN n

Nnp p( ) ( ) ( )

11 der p

M

N

18

c) Poissonsfordeling

P(X x)x

x!e x 0,1,2,

E( X) Var(X)

4. Kontinuerlige fordelinger

a) Normalfordelingen

f (x)1

2e

1

2

( x )2

2

E( X) Var(X) 2

b) Eksponensialfordeling

f (x) ex

x 0

E( X) 1

Var(X)

1

2 > 0 konstant

c) Rektangelfordeling

f (x)1

b a x [a,b]

E( X) a b

2 Var(X)

(b a)2

12

19

5. Sentralgrenseteoremet

Dersom X X Xn1 2, ,.... er uavhengige identisk fordelte stokastiske variable med forventning

og standardavvik er Xi

i

n

1

tilnærmet normalfordelt N n n( , ) når n er stor

og Xn

Xi

i

n

1

1

er tilnærmet normalfordelt Nn

( , )

når n er stor

6. Estimering av p i binomisk fordeling.

Punktestimator , ( ) , ( )( )

pX

nE p p Var p

p p

n

1

For store verdier av n har vi : (i følge sentralgrenseteoremet)

Tilnærmet konfidensintervall: I p up p

np u

p p

n

( ),

( )/ / 2 2

1 1

Hypotesetesting: Testvariabel:

( )

p p

p p

n

0

0 01 er tilnærmet

standardnormalfordelt under H0: p = p0 for store verdier av n (np0 >10)

7. Intervallestimering av og (formlene er eksakte for normalfordeling, tilnærmet riktige for andre fordelinger når n stor (i følge

sentralgrenseteoremet))

I x un

x un

2 2

, Konfidensintervall for µ når er kjent

Konfidensintervall for µ når er kjent

I x ts

nx t

s

nn n

2 21 1,( ) ,( )

, Konfidensintervall for µ når er ukjent

Konfidensintervall for µ når er ukjent

In s

n

01 2

1 12

,( )

,

Ensidig konfidensintervall for

Ensidig konfidensintervall for

In s n s

n n

( ),

( )

, ,

1 12

1

2

2

21 1

22

Tosidig konfidensintervall for

Tosidig konfidensintervall for

I x y un n

x y un n

2 2

12

1

22

2

12

1

22

2

, Konfidensintervall for µ1- µ2 når 1 og 2 er Konfidensintervall for µ1- µ2 når 1 og 2 er

kjente Konfidensintervall for µ1- µ2 når 1 og 2 er

I x y t s

n nn n: .

,( )

2 1 2 21 2

1 1

Konfidensintervall for µ1- µ2 når 1 og 2 er

ukjente men like (= ) og estimeres med

sn s n s

n n

( ) ( )

( )

1 12

2 22

1 2

1 1

2

I x y ts

nx y t

s

nnz

nz

2 21 1,( ) ,( )

,

Konfidensintervall for = µ1- µ2 når vi har observasjoner gitt i par

(Zi=Xi-Yi)

20

8. Testing av hypoteser om forventninger . (formlene er eksakte for normalfordeling, tilnærmet riktige for andre fordelinger når n stor

(i følge sentralgrenseteoremet))

Ett utvalg Betegnelse på test, Testobservator med sannsynlighetsfordeling

a) kjent

H0: H1 : ulike alternativ

u-test

UX

n

0

/ som er N( , )0 1 eller X som er N( , ) 0 under H0

b) ukjent,


t-test,

TX

s n

0

/ som er t-fordelt med n-1 frihetsgrader under H0

To utvalg

a) 1 og 2 kjente


Toutvalgs u- test,

UX Y

n n

1

2

1

22

2

som er normalfordelt N(0,1) under H0

b) =ukjent,


Toutvalgs t- test,

TX Y

Sn n

1 1

1 2

som er t-fordelt med n1 +n2 -2 frihetsgrader under H0

der Sn S n S

n n

( ) ( )1 12

2 22

1 2

1 1

2

Flere utvalg

Enveis variansanalyse (F-test)

=kukjent

H0: k

H1 : minst en av -ene er

ulik de andre

Forkast H0 hvis F fk n k 1,

F

n X X

X X

kn S n S

n kn S

k i i

i

k

n k ij i

j

n

i

k

i i

i

k

i i

i

ki

11

2

1

1 2

11

2 2

1

2

1

1

11 1

11

( )

( )

(( ) ( ) )

( )

er Fisherfordelt (F-fordelt) med k-1 og n-k frihetsgrader under H0

( n ni

i

k

1

)

21

9. Samvariasjon

Empirisk kovarians Sn

X X Y Yn

X X YXY i

i

n

i i

i

n

i

1

1

1

11 1

( )( ) ( )

Empirisk korrelasjon RS

S S

X X Y

X X Y Y

XY

x y

i i

i

n

i

i

n

i

i

n

( )

( ) ( )

1

2

1

2

1

10. Regresjonsanalyse

Parameter Punktestimator Testvariabel Intervallestimator

( )

x x Y

M

i i

i

n

1

T M

0

I tM

tMn n

[

,

],( ) ,( )

22

22

Y x

( , )

Q

n 2

T er Student-t - fordelt med n-2 frihetsgrader hvis H0 er riktig ( dvs. hvis = 0)

M = (x i x )2

i1

n

Q( , ) = ( ( )) ( ) ( ) ( )Y x Y Y x xi i i i

i

n

i

n

i

n

2 2 2 2

111

Documents

formelsamling