GEOMETRI ANALITIK RUANG

Matematika 2

By. Retno Anggraini

Geometri analitik ruang

Jarak dari pusat sumbu O ketitik P (x, y, z) ialah :

OP2 = ( x2 + y2 + z2 ) Jika OP = r maka : r 2 = ( x2 + y2 + z2 )

SUDUT SUDUT ARAH DAN COSINUS COSINUS ARAH

Jika masing-masing sudut antara OP dgn sumbu-sumbu positif maka :

x = r cos cos x/r y = r cos atau cos y/r zr cos cos

z/rDimana disebut sudut sudut arah OP

cos cos cos disebut cosinus arah OP

Dan cos 2cos2cos 2

BILANGAN ARAH GARIS

cos cos cos a : b : c, maka a,b,c disebut bilangan arah garis

Jika diketahui a,b,c maka

cos = a / + (a2 + b2 + c2 )1/2

cos = b / + (a2 + b2 + c2 )1/2

cos = c / + (a2 + b2 + c2 )1/2

Dimana tanda penyebut + atau – tergantung kuadran.

JARAK DARI DUA TITIK

Jarak dari dua titik P1(x1,y1,z1) dan P2 (x2,y2,z2) adalah :

d = [(x2-x1)2 + (y2-y1)2 + (z2-z1)2]1/2

Bilangan arah dari garis P1P2 adalah

(x2-x1), (y2-y1) dan (z2-z1) Cosinus arah dari garis P1P2 adalah

cos x2-x1)/d,

cos y2-y1)/d,

cos z2-z1)/d

TITIK

Jika P(x,y,z) membagi garis P1P2 dengan perbandingan P1P/PP2 = m/n = q maka :

X = (x1 + qx2) / (1+q)

Y= (y1 + qy2) / (1+q)

Z = (z1 + qz2) / (1+q) Koordinat titik tengah T dari grs P1P2

T = [(x1+x2)/2 , (y1+y2)/2 , (z1 +z2)/2]

SUDUT ANTARA DUA GARIS

Didefinisikan sebagai sudut antara dua garis berpotongan, dan masing masing // dgn satu dari garis yang diketahui.

Jika OP1 dan OP2 garis melalui O dan // dua garis yg diketahui, sudut antara grs itu maka :

Cos = (x1x2 + y1y2 + z1z2) /r1r2 Dimana : r1 2 = ( x12 + y12 + z12 ) r2 2 = ( x22 + y22 + z22 )

Karena X1 = r cos X2 = r cos maka cos cos cos cos cos cos cos

Jika dua grs //, maka :

Jika dua garis tegak lurus makacos cos cos cos cos cos

Jika q sudut antara dua garis dgn bilangan arah a1, b1, c1, dan a2,b2,c2 maka : cos a1a2 + b1b2 + c1c2 [(a12+ b12 +c12xa22+ b22 +c22)

Jika dua grs //, maka : a1/a2 = b1/b2=c1/c2Jika dua garis tegak lurus makaa1a2 + b1b2 + c1c2 = 0

BIDANG DATAR

Bentuk Umum

Ax + By + Cz + D = 0 Dimana A, B, C tidak semuanya nol

Persamaan Bidang datar melalui titik (xo, yo, zo) adalah :

A(x-xo) + B(y-yo) + C(z-zo) = 0

GARIS TEGAK LURUS PADA BIDANG DATAR

Syarat supaya garis g dgn blgn arah a, b,c tegak lurus pada bdg Ax + By + Cz + D = 0 ialah

a/A = b/B = c/C Persamaan bidang datar melalui P1 (x1,y1,z1)

tegak lurus pada garis dgn bilangan arah a,b,c adalah :

a(x-x1) + b(y-y1) + c(z-z1) = 0

DUA BIDANG SEJAJAR DAN TEGAK LURUS

Dua Bidang A1x + B1y + C1z + D1 = 0 dan adalah A2x + B2y + C2z + D2 = 0

- // jika A1/A2 = B1/B2 = C1/C2

- Tegak lurus jika A1.A2 + B1.B2 + C1.C2 =0

Jarak dari titik P1(x1,y1,z1) ke bidang Ax+By+Cx+D =0 adalah :

d = Ax1 + By1 + Cz1 + D

(A2 + B2 + C2 )1/2

Persamaan bidang datar melalui tiga titik (a,0,0), (0,b,0), dan (0,0,c) adalah ; x/a + y/b + z/c = 1Sudut lancip antara dua bidang datar A1x+ B1y+C1z+D = 0 dan A2x + B2y+C2z+D = 0 adalah :

cos A1A2 + B1B2 + C1C2 (A12+B12+C12 )1/2 (A22+B22+C22 )1/2

TITIK POTONG TIGA BIDANG DATAR

a1x+b1y+c1z = d1; a2x+b2y+c2z = d2 a3x+b3y+c3z = d3 adalah

x = D1/D, y = D2/D, z = D3/D dimana :

a1 b1 c1 d1 b1 c1 D = a2 b2 c2 = 0 D1= d2 b2 c2 a3 b3 c3 d3 b3 c3

a1 d1 c1 a1 b1 d1 D2 = a2 d2 c2 D3 = a2 b2 d2 a3 d3 c3 a3 b3 d3

•Berkas bdg dr dua bid. A1x+ B1y+C1z+D1 = 0 dan A2x + B2y+C2z+D2 = 0 adalah : (A1x+ B1y+C1z+D1) + (A2x+ B2y+C2z+D2)= 0 dimana parameter

Garis dalam ruang ditentukan sebagai garis potong dua bidang (A1x+ B1y+C1z+D1) = 0(A2x+ B2y+C2z+D2) = 0 dengan bilangan arah

B1 C1 C1 A1 A1 B1 : : = a:b:c B2 C2 C2 A2 A2 B2

PERSAMAAN GRS LURUS DLM RUANG

Jk sudut arah garis g adalah ; dan jk P1(x1,y1,z1) titik pada garis g, maka grs g merupakan tempat kedudukan P(x,y,z) yg bergerak sdh :

x-x1 = t cosy-y1 = t cosz-z1 = t cos Jika a,b,c adalah bilangan arah garis g maka

persamaan garis ini dapat ditulis sbb :

x = x1 +at ; y = y1 + bt ; z = z1 + ct Dimana t = perubahan panjang P1P

BENTUK SIMETRIK PERSAMAAN GARIS LURUS Persamaan garis lurus melalui P1(x1,y1,z1) dgn

sudut – sudut arah adalah ;

x – x1 = y – y1 = z –z1

cos cos cos

Jika bilangan arah garis adalah a,b,c maka persamaan simerik berbentuk :

x – x1 = y – y1 = z –z1

abc

Jika garis g tegak lurus pada salah satu sumbu koordinat, pers garis itu berbentuk satu diantara :

x = x1 , y – y1 = z – z1 (tgk lrs sb x) b c y = y1 , x – x1 = z – z1 (tgk lrs sb y) a c z = z1 , x - x1 = y – y1 (tgk lrs sb z) a b

PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI DUA TITIK Pers garis lurus melalui dua titik P1(x1,y1,z1) dan

P2(x2,y2,z2) adalah :

x –x1 = y1 – y2 = z – z1 b b b

Arah – arah relatif garis dan bidang datar

Garis g dgn bilangan arah a, b, c dan bidang datar V : Ax + By + Cz + D = 0 maka :

1. g // V jika : Aa + Ba + Cc = 0

2. g V jika : A/a = B/b = C/c

BOLA Persamaan x2+ y2 + z2 = R2 adalah bola yg

berpusat di O (0,0,0) dgn jari jari R. Persamaan (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 adalah

bola yg berpusat di (a,b,c) dgn jari jari R. Persamaan x2+ y2+ z2+2Ax+2By+2Cz+D= R2

adalah pers bola dgn titik pusat M (-A, -B, -C)

Jari – jari R = ( A2+ B2 +C2 – D )1/2

Jika R = 0 bola menjadi “bola titik” Jika A2+ B2 +C2 – D > 0 adalah “ bola sejati ” Jika A2+ B2 +C2 – D < 0 adalah “ bola khayal “ Sebuah bola tertentu oleh 4 ttk yg tdk sebidang

PERSAMAAN BIDANG SINGGUNG DAN BIDANG KUTUB

Jika Pers bola x2+ y2+ z2+2Ax+2By+2Cz+D= 0 atau BI = 0 , Maka :

1. Pers bidang singgung dititik P(x1,y1,z1) yg terletak pada bola BI = 0 adalah

x1x+y1y+z1z+A(x+x1)+B(y+y1)+C(z+z1)+ D =0

2. Pers bidang kutub dari titik sebarang P(x1,y1,z1) terhadap bola BI = 0 adalah

x1x+y1y+z1z+A(x+x1)+B(y+y1)+C(z+z1)+ D =0

Untuk persamaan bola x2+ y2 + z2 = R2 maka persamaan bidang singgung / kutub adalah : x1x + y1y + z1z = R2

- Untuk persamaan bola : (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 maka persamaan bidang singgung / kutub adalah : (x1–a)(x-a) + (y1-b)(y-b) + (z1-c)(z-c) = R2

- Kuasa titik P(x1,y1,z1) terhadap bola : x2+ y2+ z2+2Ax+2By+2Cz+D= 0 adalah k = x12+ y12+ z12+2Ax1+2By1+2Cz1+D k >0 jika P diluar bola, k< 0 jika P didalam bola, k = 0 jika P pada bola

Bidang kuasa dr dua bola BI = 0 dan BII = 0

BI : x2+ y2+ z2+2A1x+2B1y+2C1z+D1= 0 BII: x2+ y2+ z2+2A2x+2B2y+2C2z+D2= 0

Persaman bidang kuasa dari dua bola BI dan BII adalah

BI - BII = 0 atau2(A1-A2)x + 2(B1-B2)y + 2(C1-C2)z +D1-D2 = 0

Persamaan bidang kuasa ini adalah merupakan tempat kedudukan titik – titik yang kuasanya sama terhadap bola BI dan BII

Garis kuasa dan titik kuasa

1. Jk 3 bola : BI = 0, BII = 0, dan BIII = 0 tidak melalui satu titik. Maka : BI = BII = BIII adalah persamaan garis kuasa tiga bola itu

2. Jika 4 bola : BI = 0, BII = 0, BIII = 0 dan BIV = 0 tidak melalui 2 titik yang sama maka

BI = BII = BIII =BIV adalah persamaan titik kuasa dari 4 bola itu

TABUNG DAN KERUCUT

Bidang Tabung adalah bidang yang dilukiskan oleh garis-garis lurus yang arahnya sama sejajar (yg disbt garis lukis) dan selalu memotong sebuah garis lengkung tertentu (yg disbt garis lengkung arah

Bidang kerucut adalah bidang yg dilukiskan oleh garis lurus yang melalui sebuah titik tetap (yg disbt puncak kerucut) dan memotong sebuah garis lengkung tertentu (yg disbt grs lengkung arah)

BIDANG PUTARAN Bdg putaran adalah bdg yg terjadi jk sebuah grs

(lengkung/lrs) berputar sekeliling sebuah grs lrs sbg sumbu.

Grs lengkung datar : y = 0, f(x,z) = 0; diputar sekeliling sb z, maka pers bid putaran yang terjadi adalah ; f( x2+ y2 , z) = 0

Grs lengkung datar : y = 0, f(x,z) = 0; diputar sekeliling sb x, maka pers bid putaran yang terjadi adalah ; f( x, y2+ z2 ) = 0

1. Jk grs lurus : x/a + z/b = 1, y = 0 diputar sekeliling sb z, maka terjadi :

( x2+ y2 )/a + z/b = 1 ATAU (x2+ y2)/ a2 = (b-z)2/ b2 : ialah kerucut2. Jk lingkaran x2+ y2 = a2 , y = 0 diputar sekeliling sb z, maka x2+ y2 + z2 = a2 adalah bola3. Jk parabola : x2 = 2pz, y = 0 diputar sekeliling sb z, mk terjadi x2+ y2 = 2pz adalah parabolaida putaran

4. Jk ellips : x2 /a2 + z2/b2 = 1, y = 0 diputar sekeliling sb z maka terjadi (x2+ y2)/ a2 + z2 /b2 = 1 atau x2/a2 + y2/a2 + z2/b2 = 1 adalah sebuah elipsoida putaran

5.Jk hiperbola : x2 /a2 - z2/b2 = 1, y = 0 diputar sekeliling sb z maka terjadi

(x2+ y2)/ a2 - z2 /b2= 1atau x2/a2 + y2/a2 - z2/b2 = 1 ialah sebuah hiperbola putaran daun satu.

6. Jk hiperbola : x2 /a2 - z2/b2 = -1, y = 0 diputar sekeliling sb z maka terjadi (x2+ y2)/ a2 - z2 /b2= -1atau - (x2/a2) - y2/a2 + z2/b2 = 1 ialah sebuah hiperbola putaran daun dua.

7. Jk grs lurus x = a, y = 0 diputar sekeliling sb z, mk terjadi :

(x2+ y2)1/2 = a atau x2+ y2 = a2

Ialah sebuah tabung silinder

BIDANG DERAJAT DUA

1. Elipsoida

x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1

Perpotonganya dgn bid koordinat berupa ellips. Pers bid singgung dititik P(x1,y1,z1) adalah

x1x/a2 + y1y/b2 + z1z/c2 = 1

2. Parabola Eliptik

x2/a2 + y2/b2 = (2p/a2) z2

-Perpotongan dgn bid z = k > 0 x2/a2 + y2/b2 = (2pk/a2) z2 berupa ellips

- Perpotongan dgn bid y = 0 berupa parabola- Perpotongan dgn bid x= 0 berupa parabola

- Persamaan bidang singgung dititik T(x1,Y1,z1) adalah :

x1x/a2 + y1y/b2 = (p/a2) .(z+z1)

3. Hiperbola daun satu x2/a2 + y2/b2 - z2/c2 = 1 - Perpotongan dgn bid koordinat : Dengan bid z = 0 berupa ellips Dengan bid x = 0 berupa hiperbola Dengan bid y = 0 berupa hiperbola

- Persamaan bidang singgung dititik P(x1,Y1,z1) adalah :

x1x/a2 + y1y/b2 – z1z/c2 = 1

4. Hiperbola daun duax2/a2 - y2/b2 - z2/c2 = 1- Perpotongan dgn bid koordinat : Dengan bid z = 0 berupa hiperbola Dengan bid x = 0 berupa elips khayal y2/b2 + z2/c2 = -1 Dengan bid y = 0 berupa hiperbola Dengan bid x = k dimana k>a adalah y2/b2 + z2/c2 = k2/a2 -1 berupa ellips real (k2/a2 -1) > 0

- Persamaan bidang singgung dititik P(x1,Y1,z1) adalah :

x1x/a2 - y1y/b2 – z1z/c2 = 1

5. Parabolaida hiperbolik x2/a2 - y2/b2 = 2pz/a2

- Perpotongan dgn bid z = 0 , y2= b2x2 /a2, y = bx/a ,berupa dua grs lrs- Dengan bid z = k : x2/a2 - y2/b2 = 2pk/a2

berupa hiperbola - Dengan bid y = 0 : x2 = 2pz berupa parabola- Dengan bid x = 0 : y2 = -b2 2pz /a2 berupa parabola

- Persamaan bidang singgung dititik P(x1,y1,z1) adalah :

x1x/a2 - y1y/b2 = p/a2 (z+z1)

SELAMAT BELAJAR

GOOD LUCK