Giocare con la probabilità

Dato l’evento A, si intende per probabilità di A ( si scrive P(A)) il rapporto tra il numero dei casi favorevoli ad A e il numero dei casi possibili.

P(A) =nA/ N

Qual è la probabilità che lanciando un dado si ottenga un risultato divisibile per 3?

I risultati possibili del lancio di un dado sono sei: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Se il dado non è truccato, lanciandolo un gran numero di volte troveremo che il 6, ad esempio, si presenterà, grosso modo, lo stesso numero di volte del 2 o di qualunque altro risultato.

Attribuiamo allora a ciascun punto la stessa probabilità, 1/6:

1: 1/6 2: 1/6 3: 1/6 4: 1/6 5: 16 6: 1/6 Ho contrassegnato i casi favorevoli

all’evento A: risultato divisibile per 3.

Qual è la probabilità che lanciando un dado si ottenga un risultato divisibile per 3?

Posso allora rispondere:

P(A) = (1 +1)/6 = 1/3

E se il dado fosse truccato? Supponiamo che la faccia 3 del dado sia

stata appesantita: per tener conto di questo, si associano a tutti i risultati valori di probabilità diversi da 1/6 . Le probabilità possono essere ricavate dai lanci ripetuti del dado: saranno però sempre numeri positivi, minori o uguali a 1, tali che la loro somma sia precisamente 1. Una distribuzione possibile è la seguente:

P(A) = 7/24 + 17/120 =52/120 > 1/3

Risultati Probabilità

1 17/120 (<1/6 = 20/120)

2 17/120 (<1/6)

3 7/24 = 35/120 (>1/6)

4 17/120 (<1/6)

5 17/120 (<1/6)

6 17/120 (<1/6)

La probabilità di eventi complessi

Gli eventi si combinano tra loro mediante le operazioni di negazione, congiunzione e disgiunzione:

Complemento di A o negazione di A o A negato, in simboli A: è l’evento che avviene quando non si verifica A.

A: oggi è una bella giornata : P(A) = x

A: oggi non è una bella giornata: P( A) = 1 - x

La probabilità di eventi complessi

A congiunto B ovvero A B è un nuovo evento C che si realizza quando si verifica sia A che B

(A = Oggi è bel tempo, B = oggi è vacanza, A B = Oggi è bel tempo ed è vacanza);

La probabilità di eventi complessi

A disgiunto B ovvero A B è un nuovo evento C che si realizza quando si verifica A oppure B.

A: stasera vado al cinema,

B : stasera ceno in pizzeria,

A B = stasera vado al cinema oppure ceno in pizzeria. Si osservi che C si considera verificato anche se oggi vado al cinema e ceno pure in pizzeria.

La probabilità composta

Esaminiamo la congiunzione tra eventi. Supponiamo di avere 200 frutti, di cui il 30%

costituito da mele e il 70% da pere. Sappiamo che il 5% delle mele e il 16% delle pere sono guaste: qual è la probabilità, scegliendo a caso un frutto, di avere una mela guasta?

Prima calcoliamo quante sono le mele guaste:

Mele guaste = 200 (30/100) (5/100).

Qual è la probabilità, scegliendo a caso un frutto, di avere una mela guasta?

Dalla formula:

Mele guaste = 200 (30/100) (5/100).

otteniamo subito la probabilità

.100

5

100

30

200

.)(

guastemelenguastaMelaP

Dal caso particolare alla formula

generale A = Il frutto estratto è una mela, B = Il frutto è guasto B/A = Il frutto è guasto ,sapendo che è una mela

= probabilità di B subordinata a A. A B = il frutto estratto è una mela e Il frutto è

guasto

)/()()( ABPAPBAP

La precedente formula si può anche scrivere come

P(B/A) è la probabilità di B subordinata ad A

.)(

)()/(

AP

BAPABP

La probabilità di B subordinata a A

Si scrive P(B/A) ed è la probabilità attribuita all’evento B, nel caso che sia avvenuto A. Il fatto che B sia preceduto o meno da A può cambiare la valutazione della probabilità:

Se è nuvolo, aumenta la probabilità che piova; se è sereno, tale probabilità diminuisce.

L’evento B non dipende da A Se P(B/A)= P(B), si dice che A e B

sono indipendenti. A: ottengo testa lanciando una

moneta. B: ottengo croce lanciando una

moneta. P(B/A) = P(B).

Alle urne! Alle urne!

Un’urna contiene 9 palline, numerate da 1 a 9. Si estraggono successivamente 2 palline, senza rimettere la prima nell’urna. Calcolare la probabilità che

a) la prima pallina estratta sia pari e la seconda dispari;

b) le palline abbiano un numero pari e un numero dispari

Alle urne! Alle urne!

c) entrambe siano dispari;

d) entrambe abbiano un numero primo;

e) una pallina abbia un numero primo e la seconda non primo.

Soluzioni

a) A : prima pallina pari, B: seconda dispari. L’insieme delle palline ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

b) La probabilità richiesta è il doppio della precedente: 5/9.

.18

5

8

5

9

4)/()()( ABPAPBAP

Alle urne! Alle urne!

c) D1 = La prima pallina è dispari; D2 = La seconda pallina è dispari.

.18

5

9

5

8

4)()/()( 11221 DPDDPDDP

d) C = numero primo.

.6

1

9

4

8

3)()/()( 11221 CPCCPCCP

Soluzioni

e) La probabilità richiesta è uguale a

P(C1~C2) + P(C2~C1) = .9

5

8

4

9

5

9

4

8

5

Probabilità totale

Esaminiamo la disgiunzione tra eventi. Abbiamo parlato di casi favorevoli ad un evento A; a questo punto è opportuno entrare nel dettaglio. I cosiddetti casi in realtà sono gli eventi elementari che costituiscono l’evento considerato. Per capire cosa si intende con questo discorso, pensiamo al lancio di tre monete. Fissiamo come evento A l’uscita di due teste in tre lanci. I possibili risultati si possono tabulare:

Probabilità totale

T T T T T C I gruppi selezionati sono gli eventi favorevoli ad A:

T C T P(A) = 3/8. T C C Se B = due croci, ovviamente non ci sono eventi C T T elementari contemporaneamente  C T C favorevoli ad A e B : C C T P(AB) = P(A) + P(B) = 3/8 + 3/8 = ¾. C C C

In generale , vale il cosiddetto principio di inclusione-esclusione :

P(AB) = P(A) + P(B) – P(A B). La sottrazione è giustificata dal fatto che se A

e B ammettono eventi elementari comuni, questi vengono contati due volte nella somma P(A) + P(B).

Probabilità totale

In una scuola, ci sono 50 studenti che parlano perfettamente il francese, 140 che parlano benissimo l’inglese e 15 che parlano entrambe le lingue; ci sono infine 50 studenti che parlano solo tedesco. Qual è la probabilità che uno studente preso a caso parli francese o inglese?

L’evento A è: lo studente parla francese e B è : lo studente parla inglese. Applicando

il principio enunciato, si ottiene:

%.7845

35

15

1

45

28

9

2

225

15

225

140

225

50

)()()()(

BAPBPAPBAP

Basta con le capre! In un gioco televisivo, il concorrente deve

scegliere tra tre porte: dietro una delle porte c’è un' automobile, mentre dietro le altre o non c’è niente o c’è una capra. Una volta che il concorrente ha scelto, il presentatore, che sa dove sta la macchina, apre una delle porte rimaste chiuse, dove non c’è il premio ma la capra o niente del tutto. Offre al concorrente di cambiare la porta scelta: è conveniente per il concorrente cambiare la stanza scelta?

Una capra al giorno leva il medico di torno E’ facile convincersi che la probabilità

di vincere inizialmente è 1/3 e quindi quella di perdere è 2/3. Una volta che il presentatore ha aperto una delle porte, restano chiuse la porta scelta inizialmente dal concorrente e un’ ultima porta.

Andare a piedi fa bene

Se non cambia le sue scelte, il concorrente continua ad avere la probabilità di 1/3 di vincere e di 2/3 di perdere; le probabilità non cambiano, qualunque cosa faccia il presentatore.

Dunque, se il giocatore non cambia la sua scelta, ha sempre la probabilità di 1/3 di vincere e 2/3 di perdere: se invece cambia la sua scelta, quella che era la probabilità di perdere diventa la probabilità di vincere.

Il calcolo combinatorio Molte questioni di probabilità si riconducono

al calcolo combinatorio. Quest’ultimo studia il numero dei modi con cui si possono formare dei gruppi utilizzando gli elementi di un insieme.

Ad esempio, si tratta di trovare il numero delle parole ottenibili da un alfabeto finito di lettere, il numero dei modi con cui si possono mettere un certo numero k di biglie in n scatole, le possibili classifiche in una gara di corsa eccetera.

Devi dividere 100 persone in gruppi da 20: quanti gruppi puoi formare? Per fissare le idee, consideriamo un

insieme di n oggetti: quanti gruppi di k elementi si possono ottenere? Va chiarito se uno stesso oggetto può comparire una sola volta nel gruppo, oppure no: nel primo caso parleremo di disposizioni semplici e nell’altro di disposizioni con ripetizione.

Madre e non mamma.

Se ad esempio studiamo le parole che si possono formare con le lettere prese da un certo alfabeto, nelle parole non ci devono essere lettere ripetute, come in mamma, calcolo ma solo parole con lettere tutte diverse: pertica, corsa, pecora, rapina. Il numero delle disposizioni di k oggetti scelti tra gli n elementi di un insieme è uguale a

Dn,k = n ( n –1) ( n – 2) … ( n – k+1). Per giustificare la formula supponiamo che in una

corsa cui partecipano n =30 persone si vogliano premiare i primi quattro (k =4): quante sono le possibili graduatorie?

Ma se n = k, si parla di permutazioni. In numero delle permutazioni di n oggetti èn ( n –1) ( n – 2) … ( n – k+1)… 3 2 1Questo prodotto si chiama fattoriale di n e si

indica con n!

Si hanno 30 possibilità per il primo arrivato, per ognuna di queste 29 per il secondo, 28 per il terzo e 27 (= n – k +1) per l’ultimo. Dunque le possibili graduatorie sono D 30, 4 = 30 29 28 27.

Che combinazione!

Nella formazione dei gruppi, può essere tenuto presente o no l’ordine con cui compaiono gli elementi: due disposizioni sono diverse se non contengono gli stessi componenti, oppure se contengono gli stessi elementi in un ordine diverso. Quando non teniamo conto dell’ordine con cui gli elementi si dispongono nel gruppo, si parla di combinazioni.

Una fortunata combinazione! Per calcolare quante combinazioni semplici

di k elementi si possono ottenere da un insieme di n oggetti, si può procedere in questo modo: immaginiamo che il numero delle combinazioni sia x. Per calcolare le disposizioni, si considerano quanti gruppi si ricavano dalle x combinazioni mutando, in tutti i modi possibili, l’ordine degli elementi delle combinazioni; poiché il numero degli elementi di una combinazione è k, ogni combinazione dà luogo a k! disposizioni.

E’ proprio una bella formula…

Dunque Dn,k = x k! e il numero delle combinazioni, è dato da

)!(!

!

!

)1(...)1(, knk

n

k

knnn

k

nC kn

Il vizio del gioco.

Esempio: nel gioco del poker si distribuiscono 5 carte, prese da un mazzo di 32, fra 4 giocatori:

a) quante sono le possibili mani? b) Che probabilità ci sono di avere almeno tre assi?

Baronetto: baro molto pulito.. a) Le possibili mani:

La probabilità di avere almeno tre assi

376.20112345

2829303132

!27!5

!325,32

C

%2201376

28294)(

assitreP

Solamente un tris! Nel caso precedente, si considera anche la

possibilità del poker d’assi, ovvero 4 assi. Se voglio soltanto un tris, allora i casi

favorevoli sono:

4 (32 – 4) (32 – 5) = 4 28 27.

La probabilità di fare solo un tris è

%5,1201376

27284)(

assitresoloP