● Il Teorema di Bernoulli implica che la frequenza f(A) con cui si presenta un determinato fenomeno tende, all'aumentare del numero di osservazioni,

alla probabilità P(A) da associare al verificarsi dell'evento stesso .

La legge dei grandi numeri

● La legge dei grandi numeri stabilisce invece una relazione tra la media aritmetica xmedia di un certo campione (x1,x2,......,xN) di una v.a (qualunque sia la sua distribuzione di probabilità ) e il valore atteso E(x) di tale variabile.

● Gli studenti hanno già verificato nei risultati della loro esperienza (lancio dei dadi) il significato della convergenza statistica della legge dei grandi numeri.

Esempio: Calcolo delle medie

Un dado a 6 facce viene lanciato 100 volte e raggruppando le osservazioni in 10 set di 10 misure si è ottenuta la tabella seguente

osservazioni

● con i 10 set di N=10 misure si osserva che i valori medi

fluttuano molto (da 2.9 a 4.1)

● 10 misure non sono sufficienti per avere un errore della

media accettabile (come verificheremo di seguito)

Calcolo delle deviazioni standard x

● Calcoliamo per ogni set di N=10 osservazioni la deviazione standard

e confrontiamola con la deviazione standard per l’intero set di

osservazioni

● osservazioni

- con i 10 set di N=10 misure si osserva che i valori della

deviazione standard x hanno fluttuazioni molto inferiori

alle fluttuazioni dei valori medi (da 1.72 a 2.00)

- il valore medio delle 10 x non coincide con il x

calcolato dalle 100 misure (l’operazione matematica del

calcolo di x non è lineare!)

Supponendo il dado equiprobabile si hanno valori di P(x) = 1/6

● e il valore E(x) = x P(x) = 3.5 (indico con il valore E(x))

● e il valore della Var(x) = (x - )2 P(x) =

● = (x)2 P(x) - 2 x P(x) + ()2 P(x) =

● =1/6*(1+4+9+16+25+36) - (3.5)2 =91/6-12.25=2.917

● e quindi la σ = 1.708

Teorema del limite centrale: convergenza (per N

abbastanza grandi) della deviazione standard della

media

Xmedio a X/N

Consideriamo le 10 medie e calcoliamo la

deviazione standard delle medie xmedia

Usiamo la formula per N piccoli in cui le Fi = 1

Dal confronto della Xmedia calcolata = 0.34

e i valori X/N in tabella risulta che N=10 è ancora troppo piccolo per rendere

evidente la convergenza.