INTRODUCCIÓN

El teorema de Bernoulli es una aplicación directa del principio de conservación de energía. Con otras palabras está diciendo que si el fluido no intercambia energía con el exterior (por medio de motores, rozamiento, térmica, etc.) esta ha de permanecer constante.

El teorema considera los tres únicos tipos de energía que posee el fluido que pueden cambiar de un punto a otro de la conducción. Estos tipos son; energía cinética, energía potencial gravitatoria y la energía debida a la presión de flujo (hidrostática). 

Teorema de Bernoulli, principio físico que implica la disminución de la presión de un fluido (líquido o gas) en movimiento cuando aumenta su velocidad.

El teorema se aplica al flujo sobre superficies, como las alas de un avión o las hélices de un barco. Las alas están diseñadas para que obliguen al aire a fluir con mayor velocidad sobre la superficie superior que sobre la inferior, por lo que la presión sobre esta última es mayor que sobre la superior. Esta diferencia de presión proporciona la fuerza de sustentación que mantiene al avión en vuelo. Una hélice también es un plano aerodinámico, es decir, tiene forma de ala. En este caso, la diferencia de presión que se produce al girar la hélice proporciona el empuje que impulsa al barco. El teorema de Bernoulli también se emplea en las toberas, donde se acelera el flujo reduciendo el diámetro del tubo, con la consiguiente caída de presión. Asimismo se aplica en los caudalímetros de orificio, también llamados Venturi, que miden la diferencia de presión entre el fluido a baja velocidad que pasa por un tubo de entrada y el fluido a alta velocidad que pasa por un orificio de menor diámetro, con lo que se determina la velocidad de flujo y, por tanto, el caudal.

OBJETIVOS

General:

Comprobar experimentalmente la validez de la ecuación de Bernoulli.

Específicos:

Determinar las transformaciones de energía cinética en energía de presión y viceversa.

Evaluar el comportamiento de la presión dinámica a lo largo de una tubería de sección variable.

Evaluar el comportamiento de la velocidad a lo largo de una tubería de sección variable.

Que el estudiante conozca la naturaleza de las pérdidas de energía que sufre el flujo de un conducto debido a la fricción, y la fórmula práctica para el cálculo de las mismas.

TEOREMA DE BERNOULLI

Flujos incompresibles y sin rozamiento. Estos flujos cumplen el llamado teorema de Bernoulli, enunciado por el matemático y científico suizo Daniel Bernoulli. El teorema afirma que la energía mecánica total de un flujo incompresible y no viscoso (sin rozamiento) es constante a lo largo de una línea de corriente. Las líneas de corriente son líneas de flujo imaginarias que siempre son paralelas a la dirección del flujo en cada punto, y en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria de las partículas individuales de fluido. El teorema de Bernoulli implica una relación entre los efectos de la presión, la velocidad y la gravedad, e indica que la velocidad aumenta cuando la presión disminuye. Este principio es importante para la medida de flujos, y también puede emplearse para predecir la fuerza de sustentación de un ala en vuelo.

Teorema de Bernoulli, principio físico que implica la disminución de la presión de un fluido (líquido o gas) en movimiento cuando aumenta su velocidad. Fue formulado en 1738 por el matemático y físico suizo Daniel Bernoulli, y anteriormente por Leonhard Euler. El teorema afirma que la energía total de un sistema de fluidos con flujo uniforme permanece constante a lo largo de la trayectoria de flujo. Puede demostrarse que, como consecuencia de ello, el aumento de velocidad del fluido debe verse compensado por una disminución de su presión.

El teorema se aplica al flujo sobre superficies, como las alas de un avión o las hélices de un barco. Las alas están diseñadas para que obliguen al aire a fluir con mayor velocidad sobre la superficie superior que sobre la inferior, por lo que la presión sobre esta última es mayor que sobre la superior. Esta diferencia de presión proporciona la fuerza de sustentación que mantiene al avión en vuelo. Una hélice también es un plano aerodinámico, es decir, tiene forma de ala. En este caso, la diferencia de presión que se produce al girar la hélice proporciona el empuje que impulsa al barco. El teorema de Bernoulli también se emplea en las toberas, donde se acelera el flujo reduciendo el diámetro del tubo, con la consiguiente caída de presión. Asimismo se aplica en los caudalímetros de orificio, también llamados Venturi, que miden la diferencia de presión entre el fluido a baja velocidad que pasa por un tubo de entrada y el fluido a alta velocidad que pasa por un orificio de menor diámetro, con lo que se determina la velocidad de flujo y, por tanto, el caudal.

Cuando una pelota se tira con efecto, su trayectoria se curva debido a las fuerzas que surgen al girar sobre sí misma. La superficie rugosa arrastra el aire adyacente y lo hace girar. Esto crea una zona de alta presión en un lado y de baja presión en el otro; la diferencia de presiones hace que su trayectoria se curve.

Figura 3.

Ecuación de Bernoulli

Evaluemos los cambios energéticos que ocurren en la porción de fluido señalada en color amarillo, cuando se desplaza a lo largo de la tubería. En la figura, se señala la situación inicial y se compara la situación final después de un tiempo Δt. Durante dicho intervalo de tiempo, la cara posterior S2 se ha desplazado v2Δt y la cara anterior S1 del elemento de fluido se ha desplazado v1Δt hacia la derecha.

Figura 4.

El elemento de masa m se puede expresar como:

m=ρ S2v2t=ρ S1v1t= ρV Ecuación 1.

Comparando la situación inicial en el instante t y la situación final en el instante t+Δt. Observamos que el elemento Δm incrementa su altura, desde la altura y1 a la altura y2

La variación de energía potencial es:

Ep=m·gy2-m·gy1=ρ V· (y2-y1) g Ecuación 2.

     El elemento m cambia su velocidad de v1 a v2,

La variación de energía cinética es:

Ek=   Ecuación 3.

     El resto del fluido ejerce fuerzas debidas a la presión sobre la porción de fluido considerado, sobre su cara anterior y sobre su cara posterior:

F1=p1S1 y F2=p2S2. Ecuación 4.

     La fuerza F1 se desplaza x1=v1t. La fuerza y el desplazamiento son del mismo signo.

     La fuerza F2 se desplaza x2=v2 t. La fuerza y el desplazamiento son de signos contrarios.

El trabajo de las fuerzas exteriores es:

W=F1 x1- F2 x2= (p1-p2) V Ecuación 5.

     El teorema del trabajo-energía nos dice que el trabajo de las fuerzas exteriores que actúan sobre un sistema de partículas modifica la energía cinética y la energía potencial del sistema de partículas

W=Ek+EpEcuación 6.

     Simplificando el término V y reordenando los términos obtenemos la ecuación de Bernoulli

Ecuación 7.

Efecto Venturi

 

Figura 5.

     Cuando el desnivel es cero, la tubería es horizontal. Tenemos entonces, el denominado tubo de Venturi, cuya aplicación práctica es la medida de la velocidad del fluido en una tubería. El manómetro mide la diferencia de presión entre las dos ramas de la tubería.

     La ecuación de continuidad se escribe

v1S1=v2S2Ecuación 8.

     Que nos dice que la velocidad del fluido en el tramo de la tubería que tiene menor sección es mayor que la velocidad del fluido en el tramo que tiene mayor sección. Si S1>S2, se concluye que v1<v2.

     La en la ecuación de Bernoulli con y1=y2

Ecuación 9.

     Como la velocidad en el tramo de menor sección es mayor, la presión en dicho tramo es menor.

    Si v1<v2 se concluye que p1>p2. El líquido manométrico desciende por el lado izquierdo y asciende por el derecho

     Podemos obtener las velocidades v1 y v2 en cada tramo de la tubería a partir de la lectura de la diferencia de presión p1-p2 en el manómetro.

Ecuación 10.

DESCRIPCIÓN DE LA PRÁCTICA

En la práctica de Comprobación del Teorema de Bernoulli, se analizó una tubería para lograr determinar caudal, la velocidad en cada sección, la energía cinética en cada sección, la energía total en cada sección, graficar la energía, determinar las transformaciones de energía cinética en presión y viceversa, así mismo graficar un esquema similar al anterior pero con las variaciones de la transformación de la energía a lo largo del tubo.

La práctica se realizó de la siguiente manera:

Hacer circular el agua a través de la tubería Tomar las alturas de las columnas de agua de cada uno de los 11 piezómetros

en mm lo cual equivale a la carga (energía) de presión en cada punto H. Medir el caudal de agua a través del tubo por medio del método volumétrico de

aforo (caudal), realizando tres veces la medición y verificando el margen de error.

El equipo utilizado:

El equipo consiste en un tubo de sección rectangular de ancho constante y altura variable, por el cual circula agua con un caudal constante. Éste está dotado de 11 piezómetros separados a una distancia de 25 mm uno del otro, uno para cada sección analizada, y por medio de ello será posible medir la presión hidrostática equivalente a una columna de líquido.

RESULTADOS

1. Determinar el caudal

Caudal=Vt=[ cm

3

seg]

Dónde:

V= volumen (cm3 ¿

t = tiempo (segundos)

Tabla No. 1: Caudal

Error de medición = Qmax−QminQmax

*

Qmax=83.96cm3

seg

Qmin=77.49cm3

seg

Error de medición

Caudal promedio = 80.095 cm3

seg

No. Caudal Volumen(cm3) Tiempo (Seg) Caudal (cm3/ seg¿Numero 1 2000 25.81 77.49Numero 2 2000 25.37 78.83Numero 3 2000 23.82 83.96

2. Determinar la velocidad en cada sección analizada

V=QA

=[ cmseg

]

Dónde:

Q= Caudal promedio

A = base * altura

Base = 7mm = 0.7 cms = constante

Altura = h

Tabla No. 2: Velocidad del fluido

Altura h (mm)

Area (mm²)

Area (cm²)

V=Q/A

14 98 0.98 81.73

13 91 0.91 88.02

12 84 0.84 95.35

11 77 0.77 104.02

10 70 0.7 114.42

9 63 0.63 127.14

10 70 0.7 114.42

11 77 0.77 104.02

12 84 0.84 95.35

13 91 0.91 88.02

14 98 0.98 81.73

3. Calcular la Energía Cinética en Cada Sección

Ec=V 2

2 g=[cm ]

Dónde:

V= velocidad (cm / seg)

g= 981 cm / seg2

Tabla No. 3: Energía Cinética

No. V=Q/A Ec =V²/2g

1 81.73 3.402 88.02 3.953 95.35 4.634 104.02 5.515 114.42 6.676 127.14 8.247 114.42 6.678 104.02 5.519 95.35 4.63

10 88.02 3.9511 81.73 3.40

4. Energía Total en Cada Sección

Et=EP+Ec

Donde

ET=¿ Energía total (cms)

EP=¿ Energía de presión (cms)

EP=Pγ

= Altura del piezómetro

EC=¿ Energía cinética (cms)

Tabla No. 4: Energía Total

No. EP (cm) EC (cm)ET

(cm)

1 34.7 3.40 38.10

2 33.5 3.95 37.45

3 32.2 4.63 36.83

4 30.7 5.51 36.21

5 28.5 6.67 35.17

6 25.9 8.24 34.14

7 27 6.67 33.67

8 28 5.51 33.51

9 28.5 4.63 33.13

10 29 3.95 32.95

11 29.5 3.40 32.90

5. Gráfico de Energías en las Secciones

6. Determinar las Transformaciones de Energía

ΔEC=Ecf−Eci

ΔEP=Epf−E pi

Donde

ΔEC=¿Cambio de energía cinética (cm)

Ecf=¿ Energia cinetica final

Eci=¿ Energia cinetica inicial

ΔEP=¿Cambio de energía de presión (cm)

Epf=¿ Energia de presión final

Epi=¿ Energia de presión inicial

Tabla No. 5: Transformaciones de Energía

No. EP (cm) EC (cm)ET

(cm)ΔEC ΔEP

1 34.7 3.40 38.10 0.00 0.00

2 33.5 3.95 37.45 0.54 -1.20

3 32.2 4.63 36.83 0.69 -1.30

4 30.7 5.51 36.21 0.88 -1.50

5 28.5 6.67 35.17 1.16 -2.20

6 25.9 8.24 34.14 1.57 -2.60

7 27 6.67 33.67 -1.57 1.10

8 28 5.51 33.51 -1.16 1.00

9 28.5 4.63 33.13 -0.88 0.50

10 29 3.95 32.95 -0.69 0.50

11 29.5 3.40 32.90 -0.54 0.50

7. Grafica de la Variación de las Transformaciones de Energía

CONCLUSIONES

Se comprobó de forma experimental que la ecuación o principio de Bernoulli es válida para fluido perfecto (sin viscosidad ni rozamiento) ya que por medio de los resultados se puede observar que la presión disminuye en el fluido cuando aumenta su velocidad.

Flujos incompresibles y sin rozamiento. Estos flujos cumplen el llamado teorema

de Bernoulli, enunciado por el matemático y científico suizo Daniel Bernoulli. El teorema afirma que la energía mecánica total de un flujo incompresible y no viscoso (sin rozamiento) es constante a lo largo de una línea de corriente. Las líneas de corriente son líneas de flujo imaginarias que siempre son paralelas a la dirección del flujo en cada punto, y en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria de las partículas individuales de fluido. El teorema de Bernoulli implica una relación entre los efectos de la presión, la velocidad y la gravedad, e indica que la velocidad aumenta cuando la presión disminuye. Este principio es importante para la medida de flujos, y también puede emplearse para predecir la fuerza de sustentación de un ala en vuelo.

Teorema de Bernoulli, principio físico que implica la disminución de la presión de un fluido (líquido o gas) en movimiento cuando aumenta su velocidad. Fue formulado en 1738 por el matemático y físico suizo Daniel Bernoulli, y anteriormente por Leonhard Euler. El teorema afirma que la energía total de un sistema de fluidos con flujo uniforme permanece constante a lo largo de la trayectoria de flujo. Puede demostrarse que, como consecuencia de ello, el aumento de velocidad del fluido debe verse compensado por una disminución de su presión.

General:

Comprobar experimentalmente la validez de la ecuación de Bernoulli.

Específicos:

Determinar las transformaciones de energía cinética en energía de presión y viceversa.

Evaluar el comportamiento de la presión dinámica a lo largo de una tubería de sección variable.

Evaluar el comportamiento de la velocidad a lo largo de una tubería de sección variable.

Que el estudiante conozca la naturaleza de las pérdidas de energía que sufre el flujo de un conducto debido a la fricción, y la fórmula práctica para el cálculo de las mismas.

E-GRAFÍA

http://rabfis15.uco.es/MecFluidos/Programa/Untitled-19.htm

http://educativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio/4750/4918/html/23_teorema_de_bernoulli.html

http://www.ecured.cu/index.php/Teorema_de_Bernoulli

http://www.lawebdefisica.com/dicc/bernoulli/

ANEXOS

1. DETERMINACIÓN DEL CAUDAL (PRIMERA CORRIDA)

Caudal=Vt=[ cm

3

seg]

Dónde:

V = volumen (cm3 ¿ = 2000 cm3

t = tiempo (segundos) = 25.81 segundos

Caudal= 2000cm3

25.81 seg=77.49 [ cm

3

seg]

NOTA: Se efectuó el mismo procedimiento para los demás caudales

Error de medición = Qmax−QminQmax

*

Donde el caudal mínimo fue de 77.49cm3

seg

Donde el caudal máximo fue de 83.96cm3

seg

Error de medición = 77.49

cm3

seg−83.96 cm

3

seg

83.96cm3

seg

= 7.7%

2. DETERMINACIÓN DE LA VELOCIDAD EN LA PRIMERA SECCIÓN

V=QA

=[ cmseg

]

Dónde:

Q = Caudal promedio (Promedio de los 3 caudales) = 80.095 cm3

seg

A = Base * Altura

Base = 7mm = 0.7 cm = (El cual es constante)

Altura = h = 14mm (Alturas ya dadas en el instructivo) = 1.4cm

V=80.095

cm3

seg(0.7 cm)(1.4 cm)

=81.73 [ cmseg

]

NOTA: Se efectuó el mismo procedimiento para las 11 alturas

3. CALCULAR LA ENERGÍA CINÉTICA EN UNA SECCIÓN

Ec=V 2

2 g=[cm ]

Dónde:

V = velocidad (cm / seg)

Tomando la velocidad No. 1 = 81.73 [cmseg

]

g = 981 cm / seg2

NOTA: Se efectuó el mismo procedimiento para las energías cinéticas

4. ENERGÍA TOTAL EN CADA SECCIÓN (PRIMERA CORRIDA)

Et=EP+Ec

Donde:

ET=¿ Energía total (cm)

EP=¿ Energía de presión (cm)

EP=Pγ

= Altura del piezómetro

EC=¿ Energía cinética (cm)

EC=¿ 3.40 [cm ]

EP=Pγ=¿Altura del piezómetro = 34.7 [cm ] Dato tomado en la practica

ET = 3.40 [cm ]+34.7 [cm ] = 38.10 [cm ]

NOTA: Se efectuó el mismo procedimiento para cada una de las 11 alturas.

5. DETERMINAR LAS TRANSFORMACIONES DE ENERGÍA (SEGUNDA CORRIDA)

ΔEC=Ecf−Eci

ΔEP=Epf−E pi

Donde:

ΔEC=¿Cambio de energía cinética (cm)

Ecf=¿ Energia cinetica final

Eci=¿ Energia cinetica inicial

ΔEP=¿Cambio de energía de presión (cm)

Epf=¿ Energia de presión final

Epi=¿ Energia de presión inicial

PARA: ΔEC=Ecf−Eci

Ecf ¿3.95 [cm ] Eci ¿3.40 [cm ]

ΔEC=3.95 [cm ]−3.40 [cm ]=0.54

NOTA: Se realizo el mismo procedimiento para las 11 Alturas

PARA: ΔEP=Epf−E pi

EPf ¿33.5 [cm ] EPi ¿34.7 [cm ]

ΔEP=33.5 [cm ]−34.7 [cm ]=−1.20

NOTA: Se realizo el mismo procedimiento para las 11 Alturas