Laboratorio de Mecánica de Fluidos - Práctica Teorema de Bernoulli

RESPUESTA: a= 1.16 M/S2

Practica: Teorema de Bernoulli.

Mecánica de Fluidos.

TEOREMA DE BERNOULLI.

OBJETIVO: Demostrar el teorema de Bernoulli (Principio de conservación de la energía) mediante un tubo Venturi que maneja agua.

INTRODUCCIÓN: El flujo de fluidos es complejo y no siempre puede ser estudiado de forma exacta mediante el análisis matemático. Contrariamente a lo que sucede con los sólidos, las partículas de un fluido en movimiento pueden tener diferentes velocidades y estar sujetas a distintas aceleraciones. Tres principios fundamentales que se aplican al flujo de fluidos son:

a) El principio de la conservación de la masa, a partir del cual se establece la ecuación de continuidad.

b) El principio de la energía cinética, a partir de la cual se deducen ciertas ecuaciones aplicables al flujo, y

c) El principio de la cantidad de movimiento, a partir del cual se deducen ecuaciones para calcular las fuerzas dinámicas ejercidas por los fluidos en movimiento.

Flujo de Fluidos: El flujo de los fluidos puede ser permanente o no permanente; uniforme o no uniforme; laminar o turbulento; unidimensional, bidimensional o tridimensional, y rotacional o irrotacional. Verdaderamente, el flujo unidimensional de un fluido incompresible tiene lugar cuando el modulo, dirección y sentido de la velocidad en todos los puntos son idénticos. No obstante, el análisis con flujo unidimensional es aceptable cuando al tomar como única dimensión espacial, de la que dependen todas las características, la línea de corriente central del flujo pueden considerarse como despreciables las variaciones de las velocidades y aceleraciones en dirección normal a dicha línea de corriente. En tales casos, se consideran como representativas del flujo completo los valores medios de la velocidad, la presión y la elevación, despreciando las variaciones menores. Un flujo bidimensional tiene lugar cuando las partículas fluidas se mueven en planos o en plano paralelos de forma que la configuración de las líneas de corriente es idéntica en cada plano. Para un fluido ideal en que no existen tensiones cortantes no pueden transmitirse pares y no tiene lugar movimientos rotacionales de las partículas fluidas alrededor de su propio centro de gravedad. Tales flujos ideales, que admiten una representación muy intuitiva mediante la red de corriente, se llaman flujos irrotacionales. Flujo permanente: El flujo permanente tiene lugar cuando, en un punto cualquiera, la velocidad de las sucesivas partículas que ocupan ese punto en los sucesivos instantes es la misma. Por tanto, la velocidad es constante respecto del tiempo o bien 𝜕𝑣/𝜕𝑡 = 0 , pero pueden variar de un punto a otro, es decir es variable respecto de las coordenadas espaciales.




Flujo Uniforme: El flujo uniforme tiene lugar cuando el modulo, la dirección y el sentido de la velocidad no varían de un punto a otro del fluido, es decir, 𝜕𝑣/𝜕𝑠 = 0. El flujo de líquidos bajo presión a través de tuberías de diámetro constante y gran longitud es uniforme tanto si el régimen es permanente como si no lo es. Teorema de Bernoulli: El teorema de Bernoulli establece que si las pérdidas son despreciables (por el momento), la energía que posee una partícula en la trayectoria de una línea de corriente en cualquier sección de paso de un tubo de corriente permanece constante; es decir:

𝐻𝑇 =𝑃1

𝛾+

𝑣12

2𝑔+ 𝑧1 =

𝑃2

𝛾+

𝑣22

2𝑔+ 𝑧2 = 𝑐𝑡𝑒

Dónde: 𝐻𝑇 = 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑃

𝛾= 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎

𝑣2

2𝑔= 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑐𝑖𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎

𝑧 = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎 Ecuación de continuidad: La ecuación de continuidad es una consecuencia del principio de conservación de la masa. Para un flujo permanente, al masa de fluido que atraviesa cualquier sección de una corriente de fluido, por unidad de tiempo, es constante. Esta puede calcularse como sigue:

𝜌1 𝑣1 𝐴1 = 𝜌2 𝑣2 𝐴2 = 𝑐𝑡𝑒. Para fluidos incompresibles y para todos los casos prácticos en que 𝛾1 = 𝛾2 , la ecuación se transforma en:

𝑄 = 𝑣1 𝐴1 = 𝑣2 𝐴2 = 𝑐𝑡𝑒 Donde 𝐴1 y 𝑣1 son, respectivamente, el área de la sección recta en 𝑚2 y la velocidad media de la corriente en m/seg.




DESARROLLO: La práctica consistió en comprobar el teorema de Bernoulli (conservación de la energía) auxiliándonos del equipo construido por los profesores del laboratorio de termofluidos. Una parte del equipo es el Venturi y sus 13 orificios distribuidos a lo largo de este en el que se conectan unas mangueras que a su vez se comparan una respecto a la otra de forma vertical cada una con una escala (en cm). Básicamente la práctica fue la siguiente:

1. Se echó a andar la bomba para hacer circular el fluido, en este caso agua. 2. Se esperó a que el sistema se estabilizara y rápidamente se tomó la primera lectura de las 13

mangueras conectadas al venturi (altura del fluido en 𝑐𝑚. 𝑐. 𝐻2𝑂 ). 3. Se realizó una segunda lectura de los trece orificios o mangueras. 4. Se apagó la bomba y el nivel de las trece mangueras regreso a su posición inicial.

FORMULAS:

Recordemos la ecuación de Bernoulli:

𝑯𝑻 =𝑷𝟏

𝜸+

𝒗𝟏𝟐

𝟐𝒈+ 𝒛𝟏 =

𝑷𝟐

𝜸+

𝒗𝟐𝟐

𝟐𝒈+ 𝒛𝟐 = 𝒄𝒕𝒆 ⇒ 𝟏

Partimos de la suposición de que tratamos con un flujo incompresible, donde:

𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 (𝜌 = 𝑐𝑡𝑒) Recordemos la ecuación de continuidad (flujo estable y permanente):

𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑚𝑎𝑠𝑖𝑐𝑜 = �̇� = 𝑐𝑡𝑒 En los puntos 1 (mayor carga de presión) y 5 (mayor carga cinética o de velocidad) �̇�𝑡 = �̇�1 = �̇�5 = 𝑒𝑡𝑐 = 𝑐𝑡𝑒

�̇�𝟏 = 𝝆𝟏 𝒗𝟏 𝑨𝟏 = 𝝆𝟓 𝒗𝟓 𝑨𝟓 = 𝒄𝒕𝒆 ⇒ 𝟐 Como ya mencionamos; para flujo incompresible 𝜌 = 𝑐𝑡𝑒 = 𝜌1 = 𝜌5 , por lo que el flujo volumétrico (𝑄) será:

𝑸 =�̇�

𝝆= 𝒗𝟏 𝑨𝟏 = 𝒗𝟓 𝑨𝟓 = 𝒄𝒕𝒆 ⇒ 𝟑

Entonces despejando de la ecuación anterior la velocidad en el punto 5:

𝒗𝟓 = 𝒗𝟏 (𝑨𝟏

𝑨𝟓) ⇒ 𝟒

Y sustituyendo en la ecuación de Bernoulli (ec. 1) para los puntos 1 y 5:

𝑃1

𝛾+

𝑣12

2𝑔+ 𝑧1 =

𝑃5

𝛾+

[𝑣1 (𝐴1𝐴5

)]2

2𝑔+ 𝑧5




En la práctica trabajamos todos los puntos a la misma z, es decir todos los puntos tienen la misma energía potencial o de posición, por lo que nuestra ecuación nos queda de la siguiente forma:

𝑃1

𝛾+

𝑣12

2𝑔=

𝑃5

𝛾+

[𝑣1 (𝐴1𝐴5

)]2

2𝑔

Sabemos que en el punto 1 la presión es mayor y en el punto 5 es menor pero la partícula tiene más velocidad que en el punto 1, por lo que:

𝑃1 > 𝑃5 Y ya que el fluido es el mismo en todos los puntos, estamos hablando de un solo valor de 𝛾 .

𝑃1 − 𝑃5

𝛾=

[𝑣1 (𝐴1𝐴5

)]2

2𝑔−

𝑣12

2𝑔

𝑃1 − 𝑃5

𝛾=

𝑣12

2𝑔 [(

𝐴1

𝐴5)

2

− 1]

Ya logramos tener una ecuación con solo una incógnita que es la velocidad 1 (𝑣1), entonces despejamos:

𝑣1 = √2𝑔 (

𝑃1 − 𝑃5𝛾 )

(𝐴1𝐴5

)2

− 1

Ya que ambas áreas son de una sección circular podemos expresar el cociente en función de los diámetros:

𝒗𝟏 = √

𝟐𝒈 (𝑷𝟏 − 𝑷𝟓

𝜸 )

[(𝑫𝟏)𝟐

(𝑫𝟓)𝟐]𝟐

− 𝟏

⇒ 𝟓

Como ya habíamos mencionado anteriormente:

𝑸 = 𝒗𝟏 𝑨𝟏 = 𝒗𝟐 𝑨𝟐 = 𝒗𝟑 𝑨𝟑 = 𝒆𝒕𝒄 = 𝒄𝒕𝒆 ⇒ 𝟔 Como ya conocemos el valor de 𝑣1 podemos obtener el caudal y con el caudal podemos obtener fácilmente las velocidades en los otros puntos:

𝒗𝟐 =𝑸

𝑨𝟐 ; 𝒗𝟑 =

𝑸

𝑨𝟑 ; 𝒗𝟒 =

𝑸

𝑨𝟒 ; 𝒆𝒕𝒄 ⇒ 𝟕

Carga Cinética:




La carga cinética o de velocidad es la siguiente en cada una de los puntos: 𝒗𝟏

𝟐

𝟐𝒈 ;

𝒗𝟐𝟐

𝟐𝒈 ;

𝒗𝟑𝟐

𝟐𝒈 ; 𝒆𝒕𝒄 ⇒ 𝟖

Carga Total: De la ecuación de Bernoulli podemos decir que la carga total en cada punto será:

𝐻𝑇1 =𝑃1

𝛾+

𝑣12

2𝑔+ 𝑧1 ; 𝐻𝑇2 =

𝑃2

𝛾+

𝑣22

2𝑔+ 𝑧2 ; 𝑒𝑡𝑐.

Pero al saber que la posición de los puntos es la misma entre ellos podemos decir que:

𝑯𝑻𝟏 =𝑷𝟏

𝜸+

𝒗𝟏𝟐

𝟐𝒈 ; 𝑯𝑻𝟐 =

𝑷𝟐

𝜸+

𝒗𝟐𝟐

𝟐𝒈 ; 𝒆𝒕𝒄 ⇒ 𝟗

Flujo másico:

�̇� = 𝝆 𝑸 = 𝝆 𝒗 𝑨 ⇒ 𝟏𝟎 Dónde:

𝜌𝐻2𝑂 = 1000𝑘𝑔

𝑚3

TABLA DE DATOS:

Lectura 𝑷

𝜸

(𝒄𝒎. 𝒄. 𝑯𝟐𝑶)

Numero de Tubo.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1 34.2 31.6 29.6 22.9 18 23.7 24.8 26.8 28.9 29.4 30 30.4 31.3

2 36 33.8 29.2 14 7.5 15 18.1 22.2 27 28.1 29.4 30.1 31.8

CÁLCULOS:

PARA LA LECTURA 1: Punto 1: Calculando la velocidad en el punto 1 con la ecuación 5, en dónde la diferencia en las cargas de presión las obtenemos de las lecturas y los diámetros del dibujo de la instalación:

𝑃1

𝛾= 34.2 𝑐𝑚 (

1 𝑚

100 𝑐𝑚) = 0.342 𝑚

𝑃5

𝛾= 18 𝑐𝑚 (

1 𝑚

100 𝑐𝑚) = 0.18 𝑚




𝑣1 = √

2 (9.81𝑚𝑠2 ) (0.342 − 0.18) 𝑚

[(0.0381 𝑚)2

(0.0254 𝑚)2]2

− 1

𝒗𝟏 = 𝟎. 𝟖𝟖𝟒𝟓𝒎

𝒔

Ya con el valor de 𝒗𝟏 podemos calcular el caudal o flujo con la ecuación 6:

𝑄 = 𝑣1 𝐴1 = 0.8845 𝑚

𝑠 [

𝜋 (0.0381 𝑚)2

4]

𝑸 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟖𝟒𝟒𝟎𝟐𝟏 𝒎𝟑

𝒔

El flujo másico será para todos los puntos (ec. 10):

�̇� = 𝜌 𝑄 = 1000𝑘𝑔

𝑚3 (0.00181799144

𝑚3

𝑠)

�̇� = 𝟏. 𝟎𝟎𝟖𝟒𝟒𝒌𝒈

𝒔

La carga cinética en el punto 1 es (ec. 8):

𝑣12

2𝑔=

(0.8845 𝑚𝑠 )

2

2 (9.81𝑚𝑠2)

= 𝟎. 𝟎𝟑𝟗𝟗 𝒎

Y la carga total para el punto 1 es:

𝐻𝑇1 =𝑃1

𝛾+

𝑣12

2𝑔

𝐻𝑇1 = 0.342 𝑚 + 0.0399 𝑚

𝑯𝑻𝟏 = 𝟎. 𝟑𝟖𝟏𝟗 𝐦

Punto 2: Como ya conocemos el caudal podemos calcular la velocidad en 2 y en los otros puntos de forma sencilla con la ecuación 7:

𝑣2 =0.00100844021

𝑚3

𝑠

𝜋 (0.03428 𝑚)2

4




𝒗𝟐 = 𝟏. 𝟎𝟗𝟐𝟔𝒎

𝒔

Carga cinética:

𝑣22

2𝑔=

(1.0926𝑚𝑠

)2

2 (9.81𝑚𝑠2)

= 𝟎. 𝟎𝟔𝟎𝟖 𝒎

Y la carga total:

𝐻𝑇2 =𝑃2

𝛾+

𝑣22

2𝑔

𝐻𝑇2 = 0.316 𝑚 + 0.0608 𝑚

𝑯𝑻𝟐 = 𝟎. 𝟑𝟕𝟔𝟖 𝐦

Punto 3:

𝑣3 =0.00100844021

𝑚3

𝑠

𝜋 (0.0307 𝑚)2

4

𝒗𝟑 = 𝟏. 𝟑𝟔𝟐𝟑𝒎

𝒔

Carga cinética:

𝑣32

2𝑔=

(1.3623𝑚𝑠

)2

2 (9.81𝑚𝑠2)

= 𝟎. 𝟎𝟗𝟒𝟔 𝒎

Y la carga total:

𝐻𝑇3 = 0.296 𝑚 + 0.0946 𝑚

𝑯𝑻𝟑 = 𝟎. 𝟑𝟗𝟎𝟔 𝐦

Punto 4:

𝑣4 =0.00100844021

𝑚3

𝑠

𝜋 (0.02584 𝑚)2

4




𝒗𝟒 = 𝟏. 𝟗𝟐𝟐𝟗𝟖𝒎

𝒔

Carga cinética:

𝑣42

2𝑔=

(1.92298𝑚𝑠

)2

2 (9.81𝑚𝑠2)

= 𝟎. 𝟏𝟖𝟖𝟓 𝒎

Y la carga total:

𝐻𝑇4 = 0.229 𝑚 + 0.1885 𝑚

𝑯𝑻𝟒 = 𝟎. 𝟒𝟏𝟕𝟒 𝐦

Punto 5:

𝑣5 =0.00100844021

𝑚3

𝑠

𝜋 (0.02540 𝑚)2

4

𝒗𝟓 = 𝟏. 𝟗𝟗𝟎𝟐𝒎

𝒔

Carga cinética:

𝑣52

2𝑔=

(1.9902𝑚𝑠 )

2

2 (9.81𝑚𝑠2)

= 𝟎. 𝟐𝟎𝟏𝟗 𝒎

Y la carga total:

𝐻𝑇5 = 0.18 𝑚 + 0.2019 𝑚

𝑯𝑻𝟓 = 𝟎. 𝟑𝟖𝟏𝟗 𝐦

Punto 6:

𝑣6 =0.00100844021

𝑚3

𝑠

𝜋 (0.027 𝑚)2

4

𝒗𝟔 = 𝟏. 𝟕𝟔𝟏𝟑𝒎

𝒔




Carga cinética:

𝑣62

2𝑔=

(1.7613𝑚𝑠

)2

2 (9.81𝑚𝑠2)

= 𝟎. 𝟏𝟓𝟖𝟏 𝒎

Y la carga total:

𝐻𝑇6 = 0.237 𝑚 + 0.1581 𝑚

𝑯𝑻𝟔 = 𝟎. 𝟑𝟗𝟓𝟏 𝐦

Punto 7:

𝑣7 =0.00100844021

𝑚3

𝑠

𝜋 (0.02839 𝑚)2

4

𝒗𝟕 = 𝟏. 𝟓𝟗𝟑𝟎𝒎

𝒔

Carga cinética:

𝑣72

2𝑔=

(1.5930𝑚𝑠 )

2

2 (9.81𝑚𝑠2)

= 𝟎. 𝟏𝟐𝟗𝟑 𝒎

Y la carga total:

𝐻𝑇7 = 0.248 𝑚 + 0.1293 𝑚

𝑯𝑻𝟕 = 𝟎. 𝟑𝟕𝟕𝟑 𝐦

Punto 8:

𝑣8 =0.00100844021

𝑚3

𝑠

𝜋 (0.03009 𝑚)2

4

𝒗𝟖 = 𝟏. 𝟒𝟏𝟖𝟏𝒎

𝒔

Carga cinética:

𝑣82

2𝑔=

(1.4181𝑚𝑠 )

2

2 (9.81𝑚𝑠2)

= 𝟎. 𝟏𝟎𝟐𝟓 𝒎




Y la carga total:

𝐻𝑇8 = 0.268 𝑚 + 0.1025 𝑚

𝑯𝑻𝟖 = 𝟎. 𝟑𝟕𝟎𝟓 𝐦

Punto 9:

𝑣9 =0.00100844021

𝑚3

𝑠

𝜋 (0.03271 𝑚)2

4

𝒗𝟗 = 𝟏. 𝟐𝒎

𝒔

Carga cinética:

𝑣92

2𝑔=

(1.2𝑚𝑠 )

2

2 (9.81𝑚𝑠2)

= 𝟎. 𝟎𝟕𝟑𝟒 𝒎

Y la carga total:

𝐻𝑇9 = 0.289 𝑚 + 0.0734 𝑚

𝑯𝑻𝟗 = 𝟎. 𝟑𝟔𝟐𝟒 𝐦

Punto 10:

𝑣10 =0.00100844021

𝑚3

𝑠

𝜋 (0.03394 𝑚)2

4

𝒗𝟏𝟎 = 𝟏. 𝟏𝟏𝟒𝟔𝒎

𝒔

Carga cinética:

𝑣102

2𝑔=

(1.1146𝑚𝑠 )

2

2 (9.81𝑚𝑠2)

= 𝟎. 𝟎𝟔𝟑𝟑 𝒎

Y la carga total:

𝐻𝑇10 = 0.294 𝑚 + 0.0633 𝑚




𝑯𝑻𝟏𝟎 = 𝟎. 𝟑𝟓𝟕𝟑 𝐦

Punto 11:

𝑣11 =0.00100844021

𝑚3

𝑠

𝜋 (0.03518 𝑚)2

4

𝒗𝟏𝟏 = 𝟏. 𝟎𝟑𝟕𝟒𝒎

𝒔

Carga cinética:

𝑣112

2𝑔=

(1.0374𝑚𝑠

)2

2 (9.81𝑚𝑠2)

= 𝟎. 𝟎𝟓𝟒𝟖 𝒎

Y la carga total:

𝐻𝑇11 = 0.30 𝑚 + 0.0548 𝑚

𝑯𝑻𝟏𝟏 = 𝟎. 𝟑𝟓𝟒𝟖 𝐦

Punto 12:

𝑣12 =0.00100844021

𝑚3

𝑠

𝜋 (0.03641 𝑚)2

4

𝒗𝟏𝟐 = 𝟎. 𝟗𝟔𝟖𝟓𝒎

𝒔

Carga cinética:

𝑣122

2𝑔=

(0.9685𝑚𝑠 )

2

2 (9.81𝑚𝑠2)

= 𝟎. 𝟎𝟒𝟕𝟖 𝒎

Y la carga total:

𝐻𝑇12 = 0.304 𝑚 + 0.0478 𝑚

𝑯𝑻𝟏𝟐 = 𝟎. 𝟑𝟓𝟏𝟖 𝐦




Punto 13:

𝑣13 =0.00100844021

𝑚3

𝑠

𝜋 (0.03810 𝑚)2

4

𝒗𝟏𝟑 = 𝟎. 𝟖𝟖𝟒𝟓𝒎

𝒔

Carga cinética:

𝑣132

2𝑔=

(0.8845𝑚𝑠

)2

2 (9.81𝑚𝑠2)

= 𝟎. 𝟎𝟑𝟗𝟗 𝒎

Y la carga total:

𝐻𝑇13 = 0.313 𝑚 + 0.0399 𝑚

𝑯𝑻𝟏𝟑 = 𝟎. 𝟑𝟓𝟐𝟗 𝐦

TABLA DE RESULTADOS:

Lectura 1: ESC 𝑸 (𝒎𝟑/𝒔) �̇� (𝒌𝒈/𝒔) 𝒗 (𝒎/𝒔) 𝑷

𝜸 (𝒎)

𝒗𝟐

𝟐𝒈 (𝒎)

𝑯𝑻 (𝒎)

1 0.00100844021 1.00844 0.8845 0.342 0.0399 0.3819

2 0.00100844021 1.00844 1.0926 0.316 0.0608 0.3768

3 0.00100844021 1.00844 1.3623 0.296 0.0946 0.3906

4 0.00100844021 1.00844 1.92298 0.229 0.1885 0.4174

5 0.00100844021 1.00844 1.9902 0.180 0.2019 0.3819

6 0.00100844021 1.00844 1.7613 0.237 0.1581 0.3951

7 0.00100844021 1.00844 1.5930 0.248 0.1293 0.3773 8 0.00100844021 1.00844 1.4181 0.268 0.1025 0.3705

9 0.00100844021 1.00844 1.2 0.289 0.0734 0.3624

10 0.00100844021 1.00844 1.1146 0.294 0.0633 0.3573

11 0.00100844021 1.00844 1.0374 0.300 0.0548 0.3548

12 0.00100844021 1.00844 0.9685 0.304 0.0478 0.3518 13 0.00100844021 1.00844 0.8845 0.313 0.0399 0.3529




Lectura 2:

ESC 𝑸 (𝒎𝟑/𝒔) �̇� (𝒌𝒈/𝒔) 𝒗 (𝒎/𝒔) 𝑷

𝜸 (𝒎)

𝒗𝟐

𝟐𝒈 (𝒎)

𝑯𝑻 (𝒎)

1 0.00133756555 1.33756 1.1732 0.36 0.0701 0.4301

2 0.00133756555 1.33756 1.4492 0.338 0.1070 0.4450

3 0.00133756555 1.33756 1.8069 0.292 0.1664 0.4584

4 0.00133756555 1.33756 2.5506 0.14 0.3316 0.4716

5 0.00133756555 1.33756 2.6397 0.075 0.3551 0.4301 6 0.00133756555 1.33756 2.3361 0.15 0.2781 0.4281

7 0.00133756555 1.33756 2.1130 0.181 0.2275 0.4085

8 0.00133756555 1.33756 1.8809 0.222 0.1803 0.4023

9 0.00133756555 1.33756 1.5917 0.27 0.1291 0.3991

10 0.00133756555 1.33756 1.4784 0.281 0.1114 0.3924

11 0.00133756555 1.33756 1.3760 0.294 0.0965 0.3905

12 0.00133756555 1.33756 1.2846 0.301 0.0841 0.3851

13 0.00133756555 1.33756 1.1732 0.318 0.0701 0.3881

CUESTIONARIO:

1. Explique el teorema de Bernoulli y su utilidad práctica. El teorema de Bernoulli establece que si las pérdidas son despreciables (por el momento), la energía que posee una partícula en la trayectoria de una línea de corriente en cualquier sección de paso de un tubo de corriente permanece constante; es decir:

𝐻𝑇 =𝑃1

𝛾+

𝑣12

2𝑔+ 𝑧1 =

𝑃2

𝛾+

𝑣22

2𝑔+ 𝑧2 = 𝑐𝑡𝑒

Dónde: 𝐻𝑇 = 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑃

𝛾= 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎

𝑣2

2𝑔= 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑐𝑖𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎

𝑧 = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎 Son innumerables lo problemas prácticos que se resuelven mediante la ecuación de Bernoulli, por ejemplo:

Obtener la rapidez con la que se mueve un avión en relación al viento. Con ella se determina la altura de suspensión a que debe instalarse una bomba. Ella es necesaria para el cálculo de la altura efectiva o altura útil que se necesita en una

bomba. Con ella se estudia el problema de la cavitación. Con ella se estudia el tubo de aspiración de una turbina. Ella interviene en el cálculo de las tuberías de agua, oleoductos, tuberías de

refrigeración, y aire acondicionado, tuberías forzadas en centrales hidroeléctricas, etc.




2. ¿Cómo se afecta el teorema de Bernoulli cuando se aplica a fluidos compresibles? Sabemos que el teorema de Bernoulli es aplicable para fluidos incompresibles para fluidos compresibles, la ecuación de Bernoulli adopta la forma:

[(𝑘

𝑘 − 1)

𝑃1

𝛾+ (

𝑃2

𝑃1)

2𝑘

(𝐴2

𝐴1)

2 𝑣22

2𝑔+ 𝑧1] − 𝐻𝑟 1−2 = [(

𝑘

𝑘 − 1)

𝑃1

𝛾+ (

𝑃2

𝑃1)

𝑘−1𝑘

+𝑣2

2

2𝑔+ 𝑧2]

3. Si el fluido fuera viscoso e incompresible como se escribiría para poder explicarlo.

En un fluido real la viscosidad origina un rozamiento tanto del fluido con el contorno (tubería, canal, etc.) como de las partículas del fluido entre sí. Entonces la ecuación de Bernoulli (de la pregunta 1) no se cumple. Naturalmente se sigue cumpliendo el principio de la conservación de la energía. Esta fricción en la mecánica de fluidos incompresibles no es aprovechable y solo en este sentido la llamaremos energía perdida, o bien expresada en forma de altura, altura perdida 𝐻𝑟. Ahora bien diremos que: 𝐿𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 1 − 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 1 𝑦 2 𝑝𝑜𝑟 𝑟𝑜𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 2 , o sea:

Ecuación de Bernoulli con pérdidas. 𝑃1

𝜌+ 𝑧1 𝑔 +

𝑣12

2− 𝑦𝑟 1−2 =

𝑃2

𝜌+ 𝑧2 𝑔 +

𝑣22

2

O bien expresada en alturas:

𝑃1

𝜌𝑔+ 𝑧1 +

𝑣12

2𝑔− 𝐻𝑟 1−2 =

𝑃2

𝜌𝑔+ 𝑧2 +

𝑣22

2𝑔

Dónde: 𝐻𝑟 1−2 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 1 𝑦 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 2

4. ¿Cómo podría deducir el teorema de Bernoulli a partir de las ecuaciones de Euler?

Las ecuaciones de Euler en forma sintetizada son las siguientes: 𝑑𝑣𝑥

𝑑𝑡= −

1

𝜌 𝜕𝑝

𝜕𝑥

𝑑𝑣𝑦

𝑑𝑡= −

1

𝜌 𝜕𝑝

𝜕𝑦

𝑑𝑣𝑧

𝑑𝑡= −𝑔 −

1

𝜌 𝜕𝑝

𝜕𝑧

Multiplicando la primera ecuación por dx, la segunda por dy y la tercera por dz. Tendremos:

𝑑𝑣𝑥

𝑑𝑡 𝑑𝑥 = −

1

𝜌 𝜕𝑝

𝜕𝑥 𝑑𝑥




𝑑𝑣𝑦

𝑑𝑡 𝑑𝑦 = −

1

𝜌 𝜕𝑝

𝜕𝑦 𝑑𝑦

𝑑𝑣𝑧

𝑑𝑡 𝑑𝑧 = −𝑔 𝑑𝑧 −

1

𝜌 𝜕𝑝

𝜕𝑧 𝑑𝑧

Sumando miembro a miembro las tres ecuaciones anteriores tendremos:

𝑑𝑣𝑥

𝑑𝑡 𝑑𝑥 +

𝑑𝑣𝑦

𝑑𝑡 𝑑𝑦 +

𝑑𝑣𝑧

𝑑𝑡 𝑑𝑧 = −𝑔 𝑑𝑧 −

1

𝜌(

𝜕𝑝

𝜕𝑥 𝑑𝑥 +

𝜕𝑝

𝜕𝑦 𝑑𝑦 +

𝜕𝑝

𝜕𝑧 𝑑𝑧) ⇒ 1

Ahora bien, como:

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑣𝑥 ;

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑣𝑦 𝑦

𝑑𝑧

𝑑𝑡= 𝑣𝑧

El primer miembro de la ecuación 1 se transforma así:

𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑥 + 𝑣𝑦 𝑑𝑣𝑦 + 𝑣𝑧 𝑑𝑣𝑧 =1

2 𝑑(𝑣𝑥

2 + 𝑣𝑦2 + 𝑣𝑧

2) =1

2 𝑑(𝑣2)

En efecto, si se diferencia el segundo miembro se obtiene el primero, lo que demuestra la validez del primer signo igual. Por otra parte, el cuadrado de la diagonal 𝑣 de un paralelepípedo es igual a la suma de los cuadrados de sus aristas 𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 𝑦 𝑣𝑧, lo que demuestra

la validez del segundo signo igual. Al suponer que el régimen es permanente, p no es función de t, y su diferencia total será:

𝑑𝑝 =𝜕𝑝

𝜕𝑥 𝑑𝑥 +

𝜕𝑝

𝜕𝑦 𝑑𝑦 +

𝜕𝑝

𝜕𝑧 𝑑𝑧

Con lo cual la ecuación 1 se transforma en:

𝑑𝑝

𝑝+ 𝑔 𝑑𝑧 +

𝑑(𝑣2)

2= 0

Integrando esta última ecuación, entre dos puntos cualesquiera 1 y, situados en una misma línea de corriente, que en régimen permanente coincide con la trayectoria del movimiento y siguiendo con la hipótesis de un fluido incompresible (𝜌 = 𝐶), se tiene:

𝑃1

𝜌+ 𝑔 𝑧1 +

𝑣12

2=

𝑃2

𝜌+ 𝑔 𝑧2 +

𝑣22

2 ⇒ 2

Que nos dice que la suma (𝑃

𝜌+ 𝑔 𝑧 +

𝑣2

2) es constante a lo largo de una misma línea de

corriente, ya que los puntos 1 y 2 son dos puntos cualesquiera de esta línea, o sea:

𝑃

𝜌+ 𝑔 𝑧 +

𝑣2

2= 𝐶 ⇒ 3




Dividiendo los dos miembros de esta última ecuación por g se tiene:

𝑃

𝜌𝑔+ 𝑧 +

𝑣2

2𝑔= 𝐶 ⇒ 4

O bien: 𝑃1

𝜌𝑔+ 𝑧1 +

𝑣12

2𝑔=

𝑃2

𝜌𝑔+ 𝑧2 +

𝑣22

2𝑔= 𝐶 ⇒ 5

Las ecuaciones 2 a 5 son expresiones diversas de la ecuación de Bernoulli para un hilo de corriente, que, según las hipótesis establecidas en su deducción, son válidas solamente para el fluido ideal e incompresible que se mueve en régimen permanente. Además lo puntos entre los que se establecen estas ecuaciones se suponen que están situados en una misma línea de corriente.

CONCLUSIONES: Fue una práctica muy didáctica y verdaderamente fácil de comprender cuando ya se tienen los conceptos. En base a los problemas que fueron surgiendo durante el desarrollo de la práctica se comprendió mejor algunos comportamientos extraños, por ejemplo; se notó que en el punto 5 o manguera 5 había un pequeño error en la lectura pero el profesor nos explicó el motivo por el cual el nivel marcaba más de lo que en teoría debería de marcar (error en el maquinado del venturi). Como conclusión podríamos decir que las energías (de presión, cinética y de posición) son intercambiables, es decir; una le puede ceder energía a la otra, pero la energía nunca se elimina más bien se va convirtiendo en todo el proceso, pero ¿y cómo se pudo ver esto en la práctica?, pues muy sencillo solo es necesario comparar los puntos 1 y 5 de la primera lectura, en ambas las energías de presión y cinética son distintas pero al sumarlas nos da el mismo valor de carga total y aquí es donde se demuestra el principio de conservación de la energía. Si somos observadores vemos que conforme el diámetro del tubo va disminuyendo la energía cinética aumenta ya que la velocidad aumenta pero al mismo tiempo la carga de presión disminuye, esto demuestra una cosa, una parte de la energía de presión se convirtió en energía cinética en la partícula. Después vemos que al aumentar el diámetro a partir del punto 6 la energía o carga de presión va aumentando y la cinética disminuye poco a poco (recordemos que la energía de posición z se mantiene constante en todo el proceso).

BIBLIOGRAFIA: Mecánica de los Fluidos e Hidráulica.

Ranald V. Giles.

Mecánica de los Fluidos y Maquinas Hidráulicas. Claudio Mataix. Alfaomega.

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Laboratorio de Mecánica de Fluidos - Práctica Teorema de Bernoulli