INVESTIGACIÓN OPERATIVA II - fca.uce.edu.ecfca.uce.edu.ec/GUIAS/Unidad Didáctica de Investigación Operativa... · inecuaciones que intervienen en la misma son Funciones Lineales

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

MODALIDAD A DISTANCIA

INVESTIGACIÓN OPERATIVA II

AUTORES:

Ing. Edwin Roberto Gómez Bastidas, MBA.

Dra. Mayra Alexandra Córdova Alarcón, Mgst.

Ing. Víctor Marcelo Merino Castillo, Mgst.

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Investigación Operativa II


2

Edwin Roberto Gómez Bastidas

Mayra Alexandra Córdova Alarcón

Víctor Marcelo Merino Castillo

Investigación Operativa II

ISBN: 978-9942-21-726-4



3

TABLA DE CONTENIDOS

TABLA DE CONTENIDOS ...................................................................................... 3

INTRODUCCIÓN. .............................................................................................................. 5

CARACTERIZACIÓN DE LA MATERIA. ................................................................. 5

IMPORTANCIA PARA LA FORMACIÓN DEL PROFESIONAL. ........................ 6

CAPITULO Nº 1 .................................................................................................................. 8

PROGRAMACIÓN LINEAL......................................................................................... 8

COMPETENCIA ESPECÍFICA .................................................................................... 8

OBJETIVO DE LA UNIDAD DE COMPETENCIA ................................................... 8

CONTENIDO ................................................................................................................... 8

EXPLICACIÓN ............................................................................................................... 9

PROGRAMACION LINEAL: ....................................................................................... 9

Recomendaciones: ........................................................................................................ 9

Problemas Resueltos .................................................................................................. 10

CAPÍTULO 2 ..................................................................................................................... 33

MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL CON MÁS DE DOS VARIABLES33

COMPETENCIA ESPECÍFICA .................................................................................. 33

OBJETIVO DE LA UNIDAD DE COMPETENCIA ................................................. 33

EXPLICACIÓN ............................................................................................................. 34


CAPÍTULO 3 ..................................................................................................................... 41

MODELOS DE TRANSPORTE Y ASIGNACIÓN .................................................. 41



CONTENIDO ................................................................................................................. 41

EXPLICACIÓN ............................................................................................................. 42


CAPÍTULO 4 ..................................................................................................................... 61

MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERA O TEORÍA DE COLAS ............................. 61





4

CONTENIDO ................................................................................................................. 61

EXPLICACIÓN ............................................................................................................. 62

MODELO DE LINEAS DE ESPERA Y TEORIA DE COLAS ............................... 62

MODELO DE LÍNEA DE ESPERA DE ÚNICO SERVIDOR CON

LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES.

M/M/1 ......................................................................................................................... 62

MODELO DE LÍNEA DE ESPERA DE MÚLTIPLES CANALES CON

LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES.

M/M/S ......................................................................................................................... 67

MODELO DE LÍNEA DE ESPERA BÁSICO CON CAPACIDAD LIMITADA

DE UN SOLO SERVIDOR CON LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE

SERVICIO EXPONENCIALES. M/M/1 WITH A FINITE SYSTEM ................ 74

AUTOEVALUACIÓN .................................................................................................. 79

FORMULARIO ............................................................................................................. 83

BILBIOGRAFÍA BÁSICA ............................................................................................... 86

TABLA DE ILUSTRACIONES ....................................................................................... 87

TABLAS ............................................................................................................................. 89



5

INTRODUCCIÓN.

CARACTERIZACIÓN DE LA MATERIA.

Una de las características de un Administrador y/o de un Auditor es saber tomar las

decisiones más adecuadas, optimizando sus recursos, la asignatura denominada

“investigación Operativa” le enseñará esto, mediante la utilización de modelos

matemáticos.

La Investigación de Operaciones se desarrolló con fuerza al comienzo de la Segunda

Guerra Mundial con el fin de lograr una administración eficiente de los recursos que

poseían cada una de las potencias industriales y manufactureras.

Son técnicas o métodos cuantitativos que nos ayudan a implantar modelos de procesos de

la empresa para tomar la mejor decisión, este es un trabajo que regularmente se lo debe

realizar por un grupo multidisciplinario que se puedan plantear los modelos más cercanos

a la realidad y analizar los resultados.

Es una ciencia, porque se basa en técnicas y modelos matemáticos para tomar una decisión

y un arte porque nos incentiva a desarrollar modelos de manera creativa.



6

IMPORTANCIA PARA LA FORMACIÓN DEL PROFESIONAL.

En la actualidad con el despunte de la nueva tecnología y de técnicas modernas, la

Investigación Operativa es automatizada, es decir, la misma se ha vuelto computarizada,

para poder optimizar del tiempo de resolución de los modelos matemáticos cuantitativos,

para lo cual se dispone de un sinnúmero de software con este objetivo, pero que no le

servirán si Ud. no tiene claros los conceptos, su aplicación y su interpretación.

Toda empresa grande o mediana, aplican muchísimo y con excelentes resultados los

métodos de la Investigación Operativa, puesto que ha contribuido eficazmente a optimizar

una gran parte de sus objetivos.

La Investigación Operativa no toma decisiones por si misma, su función es la de asesorar

y apoyar a quien o quienes deciden, determinando las diversas situaciones que se

presentan en la marcha de las organizaciones.



7

1.2.3 RELACIONES CON OTRAS ASIGNATURAS.

Es una ciencia interdisciplinaria: reconoce que la mayor parte de los problemas de

negocios tienen aspectos contables, biológicos, económicos, matemáticos, físicos,

psicológicos, sociológicos, estadísticos y de ingeniería.



8

CAPITULO Nº 1

PROGRAMACIÓN LINEAL

Figura 1 Región de viabilidad

COMPETENCIA ESPECÍFICA

El estudiante estará en capacidad de resolver modelos de Programación Lineal básicos

con dos variables, aplicados a empresas productoras y

comercializadoras, tanto públicas como privadas con el fin de optimizar sus recursos.

OBJETIVO DE LA UNIDAD DE COMPETENCIA

Resolver modelos de Programación Lineal básicos con dos variables, aplicados a

empresas productoras y comercializadoras, tanto públicas como privadas con el fin de

optimizar sus recursos.

CONTENIDO

BASES TEÓRICAS.

PLANTEAMIENTO DE MODELOS CON DOS VARIABLES DE DECISIÓN.

RESOLUCIÓN DE MODELOS POR EL MÉTODO GRAFICO.



9

EXPLICACIÓN

PROGRAMACION LINEAL:

En este Capítulo se presenta el desarrollo teórico – práctico de los modelos de

Programación Lineal (PL).

Con conceptos Básicos se detalla la utilidad de este tema y por medio de ejemplos nos

enseña a formular problemas y el beneficio que han obtenido muchas empresas al saber

utilizar este tipo de modelos.

Es “Programación”, pues se decidirán valores de las variables de un modelo para

optimizar la función objetivo o de desempeño; y, es “Lineal”, pues todas las ecuaciones e

inecuaciones que intervienen en la misma son Funciones Lineales y de primer grado;

usted nunca encontrará en estos problemas variables al cuadrado, cubo, raíz cuadrada, etc.

Entre las funciones objetivo que podemos optimizar tenemos: maximizar las utilidades o

ganancias, los ingresos, etc. también se puede minimizar los costos, el desperdicio de un

proceso, el impacto ambiental o la utilización de materia prima etc.

Para la formulación o planteamiento de los modelos matemáticos de cualquier problema

de Programación Lineal, debe considerarse paso a paso las condiciones básicas antes

descritas y a su vez las recomendaciones siguientes:

Recomendaciones:

1.- Tabular preferiblemente en forma matricial, todos los datos que da el problema de

manera que se entienda a donde se quiere llegar, identificando claramente:

La función objetivo de problema

Cuántas y cuáles son las variables de decisión, y

Cuántos y cuáles son los recursos y limitaciones, sus unidades.

Es recomendable (no una regla), por facilidad de planteamiento y de análisis, tabular el

resumen de datos del problema en forma matricial, es decir, ubicando en las columnas las

“variables” y en las filas los “recursos y/o limitaciones”, y el resto de información, como

utilidades, costos, precios de venta, disponibilidad de recursos, etc., en las filas o

columnas correspondientes.

2.- Definir claramente las variables de decisión: que es lo que busca el problema, que es lo

que se quiere determinar, que es lo que se va a producir, etc., considerando sus unidades

de medida por unidad de tiempo: Kg/mes, unidades/sem, horas/mes, artículos/día, etc

3.- Plantear la Función Objetivo como ecuación, que en general busca uno de dos

extremos o Maximizar o Minimizar

4.- Plantear el sistema de restricciones (ecuaciones y/o inecuaciones) correspondientes a

cada recurso con la identificación respectiva; una forma de comprobarse es realizando la

igualdad de unidades: horas/mes = horas/mes. (debe asegurarse de plantear una función

lineal por cada restricción y/o recurso)



10

5.- Existen varios métodos para resolver un problema de PL, pero los más utilizados en la

actualidad son:

Método Gráfico,

Uso de diferentes Software (programas de computación)

La Solución Gráfica o Método Gráfico tiene como principal limitante que no se puede

resolver modelos de PL con más de DOS variables, pues en un plano cartesiano solo tiene

dos ejes.

Problemas Resueltos

Problema 1.

La siguiente tabla resume los factores clave acerca de dos productos A y B, y los recursos

Q, R y S, requeridos para producirlos.

Tabla 1: Usos de recursos por unidad producida

Usos de recursos por unidad producida

Recurso Producto

A

Producto

B

Cantidad

disponible

de recurso

Q 2 1 2

R 1 2 2

S 3 3 4

Utilidad $3.000 $2.000

Se cumplen todas las suposiciones de programación lineal.

Formule en forma algebraica este mismo problema.

Debe quedar claro que uno de los puntos más importantes es definir las variables y la

función objetivo. Para lo cual se le recomienda que lea detenidamente el enunciado las

veces que sean necesarias hasta entenderlo.

En este tipo de problemas, un error muy frecuente es que se defina como variable a los

recursos, sin tomar en cuenta que lo que le debe interesar es cuántas unidades de cada

producto (en este cado denominados X, Y) se tiene que fabricar, para obtener la máxima

ganancia que es el objetivo de este problema.

Por lo tanto el Modelo de Programación Lineal sería:

X = Número de unidades del Producto A

Y = Número de unidades del Producto B



11

Función Objetivo:

Maximizar Ganancia = 3,000 X + 2,000 Y

Sujeta a:

Rec. Q: 2 X + Y < 2

Rec. R: X + 2Y < 2

Rec. S: 3 X + 3Y < 4

X > 0

Y > 0

Use el método gráfico para resolver este modelo: para lo cual se debe realizar los cuadro

de valores de cada restricción, graficar y determinar el polígono o región factible de

solución:

Restricción - 1 Restricción - 2 Restricción - 3

X Y

0 2

1 0

X Y

0 1

2 0

X Y

0 1.33

1.33 0

Figura 2 Región Factible

Tabla 2: Resultados del polígono de solución:

VERTICES X Y GANANCIA

A 0 1 2,000.00

B 2/3 2/3 3,333.33

C 1 0 3,000.00

Punto Óptimo : X = 0.6667

Y = 0.6667

GANANCIA = $3,333.33

A

B

C



12

c.- Formule un modelo de programación lineal para este problema en una hoja de cálculo

y use Excel Solver para resolver este problema.

Luego de seguir las indicaciones del Texto guía para utilizar esta función y las formulas

respectivas, el modelo en hoja de cálculo y su solución quedaría de esta manera:

Tabla 3 : Uso de recursos por cantidad unidad disponible

Recurso Producto A Producto B Recursos

Q 2 1 2 < 2

R 1 2 2 < 2

S 3 3 4 < 4

Ganancia $3.000 $2.000 3333,33

Solución 0,6667 0,6667

Problema 2 .

A Ralph Edmund le encanta el filete con papas. Así que decide ponerse a una dieta

consistente sólo en estos dos alimentos (más algunos líquidos y suplementos vitamínicos)

en todas sus comidas. Ralph se percata de que no es la dieta más sana, de modo que quiere

comer las cantidades correctas de los 2 alimentos para satisfacer algunos requerimientos

nutricionales clave. Consiguió la siguiente información nutricional y de costos.

Tabla 4: información nutricional y de costos

Gramos por ingrediente por ración

Ingrediente Filete Papas Requerimientos

diarios (gramos)

Carbohidratos 5 15 ≥50

Proteína 20 5 ≥40

Grasa 15 2 ≤60

Costo por

ración

$4 $2

Ralph desea determinar el número de raciones diarias (pueden ser fraccionales) de filetes

y papas que cubrirán estos requerimientos a un costo mínimo.

Identifique en forma verbal las decisiones a tomar, las restricciones sobre estas decisiones

y la medida de desempeño global para las decisiones.

Las decisiones a tomar son las raciones diarias de filete y de papas

Las restricciones son los requerimientos diarios de carbohidratos, proteínas y grasa

La medida de desempeño global es minimizar el costo

Convierta estas descripciones verbales de las restricciones y la medida de desempeño en

expresiones cuantitativas en términos de los datos y las decisiones.



13

Minimizar Costo = 4 ($/rac. filete)*(# de raciones de filete) + 2($/rac. papas)* (# de

raciones de papas)

Carbohidratos: 5 (gr/rac. filete)*(# de raciones de filete) + 15 (gr/rac. papas)* (# de

raciones de papas) ≥ 50

Proteínas: 20 (gr/rac. filete)*(# de raciones de filete) + 5 (gr/rac. papas)* (# de raciones

de papas) ≥ 40

Grasas: 15 (gr/rac. filete)*(# de raciones de filete) + 2 (gr/rac. Papas)*( de raciones de

papas) ≥ 60

# de raciones de filete ≥ 0

# de raciones de papas ≥ 0

Formule este mismo problema en forma algebraica.

X1 = Número de raciones de filete

X2 = Número de raciones de papas

Minimizar Costo = 4X1 + 2X2

1.- Carbohidratos: 5 X1 + 15X2 > 50

2.- Proteínas: 20 X1 + 5X2 > 40

3.- Grasas: 15 X1 + 2X2 < 60

X1 > 0 y X2 > 0

Formule y resuelva un modelo de programación lineal para este problema en una hoja de

cálculo y utilice la función Solver de Excel:

Tabla 5: gradiente Filete Papas diarios (gramos)

Carbohidratos 5 15 50 > 50

Proteína 20 5 40 > 40

Grasa 15 2 24.83 < 60

Costo Requerimientos

No por ración Solución

4 2 10.91

1.2727 2.91

Solución óptima:

X1 = 1,27 raciones de filete

X2 = 2,91 raciones de papas

Costo Mínimo = 10,91 Dólares



14

Use el método gráfico para resolver este problema: para lo cual se debe realizar los cuadro

de valores de cada restricción, graficar y determinar el polígono o región factible de

solución:

Restricción - 1 Restricción - 2 Restricción - 3

X1 X2

0 3.33

10 0

X1 X2

0 8

2 0

X1 X2

0 30

4 0


Tabla 6: Resultados del polígono de solución:

VERTICES X1 X2 GANANCIA

A 0 30 60

B 3.72 2.09 19.01

C 1.27 2.91 10.91

D 0 8 16

Solución óptima:

X1 = 1.3 raciones de filete X2 = 2.9 raciones de papas

Costo Mínimo = 10,91 Dólares

D

C B

A



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NOTA: Recuerde que son soluciones matemáticas, puesto que en la realidad se deberá

proponer soluciones con números enteros.

Problema 3.

A continuación presentamos la solución del Texto Matemáticas para Administración,

Economía, Ciencias Sociales y de la Vida, de HAEUSSLER y PAUL que desde la sección

7.9 página 364

Utilidad J. Smith, quien opera desde un puesto de pago por teléfono, vende dos tipos de

dispositivos electrónicos, Zeta y Gamma. Estos dispositivos son construidos para Smith

por tres amigos A, B, C; cada quien debe hacer parte del trabajo en cada dispositivo. El

tiempo que cada uno invierte en la fabricación de cada dispositivo se da en la tabla

siguiente:

Tabla 7: Tiempo que cada uno invierte en la fabricación de cada dispositivo

Amigo A Amigo B Amigo C

Zeta 2 horas 1 hora 1 hora

Gamma 1 hora 1 hora 3 horas

Los amigos de Smith tienen otro trabajo que hacer, pero determinan que cada mes pueden

invertir hasta 70, 50 y 90 horas, respectivamente, para trabajar en los productos de Smith.

Éste obtiene una utilidad de $5 en cada dispositivo Zeta y $7 en cada dispositivo Gamma.

¿Cuántos dispositivos de cada tipo debe construir Smith cada mes para maximizar la

utilidad y cuál será esta utilidad máxima?

El modelo algebraico de programación lineal sería:

X1 = Número de unidades del dispositivo Zeta que se debe construir

X2 = Número de unidades del dispositivo Gamma que se debe construir

F. Objetivo: Maximizar Utilidad = 5X1 + 7X2

Sujeto a: Amigo A: 2X1 + X2 ≤ 70

Amigo B: X1 + X2 ≤ 50

Amigo C: X1 + 3X2 ≤ 90

X1 ≥ 0; X2 ≥ 0

La solución por el método gráfico será:

Restrricción - 1 Restrricción - 2 Restrricción - 3

X1 X2

0 70

35 0

X1 X2

0 50

50 0

X1 X2

0 30

90 0



16


Tabla 8 Resultados del polígono de solución:

VERTICES X1 X2 GANANCIA

A 35 0 175

B 0 30 210

C 24 22 274

La solución óptima factible (matemática) será:

X1 = unidades Zeta = 24

X2 = unidades Gamma = 22

La utilidad máxima = $274

Problema 4.

Petrocomercial compra 2 tipos de petróleo crudo ligero y pesado a un precio de $25 el

barril de petróleo ligero y el petróleo pesado a $22 el barril, cada uno de los barriles de

petróleo ligero y pesado al ser refinado produce 3 productos: GASOLINA, TURBOSINA

Y KEROSENE y de acuerdo con las proporciones indicadas en la siguiente tabla (barril de

producto por barril de crudo):

Tabla 9: Proporción gasolina, turbosina y kerosene

Gasolina Turbosina Kerosene

Petróleo Ligero 0,45 0,18 0,30

Petróleo Pesado 0,35 0,36 0,20



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Petrocomercial entrega mensualmente 1’260,000 barriles de gasolina, 900,000 barriles de

turbosina y 300,000 barriles de kerosene.

Formular el modelo necesario para determinar la cantidad de cada tipo de petróleo ligero y

pesado por comprar para minimizar el costo total.

Como primer punto tenemos que identificar las variables de decisión, que en este caso son

los dos tipos de petróleo:

X: Número Barriles de petróleo Ligero

Y: Número Barriles de petróleo Pesado

Identificación de la función objetivo:

Mínimo Costo = 25X + 22Y

El tercer paso es la identificación de las restricciones:

Gasolina: 0,45 * (bar. ligero) + 0,35*(bar. pesado) ≥ 1’260,000 bar.

Turbosina: 0,18 * (bar. ligero) + 0,36 * (bar. pesado) ≥ 900,000 bar. Kerosene: 0,30 *

(bar. ligero) + 0,20* (bar. pesado) ≥ 300,000 bar.

Una vez identificadas la función objetivo, las variables de decisión y las restricciones

podemos establecer el modelo matemático.

Mínimo Costo = 25X + 22Y

1.- Gasolina: 0,45 X + 0,35 Y ≥ 1’260.000

2.- Turbosina: 0,18 X + 0,36 Y ≥ 900.000

3.- Kerosene: 0,30 X + 0,20 Y ≥ 300.000

X ≥ 0; Y ≥ 0

Método Gráfico:

Restrricción - 1 Restrricción - 2 Restrricción - 3

X Y

0 3,600,000

2,800,000 0

X Y

0 2,500,000

5,000,000 0

X Y

0 1,500,000

1,000,000 0



18


Tabla 10: Resultados del polígono de solución

VERTICES X Y GANANCIA

A 50’ 0 125’

B 1.4’ 1.8’ 74.6’

C 0 3.6’ 79.2’

Podemos observar que las cantidades que se deben utilizar de cada tipo de petróleo ligero

y pesado son de:

1´400,000 barriles de petróleo ligero.

1´800,000 barriles de petróleo pesado.

Con un Costo Mínimo de $ 74´600,000

Problema 5.

Una fábrica produce los Productos A y B con 40 máquinas y 50 operarios y trabaja con un

capital semana de $ 350 000 que los utiliza en compras de insumos. La producción de un

artículo –A utiliza 3 horas-máquina, 2 horas-operario, materiales por un valor de $400 y

vendido proporciona un beneficio de $300. El producto-B utiliza 2 horas-máquina, 4

horas-operario, materiales por un valor de $200 y proporciona un beneficio de $400

dólares. La fábrica opera 10 horas por día de lunes a viernes. El análisis de mercado indica

que máximo se venderá semanalmente 800 unidades de A y no hay limitación para B (lo

que produce se vende). Formule un modelo que optimice la producción semanal de la

empresa y la utilización de los recursos que maximice sus beneficios. (Rodriguez Acosta,

2011, pág. 92)

C

B

A



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Solución del Problema

1.- Tabular preferiblemente en forma matricial

Tabla 11: Tabla de Datos

Nombre de las variables de

decisión.

Producto-

A

Producto-

B

Variables X1 X2 signo Máximos recursos

1.- Horas Maquina 3 2 ≤ 2000

2.- Horas Operario 2 4 ≤ 2500

3.-Capital 400 200 ≤ 350000

4.- Demanda del producto

A 1

≤ 800

Utilidad 300 400

2.-Definir claramente las variables de decisión

X1= Cantidad de Producto A

X2= Cantidad de producto B

3.- Plantear la Función Objetivo

Z máx.= 300X1 + 400X2

4.- Formular las restricciones

Note que es si la tabla de datos está bien realizada obtener las restricciones es más fácil,

cada fila representa una restricción.

a.- 3X1+2X2 2000

b.- 2X1+4X2 2500

c.- 400X1+200X2 350000

d.- X1 800

e.- X1, X2 0 Es importante la restricción de no negatividad indica que únicamente vamos

a trabajar en el primer cuadrante.

5.- Método Gráfico

Únicamente es necesario graficar cada restricción con los puntos que intersecan en los

ejes, por ejemplo para la restricción ‘a’ cuando x1 vale cero x2 es 1000

3(0)+2X2 = 2000

Despejando X2=1000

y cuando x2 es cero X1 es 666.67

3X1+2(0) = 2000

Despejando X1=666,67

Con éstos puntos ya podemos graficar la recta ‘a’, la recta ‘b’ y ‘c’ realizamos el mismo

procedimiento, la ‘d’ es una recta vertical en el punto 800.

a

b

c

d

X1 X2 X1 X2 X1 X2 X1 X2



20

0 1000

0 625

0 1750

0

666,67 0

1250 0

875 0

0

La región factible es la intersección de las áreas que se obtiene al graficar las

inecuaciones, para saber la dirección del área remplazamos el puto (0,0) en cada

inecuación y verificamos si cumple la condición de no igualdad.

En la primera inecuación remplazamos el punto (0,0)

3(0)1+2(0) 2000 y

0 2000. La inequidad se cumple por lo tanto el área se dirige hacia el punto (0,0).


Continuamos con las demás restricciones y finalmente podemos tener la región factible.



21


Encuentre los vértices de la región factible, remplazamos en la función objetivo y

obtenemos la utilidad, el vértice que da la mayor utilidad es la solución por ende se debe

producir 375 productos A y 437,5 productos B; para obtener una utilidad de $287 500.

Tabla 12: Tabla de resultados

PRODUCTO. A PRODUCTO.B UTILIDAD DECISION

VÉRTICE C 666,67 0 200001

VËRTICE B 375 437,5 287500

VÉRTICE A 0 625 250000

Análisis de sensibilidad de las Restricciones

Existen dos formas de realizar un análisis de sensibilidad analizando los recursos

Agotados y analizando los recursos Abundantes

Análisis de recursos Abundantes

Realizaremos un análisis de recursos abundantes y agotados en el punto B donde se

obtuvo la SOF solución óptima factible.

PUNTO B

1.- Horas Maquina

B= (375; 437,5)

a.- 3X1+2X2 2000

3(375)+2(437.5) 2000

21 21

21-21=0 Recurso Agotado

Significa de las 2000 horas máquina disponible, fueron utilizadas todas

2.- Horas Operario

b.- 2X1+4X2 2500

2(375)+4(437.5) 2500



22


Las horas operario fueron agotadas.

3.-Capital

c.- 400X1+200X2 350000

400(375)+200(437.5) 350000

350000-237500=112500 Recurso Abundante

Existe $112500 no gastado

4.- Demanda del producto A

d.- X1 800

(375) 800


Se puede vender 425 unidades más del producto A.

El análisis de recursos Abundantes sugiere que únicamente se requiere$237500 y producir

375 productos por lo tanto las restricciones sin cambiar la Solución Óptima Factible.

3.-Capital

c.- 400X1+200X2 237500


d.- X1 375

Análisis de recursos Agotados

Para los recursos agotados es necesario realizar un análisis en el Punto B que es donde se

tiene el máximo rendimiento y en dos puntos contiguos que en este caso serían los puntos

P y Q. como se indica en el gráfico. Para ello calculamos las coordenadas en estos puntos.

Además es importante realizar una tabla con los incrementos o decrementos que las

nuevas soluciones originarían en las utilidades.

Tabla 13: soluciones originarían en las utilidades

Vértices X1 X2 Valor Función

Objetivo

Incremento o decremento de la

Función Objetivo

P 0 1000 400000 ∆ 112500

Q 750 250 325000 ∆ 37500

PUNTO P

1.- Horas Máquina

P= (0,1000)

a.- 3X1+2X2 2000

3(0)+2(1000) 2000

2000 2000


Significa de las 2000 horas máquina disponible, fueron utilizadas todas

2.- Horas Operario

b.- 2X1+4X2 2500

2(0)+4(1000) 2500

2500-4000= -1500 Recurso Abundante

El resultado muestra que se debe incrementar las horas disponibles de operario en 1500

para que el vértice P pueda ser la nueva solución

3.-Capital



23

c.- 400X1+200X2 350000

400(0)+200(1000) 350000


Existe $150000 no gastado


d.- X1 800

(0) 800

800-0= 800 Recurso Abundante


PUNTO Q

1.- Horas Máquina

P= (750,250)

a.- 3X1+2X2 2000

3(750)+2(250) 2000

2750 2000

2000-2750=-750 Recurso Abundante

Para que la nueva solución sea el punto Q se debe incrementar en la disponibilidad de

horas Máquina en 750.

2.- Horas Operario

b.- 2X1+4X2 2500

2(750)+4(250) 2500


Las horas operario son exactamente las necesarias.

3.-Capital

c.- 400X1+200X2 350000

400(750)+200(250) 350000

350000-350000=0 Recurso Agotados

El capital es justo lo que se necesita y no existe ni sobrante ni faltante.


d.- X1 800

(750) 800



Realizamos el análisis basado en el precio sombra que valor que aumenta o disminuye la

ganancia en ($/unidad) por cada unidad de recurso que se incremente o reduzca.

Determinado por la siguiente relación:

Realizamos una tabla para cada restricción con el análisis respectivo, tomando en cuenta

los mayores incrementos absolutos de cada una de las restricciones en los puntos B, P y Q.

Tabla 14: Análisis restricciones en los puntos B, P y Q

Restricción Punto Recurso Tipo ∆ del

Recurso

∆

Función

Objetivo

Yi (Precio

Sombra)



24

a Q 1.- Horas Maquina Agotado 750 37500 50

b P 2.- Horas Operario Agotado 1500 112500 75

c B 3.-Capital Abundante -112500 0 0

d B 4.- Demanda del

producto A

Abundante -425 0 0

En el Punto Q deberíamos incrementar 750 horas Máquina para tener un incremento en la

utilidad de $37500, la utilidad que tendríamos por cada hora incrementada de Maquinaria

sería de $50 también es el valor máximo adicional que podemos pagar por cada hora

adicional de Maquinaria; mientras que en el Punto P se incrementaría 1500 Horas

Operario para que aumente la utilidad en $112500, la utilidad que tendríamos por cada

hora incrementada de Operario sería de $75 también es el valor máximo adicional que

podemos pagar por cada hora adicional de Operario. Comparando estos indicadores en los

Puntos B, P, Q, podemos concluir si es conveniente modificar la Solución Óptima Factible

al punto P, ya que el precio sombra es mayor. El precio sombra calculado se lo puede

comparar con el encontrado a través del software Excel y POM.

Análisis de sensibilidad de los márgenes de contribución de los coeficientes de la Función

Objetivo.

El análisis de sensibilidad de los márgenes de contribución responde a la pregunta. “¿En

qué límites puede variar los coeficientes de la Función Objetivo (Márgenes de

Contribución) sin cambiar la Solución Óptima Factible (vértice óptimo)?” (Rodriguez

Acosta, 2011, pág. 44).

La Función Objetivo: Z máx.= 300X1+400X2, acudimos a un artificio considerando que se

trata de una ecuación lineal.

Z máx.= C1 X1+C2 X2,

Donde la pendiente sería:

Calculamos la pendiente de los recursos Agotados

1.- Horas Máquina

a.- 3X1+2X2 2000

Igualamos con la pendiente de la función Objetivo, colocando C2 como incógnita.

C2=200


C1=600

2.- Horas Operario

b.- 2X1+4X2 2500




25

C2=600


C1=200

Los límites en los que puede cambiar los coeficientes de la Función sin cambiar la

Solución Óptima Factible son:

200≤C1≤600

200≤C2≤600

También se lo puede expresar en cuanto puedo incrementar y disminuir los coeficientes de

la función Objetivo sin cambiar la Solución Óptima Factible, por supuesto que la utilidad

variará.

Tabla 15: Variación permitida de los coeficientes de la Función Objetivo

Coeficiente F. O Valor Coef. F.O. Disminuir Aumentar

C1 300 100 300

C2 400 200 200

Los resultados obtenidos se los puede ver en el informe de confidencialidad obtenido con

Excel que se explica a continuación.


6.- Programa de Software (Excel)



26

Realice una tabla en Excel con la función Objetivo y las restricciones, la función objetivo

en la celda B7, en la parte superior podemos ver la función aplicada

Figura 9



27

El uso total también se puede ver la fórmula aplicada

Figura 10 Formato para Solver

Los recursos sobrantes únicamente aplicamos una resta entre los máximos recursos y el

uso total.




28

En datos en la barra de herramientas damos clic en La Función solver y se despliega la

siguiente ventana que la llenamos según el requerimiento que lo relacionamos por el

nombre de las celdas y clic en resolver


Activamos los informes que vamos a requerir y aceptar




29

Se despliega los resultados y los informes entre ellos el informe de confidencialidad en el

que podemos ver entre otra información el precio sombra, en cuanto puede variar los

coeficientes de la función objetivo y el análisis de las restricciones.

Figura 14 Informe de confidencialidad

6.- Programa de Software (POM)

Abrir el programa POM y en la barra de tareas vamos a Módulo y señalamos

Programación Lineal

Figura 15 Tutorial de POM



30

En Archivo seleccione nuevo


Coloque el número de restricciones (4) y variables (2) según el requerimiento, además

marque si va a maximizar o minimizar (en este caso maximizar) clic en ok.




31

Llene la matriz y haga clic en solve


Finalmente tiene los resultados, en la barra de herramientas en Windows puede desplegar

los diferentes tipos de resultados incluidos el gráfico y el precio sombra.




32

El gráfico es el mismo que obtenemos en la parte inicial resuelto en Geo Gebra que se

trata de otro graficador.




33

CAPÍTULO 2

MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL CON MÁS DE DOS VARIABLES


El estudiante estará en capacidad de modelos de Programación Lineal complejos con más

de dos variables, aplicados a empresas productoras y comercializadoras, tanto públicas

como privadas con el fin de optimizar sus recursos


Resolver modelos de Programación Lineal complejos con más de dos variables, aplicados a



CONTENIDO

• Planteamiento de modelos con MÁS DE dos variables de decisión.

• Diferentes Aplicaciones Prácticas

• Resolución de modelos: USO DE SOFTWARE Y LA FUNCIÓN SOLVER.

• Interpretación de resultados

• Análisis de Sensibilidad



34

EXPLICACIÓN

Programación Lineal: Análisis de Sensibilidad e Interpretación de la solución.

En el siguiente capítulo se desarrolla la “Programación Lineal: Formulación y

Aplicaciones”, en el cual los modelos tendrán más de dos variables y su función objetivo

será tanto de maximización como de minimización.

Los problemas con mayor número de variables regularmente son más apegados a la

realidad, razón por la cual en la actualidad sólo son resueltos por medio de programas de

computación.

Se le recomienda que resuelva los modelos de DOS VARIABLES mediante el METODO

GRÁFICO, y los de TRES O MAS VARIABLES mediante la aplicación del programa

SOLVER del Excel u otros software disponibles en el mercado como el QM para Windows

(POM), TORA, LINDO, QSB, etc.

También se estudia el Análisis de “qué pasa si” para la Programación lineal lo que implica

realmente un análisis de sensibilidad de las restricciones.

Es muy importante este tema puesto que las condiciones de los negocios son cambiantes y

con este análisis se pueden encontrar el “Precio Sombra” que es la utilidad o la pérdida que

tendrá la empresa si cambia una de las restricciones del modelo. Para esto es importante en

primer lugar determinar si los recursos son “Agotados” o “Abundantes” con la

implementación del plan óptimo de solución.

El análisis de sensibilidad de los coeficientes de la función objetivo, nos ayuda a reaccionar

rápidamente a la variación de la función objetivo analizada, por ejemplo cambios de la

utilidad unitaria o del costo unitario de una de nuestras variables, nos obligarán a revisar la

decisión tomada ratificando la misma o tomando otra.

Es de suma importancia que usted analice los problemas desarrollados y luego los plantee y

resuelva. Existen algunos de los problemas propuestos que están resueltos al final del libro

y en el CD que viene con el mismo, le recomendamos que los revise y analice

detenidamente, estos nos servirán de auto evaluación, aunque cabe anotar que existe algún

error de impresión en la solución de alguno de ellos.

Problemas Resueltos

Problema 1.

De los problemas propuestos de otros autores

Para satisfacer las necesidades de vitaminas, un hombre va a comprar 100 píldoras que

deben contener al menos 750 unidades de B1, 600 unidades de B2 y 280 unidades de B6.



35

Compra a $0.5 las píldoras del tipo-I que contiene 10 unidades de B1, 5 unidades de B2 y 3

de B6; compra a $0.6 las píldoras del tipo-II que contienen 12 unidades de B1, 2 de B2 y

11 de B6 y a $0.4 las píldoras del tipo-III que contienen 6 unidades de B1, 7 de B2 y 2 de

B6.

Cuántas píldoras de cada tipo debe consumir para satisfacer sus necesidades a un mínimo

costo?

a.- Formule el modelo algebraico y resuelva en una hoja de cálculo para este problema.

b.- Use Excel Solver para obtener el intervalo de optimalidad para cada costo unitario.

Tabla 16: Resumen de datos:

NOMBRE RESTRICC

PILD.

TIPO-I

PILD.

TIPO-II

PILD.

TIPO-III

NECESIDADES

MINIMAS

1.- VITAMINA-B1 (unid.) 10 12 6 750.00

2.- VITAMINA- B2 (unid) 5 2 7 600.00

3.- VITAMINA-B6 (unid.) 3 11 2 280.00

4.- REQUER. PILDORAS 1 1 1 100.00

costos unitarios ($/pild.) 0.5 0.6 0.4

MODELO ALGEBRAICO:

- Definición de variables:

-

X1 = cantidad de píldoras tipo-I que debe comprarse

X2 = cantidad de píldoras tipo-II que debe comprarse

X3 = cantidad de píldoras tipo-III que debe comprarse

- Función Objetivo:

-

MIN. COSTO = 0.5X1 + 0.6X2 + 0.4X3

- Restricciones:

-

1.- Vitamina B1: 10X1 + 12X2 + 6X3 ≥ 750

2.- Vitamina B2: 5X1 + 2X2 + 7X3 ≥ 600

3.- Vitamina B6: 3X1 + 11X2 + 2X3 ≥ 280

4.- Req. Píldor.: X1 + X2 + X3 = 100



36

X1 , X2 , X3 ≥ 0

Tabla 17: Resolución en solver de Excel

RESULTADOS DEL ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD:

Problema 2.

Considere un problema de asignación de recursos con la siguiente tabla de parámetros:

Tabla 18: tabla de parámetros

Recursos

Uso de recursos por unidad de

cada actividad

Cantidad de

recursos

disponible 1 2

1 1 3 8

2 1 1 4

NOMBRE RESTRICC PILD.

TIPO-I

PILD.

TIPO-II

PILD.

TIPO-III

UNID.

UTILIZ.

UNID.

DISPON

1.- VITAMINA - B1 (unid.) 10 12 6 750,00 ≥ 750

2.- VITAMINA - B2 (unid) 5 2 7 613,67 ≥ 600

3.- VITAMINA - B6 (unid.) 3 11 2 280,00 ≥ 280

4.- REQUER. PILDORAS 1 1 1 100,00 = 100

Costos unitarios ($/pild.) 0,5 0,6 0,4 44,03

SOLUCION OPTIMA: 29,00 5,67 65,33

Microsoft Excel 15.0 Informe de confidencialidad

Hoja de cálculo: [Libro1]Hoja1

Informe creado: 15/10/2015 9:27:12

Celdas de variables

Final Reducido Objetivo Permisible Permisible

Celda Nombre Valor Coste Coeficiente Aumentar Reducir

$B$7 SOLUCION OPTIMA: PILD. TIPO-I 29 0 0,5 0,033333333 0,077777778

$C$7 SOLUCION OPTIMA: PILD. TIPO-II 5,666666667 0 0,6 0,7 0,05

$D$7 SOLUCION OPTIMA: PILD. TIPO-III 65,33333333 0 0,4 0,0875 0,1

Restricciones

Final Sombra Restricción Permisible Permisible

Celda Nombre Valor Precio Lado derecho Aumentar Reducir

$E$2 1.- VITAMINA - B1 (unid.) UNID. UTILIZ. 750 0,023333333 750 31,53846154 96,66666667

$E$3 2.- VITAMINA - B2 (unid) UNID. UTILIZ. 613,6666667 0 600 13,66666667 1E+30

$E$4 3.- VITAMINA - B6 (unid.) UNID. UTILIZ. 280 0,006666667 280 51,25 42,5

$E$5 4.- REQUER. PILDORAS UNID. UTILIZ. 100 0,246666667 100 20,71428571 1,348684211



37

Ganancia unitaria ($) 1 2

El objetivo es determinar el número de unidades de cada actividad que maximiza la

ganancia total.

a) Método gráfico

FO: Ganancia Total MAXIMIZAR

Variables:

x1 = número de unidades de actividad 1

x2 = número de unidades de actividad 2

FO: U = x1 + 2 x2 MAXIMIZAR

x1 + 3 x2 ≤ 8

x1 + x2 ≤ 4

x1 , x2 ≥ 0


La solución óptima es realizar 2 unidades de la actividad 1 y 2 unidades de la actividad 2

para obtener una utilidad máxima de $ 6.



38

b) Use el análisis gráfico para determinar el precio sombra de cada recurso resolviendo de

nuevo después de aumentar en 1 cada recurso disponible


El precio sombra para el recurso 1 es $ 0.50, es decir que por cada unidad

de recurso uno que aumente o disminuya la ganancia total aumenta o

disminuye en $0.50.

Precio sombra del recurso 2

El precio sombra para el recurso disponible 2 es $ 0.50, es decir que por cada unidad de

recurso 2 que aumente o disminuya la ganancia total aumenta o disminuye en $0.50.



39

c) Programación Lineal con Solver

Tabla 19: Resultados en solver

x1 x2 Disponible

Recurso 1 1 3 8,00 < 8

Recurso 2 1 1 4,00 < 4

Ganancia

Unitaria

1 2 6,00 máximo

Variables 2,00 2,00

La solución óptima es realizar 2 unidades de la actividad 1 y 2 unidades de la actividad 2

para obtener una utilidad máxima de $ 6 (igual que en el método gráfico)


Precio sombra del recurso 1

x1 x2 Disponible

Recurso 1 1 3 9,00 < 9

Recurso 2 1 1 4,00 < 4

Ganancia

Unitaria

1 2 6,50 máximo

Variables 1,50 2,50


recurso 1 que aumente o disminuya la ganancia total aumenta o disminuye en $0.50.


Precio sombra del recurso

2

x1 x2 Disponible

Recurso 1 1 3 8,00 < 8

Recurso 2 1 1 5,00 < 5

Ganancia

Unitaria

1 2 6,50 máximo

Variables 3,50 1,50


recurso uno que aumente o disminuya la ganancia total aumenta o disminuye en $0.50.



40

d) Use solver para obtener el precio sombra

Tabla 22: Análisis de sensibilidad

Microsoft Excel 10.0 Informe de sensibilidad

Hoja de cálculo: [Ejercicio 4.11.xls]Hoja1

Informe creado: 01/05/2005 20:50:45

Celdas cambiantes

Valor Gradiente Coeficiente Aumento Disminución

Celda Nombre Igual reducido objetivo permisible permisible

$B$3 Variables x1

$C$3 Variables x2

2,00 0,00 1 1 0,333333333

2,00 0,00 2 1 1

Restricciones

Valor Sombra Restricción Aumento Disminución

Celda Nombre Igual precio lado derecho permisible permisible

$D$6 Recurso 1

$D$7 Recurso 2

8,00 0,50 8 4 4

4,00 0,50 4 4 1,333333333

El informe muestra que cuando tanto, el recurso uno como el 2 aumentan en una unidad, la

ganancia total aumenta o disminuye en $0.50, respectivamente.

e) Los precios sombra son útiles por que muestran como se ve afectada la ganancia cuando

los recursos disponibles aumentan o disminuyen, lo que permite decidir que recurso

aumentar para que la utilidad aumente, o que recurso disminuir para que se vea menos

afectada.



41

CAPÍTULO 3

MODELOS DE TRANSPORTE Y ASIGNACIÓN

Figura 23 Modelos de Trasporte


El estudiante estará en capacidad de resolver problemas de transporte y asignación,

aplicados a empresas públicas y privadas con diferentes tipos de servicios con el fin de



Resolver problemas de transporte y asignación, aplicados a empresas públicas y privadas

con diferentes tipos de servicios con el fin de optimizar sus recursos.

CONTENIDO

• BASES TEÓRICAS Y FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL PROBLEMA DE

TRANSPORTE.

• CALCULO DE DISTRIBUCIONES INICIALES BÁSICAS EN PROBLEMAS

DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS.

• RESOLUCIÓN DE MODELOS Y OPTIMIZACIÓN DE

DISTRIBUCIONES DE PRODUCTOS CON APLICACIÓN DE

DIFERENTES SOFTWARE (Función Solver, Tora, Lindo, etc).

• CASO ESPECIAL: FORMULACIÓN Y SOLUCIÓN MATEMÁTICA DE

MODELOS DE ASIGNACIÓN.



42

EXPLICACIÓN

Modelos de Transporte

En este capítulo se presenta el modelo de Transporte y Asignación, como un modelo

particular de programación lineal.

El modelo de transporte tiene como objetivo encontrar el costo menor de transportar desde

varios puntos de origen a varios puntos de destino cubriendo la oferta o recursos y la

demanda.

Se debe tomar en cuenta en este modelo que si la oferta es mayor que la demanda las

restricciones asociadas a los orígenes debe ser del tipo “≤” y las asociadas a la oferta deben

ser “=”, pero si la demanda es mayor que la oferta los nodos de destino deberán ser los que

tienen las restricciones “≤” y los destinos “=” o se deberá aumentar un origen ficticio como

indica en el texto guía, por último si la oferta total y la demanda total son iguales todas las

restricciones podrán ser “=”.

Aunque existen varios métodos para resolver un problema de transporte se debe empezar

con una solución inicial, utilizando el método más tradicional conocido como

“aproximación de Vogel”, y luego con el proceso recurrente de optimización del problema

de transporte, pero en el texto guía no se desarrollan estos métodos por lo que se los debe

resolver como se indica en el mismo, planteándolo como modelo de programación lineal y

resolviéndolo mediante la función Solver.

Capítulo 3: “Modelos o problemas de Asignación”

La Asignación es una variante o caso especial del Modelo de Transporte. En este caso se

quieren asignar actividades o recursos a personas, máquinas o tareas o viceversa, con el

objetivo que el costo total sea el menor. La particularidad de este modelo es que la oferta y

la demanda es “1” en cada nodo de origen o destino.



43

Problemas Resueltos

Problema 1.

La empresa frutería litoral desea transportar frutas a las diferentes ciudades del país, el

gerente de dicha empresa desea que se envíe dicho producto que en este caso son

manzanas.

Los lugares de partida son de Quito con 3,000 cajas y desde Guayaquil 4,000 cajas,

mientras que los lugares de destino pueden recibir: Latacunga de 1,100 cajas, Ambato

1,200 cajas, Baños 1,400 cajas, Guaranda 1,600 cajas, Riobamba 1,700 cajas. El costo del

transporte es de acuerdo a la distancia. Encontrar la minimización del costo de transporte.

Los Costos Unitarios ($/caja) de distribución de cada fuente a cada destino son:

Tabla 23: Costos Unitarios

LATAC. AMB. BAÑOS GUAR. RIOB.

QUITO 70 120 100 150 120

GUAYAQUIL 280 120 184 100 150

Oferta Demanda

1100

3000

1200

1400

4000 1600

1700

Latacunga

Ambato

Baños

Guaranda

Riobamba

Guayaquil

Quito



44

Figura 24 Modelo de Transporte resuelto con Programación Lineal

- Definición de las variables:

X11: Número de cajas que transporta de Q – L

X12: Número de cajas que transporta de Q – A

X13: Número de cajas que transporta de Q – B

X14: Número de cajas que transporta de Q – G

X15: Número de cajas que transporta de Q – R

X21: Número de cajas que transporta de G – L

X22: Número de cajas que transporta de G – A

X23: Número de cajas que transporta de G – B

X24: Número de cajas que transporta de G – G

X25: Número de cajas que transporta de G – R

Por consiguiente, el modelo de transporte planteado como un modelo de programación

lineal, sería como sigue:

FUNCION OBJETIVO

Min Costo = 70X11 + 120X12 +100X13 + 150X14 + 120X15 + 280X21 +

120X22 +184X23 + 100X24 + 150X25

RESTRICCIONES

Origen X11 + X12 + X13 + X14 + X15 = 3000

X21 + X22 + X23 + X24 + X25 = 4000

Destino X11 + X21 = 1100

X12 + X22 = 1200

X13 + X23 = 1400

X14 + X24 = 1600

X15 + X25 = 1700

X11, X12, X13, X14, X15, X21, X22., X23, X24, X25 ≥ 0



45

Planteado de acuerdo a la estructura matricial resulta como sigue:

Tabla 24:

Latacunga Ambato Baños Guaranda Riobamba Oferta

Quito X11

70

X12

120

X13

100

X14

150

X15

120

3000

Guayaquil X21

280

X22

120

X23

184

X24

100

X25

150

4000

Demanda

1100

1200

1400

1600

1700

Problema 2

Considere el problema de transporte que tiene la siguiente tabla de parámetros:

Costo unitario Tabla 25: Tabla de parámetros

Destino

Origen 1 2 3 Recursos

1 9 6 8 4

2 7 12 10 3

3 6 7 6 2

Demanda 3 3 2

a. Trace la representación de redes de este problema.

Origen Destino



46

Figura 25 Modelo de Transporte

b. Formule el problema en una hoja de cálculo

c. Use Excel Solver para obtener la solución óptima.

Tabla 26: Costo unitario

Destino D1 D2 D3 Recursos

Origen TOTAL

O1 0 1 2 3 ≤ 4

O2 1 2 0 3 ≤ 3

O3 2 0 0 2 ≤ 2

TOTAL 3 3 2 $65

═ ═ ═

DEMANDA 3 3 2

Problema 3

Considere el problema de transporte que tiene la siguiente tabla de parámetros:

Tabla 27: Costo unitario

Destino

Origen 1 2 3 Recursos

1 9 6 8 4

2 7 12 10 3

3 6 7 6 2

Demanda 3 3 2

Problema 4

4 3

3

3

2 2

O1

O2

O3

D1

D2

D3



47

(Transporte)

Una empresa produce un único artículo en tres plantas, A, B, C. La capacidad de

producción mensual de la empresa está limitada a 50, 70, 90 unidades mensuales en cada

una de las plantas. La empresa tiene tres clientes mayoristas cuyas demandas mensuales

son 30, 90 y 80 unidades respectivamente.

Los costes de envió a los 3 clientes mayoristas que la empresa tiene vienen dados por la

siguiente tabla.

Tabla 28: Costes de envió

PLANTAS CLIENTE-1 CLIENTE-2 CLIENTE-3

A 208 320 145

B 310 260 135

C 280 150 125

a) Calcular la distribución Óptima y el costo mínimo, utilizando el método del costo

mínimo.

Ubicamos en la tabla de costos la respectiva oferta y demanda y la sumamos en la esquina

inferior.

Tabla 29: costos oferta y demanda

PLANTAS CLIENTE-1 CLIENTE-2 CLIENTE-3 OFERTA

A 208 320 145 50

B 310 260 135 70

C 280 150 125 90

DEMANDA 30 90 80

210

200

Trazamos diagonales en cada una de las celdas y observamos que la oferta es 210 y la

demanda 200 por lo que es necesario que incluyamos una columna con un cliente ficticio

para que la oferta y la demanda esté equilibrada.

Como el problema se trata de un ejercicio de minimización comenzamos asignando

valores a la celda con el menor costo (no tomamos en cuenta la columna ficticia) para ello

es la celda C33, si la oferta es de 90 y la demanda de 80 asignamos lo mayor posible esto

es 80, el resto de la columna con ceros porque la suma en el Cliente-3 da el total.

Continuamos con el siguiente valor en la celda C32, aunque la demanda es de 90 solo

podemos ofertar 10 porque 80 ya fue ofertado anteriormente, la celda C31 y C34 lo

completamos con cero. La Panta C al sumar las asignaciones la oferta está satisfecha.

Continuamos con el mismo procedimiento hasta finalizar el proceso.

Tabla 30:Método u-v

PLANTAS CLIENTE- CLIENTE- CLIENTE- CLIENTE- OFERTA



48

1 2 3 FICT

A

30

208

10

320

0

145

10

0 50

B

0

310

70

260

0

135

0

0 70

C

0

280

10

150

80

125

0

0 90

DEMANDA 30 90 80 10

210

210

La distribución óptima es la siguiente:

De la Panta A distribuir al Cliente-1 30 unidades y al Cliente-2 10 unidades.

De la Panta B distribuir al Cliente-2 70 unidades.

De la Panta C distribuir al Cliente-2 10 unidades y al Cliente-3 80 unidades

El costo mínimo está dado por todas las asignaciones con sus costos respectivos:

Zmin= (30) (208)+ (10) (320)+ (70) (260)+ (10) (150)+ (80) (125)=39140

Distribución Mejorada. Método ‘u-v’

La distribución ni el costo mínimo estamos seguros que lo sean los óptimos por lo que es

necesario aplicar el método expuesto.

Comenzamos aplicando la siguiente fórmula a todas las celdas que tengan algún valor

asignado.

Tabla 31: Método u-v

v1 v2 v3 v4

PLANTAS

CLIENTE-

1

CLIENTE-

2

CLIENTE-

3

CLIENTE-

FICT OFERTA

u1 A

30

208

10

320

0

145

10

0 50

u2 B

0

310

70

260

0

135

0

0 70

u3 C

0

280

10

150

80

125

0

0 90

DEMANDA 30 90 80

ui+vi= Cij

u1+v1=208

u1+v2=320



49

u1+v4=0

u2+v2=260

u3+v2=150

u3+v3=125

Resolvemos el sistema de ecuaciones para lo cual a la variable que más se repite le

asignamos cero (u1=0). Las soluciones son las siguientes.

u1=0

u2= -60

u3=-170

v1=208

v2=320

v3=295

v4=0

Teniendo todos los valores de u y v calculados, en las celdas cuyas variables sean igual a

cero, (exceptuando la columna ficticia) aplicamos la siguiente fórmula.

Cij=( Costo o utilidad) – (ui+vj)

C13= 145-(0+295)= -150

C21=310- (-60+208)= 162

C23=135-(-60+295) = -100

C31= 280-(-170+208)=242

Para tomar la distribución inicial como la definitiva es necesario que todos los valores

sean positivos como vemos hay 2 valores negativos -150 y -100 , consideramos la celda

del menor (C13) donde iniciaremos la optimización, en esta celda vamos a asignar una

cantidad θ, en la tercera columna si realizamos un incremento de una determinada

cantidad para que haya equilibrio es necesario que se reste en otra celda en la misma

columna, la única a la que se le puede restar es la celda C33, ya que la C23 tiene valor de



50

cero y no es posible realizar la diferencia. Ahora en la fila tenemos dos opciones restar en

la celda C12 o en la celda C11, como se trata de minimizar deseamos reducir los costos

restamos al de mayor valor C12, En la fila 3 vamos a sumar por lo que consideramos el de

menor valor C32. Teniendo la siguiente tabla.



51


v1 v2 v3 v4

PLANTAS CLIENTE-1 CLIENTE-2 CLIENTE-3

CLIENTE-

FICT OFERTA

u1 A

30

208

10- θ

320

0 +θ

145

10

0 50

u2 B

0

310

70

260

0

135

0

0 70

u3 C

0

280

10 + θ

150

80 – θ

125

0

0 90

DEMANDA 30 90 80

Calculamos el valor de θ, seleccionando las nuevas asignaciones con signo negativo.

80 - θ = 0

10- θ = 0

Despejamos θ y escogemos el menor valor

Θ =10

Este valor remplazamos en la tabla y obtenemos la nueva asignación.


v1 v2 v3 v4

PLANTAS

CLIENTE-

1

CLIENTE-

2

CLIENTE-

3

CLIENTE-

FICT OFERTA

u1 A

30

208

0

320

10

145

10

0 50

u2 B

0

310

70

260

0

135

0

0 70

u3 C

0

280

20

150

70

125

0

0 90

DEMANDA 30 90 80




De la Panta C distribuir al Cliente-2 20 unidades y al Cliente-3 70 unidades


Z min= (30) (208)+ (10) (145)+ (70) (260)+ (20) (150)+ (70) (125)=37640



52

La distribución ni el costo mínimo estamos seguros que lo sean los óptimos y definitivos

por lo que es necesario aplicar nuevamente el método expuesto.


asignado.


v1 v2 v3 v4

PLANTAS

CLIENTE-

1

CLIENTE-

2

CLIENTE-

3

CLIENTE-

FICT OFERTA

u1 A

30

208

0

320

10

145

10

0 50

u2 B

0

310

70

260

0

135

0

0 70

u3 C

0

280

20

150

70

125

0

0 90

DEMANDA 30 90 80

ui+vi= Cij

u1+v1=208

u1+v3=145

u1+v4=0

u2+v2=260

u3+v2=150

u3+v3=125



u1=0

u2= 90

u3=-20

v1=208

v2=170

v3=145

v4=0



53



Cij=( Costo o utilidad) – (ui+vj)

C12= 320-(0+170)= 150

C21=310- (90+208)= 12

C23=138-(90+145)= -97

C31= 280-(-20+208)= 52

Para tomar la distribución inicial como la definitiva es necesario que todos los valores

sean positivos como vemos hay 1 valor negativo -97 de la celda (C23) donde iniciaremos

la optimización, en esta celda vamos a asignar una cantidad θ, en la segunda fila si

realizamos un incremento de una determinada cantidad para que haya equilibrio es

necesario que se reste en otra celda en la misma fila, la única a la que se le puede restar es

la celda C22, ya que la C21 tiene valor de cero y no es posible realizar la diferencia.

Debemos restar en las columnas 4 y sumar en la columna 2 para que haya equilibrio,

debemos saber en qué fila en la primera o en la tercera, para ello restamos los costos de

estas opciones

150-125=25 Fila 3

320-145= 75 Fila 1

La nueva asignación debe ser en la fila 3 porque allí tenemos el menor valor, recuerde que

estamos minimizando.


v1 v2 v3 v4

PLANTAS

CLIENTE-

1

CLIENTE-

2

CLIENTE-

3

CLIENTE-

FICT OFERTA

u1 A

30

208

0

320

10

145

10

0 50

u2 B

0

310

70-θ

260

0 +θ

135

0

0 70

u3 C

0

280

20+θ

150

70-θ

125

0

0 90

DEMANDA 30 90 80

Calculamos el valor de θ, seleccionando las nuevas asignaciones con signo negativo.

70 - θ = 0

70- θ = 0



54

Despejamos θ y escogemos el menor valor

θ =70

Este valor remplazamos en la tabla y obtenemos la nueva asignación.


v1 v2 v3 v4

PLANTAS

CLIENTE-

1

CLIENTE-

2

CLIENTE-

3

CLIENTE-

FICT OFERTA

u1 A

30

208

0

320

10

145

10

0 50

u2 B

0

310

0

260

70

135

0

0 70

u3 C

0

280

90

150

0

125

0

0 90

DEMANDA 30 90 80




De la Panta C distribuir al Cliente-2 90 unidades.


Z min= (30) (208)+ (10) (145)+ (70) (135)+ (90) (150)=30640

El nuevo costo mínimo es menor pero la distribución ni el costo mínimo estamos seguros

que lo sean los óptimos y definitivos por lo que es necesario aplicar nuevamente el

método expuesto.


asignado.

ui+vi= Cij

u1+v1=208

u1+v3=145

u1+v4=0

u2+v3=135

u3+v2=150



55



u1=0

u2= -10

u3=-20

v1=208

v2=170

v3=145

v4=0

La variables u3 y v2 no es posible resolver por lo que tomamos los valores anteriores.



Cij= (Costo o utilidad) – (ui+vj)

C12= 320-(0+150)= 170

C21=310- (-10+208)= 112

C22=260-(-10+150)= 120

C31= 280-(-20+208)= 92

C33= 125-(-20+145)= 0

Todos los valores son positivos por ello la última distribución y el valor de la Función

Objetivo son los definitivos.



56

Problema 5

(Asignación)

Una panadería tiene cuatro empleados y realiza tres tipos de pan enrollado, moldes y

empanadas; para el propietario es importante que se asigne adecuadamente a cada

empleado para realizar los diferentes tipos de pan. Se dispone de un historial en el que se

indica cuantos panes por hora realizan en promedio cada empleado. Considere que solo se

puede asignar una persona para cada clase de pan por razones operativas de la panadería.

Tabla 37: panes por hora

EMPLEADOS ENROLLADOS MOLDES EMPANADAS

JUAN 120 118 115

PEDRO 125 80 140

MATEO 110 128 133

CARLOS 100 130 128

a) Calcular la distribución Óptima y el número de panes que se puede realizar en una

hora, utilizando el método Húngaro.

Es importante reconocer que se trata de un problema de asignación porque disponemos de

un empleado para realizar únicamente una tarea. Además se trata de un problema de

maximización deseamos que la panadería elabore la mayor cantidad de panes en el menor

tiempo posible.

Tabla 38: Empleados y tipos de Panes


JUAN 120 118 115

PEDRO 125 80 140

MATEO 110 128 133

CARLOS 100 130 128

Cuando tenemos un problema de asignación iniciamos identificando el mayor valor de la

tabla en este caso es el 140 en la ubicación X23, luego de este valor restamos a todos de la

tabla. En la posición X11 restamos 140-120=20, con estos valores realizamos una nueva

tabla.

Tabla 39: Método Húngaro


JUAN 20 22 25

PEDRO 15 60 0

MATEO 30 12 7

CARLOS 40 10 12



57

Luego equilibramos el número de filas y columnas añadiendo ceros en los espacios vacíos.



COLUMNA

FIC.

JUAN 20 22 25 0

PEDRO 15 60 0 0

MATEO 30 12 7 0

CARLOS 40 10 12 0

Restamos el menor de cada fila en este caso son ceros por lo que nos queda la misma

matriz.



COLUMNA

FIC.

JUAN 20 22 25 0

PEDRO 15 60 0 0

MATEO 30 12 7 0

CARLOS 40 10 12 0

El menor restamos a su respectiva columna.



COLUMNA

FIC.

JUAN 5 12 25 0

PEDRO 0 50 0 0

MATEO 15 2 7 0

CARLOS 25 0 12 0

Trazamos rectas por las celdas cubriendo con cada recta la mayor cantidad de ceros,

asegurémonos que a todos los ceros sean cubiertos, no importa que haya intersecciones

entre las ellas.



COLUMNA

FIC.

JUAN 5 12 25 0

PEDRO 0 50 0 0

MATEO 15 2 7 0

CARLOS 25 0 12 0



58

Son tres rectas las que cubren todos los ceros, por tratarse de un sistema de 4X4 se

requiere al menos de cuatro rectas, para ello debemos aplicar el siguiente artificio.

Encontramos el valor menor de los no subrayados (2) y:

Sumamos 2 ( en este caso) a las intersecciones

El resto de elementos subrayados los copiamos igual

A los no subrayados los restamos 2 (el menor).



COLUMNA

FIC.

JUAN 3 10 23 0

PEDRO 0 50 0 2

MATEO 13 0 5 0

CARLOS 25 0 12 2

Repetimos el procedimiento anterior trazamos rectas por las celdas cubriendo con cada

recta la mayor cantidad de ceros, asegurémonos que a todos los ceros sean cubiertos, no

importa que haya intersecciones entre las ellas.



COLUMNA

FIC.

JUAN 3 10 23 0

PEDRO 0 50 0 2

MATEO 13 0 5 0

CARLOS 25 0 12 2

Son tres rectas las que cubren todos los ceros, por tratarse de un sistema de 4X4 se

requiere al menos de cuatro rectas, para ello debemos aplicar el siguiente artificio.

Encontramos el valor menor de los no subrayados (3) y:

Sumamos 3 ( en este caso) a las intersecciones

El resto de elementos subrayados los copiamos igual

A los no subrayados los restamos 3 (el menor).



59



COLUMNA

FIC.

JUAN 0 10 20 0

PEDRO 0 53 0 5

MATEO 10 0 2 0

CARLOS 22 0 10 2

Repetimos el procedimiento anterior trazamos rectas por las celdas cubriendo con cada

recta la mayor cantidad de ceros, asegurémonos que a todos los ceros sean cubiertos, no

importa que haya intersecciones entre las ellas.

Tabla 47 Método Húngaro


COLUMNA

FIC.

JUAN 0 10 20 0

PEDRO 0 53 0 5

MATEO 10 0 2 0

CARLOS 22 0 10 2

Finalmente tenemos al menos cuatro rectas para nuestro sistema de 4X4, por lo tanto

tenemos encontrar la solución.

Recordemos que tememos que asignar un empleado para realizar una variedad de pan y en

la tabla siguiente los ceros son las posibles soluciones, por ello. Buscamos en que fila o

columna disponemos de un único cero, en las posiciones X23 y X32. Considerando que

Pedro va a realizar las empanadas y Carlos los moldes, a Juan debe hacer las Enrollados,

mientras que Mateo se queda sin tarea.



COLUMNA

FIC.

JUAN 0 10 20 0

PEDRO 0 53 0 5

MATEO 10 0 2 0

CARLOS 22 0 10 2

La asignación sería la siguiente:

Juan realiza los enrollados

Pedro las empanadas

Mateo se queda sin tarea

Carlos debe realizar los enrollados.



60



JUAN 120 118 115

PEDRO 125 80 140

MATEO 110 128 133

CARLOS 100 130 128

El número de panes que se puede fabricar por hora en la panadería es de:

Z máx. = 120+130+140 = 390 panes



61

CAPÍTULO 4

MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERA O TEORÍA DE COLAS


El estudiante estará en capacidad de resolver modelos de Líneas de Espera complejos con

más de dos variables, aplicados a empresas productoras y comercializadoras, tanto públicas

como privadas con el fin de optimizar sus recursos.


Resolver modelos de Líneas de Espera complejos con más de dos variables, aplicados a



CONTENIDO

BASES TEÓRICAS GENERALES

• FORMULACIÓN Y SOLUCIÓN DE MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERA DE

UN SERVIDOR, CON CAPACIDAD ILIMITADA Y LIMITADA

• FORMULACIÓN DE SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESPERA DE VARIOS

SERVIDORES, CON CAPACIDAD ILIMITADA Y LIMITADA

• USO DE DIAGRAMAS Y ARTIFICIOS DE RESOLUCIÓN RÁPIDA.



62

EXPLICACIÓN

MODELO DE LINEAS DE ESPERA Y TEORIA DE COLAS

En el capítulo 4 se realiza el análisis de los Modelos de Colas o Línea de Espera o Teoría

de Colas. La teoría de colas basa su estudio en encontrar un equilibrio entre el costo de

tener puntos de atención a clientes de una institución versus el costo y descontento que

tiene un cliente cuando está esperando mucho tiempo que lo atiendan.

Para encontrar este equilibrio debemos plantear un modelo el cual está afectado por varios

factores operativos entre los más importantes: tiempos de espera, tiempos de atención,

número de líneas de espera, tipo de línea de espera, etc.

MODELO DE LÍNEA DE ESPERA DE ÚNICO SERVIDOR CON LLEGADAS

POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES. M/M/1

Según: (Anderson, Sweeney, Willams, Camm, & Kipp, 2011, pág. 661) utiliza M/M/1;

nomenclatura que identifica el modelo, además se la utiliza para ser resuelto en POM

(Software).

El siguiente gráfico resume el modelo.

Figura 26 Modelo de línea de espera de único servidor con llegadas Poisson y tiempos de servicio exponenciales.

M/M/1

Ejercicio Resuelto

Un asistente contable recibe facturas para ingresar los datos al sistema. Suponga que

puede usarse una distribución de probabilidad de Poisson con una tasa media de 10

facturas por hora para describir el patrón de llegada y que los tiempos tasa media de 12

facturas por hora con tiempos de servicio exponenciales. El costo de espera de un cliente

es de 20$/hora, mientras que el costo de servicio es de 15 $/ hora.



63

Resolución. Condiciones:

Una línea de espera

Un servido k=1

Capacidad ilimitada o infinita m=∞

Orden de atención fifo o peps (primero en llegar primero en salir)

Tasa de llegada sigue una distribución de Poisson

Tasa de servicio sigue una distribución exponencial

Datos:

Tasa de llegada

λ = 10 Clientes /hora

Tasa de servicio

µ=12 Clientes /hora

Ce=20$/hora

Cs=15 $/ hora

Con esto datos podemos resolver en POM.

Abrimos el programa, en módulo seleccionamos Waiting Lines

Figura 27 Tutorial Línea de Espera



64

En File vamos a new y seleccionamos el modelo M/M1


Tenemos dos opciones si vamos a realizar un cálculo de costos o no. Señalamos en Use

cost, si no hay datos para calcular costos no hay problema estos no se calculan pero los

otros parámetros sí, clic en ok.




65


Finalmente llenamos los datos en la matriz que se despliega y clic en solve.

En la barra de herramienta en Windows podemos desplegar los resultados, como la tabla

de probabilidades y el gráfico.


La nomenclatura que utilizaremos en el cálculo difiere de la utilizada en POM por lo que

la relacionaremos en lo posible.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente llegue y no sea atendido?

Aplicamos el factor de Utilización U

=0.83



66

b) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya facturas para ingresar en el sistema o que

el sistema este vacío?

c) ¿Cuál es la cantidad promedio de facturas que esperaran para ser ingresadas?

( )

( )

( )

( )

d) ¿Cuál es la cantidad promedio de facturas que se encuentran en el sistema?

( )

( )=

( )

e) ¿Cuál es el tiempo de espera promedio en minutos antes de ingresar los datos de la

factura al sistema?

( ) ( )

( )

f) ¿Cuál es el tiempo promedio desde que la factura llega hasta que es ingresada en el

sistema en minutos (tiempo de espera más tiempo de servicio)?

( ) ( )

( )

g) ¿Cuál es la probabilidad que haya más de un cliente en el sistema?

Aplicamos la propiedad del complemento

P (>1)= 1- (P(o)+ P (1))



67

La probabilidad de que n facturas estén en el sistema es:

P (n)= P(o)*Un

P (1)= 0.17*0.831 = 0,14

P (>1)= 1- (0,17+ 0.14)

P (>1)= 0.69

h) ¿Cuál es el costo total del servicio y de espera en la cola?

CT= CS + CE

CT= Cs*k + Ce* ( )

CT= 15*1 + 20*4.17

CT=98, 4

i) ¿Cuál es el costo total del servicio y de espera en la cola?

CT= Cs*k + Ce* ( )

CT= 15*1 + 20*5

CT=115

Si comparamos los resultados obtenidos con el software son iguales a los obtenidos por las

fórmulas, lo importante es que identifiquemos el modelo de línea de espera para aplicar las

fórmulas respectivas y sobre todo tengamos una adecuada interpretación de la aplicación

de cada fórmula.

MODELO DE LÍNEA DE ESPERA DE MÚLTIPLES CANALES CON

LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES. M/M/S

Según: (Anderson, Sweeney, Willams, Camm, & Kipp, 2011, pág. 665) utiliza M/M/s;

nomenclatura que identifica el modelo, además se la utiliza para ser resuelto en POM

(Software).

El siguiente gráfico resume el modelo.

Figura 32 Modelo de línea de espera de múltiples canales con llegadas Poisson y tiempos de servicio exponenciales.

M/M/s



68

Ejercicio Resuelto

En el problema anterior podemos realizar un análisis y considerar la posibilidad de

contratar otro asistente para que ayude con el ingreso de las facturas al sistema, para saber

si se reduce el costo total.

Resolución.

Condiciones:


Dos servidores k=2

Capacidad ilimitada o infinita m=∞




Datos:

Tasa de llegada


Tasa de servicio


Costo de espera

Ce=20$/hora

Costo de servicio

Cs=15 $/ hora


Abrimos el programa, en módulo seleccionamos Waiting Lines



69

Figura 33Tutorial de Líneas de Espera

En File vamos a new y seleccionamos el modelo M/Ms

Figura 34 Tutorial de Líneas de Espera






70


Finalmente llenamos los datos en la matriz que se despliega y clic en solve.


Se obtiene la tabla de resultados.



71


En la barra de herramienta en Windows podemos desplegar los resultados, como la tabla

de probabilidades y el gráfico.


La nomenclatura que utilizaremos en el cálculo difiere de la utilizada en POM por lo que

la relacionaremos en lo posible.



72

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente llegue y no sea atendido?

Aplicamos el factor de Utilización U

=0.42

b) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya facturas para ingresar en el sistema o que

el sistema este vacío?

( )

( )

( )

(

)

c) ¿Cuál es la cantidad promedio de facturas que esperaran para ser ingresadas?

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

d) ¿Cuál es la cantidad promedio de facturas que se encuentran en el sistema?

( )



73

e) ¿Cuál es el tiempo de espera promedio en minutos antes de ingresar los datos de la

factura al sistema?

( ) ( )

( )

f) ¿Cuál es el tiempo promedio desde que la factura llega hasta que es ingresada en el

sistema en minutos (tiempo de espera más tiempo de servicio)?

( ) ( )

( )

g) ¿Cuál es la probabilidad que haya más de un cliente en el sistema?

Aplicamos la propiedad del complemento

P (>1)= 1- (P(o)+ P (1))

La probabilidad de que n facturas estén en el sistema es:

( )

( )

P (>1)= 1- (0,41+ 0.34)

P (>1)= 0.

h) ¿Cuál es el costo total del servicio y de espera en la cola?

CT= CS + CE

CT= Cs*k + Ce* ( )

CT= 15*2 + 20*0,18

CT=33,6

i) ¿Cuál es el costo total del servicio y de espera en la cola?

CT= Cs*k + Ce* ( )

CT= 15*2 + 20*1,008

CT=50,17

Si comparamos los resultados obtenidos con el software son iguales a los obtenidos por las

fórmulas, lo importante es que identifiquemos el modelo de línea de espera para aplicar las

fórmulas respectivas y sobre todo tengamos una adecuada interpretación de la aplicación

de cada fórmula.



74

MODELO DE LÍNEA DE ESPERA BÁSICO CON CAPACIDAD LIMITADA DE

UN SOLO SERVIDOR CON LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO

EXPONENCIALES. M/M/1 WITH A FINITE SYSTEM

M/M/1 with a Finite System. Nomenclatura que identifica el modelo para ser resuelto en

POM (Software).

Figura 39 Modelo de línea de espera básico con capacidad limitada de un solo servidor con llegadas Poisson y

tiempos de servicio exponenciales. M/M/1 with a Finite System

Ejercicio Resuelto

Para visualizar de mejor manera el problema que estamos resolviendo, lo planteamos de la

siguiente manera.

Una estación de lavado de autos tiene 5 parqueaderos mientras un auto se está lavando.

Cuando se llenan los parqueaderos los autos abandonan el lugar, no se quedan haciendo

cola fuera de la estación. Suponga que puede usarse una distribución de probabilidad de

Poisson con una tasa media de 10 autos por hora para describir el patrón de llegada y que

los tiempos de lavado a una tasa media de 12 autos por hora con tiempos de servicio

exponenciales. El costo de espera de un cliente es de 20$/hora, mientras que el costo de

servicio es de 15 $/ hora.

Resolución.

Condiciones:


Un servidore k=1

Capacidad limitada o finita m=20+1=6




75



Datos:

Tasa de llegada


Tasa de servicio


Capacidad limitada o finita

m=5+1=6

Costo de espera

Ce=20$/hora

Costo de servicio

Cs=15 $/ hora


Abrimos el programa, en Módulo seleccionamos Waiting Lines

En File vamos a New y seleccionamos el modelo M/M/1 with a Finite System.




76




Llenamos los datos y hacemos clic en solve


En la barra de herramientas en Windows podemos desplegar los resultados, como la tabla

de probabilidades y los gráficos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que es sistema este vacío?

( )

( )

b) ¿Cuál es la probabilidad que haya un espacios vacío en el parqueadero?

Si buscamos la probabilidad de que haya exactamente 5 autos en el sistema aplicamos la

siguiente fórmula



77

(

)

(

)

P5=0,09

c) ¿Cuál es la probabilidad que el sistema esté lleno?

(

)

(

)

Pm =0,08

d) ¿Cuál es la probabilidad que haya dos espacios o más vacíos en el parqueadero?

Si en el sistema hay 6 autos, 5 en los parqueaderos y 1 lavándose, consideremos que,

Po+ P1+P2+P3+P4+P5+P6=1, la suma de todas las probabilidades es 1.

Despejando

(Po+P1+P2+P3+P4)=1-(P5+P6)

P (<=4)=1-(0,08+0,09)

P (<=4)=0,83

e) ¿Cuál es la probabilidad de que un auto si ingrese o que el sistema no esté lleno?

=1-Pm

=1-0,08

= 0,92

f) ¿Cuál es la tasa efectiva promedio de llegada?

Considerando que todos los que llegan no ingresan si llegan 10 autos por hora.

( )

( )

Autos/hora



78

g) ¿Cuál es el número de autos que no logran ingresar a la lavadora?

/hora

h) ¿Cuál es el número promedio esperado de autos en la lavadora?

( )

( ) (

)

( )

( )

( ) (

)

( )

i) ¿Cuál es el número promedio esperado de autos en el parqueadero o en espera?

EL

EL

EL= Lq =1,52 autos

j) ¿Cuál es el tiempo esperado que permanecen los autos en la lavadora?

ET=

(

)

(

)

( (

)

)

ET=

(

)

(

)

( (

) )

ET = Ws= 0,25 horas = 15 minutos

k) ¿Cuál es el tiempo esperado que permanecen los autos en el parqueadero esperando ser

atendidos?

Et = ET -

Et = 0,25 -

Et = Wq= 0,16 horas = 9,89 minutos



79

AUTOEVALUACIÓN

BASE DE LA PREGUNTA 1 Relacione la columna de la izquierda (concepto) con la

columna de la derecha (definición)

CONCEPTOS DEFINICIÓN

1. Fi a) Mercados hacia donde se envían los productos.

2. Mj b) Márgenes de contribución, que pueden ser costos o

ganancias unitarias de enviar los productos desde cada fuente

a cada mercado.

3. Cij c) Fuentes desde donde se envían los productos

4. Xij d) Variables de decisión, cantidades que cada fuente entrega

a cada mercado, cuyo valor final permite determinar el plan

óptimo de distribución.

OPCIONES DE RESPUESTA

A 1a, 2b, 3c, 4d

B 1c, 2a, 3b, 4d

C 1b, 2c, 3d, 4ª

D 1c, 2a, 3b, 4d

E 1b, 2d, 3a, 4c

F 1c, 2a, 3d, 4c

BASE DE LA PREGUNTA 2 Relacione la columna de la izquierda (concepto) con la columna

de la derecha (definición)

CONCEPTOS DEFINICIÓN

1. Po a) Tiempo esperado (promedio) que un cliente permanece en

el sistema, o, el tiempo que espera por servicio más el tiempo

de servicio.

2. E(n) b) Número esperado (promedio) de clientes en el sistema

3. E(T) c) Tiempo esperado (promedio) que un cliente espera en la

cola antes de ser atendido o por servicio.

4. E(t) d)Probabilidad de que el sistema este vacío

OPCIONES DE

RESPUESTA

A 1a, 2b, 3c, 4d

B 1c, 2a, 3b, 4d

C 1b, 2c, 3d, 4a

D 1c, 2b, 3a, 4d

E 1b, 2d, 3a, 4c

F 1d, 2b, 3a, 4c



80

PROBLEMA 1

Un taller elabora tres productos A, B, C, y la demanda de estos productos es de 90, 210 y 120

unidades/semana respectivamente. Los productos pueden fabricarse por uno de los tres

métodos, cada uno de los cuales dispone de las siguientes capacidades semanales: 160,120 y

140 unidades respectivamente. En la tabla se indica las ganancias (dólares/unidad) asociadas

con cada producto y cada método.

PRODUCTOS M1 M2 M3

A 139 140 137

B 209 207 210

C 254 255 255

BASE DE LA PREGUNTA 3 La distribución inicial por la Regla del costo mínimo es:

OPCIONES DE

RESPUESTA

A El producto A debe producirse 90 unidades en el M3

El producto B debe fabricarse 90 unidades en M1, 120 en el

M2

El producto C debe producirse 70 unidades en M1, 50

unidades en M3

B El producto A debe producirse 90 unidades en el M1


M3


unidades en M3

C El producto A debe producirse 90 unidades en el M2


M2 y 20 unidades en M3

El producto C debe producirse 120 unidades en M3

D El producto A debe producirse 90 unidades en el M2


M2


unidades en M3

E El producto A debe producirse 90 unidades en el M1


M2


unidades en M2



81

BASE DE LA PREGUNTA 4 La ganancia total de esta distribución inicial es:

OPCIONES DE

RESPUESTA

A 87050

B 94050

C 85940

D 86600

E 86570

BASE DE LA PREGUNTA 5 La distribución mejorada ( o mejor alternativa de distribución)

es:

OPCIONES DE

RESPUESTA

A El producto A debe producirse 90 unidades en el M3


M2


unidades en M3

B El producto A debe producirse 90 unidades en el M1


M3


unidades en M2, 50 unidades en M3

C El producto A debe producirse 90 unidades en el M2


M2 y 20 unidades en M3

El producto C debe producirse 120 unidades en M3

D El producto A debe producirse 90 unidades en el M2


M2


unidades en M3

E El producto A debe producirse 90 unidades en el M2


M3


unidades en M3

BASE DE LA PREGUNTA 6 La ganancia total de esta distribución es:

OPCIONES DE

RESPUESTA

A $85400

B $87110

C $92500

D $84120

E $83120



82

PROBLEMA 2

El supervisor de un banco enfrenta al problema de determinar el número de cajeros que se debe

utilizar en horas pico. El supervisor ha observado que los clientes llegan en promedio cada 4 min

y el tiempo promedio para procesar una transacción es de 2 min. También ha observado que el

patrón de números de llegada de clientes sigue la distribución de Poisson y que los tiempos de

servicio tienen una distribución exponencial negativa.

BASE DE LA PREGUNTA 7 La probabilidad de que un cliente que llega sea atendido

inmediatamente es:

OPCIONES DE

RESPUESTA

A 0,75

B 0,35

C 0,25

D 0,50

E 0,45

BASE DE LA PREGUNTA 8 El tiempo esperado que un cliente permanece en el sistema o el

tiempo que espera por servicio más el tiempo de servicio es:

OPCIONES DE

RESPUESTA

A 20 min

B 10 min

C 5 min

D 4 min

E 2 min

BASE DE LA PREGUNTA 9 El número esperado de clientes es la línea de espera o esperando

ser servidos (Longitud de la cola) es:

OPCIONES DE

RESPUESTA

A 5 clientes

B 0,5 clientes

C 0,8 clientes

D 10 clientes

E 8 clientes

BASE DE LA PREGUNTA

10

La probabilidad de que un cliente espere menos de 4 min en el

sistema es:

OPCIONES DE

RESPUESTA

A 0,7235

B 0,1521

C 0,5432

D 0,6321

E 0,1426



83

FORMULARIO

FORMULARIO DE OPERATIVA

P(A= n) =

P(S=t) = µ*

MODELO BASICO O GENERALIZADO

U =

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) (

)

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

ANALISIS DE COSTOS DE SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESPERA

CT =CS+CE+K CS = * u CS = *k

CE= ( )

√

MODELO BÁSICO CON CAPACIDAD LIMITADA

La prob. No este lleno=1-

( )



84

Tasa de rechazo =

( )

( )

Cuando

( )

; cuando U=1

E(L) = E(n)-1+

E(T)=

( )

( ) E(t)=E(T) -

E(n)= E(L)+

E(n)= *E(T) E(L)= *E(t)

SISTEMAS DE CANALES MÚLTIPLES O VARIOS SERVIDORES Y UNA LÍNEA

DE ESPERA

{[∑

(

)

]

[

(

)

(

)]}

[∑

( )

( )]

(

)

(

)

( )

( ) ( )

( ) (

)

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

(

)

( ) ( )



85

( ) ( )

( ) {

( ) [ ( )]

( )( )}

( ) ( ) ( )

( )

SISTEMA DE VARIOS SERVIDORES, UNA LÍNEA DE ESPERA Y CON

CAPACIDAD LIMITADA

{[∑

( )

]

[ ( )

( )]}

{[∑

] [

( )

]}

cuando U=1

( )

P(m=n)=

( ) Tasa de rechazos =

( ) ( )

( )

( )

E(L)=

( ) [( ) ( )( ) ]

TECNICA BÁSICA EN FUNCIÓN DE LOS COSTOS

( )( ) ( )



86

BILBIOGRAFÍA BÁSICA

Anderson, D. R., Sweeney, D. J., Willams, T. A., Camm, J. D., & Kipp, M. (2011).

MÉTODOS CUANTITATIVOS PARA LOS NEGOCIOS. Mexico: Internacional

Thomson.

Rodriguez Acosta, S. (2011). Enseñanza-Aprendizaje DE LA INVESTIGACION

OPERATIVA- VOLUMEN 2. Quito: Impresores MYL.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA

1. RENDER, Barry, STAIR, Ralph M., HANNA Michael E., “Métodos cuantitativos

para los Negocios”. Novena Edición. Pearson, Prentice Hall. 2006.731p.

2. HILLIER, Frederick. HILLIER, Mark. LIEBERMAN, Gerald. Métodos

cuantitativos para administración. Primera Edición. McGraw-Hill Interamericana.

2002. 855p

3. BONINI, Charles. HAUSMAN, Warren. BIERMAN, Harold. Análisis Cuantitativo

Para los Negocios. Novena Edición. McGraw-Hill Interamericana. 2001. 530p.

4. TAHA, Hamdy A. Investigación de Operaciones, una introducción. Sexta Edición.

Prentice – Hall. 1998. 916p.

5. EPPEN, GOULD, SCHMIDT, MOORE y WEATHERFORD. Investigación de

Operaciones en la Ciencia Administrativa. Quinta Edición. Prentice - Hall

Hispanoamericana S.A. 2000. 702p.

NETGRAFÍA

1. Programación Lineal

http://youtu.be/thl5lGwzvC8

2. Líneas de espera

http://youtu.be/Lc_vRpYJMls

http://enlaweb.com.mx/io2/lineas-de-espera.php











87

TABLA DE ILUSTRACIONES

FIGURA 1 REGIÓN DE VIABILIDAD .......................................................................................... 8

FIGURA 2 REGIÓN FACTIBLE ................................................................................................ 11







FIGURA 9 .............................................................................................................................. 26

FIGURA 10 FORMATO PARA SOLVER ..................................................................................... 27




FIGURA 14 INFORME DE CONFIDENCIALIDAD ........................................................................ 29

FIGURA 15 TUTORIAL DE POM ............................................................................................ 29






FIGURA 21 REGIÓN FACTIBLE .............................................................................................. 37

FIGURA 22 REGIÓN FACTIBLE .............................................................................................. 38

FIGURA 23 MODELOS DE TRASPORTE ................................................................................... 41

FIGURA 24 MODELO DE TRANSPORTE RESUELTO CON PROGRAMACIÓN LINEAL .................. 44

FIGURA 25 MODELO DE TRANSPORTE .................................................................................. 46

FIGURA 26 MODELO DE LÍNEA DE ESPERA DE ÚNICO SERVIDOR CON LLEGADAS POISSON Y

TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES. M/M/1 .............................................................. 62

FIGURA 27 TUTORIAL LÍNEA DE ESPERA .............................................................................. 63





FIGURA 32 MODELO DE LÍNEA DE ESPERA DE MÚLTIPLES CANALES CON LLEGADAS POISSON Y

TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES. M/M/S ............................................................... 67

FIGURA 33TUTORIAL DE LÍNEAS DE ESPERA ........................................................................ 69

FIGURA 34 TUTORIAL DE LÍNEAS DE ESPERA ....................................................................... 69







88

FIGURA 39 MODELO DE LÍNEA DE ESPERA BÁSICO CON CAPACIDAD LIMITADA DE UN SOLO

SERVIDOR CON LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES. M/M/1 WITH

A FINITE SYSTEM ............................................................................................................ 74





89

TABLAS

TABLA 1: USOS DE RECURSOS POR UNIDAD PRODUCIDA ....................................................... 10

TABLA 2: RESULTADOS DEL POLÍGONO DE SOLUCIÓN: ......................................................... 11

TABLA 3 : USO DE RECURSOS POR CANTIDAD UNIDAD DISPONIBLE ...................................... 12

TABLA 4: INFORMACIÓN NUTRICIONAL Y DE COSTOS ............................................................ 12

TABLA 5: GRADIENTE FILETE PAPAS DIARIOS (GRAMOS) ...................................................... 13

TABLA 6: RESULTADOS DEL POLÍGONO DE SOLUCIÓN: ......................................................... 14

TABLA 7: TIEMPO QUE CADA UNO INVIERTE EN LA FABRICACIÓN DE CADA DISPOSITIVO ...... 15

TABLA 8 RESULTADOS DEL POLÍGONO DE SOLUCIÓN:........................................................... 16

TABLA 9: PROPORCIÓN GASOLINA, TURBOSINA Y KEROSENE ............................................... 16

TABLA 10: RESULTADOS DEL POLÍGONO DE SOLUCIÓN ......................................................... 18

TABLA 11: TABLA DE DATOS ............................................................................................... 19

TABLA 12: TABLA DE RESULTADOS ...................................................................................... 21

TABLA 13: SOLUCIONES ORIGINARÍAN EN LAS UTILIDADES .................................................. 22

TABLA 14: ANÁLISIS RESTRICCIONES EN LOS PUNTOS B, P Y Q ............................................ 23

TABLA 15: VARIACIÓN PERMITIDA DE LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO .......... 25

TABLA 16: RESUMEN DE DATOS: .......................................................................................... 35

TABLA 17: RESOLUCIÓN EN SOLVER DE EXCEL .................................................................... 36

TABLA 18: TABLA DE PARÁMETROS ...................................................................................... 36

TABLA 19: RESULTADOS EN SOLVER .................................................................................... 39



TABLA 22: ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD ................................................................................. 40

TABLA 23: COSTOS UNITARIOS ............................................................................................ 43

TABLA 24: ............................................................................................................................ 45

TABLA 25: COSTO UNITARIO ............................................................................................ 46

TABLA 26: COSTO UNITARIO ................................................................................................ 46

TABLA 27: COSTES DE ENVIÓ ............................................................................................... 47

TABLA 28: COSTOS OFERTA Y DEMANDA .............................................................................. 47

TABLA 29:MÉTODO U-V ....................................................................................................... 47

TABLA 30: MÉTODO U-V ...................................................................................................... 48

TABLA 31: MÉTODO U-V ...................................................................................................... 51

TABLA 32: MÉTODO U-V ...................................................................................................... 51

TABLA 33: MÉTODO U-V ...................................................................................................... 52

TABLA 34: MÉTODO U-V ...................................................................................................... 53

TABLA 35: MÉTODO U-V ...................................................................................................... 54

TABLA 36: PANES POR HORA ................................................................................................. 56

TABLA 37:EMPLEADOS Y TIPOS DE PANES ............................................................................ 56

TABLA 38:MÉTODO HÚNGARO ............................................................................................. 56

TABLA 39: MÉTODO HÚNGARO ............................................................................................ 57




90






TABLA 46 MÉTODO HÚNGARO ............................................................................................. 59





91

Documents

INVESTIGACIÓN OPERATIVA II - fca.uce.edu.ecfca.uce.edu.ec/GUIAS/Unidad Didáctica de Investigación Operativa... · inecuaciones que intervienen en la misma son Funciones Lineales