İstatistikte Bazı Temel Kavramlar

İstatistikte Bazı Temel Kavramlar

• EvrenEvren– Gözlem alanına giren obje ya da bireylerin Gözlem alanına giren obje ya da bireylerin

tümütümü

• ÖrneklemÖrneklem– Bir evrenden seçilmiş daha küçük sayıdaki Bir evrenden seçilmiş daha küçük sayıdaki

obje ya da bireylerin oluşturduğu grupobje ya da bireylerin oluşturduğu grup

Kaynaklar• Fiziksel Ölçmeler ve Değerlendirmesi, İ.EşmeFiziksel Ölçmeler ve Değerlendirmesi, İ.Eşme• İstatistik Yöntemler ve Uygulaması, H.Arıcıİstatistik Yöntemler ve Uygulaması, H.Arıcı

• DeğişkenDeğişken• Her gözleme göre farklı değerler alabilen objelere, Her gözleme göre farklı değerler alabilen objelere,

özelliklere ya da durumlara denirözelliklere ya da durumlara denir

• Değişkenler nicel ya da nitel olabilir.Değişkenler nicel ya da nitel olabilir.

• Nitel verilerNitel veriler• Sayısal verilerSayısal veriler-kesikli sayısal veriler (maç kazanma sayısı)-kesikli sayısal veriler (maç kazanma sayısı)-sürekli sayısal veriler (boy, kilo)-sürekli sayısal veriler (boy, kilo)• Nitelik ve sayısal veriler arasındaki ilişki Nitelik ve sayısal veriler arasındaki ilişki

(boy sınıflandırması)(boy sınıflandırması)

• ÖlçmeÖlçme– objelere ya da bireylere belirli bir değere sahip objelere ya da bireylere belirli bir değere sahip

oluş derecelerini belirtmek için sembolik oluş derecelerini belirtmek için sembolik değerler verme işlemidir.değerler verme işlemidir.

– Değişkenler hakkında bilgi edinmek için yapılırDeğişkenler hakkında bilgi edinmek için yapılır

• ÖlçümÖlçüm– Ölçme sonucunda elde edilen değerÖlçme sonucunda elde edilen değer

X=2.8

0 1 2 3 4 5 6

X=5.0

5 cm = 5,0cm

• Anlamlı rakamAnlamlı rakam

• Sayıları yuvarlamaSayıları yuvarlama5,387123 = 5,39 = 5,4 = 55,387123 = 5,39 = 5,4 = 5

İstatistikte Bazı Temel kavramlar

• Aritmetik OrtalamaAritmetik Ortalama• Aralık (range)Aralık (range)• SapmaSapma• Standart sapma Standart sapma • Ölçümlerin dağılımı ve standart Ölçümlerin dağılımı ve standart

sapma ile ilişkisisapma ile ilişkisi

RangeDeğişken

d1

Aritmetik ortalama

Sapma

d2

X= değerlerin toplamı/değer sayısı

Standart sapma: • Bir dizi ölçümün gösterdiği değişimin en Bir dizi ölçümün gösterdiği değişimin en

güvenilir ölçüsüdür.güvenilir ölçüsüdür.

• Dağılım fazlaysa standart sapma büyük, Dağılım fazlaysa standart sapma büyük, dağılım dar alanda ise küçüktür. dağılım dar alanda ise küçüktür.

• Standart Sapma istatistiksel analizde Standart Sapma istatistiksel analizde büyük önemi olan bir dağılma ölçüsüdür. büyük önemi olan bir dağılma ölçüsüdür. "Kareli Ortalama Sapma" adı da verilen bu "Kareli Ortalama Sapma" adı da verilen bu ölçü "değişkenlerin aritmetik ortalamadan ölçü "değişkenlerin aritmetik ortalamadan sapmalarının kareli ortalaması"dır sapmalarının kareli ortalaması"dır

Standart sapma: • Standart sapma /bütün elemanların

ortalamadan olan farklarının karelerinin toplamanının eleman sayısına bölümünün kareköküdür. şöyleki : 10,20,30 için ortalama 20 dir.

[ (10-20)nin karesi + (20-20)nin karesi + (30-20)nin karesi ] / 3(yani eleman sayisi)

ve yukarıdaki ifadenin karekökü..

ortalama değer

Ortanca (medyan)

• 50. yüzdeliğe ortanca denir. Denek sayısı 50. yüzdeliğe ortanca denir. Denek sayısı tek sayılı değer ise n+1/2tek sayılı değer ise n+1/2

• Çift ise n/2 nci ile n+2/2 nci değeri /2 dir.Çift ise n/2 nci ile n+2/2 nci değeri /2 dir.• Veriler büyükten küçüğe doğru sıralanır Veriler büyükten küçüğe doğru sıralanır

ortadaki iki değerin aritmetik ortalaması ortadaki iki değerin aritmetik ortalaması alınır alınır

• 5,5,6,5,5,6,66,7,9,9, 7+1/2 ,7,9,9, 7+1/2 • 5,5,6,5,5,6,66,,77,9,9,10 8/2=4, 8+2/4=5,9,9,10 8/2=4, 8+2/4=5• 6+7=13/2=6+7=13/2=6,56,5

Tepe değer (mod)

• Dağılımda en fazla tekrarlanan Dağılımda en fazla tekrarlanan değerdir. değerdir.

• Frekansı en fazla olan sınıfın Frekansı en fazla olan sınıfın değeridir. değeridir.

• 5,5,6,5,5,6,66,6,7,9,9,10,6,7,9,9,10

Ölçme Sonucunun Gösterilmesi

X = 5,8 ± 0,25

X = 58 ± 0,2

X = 58.3 ± 2

Yanlış Gösterim

X = 58.3 ± 0.2 Doğru Gösterim

İstatistiksel Verileri Tasnif Etme

• İstatistiksel verileri anlamlı hale İstatistiksel verileri anlamlı hale getirmenin 5 ayrı yolu:getirmenin 5 ayrı yolu:

1.1. Sözel ifadelerle açıklamaSözel ifadelerle açıklama

2.2. Tablolar halinde düzenlemeTablolar halinde düzenleme

3.3. Grafikle göstermeGrafikle gösterme

4.4. Verileri değerlendirerek istatistiksel ölçüler bulmaVerileri değerlendirerek istatistiksel ölçüler bulma

5.5. Bu yöntemlerde birkaçını birlikte uygulamaBu yöntemlerde birkaçını birlikte uygulama


Verilerin grafikle gösterilmesiVerilerin grafikle gösterilmesi

– Çizgi grafiğiÇizgi grafiği

– Çubuk grafik (Histogram)Çubuk grafik (Histogram)

– Pasta grafiğiPasta grafiğiF

reka

ns

Puan

2

46

8

1012

30 40 50 60 70 80 9040

Fre

kan

s

Puan

3

45

6

78

30 40 50 60 70 80 9040

0

5

10

15

20

25

2000 2001 2002

TÜRKÇE

SOSYAL

MATEMATİK

FEN

Yıllar

Pasta grafiği


36%

64%

Genel lise Meslek lisesi

Pasta grafiği, bir bütünün parçalarını karşılaştırmada kullanılır

60%19%

10%

11%

Yerleşemeyen

Açık Öğr

Önlisans

Lisans

Doğru Grafik Seçme

3565

0

50

100

Ge

ne

lL

ise

Me

sle

kL

ise

si

AB Ülkelerinde Genel Lise Meslek Lisesi Oranları

İkisi de olabilir. Birincisi daha uygun


4,6

9,4

8,3

6,5

Dünya

Avrupa 15'ler

Doğu Avrupa

Türkiye

6,5

8,39,4

4,6

0

2

4

6

8

10

Dün

ya

Avr

upa

15'le

r

Doğ

uA

vrup

a

Tür

kiye

Ülkelere Göre Eğitim Yaşı

Doğru Yanlış


Yıllara göre okul yaşı

2,73,2

3,8

4,8

6,8

0

2

4

6

8

1975 1980 1985 1990 2000

2,7

3,2

3,8

4,8

6,8

1975

1980

1985

1990

2000

Doğru Yanlış

NORMAL DAĞILIM NEDIR

– İstatistik analiz yapılırken, dağılımın özelliği İstatistik analiz yapılırken, dağılımın özelliği çok önemlidir. çok önemlidir.

– Çünkü farklı dağılım gösteren verilere Çünkü farklı dağılım gösteren verilere uygulanacak tanımlayıcı ve analitik istatistik uygulanacak tanımlayıcı ve analitik istatistik yöntemleri de farklıdır. yöntemleri de farklıdır.

– Parametrik testlerin uygulanabilmesi için, Parametrik testlerin uygulanabilmesi için, dağılımın normal ya da normale yakın olması dağılımın normal ya da normale yakın olması gerekir.gerekir.

• Standart sapmasıStandart sapması• Frekans eğrisi çan şeklinde olan Frekans eğrisi çan şeklinde olan

simetrik dağılımdır. simetrik dağılımdır. • Normal dağılım simetrik olduğu Normal dağılım simetrik olduğu

için, normal dağılım gösteren için, normal dağılım gösteren değişkenlerin ortalama, ortanca değişkenlerin ortalama, ortanca ve modları eşittirve modları eşittir

Normal dağılım,

• Dağılım şekli ölçütleri : Çarpıklık Dağılım şekli ölçütleri : Çarpıklık –1 ve +1 arasında yer alır. –1 ve +1 arasında yer alır.

• Denekler ortalamadan daha Denekler ortalamadan daha büyük değerlerde toplanıyorsa, büyük değerlerde toplanıyorsa, negatif basık ya da soldan basık, negatif basık ya da soldan basık,

• Küçük değerlerde toplanıyorsa Küçük değerlerde toplanıyorsa pozitif basık ya da sağdan basık pozitif basık ya da sağdan basık dağılımdan söz edilir. dağılımdan söz edilir.

Dağılım özelliğinin önemi nedir

• Parametrik testlerin tümünün uygulanabilmesi için Parametrik testlerin tümünün uygulanabilmesi için gereken varsayımların başında verilerin dağılımının gereken varsayımların başında verilerin dağılımının normal olması gelir. Normal dağılımdan gelmeyen normal olması gelir. Normal dağılımdan gelmeyen ölçümler kullanıldığında, gerçekte olduğundan ölçümler kullanıldığında, gerçekte olduğundan daha küçük bir p değeri ya da daha dar bir güven daha küçük bir p değeri ya da daha dar bir güven aralığı hesaplanır. aralığı hesaplanır.

• Bu durumda, doğru bir hipotezi reddetme olasılığı Bu durumda, doğru bir hipotezi reddetme olasılığı artar. Yani, iki grup arasında fark olmadığı halde artar. Yani, iki grup arasında fark olmadığı halde fark varmış gibi sonuç elde edilebilirfark varmış gibi sonuç elde edilebilir

NORMAL DAĞILIMIN KRİTERLERİ

• Dağılımın normal olup olmadığı grafik ve istatistik analiz Dağılımın normal olup olmadığı grafik ve istatistik analiz yöntemleri ile anlaşılır. yöntemleri ile anlaşılır.

• Histogram, dal ve yaprak grafiği ve normal olasılık Histogram, dal ve yaprak grafiği ve normal olasılık grafiği çizilerek dağılımın normal olup olmadığı grafiği çizilerek dağılımın normal olup olmadığı hakkında fikir edinilebilir.hakkında fikir edinilebilir.

• Ama bu izlenimin istatistik yöntemlerle de test edilmesi Ama bu izlenimin istatistik yöntemlerle de test edilmesi gerekir. Shapiro-Wilks (n<30) ve Lilliefors (n>30) gerekir. Shapiro-Wilks (n<30) ve Lilliefors (n>30) kolmagorw simirnov. Yada shefikolmagorw simirnov. Yada shefi testleri bu amaçla testleri bu amaçla sıklıkla kullanılan testlerdir. Bu testlerde p değeri <0.05 sıklıkla kullanılan testlerdir. Bu testlerde p değeri <0.05 ise dağılımın normal olmadığı sonucuna varılır. ise dağılımın normal olmadığı sonucuna varılır.

Verilerin normal dağılmadığı Verilerin normal dağılmadığı durumlarda iki işlem yapılabilir :durumlarda iki işlem yapılabilir :

1. Verilere dönüşüm uygulayarak, 1. Verilere dönüşüm uygulayarak, onların normal dağılıma uymalarını onların normal dağılıma uymalarını sağlamak.sağlamak.

2. Varolan verilere parametrik 2. Varolan verilere parametrik olmayan bir test uygulamakolmayan bir test uygulamak

KESTİRİM

• Bilimsel çalışmaların amacı, örneklem Bilimsel çalışmaların amacı, örneklem değerinden evren değerlerinin değerinden evren değerlerinin kestirilmesidir. Evren parametrelerinin kestirilmesidir. Evren parametrelerinin kestirilmesi için ya güven aralığı ve kestirilmesi için ya güven aralığı ve sınırları ya da hipotez testleri kullanılırsınırları ya da hipotez testleri kullanılır

• Güven aralığı ve güven sınırları : Belirli bir Güven aralığı ve güven sınırları : Belirli bir olasılıkla, bilinmeyen evren değerini içeren olasılıkla, bilinmeyen evren değerini içeren değerler aralığıdır. değerler aralığıdır.

• Sıklıkla %95, bazen de %90 ve %99 güven Sıklıkla %95, bazen de %90 ve %99 güven sınırları kullanılmaktadır.sınırları kullanılmaktadır.

Hipotez testleri :

• Farklılık olmadığının varsayıldığı hipoteze, Farklılık olmadığının varsayıldığı hipoteze, yokluk hipotezi, farksızlık hipotezi, sıfır yokluk hipotezi, farksızlık hipotezi, sıfır hipotezi, başlangıç hipotezi adı verilir ve hipotezi, başlangıç hipotezi adı verilir ve HHoo ile gösterilir. ile gösterilir.

• HH11 ile gösterilen alternatif hipotez adı ile gösterilen alternatif hipotez adı

verilen hipotez ise, Hverilen hipotez ise, Hoo hipotezinin tam hipotezinin tam

tersidirtersidir..

P değeri ve yanılma düzeyi :

• HHoo hipotezinin reddedilmesi için hipotezinin reddedilmesi için

hesaplanan olasılığın %5 ya da hesaplanan olasılığın %5 ya da daha az olması genellikle kabul daha az olması genellikle kabul edilen sınırdır; yani Hedilen sınırdır; yani Hoo

hipotezinin doğruluğu için hipotezinin doğruluğu için hesaplanan olasılık %5 ya da hesaplanan olasılık %5 ya da daha küçükse, bu hipotezin daha küçükse, bu hipotezin kabul edilemeyeceği yargısına kabul edilemeyeceği yargısına varılırvarılır

• Parametrik ve nonparametrik Parametrik ve nonparametrik testlertestler : Istatistiksel analiz : Istatistiksel analiz yapılmadan önce, verilerin yapılmadan önce, verilerin kategorik (nominal, ordinal) ya kategorik (nominal, ordinal) ya da sürekli (aralıklı, oransal) olup da sürekli (aralıklı, oransal) olup olmadığına bakılmalıdır. olmadığına bakılmalıdır.

• Kategorik verilerde parametrik Kategorik verilerde parametrik olmayan isatistikler kullanılırken, olmayan isatistikler kullanılırken, sürekli verilerde ise parametrik sürekli verilerde ise parametrik istatistikler kullanılıristatistikler kullanılır

Testler

Parametrik Parametrik olmayan

İki ortalama arasındaki farkın anlamlılık testi t. test

Mann-Witney U testi

Tek yönlü varyans analizi (f testi) Kruskal-Wallis varyans analizi

İki eş arasındaki farkın anlamlılık testi (t test)

Wilcoxon eşleştirilmiş iki örnek testi

Tekrarlı ölçümlerde varyans analizi (f testi)

4 gözlü Ki-Kare testi

Bağımlı örneklerde iki yüzde rasındaki farkın anlamlılk testi ( z testi)

Bağımlı örneklerde ki-kare testi (McNemer testi)

Bağımlı gurup- bağımsız gurup kavramı

• Bağımlı gurupBağımlı gurup: bir gözlem : bir gözlem (denek) üzerinde birden çok (denek) üzerinde birden çok gözlem yapıldığında guruplar gözlem yapıldığında guruplar bağımlı olurbağımlı olur

• Bağımsız gurupBağımsız gurup: bir gurupta : bir gurupta bulunan gözlem (birey ) diğer bulunan gözlem (birey ) diğer gurpta bulunmuyorsa gurup gurpta bulunmuyorsa gurup bağımsız olur.bağımsız olur.

TESTLER

BAĞIMSIZ İKİ GURUBUN KARŞILAŞTIRILMASI

• İki ortalama arasındaki farkın anlamlılık testiİki ortalama arasındaki farkın anlamlılık testi• T. Testi T. Testi • Gerekli koşullarGerekli koşullar1.Karşılaştırılacak iki gurup vardır1.Karşılaştırılacak iki gurup vardır2. Guruplar birbirinden bağımsızdır2. Guruplar birbirinden bağımsızdır3. Veriler sürekli veri gurubundadır3. Veriler sürekli veri gurubundadır4: evren dağılımları normal dağılım gösterir4: evren dağılımları normal dağılım gösterir5. Evren varyansları eşitti. 5. Evren varyansları eşitti.

Mann-Witney U testi

• İki ortalama arasındaki farkın İki ortalama arasındaki farkın anlamlılık testinin nonparametrik anlamlılık testinin nonparametrik karşılığıdır. karşılığıdır.

• Parametrik koşulları Parametrik koşulları sağlanmadığı durumda kullanılırsağlanmadığı durumda kullanılır

Bağımsız ikiden çok gurubun karşılaştırılması

• Tek yönlü varyans analizi Tek yönlü varyans analizi • İkiden çok bağımsız gurup İkiden çok bağımsız gurup

olduğunda ve parametrik olduğunda ve parametrik koşullar sağlandığında koşullar sağlandığında uygulanır.uygulanır.

• Nanparametdrik karşılığıNanparametdrik karşılığı Kruscal-WallisKruscal-Wallis varyans analizidir. varyans analizidir.

Varyans analizinde farkın kaynaklandığı gurubu belirleme

• Varyans analizinde guruplar arasındaki Varyans analizinde guruplar arasındaki farkın hangi gurup yada guruplardan farkın hangi gurup yada guruplardan kaynaklandığını belirlemede kaynaklandığını belirlemede

• 1. duncan yöntemi1. duncan yöntemi

• Tukey HSD yöntemiTukey HSD yöntemi

• Dunnet yöntemiDunnet yöntemi

• Student nevman-Keuls Yöntemi kullanılırStudent nevman-Keuls Yöntemi kullanılır

• Korelasyon: iki değişken Korelasyon: iki değişken arasında bağıntı olup olmadığını arasında bağıntı olup olmadığını araştırmaaraştırma

• Korelasyon katsayısı – r -Korelasyon katsayısı – r -

• Regrasyon analizi: bağıntının Regrasyon analizi: bağıntının türünü bulma türünü bulma

Korelasyon

Korelasyon

Matematik Notları

Fiz

ik N

otl

arı

Korelasyon kararı için bir-kaç veri yeter mi?

Ülke nüfusu

Ort

alam

a ö

mü

r

Korelasyon var mı?

Matematik Notları

Res

im N

otl

arı

Korelasyon var mı?

Frekans r*

5 0,878

10 0,632

15 0,514

20 0,444

30 0,361

40 0,312

Korelasyon katsayısı r = 1 ise bağıntı var, r = 0 ise yok.

Grafik Analizi

• Basit korelasyon işlemlerinde kullanılır.Basit korelasyon işlemlerinde kullanılır.

• Grafik çizimi işlem sırası:Grafik çizimi işlem sırası:

– Eksenlerin belirlenmesiEksenlerin belirlenmesi

– Uygun ölçek seçimiUygun ölçek seçimi

– Verilerin yerleştirilmesiVerilerin yerleştirilmesi

– Lineer grafik elde edilmesiLineer grafik elde edilmesi

– Eğim bulunması Eğim bulunması

Grafik Analizi

Eksenlerin belirlenmesi

Serbest değişken (birim)

Ba

ğlı

değ

işke

n(b

irim

)

Ölçek Seçimi

Hacim

Kü

tle

Her iki ölçek uygun değil

Ölçek Seçimi

Hacim

Kü

tle

Y ölçeği uygun değil

Ölçek Seçimi

X ölçeği uygun değil

Hacim

Kü

tle

Ölçek Seçimi

Hacim

Kü

tle

Uygun ölçek seçimi

Doğru çizimi

Hacim

Kü

tle

Doğru çizim

Yanlış çizim

Doğru çizimi

Hacim

Kü

tleYanlış ç

izim

Yanlış çizim

Doğru çizim

Eğim Bulunması

Zaman

Hız

Eğim= Hız/zaman = Tan!

Dikkat!

Documents

İstatistikte Bazı Temel Kavramlar