Kümelerde temel kavramlar

MATEMATİK 9

ÜNİTE 1

KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR


• DERSİN ADI: MATEMATİK

• SINIF: 9

• ÜNİTE ADI/NO: KÜMELER

• KONU: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR

• KAYNAK: DERS KİTABI, HER TÜRLÜ KONUYLA İLGİLİ DERS İÇERİKLERİ( BENZER KONU ANLATIMLI PDF’LER, SUNUMLAR, VİDEOLAR)


AMAÇLAR• Öğrencilere web konferanslarında kümelerin liste, Venn şeması ve ortak

özellik yöntemleri ile gösterimini öğretmek ve pekiştirmek.

• Web konferansında sonlu, sonsuz ve boş kümeyi örneklerle açıklamak.

• Bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısını ve belirli sayıda eleman içeren alt kümelerinin sayısını hesaplatmak.



Blackboard ortamında öğrencilerin katılımı ile dersimize başlıyoruz.

Ders sunumumuzda kümelerde temel kavramını anlatacağız.

Öğrenciler ile etkileşimli ders çerçevesinde bu konunun anlaşılması için ses, video, örnek sorular ve araştırmalar üzerinden dersimizi işleyeceğiz.


DERSİMİZ BAŞLIYOR...


A kümesi Ahmet’in odasında bulunan eşyalar olsun.

A={ kitaplık, saat, masa, ayna, yatak} s(A)=5 Eleman sayısı 5’dir.

Bu kümeyi ortak özellik yöntemiyle şöyle gösteririz.

A={ eşya│ Ahmet’in odasında bulunanlar}

“│” öyleki anlamına gelir ve “:” şeklinde de gösterilir.

Eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilebilen kümelere sonlu küme denir.

B={x:x <100 ve x asal sayı}

Burada 100’den küçük asal sayılar dediğine göre sayarak kaç tane olduğunu bulabiliriz. Yani sonlu kümedir.


Eleman sayıları doğal sayı ile ifade edilemeyen kümelere sonsuz elemanlı küme denir.

C={x:x asal sayı}

Burada asal sayılar diyor. Asal sayıları sayarak bulmamız çok zor çünkü bir sürüdür. Yani sonsuz elemanlı kümedir.

Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. { } veya Ø sembolü ile gösterilir.

A={a,b,c,d,e}

B={c,d,e}

Görüldüğü gibi B’nin her elemanı A’nında elemanıdır. Bu durumda B, A’nın alt kümesidir. BCA olarak gösterilir.


Boş küme her kümenin alt kümesidir.

Her küme kendisinin alt kümesidir.

Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.

D={1,2,3,4} s(D)=4

C={a,b,c,d} s(C)=4

O zaman C≡D deriz.

Elemanları aynı olan kümelere eşit kümeler denir.

A={a,b,c,d,e}

B={a,b,c,d,e}

O zaman C=D deriz.

KÜMELERDE TEMEL KAVRAMALAR

Alt Küme Sayısı

n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2n formülüyle bulunur.

Bir kümenin kendisi hariç alt kümelerine özalt kümeleri denir.

n elemanlı bir kümenin özalt küme sayısı 2n-1 formülüyle bulunur.

Örnek: A ={a,b,{b,c},c,{b},{a,c}}

Kümenin elaman sayısı s(A)=6

Kümenin alt küme sayısı 2n=26=64

Kümenin özalt küme sayısı 2n-1=26-1=64-1=63


n elemanlı sonlu bir kümenin r elemanlı her alt kümesine n’nin r’li kombinasyonu denir.

(n,r)=n!/(n-r)!.r! formülünü kullanırız.

Örnek: A={a,b,c,d,e} kümesinin 4 elemanlı alt küme sayısı,

(n,r)=n!/(n-r)!.r!

(5,4)=5!/(5-4)!.4!

(5,4)=1.2.3.4.5/1.1.2.3.4 = 5

5 tane 4 elemanlı alt kümesi vardır.


Kümelerde İşlemler

A ve B herhangi iki küme olmak üzere bu iki kümenin ortak elemanlarının oluşturduğu kümeye A ile B kümelerinin kesişim kümesi denir.

A ve B herhangi iki küme olmak üzere bu iki kümenin tüm elemanlarının oluşturduğu kümeye A ile B kümelerinin birleşim kümesi denir.


Eşitlikler

• AUB=BUA

• A∩B=B∩A

• AUA=A

• A∩A=A

• AU(BUC)=(AUB)UC

• A∩(B∩C)=(A∩B) ∩C

• AU(B∩C)=(AUB) ∩(AUC)

• A∩(BUC)=(A∩B) U(A∩C)

• AU Ø =A

• A∩ Ø = Ø


Örnek: A={1,2,3,4,5,6}, B={1,2,3}, C={3,6,9}

AUA={1,2,3,4,5,6}

AU Ø ={1,2,3,4,5,6}

AUB={1,2,3,4,5,6}

A∩A={1,2,3,4,5,6}

A∩ Ø = Ø

A∩C={3,6}

AU(B∩C)={1,2,3,4,5,6}

A∩(BUC)={1,2,3,6}

(A∩B) ∩C={3}

AU(BUC)={1,2,3,4,5,6,9}


Formüller

S(AUB)=s(A)+s(B)-s(A∩B)

S(AUBUC)=s(A)+s(B)+ s(C)-s(A∩B) -s(A∩C)-s(B∩C)+s(A∩B∩C)

Örnek: A={1,2,3,4,5,6}, B={1,2,3}, C={3,6,9}

S(AUBUC)=s(A)+s(B)+ s(C)-s(A∩B) -s(A∩C)-s(B∩C)+s(A∩B∩C)

S(AUBUC)=6+3+ 3-3 -2-1+1

S(AUBUC)=7


Kümelerle yapılan işlemlerde işleme katılan tüm kümeleri kapsayan en geniş kümeye evrensel küme denir. E ile gösterilir.

A kümesinde olmayan fakat E kümesinde olan elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni denir. A’ ile gösterilir.

A kümesinde olan fakat B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A-B olarak gösterilir.

B kümesinde olan fakat A kümesinde olmayan elemanların kümesine B fark A kümesi denir. B-A olarak gösterilir.


Örnek: A={1,2,3,4,a,b}, B={2,3,a,5,c,7}, E={1,2,3,4,5,6,7,a,b,c,d,8}• A’={5,6,7,8,c,d}• B’={1,4,6,8,b,d}• A∩B={2,3,a}• (A∩B)’={1,4,5,6,7,8,b,c,d}• (AUB)’={6,8,d}• A’∩B’={6,8,d}• A’UB’={1,4,5,6,7,8,b,c,d}• A-B={1,4,b}• B-A={5,7,c}• A-A= Ø• A- Ø=A={1,2,3,4,a,b }• Ø-A= Ø• A-E= Ø• E-A=A’={5,6,7,8,c,d }


Etkinlikler:

Dersi daha iyi kavramak için aşağıdaki etkinlikleri tamamlayınız.

1. Kümelerde temel kavramları ile ilgili http://www.youtube.com/watch?v=Yvorv1IaZGg

videoyu izleyiniz.

2. Kümelerin günlük hayatta karşılaştığımız örnekleri nelerdir? sorusuna Word formatında hazırlanmış en az 150 kelimelik bir sunum hazırlayarak blackboard ortamı modüller Etkinlik 1 bölümüne paylaşınız.

http://www.youtube.com/watch?v=Yvorv1IaZGg



3. A={1,2,3,4,5,6,7} verilen küme için aşağıdaki soruları cevaplayanız. Çözümleri blackboard ortamı mödüller Etkinlik 2 alanında paylaşınız.

a) Alt kümelerinin kaç tanesinde 5 eleman olarak bulunmaz?

b) Alt kümelerinin kaç tanesinde 7 eleman olarak bulunur?

c) Alt kümelerinin kaç tanesinde 3 veya 4 eleman olarak bulunmaz?

d) Alt kümelerinin kaç tanesinde 3 veya 4 eleman olarak bulunur?

e) Alt kümelerinin kaç tanesinde 3 ve 4 eleman olarak bulunmaz?

f) Alt kümelerinin kaç tanesinde 3 ve 4 eleman olarak bulunur?


g) 4 elemanlı alt kümeleri kaç tanedir?

h) 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 3 bulunur?

k) 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 2 bulunmaz?

l) 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 5 ve 6 bulunur?

m) 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 2 bulunur 7 bulunmaz?

n) En çok 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?

o) En az 5 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?


Kaynakça:

• http://matematik-konuanlatimi.blogcu.com/9-sinif-kumeler-konu-anlatimi/11235026

• http://www.youtube.com/watch?v=Yvorv1IaZGg

http://matematik-konuanlatimi.blogcu.com/9-sinif-kumeler-konu-anlatimi/11235026














Education

Kümelerde temel kavramlar