Osnovne akademske studije PREDMET: Upravljanje sistemima TEMA: Rešavanje linearnih

diferencijalnih jednačina primenom LT Predmetni nastavnik: Prof. dr Milorad Stanojević Asistent: mr Marko Đogatović

Linearna diferencijalna jednačina Diferencijalna jednačina oblika

0

, 1n

jj n

j

a t y t f t a t

pri čemu su , 0,1,..., 1ja t j n i f t funkcije promenljive t, zove se linearna diferencijalna jednačina (LDJ) reda n.

Onda kada je funkcija 0f t , LDJ se zove homogena linearna diferencijalna jednačina. U suprotnom, jednačina je nehomogena. Ovde razmatramo specijalan slučaj linearne diferencijalne jednačine kod koje su koeficijenti konstanti ( j ja t a )

0

, 1.n

jj n

j

a y t f t a

Rešavanje LDJ sa konstantnim koeficijentima primenom LT

LDJ jednačinu oblika

0

, 1.n

jj n

ja y t f t a

rešavamo po sledećoj proceduri:

1. Naći Laplasovu transformaciju leve i desne strane jednačine. Na taj način se dobija linearna jednačina po Y s .

2. Rešiti dobijenu linearnu jednačinu po nepoznatoj Y s . 3. Nalaženjem inverzne LT po Y s dobija se rešenje y t .

Primer 1. Korišćenjem LT naći rešenje diferencijalne jednačine 4 1y y . Početni uslovi su jednaki nuli.

Nalazimo LT leve i desne strane jednačine

1 14 1y y Primenom teoreme o diferenciranju i teoreme linearnosti dobijamo

10 4sY s y Y ss

Obzirom da je 0 0y važi sledeće

14sY s Y ss

Sređivanjem nalazimo lik funkcije y t

1 14

4Y s s Y s

s s s

Original dobijamo primenom inverzne LT

1 1 4 4

1 1

0 41 1 14 0 4 4 4 4

t tP Py t Y s e e

s s Q Q

%% Resavanje primenom LT i inverzne LT % Simbolicke promenljive syms s t Y; % Simbolicka funkcija y(t) y = sym('y(t)'); % Laplasova transformacija leve strane jednacine % diff() je prvi izvod simbolicke funkcije L=laplace(diff(y)-4*y) % Zamena laplace(y(t),t,s) sa simbolickom promenljivom Y L=subs(L,sym('laplace(y(t),t,s)'),Y) % Zamena pocetne vrednosti y(0) sa 0 L=subs(L,sym('y(0)'),0) % LT desne strane jednacine (Hevisajdove f-je) % heviside(t) definisana je tako da ima vrednost 0 za t<0, % 1 za t>0 i 0.5 za t=0 R=laplace(heaviside(t))

% Resavanje prosledjene jednacine po zadatoj simbolickoj % promenljivoj Y Y = solve(L-R,Y) % Inverzna LT resenja dobijenog po Y ilaplace(Y) %% Resavanje diferencijalne jednacine primenom funkcije dsolve % D predstavlja izvod funkcije, dok je y(0)=0, pocetni uslov dsolve('Dy-4*y=1','y(0)=0') L = s*laplace(y(t), t, s) - y(0) - 4*laplace(y(t), t, s) L = Y*s - y(0) - 4*Y L = Y*s - 4*Y R = 1/s Y = 1/(s*(s - 4))

ans = exp(4*t)/4 - 1/4 ans = exp(4*t)/4 - 1/4

Primer 2. Korišćenjem LT naći rešenje diferencijalne jednačine 52 2 ty y e . Početni uslovi su jednaki nuli.

Nalazimo LT leve i desne strane jednačine

1 1 52 2 ty y e Primenom teoreme o diferenciranju i teoreme linearnosti dobijamo

225

sY s Y ss

Sređivanjem nalazimo lik funkcije y t

2

2 5Y s

s s

Original dobijamo primenom inverzne LT

1 1 2 5 2 52 52 2 22 5 2 5 3 3

t t t tP Py t Y s e e e e

s s Q Q

% Brisemo sadrzaj komandnog prozora clc %% Resavanje primenom LT i inverzne LT % Simbolicke promenljive syms s t Y; % Simbolicke funkcije y(t) y = sym('y(t)'); % Laplasova transformacija jednacine % diff je prvi izvod funkcije J=laplace(diff(y)+2*y-2*exp(-5*t)) % Zamena laplace(y(t),t,s) sa Y J=subs(J,sym('laplace(y(t),t,s)'),Y) % Zamena y(0) sa 0 J=subs(J,sym('y(0)'),0) % Resavanje jednacine po Y Y = solve(J,Y) % Inverzna LT resenja po Y ilaplace(Y) %% Resavanje diferencijalne jednacine primenom funkcije dsolve dsolve('Dy+2*y=2*exp(-5*t)','y(0)=0')

J = s*laplace(y(t), t, s) - 2/(s + 5) - y(0) + 2*laplace(y(t), t, s) J = 2*Y - y(0) + Y*s - 2/(s + 5) J = 2*Y + Y*s - 2/(s + 5) Y = 2/((s + 2)*(s + 5)) ans = 2/(3*exp(2*t)) - 2/(3*exp(5*t)) ans = 2/(3*exp(2*t)) - 2/(3*exp(5*t))

Primer 3. Korišćenjem LT naći rešenje diferencijalne jednačine

2ty y te . Početni uslovi su jednaki nuli. Nalazimo LT leve i desne strane jednačine

1 1 2ty y te Primenom teoreme o diferenciranju i teoreme linearnosti dobijamo

2

12

sY s Y ss

Sređivanjem nalazimo lik funkcije y t

2

11 2

Y ss s

Original dobijamo primenom inverzne LT. Razvijmo Y s u parcijalne razlomke na sledeći način.

1 21 222 2

11 21 2 2

K K KY ss ss s s

1 21 1

1lim 1 lim 12s s

K Y s ss

221 2 2

1lim 2 lim 11s s

K Y s ss

221 22 2 2

1 1lim 2 lim lim 11 1s s s

d dK Y s sds ds s s

1 1 1 1 12 2

2 2

1 1 1 11 21 2 2

t t t

y t Y ss ss s s

e te e

% Brisemo sadrzaj komandnog prozora clc %% Resavanje primenom LT i inverzne LT % Simbolicke promenljive syms s t Y; % Simbolicke funkcije y(t) y = sym('y(t)'); % Laplasova transformacija jednacine % diff je prvi izvod funkcije J=laplace(diff(y)+y-t*exp(-2*t)); % Zamena laplace(y(t),t,s) sa Y J=subs(J,sym('laplace(y(t),t,s)'),Y); % Zamena y(0) sa 0 J=subs(J,sym('y(0)'),0); % Resavanje jednacine po Y Y = solve(J,Y); % Inverzna LT resenja po Y y = ilaplace(Y); % Kreiramo sliku 1 figure(1) % Iscrtavamo prvo resenje koriscenjem funkcije ezplot ezplot(y) %% Resavanje diferencijalne jednacine primenom funkcije dsolve y1 = dsolve('Dy+y=t*exp(-2*t)','y(0)=0');

% Kreiramo sliku 2 figure(2) % Iscrtavamo drugo resenje koriscenjem funkcije ezplot ezplot(y1) Slika 1 Slika 2

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0

5

10

15

x 104

t

1/exp(t) - (t + 1)/exp(2 t)

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0

5

10

15

x 104

t

1/exp(t) - (t + 1)/exp(2 t)

Primer 4. Korišćenjem LT naći rešenje diferencijalne jednačine 9 sin3y y t . Početni uslovi su jednaki nuli.

Nalazimo LT leve i desne strane jednačine

1 19 sin3y y t Primenom teoreme o diferenciranju i teoreme linearnosti dobijamo

22

30 09

s Y s sy y Y ss

Sređivanjem nalazimo lik funkcije y t

22

3

9Y s

s

Original dobijamo primenom inverzne LT.

1 12 2 23 32

2 2

4 43 3

2 23 3 3 3

4 43

3

3 3 3lim lim3 39

3 2 3 3 2 33 lim 3lim

3 3

6 2 6 6 2 63 3lim

6 6

363

st st

s j s j

st st st st

s j s j

jt jt jt jt

s j

jt

d e d ey t Y sds dss j s js

te s j e s j te s j e s js j s j

te j e j te j e jj j

te

3 3 3

3 3 3 3

3 3 3 3

12 36 1231296 1296

36 12 36 123 31296 1296

1 16 2 18 21 1cos3 sin36 18

jt jt jt

jt jt jt jt

jt jt jt jt

je te je

te je te je

e e e etj

t t t

% Brisemo sadrzaj komandnog prozora clc %% Resavanje primenom LT i inverzne LT % Simbolicke promenljive syms s t Y; % Simbolicke funkcije y(t) y = sym('y(t)'); % Laplasova transformacija jednacine % diff(y,2) je drugi izvod funkcije y(t) J=laplace(diff(y,2)+9*y-sin(3*t)); % Zamena laplace(y(t),t,s) sa Y J=subs(J,sym('laplace(y(t),t,s)'),Y) % Zamena D(y)(0) sa 0 J=subs(J,sym('D(y)(0)'),0) % Zamena y(0) sa 0 J=subs(J,sym('y(0)'),0) % Resavanje jednacine po Y Y=solve(J,Y) % Inverzna LT resenja po Y y=ilaplace(Y) % Kreiramo sliku 1 figure(1) % Iscrtavamo prvo resenje koriscenjem funkcije ezplot ezplot(y)

%% Resavanje diferencijalne jednacine primenom funkcije dsolve y1 = dsolve('D2y+9*y=sin(3*t)','y(0)=0','Dy(0)=0') % Kreiramo sliku 2 figure(2) % Iscrtavamo drugo resenje koriscenjem funkcije ezplot ezplot(y1) J = 9*Y - D(y)(0) - s*y(0) + Y*s^2 - 3/(s^2 + 9) J = 9*Y - s*y(0) + Y*s^2 - 3/(s^2 + 9) J = 9*Y + Y*s^2 - 3/(s^2 + 9) Y = 3/(s^2 + 9)^2 y =

sin(3*t)/18 - (t*cos(3*t))/6 y1 = sin(3*t)/24 - sin(9*t)/72 - cos(3*t)*(t/6 - sin(6*t)/36) Slika 1 Slika 2

-6 -4 -2 0 2 4 6

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

sin(3 t)/18 - (t cos(3 t))/6

-6 -4 -2 0 2 4 6

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

sin(3 t)/24 -...- cos(3 t) (t/6 - sin(6 t)/36)

Primer 5. Korišćenjem LT naći rešenje diferencijalne jednačine 2 3 1y y y . Početni uslovi su jednaki nuli.

Nalazimo LT leve i desne strane jednačine

1 12 3 1y y y Primenom teoreme o diferenciranju i teoreme linearnosti dobijamo

2 12 3s Y s sY s Y ss

Sređivanjem nalazimo lik funkcije y t

2

12 3

Y ss s s

Original dobijamo primenom inverzne LT. Razvijmo Y s u parcijalne razlomke na sledeći način

22

12 32 3

A Cs DY ss s ss s s

Svođenjem na zajednički imenilac dobija se sledeće 2 2 3 1A C s A D s A Rešavanjem sistema linearnih jednačina dobijaju se sledeće

vrednosti za koeficijenate A, C i D: 1 1 2, ,3 3 3

A C D .

Rešenje dobijeno inverznom LT će glasiti

1 12 2

1 1 1 1 1 23 3 3 21 2 1 2

1 1 1cos 2 sin 2 .3 3 3 2

t t

sy t L Y s Ls s s

e t e t

% Brisemo sadrzaj komandnog prozora clc %% Resavanje primenom LT i inverzne LT % Simbolicke promenljive syms s t Y; % Simbolicke funkcije y(t) y = sym('y(t)'); % Laplasova transformacija jednacine % diff(y,2) je drugi izvod funkcije y(t) J=laplace(diff(y,2)+2*diff(y)+3*y-heaviside(t)); % Zamena laplace(y(t),t,s) sa Y J=subs(J,sym('laplace(y(t),t,s)'),Y); % Zamena D(y)(0) sa 0 J=subs(J,sym('D(y)(0)'),0); % Zamena y(0) sa 0 J=subs(J,sym('y(0)'),0); % Resavanje jednacine po Y Y=solve(J,Y); % Inverzna LT resenja po Y y=ilaplace(Y) % Kreiramo sliku 1 subplot(2,1,1) % Iscrtavamo prvo resenje koriscenjem funkcije ezplot ezplot(y)

%% Resavanje diferencijalne jednacine primenom funkcije dsolve y1 = dsolve('D2y+2*Dy+3*y=1','y(0)=0','D(y)(0)=0') % Kreiramo sliku 2 subplot(2,1,2) % Iscrtavamo drugo resenje koriscenjem funkcije ezplot ezplot(y1) y = 1/3 - (cos(2^(1/2)*t) + (2^(1/2)*sin(2^(1/2)*t))/2)/(3*exp(t)) y1 = 1/3 - (2^(1/2)*sin(2^(1/2)*t))/(6*exp(t)) – cos(2^(1/2)*t)/(3*exp(t))

Slika 1

-3 -2 -1 0 1 2 3-1

0

1

2

3

t

1/3 - (cos(21/2 t) + (21/2 sin(21/2 t))/2)/(3 exp(t))

-3 -2 -1 0 1 2 3-1

0

1

2

3

t

1/3 -...- cos(21/2 t)/(3 exp(t))