Juho Leppäkangas

Fourier-muunnos ja epätarkkuusperiaate

kandidaatintyö

Tarkastajat:

Professori Keijo Ruohonen

TkT Simo Ali-Löytty

TIIVISTELMÄ

TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTOTeknis-luonnontieteellinen koulutusohjelmaJUHO LEPPAKANGAS : Fourier−muunnos ja epatarkkuusperiaateKandidaatintyö, 61 sivuaElokuu 2014Pääaine: MatematiikkaTarkastajat: Professori Keijo Ruohonen, TkT Simo Ali-LöyttyAvainsanat: Epätarkkuusperiaate, Fourier-muunnos, kvanttimekaniikka

Tässä tutkielmassa esitellään aluksi Fourier-muunnoksen teoriaa neliöintegroituvienfunktioiden avaruudessa, minkä jälkeen tuloksia sovelletaan kvanttimekaniikassa.Koska kyseessä on osittaisdierentiaaliyhtälöllä (Schrödingerin yhtälö) kuvattava jahiukkasten todennäköisyysaaltoina tulkittava luonnon tilastollinen perusteoria, niinFourierin menetelmät tarjoavat luonnollisen matemaattisen työkalun, niin kvantti-mekaniikan teorian tulkinnalle kuin fysikaalisten ongelmien ratkaisemisellekin.

Kvanttimekaniikan ehkä tunnetuin yksittäinen tulos on Heisenbergin epätarkkuus-periaate, jonka mukaan on mahdotonta mitata mielivaltaisen tarkasti yhtäaikaa sekähiukkasen paikkaa että sen liikemäärää. Työssä osoitetaan, että Heisenbergin epä-tarkkuusperiaate on vain erään Fourier-muunnosta koskevan integraaliepäyhtälönfysikaalinen sovellus. Seuraavaksi epätarkkuusperiaate yleistetään koskemaan myösmuitakin fysikaalisia suurepareja kuin hiukkasen paikkaa ja liikemäärää. Tämänjälkeen näytetään, etteivät joidenkin kvanttimekaanisesti kuvattavien fysikaalistensysteemien kokonaisenergiat voi olla mielivaltaisen negatiivisia. Edeltävä perustuumyös epätarkkuusperiaatteen ideaan, mutta matemaattiset välineet, jotka tapaus-kohtaisesti tarjoavat fysikaalisille malleille rajoittavia ehtoja, voivat olla hyvinkinerilaisia. Esimerkkeinä tutkielmassa todistetaan Coulombin systeeminä kuvattavanvetyatomin rakenteellinen vakaus sekä fysikaalisia systeemeitä koskevan nollapiste-energian olemassaolo. Edeltävät esimerkit ovat selitettävissä vain kvanttimekaniikanmatemaattisen, epävisuaalisen ja osin epäintuitiivisen mallin avulla. Yleistajuisestiepätarkkuusperiaate kertoo, ettei pientä kvanttihiukkasta voi puristaa mielivaltaisenpieneen tilavuuteen, ilman, että hiukkasen liike-energia kasvaa rajoittamattomasti.

Tutkielmassa käsiteltävät fysikaaliset ilmiöt on pyritty kohtuullisesti motivoimaanja kaikki matemaattiset todistukset on kirjoitettu kattavin välivaihein auki.

i

SISALLYS

1. Johdanto 1

2. Peruskäsitteitä 62.1 Hilbertin avaruus L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62.2 Lineaariset operaattorit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3. Fourier-muunnos 163.1 Fourier-muunnos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Fourier-muunnos avaruudessa L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 Heisenbergin epäyhtälö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4. Kvanttimekaniikan sovellukset 314.1 Schrödingerin yhtälö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Heisenbergin epätarkkuusperiaate aaltohiukkasille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3 Heisenbergin epätarkkuusperiaate operaattoreille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.4 Ajan ja energian epätarkkuusperiaate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .444.5 Coulombin epätarkkuusperiaate ja atomien vakaus. . . . . . . . . . . . . . . . . . .454.6 Heisenbergin epätarkkuusperiaate ja nollapiste-energia . . . . . . . . . . . . . . .504.7 Yleinen epätarkkuusperiaate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5. Heisenbergin mikroskooppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6. yhteenveto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

Lähteet 60

ii

LYHENTEET JAMERKINNAT

|a| (tai |a|) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . luvun a ∈ C (tai a ∈ Cn) itseisarvoa (tai a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . luvun a (tai a) kompleksikonjugaattiC0(Ω) . . . . . . . . . joukossa Ω ⊂ Rn jatkuvien (kompleksiarvoisten) funktioiden joukkoCk(Ω) . . . . . . . . . . . . . joukossa Ω k-kertaa jatkuvasti derivoituvien funktioiden joukkosupp(f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . funktion f kantajaCk

0 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kompaktikantajaisten Ck(Ω) -luokan funktioiden joukko∇f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . funktion f ∈ C1(Ω) gradientti∇2f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . funktion f ∈ C2(Ω) Laplacen operaattorif dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . funktion f(x) Riemannin tai Lebesguen integraali

Lp(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .p-integroituvien funktioiden avaruus joukossa ΩH1(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sobolevin avaruus joukossa Ω‖f‖p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . avaruuden Lp normi; Lp-normim(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . joukon Ω Lebesguen mittam.k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .melkein kaikkialla[f ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . funktion f ekvivalenssiluokkaH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Hilbertin avaruusD(T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lineaarisen operaattorin T määrittelyjoukko, D(T ) ⊂ H‖T‖ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . operaattorin T normi(ψ, φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lineaarisen vektoriavaruuden alkioiden ψ ja φ sisätuloT ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .operaattorin T adjungoitu operaattori[S, T ] ja S, T . . . . . . operaattoreiden S ja T kommutaattori ja antikommutaattori

Ff = f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . funktion f ∈ L1 (tai f ∈ L2) Fourier-muunnosF (n)f . . . . . . . . . . . . . . . funktion f ∈ L1 (tai f ∈ L2) kertaluvun n Fourier-muunnos4a(f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . funktion f hajonta pisteen x = a suhteenEψ(f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . funktion f odotusarvo funktion ψ suhteeninf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . joukon suurin alaraja, inmumsup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . joukon pienin yläraja, supremummax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .joukon suurin alkio, maximum' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . suurempi tai likimain yhtäsuuri kuin& . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . suurempi tai positiivinen vakio kertaa yhtäsuuri kuin⊗

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . joukkojen tensoritulo∧. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . joukkojen antisymmetrinen tensoritulo

ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kulmataajuusk, k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aaltoluku, aaltolukuvektoriA(k, ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aaltoliikkeen amplitudifunktioh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Planckin vakio, ~ := h/2πvg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ryhmänopeusme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .elektronin massae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . alkeisvarauske . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coulombin vakioa0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bohrin sädeρψ = |ψ|2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . paikan todennäköisyystiheys tilassa ψ

A ja A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . observaabeli A ja vastaava operaattori A4ψ(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .observaabelin A epätarkkuus tilan ψ suhteenE(ψ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kokonaisenergiafunktionaali tilalle ψψ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . perustilaE0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . perustilan energia

1

1. JOHDANTO

Klassisen fysiikan mukaan kolmiulotteisessa avaruudessa etenevän kappaleen taihiukkasen tilasta saadaan tarkka informaatio paikan ja liikemäärän avulla, eikäole mitään periaatteellista estettä mitata näitä arvoja mielivaltaisella tarkkuudel-la. Kvanttifysiikassa absoluuttinen alaraja on kuitenkin olemassa ja tämän ilmaiseeWerner Heisenbergin1 vuonna 1927 muotoilema epätarkkuus- tai epämääräisyyspe-riaate, jonka mukaan on mahdotonta mitata mielivaltaisen tarkasti yhtäaikaa sekähiukkasen paikkaa että sen liikemäärää. Kyseistä epämääräisyyttä on kvanttimeka-niikan mallin mukaan mahdotonta kiertää.

Kaikki käyttö sanoille 'paikka' tai 'nopeus', tarkkuudella, joka alittaa annetunyhtälön, on yhtä merkityksetöntä kuin käyttää sanoja, joita ei ole määritelty.

Werner Heisenberg

Tämän tutkielman alkuosassa esitetään Fourier-muunnoksen perusominaisuuksianeliöintegroituvien funktioiden joukossa ja erityisesti tarkastellaan kvanttimekanii-kan sovellusten kannalta hyödyllisiä tuloksia. Muun muassa Parsevalin yhtälöt se-kä lause, jonka mukaan Fourier-muunnos on isomorsmi joukolta L2 joukkoon L2,ovat esitettyinä. Tutkielman päätuloksena on Fourier-muunnosta ja tämän kään-teismuunnosta koskeva mielenkiintoinen yhteys: nollasta eroavaa funktiota f ja senFourier-muunnosta f ei voida molempia paikallistaa tarkasti. Kyseinen tulos tunne-taan matemaattisena epätarkkuusperiaatteena ja Heisenbergin epätarkkuusperiaa-te on tämän kvanttifysikaalinen ilmentymä. Toisaalta epätarkkuusperiaatteella onkäytännöllisiä tulkintoja myös klassisessa fysiikassa: jos esimerkiksi f(t) esittää sig-naalin amplitudia (esimerkiksi äänen paineaalto tai valon sähkömagneettinen aalto)

ajanhetkellä t ja Fourier-muunnos f(ω) rakentuu eri taajuisista siniaalloista, niinmatemaattinen epätarkkuusperiaate antaa alarajan missä määrin signaali voi ollasekä aikarajoitettu että taajuusrajoitettu.

Matemaattinen fysiikka tuntee useita epätarkkuusperiaatteen nimellä kulkevia tu-loksia, mutta johtuen näiden lauseiden melko vaativista esityksistä, tässä tutkiel-massa tarkastellaan vain kolmea esimerkkitapausta: Heisenbergin, Coulombin sekäSobolevin mukaan nimettyjä epätarkkuusperiaatteita. Kyseiset epätarkkuusperiaat-teet ovat sopivassa funktioavaruudessa määriteltyjä integraaliepäyhtälöitä, jotka an-tavat tärkeitä alarajoja reaalimaailman ilmiöiden teoreettisille tarkasteluille.Fysikaalisia ongelmia ratkaistaan usein vain numeerisesti, joten tapaukseen sovel-tuvan epäyhtälön tarjoamat rajoitukset ovat erittäin arvokkaita. Sopivien epäyhtä-löiden avulla ollaan esimerkiksi todistettu, että luonnossa esiintyvä aine/massa onkvanttimekaniikan mallissa vakaata, ks. [21], tai, että usean kappaleen kvanttimekaa-nisissa systeemeissä ytimen tunneloitumisella on olemassa yläraja, joten kylmäfuusioon voitu tietyissä tapauksissa sulkea pois, ks. [22]. Tässä tutkielmassa epätarkkuus-periaatetta sovelletaan kvanttimekaniikan perusyhtälöön ja näin arvioidaan erilais-ten systeemien liike-energioiden alarajoja. Varsinaiset yhtälönratkaisutekniikat eivätsiis ole mielenkiinnon kohteina.

1Werner Karl Heisenberg (19011976) oli merkittävä saksalainen fysiikko, jolle myönnettiin vuo-den 1932 fysiikan Nobelin palkinto kvanttimekaniikan kehityksestä sekä sovelluksista.

2

Klassisen fysiikan mallien mukaan fysikaalisen maailman perustan luovat aine, jo-ka liikkuu hyvin paikallistettavina kappaleina, ja kentät, jotka ovat levittäytyneetavaruuteen ja etenevät aaltomaisesti. Tätä maailmankuvaa tuli tarkistaa, kun uu-det kokeelliset menetelmät mahdollistivat mikroskooppisten ilmiöiden havainnoimi-sen. Planck2 ehdotti vuonna 1900 ratkaisua erääseen tiedeyhteisöä askarruttanee-seen mustankappaleen ongelmaan, jossa kappaleen termodynaamista vuorovaiku-tusta ympäristön kanssa ei kyetty selittämään sen ajan jatkuvaluonteisilla sätei-lymalleilla. Planck postuloi, että aineessa värähtelevät partikkelit tulee ymmärtääharmonisina värähtelijöinä, jotka eivät emittoi tai absorboi valoa jatkuvasti, vaandiskreetteinä kvantteina. Matemaattisesti säteily, jonka taajuus on ν, ei voi vaihtaaenergiaa aineen kanssa kuin energiapaketteina hν. Termi h on nimeltään Planckinvakio ja sillä on lukuarvo

h = 2π~ ≈ 6, 62606957(29) · 10−34 Js.

Termiä ~ kutsutaan redusoiduksi Planckin vakioksi. Vakion h laatu on (energia ·aika) eli aktio, joka on tärkeä dynaaminen suure luonnon prosesseissa. Planckinkvanttipostulaatti voidaan esittää myös sanomalla, että säteily, jonka taajuus on ν,käyttäytyy samoin kuin joukko fotoneita, joiden energia on

(1.1) E := hν = ~ω,

jonka aine voi emittoida tai absorboida. Termiä ω kutsutaan kulmataajuudeksi,ω = 2πν. Lauseke (1.1) tunnetaan Planckin lakina. Lähtökohtaisesti Planckin vakiomittaa diskreettiyden astetta, joka vaaditaan selittämään mustankappaleen sätei-lyn energiajakauma. Energian diskreettiys on oleellista kvanttimekaniikan kannalta,mutta täysin yhteensovittamatonta klassisessa mielessä. Lisäksi on vielä todettava,että lauseke (1.1) on melko yleinen tulos, eli se voidaan yhdistää mihin vain kvant-timekaaniseen systeemiin ehdoksi energian E ja systeemiin liittyvän oskilloimisen ωvälille.

1923 de Broglie3 julkaisi idean, joka vei varhaista kvanttimekaniikkaa eteenpäin. Hänoli pohtinut kovasti aiemmin havaittua valon hiukkasluonnetta ja päätyi silloin jopalapselliseen ajatukseen: jos elektromagneettisella säteilyllä on hiukkasluonnetta, niinmiksei myös hiukkasilla (kuten elektroneilla tai molekyyleillä) voisi olla aaltomaisiaominaisuuksia? Käyttäen apunaan Planckin lakia ja suhteellisuusteoriasta tuttuakaavaa E = mc2 de Broglie päätyi seuraavaan yhtälöön ainehiukkasille

(1.2) p :=h

λdb= ~k.

Edeltävässä p on hiukkasen liikemäärä, λdb on hiukkasen de Broglien aallonpituusja k on aaltoluku, k = 2π/λ. De Broglien aallonpituus tuli myöhemmin osoitetuk-si kokeellisin menetelmin (elektronidiraktio) ja hiukkaset siis omaavat merkillistäaalto-ominaisuutta. Vastaavasti valoaaltojen hiukkasominaisuuksia (kvanttien liike-määrää ja rajattua sijaintia) edustavat kokeellisesti havaitut valosähköinen ilmiö jaComptonin sironta.

2Max Karl Ernst Ludwig Planck (18581947) oli saksalainen fyysikko, joka sai kvanttihypotee-sistaan Nobelin palkinnon vuonna 1918.

3Louis Victor Pierre Raymond de Broglie (Herttua) (18921987) oli ranskalainen fyysikko. DeBroglie teki vastaavanlaisen löydön 1936, kun hän ensimmäisenä ehdotti julkisesti: Jokaisellahiukkasella on antihiukkanen, jolla on vastakkaismerkkiset kvanttiluvut, [6, s. 68]. Hän sai vuoden1929 fysiikan Nobelin palkinnon aaltohypoteesistaan. Sukunimi lausutaan dö bjor .

3

Bohr4 esitteli jo 1913 oman semiklassisen ja puutteelliseksi osoittautuneen kvant-titeoriansa selittääkseen atomien elektronien radat sekä säteilyspektrin diskreetinluonteen, mutta de Broglien aaltohypoteesin jälkeen kävi kuitenkin ilmi, että nämäilmiöt heijastelivat sitä, että riittävän pienillä etäisyyksillä pienet hiukkaset käyttäy-tyivät aaltomaisesti. Elektronien diskreetit tilat ovat ilmentymiä seisovista aalloistaatomisessa potentiaalikuopassa ja analogia tähän ilmiöön löytyy seisovista sähkö-magneettisen säteilyn aalloista kaviteetissa. Tästä oudosta aaltoluonteesta ja mate-maattisesta epätarkkuusperiaatteesta johtuen hiukkasia ei voi puristaa mielivaltai-sen pieneen tilaan, ilman, että niiden taajuus ja siten energia kasvaa rajattomasti,ja tämä ilmaisee sen, ettei sekä paikkaa että liikemäärää voi määritellä tarkasti.Sama ilmiö estää elektronia romahtamasta ytimeen, mikä olisi väistämätöntä klas-sisessa fysiikassa. Edeltävän kaltainen systeemin pienin energia, nollapiste-energia,on vain epätarkkuusperiaatteen seuraus, sillä hiukkanen ei voi lähestyä potentiaa-linsa minimiä (tarkkaa avaruudellista tilaa), ilman kasvavaa liike-energiaa. Ilmiö onmyös senkin taustalla, että hiukkanen voi siirtyä tai tunneloitua alueelle, jonne senei pitäisi liike-energiansa puolesta klassisessa mielessä päästä.

Kvanttiteoria sai oleellisesti lopullisen muotonsa vuosina 1925 ja 1926. Vuonna 1925Heisenberg kehitti oman matriisimekaniikkansa, jossa fysikaalisen systeemin koko-naisenergiaa kuvaa matriisi, jonka ominaisarvot vastaavat sallittuja energiatiloja.Tämä kehitys kulminoitui tammikuussa vuonna 1926, kun Schrödinger5 esitteli omaanimeään kantavan yhtälön. Schrödingerin yhtälö on osittaisdierentiaaliyhtälö, jo-ka kuvaa mikroskooppisen systeemin dynamiikkaa liittämällä siihen sen kvanttitilaakuvaavan aaltofunktion ψ(x, t). Kyseinen ψ on kompleksiarvoinen, eikä aluksi ollutmitenkään selvää, että miten tuota aaltoa pitäisi tosiasiallisesti tulkita. Schrödingeritse sovelsi yhtälöään menestyksekkäästi esimerkiksi vetyatomiin, muttei kuitenkaanymmärtänyt ratkaisuiden täyttä olemusta.

Samana vuonna kuin Schrödinger julkaisi yhtälönsä, niin Born6, tarkasteltuaan elekt-ronien sirontakulmia, ehdotti, että ψ tulkittaisiin todennäköisyysamplitudiksi ja re-aalinen arvo ψψ = |ψ|2 kuvaisi todennäköisyystiheyttä löytää hiukkanen paikasta x.Pian myös osoittautui, että todennäköisyystulkinnalla Schrödingerin ja Heisenber-gin kvanttimekaaniset mallit olivat matemaattisilta sisällöiltään yhtenevät, muttahelposti lähestyttävä aaltoyhtälö osoittautui kuitenkin suositummaksi kuin epävi-suaalinen matriisiformalismi. Bornin tulkinta hyväksyttiin nopeasti ja se merkitsimullistusta fysiikan lososissa perusteissa. Schrödingerin yhtälöä ei voida johtaamistään aiemmista tuloksista, joten siihen tulee suhtautua samoin kuin Newtoninlakeihin, jotka on todettu käytännössä hyvin toimiviksi. Näin muodostunut kvant-timekaniikan malli saavutti heti syntyessään menestystä ja kvanttimekaniikka onvuosien saatossa mullistanut fysiikan ja kemian tieteet sekä mahdollistanut huimanteknisen kehityksen ihmisten arkipäivässä. Luvussa 4 osoitetaan, että Heisenberginepätarkkuusperiaate on luonnollinen seuraus kvanttimekaniikan perusyhtälöstä sekäBornin tulkinnasta.

4Niels Henrik David Bohr (18851962) oli tanskalainen fyysikko, joka sai vuonna 1922 Nobelinpalkinnon semiklassisen atomimallinsa kehittämisestä.

5Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (18871961) oli itävaltalainen fyysikko, joka sailöydöstään vuoden 1933 Nobelin palkinnon. Kuuluisa yhtälö syntyi talvilomalla Alpeilla, jossa hänmajaili entisen heilansa kanssa. Vaimo Anny vietti joulun kotona Zürichissä. [7, s. 194196.]

6Max Born (18821970) oli saksalainen matemaatikko ja fyysikko, joka sai havainnostaan vuoden1954 Nobelin palkinnon.

4

Todennäköisyyteen pohjautuva fysiikan perusteoria on kuitenkin vieras klassisenfysiikan kannalta, ja osa tiedemiehistä, esim. Schrödinger tai de Broglie, puolustivoimakkaasti todennäköisyystulkinnan hylkäämää luonnon determinismiä. Einstein7

hyökkäsi kvanttimekaniikkaa vastaan kiivaasti, eikä koskaan suostunut hyväksymäänkvanttifysiikan tarjoamaa kuvaa todellisuudesta sen sisältämän perustavanlaatuisenepädeterministisyyden vuoksi.Klassisessa fysiikassa systeemin kehitys määräytyy sen alkutilasta ja siihen vaikut-tavista voimista. Kvanttimekaniikan mukaan näin ei ole ja maailman käyttäytymistäon mahdotonta ennustaa; alkutilasta voi laskea vain eri tulevaisuuksien todennäköi-syydet, eikä itse alkutilaakaan voi määrittää edes periaatteessa. Siten ei ole mitäänpaluuta vanhanajan absoluuttiseen determinismiin, jossa, kuten markiisi de Laplacetoivoi, tieto nykyhetkestä kertoisi kaiken niin menneestä kuin tulevastakin.

Tässä tutkielmassa kvanttimekaanista hiukkasta, esimerkiksi elektronia, kuvataanaluksi yksiulotteisesti x-akselin suunnassa etenevällä aaltofunktiolla, mutta kaikkimatemaattiset tulokset yleistyvät suoraan kolmiulotteiseen maailmaan. Hiukkasentai hiukkasista koostuvan systeemin tilaa kuvaa täydellisesti8 siihen liitettävä aalto-funktio, ja määrätty integraali b

a

|ψ(x, t)|2dx

antaa todennäköisyyden löytää hiukkanen väliltä [a, b]. Erityisesti ∞−∞|ψ(x, t)|2dx = 1,

sillä hiukkasen tulee löytyä jostakin päin avaruutta.

Havaintojen mukaan kvanttihiukkanen (kvanttiobjekti) käyttäytyy joskus kuten hiuk-kanen ja joskus kuten aalto. Joten kumpi se on? Kööpenhaminassa työskennelleen,ja Kööpenhaminan tulkinnan kvanttimekaniikasta esitelleen, Bohrin mukaan kvant-tihiukkanen on sitä, mitä sen mitataan olevan. Ihminen tulkitsee kvanttisuureidenmittausprosessia aina klassisin termein: kun jokin näyttää hiukkaselta, niin se onhiukkanen, ja kun jokin näyttää aallolta, niin se on aalto. Kvanttiobjekteilla on sekähiukkas- että aalto-ominaisuuksia aaltohiukkasdualismi ja yritys mitata tarkastihiukkasominaisuus jättää aalto-ominaisuuden määrittelemättömäksi, ja vastaavastiaalto-ominaisuuden tarkka määritys jättää hiukkasominaisuuden määrittelemättö-mäksi. Toisin sanoen hiukkas- ja aalto-ominaisuudet ovat komplementaarisia ominai-suuksia. Edelleen, Kööpenhaminan tulkinnan mukaan, on merkityksetöntä kuvail-la kvanttiobjektien ominaisuuksia, tai edes olemassaoloa, jos niitä ei olla mitattu.Bohr siis ilmoitti, ettei mikään ole todellista, jos sitä ei ole ensin jotenkin havaittu.Vaikka kyseinen tulkinta nostaa esiin havaitsijaa (Schrödingerin kissa -ajatuskoe)ja fysikaalista todellisuutta koskevia kysymyksiä, niin se on kuitenkin ylivoimaisestisuosituin malli, sillä se tarjoaa yleistasoisen selityksen, eikä oleta enempää kuin onmahdollista osoittaa toteen.

7Albert Einstein (18791955) oli yksi historian merkittävimmistä fyysikoista, joka loi tieteellisiäläpimurtoja usealla rintamalla. Tosin ainoan Nobelin palkinnon saksalaissyntyinen Einstein saivuonna 1921 kvanttimekaniikan tutkimuksesta (valosähköisen ilmiön selittäminen).

8Tämä ei ole aivan täsmällistä, sillä hiukkasilla on ominaisuus nimeltä spini, mutta tällä seikallaei ole roolia tässä tutkielmassa.

5

Muitakin tulkintoja kvanttimekaniikalle löytyy ja osa näistä saattaa olla hyvinkinmielikuvituksellisia, kuten monimaailmatulkinta, tai enemmän pragmaattisempia,kuten dekoherenssi, mutta tässä tutkielmassa ilmiöitä tarkastellaan ortodoksisestiKööpenhaminan tulkinnan näkökulmasta. Hyvä yleisteos eri tulkinnoista on [29].

Schrödingerin yhtälössä aaltofunktio kuvaa siis vain todennäköisyyttä hiukkasen pai-kalle, joten aineaalloista puhuminen voi olla hyvin harhaanjohtavaa. Vaikka ei olemitään väliä kuinka suurelle alueelle aaltofunktio on levittäytynyt, niin koskaan eiole havaittu, että yksittäisen hiukkasen massa tai varaus olisi myös levittäytynyttuolle alueelle. Päinvastoin: alkeishiukkaset, kuten elektroni, on aina havaittu piste-mäisinä kappaleina, ja jos tietylle alueelle on aseteltu ilmaisimia, niin havaitaan, ettähiukkanen saapuu yhdelle ja vain yhdelle ilmaisimelle ja saapuu sinne kokonaisena.Yhteys hiukkasen havaitsemisella ja aaltofunktiolla on tilastollinen ja jos toistetaansamalla tavalla valmisteltua mittausta uudestaan ja uudestaan, niin havaitaan, et-tä hiukkanen löytyy useimmin alueilta, joissa aaltofunktio on suuri ja vastaavastiharvemmin alueilta, joissa aaltofunktio on pieni.Mitattaessa aaltofunktio romahtaa välittömästi havaitulle tilalle, mutta tämän jäl-keen todennäköisyysaalto jälleen leviää Schrödingerin yhtälön aikakehityksen myötä.Jos nyt samalle hiukkaselle toistetaan mittaus välittömästi uudelleen, niin hiukkasentulee tietysti löytyä samasta paikasta, mutta Kööpenhaminan tulkinta ei edelleen-kään ota mitään kantaa siihen, missä hiukkanen oli ennen ensimmäistä mittausta.Satunnaisuus ei ole puute kvanttimekaniikassa, vaan kyseessä on luonnon sisäänra-kennettu perusominaisuus, ja klassinen maailma jossa elämme on vain utuinen kuvapinnan alla olevasta todellisuudesta.

Mutta miten hiukkanen sitten liikkuu avaruudessa paikasta toiseen? Kvanttimekaa-nisesti tämä ilmaistaan paikan todennäköisyyksien muutoksina kullakin alueella.Mekanismi tämän taustalla on aaltofunktion muutos Schrödingerin yhtälössä, mut-ta tämä tulkinta ei kerro mitään siitä, miten hiukkanen todellisuudessa liikkuu. Eiole mitään sellaista kuin klassinen liikerata, kuten esimerkiksi arkikäsitys lentävistätykinkuulista. Tilastollinen tulkinta on kuitenkin minimaalinen siinä mielessä, etteise oleta mitään kvanttihiukkasen perimmäisestä luonteesta: kun selitetään luonnostasaatavia havaintoja, niin mielenkiintoisia ovat vain mitattavissa olevat suureet.

Tämän tutkielman tarkoitus ei kuitenkaan ole alkaa enempää pohtia kvanttimeka-niikan ontologisia tai epistemologisia kysymyksiä, vaan voidaan tältä osin siteerataerästä kuuluisinta kvantti-ilmiöiden parissa työskennellyttä fyysikkoa:

Luulenpa, että on turvallista sanoa, ettei kukaan ymmärrä kvanttimekaniikkaa.

Richard Phillips Feynman (19181988)

6

2. PERUSKASITTEITA

Fyysikot huomasivat 1920-luvulla, että Hilbertin avaruus tarjoaa mainion rakenteenkuvaamaan modernia kvanttimekaniikkaa ja sen puitteissa johdannossa mainitutehdot kvanttimekaaniselle aaltofunktiolle voi luokitella seuraavasti: xψ, ψ′ ∈ L2(R)ja ‖ψ‖2 = 1. Hilbertin avaruus on myös täydellinen, mikä on tärkeä ominaisuuskvanttimekaniikan matemaattisen esityksen kannalta, sillä kaikille avaruuden (tila-avaruus) alkioille, jotka siis kuvaavat fysikaalisen systeemin tilaa, on löydettävissäortogonaalinen kanta. Kvanttimekaniikalle ominainen kvantittuminen ilmaisee sen,että systeemi voi sallia vain tiettyjä arvoja mitattaville suureille (esimerkiksi energiatai kulmaliikemäärä) ja tämän ominaisuuden kuvaaminen on mahdollista Hilbertinavaruudessa tarkasteltaessa operaattoreiden spektraaliesityksiä. Kvanttimekaniikkaon myös lineaarinen teoria, ja aaltojen superpositioperiaatteen mukaisesti tilaa eitarvitse kuvata vain yhden aaltofunktion avulla, vaan kahden tai useamman aal-lon summana. Juuri superpositioperiaate mahdollistaa monet kokeellisesti todetutkvanttimekaniikan ilmiöt, jotka vaikuttavat ristiriitaisilta klassisen maailmankuvankannalta.

Tässä luvussa esitetään pintapuolisesti kvanttimekaniikan kannalta tärkeää avaruut-ta L2(R) sekä lineaaristen operaattoreiden teoriaa. Aluksi määritellään tärkeä jouk-ko, jonka jäseniä ovat funktiot, eivätkä tavanomaiset vektoriavaruuden Cn alkiot.Joukossa I ⊂ R jatkuvat funktiot voi ajatella ääretönulotteisina vektoreina, joi-den komponentit ovat arvot f(x), kun x saa arvoja joukossa I. Kaikki edeltävänkaltaiset kompleksiarvoiset jatkuvat funktiot muodostavat joukon C0(I;C). Vekto-reiden summaus ja skalaarilla kertominen ovat tutut funktioiden yhteenlasku sekävakiolla kertominen. Vektorinormia tarkasteltaessa ollaan kiinnostuneita itseisarvonintegroituvuudesta, siis onko esimerkiksi funktion f(x) itseisarvon p:nnen potenssinintegraali äärellinen, ja näin saadaan, tutun kolmioepäyhtälön hengessä, metriikkamuodostetuksi. Tällaiseen joukkoon kuuluvat funktiot muodostavat joukon Lp(I).Kun integraali määritellään sopivalla tavalla, niin joukko Lp(I) voidaan osoittaatäydelliseksi integraalinorminsa suhteen.

2.1. Hilbertin avaruus L2.

Maaritelma 2.1Funktio f ∈ C0(I;C) kuuluu joukkoon Lp(I), p ≥ 1, jos

I

|f(x)|p dx < ∞.

Joukkoon L1(I) kuuluvia funktioita kutsutaan yleisesti integroituviksi ja joukkoonL2(I) kuuluvia neliöintegroituviksi.

Maaritelma 2.2Jos f ∈ Lp(I), niin voidaan merkitä

‖f‖p =

(I

|f(x)|p dx) 1

p

.

7

Maaritelma 2.3Olkoon funktiot f, g ∈ C0(I;C). Merkitään

(f, g) =

I

f(x)g(x) dx.

Joukolle L2(I) esitetään seuraavaksi kaksi tärkeää epäyhtälöä.

Lause 2.1 (CauchynSchwarzin epäyhtälö).Jos f ja g kuuluvat joukkoon L2(I), niin

‖fg‖1 ≤ ‖f‖2 ‖g‖2 .

Todistus :Väite selvästi pätee, jos f = 0 tai g = 0, joten voidaan olettaa, että f, g 6= 0.

Seuraavaksi todetaan, että (s− t)2 = s2 − 2st+ t2 ≥ 0, joten st ≤ s2/2 + t2/2.Valitaan s = |f(x)| / ‖f‖2 ja t = |g(x)| / ‖g‖2, jolloin

|f(x)|‖f‖2

|g(x)|‖g‖2

≤ 1

2

|f(x)|2

‖f‖22+

1

2

|g(x)|2

‖g‖22.

Integroidaan puolittain yli välin I:

‖fg‖1‖f‖2 ‖g‖2

=

I

|f(x)g(x)|‖f‖2 ‖g‖2

dx

=

I

|f(x)|‖f‖2

|g(x)|‖g‖2

dx

≤ 1

2

I

|f(x)|2

‖f‖22dx+

1

2

I

|g(x)|2

‖g‖22dx

=1

2(‖f‖22‖f‖22

+‖g‖22‖g‖22

)

= 1.

Siispä ‖fg‖1 ≤ ‖f‖2 ‖g‖2 .

Lause 2.2 (Minkowskin epäyhtälö).Jos f ja g kuuluvat joukkoon L2(I), niin

‖f + g‖2 ≤ ‖f‖2 + ‖g‖2 .

Todistus :Jos ‖f + g‖2 = 0, niin väite on totta. Oletetaan, että ‖f + g‖2 6= 0.

8

‖f + g‖22 =

I

|f(x) + g(x)|2 dx

=

I

|f(x) + g(x)| |f(x) + g(x)| dx

≤I

|f(x) + g(x)| |f(x)| dx+

I

|f(x) + g(x)| |g(x)| dx

≤ ‖f + g‖2 ‖f‖2 + ‖f + g‖2 ‖g‖2= ‖f + g‖2 (‖f‖2 + ‖g‖2).

Yllä on käytetty ensin kolmioepäyhtälöä sekä tämän jälkeen lausetta 2.1. Jakamallalauseke termillä ‖f + g‖2 saadaan haluttu muoto.

Jatkossa käytetään tavanomaisen Riemannin integraalin sijaan yleisempää Lebes-guen integraalia, joka kehitettiin 1900-luvun alkupuolella. Fourierin muunnoksen,ja etenkin sen käänteismuunnoksen, määritteleminen on selkeämpää kuin perintei-sellä Riemannin integraalilla. Lisäksi Lebesguen integraali mahdollistaa epätavalli-sempienkin funktioiden integraalien määrittämisen. Tällaisia ovat esimerkiksi origonläheisyydessä villisti käyttäytyvä funktio sin(1/x) sekä jotkin kaikkialla määritellytfunktiot, jotka eivät kuitenkaan ole Riemann-integroituvia millään välillä.Lebesguen integraali kykenee käsittelemään edeltävän kaltaisia erittäin epäsäännöl-lisiä funktioita ja vaatii vain heikkoa säännöllisyyttä, mitallisuutta, mutta tähäntekniseen seikkaan ei ole mahdollista paneutua kattavasti tässä esityksessä.

Maaritelma 2.4Funktiota f sanotaan nollafunktioksi, jos

|f | = 0.

Maaritelma 2.5Joukon I karakteristinen funktio on seuraavanlainen

XI(x) =

1, josx ∈ I,0, josx /∈ I.

Joukkoa I sanotaan nollamitalliseksi, jos sen karakteristinen funktio on nollafunktio.Joukko I ⊂ R on äärellisesti mitallinen, jos XI ∈ L1(I), ja kyseinen mitta vastaalukuarvoa m(I) = ‖XI‖1 . Joukko I ⊂ R on mitallinen, jos leikkaus I ∩ [−n, n] onäärellisesti mitallinen kaikilla n ∈ N. Yleisesti mitallisen joukon I mitta, joka eivälttämättä ole äärellinen, vastaa raja-arvoa m(I ∩ [−n, n]), kun n→∞.

Maaritelma 2.6Mitallisten joukkojen X ja Y välinen kuvaus f on mitallinen, jos jokaisen mitallisenjoukon U ⊂ Y esikuva f−1(U) ⊂ X on mitallinen.

Jokainen numeroituva joukko on nollamitallinen ja nollamitallisten joukkojen nume-roituva yhdiste tai osajoukko on myös nollamitallinen. On olemassa myös ylinume-roituvia joukkoja, jotka ovat nollamitallisia, esimerkiksi Cantorin joukko. Mitallisiajoukkoja ovat kaikki tavanomaiset joukot, esimerkiksi suljetut ja avoimet välit sekänäiden karteesiset tulot. Välin [a, b] mitta on yhtä kuin välin pituus b− a, ja aivan

9

erityisesti yksittäisen pisteen, siis välin [a, a], mitta on nolla. Yleisemmin avaruu-dessa Rn mitta vastaa joukon volyymia ja pistevieraiden joukkojen numeroituvanyhdisteen mitta on yhtä kuin kyseisten osajoukkojen mittojen summa. Käytännössäkaikki avaruuden Rn funktiot, joita fyysikoiden täytyy käsitellä, ovat mitallisia. Syytähän on se, että on erittäin vaikeaa esittää ei-mitallista funktiota tai edes yhtä ei-mitallista joukkoa: on välttämätöntä jossain vaiheessa hyödyntää valinta-aksioomaa,eikä tämä ole enää kovinkaan fysikaalinen tilanne. Kuuluisa BanachinTarskin para-doksi näyttää, että ei-mitallisilla joukoilla on joitain todella erikoisia ominaisuuksia:Tarkastellaan palloa B ⊂ R3, jonka säde on yksi. On olemassa tapa jakaa pallo seit-semään erilliseen palaan B = B1∪ . . . ∪B7 siten, että vain siirtelemällä ja kiertämäl-lä paloja voidaan muodostaa kaksi erillistä palloa, joiden säde on yksi! Vaikuttaa,että tulos olisi vastoin fysiikan lakeja, mutta toisaalta juuri tästä onkin kyse: pa-lat Bi, tai ainakin jotkin niistä, eivät ole mitallisia ja siten tilavuuden määritelmäei enää vastaa todellisuutta9. Aiheesta lisää lähteessä [18]. Lebesguen integraalistaon myös todettava, että kyseessä on Riemannin integraalin laajennus ja jos funktioon Riemann-integroituva, niin se on myös Lebesgue-integroituva ja nämä kaksi in-tegraalin arvoa ovat samat, joten jatkossa esitettäviin integraaleihin suhtaudutaansamalla tavalla kuin tuttuun Riemannin integraaliin.

Jotta saadaan määritelmä 2.2 vastaamaan tavanomaista normia, niin tulee tarkas-tella eri tapauksia, joissa ‖f‖p = 0. Se, että normi häviää, ei määritä funktiotaf yksikäsitteisesti, sillä kaikki ne funktiot, jotka saavat vain yksittäisissä pisteissänollasta eroavia arvoja, omaavat integraalin arvon nolla.

Maaritelma 2.7Olkoon funktiot f ja g määritelty joukossa I ⊂ R. Jos niiden pisteiden joukko, jossaf(x) 6= g(x) on nollamitallinen, niin voidaan sanoa, että f on g melkein kaikkialla.Edeltävää merkitään f = g m.k.

Nyt saadaan määritelmä 2.2 mielekkäämmäksi normin kannalta, kun samaistetaanjoukko funktioita: funktioita f ja g kutsutaan ekvivalenteiksi, jos funktio f − g onnollafunktio. Funktion f ∈ L1(I) ekvivalenssiluokkaa merkitään [f ]:llä;

[f ] :=g ∈ L1(I) : f = g m.k.

.

Mainitaan seuraavaksi kaksi hyödyllistä lausetta, jotka kertovat milloin integroimi-sen ja raja-arvon ottamisen järjestys voidaan vaihtaa. Lauseiden avulla voidaan esi-merkiksi osoittaa tärkeä tulos, joka antaa avaruudelle L2(R) ortogonaalisista funk-tioista muodostetun kannan, jonka avulla on mahdollista approksimoida jokaistafunktiota f ∈ L2(R) mielivaltaisen tarkasti. Lisäksi L2(R) on separoituva, eli silläon numeroituva ja tiheä osajoukko. Lauseen 2.3 todistus löytyy lähteestä [2, s. 50]ja lauseen 2.4 lähteestä [2, s. 54]. Lause 2.4 ei päde Riemannin integraalille, silläRiemann-integroituvien funktioiden rajafunktio ei aina ole Riemann-integroituva.

Lause 2.3 (Monotonisen konvergenssin lause).Oletetaan, että fn, n ∈ N, on jono ei-negatiivisia mitallisia funktioita siten, ettäfj ≤ fj+1, kaikilla j ∈ N, ja lim

n→∞fn = f . Silloin lim

n→∞

fn =

limn→∞

fn =f .

9Vaikka modernissa spekulatiivisessa fysiikassa onkin melko hurjia visioita, kuten multiversumi

tai 11-ulotteinen säieteoria, niin alkemiaa ei edelleenkään kelpuuteta tieteeksi.

10

Lause 2.4 (Dominoidun konvergenssin lause).Oletetaan, että jono fn, n ∈ N, integroituvia funktioita suppenee m.k. kohdenfunktiota f ja on olemassa integroituva ei-negatiivinen funktio φ siten, että |fn| ≤ φm.k., kaikilla n ∈ N. Silloin f on integroituva ja lim

n→∞

fn =

limn→∞

fn =f .

Lause 2.5Kompaktikantajaisten10 ja jatkuvien funktioiden joukko C0

0(R) on tiheä neliöintegroi-tuvien funktioiden joukossa L2-normin suhteen.

Lause 2.5 on helppo ymmärtää, sillä L2-funktion tulee olla jatkuva ja hävitä ää-rettömyydessä. Todistus löytyy lähteestä [27, s. 136] ja se perustuu askelfunktioillatehtävään approksimaatioon sekä dominoidun konvergenssin lauseeseen.

Maaritelma 2.8Olkoon vektoriavaruus V sisätuloavaruus. Jos V on täydellinen sisätulon indusoimannormin suhteen, niin sitä kutsutaan Hilbertin avaruudeksi.

Lause 2.6 (RieszinFischerin lause).L2(R) on Hilbertin avaruus.

Todistus : [2, s. 183].Määritelmän 2.3 ja lauseen 2.2 perusteella on selvää, että kyseessä on normeerat-tu vektoriavaruus. Tunnetusti normeerattu vektoriavaruus V on täydellinen, jos javain jos jokainen avaruudessa V itseisesti suppeneva sarja suppenee. Oletetaan, ettäfk ⊂ L2 ja

∑∞1 ‖fk‖2 = B < ∞. Olkoon Gn =

∑n1 |fk| ja G =

∑∞1 |fk|. Siten

lauseen 2.2 nojalla ‖Gn‖2 ≤∑n

1 ‖fk‖2 ≤ B, kaikilla n ∈ N, joten lauseen 2.3 mu-kaan

G2 = limn→∞

G2n ≤ B2. Siten G ∈ L2(R), ja erityisesti G(x) < ∞ m.k.,

joka ilmaisee, että∑∞

1 fk suppenee m.k. Merkitään edeltävää summaa termillä F ,

jolloin |F | ≤ G ja edelleen F ∈ L2(R). Lisäksi |F −∑n

1 fk|2 ≤ (2G)2 ∈ L1, joten

lauseen 2.4 perusteella

limn→∞

∥∥∥∥∥F −n∑k=1

fk

∥∥∥∥∥2

2

= limn→∞

∣∣∣∣∣F −n∑k=1

fk

∣∣∣∣∣2

=

∣∣∣∣∣F − limn→∞

n∑k=1

fk

∣∣∣∣∣2

= 0,

joten sarjat∑∞

1 fk suppenevat L2-normin suhteen. Siispä L2(R) on täydellinen.

Esimerkki 2.1Osoitetaan, että jono en on ortonormaali joukossa L2([−π, π]).

en := 1√2πe−inx : n ∈ Z.

Lasketaan suoraan sisätulon avulla, kun n 6= m,

10Funktion f kantaja määritellään sulkeumana seuraavasti: supp(f) := x ∈ R : f(x) 6= 0.

11

(1√2πe−inx,

1√2πe−imx

)=

1

2π

π

−πe−inxe−imx dx

=1

2π

[1

i(m− n)ei(m−n)x

]π−π

= 0.

Kun n = m :

∥∥∥∥ 1√2πe−inx

∥∥∥∥2

=

(1

2π

π

−πe−inxe−inx dx

) 12

= 1.

Lause 2.7Jono en on joukon L2([−π, π]) ortonormaali kanta.

Edeltävän lauseen 2.7 todistus löytyy lähteestä [27, kappale 19.4] ja se perustuuWeierstrassin approksimaatiolauseeseen. Todistuksen idea on erittäin intuitiivinen:jokaista f ∈ C0([−π, π]) voidaan approksimoida jonon en lineaarikombinaatiolla,ja koska C0([−π, π]) on L2-normin suhteen tiheä joukossa L2([−π, π]), niin tiheysperiytyy jonon en lineaarikombinaatiolle, joka on siten joukon L2([−π, π]) orto-normaali kanta.

Lause 2.8 (Fubinin lause).Olkoon (a, b) ja (c, d) rajoitettuja tai rajoittamattomia joukon R välejä sekä J =(a, b)× (c, d). Jos f on integroituva funktio joukossa J , niin funktio

F (x) =

d

c

f(x, y) dy

on määritelty m.k. välillä (a, b), F on integroituva välillä (a, b) sekä on voimassaJ

f =

b

a

F =

b

a

d

c

f(x, y) dydx.

Fubinin lauseen todistus löytyy lähteestä [1, s. 80]. Eräs Riemannin integraalin puuteon se, että jos integroituva funktio f(x, y) rajoitetaan toiseen muuttujistaan, niinnäin saatu funktio ei välttämättä ole enää integroituva, ks. aiheesta lisää [31, s. 4].Lebesguen integraali on siten paljon käyttökelpoisempi teoreettisissa tarkasteluissa.

2.2. Lineaariset operaattorit.

Seuraavaksi tutustutaan hyvin lyhyesti lineaarisiin operaattoreihin. Kvanttimekanii-kan matemaattisessa esityksessä lineaarisilla operaattoreilla on keskeinen merkitys,sillä kaikki fysikaaliset mitattavat suureet on kuvattu niiden avulla. Matemaatti-sesti lineaariset operaattorit ovat kuvauksia vektoriavaruudelta toiselle siten, ettäavaruuden lineaarinen rakenne säilyy.

Maaritelma 2.9Kuvausta T : D(T ) → H, missä D(T ) on Hilbertin avaruuden H lineaarinen ali-avaruus, kutsutaan lineaariseksi operaattoriksi, jos

T (aψ + bϕ) = aTψ + bTϕ, ∀ψ, ϕ ∈ D(T ) ja a, b ∈ C.

12

Kaksi lineaarista operaattoria S ja T voidaan myös kertoa keskenään, jolloin tuloon määritelty yhdistettynä kuvauksena

(ST )ϕ = S Tϕ = S(Tϕ).

Tulon ST määrittelyjoukko ilmaistaan tutusti:

D(ST ) := ψ ∈ D(T ) : Tψ ∈ D(S).

Maaritelma 2.10Lineaarinen operaattori T on rajoitettu, jos on olemassa sellainen vakio c > 0, että‖Tψ‖ ≤ c ‖ψ‖, kaikilla ψ ∈ D(T ).

Edellisessä määritelmässä pienin mahdollinen luku c on operaattorin T normi,

‖T‖ := sup‖ψ‖≤1

‖Tψ‖ .

Jos ylläoleva supremum ei ole olemassa, niin lineaarista operaattoria T kutsutaanrajoittamattomaksi. Operaattorin T sanotaan olevan isometria, jos kuvaus säilyttäänormin; ‖Tψ‖ = ‖ψ‖ , ∀ψ ∈ D(T ). Operaattorin T jatkuvuus määritellään tutustisuppenemisen avulla; ‖Tψn − Tψ‖ → 0, kun ‖ψn − ψ‖ → 0, missä ψn, ψ ∈ D(T ).

Lause 2.9Lineaarinen operaattori T on tasaisesti jatkuva, jos ja vain jos T on rajoitettu.

Todistus : [1, s. 27].Rajoittuvuus ilmaisee tasaisen jatkuvuuden, sillä normin määritelmän avulla

‖Tφ− Tψ‖ ≤ ‖T‖ ‖φ− ψ‖ , φ, ψ ∈ D(T ).

Käänteisesti, jos T ei olisi rajoitettu, niin silloin jokaisella n ∈ N löytyisi ϕn ∈ D(T )siten, että ‖Tϕn‖ > n ‖ϕn‖. Määritellään jono ξn = ϕn/(n ‖ϕn‖), jolloin ξn → 0,kun n → ∞. Toisaalta ‖Tξn‖ > 1, kaikilla n ∈ N, joten T ei voi olla jatkuva taitasaisesti jatkuva.

Oletetaan, että suppenevan jonon ψn ⊂ D(T ) ⊂ H rajapiste ψ ei kuulu tasaisestijatkuvan lineaarisen operaattorin T määrittelyjoukkoon. Tästä huolimatta voidaankuvaus Tψ määritellä luonnollisella, ja lauseen 2.9 avulla, yksikäsitteisellä tavalla:

Tψ := limn→∞

Tψn.

Näin voidaan laajentaa operaattori T suurempaan määrittelyjoukkoon, johon kuu-luvat kaikkien alkuperäisen määrittelyjoukon D(T ) suppenevien jonojen rajapisteet,ja tämä prosessi säilyttää operaattorinormin11 sekä vektoriavaruuden rakenteen. JosD(T ) on tiheä joukossa H, niin tämä laajennettu määrittelyjoukko on Hilbertinavaruus H. Kaikkien kvanttimekaniikan fysikaalisten operaattoreiden on havaittuolevan tiheästi määriteltyjä Hilbertin avaruudessa L2(R).

11Vektoreiden summauksen ja vakiolla kertomisen jatkuvuudesta seuraa, että tämä laajennuson lineaarinen. Lopuksi normin jatkuvuudesta päätellään, ettei normi voi kasvaa tai vähetä.

13

Maaritelma 2.11Joukko A on tiheä joukossa H, jos jokainen vektori ϕ ∈ H on suppenevan jononϕn ⊂ A rajapiste.

Olkoon A Hilbertin avaruuden H osajoukko. Jos lisätään joukkoon A kaikki senrajapisteet, niin saadaan muodostettua joukon A sulkeuma, jota merkitään A:lla.Joukko, joka sisältää kaikki rajapisteensä on suljettu. Joukko A on tiheä joukossaH, jos ja vain jos A = H.

Olkoon T lineaarinen operaattori, jonka määrittelyjoukko on D(T ). OperaattoristaT muodostettu uusi operaattori, jonka määrittelyjoukko on joukon D(T ) sulkeuma,on puolestaan operaattorin T sulkeuma. Jos alkuperäinen määrittelyjoukko on tiheäjoukossa H, niin operaattorin T sulkeuma on määritelty kaikkialla joukossa H. Seu-raavassa luvussa annetaan esimerkki tiheästi määritellyn lineaarisen operaattorinlaajentamisesta koko Hilbertin avaruuteen, kun Fourier-muunnos määritellään jou-kossa L2(R) approksimoimalla joukkoon L1(R) kuuluvilla funktioilla, jotka siis ovatFourier-muunnoksen alkuperäinen määrittelyjoukko. Täsmällisemmin todetaan, et-tä joukko L1(R) ∩ L2(R) ⊂ L1(R) on tiheä joukossa L2(R), kun approksimoidaanL2-normilla.

Maaritelma 2.12Olkoon joukossa D(T ) ⊂ H määritelty lineaarinen operaattori T rajoitettu. T :nadjungoitua operaattoria merkitään termillä T ∗, jolle on voimassa

(ψ, Tϕ) = (T ∗ψ, ϕ), ∀ψ, ϕ ∈ D(T ).

T ∗ määritellään siis sisätulon avulla. Lisäksi huomataan, että D(T ) ⊂ D(T ∗), silläselvästi operaattorin T ∗ määrittelyjoukko on vähintään D(T ); T ∗ on T :n laajennus.Edeltävän sisätulon kompleksikonjugaatti on vastaavasti

(Tϕ, ψ) = (ϕ, T ∗ψ), ∀ψ, ϕ ∈ D(T ).

Jos S ja T ovat kaksi rajoitettua lineaarista operaattoria, niin määritelmästä seuraavälittömästi: (ψ, (ST )ϕ) = (S∗ψ, Tϕ) = (T ∗S∗ψ, ϕ);

(ST )∗ = T ∗S∗.

Lisäksi voidaan näyttää, että T ∗ on yksikäsitteisesti määritelty, rajoitettu, määritel-ty kaikkialla joukossa D(T ) sekä ‖T ∗‖ = ‖T‖. Edeltäviä ominaisuuksia ei voi johtaasuoraan, vaan todistaminen vaatii seuraavaa tärkeää tulosta, jonka todistus löytyyesimerkiksi lähteestä [1, s. 133], ja josta esitetyt ominaisuudet seuraavat melko suo-raan edeltävien lauseiden ja määritelmien avulla.

Lause 2.10 (Rieszin esityslause).Olkoon f jatkuva lineaarinen kuvaus f : H → C. On olemassa yksikäsitteinen z ∈ Hsiten, että

f(x) = (x, z), ∀x ∈ H.

Lisäksi ‖f‖ = ‖z‖.

14

Tyypillisesti operaattorit, jotka kuvaavat fysikaalisia mitattavia suureita, ovat ra-joittamattomia ja ne ovat määriteltyjä vain jossain Hilbertin avaruuden tiheässäaliavaruudessa. Esimerkiksi liikemäärää kuvaava derivaattaoperaattori P = ∂/∂xtai paikkaoperaattori X = x ovat rajoittamattomia12. Tämä tilanne vaatii hiemanmuokkaamista adjungoidun operaattorin määritelmään.

Maaritelma 2.13Olkoon joukossa D(T ) määritelty lineaarinen operaattori T tiheä joukossa H. T :nadjungoitu operaattori on lineaarinen operaattori T ∗, jolla on ominaisuus

(ψ, Tϕ) = (T ∗ψ, ϕ),

kaikilla ϕ ∈ D(T ) ja kaikilla ψ ∈ D(T ∗).

Nyt operaattorin T ∗ määrittelyjoukko on annettu seuraavasti: ψ on joukossa D(T ∗),jos ja vain jos löytyy sellainen vektori ξ ∈ H siten, että (ξ, ϕ) = (ψ, Tϕ), kaikillaϕ ∈ D(T ). Ehto, että D(T ) on tiheä, takaa Rieszin esityslauseen kanssa, että vektoriξ edeltävässä yhtälössä on määritelty yksikäsitteisesti vektorilla ψ. Siten T ∗ on hyvinmääritelty asettamalla T ∗ψ = ξ. Kaksoisadjungantti (T ∗)∗ on olemassa, jos D(T ∗)on tiheä. Tässä tapauksessa (T ∗)∗ on T :n laajennus. Aiheesta lisää [1, kappale 4.11].

Maaritelma 2.14Operaattori T on symmetrinen, jos T ∗ = T , kun D(T ) ⊂ D(T ∗). Operaattori Ton antisymmetrinen, jos T ∗ = −T , kun D(T ) ⊂ D(T ∗). Operaattori T on lisäksiitseadjungoituva, jos T ∗ = T , kun D(T ) = D(T ∗).

Kvanttimekaniikan fysikaaliset operaattorit ovat itseadjungoituvia ja tiheästi mää-riteltyjä joukossa L2(R), mutta operaattoria on huomattavasti vaikeampi osoittaaitseadjungoiduksi kuin symmetriseksi13, ks. [13, luku 2; 26, luku 2].

Lause 2.11Lineaarista operaattoria T vastaava sisätulo (Tψ, ψ), ∀ψ ∈ D(T ), on reaalinen,jos T on symmetrinen. Vastaavasti sisätulo on puhtaasti imaginaarinen, jos T onantisymmetrinen.

Todistus :Jos T on symmetrinen, niin (Tψ, ψ) = (ψ, Tψ) = (Tψ, ψ), siis sisätulo on reaalinen.

Jos taas T on antisymmetrinen, niin (Tψ, ψ) = (ψ, Tψ) = −(Tψ, ψ) ja sisätulo onpuhtaasti imaginaarinen.

12Helppo löytää esimerkki funktiosta ψ(x) siten, että ψ ∈ L2(R), mutta xψ /∈ L2(R).13Symmetrisen operaattorin ominaisvektorit (kvanttimekaniikan ominaistilat) virittävät kan-

nan äärellisulotteisessa avaruudessa, mutta eivät ääretönulotteisessa ja separoituvassa Hilbertinavaruudessa. Siten vaaditaan itseadjungoituvuutta, joka takaa tärkeän ortonormaalin kannan ava-ruudessa L2, sillä kvanttimekaniikassa operaattoria vastaavan mittauksen tulos vastaa aina yhtäominaistilaa. Tämä onkin kvanttiteoriassa outoa, sillä kun mittaus tehdään, niin ominaistilojenvirittämä systeemi romahtaa välittömästi yhdelle ominaistilalle, joka antaa vastaavan ominaisar-von. Kyseiset ominaisarvot qi vastaavat mittaustapahtuman vaihtoehtoisia numeerisia tuloksia jaominaistilat φi määräävät niiden todennäköisyyden lukuarvolla |(ψ, φi)|2, kun ‖ψ‖2 = ‖φi‖2 = 1.

15

Kahden operaattorin tulo ei yleisesti kommutoi ja tämä seikka on epätarkkuus-periaatteen keskiössä operaattorialgebran tasolla. Seuraavat operaattorifunktiot onmääritelty operaattoreiden ST ja TS määrittelyjoukkojen leikkauksessa.

Maaritelma 2.15 (Kommutaattori).Operaattoreiden S ja T kommutaattori määritellään seuraavasti

[ST ] = ST − TS.

Jos edellinen lauseke häviää, niin operaattoreiden sanotaan kommutoivan14. Lisäksivoidaan määritellä antikommutaattori : ST := ST + TS.

Lause 2.12Kahden symmetrisen operaattorin S ja T tulo on symmetrinen, jos ja vain jos ope-raattorit kommutoivat.

Todistus :Olkoot S ja T kaksi symmetristä operaattoria. Tällöin

(STψ, ϕ) = (Tψ, Sϕ) = (ψ, TSϕ).

Siispä, jos ST = TS, niin ST on symmetrinen. Käänteisesti, jos ST on symmetrinen,niin ylläolevasta saadaan ST = (ST )∗ = TS.

Lause 2.13Kahden symmetrisen operaattorin S ja T tulo voidaan hajoittaa symmetriseen jaantisymmetriseen osaan

ST =1

2S, T+

1

2[S, T ].

Todistus :Symmetrisyyden nojalla S, T∗ = (ST )∗+(TS)∗ = ST +TS = S, T on symmet-rinen, ja [S, T ]∗ = (ST )∗ − (TS)∗ = TS − ST = −[S, T ] antisymmetrinen.

Määritellään tämän kappaleen lopuksi isomorsmi, jota voidaan yleisellä tasollapitää avaruuden rakenteen säilyttävänä lineaarisena ja bijektiivisenä kuvauksena.

Maaritelma 2.16Kaksi Hilbertin avaruutta H ja H′ ovat isomorsia ja kuvaus T on isomorsmi, joson olemassa lineaarinen bijektio T : H → H′ siten, että

(Tψ, Tϕ) = (ψ, ϕ), ∀ψ, ϕ ∈ H.

14Jos kaksi lineaarista operaattoria kommutoi, eli ovat yhtäaikaa diagonalisoituvat, niin niilläon samat ominaisvektorit. Lineaarisia operaattoreita voidaan kuvata matriiseilla ja n×n-matriisitA ja B ovat yhtäaikaa diagonalisoituvat, jos löytyy kääntyvä matriisi S siten, että sekä S−1AS ettäS−1BS ovat diagonaalimatriiseita. Koska (S−1AS)(S−1BS) = (S−1BS)(S−1AS), niin AB = BA.

16

3. FOURIER−MUUNNOS

Fourier-muunnos, ja samalla koko Fourier-analyysi15, on erittäin tärkeä menetelmämonella matematiikan ja fysiikan osa-alueella. Kvanttimekaniikassa Fourier-analyysion välttämätön väline niin teorian tulkinnalle kuin ongelmien ratkaisemisellekin.Tässä tutkielmassa muunnoksen avulla saadaan kvanttimekaniikan keskeinen tulosSchrödingerin yhtälö ratkaistua integraalimuodossa, saadaan esitysmuoto tärkeilleodotusarvoille sekä lisäksi osoittautuu, että Heisenbergin epätarkkuusperiaate onvain Fourier-muunnosta koskevan matemaattisen tuloksen fysikaalinen sovellutus.

Fourier-analyysi perustuu ideaan, että miltei jokainen funktio voidaan esittää tri-gonometristen funktioiden summana, superpositiona. Tässä luvussa tarkastellaankuitenkin suoraan Fourier-muunnosta, sillä kattavan esityksen antaminen muodos-tuisi aivan liian laajaksi. Kyseinen integraalimuunnos koskee koko reaalilukuväliä,joten jatkossa merkitään Lp(R) := Lp. Fourier-muunnos F on lineaarinen kuvausHilbertin avaruuden integroituvien funktioiden joukosta funktioiksi, jotka kuuluvatedelleen samaan Hilbertin avaruuteen, joten F on esimerkki lineaarisesta operaatto-rista. Aluksi määritellään muunnos integroituvien funktioiden joukossa ja kun tämäon esitetty, niin kyseinen muunnos voidaan edelleen laajentaa koskemaan kvantti-mekaniikan kannalta mielenkiintoista avaruutta L2.

Tutkielmassa tarkastellaan sekä tila-avaruuden (Hilbertin avaruus) vektoreita ettävastaavia aaltofunktioita niiden integraalimuodoissa, jotka siis ilmaistaan Fourier-muunnoksen avulla. Seuraavaksi esiintyvät funktiot ovat tavanomaisia funktioita,mutta luvussa 4 käsitellään fysikaalisia olioita, kun tutustutaan kvanttimekaanisenkappaleen dynamiikkaa kuvaavaan Schrödingerin yhtälöön.

3.1. Fourier-muunnos.

Maaritelma 3.1 (Fourier-muunnos).

Jos f ∈ L1, niin funktion f Fourier-muunnosta merkitään Ff = f ja muunnosmääritellään integraalina

(3.1) f(k) =1√2π

∞−∞

e−ikxf(x) dx.

Muuttuja k ∈ R kuuluu käänteisavaruuteen, Fourierin avaruuteen tai kvantti-mekaniikan puitteissa liikemääräavaruuteen. Näin tehdään ero paikka-avaruudenkanssa, mikä muodostuu muuttujista x ∈ R. Vastaavasti funktiota f kutsutaanfunktioksi paikka-avaruudessa ja funktiota f funktioksi käänteisavaruudessa.

Seuraavaksi voidaan todistaa Fourier-muunnokselle joukko ominaisuuksia ja jatkonkannalta tärkeitä laskusääntöjä.

15Jean Baptiste Joseph Fourier (17681830) oli merkittävä ranskalainen matemaatikko, fyysikkoja insinööri, joka vaikutti voimakkaasti matemaattisen fysiikan kehitykseen. Lisäksi hän oli mm.ensimmäinen tiedemies, joka ennusti kasvihuoneilmiön. Napoleonin kaverina hän johti Eqyptinsotaretkellä tieteellistä retkikuntaa, joka mm. löysi eqyptologiassa tärkeän Rosettan kiven. Ranskanvallankumouksen pyörteissä Fourier onnistui välttämään vain täpärästi giljotiinin. [28, luku 1.]

17

Lause 3.1Jos f ∈ L1, niin Fourier-muunnokselle f pätevät seuraavat ehdot

(1.) f(k) on rajoitettu, kun k ∈ R.(2.) f(k) on tasaisesti jatkuva, kun k ∈ R.

Todistus : [1, s. 259].(1.) Rajoittuneisuus seuraa suoraan määritelmästä, sillä

∣∣∣f(k)∣∣∣ =

∣∣∣∣ 1√2π

∞−∞

e−ikxf(x) dx

∣∣∣∣≤ 1√

2π

∞−∞

∣∣e−ikx∣∣ |f(x)| dx

=1√2π‖f‖1 .

Funktion f L1-normi on äärellinen, joten f(k) on rajoitettu; F on siten rajoitettulineaarinen operaattori.

(2.) Olkoon f ∈ L1. Kaikille k, h ∈ R on voimassa∣∣∣f(k + h)− f(k)∣∣∣ =

1√2π

∣∣∣∣ ∞−∞

e−i(k+h)xf(x) dx− ∞−∞

e−ikxf(x) dx

∣∣∣∣≤ 1√

2π

∞−∞

∣∣e−ikx∣∣ ∣∣e−ihx − 1∣∣ |f(x)| dx

≤ 1√2π

∞−∞

∣∣e−ihx − 1∣∣ |f(x)| dx.

Koska ∣∣e−ihx − 1∣∣ |f(x)| ≤ 2 |f(x)|

ja

limh→0

∣∣e−ihx − 1∣∣ = 0, ∀x ∈ R,

niin voidaan päätellä lauseen 2.4 avulla, että

limh→0

1√2π

∞−∞

∣∣e−ihx − 1∣∣ |f(x)| dx = 0.

Edeltävä suppeneminen on tasaista, sillä integraali on riippumaton muuttujasta k.Mainitaan lisäksi, että jatkuvuudesta seuraa myös muunnoksen f mitallisuus.

Lause 3.2 (RiemanninLebesguen lause).

Jos f ∈ L1, niin lim|k|→∞

∣∣∣f(k)∣∣∣ = 0.

Todistus : [1, s. 260].

18

Ensin huomataan, että e−ikx = −e−ikx−iπ, siispä

f(k) = − 1√2π

∞−∞

e−ik(x+πk)f(x) dx, (x′ = x+

π

k)

= − 1√2π

∞−∞

e−ikx′f(x′ − π

k) dx′.

Nyt muunnos voidaan antaa hajoitelmana

f(k) =1

2

f(k) + f(k)

=

1

2

1√2π

∞−∞

e−ikxf(x) dx− 1√2π

∞−∞

e−ikxf(x− π

k) dx

=

1

2√

2π

∞−∞

e−ikx[f(x)− f(x− π

k)]dx

≤ 1

2√

2π

∞−∞

∣∣e−ikx∣∣ ∣∣∣f(x)− f(x− π

k)∣∣∣ dx

≤ 1

2√

2π

∞−∞

∣∣∣f(x)− f(x− π

k)∣∣∣ dx.

Tästä päätellään, että

lim|k|→∞

∣∣∣f(k)∣∣∣ ≤ lim

|k|→∞

1

2√

2π

∞−∞

∣∣∣f(x)− f(x− π

k)∣∣∣ dx = 0.

Edeltävän integraalin raja-arvon laskeminen ei ole aivan selvää, eikä tapauksessavoi soveltaa dominoidun konvergenssin lausetta, mutta tarvittava translaatioidenjatkuvuutta joukossa L1 koskeva tulos löytyy vaikkapa lähteestä [1, s. 50].

Lause 3.3Jos f ∈ L1 ja α ∈ R, niin

(1.) (modulaatio) Feiαxf(x) = f(k − α).

(2.) (translaatio) Ff(x− α) = e−iαkf(k).

(3.) (skaalaus) Ff(αx) = 1αf( k

α), α > 0.

Todistus :(1.)

Feiαxf(x) =1√2π

∞−∞

e−ikxeiαxf(x) dx

=1√2π

∞−∞

e−i(k−α)xf(x) dx = f(k − α).

19

(2.)

Ff(x− α) =1√2π

∞−∞

e−ikxf(x− α) dx, (ξ = x− α)

=1√2π

∞−∞

e−ik(ξ+α)f(ξ) dξ

= e−iαkf(k).

(3.)

Ff(αx) =1√2π

∞−∞

e−ikxf(αx) dx, (ξ = αx)

=1√2π

∞−∞

e−ikαξf(ξ) d(ξ/α)

=1

αf(k

α).

Eräs Fourier-muunnoksen tärkeimmistä ominaisuuksista on se, että derivoiminenvoidaan muuntaa algebralliseksi laskutoimitukseksi, ja tästä on tietysti hyötyä esim.dierentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa.

Lause 3.4Jos f on jatkuva, paloittain derivoituva funktio, f, f ′ ∈ L1, ja lim

|x|→∞f(x) = 0, niin

Ff ′ = ikFf.

Todistus :Yksinkertainen osittaisintegroiminen antaa tuloksen

Ff ′ =1√2π

∞−∞

e−ikxf ′(x) dx

=1√2π

[e−ikxf(x)

]∞−∞ +

ik√2π

∞−∞

e−ikxf(x) dx = 0 + ikf(k).

Lause 3.4 pätee yleisemminkin ja on helppo osoittaa toistuvan lauseen 3.4 käytön taitoistuvan osittaisintegroinnin sekä matemaattisen induktion avulla seuraava tulos.

Lause 3.5Jos f on jatkuva, n-kertaa paloittain derivoituva funktio, f, f ′, ..., f (n) ∈ L1, jalim|x|→∞

f (k)(x) = 0, kun k ∈ 0, 1, 2, ..., n− 1, niin

Ff (n) = (ik)nFf.

20

3.2. Fourier-muunnos avaruudessa L2.

Toistaiseksi ollaan esitelty Fourier-muunnosta joukossa L1, mutta tutkielman tavoit-teena on tarkastella kvanttimekaniikan matemaattisen rakenteen kannalta oleellistajoukkoa L2. Kun siirrytään tutkimaan Fourier-muunnosta neliöintegroituvien funk-tioiden tapauksessa, niin törmätään heti ongelmiin: integraali (3.1) ei välttämättäsuppene, jos f on joukossa L2 muttei joukossa L1. On kuitenkin mahdollista laajen-taa Fourier-muunnos surjektiivisesti joukosta L1 ∩ L2 joukkoon L2.Seuraava tulos on L2-teorian kannalta tärkeä, sillä se kertoo, että jos jatkuva funktio

f häviää rajoitetun välin ulkopuolella, niin ‖f‖2 =∥∥∥f∥∥∥

2.

Lause 3.6 (Plancherelin lause).

Jos f ∈ C00(R), niin f ∈ L2 ja ‖f‖2 =

∥∥∥f∥∥∥2.

Todistus : Laajennettu versio lähteestä [1, s. 263].Oletetaan, että f = 0 välin [−π, π] ulkopuolella. Koska jono en on ortonormaalikanta, lause 2.7, niin funktio voidaan esittää lineaarikombinaationa seuraavasti16

f =∞∑

n=−∞

(f, en)en, jossa (en, em) = δnm.

Nyt voidaan määrittää normi sisätulon avulla

‖f‖22 = (f, f)

= (∞∑

n=−∞

(f, en)en,∞∑

m=−∞

(f, em)em)

=∞∑

n=−∞

∞∑m=−∞

(f, en)(f, em)(en, em)

=∞∑

n=−∞

(f, en)(f, en)

=∞∑

n=−∞

|(f, en)|2

=∞∑

n=−∞

∣∣∣∣ ∞−∞

f(x)1√2πeinx dx

∣∣∣∣2 , (k = −n)

=∞∑

k=−∞

∣∣∣f(k)∣∣∣2 .

Koska edeltävä yhtälö pätee myös funktiolle g(x) = e−iξxf(x), niin

‖f‖22 = ‖g‖22 =∞∑

n=−∞

∣∣∣f(n+ ξ)∣∣∣2 .

Integroimalla nyt ovelasti muuttujan ξ suhteen yli välin [0, 1] saadaan

16Koska en on joukon L2 ortonormaali kanta, niin jokainen funktio f ∈ C00 (R) ⊂ L2 voidaan

esittää äärettömänä lineaarikombinaationa ja tuota sarjaa kutsutaan Fourier-sarjaksi.

21

‖f‖22 =∞∑

n=−∞

1

0

∣∣∣f(n+ ξ)∣∣∣2 dξ =

∞−∞

∣∣∣f(ξ)∣∣∣ dξ =

∥∥∥f∥∥∥22.

Jos f 6= 0 välin [−π, π] ulkopuolella, niin valitaan positiivinen reaaliluku λ, jolla

g(x) = f(λx) häviää välin [−π, π] ulkopuolella. Silloin g(x) = f(x/λ)/λ, ja sitenyhdistämällä edeltävät tulokset ja käyttämällä muuttujanvaihtoa ξ = λξ′:

‖f‖22 = λ ‖g‖22 = λ ‖g‖22 = λ

∞−∞

∣∣∣∣1λf(ξ

λ)

∣∣∣∣2 dξ =

∞−∞

∣∣∣f(ξ′)∣∣∣2 dξ′ = ∥∥∥f∥∥∥2

2.

Lauseen 2.5 mukaan kaikkien joukossa R jatkuvien kompaktikantajaisten funktioi-den joukko on tiheä joukossa L2. Lause 3.6 taas näyttää, että Fourier-muunnos onjatkuva kuvaus tuosta joukosta joukkoon L2. Koska kuvaus on lineaarinen, niin silläon yksikäsitteinen laajennus lineaarikuvaukseen joukosta L2 joukkoon L2. Tätä laa-jennusta tullaan kutsumaan Fourier-muunnokseksi joukossa L2 (FourierPlancherel-muunnos).

Maaritelma 3.2 (Fourier-muunnos avaruudessa L2).Olkoon f ∈ L2, ja olkoon ϕn jono kompaktikantajaisia jatkuvia funktioita, jot-ka suppenevat kohden funktiota f joukossa L2, siis ‖f − ϕn‖2 → 0, kun n → ∞.Funktion f Fourier-muunnos on määritelty seuraavasti

(3.2) f = limn→∞

ϕn.

Lause 3.6 takaa, että raja on olemassa ilman, että se riippuisi erikseen jonosta, jol-la funktiota f approksimoidaan17 . On syytä myös huomata, ettei suppeneminenjoukossa L2 merkitse pisteittäistä suppenemista, joten neliöintegroituvan funktionFourier-muunnos ei välttämättä ole määritelty jokaisessa pisteessä, toisin kuin in-tegroituvien funktioiden kohdalla. Neliöintegroituvien funktioiden Fourier-muunnosonkin määritelty melkein kaikkialla, m.k. Tästä syystä ei voidakaan sanoa, että josf ∈ L1 ∩ L2, niin Fourier-muunnos määriteltyinä lausekkeissa (3.1) ja (3.2) olisivatidenttiset. Muunnosten kohdalla tullaan kuitenkin käyttämään samoja symboleita,kunhan vain ollaan tietoisia tästä eroavaisuudesta.

Nyt päästään esittelemään Fourier-muunnoksen ominaisuuksia neliöintegroituvienfunktioiden tapauksissa. Ensinnäkin kyseessä on isometria.

Lause 3.7 (Parsevalin yhtälö).Jos f ∈ L2, niin

‖f‖2 =∥∥∥f∥∥∥

2.

Todistus :Suoraan määritelmästä 3.2 lauseen 3.6 avulla.

17Jos χn olisi toinen jono, niin χn−ϕn ja χn− ϕn suppenevat nollaan joukossa L2. Siten

jonoilla on sama raja-arvo ja f on määritelty yksikäsitteisesti.

22

Lause 3.8Jos f ∈ L2, niin

f(k) = limn→∞

1√2π

n

−ne−ikxf(x) dx,

missä suppeneminen tapahtuu L2-normin suhteen.

Todistus : [1, s. 265].Kaikilla n = 1, 2, 3, ... määritellään funktio

fn(x) =

f(x), jos |x| < n,

0, jos |x| ≥ n.

Nyt ‖f − fn‖2 → 0 ja siten isometrisyydestä∥∥∥f − fn∥∥∥

2→ 0, kun n→∞.

Lause 3.9 (Heikko Parsevalin yhtälö).Jos f, g ∈ L2, niin ∞

−∞f(x)g(x) dx =

∞−∞

f(x)g(x) dx.

Todistus: [1, s. 265].Kaikilla n = 1, 2, 3, ... määritellään funktiot

fn(x) =

f(x), jos |x| < n,

0, jos |x| ≥ n,

ja

gn(x) =

g(x), jos |x| < n,

0, jos |x| ≥ n.

Koska

fm(x) =1√2π

∞−∞

e−ixξfm(ξ) dξ,

niin ∞−∞

fm(x)gn(x) dx =1√2π

∞−∞

gn(x)

∞−∞

e−ixξfm(ξ) dξdx.

Funktio

e−ixξgn(x)fm(ξ)

on integroituva joukossa R2, jolloin Fubinin lausetta voidaan soveltaa. Siten ∞−∞

fm(x)gn(x) dx =1√2π

∞−∞

fm(ξ)

∞−∞

e−ixξgn(x) dxdξ

=

∞−∞

fm(ξ)gn(ξ) dξ.

23

Koska ‖g − gn‖2 → 0 ja ‖g − gn‖2 → 0, kun n → ∞, niin sisätulon jatkuvuuden18

avulla ∞−∞

fm(x)g(x) dx =

∞−∞

fm(x)g(x) dx.

Lopuksi, kun asetetaan m→∞, saadaan ∞−∞

f(x)g(x) dx =

∞−∞

f(x)g(x) dx.

Viimeisessä Parsevalin nimeä kantavassa lauseessa näytetään, että Fourier-muunnossäilyttää normin lisäksi myös sisätulon.

Lause 3.10 (Yleinen Parsevalin yhtälö).Jos f, g ∈ L2, niin ∞

−∞f(x)g(x) dx =

∞−∞

f(k)g(k) dk.

Todistus: Laajennettu versio lähteestä [1, s. 267].Polarisaatioidentiteetti

(f, g) =1

4

[‖f + g‖22 − ‖f − g‖

22 + i ‖f + ig‖22 − i ‖f − ig‖

22

]näyttää, että (f, g) = (f , g), sillä muunnoksen isometrian ja lineaarisuuden nojalla

esimerkiksi ‖f + g‖22 = ‖Ff + g‖22 =∥∥∥f + g

∥∥∥22.

Itse polarisaatioidentiteetti seuraa suoraan sisätulon laskusäännöistä:

‖f + g‖22 − ‖f − g‖22 = (f + g, f + g)− (f − g, f − g) = 2(f, g) + 2(g, f)

ja‖f + ig‖22 − ‖f − ig‖

22 = (f + ig, f + ig)− (f − ig, f − ig) = 2(f, ig) + 2(ig, f).

Edeltävistä saadaan

‖f + g‖22 − ‖f − g‖22 + i ‖f + ig‖22 − i ‖f − ig‖

22

= 2 (f, g) + (g, f) + i(f, ig) + i(ig, f)= 2 (f, g) + (g, f) + (f, g)− (g, f)= 2 2<(f, g) + 2i=(f, g)= 4(f, g).

Seuraava hieman tekninen lause on hyödyllinen, kun todistetaan tärkeää käänteis-toimitusta Fourier-muunnokselle joukossa L2.

Lause 3.11Olkoon f ∈ L2 ja g = f . Silloin f = g.

18|(x, y)− (xn, y)| = |(x− xn, y)| ≤ ‖(x− xn)y‖1 ≤ ‖x− xn‖2 ‖y‖2 → 0, kun ‖x− xn‖2 → 0.

24

Todistus: [1, s. 266].

Lauseiden 3.7 ja 3.9 sekä oletuksen g = f avulla voidaan kirjoittaa

(f, ¯g) = (f , g) = (f , f) =∥∥∥f∥∥∥2

2= ‖f‖22 .

Edellisestä saadaan

(f, g) = ‖f‖22 .Parsevalin yhtälöstä seuraa

‖g‖22 = ‖g‖22 =∥∥∥f∥∥∥2

2= ‖f‖22 .

Nyt edeltävien tulosten avulla kirjoitetaan seuraava sisätulo auki∥∥f − g∥∥22

= (f − g, f − g) = ‖f‖22 − (f, g)− (f, g) + ‖g‖22 = 0.

Normin häviämisen perusteella f = g.

Kaikki on valmista seuraavan tärkeän tuloksen esittämiseen, mikä kertoo, miten onmahdollista palauttaa alkuperäinen funktio Fourier-muunnoksesta.

Lause 3.12 (Fourier-käänteismuunnos avaruudessa L2).Olkoon f ∈ L2. Silloin

f(x) = limn→∞

1√2π

n

−neikxf(k) dk,

missä suppeneminen tapahtuu L2-normin suhteen.

Todistus : [1, s. 267].

Olkoon f ∈ L2. Asetetaan g = f , joten lauseiden 3.11 ja 3.8 perusteella

f(x) = g(x)

= limn→∞

1√2π

n

−ne−ikxg(k) dk

= limn→∞

1√2π

n

−neikxg(k) dk

= limn→∞

1√2π

n

−neikxf(k) dk.

Lauseen 3.12 perusteella voidaan todeta, että jos f ∈ L1 ∩ L2 , niin on voimassayhtäsuuruus

f(x) =1√2π

∞−∞

eikxf(k) dk m.k.

Edeltävää tulosta kutsutaan Fourier-käänteismuunnokseksi ja se muodostaa yhdessäFourier-muunnoksen kanssa parin:

25

Ff(x) =1√2π

∞−∞

e−ikxf(x) dx,

F−1f(k) =1√2π

∞−∞

eikxf(k) dk.

Fourier-muunnosparin duaalisuutta voidaan havainnollistaa esimerkiksi seuraavasti:jos f ∈ L1 ∩ L2, niin F (2)f(x) = f(−x) m.k., jolloin F (4)f(x) = f(x) m.k.

Kvanttimekaniikassa aaltofunktioita esitetään Fourier-muunnoksen avulla, muttamyös käänteismuunnoksella saatavilla funktioilla on fysikaalista merkitystä. Esimer-kiksi paikka- ja liikemääräavaruudet ovat käänteisiä. On siis hyvä osoittaa vielä,että jokainen neliöintegroituva funktio on jonkin toisen neliöintegroituvan funktionFourier-muunnos.

Lause 3.13Fourier-muunnos F on isomorsmi avaruudelta L2 avaruuteen L2.

Todistus : [1, s. 268].Fourier-muunnos säilyttää lauseen 3.10 mukaisesti sisätulon, (Ff,Fg) = (f, g).Lisäksi muunnos on lineaarisena injektiivinen19, joten tulee näyttää vielä surjektii-

visuus. Olkoon f ∈ L2, ja määritellään h = f ja g = h.

Nyt lauseen 3.11 perusteella f = h = g, ja edelleen f = g. Siispä jokaiselle funktiollef ∈ L2 löytyy aina funktio g ∈ L2 siten, että f = Fg.

Tässä vaiheessa on hyvä laskea pari esimerkkiä Fourier-muunnoksista. Lisää teoriaaFourier-analyysistä löytyy esimerkiksi lähteistä [1; 2; 4; 5].

Esimerkki 3.1Suorakulmainen yksikköpulssifunktio tai -laatikkofunktio on seuraavanlainen

f(x) =

1, jos |x| < b,

0, jos |x| ≥ b.

Muunnos on suoraviivainen laskutoimitus määritelmän perusteella

f(k) =1√2π

b

−be−ikx dx =

eikb − e−ikb√2πik

=

√2

π

sin(bk)

k.

19Lineaarinen operaattori T : X → Y on injektio, jos Ker(T ) = 0. Edeltävässä 0 vastaanollafunktioiden ekvivalenssiluokkaa [0].

26

Kuva3.1 : Vasemmalla yksikköpulssifunktio f(x) ja oikealla muunnos f(k).

Esimerkki 3.2Gaussin funktio määritellään seuraavasti

f(x) = e−ax2

, a > 0.

Muunnos saadaan määritelmän mukaisesti

f(k) =1√2π

∞−∞

e−ax2

e−ikx dx.

Derivoidaan edeltävä lauseke puolittain muuttujan k suhteen sekä tämän jälkeenosittaisintegroidaan.

∂

∂kf(k) =

∂

∂k

1√2π

∞−∞

e−ax2

e−ikx dx

=1√2π

∞−∞

e−ax2

(−ix)e−ikx dx

=i

2a√

2π

∞−∞

∂

∂x(e−ax

2

)e−ikx dx

=i

2a√

2π

[e−ax

2

e−ikx]∞−∞

+ ik

∞−∞

e−ax2

e−ikx dx

=

i

2a√

2π

0 + ik

∞−∞

e−ax2

e−ikx dx

= − k

2af(k).

Siispä f(k) toteuttaa ensimmäisen asteen dierentiaaliyhtälön, jonka ratkaisuna on

f(k) = Ce−k2/4a, C ∈ C.

Integroimisvakio C saadaan muunnoksen määritelmän avulla

f(0) =1√2π

∞−∞

e−ax2

e−i·0·x dx =1√2π

∞−∞

e−ax2

dx.

27

Asetetaan J =∞−∞ e

−ax2 dx, joten napakoordinaattien avulla

J2 =

∞−∞

e−ax2

dx · ∞−∞

e−ay2

dy

=

∞−∞

∞−∞

e−a(x2+y2) dxdy

= 2π

∞0

e−ar2

r dr, (s = ar2; ds = 2ar dr)

= 2π1

2a

∞0

e−s ds =π

a

[−e−s

]∞0

=π

a.

Siispä J =√π/a, ja edelleen f(0) = J/

√2π = 1/

√2a = C.

Gaussin funktion Fourier-muunnos on siten

Fe−ax2 =1√2ae−

k2

4a .

Kuva3.2 : Vasemmalla Gaussin funktio f(x) ja oikealla muunnos f(k).

3.3. Heisenbergin epäyhtälö.

Fourier-muunnos koostuu trigonometristen aaltojen superpositiosta. Eksponenttie−itω voidaan hajoittaa reaali- ja imaginaariosaan, ja jos amplitudifunktio f(t) onreaalinen, niin samoin voidaan kyseinen superpositiokin esittää reaalisten ja imagi-naaristen aaltojen summana. Fysikaalisessa mielessä Fourier-muunnos kuvaa aalto-pakettia/signaalia, ja johdannossa mainittiin, ettei signaalia voi rajata tarkasti sekäaika- että taajuustasossa: aikaskaalan kutistuessa taajuus-skaala venyy, ja päinvas-toin (lause 3.3). Ilmiön visualisoimiseksi otetaan seuraavaksi muunnoksen reaaliosaja tarkastellaan sinimuotoisista aalloista, joilla on vakioamplitudi A ja joiden taajuu-det vaihtelevat taajuuskaistavälillä [ω −4ω, ω +4ω], muodostettua aaltopakettia

g(t) =

ω+4ω

ω−4ωAcos(ω′t) dω′.

Laskemalla määrätty integraali, funktio saadaan muotoon

g(t) = S(t)cos(ωt), jossa S(t) = 2A4ω sin(4ω · t)4ω · t

.

28

Jos 4ω ω, niin kyseessä on nopeasti vaihteleva sinimuoto cos(ωt), jonka ampli-tudia moduloi hitaasti vaihteleva funktio S(t), jolla on maksimi kohdassa t = 0 jaminimit lukujen π/4ω välein. Kokonaisuutena saadaan aaltopaketti, jonka efektii-vinen leveys4t on noin 2π/4ω. Kolme tämänkaltaista tilannetta, eri4ω:n arvoilla,on esitetty kuvassa 3.3. On huomattavaa, että aaltopakettien pituus kasvaa samalla,kun taajuuskaistan väli kapenee ja aaltopaketit muuttuvat monokromaattisiksi, kun4ω → 0. Ilmiö koskee kaikenlaisia aaltopaketteja, joten yleisesti 4t4ω ≈ 2π.

Kuva3.3 : Kuvissa tulo A4ω on vakio. Tapauksessa (a) luvun 4ω arvo on ω8,

(b) luvun 4ω arvo on ω16

ja (c) luvun 4ω arvo on ω32. [10, s. 24.]

Edeltävä kuva ilmaisee selvän käänteisyyden olemassaolon käänteisavaruuksien muut-tujien välillä. Tämän tutkielman tarkoitus on selvittää fysikaalisen epätarkkuuspe-riaatteen matemaattista perustaa, joten on hyvä olla jokin matemaattinen malliepätarkkuudelle. Määritellään siis funktion hajonta pisteen suhteen.

Maaritelma 3.3Olkoon f ja xf joukossa L2, kun f 6= 0, sekä a ∈ R. Seuraavaa lukuarvoa

(3.3) 4a(f) =

(∞−∞(x− a)2|f(x)|2 dx∞

−∞ |f(x)|2 dx

) 12

kutsutaan funktion f hajonnaksi pisteen x = a suhteen.

4a(f) on siis mitta sille kuinka paljon funktio levittäytyy valitun pisteen x = aympärille; luku 4a(f) on pieni, jos funktio häviää (on itseisarvoltaan pieni) pisteenx = a ympärillä. Jos funktio elää lähellä pistettä x = a , niin tekijä (x − a)2

saa osoittajan huomattavasti nimittäjää pienemmäksi lausekkeessa (3.3), ja jos taasfunktio elää kaukana pisteestä x = a , niin sama tekijä saa osoittajan nimittäjääsuuremmaksi.

29

Esimerkki 3.3Yksikköpulssifunktio sekä tämän Fourier-muunnos annettiin esimerkissä 3.2,

f(x) =

1, jos |x| < b,

0, jos |x| ≥ b,

ja

f(k) =

√2

π

sin(bk)

k.

Kuten olettaa sopii, niin funktio f on kasautunut pisteen x = 0 ympäristöön, kun bsaa pieniä arvoja. Funktion hajonta origon suhteen on

40f =

√√√√ b−b(x− 0)2 dx b−b 1 dx

=b√3.

Siispä hajonta kasvaa pulssin leveyden b kasvaessa.Fourier-muunnoksella f(k) sen sijaan ei ole äärellistä hajontaa origon suhteen:

∞−∞

k2

(√2

π

sin(bk)

k

)2

dk =2

π

∞−∞

(sin(bk))2 dk =∞,

joten f(k) levittäytyy kauas pisteen x = 0 ulkopuolelle, ks. kuva 3.1.

Seuraavaksi on luvassa tärkeä tulos, joka antaa alarajan Fourier-muunnoksen jatämän käänteismuunnoksen hajontojen tulolle. Muunnosparin yhdistävistä ominai-suuksista seuraa, ettei funktioita f ja f voida molempia paikallistaa mielivaltaisentarkasti: jos f häviää jonkin pienen välin ulkopuolella, niin f on silloin levittäytynytlaajalle ja päinvastoin.

Lause 3.14 (Heisenbergin epäyhtälö).Jos f(x) ja f ′(x) kuuluvat joukkoon L2(R), niin on voimassa

4α(f)4β(f) ≥ 1

2, α, β ∈ R.

Yhtäsuuruus pätee, jos ja vain jos f(x) = Ce−ax2, C ∈ C ja a > 0.

Todistus : [4, s. 58; 5, s. 232].Oletetaan ensin, että α = β = 0. Lisäksi voidaan olettaa, että normi ‖xf(x)‖2 onäärellinen, sillä muutoin todistettava väite on triviaali.Seuraavassa osittaisintegroinnissa huomioidaan, että |f(x)|2 = f(x)f(x).

[x |f(x)|2

]BA

=

B

A

(|f(x)|2 + xf(x)f ′(x) + xf(x)f ′(x)

)dx.

Koska z + z = 2<[z], niin edeltävä lauseke saadaan muotoon B

A

|f(x)|2 dx =[x |f(x)|2

]BA− B

A

xf(x)f ′(x) dx− B

A

xf ′(x)f(x) dx

=[x |f(x)|2

]BA− 2<

[ B

A

xf(x)f ′(x) dx

].

30

Koska f, f ja f ′ kuuluvat joukkoon L2, niin edeltävä integraali on olemassa, kunA → −∞ ja B → ∞. Siten tulee olla olemassa myös rajatapausten A |f(A)|2 sekäB |f(B)|2, ja nämä arvot ovat nollia20.

Siispä integraali saa muodon

(3.4)

∞−∞|f(x)|2 dx = −2<

[ ∞−∞

xf(x)f ′(x) dx

].

Parsevalin yhtälön, lause 3.7, ja derivaatan muunnoksen, lause 3.4, avulla saadaanaputulos

(3.5) ‖f ′(x)‖2 = ‖Ff ′(x)‖2 =∥∥∥ikf(k)

∥∥∥2

=∥∥∥kf(k)

∥∥∥2.

Cauchyn-Schwarzin epäyhtälön, lause 2.1, sekä tulosten (3.4) ja (3.5) avulla on nythelppo osoittaa todistettava väite:

‖f‖42 (40(f))2(40(f))2 =

∞−∞|xf(x)|2 dx

∞−∞

∣∣∣kf(k)∣∣∣2 dk

=

∞−∞|xf(x)|2 dx

∞−∞|f ′(x)|2 dx

≥( ∞−∞|xf(x)f ′(x)| dx

)2

, (|z| = |z|)

=

( ∞−∞

∣∣∣xf(x)f ′(x)∣∣∣ dx)2

, (|z| ≥ |<[z]|)

≥(<[ ∞−∞

xf(x)f ′(x) dx

])2

=

(−1

2

∞−∞|f(x)|2 dx

)2

=1

4‖f‖42 .

Väite saadaan, kun edeltävässä lausekkeessa otetaan puolittain neliöjuuri ja jaetaannormin neliöllä.

Tapaus, jossa α 6= 0 tai β 6= 0, seuraa, kun havaitaan, että uusi funktioF (x) = e−iαxf(x+ β) toteuttaa samat oletukset kuin f(x) sekä

4α(f) = 40(F ) ja 4β(f) = 40(F ).

Epäyhtälön yhtäsuuruus pätee, jos ja vain jos funktio f ′(x) on suoraan verrannol-

linen funktioon xf(x) (ehto CauchynSchwarzin epäyhtälöstä) ja xf(x)f ′(x) on re-

aalinen. Koska lauseke xf(x)f ′(x) = xf(x) · bxf(x) = x2 |f(x)|2 b on reaalinen,niin verrannollisuuskertoimen b tulee olla myös reaalinen. Kyseessä on siis funktio,joka toteuttaa dierentiaaliyhtälön f ′(x) = bxf(x). Yhtälön ratkaisuksi saadaanf(x) = Ce−ax

2, jossa C ∈ C, ja neliöintegroituvuudesta seuraa, että a = − b

2> 0.

Tämä Gaussin käyrien eräänlainen optimaalisuus ilmenee kuvassa 3.2.

20Muutoin |f(x)| & |x|−1/2 suurilla muuttujan x arvoilla, eikä f enää kuuluisi joukkoon L2.

31

4. KVANTTIMEKANIIKAN SOVELLUKSET

Aloitetaan kvanttimekaniikan tarkastelu Schrödingerin aaltoyhtälöstä, johon tuleesuhtautua postuloituna fysikaalisena mallina. Vaikka kyseiselle yhtälölle voi antaaenemmän tai vähemmän uskottavia perusteluita, niin fundamentaalisesti tämä tulosperustuu intuitioon siitä, miten aaltomaisesti ilmenevän hiukkasen tulisi käyttäytyä.Vastaavasti Isaac Newton (16421727) selitti suurten kappaleiden liiketilan voimansekä matematiikan avulla, eikä tätäkään mallia pysty mistään johtamaan. Ihminenymmärtää Newtonin lait, sillä ne ovat visualisoitavissa ja käsitteet ovat osa arkistahavaintomaailmaa toisin kuin kvanttitilan kuvaus ψ(x, t).

4.1. Schrödingerin yhtälö.

Maaritelma 4.1 (Schrödingerin yhtälö).Schrödingerin yhtälö hiukkaselle, massa m > 0, potentiaalissa V (x) on

(4.1) i~∂

∂tψ(x, t) = − ~2

2m

∂2

∂x2ψ(x, t) + V (x)ψ(x, t).

Edeltävä yhtälö määrää kvanttimekaanisen systeemin aikakehityksen ja antaa kaik-ki sen ominaisuudet. Lähtökohtaisesti Schrödingerin yhtälö pätee epärelativistisil-le hiukkasille (nopeudet huomattavasti alle valonnopeuden) ja kun magneettikent-tä ei ole läsnä, mutta laajennukset näihinkin tapauksiin ovat olemassa. Klassinenmekaniikka taas seuraa rajatapauksena. Yhtälön ratkaisut riippuvat oleellisesti sys-teemiin vaikuttavasta potentiaalista V (x). Esimerkiksi tuttu Coulombin potentiaalisitoo elektronia vetyatomissa ytimeen, mutta metallikiteissä taas potentiaalit voivatolla hyvinkin monimutkaisia, eikä yhtälön analyyttinen ratkaisu ole mahdollista.Tässä tutkielmassa ei Schrödingerin yhtälöä kuitenkaan ratkota käytännön sovel-luksissa, mikä on yleisesti vaikeaa, vaan keskitytään tutkimaan miten fysikaalinenepätarkkuusperiaate voidaan johtaa kyseisestä kvanttimekaniikan perusyhtälöstä.

Bornin tulkinnassa |ψ(x, t)|2 kuvaa todennäköisyystiheyttä, ja sekä paikan x ettäfunktion xn odotusarvoilta vaaditaan21 äärellisyyttä, Eψ(xn) = (xnψ, ψ) < ∞ jaxnψ ∈ L2. Seuraavaksi näytetään, että normi ‖ψ‖2 = 1 on ajastariippumaton.

Lause 4.1 (Todennäköisyyden säilyminen).Todennäköisyystulkinta ∞

−∞|ψ(x, t)|2 dx = 1

ei riipu ajanhetkestä t.

Todistus :

∂

∂t

∞−∞|ψ|2 dx =

∂

∂t

∞−∞

ψψ dx =

∞−∞

ψ∂

∂tψ dx+

∞−∞

ψ∂

∂tψ dx.

21Kun potentiaali V (x) sitoo hiukkasta, niin voidaan olettaa: |ψ| ∼ e−C|x|, kun |x| → ∞. Vapaanhiukkasen tapauksessa, siis V (x) ≡ 0, systeemi voidaan sisällyttää riittävän suuren laatikon sisään(esim. Linnunrata), minkä ulkopuolella aaltofunktio ψ häviää. Siispä xnψ ∈ L2.

32

Edeltävään sijoitetaan yhtälö (4.1) sekä tämän kompleksikonjugaatti:

∂

∂tψ = − ~

2im

∂2

∂x2ψ +

1

i~V (x)ψ,

∂

∂tψ =

~2im

∂2

∂x2ψ − 1

i~V (x)ψ.

Saadaan

∂

∂t

∞−∞|ψ|2 dx =

∞−∞

~2im

(ψ∂2

∂x2ψ − ψ ∂2

∂x2ψ

)dx

=~

2im

[(ψ,

∂2

∂x2ψ

)−(∂2

∂x2ψ, ψ

)]= − ~

2im

[−(∂

∂xψ,

∂

∂xψ

)+

(∂

∂xψ,

∂

∂xψ

)]= 0.

Koska ψ ∈ L2, niin edeltävässä voidaan osittaisintegroida: ( ∂∂xψ, ψ) = −(ψ, ∂

∂xψ).

Jos potentiaali V (x) ≡ (vakio) yhtälössä (4.1), niin silloin voidaan aaltoyhtälönratkaisuksi hakea optiikasta tuttua yksinkertaista tasoaaltoa

(4.2) ψ(x, t) = Aei(kx−ωt),

jossa A on amplitudi, k on aaltoluku ja ω kulmataajuus.Sijoittamalla edeltävä tasoaalto yhtälöön (4.1) todetaan, että kyseessä on ratkaisu,jos seuraava relaatio pitää paikkansa

i~(−iω) = − ~2

2m(ik)2 + V

ja edelleen

(4.3) ~ω =(~k)2

2m+ V.

Tulosta (4.3) kutsutaan de Broglien aallon dispersiorelaatioksi22, joka näyttää, ettäpotentiaalienergian V sekä liike-energian (~k)2/2m summa vastaa kokonaisenergiaa~ω. Edelleen, liike-energia voidaan kirjoittaa (1.2) avulla tutumpaan muotoon

T :=(~k)2

2m=

p2

2m=

1

2mv2.

Edeltävässä termi v on klassisen hiukkasen nopeus. Tulos (4.3) sopii hyvin yhteenPlanckin ja de Broglien oletusten kanssa, mutta itse ratkaisuaalto (4.2) ei voi esit-tää todellista fysikaalista systeemiä, sillä se on levittäytynyt kaikkialle avaruuteen,eikä ole neliöintegroituva, eikä näin ollen voi kuvata todennäköisyysamplitudia. Fy-sikaalinen aalto sen sijaan on joka ajanhetkellä paikallistettavissa jossain päin ava-ruutta ja lokalisoitunut jonkin pisteen x ympärille. Ratkaisu ongelmaan saadaan,kun summataan yhteen erilaisia tasoaaltoja, jotka ovat yhtälön (4.1) ratkaisuja, jaSchrödingerin yhtälön lineaarisuudesta seuraa, että tämä summa superpositio on myös ratkaisu. Tasoaaltoja summataan siten, että ne interferoivat destruktiivi-sesti (aaltoilu häviää) jonkin alueen ulkopuolella ja tätä superpositiota kutsutaanaaltopaketiksi. Aalto-hiukkasdualismin hengessä aaltopaketti kuvaa sekä aaltoa ettäavaruudessa liikkuvaa hyvin paikallistettua hiukkasta.

22Jälkiviisaasti voi vain ihmetellä, miksei de Broglie keksinyt vapaan hiukkasen Schrödingerinyhtälöä: i~ψt = −~2/2m · ψxx. Aineaaltohypoteesi jäikin de Broglien ainoaksi saavutukseksi.

33

Optiikasta tiedetään, että aaltopaketin tai -pulssin kulkunopeus on ryhmänopeus,joka määritellään seuraavasti

vg :=∂ω

∂k.

Schrödingerin yhtälön ratkaisuna oleville vakiopotentiaaliaalloille voidaan, tuloksen(4.3) avulla, laskea ryhmänopeus ja todeta, että se vastaa kvanttimekaanisen hiuk-kasen klassista kulkunopeutta23

vg =∂ω

∂k=∂(V~ + ~k2

2m

)∂k

=~km

=p

m=mv

m= v.

Kun tasoaaltoja summataan jatkuvaluontoisesti kaikilla mahdollisilla aaltoluvuilla,niin aaltopaketin esitysmuoto muuttuu integraaliksi. Muodostetaan vastaava aalto-paketti, kun ratkaistaan Schrödingerin yhtälö (4.1) vakiopotentiaalissa V .

i~∂

∂tψ(x, t) = − ~2

2m

∂2

∂x2ψ(x, t) + V ψ(x, t).

Ottamalla edeltävästä puolittain Fourier-muunnos saadaan lauseen 3.5 avulla

Fi~∂

∂tψ(x, t)

= F

− ~2

2m

∂2

∂x2ψ(x, t) + V ψ(x, t)

i~∂

∂tψ(k, t) =

~2k2

2mψ(k, t) + V ψ(k, t)

= ψ(k, t)

(p2

2m+ V

)= ψ(k, t)E(k).

Muunnos muutti osittaisdierentiaaliyhtälön tavalliseksi dierentiaaliyhtälöksi, jokaon helppo ratkaista:

ψ(k, t) = ψ(k, 0)e−iEt

~ .

Fourier-käänteismuunnos, lause 3.12, antaa ratkaisun yleisessä integraalimuodossa

ψ(x, t) =1√2π

∞−∞

eikxψ(k, t) dk

=1√2π

∞−∞

1

~ψ(p

~, 0)e

i~ (px−E(p)t) dp.

Mukavuussyistä voi sijoittaa edeltävään φ(p, t) := ψ(k, t)/√~ ja kutsutaan myös

sitä funktion ψ käänteismuunnokseksi. Vakiopotentiaalissa olevan kvanttihiukkasenSchrödingerin yhtälön ratkaisu voidaan siis esittää muodossa

ψ(x, t) =1√2π~

∞−∞

φ(p, t)eipx~ dp.

23Pätee myös fysikaalisille aaltopaketeille, kun p nähdään sopivasti keskiarvona, ks. [9, s. 26].

34

Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen yleisessä potentiaalissa on huomattavasti han-kalampaa, eikä tapausta käsitellä tarkasti tässä tutkielmassa. Mainitaan kuitenkin,että osittaisdierentiaaliyhtälöiden ratkaisuja voidaan esittää integraalimuodossa,kunhan integrandi vain valitaan sopivasti, ja näitä integrandeja kutsutaan Greeninfunktioiksi. Ratkaisua yhtälöön (4.1) voidaan24 esittää seuraavasti

ψ(x, t) =

∞−∞G(x, t; y, s)ψ(y, s) dy, x ∈ R ja t ≥ s.

Yleistä ratkaisua voidaan myös lähestyä heuristisesti seuraten edeltäviä tuloksia.Vakiopotentiaalissa V olevan hiukkasen aaltofunktio voidaan muodostaa laskemal-la yhteen tasoaaltoja eri liikemäärien pi ja amplitudien A(pi) arvoilla, ja joilla onsiten energiat Ei = p2i /2m + V . Yleisessä tapauksessa aaltopaketti muodostetaanlaskemalla yhteen tasoaaltoja, joilla on liikemäärät pi, energiat Ej sekä amplituditA(pi, Ej). Näin saadaan muodostettua yleinen aaltopaketti, kun hiukkanen kulkeemielivaltaisessa potentiaalissa V (x),

ψ(x, t) =∑i

∑j

A(pi, Ej)ei~ (pix−Ejt).

Edeltävässä summa, joka koskee aika-energia riippuvuutta, voidaan upottaa vaihe-tekijänä amplitudifunktioon. Kun summataan yli kaikkien mahdollisten energioidenja liikemäärien, niin tapaus muuttuu jatkuvaksi ja summa integraaliksi. Integraalinmuoto on (skaalaamalla) mielekästä valita kuten vakiopotentiaalin tapauksessa:

(4.4) ψ(x, t) =1√2π~

∞−∞

φ(p, t)eipx~ dp.

4.2. Heisenbergin epätarkkuusperiaate aaltohiukkasille.

Aaltofunktio ψ kuvaa täydellisesti systeemin tilaa, joten sen tulee sisältää myös tietohiukkasen nopeudesta tai liikemäärästä. Informaatiota liikemäärästä ei kuitenkaanole suoraan saatavilla, mutta Fourier-muunnos sisältää vastauksen. Tarkasteltaessaaaltopakettia (4.4) funktion |φ|2 voidaan tulkita kuvaavan hiukkasen liikemääräntodennäköisyystiheyttä, ja tämän tutkielman puitteissa perustelut ovat seuraavat:

(1.) Lauseen 3.13 perusteella on yksi-yhteen vastaavuus aaltofunktiolla ψ sekä tämänkäänteismuunnoksella φ, mikä täyttää vaatimuksen, että informaatio liikemäärästäolisi sisällytettynä myös aaltofunktioon φ.

(2.) Parsevalin yhtälön perusteella φ kuvaa myös todennäköisyysamplitudia: ∞−∞|φ(p, t)|2 dp =

∞−∞|φ(k~, t)|2 d(k~)

=

∞−∞

~∣∣∣∣ 1√

~ψ(k, t)

∣∣∣∣2 dk=

∥∥∥ψ∥∥∥22

= ‖ψ‖22 = 1.

24Jos tutussa diuusiota kuvaavassa lämpöyhtälössä korvaa ajan t imaginaarisella ajalla it,niin päädytään Schrödingerin yhtälöön. Lämpöyhtälön mallintamaa prosessia (Brownin liikettä)voi kuvata Wienerin polkuintegraalin avulla, ja jos tarkastellaan Brownin liikettä ajassa it, niinpäädytään luonnon kvanttiprosessia kuvaavaan Feynmanin polkuintegraaliin, ks. [30, s. 379406].

35

(3.) Koska |ψ(x, t)|2 on hiukkasen paikan todennäköisyystiheys, niin luontevaa onlaskea yhtälöllä (4.1) ja osittaisintegroinnilla, kun xψ ∈ L2, liikemäärän odotusarvo:

Eψ(p) = m∂

∂tEψ(x) = m

∂

∂t

∞−∞

x |ψ|2 dx

=

∞−∞

−i~2

(xψ

∂2

∂x2ψ − xψ ∂2

∂x2ψ

)dx

=−i~

2

[(xψ,

∂2

∂x2ψ

)−(∂2

∂x2ψ, xψ

)]=−i~

2

[−(∂

∂x(xψ),

∂

∂xψ

)+

(∂

∂xψ,

∂

∂x(xψ)

)]=−i~

2

[−(ψ,

∂

∂xψ

)−(x∂

∂xψ,

∂

∂xψ

)+

(∂

∂xψ, ψ

)+

(∂

∂xψ, x

∂

∂xψ

)]=−i~

2

[−(ψ,

∂

∂xψ

)+

(∂

∂xψ, ψ

)]=

(−i~ ∂

∂xψ, ψ

).

Jos taas |φ(p, t)|2 edustaa liikemäärän todennäköisyystiheyttä, niin kyseisen odo-tusarvon tulisi vastata edeltävää integraalia. Nyt lauseiden 3.4 ja 3.10 avulla:

Eφ(p) =

∞−∞

p |φ|2 dp

=

∞−∞

pφφ dp

=

∞−∞

k~ψψ dk

=

∞−∞F−i~ ∂

∂xψFψ dk

=

∞−∞−i~ ∂

∂xψ · ψ dx.

Tämä vahvistaa oletuksen ja liikemäärän odotusarvoksi voidaan määritellä

(4.5) Eψ(p) :=

(−i~ ∂

∂xψ, ψ

).

Aallon ψ Fourier-muunnos φ on liikemäärän todennäköisyysamplitudi; paikka- jaliikemääräavaruudet ovat toistensa käänteisavaruuksia (konjugaatteja), kuvattaessahiukkasen tilaa voi kumpaa tahansa aaltofunktiota käyttää symmetrisellä tavalla.Tämä tilanne suorastaan vaatii soveltamaan Heisenbergin epäyhtälöä!Bornin todennäköisyystulkinnalla on siten luonnontieteen ontologiassa fundamen-taalinen seuraus, sillä jos hiukkanen on tarkoin rajattu paikka-avaruudessa, niin seon samalla pakoitettu olemaan tasoaaltomainen liikemääräavaruudessa, ja samoinkäänteisesti. Seuraavaksi osoitetaan kuuluisa Heisenbergin epätarkkuusperiaate.

36

Lause 4.2 (Heisenbergin epätarkkuusperiaate).Olkoon |ψ|2 ja |φ|2 hiukkasen paikan ja liikemäärän todennäköisyystiheydet. Luvut(4α(ψ))2 ja (4β(φ))2 kuvaavat jakaumien variansseja sekä luvut α ja β vastaaviaodotusarvoja. Seuraava relaatio on voimassa kaikille hiukkasille

(4.6) 4α(ψ)4β(φ) ≥ ~2.

Todistus25: [5, s. 234].Suoritetaan ensin muuttujanvaihto hajonnan lausekkeessa (3.3):

4β (φ(p, t)) =

(∞−∞(p− β)2 |φ(p, t)|2 dp∞

−∞ |φ(p, t)|2 dp

) 12

=

∞−∞(~k − β)2

∣∣∣ 1√~ ψ(k, t)

∣∣∣2 d(k~)

∞−∞

∣∣∣ 1√~ ψ(k, t)

∣∣∣2 d(k~)

12

= ~

∞−∞(k − β

~ )2∣∣∣ψ(k, t)

∣∣∣2 dk∞−∞

∣∣∣ψ(k, t)∣∣∣2 dk

12

= ~4β~

(ψ(k, t)

).

Nyt lauseen 3.14 avulla saadaan juhlistettu tulos: 4α(ψ)4β(φ)/~ ≥ 1/2.

Tilastollinen epäyhtälö ilmaisee, että jos on annettuna suuri joukko samanlaisiahiukkasia, joilla on identtinen aaltofunktio, niin mitattaessa puolet hiukkasista pai-kan suhteen ja puolet liikemäärän suhteen, ei varianssien tulo voi olla mielivaltaisenpieni. Hiukkanen voi olla millaisessa tilassa tahansa, mutta Heisenbergin epätark-kuusperiaate antaa absoluuttisen alarajan paikan ja liikemäärän mittauksille.Klassista tapausta lausekkeessa (4.6) vastaa ~ → 0 tai toisin sanottuna λdb → 0;silloin kun systeemin de Broglien aallonpituus on merkityksettömän pieni verrattunasysteemin kokoon (esimerkiksi jalkapallo), niin systeemiä voidaan kuvata riittävällätarkkuudella klassisen fysiikan keinoin. Eräs suurimmista molekyyleistä, jotka onlaboratorio-oloissa saatu käyttäytymään merkittävän aaltomaisesti, on nanometrinhalkaisijaltaan oleva fullereenipallo C60, ks. [23].

Vaikka kokeellinen mittaus häiritsee systeemiä ja tavallisesti Heisenbergin epätark-kuusperiaate tulkitaan liittyvän mittausepätarkkuuteen, niin lausekkeella (4.6) eisinällään ole mitään tekemistä laboratoriomittauksen tarkkuuden kanssa: kvantti-mekaniikan mallissa luonto ei ole edes määritellyt hiukkasen paikkaa sekä nopeut-ta samanaikaisesti mielivaltaisella tarkkuudella. Edeltävästä vaatimuksesta seuraaklassisessa mielessä paradoksaalinen tilanne, joka tunnetaan Einsteinin ideoimanaEPR-ajatuskokeena.26

25Heisenberg johti tuloksen Gaussin aalloille vuonna 1927 ja yleisen tapauksen, lause 4.3, todistisamana vuonna yhdysvaltalainen fyysikko Earle Hesse Kennard (18851968).

26A. Einstein, B. Podolsky ja N. Rosen julkaisivat yhteisartikkelin: Can Quantum-MechanicalDescription of Physical Reality Be Considered Complete? Physical Review 47, 10: 777780, 1935.

37

EPR-kokeessa jonkin hiukkasen hajoamistuotteena lähtee kaksi hiukkasta, A ja B,eri suuntiin siten, että sekä hiukkasten liikemäärien että etäisyyksien summat py-syvät vakioina (P0 = pA + pB ja X0 = rA + rB). Odotetaan, että hiukkaset ovatmatkanneet valtavan etäälle toisistaan ja tämän jälkeen voidaan vapaasti mitatahiukkasesta A joko paikka tai nopeus mielivaltaisen tarkasti. Koska etäisyys ja liike-määrä ovat säilyneet, niin A:n mittaustulos kertoo samalla tiedon B:stä. Eikö silloin,vastoin epätarkkuusperiaatetta, hiukkasella B ole samalla ajanhetkellä mielivaltai-sen tarkasti määritellyt paikat ja nopeudet? Kysymys yllätti niin Heisenbergin kuinkoko Kööpenhaminan väen täysin! Voiko mittaus toisella puolen maailmankaikkeut-ta todella vaikuttaa välittömästi hiukkaseen siten, että epätarkkuusperiaate säilyy?Toisaalta, eihän mikään informaatio voi kulkea valoa nopeammin? Einstein piti tätäsysteemin aavemaista kaukovaikutusta todisteena siitä, että kvanttimekaniikka onepätäydellinen fysikaalinen teoria, vaikka se antaakin hyviä tuloksia. Lopulta NielsBohr vastasi haasteeseen pitkällä ja vaikeaselkoisella artikkelilla, jonka otsikko olisama kuin EPR-artikkelissa. Vastaus oli pääpiirteissään seuraava: kvanttiteoria onniin täydellinen teoria kuin vain voi olla ja EPR-koe on näennäinen ristiriita vain,koska siinä käytetään klassisen maailmankuvan käsitteitä, kuten suhteellisuusteorianlokaliteettia, jotka eivät ole kvanttiteorian todellisuudelle ominaisia. [6, s. 8890.]

EPR-ajatuskoe oli Einsteinin viimeinen yritys osoittaa kvanttiteoria epätäydellisek-si kuvaukseksi fysikaalisesta todellisuudesta, mutta lopullista vastausta ei olla saatuvieläkään. EPR:ssä tarkasteltavat hiukkaset ovat lomittuneet, eli kummankin aalto-funktio sisältää informaatiota toisesta ja ne vuorovaikuttavat keskenään. Lomittu-neet hiukkaset voivat syntyä esimerkiksi jonkin toisen hiukkasen hajoamistuottee-na tai vaikka keskinäisessä törmäyksessä. Myöhemmin on kehitelty koejärjestelyitä,joiden avulla kvanttimekaniikan ennustamaa epälokaalisuutta on voitu jopa testata.Lomittuneilla fotoneilla tehdyissä spinikorrelaatiokokeissa on havaittu kvanttime-kaanisen kaukovaikutuksen nopeudeksi vähintään 10000-kertainen valonnopeus [11].Vielä kun otetaan huomioon alkuräjähdysmalli, jossa maailmankaikkeuden nähdäänsyntyneen singulariteetista, niin teoreettiset pohdinnat saavat jo hyvin metafyysisetmittasuhteet: kaikki maailmankaikkeuden materia ja energia ovat jatkuvassa vuoro-vaikutuksessa keskenään!

Määritellään seuraavaksi potentiaalivalli V : V (x) = V1 > 0, kun b ≥ x ≥ a, jossaväli b−a > 0 on kapea, ja V (x) = 0 muutoin. Olkoon vapaan hiukkasen liike-energiaT (vg) siten, että erotus V1 − T > 0 on pieni. Kun kyseinen hiukkanen lähestyy val-lia alueelta x < a, niin reunan läheisyydessä termin 4(ψ) puristuessa termi 4(φ)lauseen 4.2 mukaisesti suurenee, joten todennäköisyys sille, että liike-energia ylittääpotentiaalin ja hiukkanen siirtyy (klassisesti kielletylle) alueelle x > b, kasvaa. Mitäsuurempi liike-energia T on, niin sitä vähemmän termin 4(ψ) täytyy puristua, et-tä potentiaalivallin ylittäminen on todennäköistä, ja samalla 4(ψ) pysyy riittävänsuurena, että hiukkasen oleminen vallin toisella puolella on todennäköistä. Tämäkvantti-ilmiö tunnetaan tunneloitumisena ja se tulee ymmärtää jälleen tilastolli-sesti: suuresta joukosta samanlaisia hiukkasia osa heijastuu vallista takaisin ja osatunneloituu vallin läpi27. Tunneloitumisen avulla voidaan selittää useita luonnossahavaittuja prosesseja, esimerkiksi radioaktiivinen α-hajoaminen tai tähtien energianlähteenä toimiva ydinfuusio.

27Jos kvanttimaassa (~ 1) yrittäisi puristaa aaltoilevan epämääräistä palloa käsien väliin,niin vastustava voima kasvaisi alati, kunnes pallo lopulta tunneloituisi kämmenten läpi vapaaksi.

38

4.3. Heisenbergin epätarkkuusperiaate operaattoreille.

Bornin tulkinnasta ja siten epätarkkuusperiaatteesta seuraa heti, että satunnaisuuson erottamaton osa kvanttimekaniikkaa, ja yleisesti mittaustulos onkin satunnais-muuttuja, jolla on useita mahdollisia arvoja. Periaatteessa mitattavan suureen odo-tusarvo voidaan määrittää ottamalla keskiarvo äärettömän monesta samalla tavoinvalmistellusta mittauksesta, mutta tulos saadaan myös käyttämällä systeemiä ku-vaavaa aaltoa ψ(x, t), joka määrää mittausten tulosten todennäköisyydet.

Observaabelit ovat fysikaalisia suureita, kuten paikka, liikemäärä tai energia, joitavoidaan mitata, kun halutaan saada tietoa systeemistä. Kvanttimekaniikassa obser-vaabeleita kuvataan kompleksisen Hilbertin avaruuden L2 lineaarisin operaattorein,ja jotta teoria voisi käyttökelpoisesti kuvata kaikkia tila-avaruuden fysikaalisia sys-teemeitä ψ, niin määrittelyjoukkojen oletetaan aina olevan tiheitä avaruudessa L2.Esimerkiksi suure, jolla ilmaistaan hiukkasen paikkaa, on paikan odotusarvo, jotamerkitään seuraavasti

Eψ(x) =

∞−∞

x |ψ(x, t)|2 dx = (xψ, ψ).

Paikan odotusarvo siis määritellään sisätulona vektoreiden ψ ja ξ välillä, joista ξmääritellään seuraavasti

ξ(x, t) := xψ(x, t).

Vektoreiden ψ ja ξ välinen kuvaus on lineaarinen operaattori neliöintegroituvienfunktioiden avaruudessa. Voidaan siis valita kyseinen lineaarikuvaus esittämään pai-kan observaabelia. Perinteisesti operaattoreita merkitään hatulla.

Maaritelma 4.2 (Paikkaoperaattori).Hiukkasen paikkaa kuvaava observaabeli määritellään lineaarisena operaattorina x,joka kuvaa tilavektorin ψ seuraavasti

xψ = xψ.

Jotta operaattoreita voitaisiin käyttää, niin tulee tietysti määritellä niitä vastaavatmäärittelyjoukot. Odotusarvo on olemassa vain, jos integraali suppenee, joten ope-raattoria x voidaan käyttää vain aliavaruudessa, jossa kuvaus xψ kuuluu Hilbertinavaruuteen L2:

D(x) := ψ ∈ L2 : xψ ∈ L2.Lisäksi voidaan määrittää operaattorit kaikille funktioille, jotka riippuvat vain pai-kasta x. Esimerkiksi potentiaalia vastaava operaattori V (x) esitetään seuraavasti

V ψ := V (x)ψ,

D(V ) := ψ ∈ L2 : V (x)ψ ∈ L2.Edeltävä D(V ) on tiheä28 joukossa L2 ja sama pätee kaikille muillekin fysikaalisilleoperaattoreille, ks. [13, kappale 2.2]. Liikemäärän odotusarvo on annettu kohdassa(4.5) ja käytännön laskujen vuoksi odotusarvo on syytä tulkita aaltofunktion ψsuhteen, eikä tämän käänteisavaruudessa.

28Olkoon Ωn = x : |V (x)| ≤ n, kun n ∈ N, joten ∪nΩn = R. Jokaiselle f ∈ L2 on voimassafn = XΩn

f ∈ D(V ). Siten lauseen 2.4 perusteella ‖f − fn‖2 → 0, kun n→∞. [13, s. 59.]

39

Maaritelma 4.3 (Liikemääräoperaattori).Hiukkasen liikemäärää kuvaava observaabeli määritellään lineaarisena operaattorinap, joka kuvaa tilavektorin ψ seuraavasti

pψ = −i~ ∂∂xψ.

Liikemääräoperaattorin p määrittelyjoukko annetaan lauseen 3.4 avulla

D(p) := ψ ∈ L2 : kψ ∈ L2.Edelleen, lauseiden 3.5 ja 3.10 sekä potenssisarjojen avulla päästään määrittämäänmielivaltaisen (analyyttisen) funktion f(p) odotusarvo. Tärkeä liike-energian odo-tusarvo on seuraavanlainen

Eψ(T ) =

∞−∞

p2

2m|φ|2 dp =

(~2

2mk2ψ, ψ

)=

(− ~2

2m

∂2

∂x2ψ, ψ

).

Liike-energiaa vastaava operaattori T on siten

Tψ := − ~2

2m

∂2

∂x2ψ,

D(T ) := ψ ∈ L2 : k2ψ ∈ L2.

Fourier-muunnoksen eleganttien ominaisuuksien avulla saadaan laskettua koko jouk-ko odotusarvoja, mutta yleisesti29 fysikaaliset suureet riippuvat sekä paikasta ettäliikemäärästä. Esimerkiksi kokonaisenergia E = T + V tai, mikä vielä hankalam-pi, (kolmiulotteinen) kulmaliikemäärä L = x × p. Edeltävistä tuloksista saadaankyllä odotusarvo kokonaisenergialle, mutta mikä on tätä vastaava todennäköisyys-funktio? Kulmaliikemäärästä ei ole toistaiseksi tietoa senkään vertaa. Tuleeko siisjokaiselle dynaamiselle suureelle A(x, p) kehittää oma todennäköisyystulkinta, kutenliikemäärälle löydettiin φ? Tämänkaltaisissa tilanteissa ei todennäköisyysfunktioitakuitenkaan tarvitse alkaa muodostamaan, vaan vastaavat tulokset saadaan korres-pondenssiperiaatteella, joka on postuloitu toimivana sijoitussääntönä ja joka päteeyleisesti vain karteesisessa koordinaatistossa.

Maaritelma 4.4 (Korrespondenssiperiaate).

Observaabelia A(x, p) vastaava operaattori A(x, p) saadaan muodostettua sijoitta-malla paikan ja liikemäärän operaattorit kyseisen observaabelin lausekkeeseen

x→ x ja p→ −i~ ∂∂x.

Maaritelma 4.5 (Fysikaalisen suureen odotusarvo).Jokaista observaabelia A(x, p) vastaa tiheästi määritelty ja itseadjungoituva operaat-

tori A. Systeemillä, jonka tilaa kuvaa tilavektori ψ(x, t) ∈ D(A), on suureen A mit-tausta ajanhetkellä t vastaava odotusarvo

Eψ(A) = (Aψ, ψ).

29Kvanttimekaniikassa on myös suureita, joille ei ole vastaavuutta klassisessa fysiikassa, kutenspini S. Kyseessä on pistemäisen hiukkasen sisäinen kulmaliikemäärä, jota siis ei voida visualisoidatai määritellä, eikä siten myöskään kvantisoida, klassisen systeemin avulla.

40

Observaabeleita vastaavia operaattoreita tarkastellaan syvällisesti lähteissä [13] tai[26]. Itseadjungoituvuuden sisältämä symmetrisyys on tärkeä ominaisuus, sillä mit-tausten tulosten tulee aina olla reaalilukuja, ja lause 2.11 takaa tämän.

Esimerkki 4.1Osoitetaan, että x, p ja T ovat symmetrisiä operaattoreita.Paikkaoperaattorille tulos on triviaali

(xψ, ψ) =

∞−∞

xψψ dx =

∞−∞

ψxψ dx = (ψ, xψ).

Liikemääräoperaattorin tapauksessa käytetään osittaisintegrointia

(pψ, ψ) =

∞−∞−i~ ∂

∂xψ · ψ dx =

[−i~ψψ

]∞−∞ + i~

∞−∞

∂

∂xψ · ψ dx

= 0 +

∞−∞−i~ ∂

∂xψ · ψ dx = (ψ, pψ).

Liike-energian tapaus on nyt helppo

(Tψ, ψ) = (1

2mp2ψ, ψ) = (pψ,

1

2mpψ) = (ψ,

1

2mp2ψ) = (ψ, Tψ).

Maaritelma 4.6 (Observaabelin epätarkkuus).Observaabelia A vastaavaa lukuarvoa

(4.7) 4ψ(A) =(Eψ((A− Eψ(A))2

)) 12 ,

kutsutaan epätarkkuudeksi, mikä kuvaa tilassa ψ mitattujen arvojen hajontaa odo-tusarvon Eψ(A) ympärillä.

Määritelmästä 4.6 huomataan heti, että 4ψ(A) = 0, jos ja vain jos ψ on observaa-

belia A vastaava ominaistila ja Eψ(A) on vastaava ominaisarvo; Aψ = Eψ(A)ψ.

Seuraavaksi on listattuna joitakin fysikaalisia suureita ja niitä vastaavat operaat-torit. Mukana on myös kolmiulotteiset tapaukset, sillä tässä tutkielmassa esitellyttulokset yleistyvät komponenteittain korkeampiin ulottuvuuksiin.

Fysikaalinen suure Operaattori

Paikka xi, x xi = xi, x = (x1, x2, x3) = xLiikemäärä pi, p pi = −i~∂xi , p = (p1, p2, p3) = −i~∇

Liike-energia T = p·p2m

= |p|22m

T = − ~22m∇ · ∇ = − ~2

2m∇2

Potentiaalienergia V V (x) = V (x)

Kokonaisenergia E = T + V H = − ~22m∇2 + V

Kulmaliikemäärä L = x× p L = x× p = −i~x×∇Taulukko4.1 : Fysikaaliset suureet ja vastaavat operaattorit. Termi H on

kokonaisenergiaa vastaava Hamiltonin operaattori.

41

Tässä kohtaa lienee paikallaan mainita, miten Paul Dirac30, joka oli luonteeltaanhyvin omalaatuinen matematiikan opiskelija Cambridgen yliopistossa, liittyi kvant-timekaniikan kehitykseen. Heisenberg piti seminaaripuheen Cambridgessa 1925 jatämän jälkeen Diracin ohjaaja Ralph Fowler (18891944) sai käsiinsä Heisenberginkvanttiteoriaa käsittelevän artikkelin ja antoi sen Diracille. Aluksi Dirac ei innostu-nut Heisenbergin vaikeaselkoisesta ja lososia ideoita sisältävästä paperista, muttakahden viikon kuluttua hän marssi Fowlerin toimistoon ja ilmoitti: Suurenmoista,se sisältää avaimen kvanttimekaniikkaan! [12, s. 145.]Heisenbergin teoria perustui siihen, etteivät jotkin fysikaaliset suureet kommutoi, jatämä kauneutta sotkeva sekä mahdollisesti teorian tieteellisyyden vaarantava seikkahäiritsi niin paljon, että hän pyrki kirjoittamaan artikkelinsa siten, että luonno-ton epäkommutatiivisuus peittyisi kaiken muun alle. Diracille epäkommutatiivisetalgebrat eivät kuitenkaan olleet vieraita ja taitavana matemaatikkona hän sai no-peasti selville, mistä tässä uudessa teoriassa oli pohjimmiltaan kyse. Dirac osoitti,että kvanttimekaanisten suureiden ominaisuuksia voidaan ilmaista kommutaattorienavulla ja kommutaattori on aina Planckin vakion moninkerta. Hän yleisti Heisenber-gin matriisit lineaarisiin operaattoreihin ja 1926-vuoden puoliväliin mennessä hänoli luonut oman kommutaattoreihin perustuvan version kvanttimekaniikasta. Diracmyös kehitti tehokkaan bra-ket formalismin, joka yksinkertaisti huomattavasti las-kutoimituksia. Bohr kutsui Diracin Kööpenhaminaan, ja siinä missä Bohr, Schrö-dinger ja Heisenberg kävivät kiivaita ja loputtomia väittelyitään kvanttimekaniikantodellisesta luonteesta, niin Dirac keskittyi matematiikkaan. 1928 Dirac kehitti rela-tivistisen version Schrödingerin yhtälöstä, Diracin yhtälön, ja tämän avulla ennustimm. antihiukkasten olemassaolon. Samana vuonna Dirac myös kirjoitti ensimmäisetjulkaisut kvanttielektrodynamiikasta. Kun Heisenberg julkaisi epätarkkuusperiaat-teensa 1927, niin nähdessään kyseisen artikkelin Dirac totesi: Oh yes, indeed, Iproved that in 1925. [6, s. 5758, 6566, 97; 8, s. 140144; 12, s. 145146.]

Matemaattiset operaattorit eivät yleisesti kommutoi ja tähän seikkaan perustuuKennardin muotoilema yleinen versio Heisenbergin epätarkkuusperiaatteesta kahdenmielivaltaisen operaattorin välillä. Esimerkiksi operaattorit xipi ja pixi eivät olesamoja, kuten suora lasku osoittaa:

xipiψ = −i~xi∂

∂xiψ,

pixiψ = −i~ ∂

∂xi(xiψ) = xipiψ − i~ψ.

Nyt voidaan laskea kyseisille operaattoreille kommutaattori

[xi, pi] = xipi − pixi = i~I .

Edeltävässä I on identiteettioperaattori, sillä kommutaattori pätee kaikille määri-tellyille vektoreille ψ. Osittaisderivoinnista johtuen on selvää, että esimerkiksi ope-raattorit xi ja pj kommutoivat, joten yleisesti on voimassa seuraavat tulokset

(4.8) [xi, xj] = [pi, pj] = 0 ja [xi, pj] = i~Iδij.

30Paul Adrien Maurice Dirac (19021984) oli englantilainen teoreettinen fyysikko, joka mm.ennusti positronin olemassaolon 1928 sekä vaikutti merkittävästi kvanttikenttäteorian kehitykseen.Hän sai yhdessä Erwin Schrödingerin kanssa fysiikan Nobelin palkinnon vuonna 1933.

42

Kulmaliikemäärälle voidaan suoralla laskulla osoittaa seuraavat relaatiot

[L1, L2] = i~L3, [L2, L3] = i~L1 ja [L3, L1] = i~L2.

Esimerkin vuoksi näytetään tuloksen (4.8) avulla ensimmäinen tapaus toteen

[L1, L2] = L1L2 − L2L1

= (x2p3 − x3p2)(x3p1 − x1p3)− (x3p1 − x1p3)(x2p3 − x3p2)= x2p3x3p1 − x3p2x3p1 − x2p3x1p3 + x3p2x1p3

−x3p1x2p3 + x1p3x2p3 + x3p1x3p2 − x1p3x3p2= x2(p3x3)p1 − x3x3p1p2 − x1x2p3p3 + x1(x3p3)p2

−x2(x3p3)p1 + x1x2p3p3 + x3x3p1p2 − x1(p3x3)p2= x2(p3x3 − x3p3)p1 + x1(x3p3 − p3x3)p2= i~(−x2p1 + x1p2) = i~L3.

Kulmaliikemäärän neliö, L2 = L21 + L2

2 + L23, kommutoi kaikkien komponenttien

kanssa

[L2, L1] = [L2, L2] = [L2, L3] = 0.

Edellinen on helppo ymmärtää, sillä neliö L2 ei riipu akseleiden valinnasta ja ope-raattori on siten kiertoinvariantti, eikä tee eroa L:n komponenttien suhteen.

Jos kvanttimekaniikan operaattorit ovat valmiiksi annettuina/postuloituina, niinvoidaan muodostaa lauseen 4.2 kaltainen relaatio ilman, että käytettäisiin Fourier-muunnosta.

Lause 4.3 (Yleinen Heisenbergin epätarkkuusperiaate).

Olkoon A ja B kaksi observaabelia. Jokaiselle tilalle ψ ∈ D(AB) ∩D(BA) on voi-massa seuraava relaatio

(4.9) 4ψ(A)4ψ(B) ≥ 1

2

∣∣∣Eψ([A, B])∣∣∣ .

Yhtäsuuruus, jos (B − Eψ(B))ψ = iλ(A − Eψ(A))ψ, λ ∈ R \ 0, tai jos ψ onobservaabelin A tai B ominaistila.

Todistus : [13, s. 174; 14, s. 97].

Valitaan ensin uudet muuttujat: A′ = A− Eψ(A) ja B′ = B − Eψ(B).

Nyt (4.7) ja symmetrisyyden avulla: 4ψ(A) =∥∥∥A′ψ∥∥∥

2ja 4ψ(B) =

∥∥∥B′ψ∥∥∥2.

CauchynSchwarzin epäyhtälön ja symmetrisyyden nojalla

4ψ(A)4ψ(B) = 4ψ(B)4ψ(A) ≥∣∣∣(B′ψ, A′ψ)

∣∣∣ =∣∣∣(A′B′ψ, ψ)

∣∣∣ .Lauseen 2.13 avulla kahdelle symmetriselle operaattorille saadaan hajoitelma

A′B′ =1

2A′, B′+

1

2[A′, B′].

43

Lauseen 2.11 mukaisesti (A′, B′ψ, ψ) on reaalinen sekä ([A′, B′]ψ, ψ) on puhtaastiimaginaarinen. Koska |z|2 = x2 + y2, kun z = x + iy, niin edeltävän hajoitelmansekä sisätulon avulla seuraa lauseke

(4ψ(A)4ψ(B))2 ≥∣∣∣(A′B′ψ, ψ)

∣∣∣2 =1

4(A′, B′ψ, ψ)2 +

1

4

∣∣∣([A′, B′]ψ, ψ)∣∣∣2 .

Edeltävän, sekä [A′, B′] = [A, B] avulla, saadaan

(4ψ(A)4ψ(B))2 ≥∣∣∣(A′B′ψ, ψ)

∣∣∣2 ≥ 14

∣∣∣([A′, B′]ψ, ψ)∣∣∣2 = 1

4

∣∣∣([A, B]ψ, ψ)∣∣∣2 .

Väite seuraa ottamalla puolittain neliöjuuri.

Yhtäsuuruus lausekkeessa (4.9), jos ψ ei ole triviaalisti ominaistila, vaatii, että B′ψ =

zA′ψ CauchynSchwarzin epäyhtälössä sekä luvun (A′, B′ψ, ψ) tulee hävitä. Siten,yhdistämällä edeltävät vaatimukset, saadaan

(A′(zA′)ψ, ψ) + ((zA′)A′ψ, ψ) = (zA′ψ, A′ψ) + (A′ψ, zA′ψ) = (z+ z)(A′ψ, A′ψ) = 0.

Siispä luvun z tulee olla puhtaasti imaginaarinen, ja ehdon B′ψ = zA′ψ kanssa tästäseuraa lauseke

(B − Eψ(B))ψ = iλ(A− Eψ(A))ψ, λ ∈ R \ 0.

Esimerkki 4.2Valitaan lausekkeeseen (4.9) A = xi ja B = pj, jolloin saadaan tuloksen (4.8) avullatuttu relaatio

4ψ(xi)4ψ(pj) ≥1

2|Eψ([xi, pj])|

=1

2|(i~δijψ, ψ)|

=1

2|i~δij ‖ψ‖2| =

~2δij.

Minimi saavutetaan ehdolla

(−i~ ∂∂x− Eψ(p))ψ = iλ(x− Eψ(x))ψ, λ ∈ R \ 0.

Ratkaisuksi edeltävään dierentiaaliyhtälöön saadaan Gaussin aaltopaketti, jolla onalkuhetkellä minimiarvo epämääräisyyksien tulolla. Riippuen potentiaalista, jonkahiukkanen kokee, hajonta leviää enemmän tai vähemmän nopeasti, eikä4ψ(x)4ψ(p)ole enää minimissään. Ainoastaan harmonisella oskillaattorilla minimiaaltopaketityhtenevät koherenttien tilojen kanssa ja pysyvät minimissä systeemin aikakehityk-sen kuluessa, kun symmetrinen potentiaali pitää paikan ja liikemäärän hajontojentulon vakiona, ks. [3, kappale 7.8]. Kyseisten tilojen liike (aikakehitys) on lähimpänäklassisen mekaniikan mukaista oskillaatiota.

44

4.4. Ajan ja energian epätarkkuusperiaate.

Epätarkkuusrelaatiot käsittelevät kahden observaabelin variansseja tietyllä ajanhet-kellä t. Näiden lisäksi on olemassa epätarkkuusperiaate myös ajalle ja energialle,mutta kyseistä esitystä ei voida antaa yhtä täsmällisesti kuin lausessa 4.3. Tärkeinsyy tähän perustavanlaatuiseen eroon on se, että aika on vain klassinen parametrikvanttimekaniikassa, eikä dynaaminen muuttuja, kuten paikka x. Esimerkiksi aalto-funktion ψ(x, t) integroiminen sekä paikan x että ajan t suhteen ei anna mitään ää-rellistä/fysikaalista tulosta. Mikään ei myöskään estä tilaa ψ olemasta observaabelinE ominaistila ajanhetkellä t. Käytännöllinen epätarkkuusperiaate ajalle ja energialleon kuitenkin muodostettavissa, kun 4t tulkitaan aikaväliksi ja 4E jonkin tyyppi-seksi energiaeroksi kyseisellä aikavälillä. Lyhyesti esitellään lähteeseen [14, kappale4.2] perustuen kolme esimerkkitapausta.

1. Paikan mittauksen epätarkkuus.Energian epätarkkuus vapaalle aaltopaketille on 4E = (4p0 · p0)/m. Määritelläänajan epätarkkuus 4t aikana, jona hiukkanen voidaan löytää paikasta x, tai aikana,jonka hiukkasen aaltopaketin pituus 4x tarvitsee ohittaakseen paikan x.

4t =4xv0

=m4xp0

.

Tämän avulla aika-energia epätarkkuudeksi saadaan

4(E)4(t) = 4(x)4(p) ' ~.

2. Energian mittauksen epätarkkuus.Tarkkuudella4E suoritettuun energian mittaukseen tarvitaan aikaa vähintään4t =~/4E seuraavasta syystä: aaltopaketin energiajakauman mittaukseen vaaditaan ai-kaa vähintään niin paljon kuin aaltopaketilta kuluu mittalaitteiston ohittamiseen.

4t ' 4xv0≥ ~v04p

=~4E

.

Siispä aika-energia epätarkkuudeksi saadaan

4(E)4(t) ' ~.

3. Virittyneen tilan energian epätarkkuus.Yhteys epätarkkuusperiaatteeseen löytyy myös virittyneen tilan (esimerkiksi viritty-nyt atomi, radioaktiivinen ydin tai epävakaa alkeishiukkanen) keskimääräisen elin-ajan τ ja energiavälin 4E välillä. Kyseinen 4E vastaa systeemin emittoimaa ener-giaa/hiukkasta viritystilan lauetessa. Nyt kohdan 2 mukaisesti nähdään emittoituhiukkanen mittalaitteena, joka vuorovaikuttaa epävakaan systeemin kanssa ajan τja siten vaatii energiaeron luokkaa ~/τ .

4(E)τ ≈ ~.

45

4.5. Coulombin epätarkkuusperiaate ja atomien vakaus.

Eräs tärkeimmistä kvanttimekaniikan seurauksista on, että se ratkaisee atomin va-kauden ongelman, joka on yksi suurimmista ristiriitaisuuksista klassisessa fysiikassa.Newtonin ja Maxwellin oppeihin perustuvassa maailmassa aineen tulisi olla täysinepävakaata ja kaiken pitäisi romahtaa kasaan välittömästi, kun atomeissa negatii-viset ja positiiviset varaukset vetäisivät toisiaan puoleensa. Kvanttimekaniikan mal-lissa juuri epätarkkuusperiaate ennustaa atomeille ja samalla kaikelle aineelle tietyntasapainotilan, jossa negatiivisesti varatut elektronit ja positiiviset protonit eivät voitörmätä toisiinsa. Toisin sanoen atomisysteemin energia on alhaalta rajoitettu, eikäsuinkaan äärettömän negatiivinen. Aineen vakautta ilmentää myös sekin, että mak-roskooppisen systeemin energia on lineaarisesti riippuvainen systeemin hiukkastenlukumäärästä, mutta tähän seikkaan ei nyt paneuduta31.

Yksinkertaisin atomi, vetyatomi, koostuu ytimessä olevasta protonista, varaus +e, jaytimen ulkopuolella olevasta elektronista32, varaus −e. Vedynkaltainen atomi taason systeemi, jossa ydin koostuu hiukkasesta, jolla on varauksena alkeisvarauksenmoninkerta Ze, ja jolla on yksi elektroni. Protoni on elektronia noin 1800-kertaaraskaampi, joten 4x1 ' ~/(3600me4v1) ja ydintä voidaan pitää paikalleen origoonsidottuna. Siten ainoa kvanttimekaaninen hiukkanen systeemissä on elektroni, jonkatilaa voidaan kuvata aaltofunktiolla ψ. Edelleen, sekä ydintä että elektronia voidaanapproksimoida pistemmäisinä hiukkasina. Koska fysikaalinen vetyatomi on kolmiu-lotteinen, niin tulee myös tilaa kuvaava aaltofunktio ψ esittää kolmiulotteisena.

Elektronin liike-energian odotusarvo on taulukon 4.1 perusteella

Eψ(T ) = (Tψ, ψ) = (− ~2

2me

∇2ψ, ψ) = (~2

2me

∇ψ,∇ψ) =~2

2me

R3

|∇ψ(x, t)|2 dx.

Koska ψ ∈ L2(R3), niin edeltävässä voi osittaisintegroida: −(∇ψ, ψ) = (ψ,∇ψ).Toisaalta symmetrisen liikemääräoperaattorin avulla: (−∇2ψ, ψ) = ((i∇)2ψ, ψ) =(i∇ψ, i∇ψ) = ‖i∇ψ‖22 = ‖∇ψ‖22.

Systeemissä elektroniin vaikuttava voima, eli F (x) = −∇V (x), on ytimeen sitovaCoulombin potentiaali, jossa Coulombin vakio on ke ≈ 8, 988 · 109N ·m2/C2,

V (x) = −keZe2

|x|.

Potentiaalienergian odotusarvo elektronin aaltofunktion ψ suhteen on

Eψ(V ) = (V ψ, ψ) = (−keZe2

|x|ψ, ψ) = −Zkee2

R3

1

|x||ψ(x, t)|2 dx.

Tilassa ψ olevan elektronin kokonaisenergian odotusarvo on siten

31Vuorovaikuttavien termien kaksinkertaistuessa Coulombisen energian pitäisi nelinkertaistua,ja tunnetusti jokainen fysikaalinen systeemi pyrkii minimoimaan oman sisäisen energiansa. Kahdenvesilasillisen yhdistäminen on kuitenkin arkipäiväisen vakaa prosessi, eikä räjähdä käsiin ja vapautavaltavaa määrää energiaa ympäristöön. Ei ehkä paras keskustelunaihe humanistien kanssa.

32Elektronin massa me ≈ 9, 109 · 10−31 kg ja alkeisvaraus e ≈ 1, 602 · 10−19 C. Coulombinenvoima dominoi noin 1040-kertaisesti elektronin ja protonin välistä gravitaatiovuorovaikutusta.

46

E(ψ) := (Hψ, ψ) =~2

2me

R3

|∇ψ(x, t)|2 dx− Zkee2R3

1

|x||ψ(x, t)|2 dx.

Liike-energia vaaditaan T :n määrittelyjoukon vuoksi äärelliseksi, joten f ja ∇f kuu-luvat joukkoon L2(R3). Selvästi E(ψ) voi olla valtavan suuri, mutta voiko se olla mie-livaltaisen negatiivinen? Klassisesti vastaus on tietysti kyllä!. Funktiota E(x,p) eiolla rajoitettu alhaalta päin, sillä −|x|−1 voi olla mielivaltaisen negatiivinen ja ptaas nolla. Jokainen klassinen Coulombin systeemi, jossa kaikki varaukset eivät olesaman merkkisiä, on rajoittamattoman energian lähde. Toisin kuitenkin on kvantti-mekaniikassa, jossa systeemin pienin mahdollinen energia on äärellinen, kuten pianosoitetaan. Tarkastellaan siis seuraavaa lukuarvoa.

(4.10) E0 := inf E(ψ) : ‖ψ‖2 = 1 .

Jos inmum lausekkeessa (4.10) on minimi, siis E0 = E(ψ0), niin E0 on alin energia-taso jonka systeemi voi saavuttaa ja on siten perustilan energia, ja vastaavaa tilaaψ0 kutsutaan perustilaksi. Monimutkaisemmissa systeemeissä arvoa E0 kutsutaanmyös perustilan energiaksi, vaikkei inmumia saavutettaisikaan millään tilalla ψ, jakäytännössä inmumia ei saavuteta, jos atomissa on liikaa elektroneja. Fysikaalinentotuus on myös se, että oli hiukkanen sitten missä (virittyneessä) tilassa tahansa,niin se lopulta asettuu perustilalleen emittoimalla energiaa, useimmiten valokvant-teina33.Jos vedynkaltaisen systeemin potentiaalilla V (x) ∼ − |x|−1 aletaan ratkaisemaanSchrödingerin yhtälöä, niin ratkaisuista havaitaan kvanttimekaniikalle tyypillinenkvantittuminen, kun energiatilat eivät muutu jatkuvasti, vaan saavat diskreettejäarvoja perustilasta alkaen, ja tästä seuraavat vedyn spektriviivat. Toisaalta liianvoimakkailla potentiaaleilla, esimerkiksi V (x) ∼ − |x|−s, kun s > 2, kokonaisenergiaei ole enää alhaalta rajoitettu. Taas toisaalta ei ole mitenkään selvää, että löytyykönäille hyvin singulaarisille potentiaaleille fysikaalisia vastineita34.

Systeemin vakautta tarkasteltaessa halutaan välttää teknisesti hankala kysymys H:nitseadjungoituvuudesta ja sitä kautta H:n pienimmän ominaisarvon määrittämisestäajasta riippumattomassa ominaisarvoyhtälössä Hψ = Eψ.E0:n arvioimisessa käytetään integraaliepäyhtälöä, jolla potentiaalista ja hiukkastenlukumäärästä riippuen hyvinkin vaikea minimoimisongelma saadaan huomattavas-ti yksinkertaisempaan muotoon. Integraaliepäyhtälöä, jossa termi ‖∇ψ‖2 dominoijotakin funktion ψ integraalia, joka ei sisällä gradienttia, kutsutaan yleisesti epä-tarkkuusperiaatteeksi. Historiallisesti nimitys seuraa siitä, ettei potentiaalienergiaavoi tehdä liian negatiiviseksi (paikantaa hiukkasta) ilman, että liike-energia kasvaaerittäin suureksi, ja sama ilmenee Heisenbergin epätarkkuusperiaatteessakin. Tästäpuhtaasti kvanttifysiikan ilmiöstä käytetään nimitystä Heisenbergin paine (kvantti-paine), mikä muuttuu merkittäväksi lyhyillä etäisyyksillä. Ytimen säde on n. 10−15

metriä ja vetyatomissa elektroni on n. 10−10 metrin etäisyydellä ytimestä.

33Fotonien emissio tai absorptio vaatii selitykseksi kvanttielektrodynamiikkaa. Schrödingerinyhtälön (stationaariset) ratkaisut eli ominaistilat ovat vakaita, mutta ympäröivän kvanttikentänhäiriöt stimuloivat tilojen transition, jolloin systeemi mysteerisesti hyppää tilalta toiselle.

34Esimerkiksi säieteoriassa voi esiintyä hyvinkin eksoottisia, ja singulaarisia, potentiaaleja:− |x|−4 potentiaalin on havaittu liittyvän braanin (korkeampiulotteinen kalvo, joka yleistääkvanttimekaniikan pistemäistä hiukkasta) uktuaatioon 10-ulotteisessa avaruudessa, ks. [20].

47

Seuraavaksi todistetaan vetyatomin elektronin energian minimoimiseen loistavastisoveltuva epäyhtälö

Lause 4.4 (Coulombin epätarkkuusperiaate).Jos f(x) ja ∇f(x) kuuluvat joukkoon L2(R3), niin on voimassa

R3

1

|x||f(x)|2 dx ≤ ‖∇f‖2 ‖f‖2 .

Yhtäsuuruus pätee, jos ja vain jos f(x) = Ce−a|x|, C ∈ C ja a > 0.

Todistus : Laajennettu versio lähteestä [15, s. 14].Osittaisderivoimalla saadaan potentiaalin integrandi muotoon

1

|x||f |2 = ∂xi

[xi|x||f |2]

+x2i|x|2

1

|x||f |2 − xi

|x|∂xi |f |

2 .

Summataan yli kaikkien indeksien:

(4.11) 3 · 1

|x||f |2 =

3∑i=1

[∂xi

[xi|x||f |2]

+x2i|x|2

1

|x||f |2 − xi

|x|∂xi |f |

2

].

Edeltävässä huomataan, että

3∑i=1

[x2i|x|2

1

|x||f |2]

=x21 + x22 + x23|x|2

1

|x||f |2 =

1

|x||f |2 .

Järjestellään lauseke (4.11) uudelleen ja integroidaan yli joukon R3:

(4.12) 2

R3

1

|x||f(x)|2 dx =

3∑i=1

R3

(∂xi

[xi|x||f |2]− xi|x|∂xi |f |

2

)dx.

EdeltävässäR3

∂xi

[xi|x||f |2]dx =

∞−∞

∞−∞

∞−∞

∂xi

[xi|x||f |2]dxidxjdxk

=

∞−∞

∞−∞

[xi|x||f |2]∞−∞

dxjdxk = 0.

Koska integroimisrajoja on luvallista vaihtaa, niin

3∑i=1

R3

∂xi

[xi|x||f |2]dx = 0.

Koska

xi|x|∂xi |f |

2 =xi|x|f∂xif +

xi|x|f∂xif,

niin

(4.13)3∑i=1

R3

[xi|x|∂xi |f |

2

]dx =

3∑i=1

[(∂xif,

xi|x|f

)+

(xi|x|f, ∂xif

)].

48

Yhdistämällä lausekkeet (4.12) ja (4.13):R3

1

|x||f(x)|2 dx = −1

2

3∑i=1

[(∂xif,

xi|x|f

)+

(xi|x|f, ∂xif

)]

= −1

2

3∑i=1

2<[(

xi|x|f, ∂xif

)]

≤3∑i=1

∣∣∣∣( xi|x|f, ∂xif)∣∣∣∣ .

Nyt, käyttämällä CauchynSchwarzin epäyhtälöä, saadaan

3∑i=1

∣∣∣∣( xi|x|f, ∂xif)

∣∣∣∣ ≤ 3∑i=1

∥∥∥∥ xi|x|f∥∥∥∥2

‖∂xif‖2 .

Edeltävässä pätee yhtäsuuruus, jos ja vain jos kaikilla indekseillä

∂xif = aixi|x|f, ai ∈ C.

Koska integraali on lineaarinen ja normit ei-negatiivisia reaalilukuja, niin voidaankäyttää tuttua Cauchyn epäyhtälöä

|α1| |β1|+ |α2| |β2|+ |α3| |β3| ≤√|α1|2 + |α2|2 + |α3|2

√|β1|2 + |β2|2 + |β3|2,

jossa yhtäsuuruus, jos ja vain jos β1/α1 = β2/α2 = β3/α3 = a ∈ C (tai αi = 0 ∀i).Edeltävän avulla saadaan

3∑i=1

∥∥∥∥ xi|x|f∥∥∥∥2

‖∂xif‖2 ≤

√√√√ 3∑i=1

∥∥∥∥ xi|x|f∥∥∥∥22

√√√√ 3∑i=1

‖∂xif‖22

=

√R3

x21 + x22 + x23|x|2

|f |2 dx

×

√R3

[|∂x1f |

2 + |∂x2f |2 + |∂x3f |

2] dx= ‖f‖2 ‖∇f‖2 ,

josta väite lopulta seuraa.

Yhtäsuuruus on voimassa, jos ja vain jos

∇f = ax

|x|f.

Reaalisuusehdosta (vrt. lauseen 3.14 todistus) seuraa, että verrannollisuusvakion atulee olla reaalinen. Dierentiaaliyhtälölle saadaan ratkaisuksi

f(x) = Ce−a|x|, C ∈ C ja a > 0.

Vakion a tulee olla positiivinen, sillä muutoin funktio ei olisi neliöintegroituva.

49

Nyt on käytössä lause, jolla hankala variaatioyhtälö (4.10) saadaan huomattavastihelpompaan muotoon. Seuraavaksi osoitetaan erittäin tärkeä fysikaalinen tulos.

Lause 4.5 (Vedynkaltaisen atomin vakaus).Vedynkaltaisen atomin yksikäsitteisen perustilan ψ0 energia

E0 = inf

~2

2me

R3

|∇ψ(x, t)|2 dx− Zkee2R3

1

|x||ψ(x, t)|2 dx : ‖ψ‖2 = 1

on alhaalta rajoitettu, E0 = −Z2 · k2emee

4/2~2.

Todistus :Perustilan energia on luonnollisesti ajasta riippumaton, jolloin ψ0(x, t) ≡ ψ0(x).Arvioidaan kokonaisenergiaa alaspäin lauseella 4.4. Ongelma muuttuu nyt toisenasteen yhtälön minimoimiseksi, missä muuttujana on gradientin normi ‖∇ψ‖2:

~2

2me

‖∇ψ‖22 − Zkee2 ‖∇ψ‖2 .

Derivoimalla havaitaan, että lausekkeen minimi saavutetaan muuttujan arvolla Z ·kemee

2/~2, ja perustilan energialla on siten äärellinen arvo−Z2·k2emee4/2~2. Lauseen

4.4 mukaan perustila ψ0 on myös yksikäsitteinen.

Vedynkaltaiset atomit ovat siis vakaita ja vetyatomin (Z = 1) perustilan energia−13, 56 eV ≈ −1Ry vastaa hyvin tarkasti kokeellisia havaintoja. Tämä tulos onvahva todiste kvanttimekaniikan sekä samalla epätarkkuusperiaatteen puolesta.

Perustilan energia on negatiivinen, sillä elektronin tulee olla sidottu ytimeen, ettäatomisysteemi voi muodostua, ja kyseinen energia vaaditaan vähintään, jos halutaanirroittaa vetyatomista elektroni. Kiihtyvässä liikkeessä oleva varaus lähettää sähkö-magneettista säteilyä ja tästä syystä jokainen klassinen protoni-elektronipari muo-dostaa vetypommin, mutta yksikäsitteisellä35 perustilalla elektronilla ei ole fotoninemissioon tarvittavaa energiaa. Lisäksi kulmaliikemäärä häviää36, sillä perustila onmuotoa ψ0 = Ce−a|x| ∈ L2, joten Lψ0 = −i~(x × ∇)ψ0 = 0 ja Eψ0(L) = 0. Kuntiedetään ‖∇ψ0‖2 = kemee

2/~2 ja E0 = −k2emee4/2~2, niin lausekkeesta (4.10) voi

ratkaista termin Eψ0(1|x|) = kmee

2/~2 = 1/a0, missä a0 ≈ 5, 2917721092(17)·10−11m

on Bohrin säde, joka ilmaisee elektronin todennäköisimmän etäisyyden protonista.

Muille kuin vetyatomille perustilan energian laskeminen ei ole enää helppoa, silläatomien elektronirakenteen dynamiikassa on paljon muuttujia sekä lisäksi tulee ottaahuomioon Paulin kieltosääntö, jonka mukaan kaksi samanlaista fermionia ei voiolla samassa kvanttitilassa, jolloin kaikki elektronitkaan eivät voi siirtyä perustilalle,josta taas esimerkiksi seuraa se, ettei tämän tutkielman lukijakaan mene tuolinsakanssa lattiasta läpi. Atomeista vain vedyn tapauksessa Schrödingerin yhtälölle onlöydettävissä analyyttiset ratkaisut, eikä sekään ole yksinkertainen tehtävä.

35Tämä ei ole triviaalia, kuten ODY-teoriasta tiedetään, eikä asiaa yleensä kvanttimekaniikanperusoppikirjoissa mainita. Aiheesta lisää, yleiselle potentiaalille V (x), lähteessä [25, luku 11].

36Vetyatomi on siis protonin ja elektronin muodostama tasapainotila, jota ei voi visualisoidaklassisella planeettamallilla; kiertoratojen sijaan tiloista on mielekkäämpää puhua orbitaaleina.

50

Jos jätetään huomiotta, että elektronit ovat fermioneita, niin seuraten lähdettä [26,kappale 5.3] atomien vakautta voidaan kuitenkin perustella. Tarkastellaan atomia,jossa on N kappaletta elektroneja sekä jälleen hyvin raskas origossa sijaitseva ydin,jonka varaus on Ze (atomi on neutraali, jos N = Z). Atomin elektronirakenteenaaltofunktio on muotoa37 ψ : R3N → C, ψ(x1, . . . ,xN , t), ψ ∈ L2(R3N), jokainen3N komponenttia gradientissa ∇ψ = (∇1ψ, . . . ,∇Nψ), jossa ∇i := ( ∂

∂x1i, ∂∂x2i, ∂∂x3i

) ja

xi := (x1i , x2i , x

3i ), kuuluu joukkoon L2(R3N), sekä ‖ψ‖2 = 1. Systeemin Hamiltonin

operaattori saadaan summaamalla yli kaikkien elektronien:

Hat :=N∑i=1

(− ~2

2me

∇2i − ke

Ze2

|xi|

)+

1

2ke

N∑i=1:i 6=j

e2

|xi − xj|.

Operaattoria Hat voidaan (odotusarvon suhteen) arvioida alaspäin, sillä termissäoikealla esiintyvä elektronien Coulombinen repulsiopotentiaali on positiivinen:

Hat ≥N∑i=1

(− ~2

2me

∇2i − ke

Ze2

|xi|

).

Nyt voidaan käyttää vedynkaltaisen atomin Hamiltonin operaattoria ja lauseen 4.5tulosta E0, jolloin atomien perustilan energialle saadaan karkea, mutta vakaudenkannalta toimiva arvio38

E(ψ)at ≥ −NZ2 · k2emee4/2~2.

Vuonna 1967 aineen vakaus todistettiin yksinkertaistetussa, mutta fermionisessa,mallissa [21] ja myöhemmin ongelmaa on tarkasteltu ottamalla huomioon spini,magnetismi, relativismi ja gravitaatio. Kattava lähde aineen vakauden käsittelyynon [16]. Raskaimmissa atomeissa perustilan energia on luokkaa 104Ry, kun Z ≈ 90.

4.6. Heisenbergin epätarkkuusperiaate ja nollapiste-energia.

Heisenbergin epätarkkuusperiaate soveltuu myös systeemin energian minimoimiseen,kunhan potentiaali on sopivaa muotoa. Useissa oppikirjoissa vetyatomin vakauttaperustellaan Heisenbergin epätarkkuusperiaatteen avulla, mutta hankalan Coulom-bin potentiaalin vuoksi nämä esitykset pohjautuvat malliin, jossa oletetaan, ettäelektronin etäisyys ytimestä on E(x) ≈ 4x ja vastaavasti liikemäärä E(p) ≈ 4p,kun 4x4p ≈ ~, ja näin saadaan arviot E(T ) ≈ E(p)2/2me ' ~2/(E(x)22me) jaE(V ) ≈ −kee2/E(x). Täsmälliset tulokset ovat kuitenkin E(V ) = −kee2E(1/x) jaE(T ) = E(p2)/2me ≥ ~2E(1/x)2/2me, ks. lause 4.4.

Lause 4.6 (Heisenbergin epätarkkuusperiaate).Jos f(x) ja ∇f(x) kuuluvat joukkoon L2(R3), niin on voimassa

3

2‖f‖22 ≤ ‖xf‖2 ‖∇f‖2 .

Yhtäsuuruus pätee, jos ja vain jos f(x) = Ce−a|x|2

, C ∈ C ja a > 0.

37Kuten todettua, niin jokaiselle systeemille on oma aaltofunktionsa, joten kyseessä on yksiN :n muuttujan aalto, eikä N kappaletta yksittäisiä aaltoja. Termi |ψ(x1, . . . ,xN , t)|2 tulkitaantodennäköisyystiheydeksi löytää hiukkanen 1 paikasta x1, hiukkanen 2 paikasta x2 jne. Perustilanelektronirakenteen ratkaisuun hyviä approksimaatioita ovat ns. tiheysfunktionaalimenetelmät.

38Siis E0 ∼ −Z3. Suurille Z oikeampi tulos on E0 ∼ −Z7/3, ks. [16, s. 128].

51

Todistus :Kaikki tarpeellinen on jo valmisteltu lauseen 3.14 todistuksessa:

1

2‖f‖22 ≤ ‖xif‖2 ‖∂xif‖2 , jossa yhtäsuuruus, jos ja vain jos ∂xif = aixif, kun ai ∈ R.

Summataan yli kaikkien indeksien ja käytetään Cauchyn epäyhtälöä:

3 · 1

2‖f‖22 ≤

3∑i=1

‖xif‖2 ‖∂xif‖2

≤

√√√√ 3∑i=1

‖xif‖22

√√√√ 3∑i=1

‖∂xif‖22

= ‖xf‖2 ‖∇f‖2 .

Yhtäsuuruus, jos ja vain jos ∇f = axf ; f(x) = Ce−a|x|2

, C ∈ C ja a > 0.

Edeltävää epätarkkuusperiaatetta voi soveltaa, kun minimoidaan seuraavanlaistakokonaisenergian lauseketta

E(ψ) :=~2

2m

R3

|∇ψ(x, t)|2 dx +1

2mω2

R3

|x|2 |ψ(x, t)|2 dx.

Perustilan energian määrittäminen menee vastaavalla tavalla kuin lauseessa 4.5 jaminimointiongelma pelkistyy muotoon

~2

2m‖∇ψ‖22 +

1

2mω2 9

4 ‖∇ψ‖22,

jonka nollasta eroava minimiarvo on

E0 =3

2~ω.

Edeltävässä funktionaalissa potentiaali edustaa harmonista oskillaattoria, jolla onuseita tärkeitä sovelluksia kvanttimekaniikassa. Kyseinen malli auttaa esimerkik-si ymmärtämään molekyylien värähtelyspektrin tai kiinteän aineen ominaislämpö-kapasiteetin (molekyylit värähtelevät hilassa tasapainoasemansa ympärillä). Useitamonimutkaisia, mutta lokaalisti parabolisia, potentiaaleja voidaan approksimoidaharmonisella oskillaattorilla tasapainoaseman ympäristössä, ks. kuva 4.1.

Harmonisessa oskillaattorissa hiukkanen värähtelee elastisesti tasapainoaseman x0ympärillä voiman F = −k(x − x0) mukaisesti. Termi k on oskillaattorin jousivakio

(ω =√k/m), ja hiukkasen potentiaalienergia on siten V (x) = V0+k(x−x0)2/2. Kun

klassinen hiukkanen on jonkin potentiaalin suhteen stabiilissa tasapainoasemassa,x = x0, niin sen energia on minimissään. Siten ∂V (x)/∂x|x=x0 = 0 ja Taylorinkehitelmä tasapainoaseman ympäristössä on seuraavanlainen

V (x) = V0 + k(x− x0)2/2 + c(x− x0)3 + . . . , c ∈ R.Kun värähtely pisteen x0 ympärillä on pientä (|x=x0| k/c), niin kuutiotermi läheshäviää ja systeemiä voidaan approksimoida harmonisen oskillaattorin avulla.

52

Kuva4.1 : Monimutkaisen potentiaalin approksimoiminen tasapainoasemanympäristössä harmonisen potentiaalin avulla [9, s. 69].

Harmonisen oskillaattorin perustilalla aaltofunktio ei asetu potentiaalin minimiin,vaan pisteen x0 ympärille, mikä vastaa paikallista epämääräisyyttä (uktuaatiota).Tämänkaltaista ominaisuutta kutsutaan nollapisteuktuaatioksi. Alinta energiatilaa,jonka systeemi näin saavuttaa, sanotaan nollapiste-energiaksi. Nollapiste-energianvuoksi esim. nestemäinen helium ei voi jäätyä normaalipaineessa, vaikka lämpötilalaskettaisiin kohden absoluuttista nollapistettä, ks. [19, s. 2]. Klassisessa fysiikassasysteemi voi olla ilman liike-energiaa potentiaalin minimissä, mutta kvanttimekaa-nisen hiukkasen erikoisesta aaltoluonteesta johtuen liike-energia kasvaa rajatta, kunlähestytään potentiaalin minimiä. Epätarkkuusperiaate takaa kaikille fysikaalisillesysteemeille nollasta eroavan määrän energiaa39.

4.7. Yleinen epätarkkuusperiaate.

Heisenbergin epäyhtälö soveltuu hyvin konjugaattisuureiden epätarkkuusperiaatteenosoittamiseen, mutta on samalla huomattava, että vaikka pieni arvo termille ‖xf‖2tarkoittaa, että f on rajoittunut lähelle origoa, niin suuri arvo ei tarkoita, että fsaisi kaukana origosta suuria arvoja. Itseasiassa ‖xf‖2 voi olla valtava, vaikka suurinosa massasta olisi origon ympäristössä, kunhan vain pieni osa sijaitsisi tarpeeksikaukana, kuten esimerkissä 3.3. Jos hiukkasta kuvattaisiin kahden avaruudellisestierillisen aaltopaketin avulla, ψ = ψ1 + ψ2, niin Heisenbergin epätarkkuusperiaate eiyksinään riitä estämään kutakin aaltopakettia saamasta tarkkoja arvoja paikka- jaliikemääräavaruudessa, ks. Liebin vastaesimerkki [24, s. 554555].

Käytännöllisempi ns. yleinen epätarkkuusperiaate takaa sen, ettei avaruuden R3

kompaktikantajaista sekä jatkuvasti derivoituvaa aaltoa, siis luokan C10(R3) aaltoa,

voi puristamalla rajata missään, ilman kasvavaa taajuutta. Nyt sopivasti asetetullatiheysargumentilla kyseinen epäyhtälö soveltuu myös fysikaalisten aaltofunktioidenavaruuteen. Yleinen epätarkkuusperiaate antaa epäyhtälön ‖∇ψ‖22 ≥ C ‖ρψ(x)‖3,jossa C on jokin positiivinen vakio ja ρψ(x) := |ψ|2 on todennäköisyystiheys, jotenkyse on hyvin yleisestä epätarkkuusperiaatteesta potentiaalille V (x), kun gradienttivoidaan eliminoida energiafunktionaalissa E(ψ). Kyseinen tulos ei rajoitu vain vety-atomin Coulombin potentiaaliin, kuten spesi lause 4.4, joka toisaalta antaa tarkannumeerisen vastauksen perustilan energialle.

39Näennäisen houkutteleva ajatus nollapiste-energian talteenotosta on saanut monet huuhaa-tieteilijät esittämään väitteitä ikiliikkujan tyylisistä voimageneraattoreista. Käytännön ongelmanaon tietysti se, ettei systeemillä ole enää alempaa tilaa minne siirtyä, jos energiaa otettaisiin pois.

53

Lause 4.7 (Hölderin epäyhtälö).Jos p, q ∈ (1,∞) ja p−1 + q−1 = 1, niin seuraava epäyhtälö on voimassa

R3

|f(x)g(x)| dx ≤ ‖f‖p ‖g‖q .

Todistus : [27, s. 132].Oletetaan, että p, q ∈ (1,∞). Jos ‖f‖p = 0 tai ‖g‖q = 0, niin väite on triviaali,sillä funktiot häviävät m.k. Olkoon F (x) = f(x)/ ‖f‖p ja G(x) = g(x)/ ‖g‖q, jolloin‖F‖p = ‖G‖q = 1 ja väitteen osoittamiseksi riittää, että

R3 F (x)G(x) dx ≤ 1.

Funktion ex toinen derivaatta on ex, joka on kaikkialla positiivinen, joten kyse onkonveksista funktiosta. Olkoon 0 ≤ λ ≤ 1, jolloin on voimassa

(4.14) eλa+(1−λ)b ≤ λea + (1− λ)eb,

kaikille reaalipareille a ≤ b. Jos F,G 6= 0, niin asetetaan a = p lnF , b = q lnG,λ = 1/p ja 1− λ = 1/q. Siten (4.14) perusteella

F (x)G(x) ≤ F (x)p

p+G(x)q

q.

Edeltävä pätee myös, jos F = 0 tai G = 0. Integroimalla yli joukon R3:R3

F (x)G(x) dx ≤‖F‖ppp

+‖G‖qqq

=1

p+

1

q= 1.

Lause 4.8 (GagliardonNirenbergin epäyhtälö).Jos f(x) kuuluu joukkoon C1

0(R3), niin on olemassa positiivinen vakio c siten, ettäseuraava epäyhtälö on voimassa

‖f‖3/2 ≤ c ‖∇f‖1 .

Todistus : [15, s. 20].Aluksi voi todeta, että ehto supp(f) on kompakti on välttämätön, sillä muutoin fvoisi olla identtisesti 1, mikä johtaisi ristiriitaan. Toisaalta vakio c ei ole riippuvainenkantajasta supp(f), eikä sen tarkka arvo ole mielenkiinnon kohteena.

Dierentiaalilaskennan peruslauseen avulla

f(x1, x2, x3) =

x1

−∞∂rf(r, x2, x3) dr,

ja koska f on kompaktikantajainen, niin

|f(x1, x2, x3)| ≤ c1

∞−∞|∂rf(r, x2, x3)| dr =: g1(x2, x3).

Tekemällä vastaava proseduuri muuttujille x2 ja x3 saadaan

|f(x1, x2, x3)|3 ≤ c2 · g1(x2, x3)g2(x1, x3)g3(x1, x2),

54

ja siten juurtamalla, integroimalla ja juurtamalla, edelleen

‖f(x1, x2, x3)‖3/2 ≤ c3

(R3

√g1(x2, x3)

√g2(x1, x3)

√g3(x1, x2) dx1dx2dx3

)2/3

.

Koska g1 ei riipu muuttujasta x1, niin voidaan arvioida edeltävää lauseketta ylöspäinCauchynSchwarzin epäyhtälön avulla muuttujan x1 suhteen:

c4

(R2

√g1(x2, x3)

√Rg2(x1, x3) dx1

√Rg3(x1, x2) dx1 dx2dx3

)2/3

.

Toistamalla edeltävä muuttujalle x2 saadaan uusi yläraja:

c5

(R

√Rg1(x2, x3) dx2

√Rg2(x1, x3) dx1

√R2

g3(x1, x2) dx1dx2 dx3

)2/3

.

Toistamalla edeltävä vielä muuttujalle x3:

c6

(√R2

g1(x2, x3) dx2dx3

√R2

g2(x1, x3) dx1dx3

√R2

g3(x1, x2) dx1dx2

)2/3

= c6

(R2

g1(x2, x3) dx2dx3 ·R2

g2(x1, x3) dx1dx3 ·R2

g3(x1, x2) dx1dx2

)1/3

= c6 (‖∂x1f‖1 ‖∂x2f‖1 ‖∂x3f‖1)1/3

≤ c7 ‖∇f‖1 .Lopulliseksi epäyhtälöksi saadaan, kun asetetaan positiivinen vakio c = c7,

‖f(x1, x2, x3)‖3/2 = ‖f‖3/2 ≤ c ‖∇f‖1 .

Lause 4.9 (Sobolevin epäyhtälö Yleinen epätarkkuusperiaate).Jos f(x) kuuluu joukkoon C1

0(R3), niin on olemassa positiivinen vakio c siten, ettäseuraava epäyhtälö on voimassa

‖f‖6 ≤ c ‖∇f‖2 .

Todistus : [27, s. 321].Jos f = 0, niin väite on triviaali, joten oletetaan, että f 6= 0. Asetetaan w = |f |4,(4.15) |∇w| ≤ 4 |f |3 |∇f | .Soveltamalla lausetta 4.8 funktioon40 w ja käyttämällä tulosta (4.15) sekä lausetta4.7, jossa asetetaan p = q = 1/2, siis CauchynSchwarzin epäyhtälöä, saadaan(

R3

|w|3/2 dx)2/3

≤ c1

R3

|∇w| dx

≤ c2

R3

|f |3 |∇f | dx

≤ c3

(R3

|f |6 dx)1/2(

R3

|∇f |2 dx)1/2

.

40Kuvaus x→ |x|4 on jatkuvasti dierentioituva, joten w ∈ C10 (R3).

55

Sijoitetaan edeltävään lausekkeeseen(R3

|w|3/2 dx)2/3

=

(R3

|f |6 dx)2/3

.

Siispä (R3

|f |6 dx)2/3

≤ c3

(R3

|f |6 dx)1/2(

R3

|∇f |2 dx)1/2

.

Todistus on siten valmis, kun asetetaan c = c3 sekä jaetaan puolittain termillä(R3

|f |6 dx)1/2

.

Vakiolla c ei ole konseptuaalista merkitystä ja voidaan asettaa karkeasti c = 4.Aaltofunktiolle41 ψ liike-energian kannalta mielekkäämpi muoto on

(4.16) ‖∇ψ‖22 ≥ C ‖ψ‖26 = C∥∥|ψ|2∥∥

3= C ‖ρψ(x)‖3 .

Optimaalinen vakio C := 1/c2 (suurin epäyhtälön toteuttava vakio) on 3/4 ·(4π2)2/3,tulos löytyy esimerkiksi lähteestä [25, s. 202], ja se on melko hankala todistettava.Tuloksella (4.16) energiafunktionaalin E(ψ) alarajan arvioiminen on huomattavastihelpompaa mille tahansa potentiaalille, sillä variaatioyhtälö ei sisällä gradienttia jasiten voidaan soveltaa esimerkiksi Lagrangen kertoimien menetelmää.

Lähteeseen [24, s. 555] perustuen yleisestä epätarkkuusperiaatteesta saadaan myöstoinenkin arvio, joka on heikompi, mutta samalla paljon käyttökelpoisempi. Hölderin

epäyhtälöstä seuraa, kun valitaan f = ρψ, g = (ρψ)2/3, p = 3 ja q = 3/2, ettäR3

ρψ(x)5/3 dx ≤(

R3

ρψ(x)3 dx

)1/3(R3

ρψ(x) dx

)2/3

,

ja koskaR3 ρψ(x) dx = 1, niin lausekkeen (4.16) avulla muodostetaan integraalin

suhteen lineaarinen sekä semiklassisen ThomasinFermin teorian42 kaltainen arvio

(4.17) Eψ(T ) ∼ ‖∇ψ‖22 &R3

ρψ(x)5/3 dx.

Elektroni on kuin kumipallo tai uidi, jonka energiatiheys on verrannollinen termiin

ρ5/3ψ . Elektronin puristaminen vaatii liike-energiaa ja siten esimerkiksi Coulombisetsysteemit ovat vakaita, eivätkä romahda mielivaltaisen pieneen tilavuuteen.

Edeltävä tulos (4.17) on käytännöllisin muotoilu systeemin energiaa rajoittavastaepätarkkuusperiaatteesta ja sitä voidaan soveltaa systeemiin, jossa on N kappalettaelektroneja, siis

ρψ = N , ja näin kyetä todistamaan aineen kvanttimekaaninen

vakaus todellisessa fysikaalisessa tapauksessa, jossa elektronit ovat fermioneita jasallitut tilat ψ Paulin kieltosäännön mukaisesti antisymmetrisiä joukossa L2(R3N) ∼=⊗N

1 L2(R3), eli ψ ∈

∧N1 L

2(R3). Tulos, joka mahdollistaa fermionisten systeemeidenperustilan energian arvioinnin, on LiebinThirringin epäyhtälö, ks. [16, luku 4].

41Sillä ψ ∈ L2(R3) ja ψ on dierentioituva. Täsmällisempi perustelu: C∞0 (R3) ⊃ C10 (R3) on

tiheä joukossa ψ : ψ,∇ψ ∈ L2(R3), ks. [25, s. 174]. Edeltävässä gradientti ∇ψ ymmärretäändistribuutiomielessä, ks. [25, luku 6], joten aalto ψ kuuluu Sobolevin avaruuteen H1(R3). Kyseinenjoukko H1(R3) voidaan kuten vaadittua osoittaa Hilbertin avaruudeksi, ks. [25, s. 172].

42Approksimaatio, jossa fysikaaliset suureet ilmaistaan yhden hiukkasen tiheyden ρψ avulla.

56

5. HEISENBERGIN MIKROSKOOPPI

Tutkielman lopuksi kerrotaan vielä, miten Heisenberg löysi epätarkkuusperiaatteen,joka teki hänen nimensä ikoniseksi niin tiedemaailman kuin populaarikulttuurin sa-ralla. Vanhalle koulukunnalle taas Heisenbergin tulos oli täydellinen ikonoklastia,mikä teki lopullisesti selväksi sen, että markiisi de Laplacen ja monen muun unelmaoli mennyttä. Epätarkkuusperiaatteen lososena seurauksena taas on eräänlainenvapaa tahto, sillä kukaan ei pysty määrittelemään kenenkään tulevaisuutta pelkäs-tään menneisyyden perusteella, joten mitään maailmankaikkeuden determinististäkellokoneistoa ei voi olla olemassa43. Eräs henkilö oli kuitenkin edelleen vannoutunutdeterministi:

Kaikki on ennalta määrättyä, sekä alku että loppu, voimilla joihin emme voivaikuttaa. Se on määrättyä niin hyönteiselle kuin tähdellekin. Ihmiset, vihanneksettai kosminen pöly, kaikki me tanssimme tämän mysteerisen soinnun tahtiin, jota

näkymätön pillipiipari kaukaisuudessa soittaa.

Albert Einstein

Einstein kehitti monta erilaista ajatuskoetta, joilla yritti kumota epätarkkuuspe-riaatteen luonnon perusominaisuutena, mutta EPR:n jälkeen hän jo antoi periksi.Lentäväksi lauseeksi Einsteinilla muodostui heti Bornin todennäköisyystulkinnastalähtien, Jumala ei heitä noppaa maailmankaikkeudella, johon Bohr taas mielelläänvastasi, ettei se ole Einsteinin asia kertoa Jumalalle, mitä tehdä [6, s. 85].

1927 Heisenberg matkusti Kööpenhaminaan ja jatkoi intensiivisiä keskustelujaanBohrin kanssa kvanttimekaniikan olemuksesta. Asia, joka erityisesti mietitytti heitä,oli kysymys miten sovittaa yhteen ilmeinen elektronin jatkuvan liikeradan olemas-saolo sekä diskreetteihin havaintoihin perustuva kvanttiteoria. Heisenberg ymmärsi,että oli välttämätöntä ryhtyä tarkastelemaan itse mittaustapahtumaa, jolla elektronion mahdollista havaita.

Klassinen näkeminen tai havaitseminen perustuu vuorovaikutukseen, ja jos halutaansaada selville, missä elektroni on, niin täytyy lähettää muita hiukkasia sitä kohden jatarkastella, miten ne siroavat. De Broglien mukaan, mitä pienempi hiukkasen aallon-pituus on, niin sitä suuremman energian/liikemäärän se omaa. Seuraavassa ajatus-kokeessa käytetään hiukkasina fotoneita (valoa), sillä kuten tunnettua fotoneilla onmyös hiukkasluonnetta. On optiikan perustuloksia, että linssin erotuskyky (resoluu-tio) riippuu kokeissa käytetyn valon aallonpituudesta. Voidaan siis rajata elektroninpaikka hyvin tarkasti käyttämällä korkeaenergeettisiä fotoneita, kuten gammasätei-lyä, mutta tällöin säteily häiritsee voimakkaasti elektronin liiketilaa ja muuttaisijuuri sitä arvoa, jota ollaan mittaamassa. Pienemmän liiketilan häiriön toivossa voi-daan käyttää matalaenergeettisiä fotoneita, kuten tavallista valoa, mutta sironneidenfotonien aikaansaaman pienemmän erotuskyvyn vuoksi paikan määritys vuorostaanolisi epätarkempi.

43Tämä kysymys on hyvin losonen, sillä me elämämme vain omassa havaintomaailmassamme.Todellisuushan saattaisi olla pelkkä tietokonesimulaatio, eikä ihmisillä olisi mitään keinoa erottaatätä simulaatiota ja oikeaa maailmaa. Suositeltava positivismi sivuuttaa koko kysymyksen.

57

Kuva5.1 : Heisenbergin mikroskooppi. Elektronia valaistaan, ja mikroskoopinlinssi kerää sironneen valon. Kuva muokattu lähteestä [14, s. 21].

Valon diraktion vuoksi pienin etäisyys, joka voidaan mikroskoopilla määrittää, onerotuskyky D := λ/ sin(ϕ). Epätarkkuus elektronin paikallistamisessa on siten

4x ≈ D =λ

sin(ϕ).

Edeltävässä λ on käytettyjen fotonien aallonpituus ja ϕ on fotonien sirontakulma, ks.kuva 5.1. Sironneiden fotonien liikemäärän p = h/λdb x-komponentti vaihtelee välillä[−h/λ · sin(ϕ), h/λ · sin(ϕ)]. Siispä sironneen fotonin ja liikemäärän säilymisenvuoksi elektronin liikemäärän epätarkkuus on luokkaa

4p ≈ h

λsin(ϕ).

Yhdistämällä edeltävät lausekkeet saadaan epämääräisyyksien tuloksi

4x4p ≈ h.

Tarkastellussa kokeessa ei paikkaa ja liikemäärää voida samanaikaisesti määrittäätuon tarkemmin. Heisenbergin mikroskooppi -kokeesta on heti tietysti todettava,että kyseessä on klassisen maailman yritys ymmärtää elektronin liikkeen problema-tiikkaa, eikä mielivaltaisen tarkkoja paikkoja sekä liikemääriä pystytä saavuttamaantoisenlaisillakaan koejärjestelyillä; kvanttitila muuttuu aina, ja tämä muutos riippuuhäiriöstä/mittauksesta. Kuten lauseissa 4.2 ja 4.3 on osoitettu, niin kvanttiteoria eiedes salli samanaikaisesti tarkkoja arvoja konjugaattisuureille, kuten paikka ja liike-määrä. Kuuluisassa artikkelissaan44 Heisenberg toteaakin, että hiukkasen liikeradanolemassaolon voi määritellä siten, että liikerata on olemassa vain, kun se havaitaan,ja tämä idea muodostui olennaiseksi osaksi Kööpenhaminan tulkintaa.

44Werner Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik undMechanik. Zeitschrift für Physik, 43: 172198, 1927. ("Kvanttiteorian sisältämän kinematiikan jamekaniikan täsmällisyydestä.") Kappaleen kinematiikka on täydellinen kuvaus hetkellisestä liiketi-lasta ja mekaniikan dynaamiset säännöt edelleen kertovat miten tuo liiketila kehittyy ajan myötä.

58

Heisenbergin mikroskoopissa linssin erotuskyky on ratkaisevan tärkeä seikka, ja josei ole aivan päivänselvää, että miten juuri valon aallonpituus voi rajoittaa hiukkasenpaikan määritystä, niin mainitaan seuraava tieteenhistoriallinen anekdootti.

1923 Heisenberg viimeisteli tohtorin väitöskirjaansa Münchenin yliopistossa ArnoldSommerfeldin (18681951) ohjauksessa ja aiheena hänellä oli kvanttimekaniikkaanliittymätön virtausdynamiikka. Tuohon aikaan fysiikan tohtorin tuli osoittaa hyvättiedot sekä teoreettisesta että kokeellisesta fysiikasta. Väitöstilaisuudessa oli Som-merfeldin lisäksi kuulustelijana Wilhelm Wien (18641928), joka oli Münchenissäkokeellisen fysiikan professori ja jonka laboratoriokurssin Heisenberg suoritti juuriennen väitöstään.Kuulustelussa Heisenberg vastaili helposti matematiikkaa sekä väitöstutkimustaankoskeneisiin hyvin teoreettisiin kysymyksiin, mutta ongelmat alkoivat, kun siirryttiinkäsittelemään kokeellista fysiikkaa. Wien pyysi kokelasta esittämään omalla labora-toriokurssillaan tutkitun interferometrin linssisysteemin erotuskyvyn kaavan, eikäHeisenberg muistanut oppikirjan lauseketta ulkoa. Seuraavaksi Wien tivasi tavalli-sen mikroskoopin erotuskyvyn kaavaa, ja Heisenberg yritti keksiä lauseketta taululla,muttei saanut sitä oikein. Wien oli tyrmistynyt. Lopuksi suuttunut Wien vaati seli-tystä akkupariston toimintaperiaatteesta, ja edelleen (kaiketi jo hyvin hermostunut)kandidaatti oli aivan hakoteillä. Tämän jälkeen Wien ehdotti väitöstä hylättäväksi,mutta tästä nousi ankara riita ohjaaja Sommerfeldin kanssa, eivätkä professoreidenaiemmat tieteelliset erimielisyydet helpottaneet tilannetta. Neuvotteluiden jälkeenväitöstyö lopulta hyväksyttiin keskinkertaisella arvosanalla, vaikka väitöstutkimusoli alansa huippua ja edusti erittäin vaikeaa matemaattista virtausopin ongelmaa jajonka artikkeli45 julkaistiin Wienin toimittamassa tieteen aikakauslehdessä Annalender Physik. [8, s. 105106; 17.]Järkyttynyt Heisenberg lähti samana iltana, kesken valmistujaisjuhliensa, yöjunal-la Göttingeniin, varmistaakseen, että Bornin tarjoama assistentin virka oli hänelleedelleen avoin, huolimatta väitöstilaisuuden tapahtumista. Tämän jälkeen hän lähtiopiskelijakavereidensa kanssa lomailemaan Suomeen. Palattuaan matkalta hän kes-kittyi kokonaan teoreettiseen fysiikkaan ja erityisesti uuteen kvanttimekaniikkaan.Jatkossa hän vaikutti menestyksekkäästi monessa paikassa ja toimi esim. (vähemmänmenestyksekkäästi) Natsi-Saksan ydinaseohjelman johdossa toisen maailmansodanaikana. Sodan päätyttyä hän teki merkittävää tutkimusta erityisesti kenttäteorianparissa. Werner Heisenbergille myönnettiin vuoden 1932 fysiikan Nobelin palkintoosuudestaan kvanttimekaniikan kehittämiseen. [8, s. 106; 17.]

Vaikka Heisenbergin matriisiversio onkin jäänyt Schrödingerin yhtälön varjoon46,niin epätarkkuusperiaate on, kvantittumisen ohella, tärkein klassisesta fysiikastaerottava tekijä, joka asettaa fundamentaalisen rajoitteen eri systeemeistä saatavalleinformaatiolle, ilmaisee nollapiste-energian olemassaolon, paljastaa luonnon oudonepälokaalisuuden sekä selittää, miksi Coulombiset hiukkas-systeemit ovat vakaita.

45Werner Heisenberg, Über Stabilität und Turbulenz von Flüssigkeitsströmen. Annalen derPhysik (Leipzig), 379, 15: 577627, 1924.

46Heisenberg ei ollut tästä mielissään ja kirjeessään Wolfgang Paulille hän käytti painokelvotontatekstiä kuvaillessaan Schrödingerin muka-determinististä yhtälöä, ks. tarkemmin [8, s. 134].

Vuonna 1925 Heisenberg kyllä kävi Bornin ja Pascual Jordanin kanssa tapaamassa itse DavidHilbertiä, jolle esittivät kysymyksiä matriiseistaan. He kuitenkin poistuivat kohteliaasti silloin,kun vanha Hilbert alkoi puhumaan dierentiaaliyhtälöiden ominaisarvo-ongelmista. MyöhemminHilbert totesi vierailusta seuraavaa: Jos nuo röyhkeät nuorukaiset olisivat kuunnelleet minua, niinhe olisivat löytäneet Schrödingerin yhtälön puoli vuotta aiemmin. [12, s. 106107.]

59

6. YHTEENVETO

Tutkielman luvussa 3 Fourierin muunnosta käsitellään lähinnä neliöintegroituvienfunktioiden osalta, sillä kyseinen funktioavaruus tarjoaa matemaattisen rakenteenkuvaamaan modernia kvanttimekaniikkaa. Fourier-analyysi tarjoaa myös muitakinhyödyllisiä välineitä, mutta tutkielmassa mielenkiinto kohdistuu vain kvanttiteoriantulkintaan sekä Schrödingerin perusyhtälön kvalitatiivisiin tarkasteluihin siten, etteimonimutkaista Schrödingerin yhtälöä tarvitse ratkaista käytännön ongelmissa.

Tutkielman keskeisiä tuloksia on Heisenbergin epäyhtälö, jonka mukaan nollastaeroavaa funktiota f(x) ja sen Fourier-muunnosta f(k) ei voida molempia paikallistaatarkasti. Kyseinen tulos tunnetaan myös matemaattisena epätarkkuusperiaatteena,ja sille löytyy sovelluksia useilta matematiikan ja fysiikan osa-alueilta. Luvussa 4ratkaistaan Fourier-käänteismuunnoksen avulla Schrödingerin yhtälö vakioponten-tiaalissa, ja tämän jälkeen päätellään kvanttisysteemiä kuvaavan aaltofunktion ψesitysmuoto yleisessä potentiaalissa V (x). Bornin ehdottamalla tulkinnalla termille

|ψ|2 sekä Parsevalin yhtälöiden avulla saadaan fysikaalinen tulkinta termille |ψ|2,minkä jälkeen voi soveltaa Heisenbergin epäyhtälöä ja näin johtaa kvanttiteoriassaHeisenbergin epätarkkuusperiaate: ei ole mahdollista mitata mielivaltaisen tarkastiyhtäaikaa sekä (kvantti)hiukkasen paikkaa että sen liikemäärää, lause 4.2.Korrespondenssiperiaatteen ja Fourier-muunnoksen avulla saadaan muodostettuavastaavat operaattorit myös muille fysikaalisille suureille kuin paikalle x ja liike-määrälle p. Edeltävän sekä luvun 2 matemaattisia operaattoreita koskevien tulostenavulla voidaan todistaa yleinen Heisenbergin epätarkkuusperiaate, lause 4.3.

Operaattoreiden avulla kvanttimekaanisen systeemin epärelativistinen energia E =p2/2m + V (x) voidaan ilmaista vastaavana odotusarvona Eψ(E) = E(ψ). Tämänintegraalimuotoisen odotusarvon sekä luonnon minimienergiaperiaatteen avulla voimuodostaa erilaisia systeemeitä koskevia variaatio-ongelmia. Yleisesti epätarkkuus-periaatteiksi kutsutuilla integraaliepäyhtälöillä on mahdollista arvioida systeeminalinta energiatilaa, esimerkiksi vedynkaltaisessa atomissa (lause 4.4), harmonisessaoskillaattorissa (lause 4.6) sekä yleisen potentiaalin V (x) tapauksessa (lause 4.9).

Kuva6.1 : Matkalla noutamaan Nobelin palkintoa, Tukholman juna-asemajoulukuussa 1933. Oikealta vasemmalle: Schrödinger, Heisenberg, Dirac, Diracin

äiti, rouva Anny Schrödinger ja Heisenbergin äiti. [12, s. 60.]

Tutkielmassa on myös, sopivissa kohdin, mainintoja kvanttiteorian historiallisestakehityksestä sekä keskeisten henkilöhahmojen, ks. kuva 6.1, edesottamuksista. Lisääaihepiirin tieteenhistoriasta on luettavissa mm. lähteissä [6; 7; 8; 29].

60

LAHTEET

[1] Debnath, L., Mikusinski, P. 2005. Introduction to Hilbert Spaces withApplications, 3. edition. Academic Press. 600 p.

[2] Folland, G. B. 1999. Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications,2. edition. Wiley. 408 p.

[3] Thaller, B. 2000. Visual Quantum Mechanics. Springer. 283 p.

[4] Debnath, L., Bhatta, D. 2006. Integral Transforms and Their Applications, 2.edition. Chapman and Hall/CRC. 728 p.

[5] Folland, G. B. 1992. Fourier Analysis and Its Applications. Thomson Brooks/Cole.448 p.

[6] Peacock, K. A. 2007. The Quantum Revolution: A Historical Perspective.Greenwood. 240 p.

[7] Moore, W. J. 1992. Schrödinger: Life and Thought. Cambridge UniversityPress. 528 p.

[8] Lindley, D. 2008. Uncertainty: Einstein, Heisenberg, Bohr, and the Strugglefor the Soul of Science. Anchor. 272 p.

[9] Basdevant, J-L., Dalibard, J. 2005. Quantum Mechanics. Springer. 511 p.

[10] Phillips, A. C. 2003. Introduction to Quantum Mechanics. Wiley. 282 p.

[11] Salart, D., Baas, A., Branciard, C., Gisin, N., Zbinden, H. 2008. Testingspooky action at a distance. Nature, 454, pp. 861864.

[12] Basdevant, J-L. 2007. Lectures on Quantum Mechanics. Springer. 308 p.

[13] Teschl, G. 2009. Mathematical Methods in Quantum Mechanics. AmericanMathematical Society. 305 p.

[14] Schwabl, F. 2007. Quantum Mechanics, 4. edition. Springer. 424 p.

[15] Loss, M. 2005. Stability Of Matter. [viitattu 8.12.2013]. Saatavissa:http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~lerdos/WS08/QM/lossstabmath.pdf.

[16] Lieb, E. H., Seiringer, R. 2009. The Stability of Matter in QuantumMechanics. Cambridge University Press. 310 p.

[17] American Institute of Physics [WWW]. [viitattu 8.12.2013]. Saatavissa:http://www.aip.org/history/heisenberg/.

61

[18] Wagon, S. 1985. The Banach-Tarski Paradox. Cambridge University Press.272 p.

[19] Vollhardt, D., Wole, P. 2013. The Superuid Phases of Helium 3. Dover. 656p.

[20] Park, D. K., Tamaryan, S. N., Müller-Kirsten, H. J. W., Jian-zu Zhang. 2001.D-branes and their absorptivity in Born-Infeld theory. Nuclear Physics B, 594,pp. 243271.

[21] Dyson, F. J., Lenard, A. 1967. Stability of Matter. Journal of MathematicalPhysics, 8, pp. 423434 (part I); Dyson, F. J., Lenard, A. 1968. Stability of Matter.Journal of Mathematical Physics, 9, pp. 698711 (part II).

[22] Baym, G., Leggett, A. J. 1989. Exact upper bound on barrier penetrationprobabilities in many-body systems: application to cold fusion. Physical ReviewLetters, 63, pp. 191194.

[23] Arndt, M., Nairz, O., Vos-Andreae, J., Keller, C., van der Zouw, G., Zeilinger,A. 1999. Wave-particle duality of C60 molecules. Letters to nature, 401, pp.680682.

[24] Lieb, E. H. 1976. Stability of matter. Reviews of Modern Physics, 48, pp.553569.

[25] Lieb, E. H., Loss, M. 2001. Analysis, 2. edition. American MathematicalSociety. 346 p.

[26] Gustafson, S. J., Sigal, I. M. 2011. Mathematical Concepts of QuantumMechanics, 2. edition. Springer. 365 p.

[27] Bass, R. F. 2013. Real Analysis for Graduate Students, 2. edition.CreateSpace. 418 p.

[28] Prestini, E. 2004. The Evolution of Applied Harmonic Analysis: Models ofthe Real World. Birkhäuser. 349 p.

[29] Kuttner, F., Rosenblum, B. 2011. Quantum Enigma, Physics EncountersConsciousness, 2. edition. Oxford University Press. 300 p.

[30] Zeidler, E. 1995. Applied functional analysis, applications to mathematicalphysics. Springer-Verlag. 481 p.

[31] Klauder, J. R. 2011. A Modern Approach to Functional Integration. Birkhäuser.298 p.