là giao di?m c?a AM và HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI THEÅ TÍCH CUÛA ...€¦ · iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

TAØI LIEÄU LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC VAØ CAO ÑAÚNG .......................................................................................................... GV : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG

1

HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI LAÊNG TRUÏ

GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG

V. KHOÁI LAÊNG TRUÏ ÑÖÙNG

BAØI 5.1 :

Höôùng daãn :

Tính theå tích khoái töù dieän IABC

Trong tam giaùc vuoâng A’AC, ta coù :

5aa4a9'AAC'AAC2222

Trong tam giaùc vuoâng ABC, ta coù :

a2aa5ABACBC2222

Goïi H laø hình chieáu cuûa I treân AC thì IH (ABC).

Vaäy IH laø chieàu cao cuûa töù dieän IABC.

Xeùt hai tam giaùc ñoàng daïng MIA’ vaø AIC, ta coù :

2

1

AC

M'A

IC

'IA , suy ra

3

2

'CA

CI

Maët khaùc : IH // AA’ neân ta coù :

3

a4'AA

3

2IH

3

2

'CA

CI

'AA

IH

Dieän tích tam giaùc ABC laø : 2

ABCaa2a

2

1BCAB

2

1S

Theå tích khoái töù dieän IABC laø :

9

a4

3

a4a

3

1IHS

3

1V

3

2

ABCIABC

Tính khoaûng caùch töø ñieåm A ñeán (IBC)

Veõ HK BC. Chöùng minh BC (IHK) BC IK.

Do HK // AB neân

3

a2AB

3

2HK

3

2

'CA

CI

CA

CH

AB

HK

vuoâng IHK coù :

3

5a2HKIHIK 22

3

5a2

3

5a2a2

2

1IK.BC

2

1S

2

IBC

5

a2

3

5a2

9

a4.3

S

V3))IBC(A(d))IBC(A(dS

3

1V

2

3

IBC

IABCIBCIABC

Caùch khaùc :

Keû AK A’B (K A’B) (3)

Ta coù :

'AABC

ABBC

BC (ABB’A’) BC AK (4)

Töø (3) vaø (4) suy ra : AK (IBC)

Do ñoù AK laø khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (IBC)

Tam giaùc A’AB vuoâng taïi A, ta coù :

5

5a2AK

a

1

a4

1

AB

1

'AA

1

AK

1

22222

5

5a2IBC,Ad

BAØI 5.2 :

Höôùng daãn :

(ĐẠI HỌC D 2009) Cho

hình lăng trụ đ ứng

ABC.A’B’C’ có đáy ABC

là tam giác vuông tại B,

AB = a, AA’ = 2a, A’C =

3a. Gọi M là trung đi ểm

của đoạn thẳng A’C’, I

là giao đi ểm của AM và

A’C. Tính theo a thể

tích khối tứ diện IABC

và khoảng cách từ điểm

A đến mặt phẳng (IBC).A

BBÀÀI 16I 16 :

B

C

A’

B’

C’M

I

H

K

a

3a2a

(Ð?I H? C D 2009) Cho

hình lang tr? d ?ng

ABC.A’B’C’ có dáy ABC

là tam giác vuông t?i B,

AB = a, AA’ = 2a, A’C =

3a. G?i M là trung di ?m

c?a do?n th?ng A’C’, I

là giao di ?m c?a AM và

A’C. Tính theo a th?

tích kh?i t? di?n IABC

và kho?ng cách t? di?m

A d?n m?t ph?ng (IBC).A

BBÀÀI 16I 16 :

B

C

A’

B’

C’M

I

Ha

3a2a

K



2

Theå tích khoái laêng truï laø :

2

2a2a

2

a'AASV

32

ABC

Goïi N laø trung ñieåm cuûa BB’ thì MN laø ñöôøng trung bình cuûa BCB’.

Suy ra MN // CB’. Maø MN (AMN) neân B’C // (AMN)

Do ñoù : d(AM , B’C) = d(B’C , (AMN)) = d(B’ , (AMN)) = d(B , (AMN))

Goïi BH laø chieàu cao cuûa töù dieän BAMN thì d(B , (AMN)) = BH

Töù dieän BAMN coù caùc caïnh BA, BM, BN ñoâi moät vuoâng goùc neân ta coù :

7

7aBH

a

7

a

4

a2

4

a

1

BN

1

BM

1

BA

1

BH

1

22222222 .

Vaäy d(AM , B’C) =

7

7a

BAØI 5.3 :

Höôùng daãn :

Goïi D laø trung ñieåm cuûa BC, ta coù :

))ABC(),BC'A((

BCAD

BCD'A

BC)ABC()BC'A(

= goùc A’DA = 60

Vì AD laø ñöôøng cao cuûa ñeàu ABC caïnh a neân

2

3aAD

vuoâng A’AD coù moät goùc baèng 60 neân laø nöûa tam giaùc ñeàu.

3aAD2D'A vaø

2

a33AD'AA

Vaäy theå tích khoái laêng truï :

8

3a3

2

a3

4

3a'AA.SV

32

ABC (ñvtt)

Goïi H laø taâm cuûa tam giaùc ñeàu ABC

3

1

DA

DH

'DA

DG GH // AA’ GH (ABC)

GH laø truïc cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ñeàu ABC.

Veõ maët phaúng trung tröïc cuûa GA, maët phaúng naøy caét GA taïi E vaø caét GH taïi I, ta coù IG = IA = IB = IC I

laø taâm maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän GABC

GEI ñoàng daïng GHA

GH2

GA

GH

GA.GEGI

GH

GE

GA

GI 2

GH // AA’

2

a

2

a3

3

1'AA

3

1GH

3

1

DA

DH

'AA

GH

vuoâng GHA coù :

12

a7

2

3a

3

2

2

aAHGHGA

222

22

.

Do ñoù :

12

a7

a12

a7

GH2

GAGI

22

BAØI 5.4 :

Höôùng daãn :

AD // B’C’ vaø AD = B’C’ AB’C’D laø hình bình haønh

DB’ caét AC’ taïi trung ñieåm I (1)

AC // A’C’ vaø AC = A’C’ ACC’A’ laø hình bình haønh

MN laø ñöôøng trung bình cuûa hình bình haønh ACC’A’

MN caét AC’ taïi trung ñieåm cuûa AC’ MN ñi qua trung ñieåm I (2)

Töø (1) vaø (2) DB’ vaø MN caét taïi trung ñieåm I cuûa moãi ñöôøng

B’, M, D, N cuøng naèm treân moät maët phaúng.

(ĐẠI HỌC B 2010)

Cho hình lăng trụ tam

giác đều ABC.A’B’C’

có AB = a. Góc giữa

hai mặt phẳng (A’BC)

và (ABC) bằng 60.

Gọi G là trọng tâm

A’BC. Tính thể tích

khối lăng trụ đã cho và

tính bán kính mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện

GABC theo a.A

BBÀÀI 18I 18 :

B

C

A’

B’

C’

D a

60

G

H

E

I

(ĐẠI HỌC B 2003)

Cho hình lăng trụ

đứng ABCD.A’B’C’D’

có đ áy ABCD là hình

thoi cạnh a, góc BAD

= 60. Gọi M là trung

điểm cạnh AA’ và N là

trung điểm cạnh CC’.

Chứng minh rằng 4

điểm B’, M, D, N cùng

thuộc một mặt phẳng.

Hãy tính độ dài cạnh

AA’ theo a đ ể tứ giác

B’MDN là hình vuông.

B

BBÀÀI 19I 19 :

D

C

B’

D’

C’

M

I

aA

A’

N

60



3

Ta coù: DM2 = DA

2 + AM

2 = DC

2 + CN

2 = DN

2 DM = DN

hình bình haønh B’MDN laø hình thoi.

Hình thoi B’MDN laø hình vuoâng MN = B’D

AC = B’D AC2 = B’D

2 = B’B

2 + BD

2

3a2 = B’B

2 + a

2 B’B

2 = 2a

2 B’B = a 2 .

Vaäy A’A = a 2 .

Caùch khaùc :

a) Do M laø trung ñieåm caïnh AA vaø N laø trung ñieåm caïnh CC’ neân ta coù AM // NC’ vaø AM = NC’

Töù giaùc AMCN’ laø hình bình haønh.

Goïi I laø giao ñieåm cuûa MN vaø AC’ thì I laø trung ñieåm cuûa MN (1)

Maët khaùc, töù giaùc AB’C’D laø hình bình haønh neân I = AC’ B’D

I laø trung ñieåm cuûa B’D (2)

Töø (1) vaø (2) suy ra töù giaùc B’MDN laø hình bình haønh

Vaäy B’, M, D, N cuøng naèm treân moät maët phaúng.

b) ta coù DAM = DCN DM = DN

Töù giaùc B’MDN laø hình thoi.

Do ñoù : B’MDN laø hình vuoâng MN = B’D (*)

BDB’ vuoâng taïi B, ta coù : B’D2 = B’B

2 + DB

2. Khi ñoù :

(*) MN2 = B’D

2 AC

2 = B’B

2 + BD

2 23a = B’B

2 + a

2 B’B

2 = 2a

2 A'A2aB'B

Vaäy A’A = a 2 .

BAØI 5.5 :

Höôùng daãn :

AA’ (ABC) goùc A’BA laø goùc giöõa A’B vôùi ñaùy

goùc A’BA = 60.

Ta có AA’ = AB.tan60 / 3AA a

2 33 33

4 4

a aV a

GGooïïii KK llaaøø ttrruunngg ññiieeååmm ccuuûûaa BBCC MMNNKK vvuuooâânngg ttaaïïii KK ccooùù ::

1 aMK AB ; NK AA' a 3

2 2

2 222 13 13

32 4 2

a a aMN a MN

BAØI 5.6 :

Höôùng daãn :

Tính theå tích khoái laêng truï ABC.A’B’C’

Trong tam giaùc ABC keû ñöôøng cao CH thì B'B'AACH A’H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A’C treân

maët phaúng B'B'AA goùc CA’H = 30o

AÙp duïng ñònh lí coâ-sin trong ABC, ta coù :

222o222

a7

2

1a2.a2a4a120cos.BC.AC2BCACAB

7aAB

Dieän tích tam giaùc ABC laø :

2

3a

2

3a2.a

2

1120sin.CB.AC

2

1S

2

o

ABC

Maët khaùc :

7

21a

7a

2

3a2

AB

S2CHAB.CH

2

1S

2

ABC

ABC

A

B

C

A’

B’

C’

Ka

M

60

N



4

Tam giaùc A’CH vuoâng taïi H, ta coù :

7

21a2

30sin

CHC'A

o

Tam giaùc A’AC vuoâng taïi A, ta coù :

7

35aa

7

21a2ACC'A'AA

2

2

22

Theå tích khoái laêng truï ñaõ cho laø :

14

105a

7

35a

2

3a'AA.SV

32

ABC (ñvtt)

Tính khoaûng caùch töø ñænh A’ ñeán (ACM)

Deã thaáy ACM,Bd2ACM,'Ad

Trong tam giaùc ABC keû ñöôøng cao BK, ta coù : BKMAK

BMAK

BKAK

Maø ACMBK neân BKMACM theo giao tuyeán KM.

Trong tam giaùc BKM keû ñöôøng cao BI thì ACMBI . Suy ra BIACM,Bd .

Ta coù : 3a60sin.BCBKo .

Tam giaùc vuoâng BKM, ta coù :

89

1335aBI

a35

196

a3

1

BM

1

BK

1

BI

1

22222

89

1335aACM,Bd

Vaäy 2a 1335

d A' , ACM89

.

BAØI 5.7 :

Höôùng daãn :

Tính theå tích khoái töù dieän EABD

Ta coù aADAB vaø goùc BAD = 60o neân ABD laø tam giaùc ñeàu caïnh a. Suy ra aBD ,

3aAO2AC .

Tam giaùc ACC’ vuoâng taïi C, ta coù :

aa3a4AC'AC'CC2222

Goïi C'A'ACI thì I laø trung ñieåm AC’

E laø troïng taâm cuûa A’AC

Trong AEO keû ñöôøng cao EH thì ABDEH .

Do A'A//EH neân ta coù :

3

aA'A

3

1EH

3

1

'OA

OE

A'A

EH

Theå tích khoái töù dieän EABD laø :

36

3a

3

a

4

3a

3

1EH.S

3

1V

32

ABDEABD (ñvtt)

Tính khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (BDE)

Ta coù : O'ABDAO'ABD

'AABD

ACBD

Tam giaùc EBD coù EO vöøa laø ñöôøng cao, vöøa laø ñöôøng trung tuyeán neân caân taïi E.

Tam giaùc A’AO vuoâng taïi A, ta coù :

6

7aO'A

3

1EO

2

7a

2

3aaAOA'AO'A

2

222

Dieän tích tam giaùc EBD laø :

12

7aEO.BD

2

1S

2

EBD

7

21a

12

7a

36

3a3

S

V3EBD,AdEBD,Ad.S

3

1V

2

3

EBD

EABD

EBDEABD

. Vaäy 7

21aEBD,Ad .



5

BAØI 5.8 :

Höôùng daãn :

Ñaët xAB 0x ; ta coù x2

60cos

ABAC

o , 3x60tan.ABBC

o

Ta coù :

2

3xBC.AB

2

1S

2

ABC

Maët khaùc : prSABC

, vôùi

2

x33BCACAB

2

1p

,

2

a13r

ax

2

a13

2

x33

2

3x2

Döïng hình bình haønh ADBC thì BD'A//AC , ta coù :

BD'A,AdBD'A,ACdB'A,ACd

Trong tam giaùc ABD keû ñöôøng cao AK, ta coù :

AK'ABD

'AABD

AKBD

Maø BD'ABD neân AK'ABD'A theo giao tuyeán

A’K.

Trong tam giaùc A’AK keû ñöôøng cao AH thì BD'AAH

5

15aAHBD'A,AdB'A,ACd

Tam giaùc A’AK vuoâng taïi A coù : 222

AK

1

'AA

1

AH

1

Tam giaùc ABD vuoâng taïi A, ta coù : 222

AD

1

AB

1

AK

1

Do ñoù : 3a'AA

a3

1

a

1

'AA

1

a3

5

AD

1

AB

1

'AA

1

AH

1

22222222

Vaäy theå tích khoái laêng truï 'C'B'A.ABC laø :

2

a33a.3a.a

2

1'AA.BC.AB

2

1'AA.SV

3

ABC (ñvtt)

BAØI 5.9 :

Höôùng daãn :


Ta coù : 'A'ABB'C'A

'AA'C'A

'B'A'C'A

Trong tam giaùc A’AB keû ñöôøng cao AI, ta coù :

'A'ABB'C'Ado'C'AAI

B'AAI

'C'BAAI

Maët khaùc 'C'BAM'AB neân M'ABAI hay B'A'ABI

Suy ra töù giaùc ABB’A’ laø hình vuoâng.

Ta coù : 2a

2

BCAB'AA .

Vaäy theå tích khoái laêng truï 'C'B'A.ABC laø : 2a2a.a2

2

1'AA.SV

32

ABC (ñvtt)

Tính khoaûng caùch töø B’ ñeán (AC’M)

Ta coù : 'B'BCCAM

'BBAM

BCAM



6

Trong tam giaùc B’C’M keû ñöôøng cao B’H, ta coù :

M'ACH'B

'B'BCCAMdoAMH'B

M'CH'B

d B' , AC'M B'H

Tam giaùc C’CM vuoâng taïi C, ta coù : 3aaa2CM'CCM'C2222

Dieän tích tam giaùc MB’C’ laø : 2a2a.a2.

2

1'BB.'C'B

2

1S

2

'C'MB

Maët khaùc

3

2a2

3a

2a2

M'C

S2H'BM'C.H'B

2

1S

2

'C'MB

'C'MB

Vaäy 2a 6

d B' , AC'M3

.

BAØI 5.10 :

Höôùng daãn :


Goïi I laø trung ñieåm cuûa A’B’ thì 'B'AI'C (do A’B’C’ caân taïi C’)

Maët khaùc 'AAI'C , suy ra 'A'ABBI'C

BI laø hình chieáu cuûa BC’ treân maët phaúng 'A'ABB

goùc C’BI = 60o laø goùc hôïp bôûi BC’ vôùi maët phaúng 'A'ABB

BB’I vuoâng taïi B’, ta coù :

2

5a

4

aaI'B'BBBI

2

222

BC’I vuoâng taïi I, ta coù :

2

15a60tan.BII'C

o

Dieän tích tam giaùc A’B’C’ laø :

4

15a

2

15aa

2

1I'C.'B'A

2

1S

2

'C'B'A

Vaäy theå tích khoái laêng truï ñaõ cho laø :

4

15aa

4

15a'AA.SV

32

'C'B'A (ñvtt)

Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng AM, NP

Goïi Q laø trung ñieåm cuûa B’C’ thì PN//'BC//MQ , suy ra BC’ vaø PN cuøng song song vôùi maët phaúng AMQ .

Do ñoù : AMQ,'BCd2AMQ,PNdPN,AMd

Tröôùc heát ta tính khoaûng caùch töø BC’ ñeán maët phaúng AMQ .

Goïi BIAMH , ta coù : I'BBABM goùc BAM = goùc B’BI

Maët khaùc : goùc AMB + goùc BAM = 90o goùc AMB + goùc B’BI = 90

o goùc BHM = 90

o BIAM

Ngoaøi ra I'CAM 'A'ABBI'Cdo , suy ra 'BCAMI'BCAM

Keû 'BCHK 'BCK thì HK laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa AM vaø BC’, töùc laø :

AMQ,'BCdHK'BC,AMd

ABM vuoâng taïi B, ta coù :

5

5aBH

a

5

a

4

a

1

BM

1

AB

1

BH

1

222222

BHK vuoâng taïi K, ta coù :

10

15a60sin.BHHK

o

Vaäy a 15

d AM , PN 2HK5

BAØI 5.11 :

Höôùng daãn :

Tính khoaûng caùch töø C ñeán maët phaúng (A’BM)



7

Tam giaùc ABC vuoâng taïi A, ta coù : 3a260tan.ABACo , a4

60cos

ABBC

o

a2'C'B

2

1M'A

Trong tam giaùc A’B’C’ keû ñöôøng cao A’H, ta coù : 'C'A.'B'A'C'B.H'A

3a

a4

3a2.a2

'C'B

'C'A.'B'AH'A

Theå tích khoái choùp BCM'.A laø :

3a23a.a3.a4

6

1H'A.MN.BC

6

1H'A.S

3

1V

3

BCMBCM'.A

Goïi I laø trung ñieåm cuûa A’M, ta coù :

13aa9a4'BB'B'AB'ABM2222

A’BM caân taïi B M'ABI

Dieän tích tam giaùc A’BM laø : BI.M'A

2

1S

BM'A , vôùi 3a2aa13I'AB'ABI

2222

3a23a2.a2

2

1S

2

BM'A

Maët khaùc : a3

3a2

3a6

S

V3BM'A,CdBM'A,Cd.S

3

1VV

2

3

BM'A

BCM'.A

BM'ABM'A.CBCM'.A

Tính goùc giöõa hai maët phaúng (A’BM) vaø (ABC)

Dieän tích tam giaùc ABN laø : 3a

2

3a2.a2

2

160sin.BN.AB

2

1S

2o

ABN

Goïi laø goùc giöõa hai maët phaúng BM'A vaø ABC , vaø N laø trung ñieåm cuûa BC.

Do ABN laø hình chieáu cuûa A’BM treân maët phaúng ABC neân ta coù :

o

2

2

BM'A

ABN

BM'AABN60

2

1

a32

a3

S

Scoscos.SS

BAØI 5.12 :

Höôùng daãn :

A1B1C1 vuoâng taïi B1 ta coù : a2aa5BACACB222

11

2

1111

Keû 11

ABHA , ta coù : HACBBAACB

AACB

BACB

1111111

111

1111

Töø ñoù : 111

111

11

CABHA

CBHA

ABHA

HK laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A1K treân maët phaúng 11

CAB

goùc A1KH = 30o laø goùc giöõa A1K vaø

11CAB

Ñaët xAA1 0x

AA1B1 vuoâng taïi A1, ta coù : 222

11

2

1

2

1a

1

x

1

BA

1

AA

1

HA

1 1

AA1C1 vuoâng taïi A1, ta coù : 222

11

2

1

2

1a5

1

x

1

CA

1

AA

1

KA

1 2

A1HK vuoâng taïi H, ta coù : KA

2

130sin.KAHA

1

o

11 3

Theá 3 vaøo 1 , ta coù : 222

1a

1

x

1

KA

4 4



8

BBÀÀI 20I 20 :: (ĐẠI HỌC A 2008) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’

có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông

tại A, AB = a, AC = ,hình chiếu vuông góc của đỉnh A’

trên (ABC) là trung đi ểm của BC. Tính thể tích khối chóp

A’.ABC và tính cosin của góc giữa AA’, BB’.

3a

A

B

C

A’

B’

C’

2a

a

3a

H

Töø 2 vaø 4 ta ñöôïc : 15axa15x

a

1

x

1

a5

1

x

14

22

2222

Vaäy theå tích khoái laêng truï 111

CBA.ABC laø: 15a15a.a2.a

2

1AA.CB.BA

2

1AA.SV

3

111111ABC

BAØI 5.13 :

Höôùng daãn :

Veõ BCHA'ABCAH goùc A’HA = 30o

3a30cot'AAAHo

3a2AC

a12

1

a4

1

a3

1

AC

1

AC

1

AB

1

AH

1

2222222

Do ñoù : 3a2a.3a2.a2

2

1'AA.AC.AB

2

1V

3

'C'B'A.ABC

BC'A,'BdBC'A,'C'BdC'A,'C'BdBC'A//'C'B

Goïi B'A'ABI I trung ñieåm B’A BC'A,AdBC'A,'Bd

Veõ AKBC'A,AdBC'AAKH'AAK

Ta coù :

2

3a30sin.AHAK

o . Vaäy 2

3aC'A,'C'Bd

2

3aBC'A,Ad .

VI. KHOÁI LAÊNG TRUÏ XIEÂN

BAØI 6.1 :

Höôùng daãn :

Goïi H laø trung ñieåm cuûa BC, theo giaû thieát ta coù : A’H (ABC)

A’H laø ñöôøng cao cuûa hình laêng truï vaø cuõng chính laø ñöôøng cao

cuûa hình choùp A’ABC ABC

1V S B'H

3 .

2

3a3aa

2

1ACAB

2

1S

2

ABC

ABC vuoâng taïi A coù : aBC

2

1AHa2a3aACABBC

2222

vuoâng A’HA coù : 3aaa4AH'AAH'A2222

Theå tích khoái choùp A’ABC laø :

2

a3a

2

3a

3

1H'AS

3

1V

32

ABC

Tính cosin cuûa goùc giöõa AA’ vaø B’C’

Goïi laø goùc giöõa AA’ vaø B’C’.

Do BB’ // AA’ vaø BC // B’C’ neân ta coù : goùc (AA’ , B’C’) = goùc (BB’ , BC) =

Tam giaùc HA’B’ vuoâng taïi A’ ta coù : 'BBa2aa3'B'AH'AH'B2222

Do ñoù, B’BH laø tam giaùc caân taïi B’. Vaäy goùc B’BH =

B’H2 = BB’

2 + BH

2 – 2BB’.BHcos 4a

2 = 4a

2 + a

2 – 2.2a.a.cos cos =

4

1

Caùch khaùc : Goïi laø goùc giöõa AA’ vaø B’C’.

Do BB’ // AA’ vaø BC // B’C’ neân ta coù : goùc (AA’, B’C’) = goùc (BB’, BC) =

HA’B’ vuoâng taïi A’ ta coù : 'BBa2aa3'B'AH'AH'B2222

B’BH caân taïi B’ neân BH a 1

cos2.BB' 2.2 4

Caùch khaùc : Coù theå tính theå tích hình choùp A’.ABC döïa treân theå tích khoái laêng truï ABC.A’B’C’ nhö sau :

2

a33a

2

3aH'ASV

32

ABC'C'B'A.ABC . Vaäy

2

a

2

a3

3

1V

3

1V

33

'C'B'A.ABCABC'A



9

BAØI 6.2 :

Höôùng daãn :

Goïi M laø trung ñieåm cuûa AC vaø H laø troïng taâm ABC H BM.

Theo giaû thieát, ta coù B’H (ABC) neân B’H laø ñöôøng cao cuûa hình laêng truï vaø cuõng chính laø ñöôøng cao cuûa

hình choùp A’ABC ABC

1V S B'H

3 .

Do B’H (ABC) neân BH laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa BB’ leân (ABC).

goùc B’BH laø goùc hôïp bôûi BB’ vaø (ABC) goùc B’BH = 60o

vuoâng B’HB coù goùc B’BH = 60o neân laø nöûa tam giaùc ñeàu

BB' a

BH2 2

vaø a 3

B'H BH 32

Do H laø troïng taâm cuûa ABC neân

4

a3BH

2

3BM

Vì BM laø ñöôøng trung tuyeán cuûa ABC neân :

2 2 2 2 22 2AB BC AC 1 AB BC 1

BM AC2 4 2 2 4

2 2 2 2 2

2 29a 1 3AB 1 AB 9a 2 ABAB 7AB

16 2 4 4 4 16 16 16

2 2 2

29a 3AB 9a 3aAB AB

16 16 3 13

Suy ra AC =

132

a3 , BC =

132

3a3

Dieän tích tam giaùc ABC laø :

104

3a9

132

3a3

132

a3

2

1BCAC

2

1S

2

ABC

Theå tích khoái töù dieän A’ABC laø :

208

a9

2

3a

104

3a9

3

1H'BS

3

1V

32

ABC

Chuù yù : Ñaët AB = x (x > 0)

Tam giaùc vuoâng ABC coù goùc BAC = 60o neân laø nöûa tam giaùc ñeàu AC =

2

x vaø BC =

2

3x3.AC

Theo tính chaát cuûa ñöôøng trung tuyeán, ta coù : AB2 + BC

2 = 2BM

2 +

2

AC2

x2 +

8

x

4

a32

2

3x22

2

x

2 =

13

a92

x =

13

a3. Suy ra AC =

132

a3 , BC =

132

3a3

BAØI 6.3 :

Höôùng daãn :

Goïi H trung ñieåm AB thì A’H (ABC).

Hình chieáu vuoâng goùc cuûa A’C leân (ABC) laø HC.

Vaäy goùc A’C vaø (ABC) laø o

60HC'A

.

A’HC vuoâng

2

a3

2

3a3H'A3

HC

H'A60tan

o

8

3a3

4

3a

2

a3ABCdt.H'AV

32

LT

Caùch 1 : Do AB caét (A’AC) taïi A maø H laø trung ñieåm AB

neân AC'A,Hd2AC'A,Bd .

Veõ HI AC. Veõ HK A’I (1)



10

Do AC (A’IH) AC HK (2)

Töø (1) vaø (2) HK (A’AC)

A’HI vuoâng

132

a3

16

a3

4

a9

4

3a

2

a3

I'A

HI'.HAHK

22

. Vaäy

13

a3HK2AC'A,Bd .

Caùch 2 : 13

a3

a

4

39a

2

1

8

3a3

AC.I'A

2

1

V

AC'Adt

V3AC'A,Bd

3

LTABC'.A

BAØI 6.4 :

Höôùng daãn :

a) Goïi H laø trung ñieåm cuûa AC.

Theo giaû thieát A’H (ABC) A’H laø ñöôøng cao cuûa hình laêng truï ABC.A’B’C’ VABC.A’B’C’ = SABC.A’H

ABC vuoâng caân taïi B neân :

2a

2

2a2

2

2ACBCAB

2

ABCa2a2a

2

1ACAB

2

1S

Do A’H (ABC) neân BH laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A’B leân (ABC) goùc taïo bôûi A’B vaø (ABC) laø

HB'A

HB'A

= 45

o A’HB vuoâng caân taïi H

a

2

ACBHH'A

Vaäy VABC.A’B’C’ = a2.a = a

3 (ñvtt).

b) Goïi I = A’B AB’ (tính chaát ñöôøng cheùo cuûa hình bình haønh)

HI / B’C (HI laø ñöôøng trung tuyeán cuûa AB’C’)

HA’B vuoâng caân taïi H neân ñöôøng trung tuyeán HI xuaát phaùt töø ñænh

neân cuõng laø ñöôøng cao HI A’B

Do A’B HI vaø HI // B’C neân A’B B’C.

Caùch khaùc :

Ñeå chöùng minh A’B B’C ta chöùng minh A’B (AB’C) coù chöùa B’C.

ABCH'AdoH'AAC

ABCcaânvuoângcuûañænhtöøphaùtxuaáttuyeántrungñöôønglaøBHdoBHAC

AC (A’HB) AC A’B

vuoâng A’AH coù : 2aa2aaAHH'A'AA22222

Maø 2aAB 2aAB'AA

Hình bình haønh ABB’A’ coù AA’ = AB neân laø hình thoi A’B AB’

Vì A’B AC vaø A’B AB’ neân A’B (AB’C) A’B B’C

BAØI 6.5 :

Höôùng daãn :

Goïi O laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD A1O (ABCD).

A1O laø ñöôøng cao cuûa hình laêng truï ABCD.A1B1C1D1

1 1 1 1ABCD.A B C D ABCD 1V S A O

Ñaùy laêng truï laø hình chöõ nhaät ABCD vaø bieát hai caïnh

aAB , 3aAD neân ta deã daøng tính ñöôïc dieän tích

3aS2

ABCD .

Goïi E laø trung ñieåm cuûa AD, ta coù :

AD OE (OE laø ñöôøng trung tuyeán xuaát phaùt töø ñænh cuûa tam giaùc caân OAD)

BBÀÀI 22I 22 :: (ĐẠI HỌC B 2011) Cho hình lăng trụ

ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB = a,

AD = . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên (ABCD)

trùng với giao điểm AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng

(ADD1A1) và (ABCD) bằng 60. Tính thể tích khối lăng trụ

đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến (A1BD) theo a.

3a

A

BC

D

A1

B1 C1

D1

O

E

60H



11

AD A1O (do A1O (ABCD)) AD (A1OE) AD A1E

Vì OE AD vaø A1E AD neân goùc giöõa (ADD1A1) vaø (ABCD) laø goùc A1EO goùc A1EO = 60.

Tam giaùc vuoâng AOE coù moät goùc baèng 60 neân laø nöûa tam giaùc ñeàu

2

3aOA1

Vaäy

2

a3OASV

3

1ABCDDCBA.ABCD 1111

Ta coù B1C // A1D B1C // (A1BD) d(B1, (A1BD)) = d(C, (A1BD)).

Veõ CH BD (H BD) CH (A1BD) d(C, (A1BD)) = CH

Tam giaùc vuoâng CBD coù : CH.BD = CB.CD

2

3a

CBCD

CD.CB

BD

CD.CBCH

22

Vaäy d(B1, (A1BD)) =

2

3a

Caùch khaùc : Do A1B laø ñöôøng cheùo cuûa hình bình haønh ABB1A1 neân .SS111 BBAABA

hình choùp D.A1AB vaø hình choùp D.A1BB1 coù theå tích baèng nhau do coù cuøng chieàu cao xuaát phaùt töø D.

Maø

4

aOA.S

3

1VV

3

1ABDABDAABA.D 11 vaø

2

3aO1A.ADAB

2

1OA.BD

2

1S

222

1BDA1

))BDA(,B(d.S3

1VV 11BDABDA.BBBA.D 11111

2

3a

S

V.3))BDA(,B(d

BDA

BBA.D

11

1

11

BAØI 6.6 :

Höôùng daãn :

Tính theå tích khoái choùp C’.BMN

Goïi H laø hình chieáu cuûa A’ treân maët phaúng ABC ; do A’ caùch ñeàu caùc ñænh A, B, C neân H laø taâm ñöôøng

troøn ngoaïi tieáp ABC. Maø ABC vuoâng caân taïi A neân H laø trung ñieåm cuûa BC. Goïi MN'ACI .

Ta coù AI3I'C neân BMN,Ad3BMN,'Cd , suy ra ABC'.ABMN.ABMN'.C

V

4

3V3V

Ta coù 2aBC neân aACAB vaø

2

2aAH

Tam giaùc A’HA vuoâng taïi H, ta coù :

2

14a

4

a2a4AH'AAH'A

2

222

Theå tích khoái choùp ABC'.A laø

12

14a

2

14aa

2

1

3

1H'A.S

3

1V

3

2

ABCABC'.A

Vaäy

16

14aV

3

BMN'.C (ñvtt).

Tính khoaûng caùch töø C’ ñeán maët phaúng (BMN)

Goïi K laø trung ñieåm cuûa AH thì MK laø ñöôøng trung bình cuûa A’AH, ta coù :

H'A//MK , H'A

2

1MK vaø ABCMK

Goïi J laø hình chieáu cuûa K treân BN, ta coù : MJBN

MKBN

KJBN

Maø BMNMJ neân MKJBMN theo giao tuyeán MJ.

Trong tam giaùc MKJ keû ñöôøng cao KP thì BMNKP KPBMN,Kd

Goïi BNAHG thì G laø troïng taâm cuûa ABC.

Ta coù :

12

2aAH

6

1AH

3

1AH

2

1GHKHKG



12

Tam giaùc ABN vuoâng taïi A, ta coù :

3

5aBN

3

2BG

2

5a

4

aaANABBN

2

222

Xeùt hai tam giaùc vuoâng ñoàng daïng KJG vaø BHG ta coù :

20

5aBH

20

10KJ

20

10

3

5a

12

2a

BG

KG

BH

KJ

Tam giaùc MKJ vuoâng taïi K, ta coù : 284

994aKPBMN,Kd

a

80

a7

8

KJ

1

MK

1

KP

1

22222

Ta coù :

BMN,Kd4BMN,Ad4

AH

6

1

AH

3

2

KG

AG

BMN,Kd

BMN,Ad

71

994a3BMN,Kd12BMN,Ad3BMN,'Cd

BAØI 6.7 :

Höôùng daãn :

Goïi H laø trung ñieåm BC thì ABCH'B .

Khi ñoù, goùc giöõa BB’ vaø ABC laø goùc B’BH = 60o.

Ta coù :

2

a360sin'BBH'B

o ; 3aBC

2

a360cos'BBBH

o

aa3a4BCABCA2222

Vaäy

4

3a3a.3a

2

1

2

a3S.H'BV

3

ABC'C'B'A.ABC (ñvtt)

Do BCCA vaø H'BCA 'BBCAC'C'BBCA

Trong maët phaúng C'C'BB , keû MA'BBCMA'BBB'BCM

Vaäy goùc giöõa C'C'BB vaø 'A'ABB laø goùc giöõa hai ñöôøng thaúng MC vaø MA.

Do BB’C ñeàu neân M laø trung ñieåm cuûa BB’.

2

a3MBBCMC

22 ;

2

a13

4

a3a4MBABMA

2

222

Vaäy 0

13

3

MA.MC2

CAMAMCAMCcos

222

goùc giöõa hai maët phaúng 'B'BCC vaø 'A'ABB laø goùc

CMA maø

13

3AMCcos

.

BAØI 6.8 :

Höôùng daãn :

Goïi H laø trung ñieåm CM.

Töø giaû thieát o

11145ABC;CCCHCABCHC .

Töø tam giaùc vuoâng ABC vôùi a2BC , o

60ABC 3a2AC

a4AM , a45tanCHHCaCHa2AB

2

1CM

o

1

32

ABC1'C'B'A.ABCa323a2.aS.HCV

Keû ACHK ñöôøng xieân ACKC1

KHCAACC;ABC 111

Tam giaùc MCA caân taïi M o

30MACMCA

2arctanAACC;ABC2HK

CHKHCtan

2

a30sin.HCHK 111

o



13

VII. HÌNH HOÄP

BAØI 7.1 :

Höôùng daãn :

Hình choùp coù 'ABB'B'C neân C’B’ laø ñöôøng cao cuûa noù vaø ñaùy laø tam giaùc ABB’ vuoâng taïi ñænh B, neân

coù : 'CC.'BB.AB

2

1

3

1VV

'ABB'.C'C'ABB

Ta bieát A’AC laø tam giaùc vuoâng caân, coù caïnh huyeàn aC'A , do vaäy ta tính ñöôïc

2

aACA'A .

Tam giaùc ABC cuõng laø tam giaùc vuoâng caân, ñænh B, coù caïnh huyeàn

2

aAC neân ta coù

2

a

2.2

a

2

ACAB . Vaäy ta coù :

48

2a

224

a

2

a

2

a

2

a

2

1

3

1V

33

'ABB'.C

Trong tam giaùc ABA’, keû ñöôøng cao B'AAH , AH vuoâng goùc vôùi moät ñöôøng thaúng 'A'BCDB'A . Ta

coù: 'A'ABBCB maø 'A'ABBAH neân BCAH .

Töø B'AAH vaø BCAH BC'AAH H laø hình chieáu cuûa A treân maët phaúng BC'A hay AH laø

khoaûng caùch töø H ñeán BC'A , cuõng laø khoaûng caùch ñeán maët phaúng 'BCD .

Trong tam giaùc vuoâng A’AB, AH laø ñöôøng cao thuoäc caïnh huyeàn neân ñeå tính AH, ta aùp duïng coâng thöùc :

222

AB

1

'AA

1

AH

1 ; vôùi

2

a'AA vaø

2

aAB , ta tính ñöôïc

6

6aAH .

BAØI 7.2 :

Höôùng daãn :

Tính theå tích cuûa hình hoäp

Goïi BDACO , ta coù :

AO'ABD

D'AB'AdoO'ABD

ACBD

goùc A’OA = 60o laø goùc giöõa BD'A vaø ABCD

Töø giaû thieát suy ra ABC laø tam giaùc ñeàu.

Ta coù : aAC , 3aOB2BD

Tam giaùc A’AO vuoâng taïi A, ta coù :

2

3a60tan.OA'AA

o

Theå tích hình hoäp ñaõ cho laø :

4

a3

2

3a.3a.a

2

1'AA.BD.AC

2

1'AA.SV

3

ABCD (ñvtt)

Tính khoaûng caùch giöõa CD’ vaø (A’BD)

Ta coù : 'BA//'CD , suy ra BD'A//'CD

Do ñoù, BD'A,AdBD'A,CdBD'A,'CDd

Trong tam giaùc A’AO keû ñöôøng cao AH, ta coù :

AO'ABDdoBDAH

O'AAH

AHBD'A,AdBD'AAH

Ta coù :

4

3aAH

a3

16

a

4

a3

4

AO

1

A'A

1

AH

1

222222 . Vaäy

4

3aBD'A,'CDd .

Caùch khaùc : Ta coù :

8

a

2

3a

4

3a

3

1'AA.S

3

1V

32

ABDBCD'.A vaø

2

3aO'A.BD

2

1S

2

BD'A

Maët khaùc : 4

3a

S

V3BD'A,AdBD'A,Ad.S

3

1VV

BD'A

BD'A.A

BD'ABD'A.AABD'.A

Vaäy 4

3aBD'A,'CDd .



14

BAØI 7.3 :

Höôùng daãn :

Tính theå tích khoái hoäp ABCD.A’B’C’D’

Ta coù aADAB vaø goùc BAD = 60o neân ABD laø tam giaùc ñeàu caïnh baèng a.

Tam giaùc BDK vuoâng taïi K, ta coù :

4

14a

8

aaBKBDDK

2

222 , vôùi

4

2a'BB

4

1BK

Ta coù :

2

7a

a

4

14a2a

BD

'BB.DKH'B'BB.DKBD.H'B

Tam giaùc B’HB vuoâng taïi H, ta coù :

2

aa

4

7a2H'B'BBBH

2222

Suy ra H laø trung ñieåm cuûa BD BDACH

Dieän tích hình thoi ABCD laø :

2

3aS2S

2

ABDABCD

Vaäy theå tích khoái hoäp ñaõ cho laø :

4

21a

2

7a

2

3aH'B.SV

32

ABCD (ñvtt)

Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng B’C vaø C’D

Ta coù :

C'AB//'DC

C'AB'AB

'AB//'DC

Do ñoù : d B'C , C'D d C'D , AB'C d D , AB'C

Ta coù :

DH AC

DH B'H

aDH AB'C d D , AB'C HD

2

Vaäy 2

aD'C,C'Bd .

Documents

là giao di?m c?a AM và HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI THEÅ TÍCH CUÛA ...€¦ · iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii