Prctica # 3 Teorema de Bernoulli

1. Introduccin

En esta prctica estudiaremos la Ecuacin de Bernoulli y su interpretacin.

El Teorema de Bernoulli no es ms que otra manera de representar el Primer Principio de la Termodinmica o Ley de Conservacin de la Energa, es decir, que la energa no se crea ni destruye slo se transforma.

A partir de esta ecuacin se pretende encontrar el valor de la velocidad de flujo de agua que corre por el tubo de Bernoulli en diferentes puntos del tubo. Esta velocidad ser nuestra velocidad terica (vTEO).

Posteriormente compararemos la velocidad terica con la velocidad que hallemos a partir del Caudal que se mida en el laboratorio, en adelante llamaremos a esta velocidad experimental (vEXP). Para hallar la velocidad partiendo del dato de caudal utilizaremos la Ecuacin de Continuidad que se basa en el Principio de Conservacin de la Masa.

Sin embargo la parte ms importante de la prctica consistir en la interpretacin que realicemos de los resultados y de las grficas que se obtengan a partir de ellos. 2. Fundamento Terico

Ecuacin de Continuidad La Ecuacin de la Continuidad es una consecuencia del Principio de Conservacin de la Masa. Para un flujo permanente, la masa del fluido que atraviesa cualquier seccin de una corriente de fluido, por unidad de tiempo, es constante. Esta puede calcularse de la siguiente manera:

Puesto que la masa puede representarse de la siguiente manera tenemos que:

Esta ecuacin es un planteamiento matemtico del principio de la continuidad y se le conoce como Ecuacin de la Continuidad. Se utiliza para relacionar la densidad del fluido, el rea de flujo y la velocidad de flujo en dos secciones de un sistema en el que existe un flujo estable. Es vlida para todos los fluidos ya sean gases o lquidos. Otra forma de representar esta ecuacin es:

Para fluidos incompresibles y para todos los casos prcticos en los que o bien la ecuacin se transforma en:

Donde A1 y v1 son, respectivamente, el rea de la recta en la seccin 1 y la velocidad media de la corriente en la seccin 1; A2 y v2 tienen un significado anlogo en la seccin 2. Adems conocemos que tenemos que:

Esta es la ecuacin de la continuidad aplicada a lquidos (y para gases con un error pequeo); que establece que para un flujo estable, la rapidez de flujo de volumen es la misma en cualquier seccin. La letra Q representa al Caudal medido en unidades de volumen por unidades de tiempo.

Ecuacin de BernoulliEl anlisis de un problema de lnea de conductos toma en cuenta toda la energa del sistema. Se conoce que la energa no puede ser creada ni destruida, sino que puede ser transformada de un tipo a otro. ste es el principio enunciado como Ley de Conservacin de la Energa.

Cuando se analizan problemas de flujo en conductos, existen tres formas de energa que siempre hay que tomar en consideracin. Tome en cuenta un elemento de fluido, que puede estar dentro de un conducto de un sistema de flujo. Puede estar localizado a una cierta elevacin z, tener una cierta velocidad v, y una presin P. El elemento de fluido tendr las siguientes formas de energa:

1. Energa Potencial. Debido a su elevacin, la energa potencial del elemento con respecto de algn nivel de referencia es:

En la que w es el peso del elemento. 2. Energa Cintica. Debido a su velocidad, la energa cintica de elemento es:

3. Energa de flujo. En ocasiones conocida como energa de Presin o trabajo de flujo, sta representa la cantidad de trabajo necesario para mover el elemento de flujo a travs de una cierta seccin en contra de la presin P. La energa de flujo se abrevia FE (Flow Energy) y se calcula a partir de la ecuacin:

En la figura se muestra el elemento de fluido en el conducto que se traslada a travs de una seccin. La fuerza que acta sobre el elemento es P*A, en la que P es la presin en la seccin y A es su rea. Al trasladar el elemento a travs de la seccin, la fuerza se mueve una distancia L igual a la longitud del elemento. En consecuencia el trabajo hecho es:

En donde V es el volumen dele elemento. El peso del elemento, w, es:

En la que es el peso especfico del fluido. Entonces, el volumen del elemento es:

Y tenemos:

Al cual se le llama energa de flujo en la ecuacin.

La cantidad total de energa de estas tres formas que posee el elemento de fluido ser la suma, representada con E:

Cada uno de estos trminos se expresa en unidades de energa, newton-metro (N-m) en el Sistema Internacional o en pies-libra (pie-lb) en el Sistema Britnico de Unidades.

Considere ahora el elemento de fluido de la figura que se mueve de la seccin 1 a la seccin a la seccin 2. Los valores de P, z, v son diferentes en las dos secciones. En la seccin 1, la energa total es:

En la seccin 2 la energa total es:

Si no se agrega energa al fluido o se pierde entre las secciones 1 y 2, entonces el principio de conservacin de energa requiere que:

El peso del elemento, w, es comn en todos los trminos y se le puede cancelar. La ecuacin, entonces, se convierte en:

A esta ltima ecuacin se conoce como Ecuacin de Bernoulli.

Interpretacin de la Ecuacin de BernoulliCada trmino de la Ecuacin de Bernoulli es el resultado de dividir una expresin de la energa entre el peso de un elemento del fluido. Por consiguiente, es apropiado referirse a las formas resultantes como la energa poseda por el fluido por unidad de peso del fluido que fluye en el sistema. Las unidades de cada trmino pueden ser newton-metro sobre Newton en el Sistema Internacional y libras-pies por libra en el Sistema Britnico de Unidades.

Pero la unidad de peso, el Newton o la Libra, no pueden cancelarse dejando solamente una unidad de longitud, el metro o el pie. Por tanto, los trminos de la ecuacin de Bernoulli se conocen, a menudo, como cabezas o alturas, refirindose a una altura por encima de un nivel de referencia. El trmino se conoce como cabeza o altura de Presin; a se conoce como cabeza o altura de elevacin o potencial; y al trmino se le conoce como cabeza o altura de velocidad. La suma de las tres s conoce como Cabeza total o Altura total. Debido a que cada trmino representa una altura, un diagrama parecido al que se muestra en la figura e de utilidad para visualizar la relacin entre los tres tipos de energa. Observe que debido a la suposicin de que no se pierde o se agrega energa, la cabeza total permanece a un nivel constante. Entonces, la altura relativa de cada trmino de cabeza vara segn lo establecido por la ecuacin de Bernoulli.

La cabeza de velocidad en la seccin 2 ser menor que en la seccin 1. Esto se puede mostrar mediante la ecuacin de continuidad:

Puesto que A1