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Lección 1. Probabilidades

Unidad 4 – Habilidad para Lograr Aprendizajes Efectivos en Matemática

Ministerio de Educación Prohibida su reproducción


¿Porqué estos contenidos? La estadística y la probabilidad responden a las necesidades que la sociedad y la industria plantean. No hay un ambiente productivo o académico en el cual no sea necesario el estudio y conocimiento de esta área del saber. Además de todas las ventajas que otorga en lo cotidiano, se presentan como herramientas válidas, útiles y necesarias para el desarrollo de la empresa y los negocios. Los avances tecnológicos han favorecido el desarrollo de esta área del conocimiento y nos permite desligarnos un poco de los resultados para poner nuestra atención en los procedimientos y en la comprensión de conceptos. Es una idea validada que la tecnología sirve (y ha servido a través de la historia) al desarrollo del hombre, de su calidad de vida y de sus sistemas productivos. La Estadística y la Probabilidad y sus estudiosos han tomado esta idea y la han concretado en programas computacionales e instrumentos de cálculo y medición, de modo que podamos poner el centro de nuestros esfuerzos en la comprensión de los fenómenos estudiados, más allá de los procesos muy técnicos necesarios para el estudio.



Relevancia por la aplicación en otras ciencia. Como se mencionó, todas las áreas del conocimiento incorporan estas disciplinas en su desarrollo, principalmente en la aplicación del método científico (permite el estudio cuantitativo de las variables definidas en cada investigación) y, por ende, como herramienta que valida, pero también en la proyección y predicción de procesos y resultados. Por nombrar algunas: la Biología, la Física, la Economía, la Psicología, las Ciencias Políticas, la Sociología, el Marketing, la Sismología, la Matemática de Seguros, etc. Hoy en día la información es demasiada. Se requieren métodos para ordenarla y presentarla. El gran acceso a la información y el mejoramiento de los métodos de recolección de datos han desafiado al conocimiento humano. La Estadística y la Probabilidad responden a este desafío con gran versatilidad de conceptos y procedimientos que permiten el manejo de grandes cantidades de información y de herramientas que permiten la proyección y la predicción.



Metas 1.Comprender los primeros conceptos de probabilidades para aplicarlos en el estudio y experimentación de casos. 2.Estudiar el álgebra de sucesos (conjuntos) para que nos ayude en el cálculo de probabilidades.



Concepto de Variable Aleatoria

Pensemos en los siguientes experimentos: Extracción de una carta de la baraja inglesa. Lanzamiento de un dado. Lanzamiento de una moneda. Lanzamiento de la bolita en la Ruleta rusa. Combinación ganadora del Kino de esta semana.

¿Qué tienen en común?

Experimentos Cuando un experimento se repite bajo las mismas condiciones y el resultado no se puede predecir con exactitud, se dice que es un experimento aleatorio. Cuando se puede predecir con exactitud se dice que es determinístico.



Dos Conceptos

•Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. •Suceso (evento): subconjunto del espacio muestral. Diremos que un suceso se verifica cuando al realizar el experimento se obtiene como resultado uno de los elementos del espacio muestral. También son llamados eventos.



Variables Aleatorias Formalmente, las variables aleatorias son funciones que asocian un suceso de un experimento aleatorio con un número real: Cuando lanzas una moneda o practicas algún juego de azar, estás frente a una situación que depende de un evento aleatorio y, cuando esto ocurre, se dice que la variable es aleatoria. En la vida real hay muchos casos como el anterior, por ejemplo, si nos paramos en una esquina y preguntamos por la edad del entrevistado, también esta variable es una variable aleatoria.

Si lanzamos un dado, sabemos que el espacio muestral E (esto es, todos los casos posibles) es:

E = {1,2,3,4,5,6}

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Ω

S x

¡

a

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Ejemplos

Experimento: lanzar una moneda al aire tres veces. Espacio muestral: Ω = {(c,c,c),(c,c,s),(c,s,c),(s,c,c),(s,s,c),(s,c,s),(c,s,s),(s,s,s)} Variables aleatorias: resultado al lanzar la moneda cada vez Suceso: salen 2 caras y un sello, salen tres caras, etc. La probabilidad mide la frecuencia con que ocurre un suceso determinado al realizar un experimento aleatorio.



Dos Conceptos Más

•Frecuencia (absoluta): cantidad de ocasiones en que ocurre un resultado. Se simboliza f. •Frecuencia relativa: comparación entre la frecuencia absoluta y el total de veces que se realiza un experimento. Se simboliza F ó fr .

fF

N



Experimento: Lanzar un dado

Espacio muestral = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Suceso seguro: contiene todos los elementos del espacio muestral. En el experimento es el suceso el resultado es un natural menor o igual que 6 Suceso imposible: no contiene elementos. En el experimento es el suceso el resultado es mayor que 10

¿Son únicos estos sucesos en cada experimento?



Experimento 1 •Suponiendo 30 lanzamientos, prediga cuál será el número por cada una de las posibles formas de caída del objeto •Luego realice la experiencia, registre los resultados y contraste con la predicción. •Entre quienes usaron el mismo objeto, contraste los resultados con la predicción considerando el total de los lanzamientos.

¿Qué ocurre a medida que aumenta el número de lanzamientos?



Experimento 2 Se lanza un dado 18.000 veces. A medida que aumentan los lanzamientos, se obtienen los resultados de la siguiente tabla:

N° de tiradas

Resultados posibles

1 2 3 4 5 6

20 5 4 2 4 2 3

60 7 6 6 11 9 21

300 47 39 44 56 42 72

600 89 84 82 111 104 130

1200 174 166 185 203 207 265

2400 362 345 387 396 407 503

6000 946 885 1002 993 941 1233

18000 2911 2851 2833 2766 2806 3833



Una ayuda

El uso de ordenadores y calculadoras facilita el que los alumnos comprendan mejor temas complejos de matemáticas. Es evidente que en muchos casos la tecnología agiliza y supera, la capacidad de cálculo de la mente humana, con ayuda de la tecnología, los alumnos tienen más tiempo para concentrarse en enriquecer su aprendizaje matemático.

http://www.estadisticaparatodos.es/software/software.html

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Gráficos de Frecuencia (MO Excel)



Gráficos de Frecuencia





















Conclusión

El gráfico tiende a ‘estabilizarse’, es decir, las barras llegan a alturas similares. En algún momento, ¿tienen la misma altura las seis barras?

¿Cómo explicaría que el 6 aparezca un poco más?



Experimento 3 El cuadro siguiente registra el número de veces que resultó cara en un total de 10.000 lanzamientos de una moneda. En cada celda se registra el número de veces que resultó cara por cada 100 lanzamientos.

47 45 53 45 49 48 58 43 48 54

41 47 52 47 50 51 60 52 46 46

51 46 46 41 45 51 54 58 40 53

48 52 52 51 52 49 55 51 53 55

59 47 44 49 52 44 50 51 49 46

51 48 51 59 48 52 48 50 49 54

52 59 48 50 47 50 47 52 48 41

55 57 51 55 47 46 57 50 54 48

39 45 46 53 47 53 52 53 53 51

41 48 54 50 51 41 55 49 45 53



Preguntas

•De las 100 celdas, ¿cuántas registran 50 caras?

7 •¿Cuál es el número más alejado de 50?

39 •¿Cuántas veces se repite ese o esos números?

1

•Sume cada fila y cada columna y analice esos resultados (cada uno corresponde a 1.000 lanzamientos) •¿Cuál es el total de caras en los 10.000 lanzamientos?

4.979



Álgebra de Sucesos

•Complemento de un suceso. El suceso complementario (o complemento) de un suceso A es aquél que ocurre cuando A no ocurre y a la inversa. Se designa por o por .

Consecuencia: El complemento del espacio muestral E es ϕ (el conjunto vacío) Ejemplo: A: llueve AC: no llueve

ACA



Álgebra de Sucesos

•Suceso contenido. Un suceso A está contenido en B si cada vez que ocurre A, ocurre también B. En términos de álgebra de conjuntos se dice que A es subconjunto de B.

Ejemplo: A: es de día B: es de noche C: la hora actual está entre las 13:00 y las 17:00 D: la hora actual está entre las 21:00 y las 23:00

Es de día Es de noche Universo

La hora actual está entre las

13:00 y las 17:00

La hora actual está entre las

21:00 y las 23:00



Álgebra de Sucesos

•Unión de sucesos. Si A y B son sucesos, A unión B es el suceso que ocurre cuando A ó B ocurre (o ambos). Se simboliza por .

Ejemplo: 10 alumnos juegan golf, 7 fútbol y 3 fútbol y golf. Represente en un diagrama.

Golf

Fútbol Universo

3 7 4



Álgebra de Sucesos

•Intersección de sucesos ¿Con qué suceso es incompatible el suceso A? ¿Con qué suceso es incompatible el espacio muestral E?

•Diferencia de sucesos (A-B ó A\B)

Los sucesos serán representados gráficamente igual que los conjuntos, con los diagramas de Venn-Euler.

A-B

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