Embed Size (px)
Citation preview
LOS NÚMEROS ALEATORIOS SE PUEDEN OBTENER A
TRAVÉS DE UNA CALCULADORA CIENTÍFICA
( PARTE ESTADÍSTICA ) , O BIÉN EN UN ORDENADOR.
SEGURAMENTE HAS VISTO ALGUNA VEZ EL SORTEO
DE LA LOTERIA O DEL KINO U OTROS TANTOS
JUEGOS DE AZAR. EN UN GRAN ROMBO HAY
MUCHAS BOLAS NUMERADAS , ENTRE LAS CUALES ,
DESPUÉS DE REMOVIDAS , SE SACA UNA
CUALQUIERA.
CON ESTE PROCEDIMIENTO , TODOS LOS NÚMEROS
TIENEN LA MISMA PROBABILIDAD DE SALIR
ELEGIDOS. AÚN HAY PERSONAS QUE PREFIEREN ,
SIN NINGÚN FUNDAMENTO RAZONABLE , JUGAR
SIEMPRE A UN NUMERO PARTICULAR , PENSANDO
QUE LES TRAE SUERTE.
SI OBERVAS LA LISTA DE NÚMEROS QUE SE
MUESTRAN A CONTINUACIÓN Y SEGÚN LO QUE SE
ACABA DE ESTABLECER :
¿CREES QUE ES UNA LISTA DE NÚMEROS
ALEATORIOS?
EVIDENTEMENTE QUE NO PORQUE LA
APARICION DE ESTOS ES
ABSOLUTAMENTE ORDENADA Y NO ESTA
SUJETA A LAS REGLAS DE AZAR.
PROBABILIDADES CALCULADAS BAJO HIPÓTESIS DE
EQUIPROBABILIDAD .
UNA PRUEBA DE ALEATORIEDAD LA PROPORCIONA
EL CONSISTE
EN AGRUPAR LA SUCESION DE DIGITOS
DE LA TABLA ALEATORIA EN NÚMEROS
DE 5 CIFRAS . EN TOTAL APARECEN
100.000 NÚMEROS POSIBLES , CON UNA
PROBABILIDAD DE 000.100
1 = 0,00001
LUEGO SE CLASIFICAN ESTOS NÚMEROS DE 5
CIFRAS EN Y SE
COMPARAN LAS FRECUENCIAS RELATIVAS
DE ÉSTOS CON LA PROBABILIDAD TEÓRICA . LAS SITE CLASES DIFERENTES SE MUESTRAN EN LA
SIGUIENTE TABLA ;
TODOS LOS ORDENADORES TIENEN
INSTRUCCIONES QUE PERMITEN GENERAR
NÚMEROS ALEATORIOS SI ESTÁN BIEN
CONSTRUIDOS LOS PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULO
CORRESPONDIENTES
EJECUTANDO EL SIGUIENTE PROCEDIMIENTO ,
ESCRITO EN LENGUAJE BASIC , SE HAN OBTENIDO
LOS 250 DÍGITOS ( ENTRE 0 y 9) DE LA TABLA QUE A
CONTINUACIÓN SE INDICA :
TABLA DE NÚMEROS ALEATORIO
PARA COMPROBAR SI EL ORDENADOR GENERÓ
UNA BUENA TABLA DE NÚMEROS ALEATORIO
VAMOS A PLICAR UN TEST DE PRUEBA DE
ALEATORRIEDAD.
LA PROBABILIDAD DE OBTENER CADA CIFRA ES 0.1
( 1 DE LAS 10 CIFRAS ) . CON LO CUAL CADA CIFRA
DEBE APARECER CON UNA FRECUENCIA RELATIVA
MUY PROXIMA A 0.1
ESTAS FRECUENCIAS SE PRESENTAN EN LA TABLA
SIGUIENTE :
EN LA TABLA OBSERVAMOS QUE HAY
DIFERENCIAS EXCESIVAS ENTRE LAS FRECUENCIAS
RELATIVAS DE APARICIÓN DE ALGUNAS CIFRAS Y
LA PROBABILIDAD ESPERADA 0.100 ( EJEMPLO LA
APARICIÓN DEL 0 , LA FRECUENCIA RELATIVA DEL
1 )
PPOR LO TANTO EL CONJUNTO DE NÚMEROS NO
CUMPLE LA PRUEBA DE ALEATORIEDAD BAJO ESTE
CRITERIO.
LA TABLA DE NÚMEROS ALEATORIOS PUEDE
LEERSE AGRUPANDO LOS DÍGITOS POR PAREJAS :
97 , 77 , ,09 ……. SABEMOS QUE EN TOTAL HAY 100
PAREJAS 00 , 01 , ……..,99 . POR TANTO LA
PROBABILIDAD DE CADA PAREJA SERA : 0.01 ( UNA
DE 100 ) .
PARA COTEJAR ESTA PRUEBA SE COMPLETA LA
TABLA DE FRECUENCIA SIGUIENTE :
NUEVAMENTE , SI COMPARAMOS LAS
FRECUENCIAS RELATIVAS , VEMOS QUE HAY
DIFERENCIAS EXCESIVAS , POR LO QUE
CONCLUIMOS QUE LOS NÚMEROS MOSTRADOS DE
ACUERDO A ESTE CRITERIO NO PUEDEN
CONSIDERARSE PERFECTAMENTE ALEATORIOS.
SE DENOMINAN “RACHAS” A LA SUCESIÓN DE
DÍGITOS IGUALES : 22 , 333 , 555 , ……..
COMPARAR LAS FRECUENCIAS RELATIVAS DE SUS
APARICIONES CON LAS PROBABILIDADES TEÓRICAS
ES OTRA PRUEBA DE ALEATORIEDAD .
S ESTOS DATOS LOS RECOGEMOS EN UNA TABLA :
OBS. HAY 10 POSIBLES RACHAS DE LONGITUD 2 :
00 11 22 33 44 55 66 77 88 99
LA PROBABILIDAD TEORICA DE APARICIÓN DE UNA
DE ELLAS ES : 0.10
SI CALCULAMOS LA FRECUENCIA RELATIVA DE
APARICION DE LAS RACHAS DE LONGITUD 2 EN LA
TABLA OBSERVAMOS QUE HAY 19 DE POSIBLES 125
PAREJAS DE NÚMEROS , ESTO ES : FR : 0.152
COMO AL ELEGIR UN PAR DE NÚMEROS AL AZAR
NO ES RARO OBTENER UN RACHA DE LONGITUD 2 ,
CONCLUÍMOS EN ESTE CASO QUE LOS NÚMEROS
EXPUESTOS NO SON ALEATORIOS., PUES SI
COMPARAMOS LA FRECUENCIA RELATIVA CON LA
PROBABILIDAD TEORICA HAY UNA DIFERENCIA
EXCESIVA ENTRE LOS VALORES.
A LA MISMA CONCLUSIÓN LLEGARIAMOS SI
COMPARAMOS LAS FRECUENCIAS RELATIVAS DE
LAS OTRAS RACHAS CON LAS RESPECTIVAS
PROBABILIDADES TEÓRICAS.
ANÁLISIS DE LAS PROBABILIDADES QUE SIGUEN A
UNA DETERMINADA CIFRA EN LA TABLA DE
NÚMEROS ALEATORIOS Y SU COMPARACIÓN CON
LAS FRECUENCIAS RELATIVAS.
EN ESTE CASO CONSIDERAREMOS EL 8
OBSERVAMOS DE NUEVO LA TABLA DE LOS 250
NÚMEROS Y TACHAMOS TODOS LOS 8 QUE
ENCONTRAMOS . OBSERVAMOS LA CIFRA QUE
SIGUE AL 8
COMO LA CIFRA QUE SIGUE AL OCHO ES
TAMBIEN UN NÚMRO ALEATORIO , CUALQUIERA DE
LAS 10 CIFRAS TIENE LA MISMA OPCIÓN DE SALIR ,
LA PROBABILIDAD DE APARICIÓN DE CADA UNA DE
ELLAS ES NATURALMENTE 0.10.
LLEVAMOS ESTOS CONTEOS A UNA TABLA , Y
OBTENEMOS :
Aquí observamos que el número que tiene más
probabilidades de salir después de ocho es el 7 , y además las
frecuencias relativas de aparición tienen diferncias
significativas o excesivas , lo que confirma una vez más el
carácter no aleatorios de los 250 números expuestos.
LA MISMA PRUEBA DE ALEATORIEDAD SE PODRIA
HACER PARA CUALQUIER OTRO NÚMERO Y LA
CONCLUSIÓN FINAL NO SERÍA DISTINTA.
ANÁLISIS DE LA LONGITUD DE LAS SECUENCIAS DE
NÚMEROS HASTA LLEGAR A UNA CIFRA
DETERMINADA.
HEMOS VISTO QUE LA FRECUENCIA RELATIVA DEL
SUCESO “OBTENER 3” ( O CUALQUIER OTRO
NÚMERO ) ESTÁ PRÓXIMA A 0.10. ESTO QUIERE
DECIR QUE EN PROMEDIO , CADA 10 DÍGITOS DEBE
APARECER UN 3 . FIJEMONOS DE NUEVO EL LA
TABLA PRINCIPAL DE NÚMEROS EXPUESTOS Y
VAMOS ESCRIBIENDO LOS NÚMEROS HASTA UNA
NUEVA REAPARICIÓN DEL 3 , CONTANDO EL
NÚMERO DE DÍGITOS NECESARIOS DE LAS
SUCESIVAS SECUENCIAS , Y COMPLETAMOS LA
SIGUIENTE TABLA.:
CALCULANDO LA LONGITUD MEDIA DE LAS 25
LONGITUDES DE LAS SECUENCIAS OBTENIDAS Y LA
COMPARAMOS QUE EL VALOR ESPERADO QUE ES 10 .
LONGITUD MEDIA 243 : 25 = 9,78
EN TÉRMINOS ESTADÍSTICOS , ES UN VALOR
APARENTEMENTE CERCANO , PERO ESA PEQUEÑA
DIFERENCIA NO NOS PERMITE ASEGURAR LA
COMPLETA ALEATORIEDAD DE LOS NÚMEROS
EXPUESTOS
EN GENERAL SE RECOMIENDA
APLICAR POR LO MENOS DOS O TRES
MÉTODOS O CRITERIOS DISTINTOS DE
TEST DE POKER- TEST , ANTES DE TOMAR
UNA DECISIÓN. TE HE EXPLICADO QUE ES UNA TABLA DE
NÚMEROS ALEATORIOS , ANALIZANDO DIVERSAS
CONDICIONES QUE DEBEN CUMPLIR LOS NÚMEROS
DE DICHA TABLA . CON ELLO TE AYUDO A
VISUALIZAR EL CARÁCTER IMPREVISIBLE DEL
AZAR Y ESTAS TABLAS TE SERVIRÁN , MAS
ADELANTE PARA MODELAR ALGUNOS CÁLCULOS
DE PROBABILIDADES.
GENERACION DE UNA TABLA DE
NÚMEROS ALEATORIOS .
EXISTEN DIVERSOS PROCEDIMIENTOS PARA
GENERAR NÚMEROS ALEATORIOS .
PAPELES NUMERADOS : ESCRIBIENDO LOS
NÚMEROS EL 0 AL 9 EN 10 PAPELES IGUALES ,
PUESTOS EN UNA URNA Y SACADOS AL AZAR CON
REPOSICIÓN ( DEVOLVIENDO EL PAPEL UNA VEZ
SACADO DE LA CAJA Y REGISTRADO EL
RESULTADO )
RULETAS NUMERADAS : CON UNA RULETA
COMO LA QUE SE MUESTRA EN LA FIGURA
RULETA DECIMAL DE LAPLACE.
PODEMOS IR OBTENIENDO UNA SUCESIÓN DE
CIFRAS CONSEGUIDAS AL AZAR O DE FORMA
ALEATORIA.
DADOS DECIMALES : NUMERAMOS LAS
CARAS OPUESTAS DE UN ICOSAEDRO CON EL MISMO
NÚMRO ( DE 0 A 9) , DISPPONEMOS ENTONCES DE UN
DADO DECIMAL , QUE PUEDE UTILIZARSE PARA
GENERAR NÚMEROS ALEATORIOS.
ORDENADORES : TODOS LOS ORDENADORES
TIENEN INCORPORADO UN PROGRAMA QUE PUEDE
GENERAR NÚMEROS ALEATORIOS.
¿PARA QUE SIRVEN LOS NÚMEROS
ALEATORIOS?
HEMOS VISTO QUE EXISTEN DIVERSOS MÉTODOS
QUE PERMITEN OBTENER NÚMEROS ALEATORIOS ,
Y UNA DE ELLAS ES POR MEDIO DE RULETAS
NUMERADAS , LO QUE PERMITE RESOLVER
PROBLEMAS POR EL DENOMINADO “METODO DE
MONTECARLO”.
EN 1947 , SE HIZO GIRAR UNA RULETA
NUMERADA DEL 0 AL 9 ( RULETA
DECIMAL DE LAPLACE ) , UN MILLÓN DE
VECES Y LA SUCESIÓN OBTENIDA SE
PUBLICÓ EN 1955 BAJO EL TÍTULO “ A
MILLION RANDOM DIGITOS”
MEDIANTE ESTA TABLA RESOLVEREMOS
DIVERSOS PROBLEMAS
EL CRITERIO QUE SE APLICARÁ A CONTINUACIÓN ,
QUE INVOLUCRA EL USO DE LA TABLA DE NÚMEROS
ALEATORIOS SE DENOMINA EL :
1.-¿CÓMO ELEGIR 20 ALUMNOS DE UN TOTAL DE 520
MATRICULADOS EN EL LICEO SAN ANTÓNIO PARA
APLICARLES UNA ENCUESTA DE OPINIÓN?
PROCEDIMIENTO . UNA VEZ NUMERADOS LOS ALUMNOS DE 1 AL 520 ,
SE ELIGE AL AZAR 20 TERNAS DE CIFRAS
ELIMINANDO 000,………..521,522…….Y SUS POSIBLES
REPETICIONES.
PARA SIMPLIFICAR EL MÉTODO DE LOS BLOQUES
COMPUESTOS POR NÚMEROS DE 5 CIFRAS , SE
TOMAN EN CUENTA SOLAMENTE LAS 3
PRIMERAS ..POR EJEMPLO EL NÚMERO 03456 , SE
TOMARÁ COMO 034 , ES DECIR 34
EJEMPLO : SI ELEGIMOS EL SEXTO BLOQU
( CONTANDO DE ARRIBA HACIA ABAJO ) Y DENTRO
DE EL LA SEGUNDA FILA SE OBTIENE LA SERIE
ALEATORIA :
2.- ELECCIÓN DE 15 NÚMEROS DEL JUEGO
DEL “KINO” EN FORMA ALEATORIA.
EL JUEGO CONSISTE COMO SABEMOS DE UN
CARTON COMPUESTO POR 15 NÚMEROS DE 25
( 1,2,3,4…………25 ) SORTEADOS ALEATORIAMENTE.
PARA ELLO TOMAMOS 15 NÚMEROS
ALEATORIAMENTE DE LA TABLA , A PARTIR DE UNA
COLUMNA O FILA ELEGIDA AL AZAR.
TOMAMOS NÚMEROS COMPUESROS POR DOS
CIFRAS , ELIMINANDO LOS QUE APAREZCAN
REPETIDOS Y LOS : 00,26,27………..
PARA SIMPLIFICAR LA ELECCIÓN DE LOS
BLOQUES DE NÚMEROS DE TRES CIFRAS , TOMAMOS
SOLAMENTE LAS DOS PRIMERAS ( PODEMOS ELEGIR
OTRA COMBINACIÓN COMO : LAS DOS ÚLTIMAS ,
LAS DOS CENTRALES .. ETC)
PARA ESTE EJEMPLO TOMARÉ EL SEGUNDO
BLOQUE DE NÚMEROS –COLUMNA :
TENDREMOS LA SERIE ALEATORIA :
01 11 20 22 15 06 13 09 10 03 05
19 25 18 08
NATURALMENTE UD. PUEDE CONSTRUIR OTRO
CARTON CON EL MISMO CRITERIO , EL QUE SERÁ
TAMBIÉN ABSOLUTAMENTE ALEATORIO.
3.- DE UN GRUPO DE 5 AMIGOS : .¿CUAL ES
LA PROBABILIDAD DE QUE DOS DE ELLOS
CELEBREN EL CUMPLEAÑOS EL MISMO
DIA?
UNA BUENA SIMULACIÓN PARA ESTE PROBLEMA LA
PODEMOS REALIZAR DEL SIGUIENTE MODO:
ELEGIMOS 5 FILAS Y/O COLUMNAS DE LA TABLA
ALEATORIA Y SUPRIMIMOS LOS GRUPOS QUE NO
SEAN 001 , ………..364 , 365 (LOS DIAS DEL AÑO). Y
ANOTAMOS LOS 5 GRUPOS DE NÚMEROS OBTENIDOS
A LO LARGO DE LA FILA O COLUMNA ELEGIDA.
PARA ELLO ADEMÁS CONSIDERAMOS SOLAMENTE
LAS TRES PRIMERAS DE ESTAS COLUMNAS O FILAS.
DETRMINAMOS LUEGO LOS NÚMEROS REPETIDOS
DE CADA UNA DE LAS SERIES , CALCULANDO LA
RESPECTIVA FRECUENCIA RELATIVA DE ELLOS .
EL PROMEDIO DE LAS 5 SERIES DE NÚMEROS
ELEGIDOS NOS DARÁ LA PROBABILIDAD ESPERADA.
EJEMPLO :
ELIGIENDO EL PRIMER BLOQUE DE NÚMEROS Y LA
PRIMERA FILA , SE OBTIENE LA SERIE :
REPETIDOS : 301 , FR = 13
1 ( SE REPITE
UNO DE LA SERIE DE TRECE )
SEGUNDO BLOQUE Y SEGUNDA FILA :
272 018 357 168 279 223 009
REPETIDOS : NO HAY , FR = 0
QUINTO BLOQUE , COLUMNA:
REPETIDOS : 104 ., FR = 19
1 ( SE REPITE UNO
ENTRE 19 DE LA SERIE)
PRIMER BLOQUE , COLUMNA :
REPETIDO : 290 , FR = 21
1
ÚLTIMO BLOQUE , FILA :
272 228 277 357 104
REPETIDOS = NO HAY , FR = 0
LA PROBABILIDAD ENTONCES EL PROMEDIO DE LAS
FRECUENCIAS RELATIVAS DE CADA SERIE , ESTO ES :
P = 5
1(
13
1+0+
19
1+
21
1+0)
P= 0,035 , O BIÉN P = 3,5%
4.- CAZANDO PATOS . 10 CAZADORES, TODOS
ELLOS DE ÉLITE Y QUE , POR SUPUESTO , ACIERTAN
SIEMPRE EN SU BLANCO , ESTÁN AL ACECHO
OBSERVANDO 10 PATOS NADANDO EN UNA LAGUNA .
LOS CAZADORES DISPARAN UNA SOLA VEZ SIN
OBSERVAR SOBRE CUAL DE LOS PATOS LO HACEN
SUS COMPAÑEROS . TODOS TIRAN A LA VEZ , Y CADA
UNO ELIGE SU VÍCTIMA AL AZAR.
EN ESAS CONDICIONES UN MISMO PATO PUEDE
RECIBIR UNO , DOS O MAS DISPAROS , CON ESTO
ALGUNOS SALVARÁN ILESOS
¿CUÁNTOS PATOS SOBREVIVIRÁN , POR TÉRMINO
MEDIO , SI SE REPITE A MENUDO ÉSTA EXPERIENCIA?
SIMULACIÓN DEL PROBLEMA :
LOS PATOS LOS PODEMOS CONSIDERAR
NUMERADOS A TRAVÉS DE LAS 10 CIFRAS :
0,1,2,3,4,5,6,7,8,,9
SE ELIGEN 10 CIFRAS AL AZAR DE LA TABLA DE
NÚMEROS ALEATORIOS COMENZANDO POR UNA
FILA O COLUMNA ELEGIDA TAMBIÉN AL AZAR. LAS
CIFRAS QUE NO ESTÉN EN ESTE GRUPO O SERIE
REPRESENTARÁN A LOS PATOS SUPERVIVIENTES.
POR EJEMPLO
ELIGIENDO EL TERCER BLOQUE CONTANDO
DESDE LA IZQUIERA POR COLUMNA SE TIENE LA
SERIE :
0 9 5 8 5 1 7 2 1 8 CIFRAS QUE NO ESTÁN
EN LA SERIE : 3 , 4 Y 6
POR LO QUE SALVARÁN TRES PATOS .
ES CONVENIENTE HACER VARIAS SIMULACIONES Y
CALCULAR UN PROMEDIO DE PATOS
SUPERVIVIENTES .
AL CALCULAR LA MEDIA DE LOS PATOS VIVOS , ES
POSIBLE QUE OBTENGAMOS UN NÚMERO PRÓXIMO
A 3,5 QUE SERÍA LA MEDIA DE LOS PATOS VIVOS
TEÓRICAMENTE CALCULADA.
