Matematika I - unizg.hr · Matematika I Skalarni produkt Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 1 / 33. animation by animate[2012/05/24]

Matematika ISkalarni produkt

Katedra za matematiku, FSB

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 1 / 33

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Skalarni produkt vektora kao analogija mnozenja brojevaIzracunavanje duljine vektora preko skalarnog produktaPrimjene u klasicnoj geometrijiImplicitna jednadzba ravnine, vektor normale


Sadrzaj

Sadrzaj:

1 Skalarni produktSkalarni produktSvojstva skalarnog produktaKosinusov poucak ∗

Talesov poucak∗

Ortocentar ∗

Skalarni produkt u koordinatamaImplicitna jednadzba ravnine


Skalarni produkt Skalarni produkt

Skalarni produkt

−→a ·−→b =−→a ·−→ba

−→ba

−→a

−→b

ϕ

−→a ·−→b =−→ab ·−→b

−→a

−→ab

−→b

ϕ



Skalarni produkt

−→a ·−→b = |−→a ||−→b |cosϕ

= ab cosϕ

VAZNO:|−→a |2 =−→a ·−→a

tj.a =

√−→a ·−→a−→a ⊥−→b ⇐⇒−→a ·−→b = 0



Zadatak 1.

1

1

~a

~b~c~d

~e

Koliko iznose skalarniprodukti:−→a ·−→b ,

−→a ·−→c ,−→b ·−→c ,

−→c ·−→d ,−→a ·−→d ,

−→c ·−→e ,−→e ·−→a ?



Rjesenje.

−→a ·−→b =

isti smjer(+)︷︸︸︷−→a ·−→ba = 2 ·2 = 4

−→a ·−→c = 0−→b ·−→c =

−→bc ·−→c︸︷︷︸(+)

= 1 ·2 = 2

−→c ·−→d =−→c ·−→dc = 2 ·1 = 2

−→a ·−→d =−→a ·−→da︸︷︷︸

(−)suprotni smjer

=−2 ·1 =−2

−→c ·−→e =−→c ·−→ec =−6

−→e ·−→a =−→ea ·−→a =−4



Zadatak 2.

−→a

−→b

−→c

−→d 45◦

60◦

Za vektore na slici:|−→a | = 2, |−→b | = 3, |−→c | =1, |−→d | = 2, ^(−→a ,

−→c ) =90◦ izracunajte skalarneprodukte−→a ·−→b ,

−→a ·−→c ,−→a ·−→d ,−→

b ·−→c ,−→c ·−→d .



Rjesenje.

−→a ·−→b = 2 ·3 ·cos(45◦) = 3√

2−→a ·−→c = 2 ·1 ·cos(90◦) = 0

−→a ·−→d = 2 ·2 ·cos(150◦) = 4 ·(−√

32

)=−2

√3

−→b ·−→c = 3 ·1 ·cos(45◦) =

3√

22

−→c ·−→d = 1 ·2 ·cos(60◦) = 2 · 12= 1


Skalarni produkt Svojstva skalarnog produkta

Svojstva skalarnog produkta-Pravila racunanja

(k−→a ) ·−→b = k(−→a ·−→b ) HOMOGENOST−→a ·−→b =

−→b ·−→a KOMUTATIVNOST

−→a · (−→b +−→c ) =

−→a ·−→b +−→a ·−→c DISTRIBUTIVNOST

Npr.

(−→a −2

−→b ) · (3−→a +

−→b ) = 3−→a ·−→a +

−→a ·−→b −6−→b ·−→a −2

−→b ·−→b

= 3a2−5−→a ·−→b −2b2



Svojstva skalarnog produkta-Pravila racunanja

(k−→a ) ·−→b = k(−→a ·−→b ) HOMOGENOST−→a ·−→b =

−→b ·−→a KOMUTATIVNOST

−→a · (−→b +−→c ) =

−→a ·−→b +−→a ·−→c DISTRIBUTIVNOST

Npr.

(−→a −2

−→b ) · (3−→a +

−→b ) = 3−→a ·−→a +

−→a ·−→b −6−→b ·−→a −2

−→b ·−→b

= 3a2−5−→a ·−→b −2b2



Zadatak 3.

~a

~b

~c

Za vektore na slici, na jedinicnojkvadratnoj mrezi, izracunaj ska-larne produkte:(1) (−→a +

−→b ) ·−→c

(2) (3−→a − 2−→b ) · (−2−→a +

−→b )

(3) (−→a +−→b +−→c ) · (−→a −−→b )



Rjesenje.

(1) (−→a +−→b ) ·−→c =

−→a ·−→c +−→b ·−→c =

−→a ·−→ca +−→b ·−→cb =−2 ·1−1 ·2

=−4

(2) (3−→a −2−→b ) · (−2−→a +

−→b ) =−6a2 +4−→a ·−→b +3−→a ·−→b −2b2

=−6a2 +7−→a ·−→b −2b2

=−6 ·4+7 ·0−2 ·1 =−26

(3) (−→a +−→b +−→c ) · (−→a −−→b ) = a2 +

−→b ·−→a +

−→c ·−→a −−→a ·−→b −b2−−→c ·−→b= a2 +

−→ca ·−→a −b2−−→cb ·−→b

= 4−1 ·2−1− (−2 ·1) = 3



Zadatak 4.∗

a

a

Pokazite da su dijagonale romba medusobno okomite.(Romb jeparalelogram s jednakim stranicama.)



Rjesenje.

−→a

−→b

(−→a +

−→b ) · (−→a −−→b ) = a2−b2 = 0 (jer je |−→a |= |−→b |= a) pa je

−→a +−→b ⊥−→a −−→b .


Skalarni produkt Kosinusov poucak ∗

Kosinusov poucak ∗

−→a

−→b

−→cγ

c2 = |−→a −−→b |2 = (−→a −−→b ) · (−→a −−→b )

= a2−2−→a ·−→b +b2

= a2 +b2−2ab cosγ


Skalarni produkt Talesov poucak∗

Talesov poucak ∗

−→a−−→a

−→b

~b+~a ~b−

~a

(−→b +−→a ) · (−→b −−→a ) = b2−a2 = 0

Dakle−→b +−→a ⊥−→b −−→a .


Skalarni produkt Ortocentar ∗

Ortocentar ∗

~a

~b

~c

ϕ

O

Potrebno je vidjeti je li ϕ pravi kut, tj. je li −→c · (−→b −−→a ) = 0?



Znamo: −→a · (−→b −−→c ) = 0−→b · (−→c −−→a ) = 0

}=⇒

−→a · (−→b −−→c )+−→b · (−→c −−→a ) = 0

−→a ·−→b −−→a ·−→c +−→b ·−→c −−→b ·−→a = 0

=⇒−→c · (−→b −−→a ) = 0

Dakle, ϕ je pravi kut!



Znamo: −→a · (−→b −−→c ) = 0−→b · (−→c −−→a ) = 0

}=⇒

−→a · (−→b −−→c )+−→b · (−→c −−→a ) = 0

−→a ·−→b −−→a ·−→c +−→b ·−→c −−→b ·−→a = 0

=⇒−→c · (−→b −−→a ) = 0

Dakle, ϕ je pravi kut!


Skalarni produkt Skalarni produkt u koordinatama

Skalarni produkt u koordinatama

−→a = a1−→i +a2

−→j +a3

−→k

−→b = b1

−→i +b2

−→j +b3

−→k

=⇒−→a ·−→b = a1b1−→i ·−→i +a1b2

−→i ·−→j︸︷︷︸=0

+a1b3−→i ·−→k︸︷︷︸=0

+a2b1−→j ·−→i︸︷︷︸=0

+a2b2−→j ·−→j +a2b3

−→j ·−→k︸︷︷︸=0

+a3b1−→k ·−→i︸︷︷︸=0

+a3b2−→k ·−→j︸︷︷︸=0

+a3b3−→k ·−→k

−→a ·−→b = a1b1 +a2b2 +a3b3.



Skalarni produkt u koordinatama

−→a = a1−→i +a2

−→j +a3

−→k

−→b = b1

−→i +b2

−→j +b3

−→k

=⇒−→a ·−→b = a1b1−→i ·−→i +a1b2

−→i ·−→j︸︷︷︸=0

+a1b3−→i ·−→k︸︷︷︸=0

+a2b1−→j ·−→i︸︷︷︸=0

+a2b2−→j ·−→j +a2b3

−→j ·−→k︸︷︷︸=0

+a3b1−→k ·−→i︸︷︷︸=0

+a3b2−→k ·−→j︸︷︷︸=0

+a3b3−→k ·−→k

−→a ·−→b = a1b1 +a2b2 +a3b3.



Zadatak 5.

Izracunati skalarni produkt −→a ·−→b ako je −→a = (−2,1,1) i−→b = (0,1,5).

Rjesenje.−→a ·−→b = 0+1+5 = 6.



Zadatak 5.

Izracunati skalarni produkt −→a ·−→b ako je −→a = (−2,1,1) i−→b = (0,1,5).

Rjesenje.−→a ·−→b = 0+1+5 = 6.



Zadatak 6.Zadane su tocke A(1,2,3), B(−1,1,2), C(0,2,−2). Izracunati skalarniprodukt vektora:

−→AB ·−→AC.

Rjesenje.−→AB ·−→AC = (−2,−1,−1) · (−1,0,−5) = 7.



Zadatak 6.Zadane su tocke A(1,2,3), B(−1,1,2), C(0,2,−2). Izracunati skalarniprodukt vektora:

−→AB ·−→AC.

Rjesenje.−→AB ·−→AC = (−2,−1,−1) · (−1,0,−5) = 7.



Zadatak 7.

Zadan je vektor −→a = (−2,1,6). Izracunati njegovu duljinu koristenjemskalarnog produkta.

Rjesenje.

|−→a |2 =−→a ·−→a = (−2,1,6) · (−2,1,6) = 4+1+36 = 41.

=⇒ |−→a |=√

41.



Zadatak 7.

Zadan je vektor −→a = (−2,1,6). Izracunati njegovu duljinu koristenjemskalarnog produkta.

Rjesenje.

|−→a |2 =−→a ·−→a = (−2,1,6) · (−2,1,6) = 4+1+36 = 41.

=⇒ |−→a |=√

41.



Zadatak 8.

Izracunati |−→a +2−→b | ako je |−→a |= 3, |−→b |= 2, a kut medu vektorima −→a i−→

b je 60◦.

Rjesenje.

|−→a +2−→b |2 = (

−→a +2−→b ) · (−→a +2

−→b )

= a2 +4−→a ·−→b +4b2

= 32 +4 ·3 ·2 ·cos(60◦)+42 = 37.

=⇒ |−→a +2−→b |=

√37.



Zadatak 8.

Izracunati |−→a +2−→b | ako je |−→a |= 3, |−→b |= 2, a kut medu vektorima −→a i−→

b je 60◦.

Rjesenje.

|−→a +2−→b |2 = (

−→a +2−→b ) · (−→a +2

−→b )

= a2 +4−→a ·−→b +4b2

= 32 +4 ·3 ·2 ·cos(60◦)+42 = 37.

=⇒ |−→a +2−→b |=

√37.



Zadatak 9.

Jesu li medusobno okomiti vektori −→a i−→b ?

(1) −→a = (1,2,3),−→b = (−3,2,1)

(2) −→a = (−1,2,3),−→b = (2,1,0)

(3) −→a = (2,1,−4),−→b = (5,2,3)

Rjesenje.

(1) −→a ·−→b = 4 6= 0 NISU OKOMITI

(2) −→a ·−→b = 0 OKOMITI SU




Zadatak 9.

Jesu li medusobno okomiti vektori −→a i−→b ?

(1) −→a = (1,2,3),−→b = (−3,2,1)

(2) −→a = (−1,2,3),−→b = (2,1,0)

(3) −→a = (2,1,−4),−→b = (5,2,3)

Rjesenje.

(1) −→a ·−→b = 4 6= 0 NISU OKOMITI





Zadatak 10.

Zadani su vektori −→a = (−1,1,0) i−→b = (1,−2,2). Izracunati |−→a |, |−→b | te

kut koji zatvaraju vektori −→a i−→b .

Rjesenje.

|−→a |=√

1+1+0 =√

2, |−→b |=√

1+4+4 = 3.−→a ·−→b = |−→a ||−→b |cosϕ

⇒ (−1,1,0) · (1,−2,2) = 3√

2cosϕ

⇒ cosϕ =− 1√2⇒ ϕ = 135◦.



Zadatak 10.

Zadani su vektori −→a = (−1,1,0) i−→b = (1,−2,2). Izracunati |−→a |, |−→b | te

kut koji zatvaraju vektori −→a i−→b .

Rjesenje.

|−→a |=√

1+1+0 =√

2, |−→b |=√

1+4+4 = 3.−→a ·−→b = |−→a ||−→b |cosϕ

⇒ (−1,1,0) · (1,−2,2) = 3√

2cosϕ

⇒ cosϕ =− 1√2⇒ ϕ = 135◦.



Zadatak 11.

Odredi broj m tako da vektori −→a = (m,4,−3) i−→b = (1,−2,−3) budu

medusobno okomiti.

Rjesenje.−→a ⊥−→b ⇐⇒−→a ·−→b = 0

⇒ 0 =−→a ·−→b = m−8+9

⇒m =−1.



Zadatak 11.

Odredi broj m tako da vektori −→a = (m,4,−3) i−→b = (1,−2,−3) budu

medusobno okomiti.

Rjesenje.−→a ⊥−→b ⇐⇒−→a ·−→b = 0

⇒ 0 =−→a ·−→b = m−8+9

⇒m =−1.



Zadatak 12.Odredi kuteve trokuta 4ABC odredenog vrhovimaA(1,0,0), B(0,1,0), C(2,1,2).

Rjesenje.−→AB ·−→AC = |−→AB||−→AC|cosα

⇒ (−1,1,0) · (1,1,2) =√

2√

6cosα

⇒ cosα = 0⇒ α = 90◦

Slicno

cosβ =

−→BA ·−→BC

|−→BA||−→BC|=

12⇒ β = 60◦

⇒ γ = 30◦



Zadatak 12.Odredi kuteve trokuta 4ABC odredenog vrhovimaA(1,0,0), B(0,1,0), C(2,1,2).

Rjesenje.−→AB ·−→AC = |−→AB||−→AC|cosα

⇒ (−1,1,0) · (1,1,2) =√

2√

6cosα

⇒ cosα = 0⇒ α = 90◦

Slicno

cosβ =

−→BA ·−→BC

|−→BA||−→BC|=

12⇒ β = 60◦

⇒ γ = 30◦


Skalarni produkt Implicitna jednadzba ravnine

Implicitna jednadzba ravnine

−→r−→rA

−→n

AT

O

Tocka T lezi u ravnini koja prolazi tockom A okomito na normalu −→n akovrijedi

−→n ⊥−→AT tj. −→n ⊥−→r −−→rA



Dakle −→n · (−→r −−→rA) = 0

IMPLICITNA JEDNADZBA RAVNINE ODREDENA S TOCKOM A IVEKTOROM NORMALE −→n .



U koordinatama: −→n · (−→r −−→rA) = 0⇒(n1,n2,n3) · (x−a1,y −a2,z−a3) = 0⇒

n1(x−a1)+n2(y −a2)+n3(z−a3) = 0

IMPLICITNA JEDNADZBA RAVNINE ODREDENA S TOCKOM(a1,a2,a3) I VEKTOROM NORMALE (n1,n2,n3).

n1x +n2y +n3z = c

U ovom obliku je neposredno vidljiva samo normala (n1,n2,n3).



U koordinatama: −→n · (−→r −−→rA) = 0⇒(n1,n2,n3) · (x−a1,y −a2,z−a3) = 0⇒

n1(x−a1)+n2(y −a2)+n3(z−a3) = 0

IMPLICITNA JEDNADZBA RAVNINE ODREDENA S TOCKOM(a1,a2,a3) I VEKTOROM NORMALE (n1,n2,n3).

n1x +n2y +n3z = c

U ovom obliku je neposredno vidljiva samo normala (n1,n2,n3).



Zadatak 13.Napisi implicitnu jednadzbu ravnine koja prolazi tockom A i okomita jena vektor −→n ako je(1) A(−2,1,1), −→n = (2,3,−4)(2) A(2,1,−3), −→n = (1,0,−1)(3) A(1,−1,−1), −→n = (2,−1,3)(4) A(5,2,1), −→n = (0,−3,0)

Rjesenje.

(1) 2(x +2)+3(y −1)−4(z−1) = 0⇒ 2x +3y −4z =−5

(2) 1(x−2)+0(y −1)−1(z +3) = 0⇒ x−z = 5(3) 2(x−1)− (y +1)+3(z +1) = 0⇒ 2x−y +3z = 0

(4) 0(x−5)−3(y −2)+0(z−1) = 0⇒ y = 2



Zadatak 13.Napisi implicitnu jednadzbu ravnine koja prolazi tockom A i okomita jena vektor −→n ako je(1) A(−2,1,1), −→n = (2,3,−4)(2) A(2,1,−3), −→n = (1,0,−1)(3) A(1,−1,−1), −→n = (2,−1,3)(4) A(5,2,1), −→n = (0,−3,0)

Rjesenje.

(1) 2(x +2)+3(y −1)−4(z−1) = 0⇒ 2x +3y −4z =−5

(2) 1(x−2)+0(y −1)−1(z +3) = 0⇒ x−z = 5(3) 2(x−1)− (y +1)+3(z +1) = 0⇒ 2x−y +3z = 0

(4) 0(x−5)−3(y −2)+0(z−1) = 0⇒ y = 2



Zadatak 14.Za zadane ravnine napisi jedan vektor koji je na nju okomit te barem 2tocke koje leze u toj ravnini.(1) 2x−3y +z−1 = 0(2) −x +z = 3(3) 3x−y = 0(4) y = 5

Rjesenje.

(1) −→n = (2,−3,1). Uzmimo prve dvije koordinate po nasem izboru, atrecu koordinatu onda ocitamo iz jednadzbe ravnine. Na primjer

x = 0, y = 1⇒2 ·0−3 ·1+z−1 = 0⇒ z = 4⇒ T1(0,1,4)

x = 1, y = 1⇒2 ·1−3 ·1+z−1 = 0⇒ z = 2⇒ T2(1,1,2)



Zadatak 14.Za zadane ravnine napisi jedan vektor koji je na nju okomit te barem 2tocke koje leze u toj ravnini.(1) 2x−3y +z−1 = 0(2) −x +z = 3(3) 3x−y = 0(4) y = 5

Rjesenje.

(1) −→n = (2,−3,1). Uzmimo prve dvije koordinate po nasem izboru, atrecu koordinatu onda ocitamo iz jednadzbe ravnine. Na primjer

x = 0, y = 1⇒2 ·0−3 ·1+z−1 = 0⇒ z = 4⇒ T1(0,1,4)

x = 1, y = 1⇒2 ·1−3 ·1+z−1 = 0⇒ z = 2⇒ T2(1,1,2)



Rjesenje.

(2) −→n = (−1,0,1).

x = 0, y =−1⇒−0+z = 3⇒ z = 3⇒ T1(0,−1,3)

x =−1, y = 1⇒− (−1)+z = 3⇒ z = 2⇒ T2(−1,1,2)

(3) −→n = (3,−1,0).

x = 0, z = 100⇒3 ·0−y = 0⇒ y = 0⇒ T1(0,0,100)

x = 2, z = 5⇒3 ·2−y = 0⇒ y = 6⇒ T2(2,6,5)

(4) −→n = (0,1,0), T1(10,5,20), T2(30,5,−20).


Documents

Matematika I - unizg.hr · Matematika I Skalarni produkt Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 1 / 33. animation by animate[2012/05/24]