Click here to load reader

Matematika 2 - FSB

  • View
    256

  • Download
    6

Embed Size (px)

Text of Matematika 2 - FSB

  • Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 1 / 75

  • Sadrzaj

    Sadrzaj:

    1 Diferencijalne jednadzbeDiferencijalne jednadzbe-uvodKosi hitacHarmonijski oscilatorJednadzba energije harmonijskog oscilatoraGibanje oko tocke stabilne ravnotezeJednadzba njihalaGibanje po zadanoj krivulji u polju sile teze

    2 Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. redaRed i rjesenje diferencijalne jednadzbeSeparabilna diferencijalna jednadzba 1. redaLinearana diferencijalna jednadzba 1. reda

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 2 / 75

  • Sadrzaj

    Ciljeve ucenja za predavanja i vjezbe:Diferencijalne jednadzbe-uvodPrimjer iz fizike-kosi hitacPrimjer iz fizike-harmonijski oscilatorRjesavanje dif. jednadzbe preko jednadzbe energije

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 3 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Diferencijalne jednadzbe-uvod

    Diferencijalna jednadzba je jednadzba koja sadrzinepoznatu funkciju y(x) i njezine derivacije y , y , . . .Svaka funkcija y(x) koja zadovoljava diferencijalnujednadzbu naziva se rjesenje diferencijalne jednadzbe.

    Primjer 1.Rjesenje diferencijalne jednadzbe y (x) = f (x) je

    y =

    f (x)dx +C,

    gdje je C bilo koji realan broj.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 4 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Diferencijalne jednadzbe-uvod

    Primjer 2.Rjesenje diferencijalne jednadzbe y (t) = k y(t) je

    y(t) = y(t0)ek(tt0).

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 5 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Diferencijalne jednadzbe-uvod

    Primjer 3.Newtonova jednadzba gibanja

    F = ma

    je sustav od tri diferencijalne jednadzbe:

    Fx =d2xdt2

    Fy =d2ydt2

    Fz =d2zdt2

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 6 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Kosi hitac

    KOSI HITAC

    ~v0

    x

    y

    POCETNI UVJETI:

    x(0) = y(0) = 0dxdt

    (0) = v0 cos

    dydt

    (0) = v0 sin

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 7 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Kosi hitac

    JEDNADZBA GIBANJA

    Horizontala komponenta:

    md2xdt2

    = 0

    dxdt

    = c1

    x(t) = c1t +c2

    Vertikalna komponenta:

    md2ydt2

    =mg

    dydt

    =gt +c3

    y(t) =g t2

    2+c3t +c4

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 8 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Kosi hitac

    Zadatak 1.Predmet je izbacen brzinom od 10m/s pod kutem od 30 premaxosi. Odredite pocetne uvjete, te pomocu njih izracunajte konstantec1,c2,c3,c4 u opcem rjesenju gibanja kosog hitca. Drugim rijecimaodredite partikularno rjesenje tog problema.

    Rjesenje:

    x(t) = c1t +c2

    y(t) =g t2

    2+c3t +c4

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 9 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Kosi hitac

    Pocetni uvjeti:

    x(0) = y(0) = 0dxdt

    (0) = v0 cos = 10cos30 = 5

    3dydt

    (0) = v0 sin = 10sin30 = 5

    Odredimo sada koeficijente c1,c2,c3,c4 :

    x(0) = 0 c1 0+c2 = 0 c2 = 0y(0) = 0g 02

    2+c3 0+c4 = 0 c4 = 0

    dxdt

    (0) = c1 = 5

    3 c1 = 5

    3dydt

    (0) =g 0+c3 = 5 c3 = 5 .

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 10 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Kosi hitac

    PARTIKULARNO RJESENJE:

    x(t) = 5

    3t

    y(t) =g t2

    2+5t

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 11 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Kosi hitac

    Zadatak 2.Izrazite putanju iz prethodnog zadatka kao y = y(x).

    Rjesenje:Prvo izrazimo t pomocu x a potom taj t uvrstimo u jednadzbu za y :

    x = 5

    3t t = x5

    3

    y =g t22+5t y =g2

    (x

    5

    3

    )2+5 x

    5

    3

    y = g150x2 +

    3x3 (PARABOLA)

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 12 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Kosi hitac

    Zadatak 3.Pod kojim kutem , uz zadanu pocetnu brzinu v0, izbaceni predmetima maksimalan domet?

    Rjesenje:x(t) = c1t +c2x(0)) = 0 c2 = 0dxdt

    (0) = v0 cos c1 = v0 cos

    x(t) = (v0 cos) t

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 13 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Kosi hitac

    y(t) =g t22+c3t +c4

    y(0) = 0 c4 = 0dydt

    (0) = v0 sin c3 = v0 sin

    y(t) =g t2

    2+(v0 sin) t

    Sada izrazimo y = y(x) :

    x = (v0 cos) t t =x

    v0 cos

    y =g2 x

    2

    v20 cos2 +(v0 sin)

    xv0 cos

    y =g2 x

    2

    v20 cos2 + tgx

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 14 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Kosi hitac

    domet

    x1 x2x

    y Iznos druge nultocke te para-bole predstavlja domet.

    y = 0 x1 = 0,

    x2 =2v20g

    sincos =v20g

    sin(2)

    Domet je najveci kada je sin(2) = 1,

    tj. =4.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 15 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Harmonijski oscilator

    HARMONIJSKI OSCILATOR

    x

    0

    Jednadzba harmonijskog oscilatora:

    md2xdt2

    =k x

    (k > 0);

    ili uz =

    k/m

    d2xdt2

    =2x

    x predstavlja odstupanjeod polozaja mirovanja

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 16 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Harmonijski oscilator

    OPCE RJESENJE:x(t) = Acos(t)+B sin(t)ili ekvivalentnox(t) = acos(t)

    a

    B

    A

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 17 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Harmonijski oscilator

    Zadatak 4.Nadite partikularno rjesenje jednadzbe harmonijskog oscilatora uzzadane pocetne uvjete:

    (a) x(0) = 5,dxdt

    (0) = 0 (ispustanje!)

    (b) x(0) =2, dxdt

    (0) = 1

    Rjesenje:(a)

    x(t) = Acos(t)+B sin(t)5 = Acos0+B sin0

    A = 5 x(t) = 5cos(t)+B sin(t)dxdt

    =5sin(t)+Bcos(t)

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 18 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Harmonijski oscilator

    0 =5sin0+Bcos00 = B B = 0x(t) = 5cos(t)

    (b)

    x(t) = Acos(t)+B sin(t)2 = Acos0+B sin0

    A =2 x(t) =2cos(t)+B sin(t)dxdt

    = 2sin(t)+Bcos(t)

    1 = 2sin0+Bcos0

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 19 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Harmonijski oscilator

    1 = B B = 1/

    x(t) =2cos(t)+ 1

    sin(t)

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 20 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Jednadzba energije harmonijskog oscilatora

    Jednadzba energije harmonijskog oscilatora

    Diferencijalnu jednadzbu harmonijskog oscilatora

    md2xdt2

    +m2 x = 0

    pomnozimo sdxdt

    obje strane:

    m dxdtd2xdt2 +m

    2 x dxdt = 0 mdxdt

    d2xdt2

    12

    ddt [(

    dxdt )

    2]

    +m2 x dxdt = 0

    mdxdt

    d2xdt2

    12

    ddt [(

    dxdt )

    2]

    +m2 x dxdt

    12

    ddt (x

    2)

    = 0 m 12 ddt [(dxdt )2]+m2 12 ddt (x2) = 0

    ddt[

    m( dxdt )2

    2 +m2x2

    2

    ]= 0

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 21 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Jednadzba energije harmonijskog oscilatora

    Zakljucujemom(dxdt )

    2

    2+

    m2x2

    2= E = const .

    m(dxdt )2

    2 kineticka energija

    +m2x2

    2 potencijalna energija

    = Eukupna energija je konstantna

    RJESAVANJE JEDNADZBE ENERGIJE

    Iz prethodne jednadzbe slijedi(dxdt

    )2=

    2Em2x2 = 2

    (2E

    2mx2

    )dx

    dt=

    2E

    2mx2 =

    a2x2

    dtdx

    =1

    1a2x2

    /

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 22 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Jednadzba energije harmonijskog oscilatora

    t =1

    dxa2x2

    =1

    arcsinxa+C

    (tC) = arcsin xa

    xa= sin( tC)

    x = asin( tC)

    Fiksni period gibanja:2

    =2

    km

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 23 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Gibanje oko tocke stabilne ravnoteze

    Gibanje oko tocke stabilne ravnoteze

    md2xdt2

    = F (x) sila ovisi o polozaju xali ne o vremenu t

    x0 je polozaj ravnoteze ako je F (x0) = 0!

    On je stabilan ako:

    x0+

    x

    F (x)

    tj.x0

    +

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 24 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Gibanje oko tocke stabilne ravnoteze

    On je labilan ako:

    x0+

    x

    F (x)

    tj.x0

    +

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 25 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Gibanje oko tocke stabilne ravnoteze

    Zadatak 5.Neka se kugla giba po krivulji kao na slici. Gdje se nalazi ravnoteznipolozaj? O kakvom se polozaju ravnoteze radi?

    a) b)

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 26 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Gibanje oko tocke stabilne ravnoteze

    Jednadzba gibanja oko tocke stabilne ravnoteze

    m d2x

    dt2 = F (x0)+F(x0)(xx0)+ F

    (x0)2 (xx0)2 +

    m d2x

    dt2 = F (x0) =0

    +F (x0)(xx0)+F (x0)

    2(xx0)2

    zanemarimo

    +

    linearizirana aproksimacija jednadzbe gibanja:

    m d2x

    dt2 = F(x0)(xx0) F (x0)< 0

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 27 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Gibanje oko tocke stabilne ravnoteze

    Jednadzba gibanja oko tocke stabilne ravnoteze

    uz supsituciju y = xx0 :

    md2ydt2

    =ky

    (k > 0)

    Jednadzba harmonijskogoscilatora

    Period gibanja 2km

    =2F (x0)

    m

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 28 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Jednadzba njihala

    Jednadzba njihala:

    mgsin

    mg

    s =

    md2sdt2

    = m`d2dt2

    =mg sin

    LINEARIZIRANA APROKSIMACIJA:

    d2dt2

    =g`

    sin = 3

    3!+

    5

    5!

    zanemarimo

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 29 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Jednadzba njihala

    Jednadzba njihala:

    Zadatak 6.Nadite rjesenje linearizirane jednadzbe njihala uz pocetne uvjete

    (0) = 0,(

    ddt

    )(0) = 0. Koliki je linearizirani period gibanja?

    Rjesenje:Linearizirana aproksimacija:

    d2dt2

    =g`

    .

    Ako uvedemo oznaku 2 =g`

    imamo jednadzbu harmonijskogoscilatora s rjesenjem

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 30 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Jednadzba njihala

    Jednadzba njihala:

    (t) = Acos(t)+B sin(t)

    i pocetnim uvjetima

    (0) = 0,(

    ddt

    )(0) = 0

    0 = Acos0+B sin0 A = 0

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 31 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Jednadzba njihala

    Jednadzba njihala:

    (t) = 0 cos(t)+B sin(t)

    ddt

    (t) =Asin(t)+Bcos(t)0 =0sin(0)+Bcos(0) B = 0

    (t) = 0 cos(

    t

    g`

    )

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 32 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Jednadzba njihala

    Jednadzba njihala:

    Linearizirani period gibanja je najmanji vremenski period u kojem selinearizirana funkcija (t) vrati u istu vrijednost tj. kada se njihalo vratiu isti polozaj.

    (t) = 0 cos

    (t

    g`

    )Period funkcije f (x) = cosx je 2, pa je stoga za period T0 funkcije(t) :

    g`

    T0 = 2

    T0 = 2

    `

    g

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 33 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Gibanje po zadanoj krivulji u polju sile teze

    Gibanje po zadanoj krivulji u polju sile teze:

    dx

    dyds

    mg

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 34 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Gibanje po zadanoj krivulji u polju sile teze

    Gibanje po zadanoj krivulji u polju sile teze:

    JEDNADZBA GIBANJA

    md2sdt2

    =mg sin =mg dyds

    / dsdt

    mdsdt

    d2sdt2

    =mg dyds

    dsdt

    mdsdt

    d2sdt2

    =mg dydt

    ydt

    (12

    m(

    dsdt

    )2+mgy

    )= 0

    JEDNADZBA ENERGIJE

    12

    m(

    dsdt

    )2+mgy = E

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 35 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Gibanje po zadanoj krivulji u polju sile teze

    Gibanje po zadanoj krivulji u polju sile teze:

    12

    m(

    dsdt

    )2

    kinetickaenergija

    + mgypotencijalna

    energija

    = E ukupna energija

    Iz jednadzbe energije:

    v =dsdt

    =

    2Em2gy

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 36 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Gibanje po zadanoj krivulji u polju sile teze

    Gibanje po zadanoj krivulji u polju sile teze:

    Uz pocetni uvjet dsdt (y0) = 0 tj. tijelo je ispusteno s visine y0 :

    E = mgy0 t.j.Em

    = gy0

    v = dsdt

    =

    2g

    y0y

    DAKLE, BRZINA OVISI O VISINSKOJ RAZLICI y y0 A NE OPUTANJI!

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 37 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Gibanje po zadanoj krivulji u polju sile teze

    Gibanje po zadanoj krivulji u polju sile teze:

    Zadatak 7.Promatramo gibanje tijela po kosini

    10m30

    Ako se tijelo giba bez trenja, koliku brzinu postize na dnu kosine?

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 38 / 75

  • Diferencijalne jednadzbe Gibanje po zadanoj krivulji u polju sile teze

    Gibanje po zadanoj krivulji u polju sile teze:

    Rjesenje:

    v =dsdt

    =

    2g

    y0y

    y0y je visina kosine, uz oznaku h = y0y

    h10

    = tg 30 h = 103

    v =

    2g

    103= 10.7[m/s]

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 39 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Red i rjesenje diferencijalne jednadzbe

    Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda

    Red diferencijalne jednadzbeje red najvise derivacije koja se pojavljuje u jednadzbi.

    Dakle, diferencijalna jednadzba 1. reda (za y = y(x)) je oblika

    G(x ,y ,y ) = 0. ()

    Ako iz nje mozemo izraziti y , dolazimo do jednakosti oblika

    y = H(x ,y)

    Rjesenje diferencijalne jednadzbeRjesenje diferencijalne jednadzbe zadane sa () na intervalu (a,b) jesvaka funkcija y = f (x) koja zadovoljava () za svaki x (a,b).

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 40 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Red i rjesenje diferencijalne jednadzbe

    Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda

    Rjesenje moze biti zadano implicitnom jednadzbom h(x ,y) = 0, kojutada zovemo implicitnim rjesenjem od ().

    Primjer 1.Nadimo sva rjesenja diferencijalne jednadzbe y = cosx na R. Koje odtih rjesenja zadovoljava (pocetni) uvjet y(0) = 1?

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 41 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Red i rjesenje diferencijalne jednadzbe

    Rjesenje:Sva rjesenja su oblika

    y = sinx +C,

    i to predstavlja opce rjesenje za y = cosx .Ako je y(0) = 1 onda je

    sin0+C = 1 C = 1.

    Dakle, partikularno rjesenje koje zadovoljava uvjet y(0) = 1 je

    y = sinx +1

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 42 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Red i rjesenje diferencijalne jednadzbe

    Opce rjesenjeOpce rjesenje diferencijalne jednadzbe 1. reda je skup rjesenja zadanformulom s 1 parametrom(npr. y = sinx +C iz Primjera 1. )

    Partikularno rjesenjeZa svaku pojedinu vrijednost parametra C dobijamo jednopartikularno rjesenje. Ono se obicno odreduje iz pocetnog uvjeta.(npr. y = sinx +1 iz Primjera 1. )

    Potpuno rjesenjeAko opce rjesenje obuhvaca sva rjesenja onda ga zovemo potpunim.(npr. tako je u Primjeru 1. )

    Singularno rjesenjeAko neko rjesenje nije obuhvaceno opcim rjesenjem onda ga zovemosingularnim. (U Primjeru 1. nema takvih rjesenja )Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 43 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Red i rjesenje diferencijalne jednadzbe

    Primjer 2.

    Provjerimo uvrstavanjem da je y = CxC2 opce rjesenje od(y )2xy +y = 0;

    te da je y =x4

    2njeno singularno rjesenje.

    Rjesenje:

    Neka je prvo y = CxC2= y = C (y )2xy +y = C2xC +CxC2 = 0.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 44 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Red i rjesenje diferencijalne jednadzbe

    Ako je y =x4

    2

    = y = x2=

    (y )2xy +y = x

    4

    2 x

    2

    2+

    x4

    2= 0.

    y =x4

    2je singularno rjesenje jer se ne moze dobiti iz opceg rjesenja

    niti za jedan izbor konstante C.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 45 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Separabilna diferencijalna jednadzba 1. reda

    Separabilna diferencijalna jednadzba 1. reda

    Najednostavnija diferencijalna jednadzba (cije je rjesenje potpuno) jeseparabilna diferencijalna jednadzba:

    g(y)y = f (x)

    rjesava se ovako:

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 46 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Separabilna diferencijalna jednadzba 1. reda

    Separabilna diferencijalna jednadzba 1. reda:

    (1) Separiramo varijable x i y

    g(y)dy = f (x)dx

    (2) Integriramo izraze s obje strane jednakostig(y)dy =

    f (x)dx

    Tako smo dobili opce implicitno rjesenje. Ako iz njega mozemoizraziti y to je opce eksplicitno rjesenje.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 47 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Separabilna diferencijalna jednadzba 1. reda

    Primjer 3.Nadimo opce rjesenje diferencijalne jednadzbe

    y +5x4y2 = 0

    te paritkularno rjesenje koje zadovoljava uvjet y(0) = 1.

    Rjesenje:

    (1)dydx

    +5x4y2 = 0= dydx

    =5x4y2=dyy2

    = 5x4dx/

    (2)dy

    y2=

    5x4dx = 1

    y= x5 +C = y = 1

    x5 +COPCE

    RJESENJE

    (3) y(0) =1C

    = 1 = C = 1 = y = 1x5 +1

    PARTIKULARNORJESENJE

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 48 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Separabilna diferencijalna jednadzba 1. reda

    Zadatak 1.Rijesite diferencijalnu jednadzbu

    y = 1+y2

    Rjesenje:

    dydx

    = 1+y2

    dy1+y2

    = dx/

    dy1+y2

    =

    dx

    arctg y = x +C/tg

    y = tg(x +C)Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 49 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Separabilna diferencijalna jednadzba 1. reda

    Zadatak 2.Rijesite diferencijalnu jednadzbu

    yy = cos(2x)

    uz pocetni uvjet y(0) = 1

    Rjesenje:

    ydydx

    = cos(2x)

    ydy = cos(2x)dx/

    ydy =

    cos(2x)dx

    y2

    2=

    sin(2x)2

    +C/ 2

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 50 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Separabilna diferencijalna jednadzba 1. reda

    y2 = sin(2x)+C0 , (C0 = 2C)

    IMPLICITNO ZADANO OPCE RJESENJETrazimo partikularno rjesenje:= y(0) = 1 = 12 = sin0+C0 = C0 = 1

    y2 = sin(2x)+1

    IMPLICITNO ZADANO PARTIKULARNO RJESENJE

    Uocite da se zbog pocetnog uvjeta y(0) = 1 > 0 moze zakljuciti da je ustvari

    y =

    sin(2x)+1 (EKSPLICITNO ZADANO RJESENJE)

    (tj. y =

    sin(2x)+1 otpada kao moguce rjesenje.)

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 51 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Separabilna diferencijalna jednadzba 1. reda

    Zadatak 3.Rijesite diferencijalnu jednadzbu

    yy =x

    y +yx2, y(0) =1.

    Rjesenje:

    ydydx

    =x

    y(1+x2)

    ydy =x

    1+x2dx/

    ydy = x

    1+x2dx (supst.t = 1+x2)

    y2

    2=

    12

    ln(1+x2)+C/ 2

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 52 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Separabilna diferencijalna jednadzba 1. reda

    y2 = ln(1+x2) +C0, (C0 = 2C)

    IMPLICITNO ZADANO OPCE RJESENJETrazimo partikularno rjesenje:= y(0) =1 = 1 = ln1+C0 = C0 = 1

    = y2 = ln(1+x2) +1

    IMPLICITNO ZADANO PARTIKULARNO RJESENJE

    Uocite da se zbog pocetnog uvjeta y(0) =1 < 0 moze zakljuciti da jeu stvari

    y =

    ln(1+x2)+1 (EKSPLICITNO ZADANO RJESENJE).

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 53 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Separabilna diferencijalna jednadzba 1. reda

    Zadatak 4.Rijesite diferencijalnu jednadzbu

    y = y2x2 +x2y21, y(0) = 0.

    Rjesenje:

    Uocimo y = x2(y2 +1) (y2 +1) = (y2 +1)(x21)

    ydydx

    = (y2 +1)(x21)1

    y2 +1dy = (x21)dx/

    1

    y2 +1dy =

    (x21)dx

    arctg y =x3

    3x +C /tg

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 54 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Separabilna diferencijalna jednadzba 1. reda

    y = tg(

    x3

    3x +C

    )Trazimo partikularno rjesenje:= y(0) = 0 = 0 = tg (0+C) = C = 0

    = y = tg(

    x3

    3x +C

    )

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 55 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Separabilna diferencijalna jednadzba 1. reda

    Zadatak 5.Rijesite diferencijalnu jednadzbu

    xy = 2y +3, y(1) =52.

    Rjesenje:

    xdydx

    = 2y +3

    dy2y +3

    =dxx

    /

    12

    ln(| 2y +3 |) = lnx +C0ln | 2y +3 |= 2lnx + lnC

    /exp

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 56 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Separabilna diferencijalna jednadzba 1. reda

    Zadatak 5.Rijesite diferencijalnu jednadzbu

    xy = 2y +3, y(1) =52.

    Rjesenje:

    xdydx

    = 2y +3

    dy2y +3

    =dxx

    /

    12

    ln(| 2y +3 |) = lnx +C0ln | 2y +3 |= 2lnx + lnC

    /exp

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 56 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Separabilna diferencijalna jednadzba 1. reda

    Zadatak 5.Rijesite diferencijalnu jednadzbu

    xy = 2y +3, y(1) =52.

    Rjesenje:

    xdydx

    = 2y +3

    dy2y +3

    =dxx/

    12

    ln(| 2y +3 |) = lnx +C0ln | 2y +3 |= 2lnx + lnC

    /exp

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 56 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Separabilna diferencijalna jednadzba 1. reda

    Zadatak 5.Rijesite diferencijalnu jednadzbu

    xy = 2y +3, y(1) =52.

    Rjesenje:

    xdydx

    = 2y +3

    dy2y +3

    =dxx/

    12

    ln(| 2y +3 |) = lnx +C0ln | 2y +3 |= 2lnx + lnC

    /exp

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 56 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Separabilna diferencijalna jednadzba 1. reda

    Zadatak 5.Rijesite diferencijalnu jednadzbu

    xy = 2y +3, y(1) =52.

    Rjesenje:

    xdydx

    = 2y +3

    dy2y +3

    =dxx/

    12

    ln(| 2y +3 |) = lnx +C0ln | 2y +3 |= 2lnx + lnC

    /exp

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 56 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Separabilna diferencijalna jednadzba 1. reda

    Zadatak 5.Rijesite diferencijalnu jednadzbu

    xy = 2y +3, y(1) =52.

    Rjesenje:

    xdydx

    = 2y +3

    dy2y +3

    =dxx/

    12

    ln(| 2y +3 |) = lnx +C0ln | 2y +3 |= 2lnx + lnC /exp

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 56 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Separabilna diferencijalna jednadzba 1. reda

    Rjesenje:

    2y +3 = Cx2

    Pocetni uvjet: y(1) =52= C = 8 =

    2y +3 = 8x2.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 57 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Separabilna diferencijalna jednadzba 1. reda

    Zadatak 6.Olovna kugla malih dimenzija zagrijana je na 100 C. U trenutku t = 0uronimo je u vodenu kupku cija se temperatura odrzava na 30 C.Toplinska vodljivost olova je velika, pa mozemo pretpostaviti da jetemperatura kugle jednaka u svim njezinim tockama u svakomtrenutku.Prema Newtonovom zakonu hladenja brzina promjene temperatureuronjene kugle proporcionalna je razlici temperatura kugle i vodenekupke u kojoj se ona hladi.Na kraju trece minute hladenja temperatura kugle je smanjena na 70

    C. Koliko ce vremena proci dok se ona smanji na 31 C?

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 58 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Separabilna diferencijalna jednadzba 1. reda

    Rjesenje:Oznacimo s T = T (t) temperaturu kugle nakon sto je proteklo tminuta. Matematicki model hladenja prema Newtonovom zakonupredstavlja diferencijalna jednadzba:

    dTdt

    = k(T 30)

    dTdt

    brzina promjene temperature kuglek faktor prroporcionalnostiT 30 razlika temperatura kugle i tekucine

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 59 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Separabilna diferencijalna jednadzba 1. reda

    Time smo dobili separabilnu diferencijalnu jednadzbu:

    dTT 30 = kdt /

    ln |T 30|= kt +C /expT 30 = Aekt (uz A = eC)

    T = Aekt +30

    Iz pocetnog uvjeta T (0) = 100 odredit cemo vrijednost parametra A :

    100 = Ae0 +30= A = 70= T (t) = 70ekt +30

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 60 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Separabilna diferencijalna jednadzba 1. reda

    Konstantu k cemo odrediti iz T (3) = 70 :

    70 = 70e3k +30

    40 = 70e3k

    e3k =47

    / ln

    k =13

    ln(

    47

    )=0.1865

    T (t) = 70e0.1865t +30

    Odredimo sada t tako da je T (t) = 31 :

    31 = 70e0.1865t +30 = t = 22.78

    Dakle, temperatura ce se smanjiti na 31 C za nesto manje od 23 min.Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 61 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Separabilna diferencijalna jednadzba 1. reda

    Diferencijalna jednadzba

    y = f(y

    x

    )svodi se na separabilnu nakon supstitucije u =

    yx.

    Zaista,y = ux = y = u+ux

    pa jednadzba prelazi uu+ux = f (u)

    koja je separabilna:du

    f (u)u =dxx.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 62 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Linearana diferencijalna jednadzba 1. reda

    Linearana diferencijalna jednadzba 1. reda

    y +p(x)y = q(x)

    Postupak rjesavanja:

    (1) Pomnozimo jednadzbu s z = eP(x) gdje je P(x) =

    p(x)dx . Time

    dolazimo do separabilne jednadzbe.(2) Rijesimo tu separabilnu jednadzbu i dobijemo opce rijesenje:

    y = eP(x)(

    C +

    q(x)eP(x)dx)

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 63 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Linearana diferencijalna jednadzba 1. reda

    Primjer 4.Rjesimo diferencijalnu jednadzbu:

    y +xy = x

    uz pocetni uvjet y(0) = 3.

    Rjesenje:

    p(x) = q(x) = x

    P(x) =

    p(x)dx =

    xdx =x2

    2

    z = e x2 2

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 64 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Linearana diferencijalna jednadzba 1. reda

    y +xy = x / zy e

    x2

    2+xe

    x2

    2y = xe

    x2

    2

    ddx

    (ye

    x2

    2)= xe

    x2

    2/

    yex2

    2=

    xe

    x2

    2dx = e

    x2

    2+C

    y = ex2

    2 (ye

    x2

    2+C

    )y = 1+Ce

    x2

    2

    Iz pocetnog uvjeta y(0) = 3 slijedi 3 = 1+C C = 2. Partikularnorjesenje je

    y = 1+Cex2

    2.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 65 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Linearana diferencijalna jednadzba 1. reda

    Zadatak 1.Rijesite diferencijalnu jednadzbu

    y +yx= x +1, y(1) =

    53.

    Rjesenje:

    p(x) =1x

    q(x) = x +1

    P(x) =

    p(x)dx = 1

    xdx = lnx

    z = elnx = x

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 66 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Linearana diferencijalna jednadzba 1. reda

    y +1x

    y = x +1 / x

    xy +y = x2 +xddx

    (xy) = x2 +x /

    xy =(x2 +x)dx =

    x3

    3+

    x2

    2+C

    y =x2

    3+

    x2+

    Cx

    Pocetni uvjet y(1) = 106 53 = 13 + 12 +C C = 56

    y =x2

    3+

    x2+

    56x

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 67 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Linearana diferencijalna jednadzba 1. reda

    Zadatak 2.Rijesite diferencijalnu jednadzbu

    y y = e3x , y(0) = 52.

    Rjesenje:

    p(x) =1 q(x) = e3x

    P(x) =

    p(x)dx =dx =x

    z = ex

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 68 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Linearana diferencijalna jednadzba 1. reda

    y y = e3x / ex

    y ex yex = e2xddx(yex

    )= e2x /

    yex =

    e2xdx =

    12

    e2x +C

    y =12

    e3x +Cex

    Pocetni uvjet y(0) = 52 52 = 12 +C C = 2

    y =12

    e3x +2ex

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 69 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Linearana diferencijalna jednadzba 1. reda

    Zadatak 3.Nadite parametarske jednadzbe gibanja projektila u polju sile teze,kroz zrak koji se opire gibanju silom koja je proporcionalna brzinigibanja.

    Rjesenje:Projektil se giba u vertikalnoj ravnini xy . Pretpostavimo da je pocetnogpolozaja (0,0) ispaljen brzinom v0 pod kutem .U horizontalnom smjeru x na projektil djeluje samo sila zracnog otporakoja je proporcionalna brzini, pa prema drugom Newtonovom zakonu:

    ma =Kvmx =K xx =kx (1)

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 70 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Linearana diferencijalna jednadzba 1. reda

    U vertikalnom smjeru y na projektil sjeluje sila teza i sila otpora:

    ma =mgKvmy =mgK y/my =gky (2)

    Jednadzba (1) je linearna. Uz oznaku vx = x ona glasi

    vx =kvx .

    Njezino rjesenje je eksponencijalna funkcija:

    x = vx = Cekt .

    Iz pocetnog uvjeta vx(0) = v0 cos v0 cos = C

    x = v0 cosekt/

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 71 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Linearana diferencijalna jednadzba 1. reda

    x =v0 cosk

    ekt +D

    Iz pocetnog uvjeta v(0) = 0 = D = v0 cosk

    =

    x =v0 cos

    k

    (1ekt

    )vy +kvy =g

    te je njezino rjesenje

    y = vy =1k

    (Cekt g

    ).

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 72 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Linearana diferencijalna jednadzba 1. reda

    Iz pocetnog uvjeta vY (0) = v0 sin slijedi

    x = kv0 sin+g

    y = v0 sinekt +gk

    ekt gk/

    y =v0 sink

    ekt gk2

    ekt gtk

    +D

    Iz pocetnog uvjeta y(0) = 0 slijedi D =v0 sin

    k+

    gk2

    =

    y =gtk

    +

    (v0 sin

    k+

    gk2

    )(1ekt

    )

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 73 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Linearana diferencijalna jednadzba 1. reda

    Zadatak 4.Posuda pocetno sadrzi 100` vode u kojoj je otopljeno 50 dag soli. U

    posudu brzinom od 10`/min utjece slana voda s koncentracijom2 dag/`, ali voda iz posude i istjece jednakom brzinom. Mjesanjem seodrzava jednolika koncentracija soli u posudi. Nadite kako sekoncentracija soli u posudi mijenja s vremenom.

    Rjesenje:Trenutnu kolicinu soli u posudi oznacimo s y(t). Brzina kojom se onamijenja jednaka je brzini ulaza soli (10 2 = 20 dag/min) umanjenoj zabrzinu izlaza soli (

    10100

    y = 0.1y dag/min) Dakle,

    y = 200.1y

    uz pocetni uvjet y(0) = 50.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 74 / 75

  • Rjesavanje diferencijalne jednadzbe 1. reda Linearana diferencijalna jednadzba 1. reda

    y = e0.1t(

    C +

    e0.1t 20dt)

    = e0.1t(

    C +200.1

    e0.1t)

    = Ce0.1t +200

    Uvrstavanjem pocetnog uvjeta

    y(0) = C +200 = 50 = C =150

    = y(t) = 200150e0.1t

    Koncentraciju (t) dobijemo djeljenjem sa 100:

    (t) = 21.5e0.1t .

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 75 / 75

    Diferencijalne jednadbeDiferencijalne jednadbe-uvodKosi hitacHarmonijski oscilatorJednadba energije harmonijskog oscilatoraGibanje oko tocke stabilne ravnoteeJednadba njihalaGibanje po zadanoj krivulji u polju sile tee

    Rjeavanje diferencijalne jednadbe 1. redaRed i rjeenje diferencijalne jednadbeSeparabilna diferencijalna jednadba 1. redaLinearana diferencijalna jednadba 1. reda