Materi GT Pertemuan 1

7/24/2019 Materi GT Pertemuan 1

1/28

GEOMETRITRANSFORMASI

Pertemuan 1-4


2/28


3/28

Fungsi bijektif adalah fungsi yg bersifat surjektif

dan injektif.Fungsi surjektif

T : V V disebut surjektif bila BV !V shgT"!#$B% B disebut peta dari ! atau ! disebut

prapeta dari B.

Fungsi injektifT : V V disebut injektif bila:!&!'T"! T"!'#T"!$ T"!'# !&$ !'


4/28

Ditentukan !V dan T : V V adalah fungsi

yg didefinisikan sbb:

T"!#$!

'# (ika )! maka T")#$* dg titik * titik

tengah ruas garis !) "!)#.

!pakah T menyatakan suatu transformasi+

,ontoh &.


5/28

Q=T(P)

P

R

A S=T(R)

(a-ab:


6/28

(elas ! memiliki peta yaitu ! sendiri

!mbil sebarang titik ! pada V karena

ada garis yang melalui ! dan "dua titikpd bidang euclide#. (adi ada satu ruas

garis ! shg ada tepat satu / dengan /

antara ! dan shg !/$/. 0ni berarti

bah-a 1V 23 dengan 3$T"1# yangmemenuhi persyaratan . (adi daerah asal

T adalah V


7/28

!pakah T surjektif+

4 Diambil sebarang titik D pada bid V.

4 !kan ditunjukkan 1 V D$T"1#

4 Bila D$! maka D$!$T"!# dg ! V.

4 Bila D! maka dapat dipilih titik 1 dg D titiktengah !1% 1 bersifat tunggal% 1V dan

berlaku D$T"1# "definisi T 2#.


8/28

!pakah T injektif+

4 Diambil dua titik sebarang ) dan * dg )* pada V dan

!)* tidak kolinear5segaris.

4 !kan ditunjukkan T")#T"*#.4 !ndaikan T")#$T"*#. !kibatnya T")# segmen !)

dan T"*# segmen !* shg segmen !) dan !*

memiliki dua titik sekutu yaitu ! dan T")#$T"*#.

Berdasarkan aksioma dapat disimpulkan !) dan !*

berimpit 6dg sendirinya T"*# segmen !*7. Terjadi

kontradiksi dg !)* yg tidak segaris.

4 (adi pengandaian salah yg benar adalah T"*#T")#.


9/28

8isalkan )* berbeda ")*# dan )*! kolinier.

4 Bila 6)$! atau *$!7maka 6T")#$!$)T"*# atau

T"*#$! $*T")#7.4 Bila )*! maka T")#T"*# 6kontraposisinya7.

!ndaikan T")#$T"*#.

9arena T")# titik tengah segmen )!% T"*# titik

tengah segmen *! 6dg sendirinya )!$*!7% )*!

kolinier maka )$*.


10/28

Diketahui pemetaan T didefnisikandengan rumus : T((x!))=(x"!") dengan

Ditan!akan:

Apakah T trans#$rmasi%

=

x

y

y

x

4'

'

,ontoh '.


11/28

&a'a*ntuk memuktikan T trans#$rmasi

ditun+ukkan T #ungsi i+ekti#Ami, searang titik A(a)erdasarkan de# A dipetakkan keA"(4a) &ika a dan i, rii, maka 4adan +g i, rii, ni erarti ah'a adadengan tungga, A" !ang merup petadari A &adi krn (A(a).)(/

A"(4a).) #(A)=A" maka T merup


12/28

Ami, searang P(p0) di . isa,kan A(p"0") prapetadari P harus,ah T(A)= (0" 4p") ni erarti 0"=p dan4p"=0 atau p" = 024 3arena p0 i, rii, maka 024 rii,

ni erarti ada titik A(024 p) sdm shg T((024 p))= (p4 024)=(p0) &adi karena setiap titik di . adaprapeta di . maka T #ungsi sur+ekti#

Ami, searag titik A(a) dan P(d) dengan AP3arena AP erarti a atau d *ntuk a titik A

dipetakkan ke (4a) dan titik P dipetakkan ke (d4)ni erarti 4a4 sehingga T(A) T(P) &adi T # in+ekti#

3arena T #ungsi sur+ekti# dan in+ekti# erarti T #ungsii+ekti# &adi T trans#$rmasi


13/28

B. Unsur Tetap, sifattetap

n5arian atau tidak eruah : unsur-unsur

atau re,asi !ang tertahan thdp trans#$rmasiTitik !ang tertahan terhadap trans#$rmasi T

diseut titik tetap +ika garis garis !g tertahan$,eh trans#$rmasi T diseut grs tetap

3$,ineasi : suatu trans#$rmasi !angdikenakan pada suatu garis menghasi,kan

garis ,agi&ika T k$,ineasi dan g garis T(g)=g" maka g"

erupa garis ,agi


14/28

contoh

Diketahu trans#$rmasi T dengan rumus

Ditan!akan:1 6uktikan ah'a T k$,ineasi

7 Tentukan +ika ada garis tetap dari T

=

x

y

y

x

4'

'


15/28

C. Hasi !ai "!o#posisi$ %uatransfor#asi

&ika . dan 8 trans#$rmasi hasi, ka,iatau k$mp$sisi . dan 8 ditu,is .8

.8(P)=.(8(P))untuk men!ingkat kadang .8ditu,is .8 dan 88=87

Da,i, 11 : 9asi, ka,i dua trans#$rmasimerupakan trans#$rmasi ,agi


16/28

6ukti :isa,kan . dan 8 trans#$rmasi dari idang keidang semu,a

Ami, Q"" searang titik di idang 3arena .trans#$rmasi maka ada Q" sehingga .(Q")=Q""karena 8 trans#$rmasi erarti ada Q sehingga8(Q)=Q" Dgn demikian .8(Q)=Q"" ini erarti

setiap titik pasti merupakan hasi, #ungsi .8thdp sa,ah satu titik pd idang 3arena 8 i+ekti#. i+ekti# maka .8 ada,ah i+ekti# &adi .8ada,ah trans#$rmasiterukti


17/28

Searang trans#$rmasi . er,aku ..-1= (identitas) sehingga ..-1(P)=P

isa,kn . dan 8 trans#$rmasi (.8)-1

=8-1.-1Suatu trans#$rmasi . merupakan

suatu n5$,usi &ika . dan .7= inierarti . = .-1


18/28

contoh

&ika diketahui trans#$rmasi T1

((x!))=(x7!) dan T7((x!))=(x7!)

maka tentukan T1T7dan kenakanpada x7 !7=1


19/28

c. ISOMETRI

Suatu trans#$rmasi * merupakan suatus$metri &h& untuk setiap dua titik P dan Qdipenuhi P"Q"=PQ dengan P"=*(P) dan

Q"=*(Q)Dengan kata ,ain s$metri ada,ah

trans#$rmasi !g mempertahankan +arakDa,i, 17 : s$metri ada,ah 3$,ineasiDa,i, 1; : s$metri mempertahankan esar

sudutDa,i, 14 : s$metri mempertahankan

kese+a+aran


20/28

6ukti da,i, 17isa,kan g garis dan titik A 6 pada

g&ika A"=T(A) 6"=T(6) uat garis t!ang menghuungkan A" dan 6"maka adi t=g"dst


21/28

6ukti da,i, 1; : ,atihan6ukti da,i, 14 : ,atihan


22/28

contoh

Diketahu trans#$rmasi T denganrumus

Ditan!akan:1 6uktikan ah'a T is$metri

=

x

y

y

x

4'

'


23/28

&. GRU' TRANSFORMASI

isa,kan S suatu himpunan !g tidakk$s$ng $perasi < pada S 9impunan

S dengan $p < mementuk rup +ikadipenuhi :1 Tertutup > (a S) a (a S)

a


24/28

Da,i, 1? : 9impunan Trans#$rmasi men!usun rup6ukti :isa,kan 9 himpunan !g tidak k$s$ng dan $pk$mp$sisi pada 9

Ami, searang . 8 9 .89 (Da,i, 11)> +aditertutup

Ami, searang .8 dan T di 9(8 (.T))(A)=8 ((.T)(A))

= 8(.(T(A)) = (8.)(T(A)) = ((8.)T)(A) +adi krn 8(.T)=(8.)T maka er,aku si#at

ass$siati#


25/28

Ada e,emen identitas !aitu Tiap e,emen pun!a in5ers ,ihat see,umn!aDa,i, 1@ : 9impunan k$,ineasi men!usun grup

6ukti :3arena suatu k$,ineasi ada,ah trans#$rmasi makauntuk memuktikan ukup memuktikan si#attertutup (1) dan Tiap e,emen ada in5ers (4)isa,kan . 8 k$,ineasi dan 8(g)=g"

(.8)(g)=.(8(g)) = .(g") = g""

karena 8 k$,ineasi maka g" garis dan karena .k$,ineasi maka g"" garis &adi si#at tertutup terpenuhi


26/28

isa,kan . searang k$,ineasi dan gsuatu garis Terdapat garis h

sehingga .(g)=h .-1

(g) = .-1

(.(h))=(.-1.)(h) = (h)=hni erarti ah'a .-1merupakank$,ineasi erarti ada in5ers .sehingga .-1. =

&adi 9impunan k$,ineasi mementukgrup


27/28

Contoh

isa,kan idang .ditentukan titik Pdan ,ingkaran (Pa) Suatu

penga'anan # disusun seagaierikut: untuk searang titik Qdiidang . ditarik sinar PQ dan titikQ=(PQ)=#(Q) sedangkan #(P)=P

Apakah # suatu#ungsi%%Apakah # merupakan trans#$rmasi%%


28/28

contoh

Ditentukan garis g pada idang .Pemetaan T mema'a 6 +ika 6 di g

ke 6 itu sendiri dan +ika titik A di ,uarg ke titik A" demikian shgdan +arak A" ke g setengah +arak A keg

1 6uktikan ah'a T trans#$rmasi7 6uktikan ah'a T k$,ineasi; Tentukan +ika ada garis tetap dari T

gAA '

Documents

Materi GT Pertemuan 1